Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. . (Υποδείγματα με Διαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 1 )

Transcript

1 Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ.. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις ) Περιεχόμενα. Γενικά. Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. Η Προσέγγιση των ιαχρονικών Επιδράσεων (Αντιδράσεων). Η Μαθηματική Προσέγγιση των Σχέσεων με ιαχρονικές Αλληλεξαρτήσεις. Η Άμεση (Βραχυχρόνια) Επίδραση (Impac Effec, Shor Run Effec): Οι Ενδιάμεσες Επιδράσεις (Inerim Effecs). Η Αθροιστική Επίδρασης μιας μεταβολής της μεταβλητής στην μεταβλητή Effecs, Long-run effecs) Οι Σταθμισμένοι Συντελεστές Επίδρασης (Sandardized Coefficiens). Η Μέση Χρονική Επίδραση (Mean Lag). Αλγεβρική Προσέγγιση του (Χρονο)ιάγραμματος G.3(Συνέχεια). Η ιάμεση Χρονική Επίδραση (Medean Lag). Το Υπόδειγμα της Μερικής Προσαρμογής. Παρουσίαση. Μέθοδος Εκτίμησης των παραμέτρων. Το Υπόδειγμα των Αναπροσαρμοσμένων Προβλέψεων. Παρουσίαση του Υποδείγματος. Μέθοδος Εκτίμησης των παραμέτρων. Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. Παρουσίαση του Υποδείγματος. Μέθοδος Εκτίμησης των παραμέτρων. (Cumulaive Συνήθως τα υποδείγματα αυτά ονομάζονται και Υποδείγματα με Κατανεμημένες Χρονικές Υστερήσεις (Disribued Lags Models). Σε πολλά οικονομετρικά εγχειρίδια η λέξη επίδραση αντικαθίσταται με την λέξη υστέρηση.

2 Άσκηση Οικονομετρίας ΙΙ. (Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 3 ) Στο Χρονοιάγραμμα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι διαχρονικές εξελίξεις της μέσης τιμής της αμόλυβδης βενζίνης στην Ελλάδα και οι αντίστοιχες διεθνείς τιμές του πετρελαίου Brend ($/ Βαρέλι). Πρόκειται για ημερήσια στοιχεία από την αρχή του έτους 9. Χρησιμοποιώντας κάποιο από τα γνωστά σας οικονομετρικά υποδείγματα να σχολιάσετε τρόπους που θα μπορούσατε να διερευνήσετε και γενικότερα να σχηματοποιήσετε τη διαχρονική συνεξέλιξη αυτών των δύο μεγεθών. Χρονοδιάγραμμα ιαχρονική συνεξέλιξη των τιμών του πετρελαίου Brend ($/ Βαρέλι) και της μέσης τιμής της αμόλυβδης στην Ελλάδα. 3 Συνήθως τα υποδείγματα αυτά ονομάζονται και Υποδείγματα με Κατανεμημένες Χρονικές Υστερήσεις (Disribued Lags Models).

3 Ενδεικτική Απάντηση. Για την διερεύνηση της διαχρονικής συνεξέλιξης αυτών των δύο οικονομικών μεγεθών θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μια πληθώρα από οικονομετρικά υποδείγματα, συμπεριλαμβανομένων και της απλής γραμμικής και μη γραμμικής Περιγραφικής Στατιστικής. Θα περιοριστούμε όμως στα υποδείγματα με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις. H τιμή της Αμόλυβδης Βενζίνης επηρεάζεται αλλά και επηρεάζει την ιεθνώς ιαμορφούμενη τιμή των πετρελαίων Brend ($/ Βαρέλι). Γράφημα Ροής. Πιθανές Σχέσεις ιαχρονικής Αλληλεξάρτησης μεταξύ της μέσης τιμής της Αμόλυβδης Βενζίνης και της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. Αυτή η διαχρονική σχέση αλληλεξάρτησης φαίνεται κάπως εξωπραγματική. Μπορούμε εύκολα να δεχθούμε ότι η τιμή του πετρελαίου Brend επηρεάζει την μέση τιμή της Αμόλυβδης Βενζίνης στην Ελλάδα. ε μπορούμε όμως σε καμία περίπτωση να δεχθούμε ότι η μέση τιμή της αμόλυβδης βενζίνης στην Ελλάδα επηρεάζει έστω και σε κάποιο ποσοστό την τιμή του πετρελαίου διεθνώς. Με βάση τον παραπάνω συλλογισμό μπορούμε να απλοποιήσουμε σε μεγάλο βαθμό το Γράφημα Ροής, ως εξής: 3

