Μετασχηματισμός Laplace με εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις

Κεφάλαιο 7 Μετασχηματισμός Lplce με εφαρμογές στις διαφορικές εξισώσεις Ο μετασχηματισμός Lplce είναι ολοκληρωτικός μετασχηματισμός, ο οποίος εισάγεται με τη βοήθεια συγκεκριμένου γενικευμένου ολοκληρώματος και εφαρμόζεται εδώ για τη λύση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Η τεχνική που βασίζεται στην επίλυση διαφορικών ε- ξισώσεων με το μετασχηματισμό Lplce είναι μία αποδοτική εναλλακτική στις μεθόδους μεταβολής των παραμέτρων και προσδιοριστέων συντελεστών που αναλύθηκαν στα Κεφάλαια 4 και 5. Επιπλέον, είναι ειδικότερα πλεονεκτική για μη ομογενείς διαφορικές εξισώσεις στων οποίων τα δεύτερα μέλη συμμετέχουν συναρτήσεις που είναι τμηματικά συνεχείς ή/και περιοδικές. Στο κεφάλαιο αυτό αρχικά εισάγεται η έννοια του μετασχηματισμού Lplce, εξετάζονται οι βασικές ιδιότητές του και ορίζεται ο αντίστροφός του και καταγράφονται οι βασικές ιδιότητες αυτού. Στη συνέχεια, με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Lplce, διατυπώνονται στοιχειώδεις τεχνικές για την επίλυση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές και συστημάτων διαφορικών εξισώσεων. Τέλος, εξετάζεται η βασική ιδιότητα του μετασχηματισμού Lplce της συνέλιξης δύο συναρτήσεων, η οποία χρησιμοποιείται σε τεχνικές επίλυσης ολοκληρωτικών και ολοκληροδιαφορικών εξισώσεων που εμφανίζονται ευρέως στις θετικές επιστήμες και στις επιστήμες μηχανικών. 7. Γενικευμένα ολοκληρώματα Βασική έννοια για τον ορισμό του μετασχηματισμού Lplce είναι εκείνη του γενικευμένου ολοκληρώματος, την οποία υπενθυμίζουμε συνοπτικά και επεξεργαζόμαστε ορισμένα αντιπροσωπευτικά παραδείγματα υπολογισμού γενικευμένων ολοκληρωμάτων, τα οποία χρη- 87

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ σιμοποιούμε στα επόμενα. Ηέννοιατουορισμένουολοκληρώματος(κατάRiemnn) b f(x)dxαναφέρεταισεφραγμένες συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού ένα κλειστό(και φραγμένο) διάστημα [, b] του R (, b R). Εξάλλου, η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος επεκτείνεται με εφαρμογή μιας συγκεκριμένης οριακής διαδικασίας σε μία ευρεία κλάση συναρτήσεων, οι οποίες ορίζονταισετυχόνδιάστημα Iτου Rκαιδενείναικατάανάγκηφραγμένες,αλλάείναιτοπικά ολοκληρώσιμες. Ορισμός 7.. Μίασυνάρτηση f : I R R,όπου Iτυχόνδιάστημα,ονομάζεταιτοπικάολοκληρώσιμη στο Iόταν,γιακάθε v,w Iμε v w,ησυνάρτηση f : [v,w] Rείναιολοκληρώσιμη στο [v,w](δηλαδήυπάρχειστο Rτο w v f(x)dx). Το γενικευμένο ολοκλήρωμα, το οποίο χρησιμοποιείται για τον ορισμό του μετασχηματισμού Lplce, αναφέρεται σε συναρτήσεις με πεδίο ορισμού άπειρο διάστημα. Ορισμός 7..2 Εστω f : I R Rμίατοπικάολοκληρώσιμησυνάρτησηστοδιάστημα I,όπου Iείναι ένααπόταδιαστήματα [,+ ), (,b]και (,+ )με,b R.Τότε,ορίζουμε.Ωςγενικευμένοολοκλήρωμα f(x)dxτηςσυνάρτησης f : [,+ ) Rορίζεται το όριο f(x)dx := lim u f(x)dx, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει στο R το αναφερόμενο όριο. 2.Ωςγενικευμένοολοκλήρωμα b το όριο b f(x)dxτηςσυνάρτησης f : (,b] Rορίζεται f(x)dx := lim u b u f(x)dx, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχει στο R το αναφερόμενο όριο. 3. Ωςγενικευμένοολοκλήρωμα f(x)dxτηςσυνάρτησης f : (,+ ) R ορίζεται το άθροισμα f(x)dx := c f(x)dx+ c f(x)dx,

7.. ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΑΟΛΟΚΛΗΡ ΩΜΑΤΑ 89 υπότηνπροϋπόθεσηότιυπάρχει c Rγιατοοποίοορίζονταιστο Rταδύογενικευμένα ολοκληρώματα,οπότεσεαυτήτηνπερίπτωσητο f(x)dxείναιανεξάρτητοτηςεπιλογής του c. Σεκάθεμίααπότιςπεριπτώσειςέως3λέμεότιυπάρχειήσυγκλίνειτοαντίστοιχο γενικευμένο ολοκλήρωμα. Οταν κάποιο από τα όρια αυτά δεν υπάρχει στο R, τότε θα λέμε ότι το αντίστοιχο γενικευμένο ολοκλήρωμα αποκλίνει ή δεν υπάρχει στο R. Στη συνέχεια, επεξεργαζόμαστε ορισμένα χρηστικά αντιπροσωπευτικά παραδείγματα υ- πολογισμών γενικευμένων ολοκληρωμάτων. Παράδειγμα 7.. Υπολογίστε το γενικευμένο ολοκλήρωμα e sx dx, s R. Λύση. Από την περίπτωση του Ορισμού 7..2, έχουμε e sx dx = u lim = lim = lim [ e sx dx e sx s ] u, s [x] u, s = { s ( e su ), s u, s = = { s, s > +, s. Παράδειγμα 7..2 Υπολογίστε το γενικευμένο ολοκλήρωμα x α dx, α R.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Λύση. Υπολογίζουμε το γενικευμένο ολοκλήρωμα ως εξής x α dx = u lim = lim x α dx [ ] x α+ u α+, α [lnx] u, α = { α+ = lim (uα+ ), α lnu, α = = { +, α α+, α <. Παράδειγμα 7..3 Υπολογίστε το γενικευμένο ολοκλήρωμα dx x 2 +. Λύση. Εχουμε διαδοχικά ότι dx x 2 + u dx = lim x 2 + = lim [rctnx]u = lim (rctnu rctn) = π 2. Απλοί συνδυασμοί του ορισμού του γενικευμένου ολοκληρώματος με γενικές ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος(κατά Riemnn) και των ορίων συναρτήσεων, επιβεβαιώνουν τις βασικές ιδιότητες των γενικευμένων ολοκληρωμάτων, οι οποίες είναι πολύ χρηστικές και εφαρμόζονται ευρέως, και ενοποιούνται στο ακόλουθο Θεώρημα7.. Εστω f,g : [,+ ) Rτοπικάολοκληρώσιμεςσυναρτήσεις. Τότε, ισχύουν

7.. ΓΕΝΙΚΕΥΜ ΕΝΑΟΛΟΚΛΗΡ ΩΜΑΤΑ 9 (α)(θετικότητα)ανυπάρχειτογ.ο. f(x)dxκαιισχύει f(x), x [,+ ), τότε f(x)dx. (β)(γραμμικότητα) Αν υπάρχουν τα γ.ο. f(x)dxκαι g(x)dx τότε υπάρχει επίσηςκαιτογ.ο. (f(x)+g(x))dxκαιισχύει (f(x)+g(x))dx = f(x)dx+ g(x)dx. (γ)(μονοτονία)ανυπάρχουνταγ.ο. f(x)dxκαι g(x)dx και ισχύει f(x) g(x), x [,+ ), τότε f(x)dx g(x)dx. (δ)(κριτήριοσύγκρισης)αν f(x) g(x), x [,+ ),τότε ()ανυπάρχειτογ.ο. g(x)dx,τότευπάρχεικαιτο f(x)dx, και ισχύει f(x)dx g(x)dx. (2)αν f(x)dx = +,τότε g(x)dx = +. (ε)τογ.ο. f(x)dxυπάρχειτότεκαιμόνοτότεότανυπάρχειτογ.ο. c f(x)dx για κάποιο c >, στην προκειμένη περίπτωση ισχύει f(x)dx = c f(x)dx+ c f(x)dx. (στ)(απόλυτησύγκλιση)ανυπάρχειτογ.ο. f(x) dx, τότε υπάρχει επίσης και το γ.ο. f(x)dx και ισχύει f(x)dx f(x) dx. Εξάλλου, δεν ισχύει ο αντίστροφος ισχυρισμός. Απόδειξη. Ενδεικτικά, αποδεικνύουμε τις ιδιότητες(ε) και(στ).

