Τά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατενεμημένες Επιδράσεις. (DISTRIBUTED LAG MODELS). Εξειδίκευση Υποδειγμάτων με ιαχρονικά Κατανεμημένες Χρονικά Επιδράσεις Πρόκειται για την απλούστερη μορφή ενός Υποδείγματος με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Για να κατανοήσουμε την χρησιμότητα αυτών των υποδειγμάτων θα αναφέρουμε ένα παράδειγμα που αναφέρεται στα περισσότερα βιβλία Εισαγωγικής Οικονομετρίας. Πρόκειται για την σχέση δαπανών για ιαφήμιση ( x ) και τις Πωλήσεις ( ) γραφική συμμεταβλητότητα αυτών των δύο οικονομικών μεγεθών. ενός προϊόντος. Στο (Χρονο)ιάγραμμα G. δίδουμε την 35 3 5 SALES 5 ADS 5 9 95 9 95 93 935 94 945 95 955 96 (Χρονο)ιάγραμμα G.6 απάνες για ιαφήμιση και οι Πωλήσεις ενός Προϊόντος εν υπάρχει καμιά αμφιβολία ότι τα δύο αυτά μεγέθη αλληλοεπηρεάζονται μεταξύ τους. Οι αλληλοεπιδράσεις αυτές δεν είναι μόνο στιγμιαίες αλλά διαχέονται στον χρόνο. Στο (Σχε)ιάγραμμα 5. παρουσιάζουμε γραφικά ένα πιθανό σχήμα αλληλεπιδράσεων μεταξύ αυτών των δύο μεγεθών. Με βάση το Σχεδιάγραμμα αυτό τόσο οι πωλήσεις όσο και οι δαπάνες για διαφημίσεις αλληλοεπηρεάζονται μεταξύ τους, και επιπλέον τόσο οι πωλήσεις όσο και οι δαπάνες για διαφήμιση εξαρτώνται από τις τιμές τους στο παρελθόν (Με βάση το (Σχε)ιάγραμμα G. επηρεάζονται από τις δυο προηγούμενες χρονικές περιόδους ). (Σχε)ιάγραμμα G.7 ιαχρονικές Αλληλεπιδράσεις μεταξύ των Πωλήσεων ενός προϊόντος ( ) και των απανών για την ιαφήμιση του ( x )
Θα μπορούσαμε τις αλληλεπιδράσεις του παραπάνω Σχεδιαγράμματος να τις προσεγγίσουμε αλγεβρικά με ένα σύστημα στοχαστικών εξισώσεων ως εξής : (,,,,,,, ) = f x x x x + ε (5.) 3 3 (,,,,,, ) x = f x x x + ε (5.) 3 3 Με βάση το γραμμικό σύστημα των εξισώσεων (5.) και (5.) υπάρχει ένα ανατροφοδοτικό σχήμα αλληλεξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών και x. Όπως θα δούμε σε επόμενα μαθήματα, με βάση το (5.) και (5.) μπορούμε να εκτιμήσουμε τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των πωλήσεων και των δαπανών για διαφήμιση. Από αυτές τις εκτιμήσεις μπορούμε να σχηματοποιήσουμε αριθμητικά αυτές τις διαχρονικές επιδράσεις μεταξύ αυτών των δυο μεγεθών. Στο (Σχε)ιάγραμμα 5. παρουσιάζουμε γραφικά αυτές τις διαχρονικές αλληλεπιδράσεις..5 ->.7 ->.4.6.5.3.4..3.... 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 periods. 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 periods.6 ->.7 ->.5.6.4.5.4.3.3..... 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 periods. 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 periods (Σχε)ιάγραμμα G.8 ιαχρονικές Αλληλεπιδράσεις μεταξύ των Μεταβλητών και Το υπόδειγμα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Υστερήσεις προκύπτουν και από το (Σχε)ιάγραμμα 5. και το Σύστημα των Εξισώσεων (5.)-(5.). Από το (Σχε)ιάγραμμα 5. μπορούμε να λάβουμε το μέρος : x. (Σχε)ιάγραμμα G.9. ιαχρονική Επίδραση των απανών για την ιαφήμιση του ( x ) στίς Πωλήσεις ενός προϊόντος ( ). Αλγεβρική Προσέγγιση του Σχεδιαγράμματος G..