4 Γράφημα Ροής. Πιθανές Σχέσεις ιαχρονικής Αλληλεξάρτησης μεταξύ της μέσης τιμής της Αμόλυβδης Βενζίνης και της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. Από το παραπάνω Γράφημα Ροής, προκύπτει ότι η μέση τιμή της Αμόλυβδης βενζίνης στην Ελλάδα επηρεάζεται από την ιεθνώς Καθορισμένη τιμή των Τιμών του Πετρελαίου Brend τόσο στο παρόν όσο και στο παρελθόν (περίοδος -, και περίοδος -). Ένα τέτοιο χωρίς απαραίτητη στατιστική επαλήθευση συμπέρασμα μας οδηγεί στη χρησιμοποίηση υποδειγμάτων με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις για τη διερεύνηση της διαχρονικής συνεξέλιξης μεταξύ αυτών των δύο μεγεθών. 4

5 Οικονομετρικά Υποδείγματα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις. Ένας τρόπος που θα μπορούσε να μας βοηθήσει να εντοπίσουμε πιθανές διαχρονικές σχέσεις εξάρτησης μεταξύ δύο ή περισσότερων μεγεθών, είναι να υπολογίσουμε τον τρόπο που η μια μεταβλητή αντιδρά σε μια μεταβολή μιας άλλης μεταβλητής που υποθέτουμε ότι την επηρεάζει αιτιωδώς. Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. Από τη μέχρι τώρα ανάλυση θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι υφίσταται μια διαχρονική επίδραση στις τιμές του πετρελαίου Brend στη μέση τιμή της αμόλυβδης στην Ελλάδα. Αυτή η διαχρονική επίδραση μπορεί να προσεγγισθεί μ ένα υπόδειγμα με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις, όπως αυτά που αναπτύξαμε στο ανάλογο μάθημα της Οικονομετρίας ΙΙ. Μας ενδιαφέρει δηλαδή να υπολογίσουμε το πώς αντιδρά η μέση τιμή της αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μια μεταβολή (αυ ξηση ή μείωση) των τιμών του πετρελαίου Brend. Ένας τρόπος να διερευνήσουμε τα διαχρονικά χαρακτηριστικά της σχέσης που συνδέει αυτά τα δύο μεγέθη είναι να δούμε πως μια μεταβολή στην τιμή του Brend θα μπορούσε να επηρεάσει την μέση τιμή της αμόλυβδης βενζίνης στην Ελλάδα Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα Προσωρινή Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend Januar Februar March April Ma (Σχε)ιάγραμμα G.3 : Γραφική παρουσίαση μιας μη μόνιμης Αύξησης της τιμής του Πετρελαίου Brend στη μέση τιμή της Αμόλυβδης Βενζίνης στην Ελλάδα. 5