92 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Γιατηναπόδειξητης(ε),υποθέτουμεότιυπάρχειτογ.ο. c f(x)dxγιακάποιο c > και,γιατυχόν u > c,υπολογίζουμε οπότε u f(x)dx = c f(x)dx = lim = = c c f(x)dx+ u u c f(x)dx f(x)dx+ lim f(x)dx+ c f(x)dx, u c f(x)dx f(x)dx. Για την(στ), αρχικά παρατηρούμε ότι ισχύει f(x)+ f(x) 2 f(x), x [,+ ). Ετσι,απότοκριτήριοσύγκρισηςέχουμεότιυπάρχειτογ.ο. (f(x)+ f(x) )dxκαι επειδή ισχύει f(x) = (f(x)+ f(x) ) f(x), x [,+ ), απότηγραμμικότητατουγ.ο.έπεταιότιυπάρχειτογ.ο. f(x)dx. Περαιτέρω, υπολογίζουμε f(x)dx = lim u u lim f(x)dx = lim f(x) dx = u f(x)dx f(x) dx. Κλείνουμε την παράγραφο, υπενθυμίζοντας από τον Απειροστικό Λογισμό τον ακόλουθο ορισμό της τμηματικά συνεχούς συνάρτησης. Ορισμός 7..3 Μίασυνάρτηση f : [,b] Rονομάζεταιτμηματικάσυνεχής(στο [,b])όταντοσύνολο των σημείων ασυνέχειας της f είναι(το πολύ) πεπερασμένο και σε κάθε σημείο ασυνέχειας της fυπάρχουνστο Rταπλευρικάόριατης f,πουσημαίνειότιυπάρχειμίαδιαμέριση [ = x < x < x 2 <... < x n = b]

7.2. ΟΡΙΣΜ ΟΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 93 του [,b]έτσιώστεησυνάρτηση f : (x k,x k+ ) Rναείναισυνεχήςκαιναυπάρχουνστο Rταπλευρικάόρια lim f(x) και lim f(x), k =,2,...,n. x x + k x x k Εξάλλου,μίασυνάρτηση f : I R,όπου Iτυχόνδιάστημα,ονομάζεταιτοπικάτμηματικάσυνεχήςστο I,ότανγιακάθε,b Iμε bησυνάρτηση f : [,b] Rείναι τμηματικά συνεχής στο [, b]. Η κλάση των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων με πεδίο ορισμού ένα κλειστό διάστημα [, b] περιέχει ασφαλώς την κλάση των τμηματικά συνεχών συναρτήσεων στο [, b] και κατά συνέπεια η κλάση των τοπικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων σε ένα τυχόν διάστημα I περιέχει επίσης την κλάση των τοπικά τμηματικά συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα I. Οπως θα εξηγήσουμε στην επόμενη παράγραφο, για μία περιεκτική κλάση τοπικά τμηματικά συνεχών συναρτήσεων σε ένα διάστημα [, + ), εκείνη των συναρτήσεων εκθετικής τάξης, ορίζεται ο μετασχηματισμός Lplce. 7.2 Ορισμός του μετασχηματισμού Lplce Ορισμός7.2. Εστω f = f(t) : [,+ ) Rμίατοπικάολοκληρώσιμησυνάρτηση.Ως μετασχηματισμός Lplce ορίζεται η πραγματική συνάρτηση L{f}(s) = με πεδίο ορισμού το σύνολο { DL(f) = s R :υπάρχει(στοr)τογ.ο. f(t)e st dt (7.2.) } f(t)e st dt. Ησυνάρτηση L{f}συμβολίζεταιεπίσηςμε F,ενώστηνπράξη,αντίγια L{f}και F, γράφουμε συνήθως L{f(t)} και F(s) αντιστοίχως, όπου εμφανίζονται και οι μεταβλητές t και sτωνσυναρτήσεων fκαι F,καιεπομένωςη(7.2.)εμφανίζεταιστηβιβλιογραφίαως L{f(t)} = F(s) = f(t)e st dt. (7.2.2)

94 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Στη συνέχεια, υπολογίζουμε με χρήση του τελευταίου ορισμού το μετασχηματισμό Lplce ορισμένων στοιχειωδών συναρτήσεων. Παράδειγμα 7.2. Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης f(t) =, t [,+ ). Λύση. Εχουμε διαδοχικά ότι e st dt = lim = lim = lim u = s, s >, e st dt [ s e st ] u ( s e su + ) s και άρα L{} = s, s >. Παράδειγμα 7.2.2 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης f(t) = t, t [,+ ).

7.2. ΟΡΙΣΜ ΟΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 95 Λύση. Εχουμε διαδοχικά ότι te st dt = u lim = lim u = s lim = ( lim s ( = s = ( s te st dt t ( s e st ) dt ( [te st ] u u (ue su ) lim lim lim = s2, s >, ( u ) e su ( se su ) s ) e st dt u ) e st dt ), s > ) e st dt όπου στα τελευταία βήματα χρησιμοποιήθηκαν ο κανόνας L Hôpitl καθώς και το αποτέλεσμα του τελευταίου παραδείγματος. Άρα, τελικά λαμβάνουμε L{t} = s2, s >. Παράδειγμα 7.2.3 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης f(t) = t n, t [,+ ), n N.

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Λύση. Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες, λαμβάνουμε L{t n } = t n e st dt = u lim = lim u = s lim = ( lim s ( = s t n e st dt t n ( s e st ) dt ( [t n e st] u u ) nt n e st dt u ) t n e st dt (un e su ) n lim ( ) u n ) n t n e st dt lim e su = n s L{tn }, s >, όπου στα τελευταία βήματα χρησιμοποιήθηκε n φορές ο κανόνας L Hôpitl. Εφαρμόζοντας τώρα διαδοχικά την τελευταία, έχουμε L{t n } = n s L{tn } = n(n ) s 2 L{t n 2 } =... = n! n! snl{} = sn+, s >. Σημειώνουμεότιοπροηγούμενοςτύποςισχύει καιγια n =, δηλαδήδίνεικαιτο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης. Παράδειγμα 7.2.4 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης f(t) = e t, t [,+ ). Λύση. Εχουμε διαδοχικά ότι e t e st dt = u lim = lim = lim = [ e ( s)t dt s e( s)t ] u ( s e( s)u s s, s >, )

7.2. ΟΡΙΣΜ ΟΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 97 και άρα L{e t } = s, s >. Παράδειγμα 7.2.5 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce των συναρτήσεων και f(t) = sint, t [,+ ) g(t) = cost, t [,+ ). Λύση. Χρησιμοποιούμε το μιγαδικό ορισμό του ημιτόνου και λαμβάνουμε και άρα sinte st dt = = 2i = 2i = 2i = 2i u lim lim lim lim lim sint = eit e it, 2i sinte st dt ( u e it e st dt ( u e (i s)t dt ([ i s e(i s)t ( i s = ( 2i i s + i+s = s 2 +, s >, ] u u u [ e (i s)u ) L{sint} = s 2 +, s >. Χρησιμοποιώντας το μιγαδικό ορισμό του συνημιτόνου cost = eit +e it, 2 και εκτελώντας παρόμοιους υπολογισμούς, ευρίσκουμε L{cost} = s s 2 +, s >. ) e it e st dt ) e (i+s)t dt [ (i+s) e (i+s)t ] + i+s ] u ) [ e (i+s)u ] )

98 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ 7.3 Ιδιότητες του μετασχηματισμού Lplce Αρχικά, αποδεικνύουμε ένα θέωρημα ύπαρξης του μετασχηματισμού Lplce για μία περιεκτική κλάση τοπικά ολοκληρωσίμων συναρτήσεων. Ορισμός7.3.Μίασυνάρτησηf : [,+ ) Rονομάζεταιεκθετικήςτάξης(ήεκθετικά φραγμένη)(για t + )ότανυπάρχουνπραγματικέςσταθερές M >, ακαι K >,έτσι ώστε να ισχύει f(t) Ke αt, t M. (7.3.) (ησταθερά ααναφέρεταικαιωςεκθετικήτάξητης f) Θεώρημα 7.3. ( Υπαρξης μετασχηματισμού Lplce) Εστω f : [,+ ) Rμίατοπικάτμηματικάσυνεχήςσυνάρτηση,ηοποίαείναιεκθετικής τάξης(α R). Τότε, υπάρχει ο μετασχηματισμός Lplce F(s) = f(t)e st dt, s > α. Απόδειξη.Αρχικάαποδεικνύουμεότιυπάρχειτογενικευμένοολοκλήρωμα M e st f(t)dt, γιακάθε s > α.πράγματι,απότηνυπόθεσηότιηfείναιεκθετικήςτάξηςέχουμε M e st f(t) dt K M = K lim e (α s)t dt u M = K α s lim = K α s e (α s)t dt (e (α s)u e (α s)m) ( e (α s)m) = K s α e (s α)m. Κατάσυνέπεια,απότηνιδιότητα(ε)τουΘεωρήματος7..,υπάρχειτο e st f(t) dt και ισχύει e st f(t) dt = = M M e st f(t) dt+ M e st f(t) dt e st f(t) dt+ K s α e (s α)m.