Στο (Σχε)ιάγραμμα αυτό αντιστοιχεί η εξίσωση : (,,, ) = f x x x x + ε (5.3) 3 Το υπόδειγμα αυτό είναι μια από τις βασικές μορφές ενός υποδείγματος με διαχρονικά κατανεμημένες υστερήσεις.με βάση το (Σχε)ιάγραμμα 5. η μεταβλητή δέχεται επιδράσεις από την μεταβλητή x την τρέχοντα περίοδο (), την προηγούμενη περίοδο (-), την προ-προηγούμενη περίοδο (-) κ.τ.λ. Έχουμε δηλαδή μια διάχυση των επιδράσεων της μεταβλητής επιδράσεις μπορούμε να τις προσεγγίσουμε με τις σχέσεις : x στην στον χρόνο. Αυτές τις Επίδραση της Επίδραση της Επίδραση της Επίδραση της Επίδραση της x x x x x d την τρέχουσα περίοδο (): = β x dx d την τρέχουσα περίοδο (-): = β x dx d την τρέχουσα περίοδο (-): = β x dx d την τρέχουσα περίοδο (-3): = β 3 x 3 dx 3 d την τρέχουσα περίοδο (-4): = β 4 x dx 4 4
Αυτές οι επιδράσεις θα μπορούσαν να παρουσιαστούν (απεικονισθούν) σε ένα (Σχε)ιάγραμμα της μορφής : ιαχρονική Αντίδραση των Πωλήσεων ενός Προϊόντος μιας Εταιρείας σε μια ποσοστιαία αύξηση των απανών για ιαφήμιση. 3, 5, 6,, 5, 96,8 95,3, 5,,,8 5, 4,4 3,4, 3,9, 3 4 5 6 7 8 9 (Χρονο)ιάγραμμα G.3 ιαχρονική Αντίδραση των Πωλήσεων ενός Προϊόντος μιας Εταιρείας σε μια ποσοστιαία αύξηση των απανών για ιαφήμιση. β ( ) ( x ) ( ) ( ) d = = d x ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των απανών για ιαφήμιση επί των πωλήσεων του προιόντος την τρέχουσα περίοδο(πρώτη εβδομάδα) β ( ) ( x ) ( ) ( ) d d x + + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των απανών για ιαφήμιση επί των πωλήσεων του προιόντος την δεύτερη εβδομάδα) β ( ) ( x ) ( ) ( ) d d x + + (εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των απανών για ιαφήμιση επί των πωλήσεων του προιόντος την δεύτερη εβδομάδα) β 3 ( ) ( x ) ( ) ( ) d d x + 3 + 3 (εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των απανών για ιαφήμιση επί των πωλήσεων του προιόντος την τρίτη εβδομάδα) β 9 ( ) ( x ) (εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των απανών για ιαφήμιση επί των πωλήσεων του προιόντος την δέκατη εβδομάδα) ( ) ( ) d d x + 9 + 9
Αλγεβρική Προσέγγιση του (Χρονο)ιάγραμματος G.3(Συνέχεια). Προσεγγίζουμε τό (Χρονο)ιάγραμμα G.3 ή την γενική σχέση (5.3) που συνδέει τις δυο μεταβλητές με το ανάπτυγμα μιας σειράς Talor, ως εξής : θ θ θ θ = + x x + x x + x x + + x x ( ) ( ) ( ) ( 3 3) θx θx θx θx 3 θ θ θ θ θ θ θ = x x x... x 3 + x + x +... + x + ε θx θx θx θx 3 θx θx θx θ θ θ = a+ x + x +... + x + ε (5.4) θx θx θx Το υπόδειγμα που προκύπτει είναι : a β x β x β x ε (5.5) = + + +... + k k + Το υπόδειγμα (5.5) είναι ένα υπόδειγμα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις ( Disribued Lags Model). Αν έχουμε στην διάθεση μας στοιχεία για την μεταβλητή και την μεταβλητή x, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους a, β, β,..., β j και κατ επέκταση να συγκεκριμενοποιήσουμε αριθμητικά τις διαχρονικές εκφράσεις και της μεταβλητής (5.4). x στην μεταβλητή μέσω των σχέσεων Το υπόδειγμα (5.5) μπορεί να γραφεί ως εξής : = + k β j + j= a x ε (5.6) Το υπόδειγμα (5.6) έχει συγκεκριμένο αριθμό χρονικών υστερήσεων (s),δηλαδή η επίδραση της x έχει ένα συγκεκριμένο αριθμό επιδράσεων (s).το υπόδειγμα (5.6) συνήθως ονομάζεται Υπόδειγμα ιαχρονικών Κατανεμημένων Επιδράσεων με περιορισμένο Αριθμό Χρονικών Επιδράσεων. Επιπλέον υπάρχει η δυνατότητα να γράψουμε (5.6) ως εξής :
(5.7) = a+ β x + ε j j= Το (5.7) είναι το Υπόδειγμα των ιαχρονικών Κατανεμημένων Επιδράσεων με Απεριόριστο (Άπειρο) Αριθμό Χρονικών Επιδράσεων ν. Οι Υποθέσεις που συνοδεύουν το Υπόδειγμα των ιαχρονικά Κατανεμημένων Επιδράσεων.
Εκτίμηση Υποδειγμάτων με Καθορισμένο Αριθμό Χρονικών Επιδράσεων (Finie Disribued Lags). Στα υποδείγματα με Καθορισμένο Αριθμό Χρονικών Επιδράσεων υποθέτουμε ότι ο αριθμός χρονικών υστερήσεων είναι δεδομένος (έστω m), έτσι η γενική μορφή του υποδείγματος είναι η εξής : = a+ β x + β x + β x + + β x + ε (5.) m m ή ε = a+ β x + ε (5.) j j= ε NID(, σ e) (5.3) όπου : Εξαρτημένη μεταβλητή. x : Ανεξάρτητη μεταβλητή για την οποία υποθέτουμε ότι είναι εξωγενής μεταβλητή. Αυτό σημαίνει ότι δεν δέχεται επιδράσεις από την μεταβλητή σύστημα μεταξύ αυτών των δυο μεταβλητών. ή ότι δεν υπάρχει ένα ανατροφοδοτικό ε : ιαταρακτικός όρος που ακολουθεί τις υποθέσεις του Κλασσικού Γραμμικού Υποδείγματος Η Μέθοδος των Απλών Ελάχιστων Τετραγώνων (Ad Hoc Esimaion of Disribued-Lag Models). Η μέθοδος αυτή είναι περισσότερο μια μέθοδος εκτίμησης ιστορικού χαρακτήρα και προτάθηκε από τους Al και Tinbergen. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στη σταδιακή εκτίμηση των παραμέτρων ενός διευρυμένου ως προς τον αριθμό των χρονικών επιδράσεων υποδείγματος. Ειδικότερα ο Al συσχέτισε την κατανάλωση φωτιστικού πετρελαίου (fuel oil consumpion) σε σχέση με τις παραγγελίες (orders). Χρησιμοποιώντας τριμηνιαία στοιχεία της περιόδου 93-939 έλαβε τα εξής αποτελέσματα: Ο Al τελικά επέλεξε το υπόδειγμα () ως το καλύτερο υπόδειγμα διότι στις δύο τελευταίες εκτιμήσεις η εκτιμηθείσα παράμετρος της μεταβλητής x δεν ήταν ευσταθής και το αρνητικό πρόσημο της μεταβλητής x 3 που ήταν αρνητική, θα δημιουργούσε προβλήματα στην ερμηνεία των αποτελεσμάτων και ιδιαίτερα στην ερμηνεία των επιδράσεων των νέων παραγγελιών στην τιμή του φωτιστικού πετρελαίου. Η συγκεκριμένη μέθοδος εκτίμησης θα πρέπει να χρησιμοποιείται ως συμπληρωματική μέθοδος εκτίμησης σε σχέση με τις μεθόδους εκτίμησης που ακολουθούν. 7F. F. Al, Disribued Lags, Economerica, vol., 94, pp. 3 8, and 8J. Tinbergen, Long-Term Foreign Trade Elasiciies, Meroeconomica, vol., 949, pp. 74 85.
