Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Transcript

1 Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace και των ιδιοτήτων του. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. kkiritsis@vitali.gr 1

2 Κ. Κυρίτσης 2 Μετασχηµατισµός Laplace Περιεχόµενα 1 Ορισµός Βασικοί Μετασχηµατισµοί Laplace Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Laplace Γραµµικότητα η Ιδιότητα Μετατόπισης η Ιδιότητα Μετατόπισης Αλλαγή Κλίµακας Μετασχηµατισµός Παραγώγων Μετασχηµατισµός Ολοκληρωµάτων Μετασχηµατισµός µε t n ιαίρεση µε t Περιοδικές Συναρτήσεις Οριο Θεώρηµα Αρχικής Τιµής Θεώρηµα Τελικής Τιµής Μετασχηµατισµός Σειράς Εφαρµογές Υπολογισµός Ολοκληρωµάτων Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace Βασικοί Αντίστροφοι Μετασχηµατισµοί Laplace Ιδιότητες Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Γραµµικότητα η Ιδιότητα Μετατόπισης η Ιδιότητα Μετατόπισης Αλλαγή Κλίµακας Μετασχηµατισµός Παραγώγων Μετασχηµατισµός Ολοκληρωµάτων Πολλαπλασιασµός µε δύναµη s n ιαίρεση µε s Συνέλιξη Υπολογισµός Αντιστρόφου Μετασχηµατισµού 9 7 Επίλυση ιαφορικών Εξισώσεων µε χρήση Μετασχηµατισµού Laplace 9

3 Κ. Κυρίτσης 3 Μετασχηµατισµός Laplace 1 Ορισµός Θεωρούµε µια συνάρτηση f(t). Ορίζουµε µια άλλη συνάρτηση F(s) να είναι F(s) = e st f(t)dt. (1) Ονοµάζουµε την F(s) µετασχηµατισµό Laplace της f(t). Χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό F(s) = L{f(t)} = e st f(t)dt. Βασική προϋπόθεση είναι το παραπάνω ολοκλήρωµα να συγκλίνει και γι αυτό είναι αρκετό η f(t) να είναι συνεχής ή κατά τµήµατα συνεχής. Αν για κάποια συνάρτηση δεν συγκλίνει ή δεν υπάρχει, τότε αυτή η συνάρτηση δεν µπορεί να µετασχηµατιστεί κατά Laplace. 1.1 Βασικοί Μετασχηµατισµοί Laplace Με ϐάση τον ορισµό µπορούµε να δείξουµε για τους µετασχηµατισµούς Laplace µερικών απλών συναρτήσεων ότι L{1} = 1 s, (2) L{t} = 1 s2, (3) L{t n } = n! Γ(n + 1) =, sn+1 s n+1 (4) L{e at } = 1 s a, (5) a L{sin at} = s 2 + a2, (6) L{cosat} = s s 2 + a2, (7) L{sinh at} = L{cosh at} = a s 2 a2, (8) s s 2 a2. (9)

4 Κ. Κυρίτσης 4 Μετασχηµατισµός Laplace 2 Ιδιότητες Μετασχηµατισµού Laplace Στα παρακάτω ϑα ϑεωρήσουµε ότι F(s) = L{f(t)}, G(s) = L{g(t)}, και ότι α, β, a, b είναι σταθερές. Είναι λοιπόν, 2.1 Γραµµικότητα Ο µετασχηµατιµσός Laplace της αf(t) + βg(t) είναι L{αf(t) + βg(t)} = αl{f(t)} + βl{g(t)}. (1) 2.2 1η Ιδιότητα Μετατόπισης Ισχύει ότι 2.3 2η Ιδιότητα Μετατόπισης Ισχύει ότι αν τότε ϑα είναι L{e at f(t)} = F(s a). (11) { f(t a), t > a g(t) =, t < a, (12) L{g(t)} = e as F(s). (13) 2.4 Αλλαγή Κλίµακας L{f(at)} = 1 ( s ) a F. (14) a 2.5 Μετασχηµατισµός Παραγώγων Είναι L{f (t)} = sf(s) f(), (15) L{f (t)} = s 2 F(s) sf() f () (16) και γενικότερα L{f (n) (t)} = s n F(s) s n 1 f() s n 2 f (1) ()... sf (n 2) () f (n 1) (). (17)

5 Κ. Κυρίτσης 5 Μετασχηµατισµός Laplace 2.6 Μετασχηµατισµός Ολοκληρωµάτων { t } L f(u)du = F(s) s. (18) 2.7 Μετασχηµατισµός µε t n 2.8 ιαίρεση µε t L{t n f(t)} = ( 1) n dn ds nf(s) = ( 1)n F (n) (s). (19) { } f(t) L = t 2.9 Περιοδικές Συναρτήσεις Αν η f(t) είναι περιοδική συνάρτηση µε περίοδο T, τότε 2.1 Οριο Ισχύει ότι L{f(t)} = T s F(u)du. (2) e st f(t)dt. 1 e st (21) lim F(s) =. (22) s 2.11 Θεώρηµα Αρχικής Τιµής Αν υπάρχει το όριο τότε είναι lim f(t) t lim (sf(s)) = lim f(t). (23) s Το ϑεώρηµα γενικεύεται στο t lim s F(s) G(s) = 1, (24) αν f(t) lim = 1. (25) t g(t)

6 Κ. Κυρίτσης 6 Μετασχηµατισµός Laplace 2.12 Θεώρηµα Τελικής Τιµής Είναι µε την προϋπόθεση ότι το υπάρχει. Ποιό γενικά, αν lim (sf(s)) = lim f(t) (26) s lim f(t) t t F(s) lim = 1, (27) s G(s) lim t 2.13 Μετασχηµατισµός Σειράς Αν τότε είναι 3 Εφαρµογές f(t) = F(s) = f(t) = 1. (28) g(t) a n t n, n= n!a n s n= 3.1 Υπολογισµός Ολοκληρωµάτων lim F(s) = lim s s n+1. (29) e st f(t)dt = f(t)dt = F(). (3) 4 Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace Ας υποθέσουµε ότι για δύο συναρτήσεις f(t) και F(s) ισχύει ότι F(s) = L{f(t)}. Τότε ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace ορίζεται να είναι f(t) = L 1 {F(s)}. (31) Με άλλα λόγια είναι η αντίστροφη πράξη από τον µετασχηµατισµό Laplace.