7.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 99 Εφαρμόζοντας τώρα την ιδιότητα(στ) του Θεωρήματος 7.., συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τογενικευμένοολοκλήρωμα e st f(t)dt,καιάραπράγματιυπάρχειομετασχηματισμός Lplceγιακάθε s > α. Συνεχίζουμε με την καταγραφή των βασικών ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Lplce και επεξεργαζόμαστε αντιπροσωπευτικά παραδείγματα για κάθε επιμέρους ιδιότητα. Πρόταση 7.3. Εστω f, g : [, + ) R με μετασχηματισμούς Lplce L{f(t)} = F(s), s > α και L{g(t)} = G(s), s > α 2,αντιστοίχως.Τότε,υπάρχειομετασχηματισμός Lplceτης f(t)±bg(t),,b Rκαιισχύει L{f(t)±bg(t)} = F(s)±bG(s), s > mx{α,α 2 }. Παράδειγμα 7.3. Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce των συναρτήσεων και f(t) = sinh(t) = et e t, t [,+ ) 2 g(t) = cosh(t) = et +e t, t [,+ ). 2 Λύση. Χρησιμοποιώντας την τελευταία πρόταση, ευρίσκουμε L{f(t)} = 2 L{et } 2 L{e t }. Επειδή λαμβάνουμε και άρα L{sinh(t)} = 2 L{e t } = s, s >, L{sinh(t)} = ( s ), s >, s+ s 2 2, s >. Με παρόμοια διαδικασία, υπολογίζουμε L{g(t)} = L{cosh(t)} = 2 L{et }+ 2 L{e t } = ( 2 s + ) = s+ s s 2 2, s >.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Πρόταση7.3.2 Εστωf : [,+ ) Rμεμετασχηματισμό LplceL{f(t)} = F(s), s > α.τότε,υπάρχειομετασχηματισμός Lplceτης e bt f(t)καιισχύει L{e bt f(t)} = F(s b), s > α+b. Παράδειγμα 7.3.2 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης g(t) = e 5t cost, t [,+ ). Λύση. Γνωρίζουμεότιγιατησυνάρτηση f(t) = cost, t [,+ ), έχουμε F(s) = L{cost} = s s 2 +, s >. Ετσι,απότηντελευταίαπρόταση,λαμβάνουμε L{g(t)} = L{e 5t cost} = F(s 5) = s 5 (s 5) 2 +, s > 5. Παράδειγμα 7.3.3 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης g(t) = e 3t t, t [,+ ). Λύση. Γνωρίζουμεότιγιατησυνάρτηση f(t) = t, t [,+ ),έχουμε F(s) = L{t} = s 2, s >.καιεπομένως,ευρίσκουμε L{g(t)} = L{e 3t t} = F(s+3) = (s+3) 2, s > 3. Παράδειγμα 7.3.4 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης g(t) = e t, t [,+ ), R. Λύση.Γιατησυνάρτηση f(t) =, t [,+ ),έχουμε F(s) = L{t} = s, s >,οπότε, έχουμε L{g(t)} = L{e t } = F(s ) = s, s >, την οποία είχαμε ήδη βρει και νωρίτερα με χρήση του ορισμού του μετασχηματισμού.

7.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 2 Πρόταση7.3.3 Εστωf : [,+ ) Rμεμετασχηματισμό LplceL{f(t)} = F(s), s > α.τότε,υπάρχειομετασχηματισμός Lplceτης f(t), >,καιισχύει L{f(t)} = F ( s ), s > α. Παράδειγμα 7.3.5 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce των συναρτήσεων g(t) = cos(t), t [,+ ), > και h(t) = sin(t), t [,+ ), >. Λύση. Γιατησυνάρτηση f(t) = cost, t [,+ ),έχουμεήδηυπολογίσειότι F(s) = L{cost} = s s 2 +, s >. Ετσι, από την τελευταία πρόταση, ευρίσκουμε L{g(t)} = L{cos(t)} = L{f(t)} = ( s ) F = s ( s )2 + = s s 2 +2, s >. Με παρόμοιους υπολογισμούς λαμβάνουμε L{h(t)} = L{sin(t)} = s 2 +2, s >. Παράδειγμα 7.3.6 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης g(t) = cos 2 t, t [,+ ). Λύση. Από το τελευταίο παράδειγμα και την ιδιότητα γραμμικότητας του μετασχηματισμού (Πρόταση 7.3.), ευρίσκουμε { } +cos(2t) L{g(t)} = L{cos 2 t} = L = 2 2 L{}+ 2 L{cos(2t)} = ( 2 s + s ) s 2 = s2 +2 +4 s(s 2 +4), s >.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Πρόταση7.3.4 Εστωσυνάρτησηf : [,+ ) Rμεμετασχηματισμό LplceL{f(t)} = F(s), s > α.τότε,υπάρχειομετασχηματισμός Lplceτης t n f(t), n Nκαιισχύει L{t n f(t)} = ( ) n F (n) (s), s > α, n N. Παράδειγμα 7.3.7 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης g(t) = tcos(t), t [,+ ). Λύση. Από το Παράδειγμα 7.3.5, γνωρίζουμε ότι ο μετασχηματισμός Lplce της συνάρτησης f(t) = cos(t)είναι F(s) = L{cos(t)} = s s 2 + 2, s >. Ετσι, χρησιμοποιώντας την τελευταία πρόταση, ευρίσκουμε ( ) s L{g(t)} = L{tf(t)} = ( ) F (s) = s 2 + 2 = s2 2 (s 2 + 2 ) 2, s >. Παράδειγμα 7.3.8 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce των συναρτήσεων g(t) = te t, t [,+ ) και h(t) = t 2 e t, t [,+ ). Λύση. Ομετασχηματισμός Lplceτηςσυνάρτησης f(t) = e t είναι,σύμφωναμετο Παράδειγμα7.3.4, F(s) = L{e t } = s, s >. Επομένως, με τη βοήθεια της τελευταίας πρότασης, λαμβάνουμε ( ) L{g(t)} = L{tf(t)} = ( ) F (s) = = s (s ) 2, s >. Ανάλογα, βρίσκουμε ότι L{h(t)} = L{t 2 f(t)} = ( ) 2 F (s) = ( ) = s 2 (s ) 3, s >.

7.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 23 Ησυνάρτηση, t τ u(t τ) =, t < τ, (7.3.2) της οποίας η γραφική παράσταση δίνεται στο Σχήμα 7., ονομάζεται συνάρτηση Heviside ή συνάρτηση μοναδιαίου βήματος (unit step function). Με τη βοήθεια της συνάρτησης αυτής μπορούμε να λαμβάνουμε απλές και ενοποιημένες εκφράσεις συναρτήσεων, οι οποίες ορίζονται από διαφορετικούς τύπους σε διαφορετικά διαστήματα. Σχήμα 7.: Η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος. Επί παραδείγματι, η συνάρτηση(βλ. Σχήμα 7.2) sint, t < π g(t) =, t π γράφεται ως g(t) = h(t)sint, όπου η συνάρτηση h(t) δίνεται από(βλ. Σχήμα 7.3), t < π h(t) =, t π, ηοποίαμπορείναγραφείως και άρα τελικά προκύπτει h(t) = u(t) u(t π), g(t) = [u(t) u(t π)]sint.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Σχήμα 7.2: Γραφική παράσταση της συνάρτησης g(t). Σχήμα 7.3: Γραφική παράσταση της συνάρτησης h(t). Η ακόλουθη πρόταση αναδεικνύει τη σπουδαιότητα και τη χρησιμότητα της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος στο μετασχηματισμό Lplce. Πρόταση7.3.5 Εστωότιησυνάρτηση f : [,+ ) Rέχειμετασχηματισμό Lplce L{f(t)} = F(s), s > α. Τότε, υπάρχειομετασχηματισμός Lplce τηςσυνάρτησης u(t τ)f(t τ), τ καιισχύει L{u(t τ)f(t τ)} = e τs F(s), s > α, τ. (7.3.3) Απόδειξη. Από τον ορισμό του μετασχηματισμού Lplce, έχουμε ότι L{u(t τ)f(t τ)} = e st u(t τ)f(t τ)dt = τ e st f(t τ)dt, καιτοζητούμενοπροκύπτεικάνονταςτηναλλαγήμεταβλητής v = t τ,διότι τ e st f(t τ)dt = e τs e sv f(v)dv = e τs F(s). Παράδειγμα 7.3.9 Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος g(t) = u(t τ), t [,+ ), τ >.

7.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 25 Λύση. Εφαρμόζοντας την(7.3.3) για τη συνάρτηση f(t) =, η οποία έχει μετασχηματισμό Lplce F(s) = s, s > (βλ.παράδειγμα7.2.),ευρίσκουμε L{g(t)} = L{u(t τ)} = e τs s, s >. Παράδειγμα 7.3. Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης(βλ. Σχήμα 7.4) t, t g(t) =., t < Σχήμα 7.4: Γραφική παράσταση της συνάρτησης g(t) του Παραδείγματος 7.3.. Λύση. Η συνάρτηση g γράφεται, με τη βοήθεια της συνάρτησης μοναδιαίου βήματος, ως εξής g(t) = u(t )(t ), t [,+ ). Ετσι,εφαρμόζουμετην(7.3.3)γιατησυνάρτηση f(t) = t,ηοποία(σύμφωναμετο Παράδειγμα7.2.2)έχειμετασχηματισμό Lplce F(s) = s 2, s >,καιευρίσκουμε L{g(t)} = L{u(t )(t )} = e s s 2, s >.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Παράδειγμα 7.3. Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης(βλ. Σχήμα 7.2) sint, t < π g(t) =., t π Λύση. Οπως αναλύθηκε παραπάνω, η συνάρτηση g γράφεται ως g(t) = [u(t) u(t π)]sint = u(t)sint u(t π)sint, t [,+ ). Επομένως, για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε την(7.3.3), πρέπει να εκφράσουμε την sintστοδεύτεροπροσθετέοωςσυνάρτησητου t π. Αυτόμπορείναγίνειμεχρήση της τριγωνομετρικής ταυτότητας καιάραέχουμεότι sint = sin(t π), g(t) = u(t)sint+u(t π)sin(t π), t [,+ ), οπότεεφαρμόζονταςτην(7.3.3)γιατησυνάρτηση f(t) = sint,ηοποία(σύμφωναμετο Παράδειγμα7.2.5)έχειμετασχηματισμό Lplce F(s) = s 2 +, s >,λαμβάνουμε L{g(t)} = L{u(t)sint}+L{u(t π)sin(t π)} = s 2 + + e πs s 2 + = +e πs s 2 +, s >. Στην ακόλουθη πρόταση δίνεται η θεμελιώδης ιδιότητα για το μετασχηματισμό Lplce των παραγώγων συνάρτησης, η οποία παίζει σημαντικό ρόλο σε μεθοδολογίες επίλυσης Δ.Ε. με χρήση του μετασχηματισμού Lplce, όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια. Πρόταση7.3.6 Εστωότιησυνάρτηση f : [,+ ) Rέχειμετασχηματισμό Lplce L{f(t)} = F(s), s > α,καιείναι nφορέςπαραγωγίσιμημε f (k) (t), k =,,...,n,να είναισυναρτήσειςεκθετικήςτάξης. Τότε,υπάρχειομετασχηματισμός Lplceτης f (n) (t) και ισχύει L{f (n) (t)} = s n F(s) s n f()... sf (n 2) () f (n ) (), s > α, n N. (7.3.4)