Εκτίμηση καί Έλεγχοι στα Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Στο υπόδειγμα με διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις: = a+ β x + β x + β x + + β x + ε m m ή m = a+ β x + ε j j j= μπορούμε να ελέγξουμε κατά πόσο η εισαγωγή μιας ή περισσότερων ερμηνευτικών μεταβλητών είναι στατιστικά σημαντική. Έστω το πραγματικό υπόδειγμα μεταξύ της m () (Με περιορισμό) = a+ β x + ε j j j= και της μεταβλητής x Αν υποθέσουμε ότι πιθανόν και κάποιες άλλες χρονικές υστερήσεις θα μπορούσαν να συνεισφέρουν στη διαμόρφωση των τιμών της μεταβλητής, έστω 9 επιπλέον μεταβλητές (χρονικές υστερήσεις) στο παραπάνω υπόδειγμα θα μπορούσε να γραφεί ως εξής: K = a+ β x + β x + ε j j j j j= j= K+ 9 () (Χωρίς Περιορισμό) Για να ελέγξουμε κατά πόσο το () είναι μια στατιστικά αποδεκτή προσέγγιση για την ερμηνεία της μεταβλητής ελέγχουμε την υπόθεση : β = β =... = β = H κ+ κ+ 9 H : δεν ισχύει η H. Ο έλεγχος αυτός μπορεί να γίνει στα εξής βήματα: Βήμα. Εκτιμάμε την () και την () με την εφαρμογή της μεθόδου των Απλών Ελαχίστων Τετραγώνων. K ˆ aˆ ˆ β x = + (Θεωρητικές Τιμές της ()) j j j= K ˆ = aˆ+ ˆ β x + ˆ β x j j j j j= j= K+ q (Θεωρητικές Τιμές ()) Υπολογίζουμε τα αθροίσματα: RSS k ˆ Άθροισμα των Τετραγώνων των θεωρητικών τιμών της () = =
RSS ESS k q ˆ Άθροισμα στο Τετράγωνο των θεωρητικών τιμών της () = = = ˆ ε = παλινδρόμησης Άθροισμα του Τετραγώνου των εκτιμήσεων του διαταρακτικού όρου της δεύτερης Βήμα. Με βάση αυτά τα αθροίσματα υπολογίζουμε την F-στατιστική F = ( RSSq RSSk) / ( q k ) ( q k),( T q ) ( ) ESS / T q q F βαθμούς ελευθερίας Εάν το >,( q k)(, T q ) αποδεχόμεθα την H, δηλαδή οι επιπρόσθετες μεταβλητές δεν έχουν να F F ω συνεισφέρουν κάτι περισσότερο στην ερμηνεία της μεταβλητής. Παράδειγμα: Για την επιλογή του αριθμού των διαχρονικών επιδράσεων της μεταβλητής x στην μεταβλητή με βάση το υπόδειγμα των ιαχρονικά Κατανεμημένων Επιδράσεων, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιούμε τον παραπάνω έλεγχο μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας της μορφής: Βήμα : Έστω q είναι ο μέγιστος αριθμός των διαχρονικών επιδράσεων αν υποθέσουμε ότι θα μπορούσαμε να εξειδικεύσουμε το υπόδειγμα (). q = a+ β x + ε j j j= Ελέγχουμε την υπόθεση κατά πόσο τι ερμηνευτική μεταβλητή ερμηνεία των τιμών της ερμηνευόμενης μεταβλητής H : β q = H : εν ισχύει η H x q έχει να προσφέρει κάτι στην. Ελέγχουμε δηλαδή την υπόθεση ότι: Βήμα : Εφαρμόζουμε το παραπάνω κριτήριο και αν αυτή η υπόθεση γίνει δεκτή, επανερχόμεθα στο βήμα θέτοντας υπό έλεγχο την υπόθεση κατά πόσο η β = = H : βq = βq = H : εν ισχύει η H q βq Επαναλαμβάνουμε αυτή την διαδικασία, μέχρις ότου καταλήξουμε σ εκείνη τη χρονική υστέρηση σύμφωνα με την οποία η H γίνεται δεκτή.
Η Μέθοδος των Απλών Ελάχιστων Τετραγώνων. Εφ όσον γνωρίζουμε τον αριθμό των χρονικών παραμέτρους του υποδείγματος (5.) ως εξής : υστερήσεων κ, μπορούμε να υπολογίσουμε τις Έστω â και ˆ β j ( j =,,,..., k ) είναι οι ελάχιστων τετραγώνων εκτιμήσεις των παραμέτρων α και β j, τότε αυτές σύμφωνα με την μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων θα προκύψουν από την εξής διαδικασία ελαχιστοποίησης : T k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ β j j = β, β ˆ j a j=,,,... k aˆ, β = j= j=,,,... k Min ( a x ) Min S( a, ) (5.4) Sa ( ˆ, ˆ β j ) είναι ένα άθροισμα συνάρτησης των παραμέτρων α και β j ( j =,,,..., k ). όπου Η ελαχιστοποίηση της (5.4) μπορεί να γίνει γράφοντας το υπόδειγμα (5.4) ώς εξής : a β [ ] β = x x x x k + ε β k = xb + ε ή με T = k, = [ ] x x x x x, a β β b, = β k ε ε ε = ε Τ Η εκτίμηση των παραμέτρων του παραπάνω υποδείγματος μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον ελάχιστων τετραγώνων εκτιμητή υπό την μορφή μητρών: ( ) bˆ = xx x Vb ( ˆ) = ˆ ( ) σ ε xx Οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων στην περίπτωση του Υποδείγματος των ιαχρονικών Κατανεμημένων Επιδράσεων είναι αμερόληπτες και έχουν την μικρότερη διακύμανση από οποιοδήποτε άλλο γραμμικό εκτιμητή. Ασκηση.