7 Κ. Κυρίτσης 7 Μετασχηµατισµός Laplace 4.1 Βασικοί Αντίστροφοι Μετασχηµατισµοί Laplace Με ϐάση τους ϐασικούς µετασχηµατισµούς Laplace µπορούµε να ϐρούµε µερικούς ϐασικούς αντιστρόφους µετασχηµατισµούς. Είναι { } 1 L 1 = 1 (32) s L 1 { 1 s 2 } = t, (33) { } 1 L 1 = tn s n+1 n!, (34) { } 1 L 1 = e at, s a (35) { } 1 L 1 = sin(at), s 2 + a 2 a (36) { } s L 1 = cos(at), s 2 + a 2 (37) { } 1 L 1 = sinh(at) s 2 a 2 a (38) { } s L 1 = cosh(at). s 2 a 2 (39) 5 Ιδιότητες Αντίστροφου Μετασχηµατισµού Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace έχει ιδιότητες παρόµοιες µε αυτές του µετασχηµατισµού Laplace. Είναι δε 5.1 Γραµµικότητα L 1 {αf(s) + βg(s)} = αl 1 {F(s)} + βl 1 {G(s)} = αf(t) + βg(t). (4) 5.2 1η Ιδιότητα Μετατόπισης L 1 {F(s a)} = e at f(t). (41)

8 Κ. Κυρίτσης 8 Μετασχηµατισµός Laplace 5.3 2η Ιδιότητα Μετατόπισης L { 1 e as F(s) } { f(t), t > a, =, t < a. (42) 5.4 Αλλαγή Κλίµακας L 1 {F(as)} = 1 ( ) t a f. (43) a 5.5 Μετασχηµατισµός Παραγώγων L { 1 F (n) (s) } { } d = L 1 n ds nf(s) = ( 1) n t n f(t). (44) 5.6 Μετασχηµατισµός Ολοκληρωµάτων { } L 1 F(u)du = f(t) t 5.7 Πολλαπλασιασµός µε δύναµη s n s. (45) L 1 {sf(s)} = f (t), (46) µόνο όταν F(s) = L{f(t)} ΚΑΙ f(t = ) =. ιαφορετικά, ή δ(t) είναι η συνάρτηση δέλτα του Dirac. 5.8 ιαίρεση µε s 5.9 Συνέλιξη L 1 {sf(s)f()} = f (t) (47) L 1 {sf(s)} = f (t) + δ(t)f(). (48) L 1 { 1 s F(s) } = t Αν L 1 {F(s)} = f(t) και L 1 {G(s)} = g(t), τότε L 1 {F(s)G(s)} = t F(u)du. (49) f(u)g(t u)du F G. (5) Σηµαντική ιδιότητα της συνέλιξης είναι ότι F G = G F.

9 Κ. Κυρίτσης 9 Μετασχηµατισµός Laplace 6 Υπολογισµός Αντιστρόφου Μετασχηµατισµού Ο υπολογισµός του αντιστρόφου µετασχηµατισµού Laplace δεν είναι εύκολος. Οι τρόποι που έχουµε στην διάθεσή µας είναι 1. Χωρισµός σε απλά κλάσµατα. 2. Αν τότε F(s) = 3. Χρήση διαφορικών εξισώσεων. a n s n, n= L 1 {F(s)} = f(t) = 4. Παραγώγιση ώς προς κάποια παράµετρο. a n t n. (51) n! 5. Χρήση µιγαδικού λογισµού. Ο τύπος που δίνει το αντίστροφο µετασχη- µατισµό Laplace είναι όπου t >. f(t) = γ+i γ i n= e st F(s)ds, (52) 7 Επίλυση ιαφορικών Εξισώσεων µε χρήση Μετασχηµατισµού Laplace Το πρόβληµα F ( {f (n) (t)}, f(t), t; {λ} ) = όταν είναι γνωστές οι αρχικές συνθήκες f(), f (),...,f (n 1) () µπορεί να λυθεί παίρνοντας τον µετασχηµατισµό Laplace της εξίσωσης και καταλήγοντας σε κάποια αλγεβρική εξίσωση ως προς τον µετασχηµατισµό Laplace της άγνωστης συνάρτησης. Στην περίπτωση µεταβλητών συντελεστών παίρνουµε διαφορική εξίσωση για τον µετασχηµατισµό Laplace της άγνωστης συνάρτησης, συνήθως απλούστερη να λυθεί. Λύνοντας αυτή την εξίσωση και µε χρήση του αντιστρόφου µετασχηµατισµού, ϐρίσκουµε την άγνωστη συνάρτηση f(t).

10 Κ. Κυρίτσης 1 Μετασχηµατισµός Laplace ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

11 Κ. Κυρίτσης 11 Μετασχηµατισµός Laplace Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

12 Κ. Κυρίτσης 12 Μετασχηµατισµός Laplace Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