7.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 27 Απότην(7.3.4)λαμβάνουμεγια n =, 2 L{f (t)} = sf(s) f() (7.3.5) και L{f (t)} = s 2 F(s) sf() f (). (7.3.6) Ετσι, οι μετασχηματισμοί Lplce των παραγώγων μιας συνάρτησης είναι αλγεβρικές έκφρασεις των μετασχηματισμών Lplce. Αυτή η βασική ιδιότητα καθιστά δυνατή τη μετατροπή, μέσω του μετασχηματισμού Lplce, μιας Δ.Ε. σε αλγεβρική εξίσωση. Παράδειγμα 7.3.2 Βρείτε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης y(t), η οποία ικανοποιεί το Π.Α.Τ. y (t)+2y(t) = e 3t, y() =. Λύση. Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Lplce και των δύο μελών της Δ.Ε., και χρησιμοποιώντας και την ιδιότητα γραμμικότητας του μετασχηματισμού, ευρίσκουμε L{y (t)}+2l{y(t)} = L{e 3t }. Από την(7.3.5), έχουμε ότι L{y (t)} = sy(s) y(), όπου L{y(t)} = Y(s). Επιπλέον, σύμφωνα με το Παράδειγμα 7.3.4, ισχύει ότι L{e 3t } = s+3, s > 3. Ετσι, συνδυάζοντας όλες τις προηγούμενες, λαμβάνουμε sy(s) y()+2y(s) = s+3, s > 3, από όπου, με την ενσωμάτωση της δοσμένης αρχικής συνθήκης, έχουμε (s+2)y(s) = +, s > 3, s+3 και τελικά Y(s) = s+4, s > 3, s 2. (s+2)(s+3)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Παράδειγμα 7.3.3 Βρείτε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης y(t), η οποία ικανοποιεί το Π.Α.Τ. y (t)+2y (t) 3y(t) =, y() =, y () =. Λύση. Με ανάλογη διαδικασία, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, ευρίσκουμε L{y (t)}+2l{y (t)} 3L{y(t)} = L{}, από όπου, με εφαρμογή των(7.3.5) και(7.3.6) και χρήση του Παραδείγματος 7.2., λαμβάνουμε s 2 Y(s) sy() y ()+2(sY(s) y()) 3Y(s) = s, s > και με την ενσωμάτωση των δοσμένων αρχικών συνθηκών, έχουμε και άρα (s 2 +2s 3)Y(s) = +s, s >, s Y(s) = s+, s >, s. s(s )(s+3) Στην ακόλουθη πρόταση δίνεται ο μετασχηματισμός Lplce μιας περιοδικής συνάρτησης. Πρόταση7.3.7 ΕστωότιηT-περιοδικήσυνάρτηση f : [,+ ) Rέχειμετασχηματισμό Lplce L{f(t)} = F(s). Τότε, ισχύει F(s) = e st T e st f(t)dt, s >. (7.3.7) Απόδειξη. Από τον ορισμό του μετασχηματισμού Lplce, έχουμε F(s) = = = T e st f(t)dt 2T 3T e st f(t)dt+ e st f(t)dt+ e st f(t)dt+... T 2T + (n+)t n= nt e st f(t)dt.

7.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 29 Στηντελευταίακάνουμετηναλλαγήμεταβλητής τ = t nt,καιλαμβάνουμε F(s) = + T n= e s(τ+nt) f(τ +nt)dτ, και επειδή η συνάρτηση f είναι T-περιοδική, προκύπτει F(s) = T e sτ f(τ)dτ + n= e nst. Ησειρά + n= e nst είναιγεωμετρικήμελόγο < e st < (εφόσονst > ),επομένως ισχύει ότι + n= e nst = e st, και άρα το ζητούμενο έπεται συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις. Παρατήρηση 7.3. Από την(7.3.7) φαίνεται ότι για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Lplce μιας περιοδικής συνάρτησης f(t), χρειάζεται να υπολογίσουμε μόνο το μετασχηματισμότηςσυνάρτησηςπουείναιίσημετην f(t)στηθεμελιώδηπερίοδοκαιείναιίσημε μηδέν παντού αλλού. Αυτό οφείλεται στο ότι μια περιοδική συνάρτηση καθορίζεται πλήρως από τον περιορισμό της στο διάστημα της θεμελιώδους περιόδου. Παράδειγμα 7.3.4 Βρείτε το μετασχηματισμό Lplce του τριγωνικού κύματος f(t), το οποίο απεικονίζεται στο Σχήμα 7.5. Σχήμα 7.5: Γραφική παράσταση του τριγωνικού κύματος f(t) του Παραδείγματος 7.3.4.

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Λύση. Αρχικά, υπολογίζουμε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης t, t < g(t) = t+2, t < 2, t 2, ηοποίααπεικονίζεταιστοσχήμα7.6καιηοποίαείναιίσημετησυνάρτηση f(t)στηθεμελιώδηπερίοδο ( t 2)καιίσημεμηδένπαντούαλλού. Σχήμα 7.6: Γραφική παράσταση της συνάρτησης g(t) της λύσης του Παραδείγματος 7.3.4. Η συνάρτηση g(t) γράφεται, με τη βοήθεια της βηματικής συνάρτησης, ως εξής g(t) = [u(t) u(t )]t+[u(t ) u(t 2)]( t+2), όπουοπρώτοςόρος [u(t) u(t )]tπαριστάνειτοευθύγραμμοτμήμαπουενώνειτασημεία (,)και (,),ενώοδεύτεροςόρος [u(t ) u(t 2)]( t +2)τοευθύγραμμοτμήμα πουενώνειτασημεία (,)και (2,). Λαμβάνοντας τώρα το μετασχηματισμό Lplce και χρησιμοποιώντας την Πρόταση 7.3.5, ευρίσκουμε G(s) = s 2 2e s s 2 + e 2s s 2 = ( e s ) 2 s 2. Χρησιμοποιώντας την Πρόταση 7.3.7, τελικά λαμβάνουμε F(s) = ( e s ) 2 s 2 ( e 2s ) = e s s 2 (+e s ), s >. Παράδειγμα 7.3.5 Βρείτε το μετασχηματισμό Lplce του τετραγωνικού κύματος f(t), το οποίο απεικονίζεται στο Σχήμα 7.7.

7.3. ΙΔΙ ΟΤΗΤΕΣΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 2 Σχήμα 7.7: Γραφική παράσταση του τετραγωνικού κύματος f(t) του Παραδείγματος 7.3.5. Λύση. Αρχικά, υπολογίζουμε το μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης, t < τ g(t) =, τ t < 2τ, t 2τ ηοποίααπεικονίζεταιστοσχήμα7.8καιηοποίαείναιίσημετησυνάρτηση f(t)στηθεμελιώδηπερίοδο ( t 2τ)καιίσημεμηδένπαντούαλλού., Σχήμα 7.8: Γραφική παράσταση της συνάρτησης g(t) της λύσης του Παραδείγματος 7.3.5. Η συνάρτηση g(t) γράφεται, με τη βοήθεια της βηματικής συνάρτησης, ως εξής g(t) = [u(t) u(t τ)] [u(t τ) u(t 2τ)] = u(t) 2u(t τ)+u(t 2τ), όπουοπρώτοςόρος u(t) u(t τ)έχειτιμήμόνοόταν t < τ καιμηδένπαντού αλλούκαιοδεύτεροςόρος [u(t τ) u(t 2τ)]έχειτιμή όταν τ t < 2τκαιμηδέν παντού αλλού.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Λαμβάνοντας τώρα το μετασχηματισμό Lplce και χρησιμοποιώντας την Πρόταση 7.3.5, ευρίσκουμε G(s) = s 2e τs s + e 2τs s = ( e τs ) 2. s Χρησιμοποιώντας την Πρόταση 7.3.7, και επειδή το τετραγωνικό κύμα είναι 2τ-περιοδική συνάρτηση, τελικά έχουμε F(s) = ( e τs ) 2 s( e 2τs ) = e τs s(+e τs ), s >. 7.4 Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Στην παράγραφο αυτή συζητούμε την αντιστρεψιμότητα του μετασχηματισμού Lplce. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce χρησιμοποιείται στην εύρεση λύσεων Π.Α.Τ., όπως περιγράφεται αναλυτικά στην επόμενη παράγραφο. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce ορίζεται ως εξής. Ορισμός7.4. Εστωμίαπραγματικήσυνάρτηση F = F(s) : (α,+ ) R.Ανυπάρχει μίασυνάρτηση f = f(t) : [,+ ) R,γιατηνοποίαισχύει L{f(t)} = F(s),τότεηf ονομάζεταιαντίστροφοςμετασχηματισμός Lplceτης Fκαισυμβολίζεταιμε L {F(s)}, οπότε έχουμε L{L {F(s)}} = F(s) και L {L{f(t)}} = f(t). Μία αυστηρή απόδειξη της ύπαρξης του αντιστρόφου μετασχηματισμού Lplce προϋποθέτει προχωρημένα αποτελέσματα της θεωρίας μιγαδικής ολοκλήρωσης, τα οποία θεωρούνται εκτός του σκοπού του βιβλίου. Το ακόλουθο σχετικό θεώρημα δίνει πληροφορίες για την ύπαρξη του αντιστρόφου μετασχηματισμού Lplce. Θεώρημα7.4. Εστω f,g : [,+ ) Rτοπικάτμηματικάσυνεχείςσυναρτήσεις,οι οποίες είναι εκθετικής τάξης, οπότε υπάρχουν οι μετασχηματισμοί Lplce F(s) και G(s) αυτών(θεώρημα 7.3.). Αν ισχύει F(s) = G(s) για κάθε s > c(για κάποιο c) τότε f(t) = g(t)σεκάθευποδιάστηματου [,+ ),όπουοισυναρτήσεις fκαι gείναισυνεχείς.