Σχεδιάσετε ένα πειραματισμό για να διερευνήσεται τις ιδιότητες των απλών ελάχιστων τετραγώνων εκτιμητών στό υπόδειγμα των διαχρονικά κατανεμημένων επιδράσεων Θέτοντας ότι είναι εκ των πρότερων γνωστός ο αριθμός των χρονικών υστερήσεων. Ο Υπολογισμός Αριθμού των Χρονικών Υστερήσεων Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι η εκτίμηση των παραμέτρων β, β,..., β k προϋποθέτουν την γνώση της παραμέτρου k δηλαδή τον αριθμό των χρονικών επιδράσεων. Ο αριθμός αυτός είναι συνήθως άγνωστος και πρέπει να υπολογιστεί. Για να γινει αυτό χρειάζονται να εφαρμοστούν μια σειρά από κριτήρια επιλογής, όπου αυτά παρουσιάζουμε στον Πίνακα 5,5,3. Η διαδικασία υπολογισμού των παραμέτρων β, β, και β k με βάση τα παραπάνω κριτήρια επιλογής παρουσιάζεται αναλυτικά το Γράφημα Ροής. Με βάση το Γράφημα Ροής η διαδικασία υπολογισμού των παραμέτρων του Υποδείγματος είναι οι εξής : Βήμα : Επιλέγουμε ένα μέγιστο αριθμό χρονικών υστερήσεων.έστω max M Βήμα : Για διάφορες τιμές του Μ στο διάστημα τιμών, max M εκτιμάμε διαδοχικά τις σχέσεις : = + β k i j + j= a wx = ˆ + ˆ β k a wx i j j= ˆ ε = ˆ ˆ σ ε k = T T = ε ( ˆ )
T k T ˆ ˆ, ˆ ( ˆ β j j) = β ˆ, ˆ a j a β = j= j = min a x min ( ˆ ε ) a β = [ x x x x M] β + ε β M Οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων στην περίπτωση του Υποδείγματος Χρονικών Υστερήσεων είναι αμερόληπτες και έχουν την μικρότερη διακύμανση από οποιοδήποτε άλλο γραμμικό εκτιμητή. Στα Σχεδιαγράμματα και παρουσιάζουμε αποτελέσματα??? πειραματισμών οπου αποδίδουμε τις παραπάνω ιδιότητες των εκτιμητών και γνωρίζοντας ότι είναι πρότερων των αριθμών των χρονικών υστερήσεων. Βήμα 3: Υπολογίζουμε την τιμή των Κριτηρίων Επιλογής και επιστρέφουμε στο βήμα. Επιλέγουμε τελικά εκείνη την τιμή??? ελαχιστοποιεί τα κριτήρια επιλογής. Επαναλαμβάνουμε αυτή την διαδικασία και για τα άλλα κριτήρια. Η τελική επιλογή είναι να επιλέξουμε εκείνη την τιμή που να συμφωνούν τα περισσότερα κριτήρια.
Ένα επιπλέον κριτήριο επιλογής είναι και ο διορθωμένος Συντελεστής Πολλαπλού Προσδιορισμού R R Var( ε ) = Var( ) N = ( R ) N K όπου p=μέγιστος Αριθμός Χρονικών Υστερήσεων (p=,,..,p) που υποθέτουμε ότι μπορεί να λάβει το υπόδειγμα. ή Η ελαχιστοποίηση της (5.4) μπορεί να γίνει γράφοντας το υπόδειγμα (5.4) ώς εξής : a β [ ] β = x x x x k + ε β k = xb +ε ή με 5 =, x [ x x x x ] =, 5 b a β = β β 5, ε ε ε = ε Τ Η εκτίμηση των παραμέτρων του παραπάνω υποδείγματος μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τον ελάχιστων τετραγώνων εκτιμητή υπό την μορφή μητρών: bˆ = xx x ( ) Vb ( ˆ) = ˆ ( ) σ ε xx
Προβλέψεις: Εφ όσον εκτιμήσουμε τις παραμέτρους του υποδείγματος (?) η εφαρμογή προβλέψεων είναι ανάλογη της περίπτωσης του Κλασσικού Γραμμικού Υποδείγματος στο Κεφάλαιο 6,5 Εφ όσον γνωρίζουμε τις τιμές των εξωγενών μεταβλητών προβλέψεις μας την περίοδο f = T + f με f,,..., F x έχουμε τις χωρίς περιορισμούς προβλέψεις. Οι = για την??? θα είναι οι εξής: ˆ = aˆ+ ˆ β x + ˆ β x + ˆ β x TH T + T 3 T ˆ = aˆ + ˆ β x + ˆ β, x + ˆ β x TH T + T + 3 T ιαστήματα Εμπιστοσύνης για τους Συντελεστές ιαχρονικών Επιδράσεων. Οι Εκτιμηθέντες Συντελεστές ιαχρονικών Επιδράσεων που προκύπτουν από την εφαρμογή κάποιας από τις προηγούμενες μεθόδους εκτίμησης, δεν παύουν να είναι εκτιμήσεις και ως τέτοιες έχουν κάποια διακύμανση ή τυπική απόκλιση. Αυτές τις τυπικές αποκλίσεις ( διακυμανση ) μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε για να λάβουμε διαστήματα εμπιστοσύνης για τις διαχρονικές επιδράσεις της ερμηνευτικής μεταβλητής. Αυτά τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τους συντελεστές βήτα ( ' β ) s υπολογίζονται ως εξής: Έστω ότι έχουμε Κ=3 χρονικές υστερήσεις. Σ αυτές αντιστοιχούν 4 εκτιμήσεις της παραμέτρου β. ˆ β, ˆ β, ˆ β και 4 Έστω 3 ˆβ είναι οι αναλόγως ελαχίστων τετραγώνων εκτιμήσεις των παραμέτρων β, β, β 3 και β 4. Έστω επίσης ότι τα εκτιμηθέντα τυπικά σφάλματα (Sandard Error) είναι τα εξής: Sd(), Sd(), Sd(3) και Sd(4). Τα διαστήματα εμπιστοσύνης για τις εκτιμηθείσες διαχρονικές επιδράσεις, θα προκύψουν ως εξής: Sd ˆ β() = ˆ β ±.96 Sd() Sd ˆ β() = ˆ β ±.96 Sd() Sd ˆ β(3) = ˆ β ±.96 Sd(3) 3 Sd ˆ β(4) = ˆ β ±.96 Sd(4) 4 Θα μπορούσαμε επίσης να επεκτείνουμε το παραπάνω για μεγαλύτερο αριθμό εκτιμήσεων διαχρονικά κατανεμημένων επιδράσεων. Στο Σχεδιάγραμμα παρουσιάζουμε γραφικά τις διαχρονικές επιδράσεις μιας μεταβλητής καθώς και τα ανάλογα διαστήματα εμπιστοσύνης αυτών των εκτιμήσεων.
