ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μετάδοση Θερμότητας Ενότητα 2: Θερμική Αγωγιμότητα Κωνσταντίνος - Στέφανος Νίκας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Στόχοι Ενότητας Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με την έννοια της θερμικής αγωγιμότητας. 4
Περιεχόμενα Μαθήματος Θερμική Αγωγιμότητα Εισαγωγικά Ασκήσεις με τις λύσεις τους Ασκήσεις προς επίλυση 5
Θερμική Αγωγιμότητα 6
Εισαγωγικά (1) Εξίσωση Θερμικής Διάχυσης (Αγωγιμότητας) σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες k k T T T T ρ cp = k + k + k + g t x x y y z z 1 T 2 T 2 T 2 T g a t 2 x 2 y 2 z k = ct = + + + 1 T 2 T g a t 2 x k = ct &1 D = + Θερμική Διάχυση: a = k ρ c p Παραγωγή Ενέργειας: Θερμική Αγωγιμότητα: k Ειδική Θερμο-χωρητικότητα: 3 g (W/m ) ( WmK ) ( J kg K) cp 7
Νόμος Fourier Εισαγωγικά (2) Q = ka n n n t n T n k n (J/s m C) ή (BTU/ft s F) = συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας A n (m 2 ) ή (ft 2 ) = επιφάνεια, κάθετη στη ροή θερμότητας T n = x= y = z ( ) ( C/m) ή ( F/ft) = θερμοκρασιακή εφαπτομένη - κλίση της θερμοκρασίας, ως προς n (x ή y ή z) t (sec) = χρόνος n = διεύθυνση κάθετη στην επιφάνεια, Α n 8
Συντελεστής Θερμικής Αγωγιμότητας Ως συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας ορίζεται το συγκριτικό παραμετρικό μέγεθος, το οποίο προσδιορίζει τόσο το ποσό ροής θερμότητας, μέσω ενός μέσου (υλικού), όσο και την ταχύτητα διέλευσής του, τα οποία, και τα δύο, έχουν συναρτησιακή σχέση με τη συστατική δομική μορφή του υλικού. Συγκριτικά, μία υψηλή τιμή του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας χαρακτηρίζει το υλικό, ως καλό αγωγό, ενώ μία χαμηλή συγκριτικά τιμή, ως θερμομονωτικό ή και κακό αγωγό της θερμότητας. Παρότι η τιμή του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας, γενικά, μεταβάλλεται με τη θερμοκρασία, η μεταβολή αυτή, σε πολλά υλικά, θεωρείται αμελητέα και συνεπώς, δε λαμβάνεται υπόψη, για περιοχές πρακτικού ενδιαφέροντος. Σε αντίθετες περιπτώσεις, η μέση τιμή του συντελεστή θερμικής αγωγιμότητας να υπολογίζεται με βάση την παρακάτω έκφραση: k = T T 1 2 T ( ) k T dt T 2 1 9
Μόνιμη & Μονοδιάστατη Κατάσταση (1) Καρτεσιανές Συντεταγμένες T kx, Ax ct dt g 0 = = x = kxax x = ka x dx T T T T T T = = = = x x x L R 2 1 1 2 R= Lk Qx k k k Qx 2 1 Θερμική Αντίσταση R= Lk 10
Μόνιμη & Μονοδιάστατη Κατάσταση (2) Κυλινδρικές Συντεταγμένες dt T T T T = ka = k( 2π L) 2 1 = A 1 2 = A r 1 r ln ln r k r r r c c dr 2 2 1 1 Σφαιρικές Συντεταγμένες T R ( 1 )( ln ) R= k r r 2 1 T T T T T ( 4 ) 2 1 1 2 r = k π = Ac = Ac 1 1 r2 r1 R r r rr 1 2 1 2 ( 1 )( ) R= k r r rr 2 1 1 2 11