7.4. ΑΝΤ ΙΣΤΡΟΦΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACE 23 Οπως συνάγεται από το θεώρημα αυτό, δύο τοπικά τμηματικά συνεχείς συναρτήσεις εκθετικής τάξης στο διάστημα [, + ) με τον ίδιο μετασχηματισμό Lplce είναι δυνατόν να διαφέρουν μόνο στα σημεία ασυνέχειας. Ετσι, στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές του μετασχηματισμού Lplce στις Δ.Ε., λόγω της συνέχειας των λύσεών τους, οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί θεωρούνται μοναδικοί. Σε συγκεκριμένες περιπτώσεις συνεχών συναρτήσεων, των οποίων οι μετασχηματισμοί Lplce καταχωρούνται σε πίνακες, λόγω της μοναδικότητας του αντιστρόφου μετασχηματισμού, από τους πίνακες αυτούς προκύπτουν και οι αντίστροφοι μετασχηματισμοί. Συνεχίζουμε τώρα με την καταγραφή των βασικών χρηστικών ιδιοτήτων του αντιστρόφου μετασχηματισμού Lplce. Πρόταση 7.4. (Ιδιότητες του αντίστροφου μετασχηματισμού Lplce) Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Lplce αποδεικνύονται οι ακόλουθες ιδιότητες του αντίστροφου μετασχηματισμού Lplce. L {F(s)±bG(s)} = L {F(s)}±bL {G(s)}. 2. L {F(s )} = e t f(t). 3. L {F(s)} = f ( t ). Ο απευθείας υπολογισμός του αντιστρόφου μετασχηματισμού Lplce απαιτεί σε ορισμένες περιπτώσεις προχωρημένες γνώσεις θεωρίας μιγαδικής ολοκλήρωσης(βλ.[]). Στην πράξη, συνήθως, προσπαθούμε να φέρουμε τη συνάρτηση F(s), της οποίας θέλουμε να βρούμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce, σε κάποια κατάλληλη μορφή αθροίσματος στοιχειωδών συναρτήσεων(κυρίως με χρήση της ανάλυσης σε απλά κλάσματα, η οποία περιγράφεται στη συνέχεια μέσω παραδειγμάτων), των οποίων γνωρίζουμε τους μετασχηματισμούς Lplce. Κατά αυτή τη διαδικασία είναι, συνήθως, πολύ χρήσιμοι οι πίνακες μετασχηματισμού Lplce στοιχειωδών συναρτήσεων. Παράδειγμα 7.4. Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης F(s) = s s 2 +4. Λύση.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της Πρότασης 7.4. και τα γνωστά αποτελέσματα για το μετασχηματισμό Lplce των συναρτήσεων cos(t) και sin(t)(βλ. Παράδειγμα 7.3.5), ευρίσκουμε { } { } { } s s L {F(s)} = L s 2 = L +4 s 2 L +4 s 2 +4 = cos(2t) 2 sin(2t). Παράδειγμα 7.4.2 Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης F(s) = s 2 3s+2. Λύση. Εφαρμόζουμε τη μέθοδο ανάλυσης σε απλά κλάσματα. Αρχικά, έχουμε ότι οπότεαναζητούμε Aκαι Bτέτοιαώστε και άρα s 2 3s+2 = (s )(s 2), (s )(s 2) = A s + B s 2 = A(s 2)+B(s ). Για s = έχουμε = A A =,ενώγια s = 2έχουμε B =,καιέτσιπροκύπτει F(s) = s + s 2. Χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 7.3.4, τελικά ευρίσκουμε { } { } { } L {F(s)} = L s 2 = L +L 3s+2 s s 2 = e t +e 2t. Παρατήρηση 7.4. Στο προηγούμενο παράδειγμα, για να υπολογίσουμε τις τιμές των συντελεστών A και B, αντικαταστήσαμε στην έκφραση

7.4. ΑΝΤ ΙΣΤΡΟΦΟΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACE 25 ( ) = A(s 2)+B(s ) τιςτιμές s = καιs = 2,οιοποίεςήτανρίζεςτωνπαρανομαστώνστηναμέσωςπροηγούμενη έκφραση ( ) (s )(s 2) = A s + B s 2. Αυτό είναι, πράγματι, επιτρεπτό διότι αν δύο πολυώνυμα βαθμού n είναι ίσα για περισσότερες από n αντικαταστάσεις της μεταβλητής, τότε είναι ίσα για κάθε τιμή της μεταβλητής. Η(*)ισχύειγιαόλεςτιςτιμέςτης s,εκτόςπιθανάαπότις s = και s = 2γιατιςοποίες οι παρανομαστές της(**) μηδενίζονται. Επομένως, η(*) ισχύει για κάθε τιμή της s συμπεριλαμβανομένωνκαιτων s = και s = 2. Παράδειγμα 7.4.3 Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης F(s) = s 2 6s+9. Λύση. Επειδή s 2 6s+9 = (s 3) 2, χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 7.3.8, ευρίσκουμε { } L {F(s)} = L (s 3) 2 = te 3t. Παράδειγμα 7.4.4 Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης s F(s) = (s+) 3. Λύση. Η δοσμένη συνάρτηση γράφεται ως εξής s (s+) 3 = s+ (s+) 3 = s+ (s+) 3 (s+) 3 = (s+) 2 (s+) 3 και άρα, από το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 7.3.8, λαμβάνουμε { { } L {F(s)} = L } L (s+) 2 (s+) 3 = te t 2 t2 e t.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Παράδειγμα 7.4.5 Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης s+2 F(s) = s 2 2s+5. Λύση. Εχουμε ότι s+2 s 2 2s+5 = s+2 (s ) 2 +4 = = s (s ) 2 +2 2 + 3 (s ) 2 +2 2 s (s ) 2 +2 2 + 3 2 και άρα, χρησιμοποιώντας την Πρόταση 7.3.2, ευρίσκουμε { L {F(s)} = L s (s ) 2 +2 2 = e t cos(2t)+ 3 2 et sin(2t). }+ 32 L { 2 (s ) 2 +2 2, } 2 (s ) 2 +2 2 Παράδειγμα 7.4.6 Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης 2s F(s) = s(s )(s 2). Λύση.Ησυνάρτηση F(s)αναλύεταισεαπλάκλάσματαωςεξής οπότε 2s s(s )(s 2) = A s + B s + C s 2, 2s = A(s )(s 2)+Bs(s 2)+Cs(s ). Για s =,λαμβάνουμε = 2A A = /2. Για s =,έχουμε = B B =. Για s = 2,έχουμε 3 = 2C C = 3/2. Επομένως, προκύπτει ότι L {F(s)} = 2 L { s = 2 et + 3 2 e2t. } { } L + 3 { } s 2 L s 2

7.5. Λ ΥΣΗΠ.Α.Τ.ΜΕΕΦΑΡΜΟΓ ΗΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 27 Παράδειγμα 7.4.7 Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης F(s) = s(s+) 2. Λύση.Βρίσκουμε A, Bκαι Cτέτοιαώστε s(s+) 2 = A s + B s+ + C (s+) 2, οπότε = A(s+) 2 +Bs(s+)+Cs. Για s =,έχουμε A =. Για s =,έχουμε = C C = καιγια s =, λαμβάνουμε B =. Άρα, ευρίσκουμε { } { L s(s+) 2 = L s = e t te t. } { { L } L s+ (s+) 2 } 7.5 Λύση προβλημάτων αρχικών τιμών με εφαρμογή του μετασχηματισμού Lplce Μια από τις σημαντικότερες εφαρμογές του μετασχηματισμού Lplce είναι η χρησιμοποίησή του για την επίλυση Π.Α.Τ για Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές. Η διαδικασία επίλυσης συνοψίζεται ως εξής. λαμβάνουμε αρχικά το μετασχηματισμό Lplce και των δύο μελών της Δ.Ε.(οπότε το πρόβλημα ανάγεται σε μία αλγεβρική εξίσωση ως προς Y(s) L{y(t)}), 2. επιλύουμε την αλγεβρική εξίσωση ως προς Y(s), 3. λαμβάνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό και υπολογίζουμε την άγνωστη συνάρτησηως y(t) = L {Y(s)}.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Τονίζουμε ότι το πρώτο βήμα της παραπάνω διαδικασίας είναι κάτι περισσότερο από μία απλή μετατροπή της Δ.Ε. σε αλγεβρική εξίσωση διότι οι αρχικές συνθήκες του Π.Α.Τ. ενσωματώνονται στη μετασχηματισμένη αλγεβρική εξίσωση και έτσι δεν εμφανίζονται αυθαίρετες σταθερές στη λύση. Ακολουθούν ενδεικτικά παραδείγματα για την εφαρμογή της διαδικασίας επίλυσης σε συγκεκριμένα Π.Α.Τ. Παράδειγμα 7.5. Λύστε το Π.Α.Τ. 2y (t) y(t) = e 2t, y() =. Λύση. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Lplce στη Δ.Ε., λαμβάνουμε 2L{y (t)} L{y(t)} = L{e 2t }, οπότε από τον τύπο(7.3.5) και το Παράδειγμα 7.3.4, ευρίσκουμε 2sY(s) 2y() Y(s) = s 2, και μετά και την ενσωμάτωση και της αρχικής συνθήκης ή οπότε (2s )Y(s) = 2+ s 2 Y(s) = 2s 3 (2s )(s 2). Η Y(s)αναλύεταισεαπλάκλάσματαωςεξής 2s 3 (2s )(s 2) = A 2s + B s 2, 2s 3 = A(s 2)+B(2s ). Για s = 2,έχουμε 2 = 3 2 A A = 4 3 καιγια s = 2,έχουμε = 3B B = 3. Επομένως, τελικά προκύπτει { } y(t) = L 2s 3 = 4 { (2s )(s 2) 3 L { = 2 3 L 2s } s 2 = 2 3 e 2 t + 3 e2t. } + 3 L { } s 2 } + 3 L { s 2