Οικονομική Εφαρμογή. ιαχρονικές Επιδράσεις των Καιρικών συνθηκών και η διαμόρφωση της τιμής του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού. Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή χρησιμοποίησης των υποδειγμάτων με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις είναι η ερμηνεία διαμόρφωσης των τιμών του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού (Orange Juice Prices) 3 σε σχέση με τις καιρικές συνθήκες (weaher condiions).. 5.75 4.5 3.5..75.5 -.5 -. 948 95 954 957 96 963 966 969 97 975 978 98 984 987 99 993 996 999 (a) Price Index for Frozen Concenraed Orange Juice -3 948 95 954 957 96 963 966 969 97 975 978 98 984 987 99 993 996 999 (c) Percen Change in he Price of Frozen Concenraed Orange Juice 4 35 3 5 5 5 948 95 954 957 96 963 966 969 97 975 978 98 984 987 99 993 996 999 (b) Monhl Freezing Degree Das in Orlando, Florida Figure 5. Orange Juice Prices and Florida Weaher (Σχε)ιάγραμμα G. Τιμές παστεριωμένου χυμού και ο αριθμός των παγομένων ημερών στην παραγωγή. Τα στοιχεία στο (Σχε)ιάγραμμα αναφέρονται στις τιμές του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού (frozen orange juice concenrae) ( ) στις ποσοστιαίες τους μεταβολές d log log = και τις ακραίες θερμοκρασίες στην περιοχή της παραγωγής του πορτοκαλιού στην Florida. Τα στοιχεία είναι σε μηνιαία βάση και καλύπτουν την περίοδο Ιανουάριος 95 μέχρι τον εκέμβριο του 4. Ειδικότερα οι τιμές όπως παρουσιάζονται γραφικά στο (Σχε)ιάγραμμα είναι μια μέτρηση της μέσης πραγματικής τιμής του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού (frozen orange juice) που πληρώνουν οι χονδρέμποροι (wholesalers). Οι τιμές επίσης έχουν αποπληθωρισθεί με τον δείκτη τιμών χονδρικής για τα τελικά αγαθά (finished goods) για να απομονωθούν οι όποιες πληθωριστικές επιδράσεις. 3 Στην πραγματικότητα αναφερόμεθα για orange juice concenraed. Το αγαθό αυτό θα μπορούσε να να θεωρηθεί ως ένα διαρκές (durable) αγαθό. 4 Μία αναλυτική παρουσίαση της πηγής αυτών των δεδομένων δίδεται στο παράρτημα αυτού του κεφαλαίου.
Όσον αφορά την μεταβλητή των καιρικών συνθηκών πρόκειται για τον αριθμό των παγωμένων ημερών (freezing degree da s στο Orlando,Florida airpor ) και είναι το άθροισμα των βαθμών Fahrenhei που οι ελάχιστες θερμοκρασίες είναι κάτω από τη θερμοκρασία πάγου σε μία ορισμένη ημέρα από τις παγωμένες ημέρες ενός μήνα. Η μεταβλητή της θερμοκρασίας συμβολίζεται με την Degree Das). FDD (Freezing Η πρώτη σχέση που θα μπορούσαμε να εκτιμήσουμε 5 είναι στο υπόδειγμα της απλής γραμμικής παλινδρόμησης = β + β x + ε chgp =.4 +.46FDD [.85] [ 3.5] DW =.7 NOBS = 6 παρατηρησεις Με βάση τις παραπάνω εκτιμήσεις, θα μπορούσαμε να δεχτούμε ότι μια μεταβολή στη τιμή της θερμοκρασίας κατά μια μονάδα (βαθμό) θα έχει μια αύξηση της τιμής του παστεριομένου χυμού πορτοκαλιού κατά.466% σε μηνιαία βάση: ( chgp ) ( ) d.466 d FDD = ( ) Αυτό με απλούστερα λόγια σημαίνει ότι σε κάποιο μήνα που έχουμε 4 παγωμένες ημέρες όπως είναι ο Νοέμβριος του 95, η τιμή του παστεριωμένου πορτοκαλιού θα αυξηθεί κατά.88%, διότι d(% chgp ) = (.466)*( dfdd) dfdd ( ) = 4 d(% chgp ) = (.466)*(4)% =.88% 5 Οι αριθμοί εκτός αγκυλών είναι οι -στατιστικές. Και οι δύο εκτιμήσεις είναι στατιστικά σημαντικές.