6 Μια μη μόνιμη (πρόσκερη) αύξηση στην τιμή του Brend μπορεί να αυξήσει την τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα. Το αντίστροφο θα αναμένουμε να συμβεί για μια μείωση της τιμής του Brend. Στο (Σχε)ιάγραμμα G.3 παρουσιάζουμε γραφικά την επίδραση μιας προσωρινής ς αύξησης του Brend στη μέση τιμή της Αμόλυβδης Βενζίνης. Από το παραπάνω (Σχε)ιάγραμμα προκύπτει ότι μια πρόσκαιρη αύξηση της τιμής του πετρελαίου Brend θα επιδράσει θετικά στη μέση τιμή της αμόλυβδης. Η αύξηση αυτή έχει την μορφή που δίδεται στο επιμέρους γράφημα, και θα έχει μια διάρκεια την οποία και αναλύουμε στις παραγράφους που ακολουθούν. Με βάση τα ευρήματα και την τιμή της αμόλυβδης θα μπορούσαμε να πούμε ότι η σχέση που συνδέει την τιμή του Brend και το ιαθέσιμο Ιδιωτικό Εισόδημα είναι μια σχέση με διαχρονικά χαρακτηριστικά. Στην ανάλυση των διαχρονικά κατανεμημένων επιδράσεων μεταξύ δύο ή περισσότερων οικονομικών μεγεθών, εκτος της διάστασης του χρόνου, μπορούμε να συμπεριλάβουμε και επιπλέον πληροφόρηση και για άλλα χαρακτηριστικά της ανάλυσης όπως το ρόλο που έχει το ύψος της τιμής του Brend. Είναι λογικό κάποιος να περιμένει ότι η επίδραση μιας μεταβολής (αύξησης) της τιμής του Brend, θα έχει διαφορετικές επιπτώσεις στη μέση τιμή της αμόλυβδης στην Ελλάδα και θα εξαρτάται από το ύψος που έχει τη συγκεκριμένη χρονική περίοδο η τιμή του Brend. Άλλη αντίδραση θα έχει με τιμή 5$ και άλλη με 75$. Μια τρισδιάστατη 4 πανοραμική παρουσίαση της επίδρασης μιας μη μόνιμης μεταβολής του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος στην Ιδιωτική κατανάλωση σε διαφορετικά επίπεδα ιαθέσιμου Εισοδήματος δίδεται στο (Σχε)ιάγραμμα G.4 4 Η τρισδιάστατη αυτή παρουσίαση αντιστοιχεί στην αντίδραση της Ιδιωτικής Κατανάλωσης σε μια μη μόνιμή μεταβολή του εισοδήματος σε διαφορετικά επίπεδα εισοδήματος. 6

7 Αντίδραση της της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα Χρόνος ιαφορετικά Επίπεδα Τιμής του Πετρελαίου (Σχε)ιάγραμμα G.5 ιαχρονική παρουσίαση των επιδράσεων 5 μιας μη μόνιμης μεταβολής του ιαθεσίμου Εισοδήματος στην Ιδιωτική Κατανάλωση για διαφορετικά επίπεδα εισοδήματος. Το Σχεδιάγραμμα G.5 είναι μια επιπλέον επιβεβαίωση της χρησιμότητας διαχρονικών σχέσεων αλληλεξάρτησης μεταξύ των οικονομικών μεγεθών. Η πληροφόρηση για την εξέλιξη μιας πρόσκαιρης μεταβολής της τιμής του Brend στη μέση τιμή της αμόλυβδης σε διαφορετικά επίπεδα της τιμής του Brend είναι μια χρησιμότατη πληροφόρηση στους ασκούντες οικονομική πολιτική, και όχι μόνον. 7

8 Η Προσέγγιση των ιαχρονικών Επιδράσεων (Αντιδράσεων). Στό (Χρονο)ιάγραμμα G.4 παρουσιάζεται γραφικά η επίδραση μιας αύξησης του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος ( )στην Ιδιωτική Κατανάλωση ( C )της Ελληνικής Οικονομίας. Αντίδραση της της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα Χρόνος ιαφορετικά Επίπεδα Τιμής του Πετρελαίου (Χρονο)ιάγραμμα G.4 ιαχρονική Αντίδραση της Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) ( oil ) β = = = ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την τρέχουσα περίοδο(πρώτη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τόν δεύτερη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τή Τρίτη Ημέρα) 3 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 3, + 3 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τήν Τέταρτη Ημέρα) 7 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 7, + 7 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την έβδομη Ημέρα) 8

9 7, 6, 5, 4, 3, Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. 6,3,,,,,3, (Χρονο)ιάγραμμα G.4 ιαχρονική Αντίδραση της Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. ( PAVER ) ( Poil) ( AVER ) d( Poil), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την τρέχουσα περίοδο(πρώτη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τόν δεύτερη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τή Τρίτη Ημέρα) 4 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 4, + 4 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τήν Τέταρτη Ημέρα) 7 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 7, + 7 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την έβδομη Ημέρα) 9