7.5. Λ ΥΣΗΠ.Α.Τ.ΜΕΕΦΑΡΜΟΓ ΗΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 29 Παράδειγμα 7.5.2 Λύστε το Π.Α.Τ. y (t) 5y (t)+6y(t) = e t, y() =, y () =. Λύση. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Lplce στη Δ.Ε., ευρίσκουμε L{y (t)} 5L{y (t)}+6l{y(t)} = L{e t }, από όπου με τη βοήθεια των τύπων(7.3.5) και(7.3.6) και του Παραδείγματος 7.3.4, λαμβάνουμε s 2 Y(s) sy() y () 5(sY(s) y())+6y(s) = s και μετά από την ενσωμάτωση των αρχικών συνθηκών ή οπότε (s 2 5s+6)Y(s) = s+ 5+ s Y(s) = s 2 5s+5 (s )(s 2)(s 3). Στη συνέχεια, αναλύουμε την Y(s) σε απλά κλάσματα ως εξής s 2 5s+5 (s )(s 2)(s 3) = A s + B s 2 + C s 3, s 2 5s+5 = A(s 2)(s 3)+B(s )(s 3)+C(s )(s 2). Για s =,έχουμε = A( )( 2) A = 2.Για s = 2,έχουμε = B B =.Για s = 3,έχουμε = 2C C = 2. Ετσι, τελικά λαμβάνουμε { y(t) = L s 2 } 5s+5 (s )(s 2)(s 3) = { } { } 2 L +L { } s s 2 2 L s 3 = 2 et +e 2t 2 e3t.

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Παράδειγμα 7.5.3 Ενα σώμα μάζας m κρέμεται από(ιδανικό) ελατήριο, του οποίου το άνω άκρο είναι πακτωμένο. Το ελατήριο υποτίθεται ότι έχει μηδενική μάζα και η δύναμη επαναφοράς του είναι ανάλογη της επιμήκυνσης. Το σώμα μετακινείται κατακορύφως προς τακάτωκατάμίααρχικήαπόσταση y καιαφήνεταιελεύθερομεαρχικήταχύτητα v.. Περιγράψτε την απομάκρυνση y(t) του σώματος από τη θέση ισορροπίας του με ένα Π.Α.Τ.υπότηνυπόθεσηότιστηνκίνησηυπάρχειδύναμητριβήςλόγωτουαέρα,η οποία είναι ανάλογη της στιγμιαίας ταχύτητας v(t). 2. Λύστε το Π.Α.Τ. με χρήση του μετασχηματισμού Lplce. Λύση. ΕστωότιηαρχήOείναιτοσημείοισορροπίαςκαιy > (y < )δηλώνειμετατόπιση τουσώματοςπροςτακάτω(άνω).οιδυνάμειςπουασκούνταιπάνωστοσώμαείναιηδύναμη επαναφοράς Fτουελατηρίου,ηοποίααπότονόμο Hookeδίνεταιαπό F(t) = ky(t), όπου k > ησταθεράτουελατηρίου,καιηαντίστασητριβής T λόγωτουαέρα,ηοποία δίνεται από T(t) = bv(t) = by (t). ΑπότοδεύτερονόμοτουΝεύτωνα,τοάθροισματωνδυνάμεωναυτώνείναιίσομετο γινόμενο της μάζας του επί την επιτάχυνση (t), επομένως ισχύει δηλαδή η απομάκρυνση y(t) πληρεί τη Δ.Ε. F(t)+T(t) = m(t), my (t)+by (t)+ky(t) =, η οποία είναι γνωστή ως θεμελιώδης εξίσωση του αποσβεννύμενου αρμονικού ταλαντωτή (fundmentl eqution of the dmped hrmonic oscilltor). Άρα, το Π.Α.Τ. το οποίο περιγράφει την κίνηση του σώματος είναι my (t)+by (t)+ky(t) =, y() = y, y () = v. (7.5.) Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Lplce στη Δ.Ε., και έχουμε ml{y (t)}+bl{y (t)}+kl{y(t)} =, από όπου με τη βοήθεια των τύπων(7.3.5) και(7.3.6), λαμβάνουμε m ( s 2 Y(s) sy() y () ) +b(sy(s) y())+ky(s) = και μετά από την ενσωμάτωση των αρχικών συνθηκών ms 2 Y(s) msy mv +bsy(s) by +ky(s) =

7.5. Λ ΥΣΗΠ.Α.Τ.ΜΕΕΦΑΡΜΟΓ ΗΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 22 ή η οποία γράφεται ως Y(s) = sy + b m y +v s 2 + b m s+ k, m Y(s) = sy +α (s+β) 2 + γ, όπου α = b m y +v, β = b 2m και γ = k m b2 4m 2. Ο τρόπος αντιστροφής της Y(s) και τα χαρακτηριστικά της συνάρτησης απομάκρυνσης y(t), η οποία περιγράφει την κίνηση του σώματος, εξαρτώνται από το πρόσημο του συντελεστή γ, για το οποίο διακρίνουμε τις εξής τρεις περιπτώσεις.. γ = γ 2 > Η Y(s)έχει,τότε,τημορφή ηοποίαγράφεταιωςεξής ήισοδύναμα Y(s) = sy +α (s+β) 2 +γ 2, Y(s) = y (s+β)+α βy (s+β) 2 +γ 2 s+β Y(s) = y (s+β) 2 +γ + α βy 2 (s+β) 2 +γ 2. Λαμβάνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce και με τη βοήθεια της Πρότασης 7.3.2 και των αποτελεσμάτων του Παραδείγματος(7.3.5), ευρίσκουμε { } y(t) = y L s+β (s+β) 2 + α βy { } L γ +γ 2 γ (s+β) 2 +γ 2 = y e βt cos(γt)+ α βy e βt sin(γt) γ = e βty γcos(γt)+(α βy )sin(γt). γ Επομένως, η λύση ταλαντώνεται διότι περιέχει ημιτονικούς και συνημιτονικούς όρους. Τοπλάτος,όμως,τωνταλαντώσεωνφθίνεισυνεχώςλόγωτουπαράγοντα e βt = e b 2m t. Το σύστημα, σε αυτή την περίπτωση, καλείται υποαποσβεννύμενο(underdmped).

222 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ 2. γ = γ 2 < Η Y(s)έχει,τότε,τημορφή Y(s) = sy +α (s+β) 2 γ 2, και, ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία με την περίπτωση, λαμβάνουμε y(t) = e βty γcosh(γt)+(α βy )sinh(γt). γ Τώρα, η λύση δεν ταλαντώνεται διότι περιέχει μόνο εκθετικούς όρους. Το σύστημα σε αυτή την περίπτωση καλείται υπεραποσβεννύμενο(overdmped). Από φυσικής πλευράς, αυτό σημαίνει ότι η δύναμη τριβής είναι μεγάλη συγκρινόμενη με τη δύναμη επαναφοράς του ελατηρίου και έτσι η μάζα μετακινείται αργά προς τη θέση ισορροπίας της. 3. γ = Η Y(s)έχειτημορφή ηοποίαγράφεταιωςεξής Y(s) = sy +α (s+β) 2, Y(s) = y s+β + α βy (s+β) 2. Λαμβάνουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce και με τη βοήθεια των αποτελεσμάτων των Παραδειγμάτων(7.3.5) και(7.3.8), ευρίσκουμε { } { } y(t) = L y +L α βy s+β (s+β) 2 = y e βt +(α βy )te βt = e βt [y +(α βy )t]. Η λύση και εδώ δεν ταλαντώνεται και το σύστημα τώρα καλείται κρίσιμα αποσβεννύμενο (criticlly dmped). Το σώμα έρχεται στη θέση ισορροπίας του στον ελάχιστο χρόνο και δενπερνάειπάνωαπότηθέσηαυτή.