Γράφημα Ροής..Πιθανές σχέσεις αλληλεξάρτησης μεταξύ των τιμών του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού και των παγωμένων ημερών του Μήνα. εν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι είναι γράφημα ροής δραστηριοτήτων όπως αυτό που παρουσιάζεται στο Γράφημα Ροής δεν μπορεί να είναι ρεαλιστικό. Θα μπορούσαμε χωρίς κανένα ενδοιασμό να θεωρήσουμε ότι δεν υπάρχει κάποιο ανατροφοδοτικό σχήμα μεταξύ της θερμοκρασίας και των τιμών του παστεριωμένου πορτοκαλιού. Οι καιρικές συνθήκες συνθήκες δεν επηρεάζονται (τουλάχιστον άμεσα) 6 από την διαμόρφωση των τιμών ενός προϊόντος. Οπότε θα μπορούσαμε χωρίς κανένα ενδοιασμό αλλά και χωρίς καμία απαραίτητη στατιστική επαλήθευση να θεωρήσουμε ότι απλώς οι καιρικές συνθήκες (όπως έχουν εξειδικευθεί στην συγκεκριμένη εφαρμογή) είναι μια εξωγενής μεταβλητή (exogenous variable) 7. Οι παραπάνω εκτιμήσεις είναι χρήσιμες αλλά ο στατικός του χαρακτήρας μάλλον μας προδιαθέτει να επεκτείνουμε το παραπάνω υπόδειγμα και γενικώτερα στην ανάλυση μας σε πιο πολύπλοκες σχέσεις όπως αυτές θα μπορούσαν να προσεγγισθούν από το Γράφημα Ροής () όπου μεταξύ της τιμής παστεριςμένου χυμού και καιρικών συνθηκών υπάρχει ένα ανατροφοδοτικό σχήμα με διαρονικά κατανεμημένες επιδράσεις. 6 Κάνουμε αυτό το διαχωρισμό διότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου οι διαμορφώσεις των καιρικών συνθηκών μπορούν έμμεσα να επηρεασθούν, κυρίως σε μακροχρόνιο ορίζοντα από την οικονομική δραστηριότητα. Είναι μάλλον απίθανο η διαμόρφωση των τιμών του χυμού παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού να επηρεαστούν με κάποιο τρόπο από τη διαμόρφωση των καιρικών συνθηκών, ιδιαίτερα όπως εξειδικεύονται στην συγκεκριμένη μελέτη. 7 Αυτή η υπόθεση μας επιτρέπει να αποφύγουμε την περίπτωση που υπάρχει συσχέτιση μεταξύ της ερμηνευτικής μεταβλητής και του διαταρακτικού όρου.
Με βάση την υπόθεση την εξωγένεια της ερμηνευτικής μεταβλητής FDD το Γράφημα Ροής? θα μπορούσε να απλοποιηθεί όπως το Γράφημα Ροής. Γράφημα Ροής..Πιθανές διαχρονικές σχέσεις εξάρτησης μεταξύ των τιμών του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού και των παγωμένων ημερών του Μήνα. = % chgp x = FDD Με βάση το Γράφημα Ροής? η τιμή του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού είναι συνάρτηση των καιρικών συνθηκών όπως αυτές εξειδικεύτηκαν προηγουμένως. Το παραπάνω σχήμα θα μπορούσε να προσεγγισθεί με ένα υπόδειγμα με διαχρονικά κατανεμημένες υστερήσεις. Ένα τέτοιο σχήμα θα μπορούσε να είναι ως εξής: β β β β ε chgp = a + FDD + FDD + FDD +... + kfdd k + ε NID(.6 ε ) k ή chgp = a + β FDD + ε j j j= Εφ όσον εκτιμηθούν οι παράμετροι α, β j =,,..., k και κ (αριθμός των χρονικών υστερήσεων) θα μπορούσαμε να υπολογίσουμε τις διαχρονικές επιδράσεις των καιρικών συνθηκών στην διαμόρφωση των τιμών του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού. Η διαδικασία εκτίμησης του υποδείγματος (4) είναι ανάλογη αυτής που παρουσιάστηκε προηγουμένως. Εφαρμόζουμέ τη μέθοδο των απλών ελαχίστων τετραγώνων με βάση την υπόθεση του κλασικού Γραμμικού Υποδείγματος.
Εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος. Η πρώτη μέθοδος εκτίμησης που εφαρμόσαμε στα συγκεκριμένα δεδομένα είναι η Ad hoc esimaion mehod of Disribued Lags. Η εφαρμογή αυτής της μεθόδου έγινε ακολουθώντας μία επαναληπτική για διάφορο αριθμό χρονικών υστερήσεων, ανάλογα της παρουσίασης στο μέρος G. Είναι εμφανές ότι όσο μεγαλώνει ο αριθμός των χρονικών υστερήσεων υπάρχει μία διαχρονική σταθερότητα των συντελεστών αντίδρασης του υποδείγματος..5 Differen Disribued Lags Diff(Log(jouse)/log(weaher).4.3... -. -. 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 Time-Monhs Economeric Noes, Dikaios Tserkezos: Orange Juice Prices and Florida Weaher Χρονοδιάγραμμα G.8. Κατανομές διαχρονικών αντιδράσεων της ζήτησης παστεριωμένου χυμού σε μία μεταβολή των καιρικών συνθηκών..5 Differen Disribued Lags Diff(Log(jouse)/log(weaher).4.3... -. -. 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 9 Time-Monhs Economeric Noes, Dikaios Tserkezos: Orange Juice Prices and Florida Weaher Χρονοδιάγραμμα G.45. Κατανομές διαχρονικών αντιδράσεων της ζήτησης παστεριωμένου χυμού σε μία μεταβολή των καιρικών συνθηκών. Αυτή η συγκεκριμένη διαδικασία εκτίμησης δεν είναι και η πλέον ενδεδειγμένη, προκύπτει ότι μάλλον ο αριθμός των χρονικών επιδράσεων των καιρικών συνθηκών θα προσεγγισθεί στην τιμή γύρω από το. Επιλογή των Χρονικών Επιδράσεων με την κατανομή F.
Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη επαναληπτική μέθοδο εκτίμησης ενός απλού υποδείγματος με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις (Βλέπε Πίνακα G.4) Πίνακας G.4 Null Hpohesis : The Following Coefficiens Are Zero QX Lag(s) o Chi-Squared(3)= 3.3545 or F(3,*)=.74 wih Significance Level.34437 3.354.3444.35667... Πηγή: Εκτιμήσεις. Προέκυψε ότι ο αριθμός των χρονικών υστερήσεων θα μπορούσε να είναι κοντά στον αριθμό. Εφαρμόζοντάς τη μέθοδο των απλών Ελαχίστων Τετραγώνων με χρονικές υστερήσεις υπολογίσαμε τους συντελεστές βήτα του υποδείγματος (?).Οι εκτιμήσεις αυτές παρουσιάζονται στις τρεις πρώτες στήλες του Πίνακα που ακολουθεί. Στη δεύτερη στήλη παρουσιάζονται οι εκτιμηθέντες συντελεστές διαχρονικής αντίδρασης ενώ στις αμέσως δύο επόμενες τα τυπικά τους σφάλματα και οι -saisic για τον ελέγχου κατά πόσο ο κάθε συντελεστής είναι διάφορος του μηδενός. Ταυτόχρονα στις στήλες 4, 5, 6 παρουσιάζονται τα ανάλογα αποτελέσματα για τους Σωρευτικούς Συντελεστές αντίδρασης των τιμών του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού σε μεταβολές των καιρικών συνθηκών. Οι εκτιμήσεις αυτές προέκυψαν από την εκτίνηση του υποδείγματος (3) με την επιπλέον ερμηνευτική μεταβλητή: (FDD) = FDD-FDD- Πίνακας 3. Εκτιμήσεις των Παραμέτρων του Υποδείγματος
Εκτιμήσεις των Σντελεστών β Εκτιμήσεις των Σωρευτικών Επιδράσεων Τυπικά Τυπικά Σφάλμα -στατιστικές Σφάλματα,54,39 3,67,54,39 3,67,7,85,995,674,9 5,8,67,59,4,74,6 4,576 3,7,43,636,8,8 4,496 4,5,3,783,837,83 4,563 5,3,8,38,869,89 4,6 6,33,48,677,9,8 4,34 7,5,5,,96,9 4,378 8 -,4,33 -,86,874,8 4,4 9 -,,5 -,4,864,44 3,535 -,6,7 -,649,747,6,856 -,66,48 -,39,68,7,5 -,4,75 -,89,539,7,989 3 -,8,43 -,96,457,7,679 4 -,56,36 -,568,4,84,4 5 -,3,7 -,84,369,86,89 6 -,7,54 -,5,36,9,39 7,,8,78,363,93,39 8,54,39 3,67,54,39 3,67 -στατιστικέ Πηγή: Εκτημίσεις. Όπως φαίνεται από τον παραπάνω πίνακα οι περισσότερες από τις εκτιμήσεις των παραμέτρων β =,,...,K=9 j είναι στατιστικά σημαντικές. Οι όποιες μη στατιστικά σημαντικές εκτιμήσεις πιθανόν να είναι αποτέλεσμα της αναμενόμενης ύπαρξης ενδοσυσχέτισης στι ς τιμές των καιρικών συνθηκών, δηλαδή στο γνωστο μας πρόβλημα της πολυσυγγραμμικότητας. Στο Σχεδιάγραμμα που ακολουθεί παρουσιάζουμε γραφιά την διαχρονική επίδραση μιας μεταβολής των καιρικών συνθηκών (όπως τις έχουμε ορίσει στα προηγούμενα μέρη) στις μεταβολές των τιμών του παστεριωμένου χυμού πορτοκαλιού. Επιπλέον στα Σχεδιαγράμματα G.45 και G.46 παρουσιάζουμε γραφικά τόσο τους απλούς όσο και τους σωρευτικούς (accumulaed) συντελεστές επίδρασης μαζί με τα αντίστοιχα διαστήματα εμπιστοσύνης τους.
ιαχρονική Αντίδραση της τιμής του παστεριωμένου χυμού σε μία μεταβολή των καιρικών συνθηκών κατά μία μονάδα,6,5,5,4,3,,, -, -,,,,,,,,,, -, -, -,,,,, 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 -, -, (Χρονο)ιάγραμμα G.? ιαχρονική Αντίδραση της τιμής του παστεριωμένου χυμού σε μία μεταβολή των καιρικών συνθηκών κατά μία μονάδα. ( ) ( FDD ) ( ) ( ) chgp d chgp β9 =.5 d FDD (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των των καιρικών συνθηκών στην τιμή του παστεριωμένου γάλακτος την τρέχουσα περίοδο(πρώτη εβδομάδα) ( ) ( FDD ) ( ) d ( FDD ) chgp+ d chgp+ β =. (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των καιρικών συνθηκών στην τιμή του παστεριωμένου γάλακτος την δεύτερη εβδομάδα) ( ) ( FDD ) ( ) d ( FDD ) chgp+ d chgp+ β =. (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των καιρικών συνθηκών στην τιμή του παστεριωμένου γάλακτος την δεύτερη εβδομάδα) ( ) ( FDD ) ( ) d ( FDD ) chgp+ 3 d chgp+ 3 β3 =. (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των καιρικών συνθηκών στην τιμή του παστεριωμένου γάλακτος την τρίτη εβδομάδα) ( ) ( FDD ) ( ) d ( FDD ) chgp+ 9 d chgp+ 9 β9 =. (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής των καιρικών συνθηκών στην τιμή του παστεριωμένου γάλακτος την δέκατη εβδομάδα)
.8.6.4.. -. -.4 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 (a) Esimaed Dnamic Mulipliers and 95% Confidence Inerval (Χρονο)διάγραμμα G.45. Σωρευτικές ιαχρονικές Αντιδράσεις των τιμών του παστεριωμένου χυμού σε μία μεταβολή των καιρικών συνθηκών. Από την παραπάνω Εφαρμογή ενός ενδιαφέροντος παραδείγματος στα υποδείγματα με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις προέκυψε:.5.5..75.5.5. -.5 3 4 5 6 7 8 9 3 4 5 6 7 8 (c) Esimaed Cumulaive Mulipliers and 95% Confidence Inerval (Χρονο)διάγραμμα G.46. Σωρευτικές ιαχρονικές Αντιδράσεις των τιμών του παστεριωμένου χυμού σε μία μεταβολή των καιρικών συνθηκών. Θα πρέπει να διερευνηθεί ότι οι εκτιμήσεις των συντελεστών αντίδρασης υποτίθεται ότι ισχύουν για όλη την χρονική περίοδο που κάνουμε την ανάλυση μας. ηλαδή σε οποιοδήποτε χρονικό σημείο μεταβληθούν οι καιρικές συνθήκες θα πρέπει να περιμένουμε ακριβώς την ίδια αντίδραση όπως δίδεται στα παραπάνω (Σχε)ιαγράμματα. Αυτό φυσικά δεν είναι πάντοτε αληθές και πρέπει να ελεγχθεί. Στο (Σχε)ιάγραμμα που ακολουθεί παρουσιάζουμε μια σειρά από διαφορετικά σχήματα διαχρονικής αντίδρασης των τιμών σε μια μεταβολή της μεταβλητής των Καιρικών Συνθηκών. Είναι εμφανές ότι διαχρονικά ο τρόπος διαχρονικής αντίδρασης στις τιμές του αστεριωμένου χυμού διαφοροποιούνται σχετικά στην χρονική περίοδο που έχουμε διαθέσιμα στοιχεία.