Άσκηση (1) Η θερμοκρασιακή διανομή, μέσω ενός επίπεδου τοιχώματος, πάχους 1m, για κάποια χρονική στιγμή παρατήρησης του φαινομένου, δίνεται από τη σχέση: T(x)=a+bx+cx 2 όπου, Τ=θερμοκρασία σε C, x=απόσταση σε m, a=900 C, b=-300 C/m, c=-50 C/m 2, =ομοιόμορφη παραγόμενη θερμότητα=1000w/m 3, η οποία παρουσιάζεται μέσα στο τοίχωμα, επιφανείας 10m 2, με παραμέτρους, ρ=1600kg m /m 3, k=40w/m K και c p =4kJ/kg K. Ζητούνται να προσδιορισθούν: α) Ο ρυθμός του μεταφερόμενου ποσού θερμότητας, εισερχόμενου στο τοίχωμα, (για x=0), και εξερχόμενου του τοιχώματος, (για x=1.0m) β) O ρυθμός μεταβολής της αποθηκευμένης ενέργειας στο τοίχωμα Λύση: (α) Λόγω της εσωτερικά παραγόμενης ενέργειας στο τοίχωμα, η ροή θερμότητας θα έχει διαφορετική τιμή στις δύο πλευρές του. Εφαρμόζοντας το νόμο Fourier, προκύπτει, ότι: 12
Άσκηση (2) T in = ka = ka( b + 2cx) x= 0 x x= 0 = bka = 300 40 10 =120000W = 120kW in x= L x x= L in και T out = ka = ka( b + 2cx) out = ka( b + 2cL) ( ) out = 40 10 300 + 2 50 1 out = 160000W = 160kW β) Το ενεργειακό ισοζύγιο για το τοίχωμα υπαγορεύει, ότι η αποθηκευόμενη ενέργεια ανά μονάδα χρόνου εντός του τοιχώματος, είναι ίση με το άθροισμα της εισερχόμενης και της εσωτερικά παραγόμενης, αφαιρουμένης αυτής, που εξέρχεται από το τοίχωμα στη μονάδα του χρόνου. Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής της αποθηκευμένης ενέργειας στο τοίχωμα είναι: E H = + α in out W 2 E α = 120000 + 1000 10m 1m 120000 =-30000W = -30kW 3 m y x 13
Ασκήσεις προς επίλυση Ένα διαχωριστικό τοίχωμα σκυροδέματος, μεταξύ δωματίου T 1 =25 ο C και εξωτερικών ατμοσφαιρικών συνθηκών T 2 =-15 ο C, έχει επιφάνεια Α=30m 2, και πάχος L=0.30m. Αν ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του σκυροδέματος είναι k=1.1w/m K, ποιες θα είναι οι απώλειες θερμότητας μέσω του τοιχώματος; Η θερμική αγωγιμότητα ενός επίπεδου τοιχώματος δίνεται από τη σχέση k=k ο +2bT+3cT 2, όπου k ο =συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας για Τ=Τ 0 =0. Για σταθερή ροή με πάχος τοιχώματος, L, και επιφανειακές θερμοκρασίες, Τ 1, Τ 2 (Τ 1 >Τ 2 ), αντίστοιχα, ζητείται το ποσό ροής θερμότητας διά μέσου του τοιχώματος. Ηλεκτρικό ρεύμα, 34kΑ, διέρχεται μέσω επίπεδης πλάκας από χάλυβα, πάχους 1.25cm και βάθους 10cm. Η θερμοκρασία της μιας επιφάνειας είναι 80 C, ενώ της άλλης 95 C. Ζητούνται να υπολογισθούν: (α) Η θερμοκρασιακή διάχυση μέσω της πλάκας, (β) Η τιμή και η θέση της μέγιστης θερμοκρασίας, (γ) Το συνολικό ποσό της παραγόμενης θερμότητας ανά μέτρο μήκους της πλάκας και (δ) Η ροή θερμότητας από κάθε επιφάνεια της πλάκας. 14
Τέλος Μαθήματος