7.5. Λ ΥΣΗΠ.Α.Τ.ΜΕΕΦΑΡΜΟΓ ΗΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 223 Παρατήρηση 7.5. Οπως σε κάθε ταλαντούμενο σύστημα, οι ταλαντώσεις δεν μπορούν να διατηρηθούν για πάντα λόγω της βαθμιαία αποσβεννύμενης μηχανικής ενέργειας του συστήματος, εκτός αν το σύστημα τροφοδοτηθεί με ενέργεια εξωτερικά. Για παράδειγμα, αν εφαρμοστεί μία εξωτερική δύναμη f(t), τότε το Π.Α.Τ.(7.5.2) παίρνει τη μορφή my (t)+by (t)+ky(t) = f(t), y() = y, y () = v, (7.5.2) και οι λύσεις του καλούνται εξαναγκασμένες ταλαντώσεις(forced oscilltions). Παρατήρηση 7.5.2 Το ηλεκτρικό ανάλογο του μηχανικού συστήματος του Παραδείγματος 7.5.3 είναι το RLC-κύκλωμα, το οποίο παρουσιάστηκε στην Παράγραφο.2, και μοντελοποιείται από το ακόλουθο Π.Α.Τ. με άγνωστη τη συνάρτηση φορτίου q(t) στους οπλισμούς του πυκνωτή Lq (t)+rq (t)+ C q(t) = v(t), q() = q, q () = i. (7.5.3) ΠαρατηρούμεότιηΔ.Ε.τουΠ.Α.Τ.(7.5.3)ανάγεταισεΔ.Ε.τηςμορφής(7.5.2)για L = m, R = bκαι C = k,καιέτσιημελέτητουηλεκτρικούκυκλώματοςείναιανάλογημεεκείνη του μηχανικού συστήματος. Παράδειγμα 7.5.4 Ενα πηνίο με αυτεπαγωγή L και ένας πυκνωτής χωρητικότητας C συνδέονται σε σειρά με μία πηγή τάσης {, t < τ v(t) = v, t τ. (7.5.4) Βρείτετησυνάρτησηφορτίου q(t)αν q() = και i() =. Λύση. Η τάση v γράφεται με τη βοήθεια της βηματικής συνάρτησης v(t) = v u(t τ). Ετσι, με βάση τα αναφερόμενα για τη μοντελοποίηση του προβλήματος στην Παράγραφο.2 και λαμβάνοντας υπόψη ότι εδώ η αντίσταση των στοιχείων του κυκλώματος είναι ίση με μηδέν, συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση φορτίου q(t) είναι λύση του Π.Α.Τ. Lq (t)+ C q(t) = v u(t τ), q() =, q () =. (7.5.5)

224 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Λαμβάνουμε το μετασχηματισμό Lplce της Δ.Ε. και με τη βοήθεια των τύπων(7.3.6) και(7.3.3) και χρησιμοποιώντας και τις αρχικές συνθήκες, έχουμε από την οποία προκύπτει Ls 2 Q(s)+ C Q(s) = v e τs s, Q(s) = v e τs L s ( s 2 + ), LC και μετά από ανάλυση της τελευταίας σε απλά κλάσματα παίρνουμε Q(s) = v C ( e τs s ) se τs s 2 +. LC Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce και χρησιμοποιώντας τον τύπο (7.3.3) και το αποτέλεσμα του Παραδείγματος(7.3.5), ευρίσκουμε q(t) = v Cu(t τ) = v C [ ( )] t τ cos LC, t < τ [ )] cos( t τ LC, t τ. Παρατήρηση 7.5.3 Από το τελευταίο παράδειγμα φαίνεται καθαρά η πραγματική δύναμη του μετασχηματισμού Lplce: το ότι η συνάρτηση δευτέρου μέλους v(t) δεν είναι συνεχής θαήτανπρόβλημαγιατηνεπίλυσητουπ.α.τ.μετιςμεθόδουςπουέχουναναλυθείστα προηγούμενα κεφάλαια. Με τη γραφή όμως των συναρτήσεων μέσω της βηματικής συνάρτησης και τη χρήση του μετασχηματισμού Lplce είναι εφικτή η επίλυση Π.Α.Τ. αυτής της μορφής. Παράδειγμα 7.5.5 Βρείτε τη λύση του συστήματος των Δ.Ε. πρώτης τάξης y (t)+x(t) = t x (t) y(t) =, ηοποίαικανοποιείτιςαρχικέςσυνθήκες x() = και y() =.

7.5. Λ ΥΣΗΠ.Α.Τ.ΜΕΕΦΑΡΜΟΓ ΗΤΟΥΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ Υ LAPLACE 225 Λύση. Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Lplce στις Δ.Ε. και λαμβάνουμε L{y (t)}+l{x(t)} = L{t} L{x (t)} L{y(t)} = L{}, από όπου χρησιμοποιώντας τον τύπο(7.3.5) και τα αποτελέσματα των Παραδειγμάτων 7.2. και 7.2.2, έχουμε sy(s) y()+x(s) = s 2 sx(s) x() Y(s) = s και με ενσωμάτωση των αρχικών συνθηκών sy(s)+x(s) = + s 2 sx(s) Y(s) = s + ή X(s) = s 2 + s+ s 2 + Y(s) = s s 2 +. Εφαρμόζουμε τώρα τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce και λαμβάνουμε x(t) = L { s 2 }+L { s+ s 2 + } y(t) = L { s s 2 + } ή x(t) = L { s }+L { s 2 s 2 + }+L { s 2 + }, y(t) = L { s s 2 + } L { s 2 + } από την οποία, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα των Παραδειγμάτων(7.2.2) και(7.3.5), τελικά προκύπτει x(t) = t+cost+sint y(t) = cost sint.

226 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Παράδειγμα 7.5.6 Βρείτε τη λύση του συστήματος των Δ.Ε. δεύτερης τάξης y (t) 4y(t)+x(t) = e t x (t) x(t)+y(t) = e 2t, ηοποίαικανοποιείτιςαρχικέςσυνθήκες x() =, y() =, x () = και y () = 2. Λύση. Εφαρμόζουμε το μετασχηματισμό Lplce στις Δ.Ε. και έχουμε L{y (t)} 4L{y(t)}+L{x(t)} = L{e t } L{x (t)} L{x(t)}+L{y(t)} = L{e 2t } από όπου, χρησιμοποιώντας τον τύπο(7.3.6) και το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 7.3.4, λαμβάνουμε και με ενσωμάτωση των αρχικών συνθηκών ή οπότε s 2 Y(s) sy() y () 4Y(s)+X(s) = s+ s 2 X(s) sx() x () X(s)+Y(s) = s 2 (s 2 4)Y(s)+X(s) = s+ +s+2 (s 2 )X(s)+Y(s) = s 2 +s [(s 2 )(s 2 4) ]Y(s) = (s2 )(s 2 4) s 2, (s 2 )X(s) = s 2 +s Y(s) Y(s) = s 2 X(s) = s+ Εφαρμόζουμε τώρα τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce και λαμβάνουμε y(t) = L { s 2 }, x(t) = L { s+ } από την οποία, με τη βοήθεια του αποτελέσματος του Παραδείγματος(7.3.4), τελικά προκύπτει y(t) = e 2t x(t) = e t..,

7.6. ΣΥΝ ΕΛΙΞΗΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ 227 7.6 Συνέλιξη και εφαρμογές Ορισμός7.6. Εστωδύοσυναρτήσεις f, g : [,+ ) R.Ονομάζουμεσυνέλιξη f g τωνσυναρτήσεων fκαι gτησυνάρτησηπουορίζεταιαπό (f g)(t) t f(t τ)g(τ)dτ. Προφανώς, ισχύει ότι (g f)(t) t f(τ)g(t τ)dτ = (f g)(t). Για το μετασχηματισμό Lplce της συνέλιξης δύο συναρτήσεων ισχύει το ακόλουθο βασικό Θεώρημα7.6. Εστωσυναρτήσεις f,g : [,+ ) Rμεμετασχηματισμούς Lplce L{f(t)} = F(s), s > α και L{g(t)} = G(s), s > α 2,αντιστοίχως. Τότε,υπάρχειο μετασχηματισμός Lplce της f g και ισχύει L{(f g)(t)} = F(s)G(s), s > mx{α,α 2 }. Απόδειξη. Από τον ορισμό(7.2.2) του μετασχηματισμού Lplce, έχουμε F(s)G(s) = F(s) g(τ)e sτ dτ = g(τ)f(s)e sτ dτ, από την οποία χρησιμοποιώντας την(7.3.3), λαμβάνουμε [ ] F(s)G(s) = g(τ) u(t τ)f(t τ)e st dt dτ. Επειδή οι συνάρτήσεις f και g είναι τοπικά τμηματικά συνεχείς και εκθετικής τάξης, μπορούμε στην τελευταία να εναλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης, οπότε προκύπτει [ ] F(s)G(s) = u(t τ)f(t τ)g(τ)dτ e st dt, καιεπειδήησυνάρτηση u(t τ) = u( (τ t))είναιμηδένγια τ > t,τελικάευρίσκουμε [ t ] F(s)G(s) = f(t τ)g(τ)dτ e st dt = (f g)(t)e st dt.

228 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Άμεσες συνέπειες του τελευταίου θεωρήματος είναι οι εξής Πόρισμα 7.6. L {F(s)G(s)} = (f g)(t), t. Πόρισμα 7.6.2 { t } L{(f )(t)} = L f(τ)dτ = s F(s). Παράδειγμα 7.6. Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης H(s) = s(s 2 +4). Λύση. Θεωρούμε την παρακάτω γραφή της δοθείσας συνάρτησης σε μορφή γινομένου H(s) = s(s 2 +4) = F(s)G(s) = s 2 +4 s, γιατηνοποίαέχουμεότι { } f(t) = L {F(s)} = L s 2 = +4 2 sin(2t) { } g(t) = L {G(s)} = L =. s Επομένως, από το Πόρισμα 7.6., λαμβάνουμε h(t) = L {H(s)} = (f g)(t) = 2 t sin(2τ)dτ = 4 ( cos(2t)). Παράδειγμα 7.6.2 Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης H(s) = (s 2 + 2 ) 2,.