10 Μαθηματική Προσέγγιση των Σχέσεων με ιαχρονικές Αλληλεξαρτήσεις. Μέχρι τώρα μελετήσαμε την στατική σχέση μεταξύ δυο μεγεθών με βάση το απλό υπόδειγμα: ( ;, ) = f β β + ε (G.) Με βάση όμως το (Χρονο)ιαγράμματα G.4 και G.6 το παραπάνω υπόδειγμα πρέπει να επεκταθεί και να συμπεριλάβει τις διαχρονικές επιδράσεις της μεταβλητής παραπάνω υπόδειγμα σε ένα υπόδειγμα της μορφής : στην μεταβλητή (, ;, ) = f β β β β + ε (G.) 3 k k. Θα πρέπει το Το υπόδειγμα G. είναι ένα υπόδειγμα με διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις, δεδομένου ότι λαμβάνει υπ όψη του τις επιδράσεις της ερμηνευτικής μεταβλητής στην ερμηνευόμενη μεταβλητή χρονικές περιόδους. οι οποίες σημειώθηκαν ή έλαβαν μέρος σε διαφορετικές μελλοντικές Στο υπόδειγμα (G.) η επίδραση της μεταβλητής χρονικής περιόδου. επί της μεταβλητής εξαντλείται εντός μιας Στο υπόδειγμα (G.) η επίδραση της μεταβλητής στην μεταβλητή κατανέμεται στον χρόνο, δεδομένου ότι εκτός την άμεση επίδραση d d +, d d +3 διαφήμιση) στις πωλήσεις d διαχέεται ή καλύτερα d d, d έχουμε επιπλέον τις + κ.λ.π. που εκφράζουν τις επιδράσεις μιας μεταβολής της μεταβλητής (δαπάνες για του συγκεκριμένου προϊόντος, τις επόμενες χρονικές περιόδους. Έχοντας στην διάθεση μας τις εκτιμήσεις των παραμέτρων β, β, β,..., β κ μπορούμε να αντλήσουμε πληροφόρηση και να συστηματοποιήσουμε την μελέτη των διαχρονικών επιδράσεων της μεταβλητής (απάνες για ιαφήμιση) στην μεταβλητή (Πωλήσεις ενός Προϊόντος) χρησιμοποιώντας τα εξής: Η Άμεση (Βραχυχρόνια) Επίδραση (Impac Effec, Shor Run Effec): d = β d Εκφράζει την άμεση αντίδραση της μεταβλητής στην περίοδο. (G.3) σε μια μεταβολή της ερμηνευτικής μεταβλητής 6 6 Θά μπορούσαμε επίσης να πούμε ότι η σχέση (G.3) εκφράζει την άμεση επίδραση μιας μεταβολής της ερμηνευτικής μεταβλητής επί της ερμηνευόμενης μεταβλητής 6 στην περίοδο.

11 Οι Ενδιάμεσες Επιδράσεις (Inerim Effecs). Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων β, β,..., β κ θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως οι ενδιάμεσες επιδράσεις στην πρόσκαιρη μεταβολή της μεταβλητής την περίοδο, στις χρονικές περιόδους: d = = d + + β περίοδο στην μεταβλητή d = = d + + β την περίοδο στην μεταβλητή d = = d + κ + κ β κ την περίοδο στην μεταβλητή : Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της μεταβλητής που εκδηλώνεται την την περίοδο +. : Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της μεταβλητής που εκδηλώνεται την περίοδο +. : Εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της μεταβλητής που εκδηλώνεται την περίοδο + κ. Η Αθροιστική Επίδρασης μιας μεταβολής της μεταβλητής (Cumulaive Effecs, Long-run effecs) στην μεταβλητή Το «άθροισμα» όλων των συντελεστών β, β, β,..., β κ εκφράζει το συνολικό (τελικό) αποτέλεσμα στην επίδραση μιας μεταβολής της μεταβλητής στην μεταβλητή. Η αθροιστική επίδραση υπολογίζεται ως εξής: κ d d+ d+ d+ κ... β β... βκ β d d d d = = (G.4) = Οι Σταθμισμένοι Συντελεστές Επίδρασης (Sandardized Coefficiens). Οι συντελεστές αυτοί ορίζονται ως εξής: β = κ β = β για,,..., κ = (G.5) Οι συντελεστές αυτοί εκφράζουν το ποσοστό της επίδρασης μιας μεταβολής της μεταβλητής μεταβλητής που έχει υλοποιηθεί στην,,,..., κ = περίοδο. επι της