ιαχρονική Αντίδραση των Αποδόσεων των Μετοχών του είκτη της Μεγάλης Κεφαλαιοποίησης σε σχέση με τον Γενικό είκτη του ΧΑΑ. Τα υποδείγματα με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την σχηματοποίηση των διαχρονικών αντιδράσεων των αποδόσεων των μετοχών σε σχέση με μια μεταβολή του Γενικού είκτη του Χ.Α.Α. Χρησιμοποιώντας ένα υπόδειγμα της μορφής: κ ( r r ) ( dgne r ) = β + β + ε j =,,..., f j ij f j j= Όπου r j : Αποδόσεις των j =,,..., μετοχών του FTSE r f : Η χωρίς κίνδυνο επένδυση (επιτόκιο) dgne : Αποδόσεις του Γενικού είκτη του Χ.Α.Α. Πίνακας. Εκτιμήσεις των Συντελεστών Αντίδρασης των μετοχών του είκτη FTSE σε σχέσημε μια μεταβολή του Γενικού είκτη του Χ.Α.Α.,9,,,,,,,,,,,,,8,,,,,,,,,,,,,3 -,, -,,,,, -, -, -,,,,8,,,,,,,,,,,,,8 -, -,,,,,,,,,,,, -,,,,,,,,,,,,,9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7,,3,3,,,,,,,,,,3 -,3,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,6 -,, -, -,3 -,,,4 -, -, -,9 -,,8,,,,,,,,,,,,,8 -,,,,,,,,,,,,,3,,,,,,,,,,,,,7,,,,,,,,,,,,,7 -, -,,,,,,,,,,,,9,,,,,,,,,,,,,9,,,,,,,,,,,,,4 -,5, -,4, -,4,4, -,,,4,, Πηγή: Εκτιμήσεις μας Στον παραπάνω Πίνακα παρουσιάζουμε τις εκτιμήσεις των συντελεστών αντίδρασης (,,...,,,,.., κ ) βij i = j = με βάση την εκτίμηση του παραπάνω υποδείγματος με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις. Η επιλογή του αριθμού των χρονικών υστερήσεων βασίσθηκε σε μια επαναληπτική διαδικασία με βάση το κριτήριο επιλογής του Akaike. Τόσο από τις παραπάνω εκτιμήσεις στην γραφική του παρουσίαση.
ιαχρονικές Αντιδράσεις των Αποδόσεων Μετοχών του είκτη της Μεγάλης Κεφαλαιοποίησης σε μία μεταβολή του Γενικού είκτη του ΧΑΑ ιάγραμμα G.? ιαχρονικές Αντιδράσεις των Αποδόσεων Μετοχών του είκτη της Μεγάλης Κεφαλαιοποίησης σε μία μεταβολή του Γενικού είκτη του ΧΑΑ ( ) ( FDD ) ( ) ( ) chgp d chgp β =.5 d FDD (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του του Γενικού είκτη του ΧΑΑ στην Απόδοση της μετοχής την τρέχουσα περίοδο(πρώτη ημέρα)) ( ) ( FDD ) ( ) d ( FDD ) chgp+ d chgp+ β =. (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του του Γενικού είκτη του ΧΑΑ στην Απόδοση της μετοχής την (δεύτερη ημέρα)) β ( ) ( ) ( ) ( ) chgp d chgp chggen d chggen + + (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του του Γενικού είκτη του ΧΑΑ στην Απόδοση της μετοχής την (τρίτη ημέρα)) β ( ) ( ) ( ) ( ) chgp d chgp chggen d chggen + + (Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του του Γενικού είκτη του ΧΑΑ στην Απόδοση της μετοχής την ( β ημέρα)) Στο παρακάτω σχεδιάγραμμα είναι εμφανές ότι στις περισσότερες των περιπτώσεων η επίδραση μιας μεταβολής του Γενικού είκτη του Χ.Α.Α. εξαντλούνται εκτός μιας χρονικής περιόδου, μη αφήνοντας πολλά περιθώρια αξιοποίησης της όποιας πληροφορίας για επενδυτικές στρατηγικές εκμεταλλευόμενοι την όποια διαχρονικότητα των επιδράσεων μιας μεταβολής του Γενικού είκτη του Χ.Α.Α.