7.6. ΣΥΝ ΕΛΙΞΗΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ 229 Λύση. Η συνάρτηση H(s) γράφεται σε μορφή γινομένου H(s) = F(s)G(s) = s 2 + 2 s 2 + 2, γιατηνοποίαέχουμεότι f(t) = g(t)με { } f(t) = L {F(s)} = L s 2 + 2 Ετσι, από το Πόρισμα 7.6., ευρίσκουμε h(t) = L {H(s)} = (f f)(t) = sin(t). = t 2 sin(τ) sin((t τ))dτ = 2 3 [sin(t) tcos(t)]. Παράδειγμα 7.6.3 Βρείτε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce της συνάρτησης H(s) = s (s 2 + 2 )(s 2 +b 2, ±b, b. ) Λύση. Θεωρούμε την παρακάτω γραφή της δοθείσας συνάρτησης σε μορφή γινομένου H(s) = s (s 2 + 2 )(s 2 +b 2 ) = F(s)G(s) = s 2 +b 2 για την οποία έχουμε { } f(t) = L {F(s)} = L s 2 +b 2 g(t) = L {G(s)} = L { s s 2 + 2 Ετσι, από το Πόρισμα 7.6., ευρίσκουμε h(t) = L {H(s)} = (f g)(t) = b = 2b t t s s 2 + 2, = b sin(bt) } = cos(t). sin(bτ) cos((t τ))dτ [sin(t+(b )τ) + sin((b+)τ t)] dτ = cos(t) cos(bt) b 2 2.

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Η χρήση του μετασχηματισμού Lplce της συνέλιξης συναρτήσεων βρίσκει σημαντικές εφαρμογές στην επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων συνελικτικού τύπου, οι οποίες είναι εξισώσεις της μορφής y(t) = f(t)+ t k(t τ)y(τ)dτ, (7.6.) όπου y είναι η άγνωστη συνάρτηση και f, k είναι γνωστές συναρτήσεις. Τέτοιες ολοκληρωτικές εξισώσεις μετασχηματίζονται σε αλγεβρικές χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 7.6., όπως φαίνεται στο ακόλουθο Παράδειγμα 7.6.4 Λύστε την ολοκληρωτική εξίσωση y(t) = 4t 3 t sin(t τ)y(τ)dτ. Λύση. Η ολοκληρωτική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα, με βάση τον ορισμό της συνέλιξης συναρτήσεων, ως εξής y(t) = 4t 3 (y(t) sin(t)). Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Lplce και χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 7.6., ευρίσκουμε Y(s) = 4 s 2 3Y(s) s 2 +, οπότε Y(s) = 4(s2 +) s 2 (s 2 +4) = s 2 + 3 s 2 +4, και έτσι, τελικά, με εφαρμογή του αντιστρόφου μετασχηματισμού Lplce, λαμβάνουμε y(t) = t+ 3 2 sin(2t). Επίσης, ολοκληροδιαφορικές εξισώσεις, οι οποίες περιλαμβάνουν παραγώγους και ολοκληρώματα της άγνωστης συνάρτησης, μπορούν να λυθούν με εφαρμογή του μετασχηματισμού Lplce της συνέλιξης και της παραγώγισης συναρτήσεων, όπως φαίνεται στα επόμενα παραδείγματα. Παράδειγμα 7.6.5 Λύστε την ολοκληροδιαφορική εξίσωση L di(t) dt + C t i(τ)dτ + Q C = E e t,

7.6. ΣΥΝ ΕΛΙΞΗΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ 23 ηοποίαπροκύπτειόταντάση E e t εφαρμοστείσταάκραενόςπυκνωτή Cκαιενόςπηνίου Lπουείναισυνδεδεμένασεσειρά,έχονταςυποθέσειότιτηχρονικήστιγμή t = δενυπάρχει ρεύμαενώοπυκνωτήςείναιφορτισμένοςμεφορτίο Q.Ηλύση i(t)τηςεξίσωσηςδίνειτην ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα. Λύση. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Lplce και χρησιμοποιώντας το Πόρισμα 7.6.2, ευρίσκουμε LsI(s) Li()+ Cs I(s)+ Q Cs = E s+, από όπου ενσωματώνοντας την αρχική συνθήκη i() = και λύνοντας ως προς I(s), προκύπτει ή I(s) = E L( 2 + LC ) I(s) = E L [ s (s+) ( s 2 + ) Q LC LC s+ + s s 2 + LC LC ) + LC s 2 + LC ] s 2 + Q LC LC s 2 +. LC Τελικά, με εφαρμογή του αντιστρόφου μετασχηματισμού Lplce, λαμβάνουμε [ ( ) E t i(t) = L( 2 + e t +cos + ( )] t sin LC LC LC Q ( ) t sin. LC LC Παράδειγμα 7.6.6 Λύστε την ολοκληροδιαφορική εξίσωση Ri(t)+ C t i(τ)dτ = e(t), όπου e(t) το τετραγωνικό κύμα που φαίνεται στο Σχήμα 7.9. Λύση. Το τετραγωνικό κύμα γράφεται ως e(t) = E [u(t) u(t τ)+u(t 2τ)...]. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό Lplce, χρησιμοποιώντας το Πόρισμα 7.6.2, καθώς και την Πρόταση 7.3.5, λαμβάνουμε RI(s)+ ( ) Cs I(s) = E s e τs + e 2τs..., s s

232 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Σχήμα 7.9: Γραφική παράσταση του τετραγωνικού κύματος e(t) του Παραδείγματος 7.6.6. από όπου λύνοντας ως προς I(s), προκύπτει I(s) = E /R s+ RC ( e τs +e 2τs... ), οπότε, με εφαρμογή του αντιστρόφου μετασχηματισμού Lplce, ευρίσκουμε i(t) = E R [e t RC u(t τ)e t τ RC +u(t 2τ)e t 2τ RC... ].

7.7. Π ΙΝΑΚΕΣΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΩΝ LAPLACE 233 7.7 Πίνακες μετασχηματισμών Lplce f(t) F(s) = L{f(t)} e t f(t) F(s ) f(t) F ( ) s f (t) sf(s) f() f (t) s 2 F(s) sf() f () f (n) (t) s n F(s) s n f()... sf (n 2) () f (n ) () t n f(t) ( ) n F (n) (s) (f g)(t) F(s)G(s) t f(τ)dτ u(t τ)f(t τ) F(s) s e τs F(s) f(t+t) = f(t) e st T e st f(t)dt

234 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ f(t) F(s) = L{f(t)} t s, s > s 2, s > t n n! s n+, s > e t s, s > sin(t) cos(t) s 2 + 2, s > s s 2 + 2, s > e bt sin(t) e bt cos(t) (s b) 2 + 2, s b (s b) 2 + 2, s > b s > b t n e t n! (s ) n+, s > tsin(t) tcos(t) u(t τ) 2s (s 2 + 2 ) 2, s > s 2 2 (s 2 + 2 ) 2, s > e sτ s, s >

7.8. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 235 7.8 Ασκήσεις Υπολογίστε το μετασχηματισμό Lplce των συναρτήσεων Άσκηση7.8. f(t) = t 2 t+2 Άσκηση7.8.2 f(t) = te 3t cost Υπολογίστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Lplce των συναρτήσεων Άσκηση7.8.3 F(s) = s+2 s 2 +s+ Άσκηση7.8.4 F(s) = s 3 s 2 +5s+6 Άσκηση7.8.5 F(s) = s 2 2s+5 Λύστε τα παρακάτω Π.Α.Τ. με χρήση του μετασχηματισμού Lplce Άσκηση7.8.6 y +y = cost, y() = 3 Άσκηση7.8.7 y +3y = e t, y() = Άσκηση7.8.8 y 4y +5y = 2t, y() =, y () = Άσκηση7.8.9 y +y = t 2 +t, y() =, y () = Άσκηση7.8. y +2y +y = (t 2 )e t, y() =, y () = Άσκηση7.8. y 3y +3y y = 2e t, y() =, y () =, y () = Άσκηση7.8.2 y 2y +5y = t cost+e t, y() =, y () = Άσκηση7.8.3 y y +y = e t +2cost+t, y () =, y () = 2 Λύστε τα συστήματα Δ.Ε. με χρήση του μετασχηματισμού Lplce

236 ΚΕΦΑΛΑΙΟ7. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜ ΟΣ LAPLACEΚΑΙΕΦΑΡΜΟΓ ΕΣ Άσκηση 7.8.4 με x() =, y() =. y +2x = e t x 2y = e t Άσκηση 7.8.5 με x() = 3, y() =. 2y +x 3x = e 2t 2x 4y 3x = 3e t 3e 2t Άσκηση 7.8.6 με x() =, y() =. 2x 3y = x 2y = t Άσκηση 7.8.7 με x() =, y() = z() =. x y = x+y +z = x y +z = 2sint Άσκηση 7.8.8 Λύστε την ολοκληρωτική εξίσωση y(t) = + t cos(t τ)y(τ)dτ.

Βιβλιογραφία [] P. K. Kuhfittig, Introduction to the Lplce Trnsform, Plenum Press, New York, 978. [2] J. Lebl, Differentil Equtions for Engineers, University of Illinois t Urbn- Chmpign, 24. [3] B. E. Shpiro, Lecture Notes in Differentil Equtions, Cliforni Stte University, Northridge, 2. [4]Λ.Ν.Τσίτσας,ΕφαρμοσμένοςΑπειροστικόςΛογισμός,2 η Εκδοση,ΕκδόσειςΣυμμετρία, Αθήνα 23. 237