12 Μπορούμε επιπλέον να ορίσουμε σε σχέση με τον χρόνο τα εξής επιπλέον μεγέθη: Η Μέση Χρονική Επίδραση (Mean Lag) 7. = Μέση Χρονική Επίδραση = κ κ = β β (G.6) Η μέση επίδραση εκφράζει τον χρόνο που απαιτείται για να ολοκληρωθεί κατά % η επίδραση της μεταβολής της μεταβλητής επί της μεταβλητής. Εάν για παράδειγμα η μέση επίδραση είναι,5 και όταν οι δύο μεταβλητές και είναι διαθέσιμες σε μηνιαία βάση αυτό σημαίνει ότι για να εξαντληθεί ή να μηδενισθεί η επίδραση μιας μεταβολής στην μεταβλητή κατά μέσο χρόνο απαιτούνται.5 μήνες. Η μέση επίδραση θέλει προσοχή στην ερμηνεία της διότι εκφράζει στο μέσο χρόνο που χρειάζεται να ολοκληρωθεί στο % της επίδρασης της μεταβλητής κάνουμε συγκρίσεις. στην. Είναι χρήσιμο εργαλείο ιδίως όταν (Χρονο)ιάγραμμα G.7. ιαχρονιά κατανεμημένες επιδράσεις με την ίδια χρονική διάρκεια αλλά με διαφορετική Μέση Επίδραση. Στο (Χρονο)ιάγραμμα G.7 συγκρίνουμε δυο διαχρονικά κατανεμημένες επιδράσεις οι οποίες εξαντλούνται εντός χρονικών περιόδων. Ενώ και οι δυο επιδράσεις έχουν μια χρονική διάρκεια περιόδων η επίδραση (Α) εξαντλείται σε μεγάλο μέρος στις ή 3 χρονικές περόδους σε αντίθεση με την επίδραση (Β) που χρειάζεται περισσότερο χρόνο μέχρις ότου εξαντλειθεί. Η ιάμεση Χρονική Επίδραση (Medean Lag). Η επίδραση αυτή υπολογίζεται ως εξής: ιάμεση Επίδραση = Lag όταν Lag β = β =,5 (G.7) 7 Σε πολλά οικονομετρικά εγχειρίδια η λέξη επίδραση αντικαθίσταται με την λέξη υστέρηση.

13 Η ιάμεση Επίδραση εκφράζει τον χρόνο μέσα στον οποίο το 5% της επίδρασης έχει ολοκληρωθεί. Είναι και αυτό ένα επιπλέον εργαλείο ή μέτρο μελέτης της διαχρονικής αντίδρασης της εξαρτημένης μεταβλητής σε μια μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής. 3

14 Αλγεβρική Προσέγγιση του (Χρονο)ιάγραμματος G.3(Συνέχεια). Προσεγγίζουμε τό (Χρονο)ιάγραμμα G.3 ή την γενική σχέση (5.3) που συνδέει τις δυο μεταβλητές με το ανάπτυγμα μιας σειράς Talor, ως εξής : θ θ θ θ = ( ) ( ) ( ) ( 3 3) θ θ θ θ 3 θ θ θ θ θ θ θ = ε θ θ θ θ 3 θ θ θ θ θ θ = a ε (5.4) θ θ θ Το υπόδειγμα που προκύπτει είναι : a β β β ε (5.5) = k k + Το υπόδειγμα (5.5) είναι ένα υπόδειγμα με ιαχρονικά Κατανεμημένες Επιδράσεις 8 ( Disribued Lags Model). Αν έχουμε στην διάθεση μας στοιχεία για την μεταβλητή και την μεταβλητή, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους a, β, β,..., β και κατ επέκταση να συγκεκριμενοποιήσουμε αριθμητικά τις διαχρονικές εκφράσεις και της μεταβλητής (5.4). στην μεταβλητή μέσω των σχέσεων Το υπόδειγμα (5.5) μπορεί να γραφεί ως εξής : = + k β + = a ε (5.6) Το υπόδειγμα (5.6) έχει συγκεκριμένο αριθμό χρονικών υστερήσεων (s),δηλαδή η επίδραση της έχει ένα συγκεκριμένο αριθμό επιδράσεων (s).το υπόδειγμα (5.6) συνήθως ονομάζεται Υπόδειγμα ιαχρονικών Κατανεμημένων Επιδράσεων με περιορισμένο Αριθμό Χρονικών Επιδράσεων. Επιπλέον υπάρχει η δυνατότητα να γράψουμε (5.6) ως εξής : 8 4

15 (5.7) = a+ β + ε = Το (5.7) είναι το Υπόδειγμα των ιαχρονικών Κατανεμημένων Επιδράσεων με Απεριόριστο (Άπειρο) Αριθμό Χρονικών Επιδράσεων ν. 5

16 Το Υπόδειγμα της Μερικής Προσαρμογής (των Αποθεμάτων) 9. Για τη διερεύνηση της διαχρονικής συνεξέλιξης της μέσης τιμής της αμόλυβδης και της τιμής του πετρελαίου Brend, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε το Υπόδειγμα της Μερικής Προσαρμογής. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η επιθυμητή τιμή της αμόλυβδης στην Ελλάδα, έστω P είναι AVER, συνάρτηση της τιμής του Brend. Θα μπορούσαμε δηλαδή να εκτιμήσουμε ένα υπόδειγμα της μορφής: με P = β + β P + ε (6.) AVER, oil, ( ) AVER, P P = λ P P (6.) AVER, AVER, AVER, όπου: P P AVER, = Επιθυμητή Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα AVER, = Πραγματική Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα P oil, = Τιμή του Πετρελαίου Brend ($/ Βαρέλι) ε = ιαταρακτικός Όρος και β και β είναι παράμετροι υπό εκτίμηση. Για την απλοποίηση των υπολογισμών θα μπορούσαμε να θέσουμε ότι P AVER,, = P AVER, και = Poil, Με τον παραπάνω συμβολισμό το υπόδειγμα για την ερμηνεία των τιμών της αμόλυβδης στην Ελλάδα γράφεται ως εξής: = + β β + ε = λ ( ) (6.3) (6.4) για =,,..T Στην παραπάνω σχέση η μεταβλητή δεν είναι μετρήσιμη, δεδομένου ότι εκφράζει το επιθυμητό αλλά μη μετρήσιμο μέγεθος της μεταβλητής ένα σχήμα της μορφής: ( λ) = λ + Ή μετά από σειρά απο αλγεβρικές προσαρμογές : όπου = λ ( ) : οι πραγματικές τιμές της μεταβλητής. Μπορεί όμως η μεταβλητή (6.6) (6.5) να προσεγγισθεί με : το επιθυμητό μέγεθος της μεταβλητής (desired sock) 9 Socks Adusmen Model. 6

17 λ: είναι ο Συντελεστής Μερικής Προσαρμογής των επιθυμητών τιμών (desired) τιμές (acive). Η τιμή του Συντελεστή Μερικής Προσαρμογής βρίσκεται πάντοτε μεταξύ και, ως εξής: ( λ ) (6.7) Εάν η τιμή του λ= = = (πλήρης προσαρμογή) Εάν το λ είναι κοντά στο μηδέν τότε, έστω λ=. τότε: =.( ) =. ( ) (6.8) δηλαδή η απόκλιση της επιθυμητής τιμής από την πραγματική τιμή της (.) της απόκλισης της μεταβλητής από την προηγουμένη της τιμή. στις πραγματικές είναι πολύ μικρό μέρος Η Εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος. Για την εκτίμηση των παραμέτρων β, β και λ του υποδείγματος λύνουμε το σύστημα εξισώσεων : = + β β + ε = λ ( ) (6.9) (6.) Θέλοντας να σχηματίσουμε το δεξιό μέρος της σχέσης (6.), αφαιρούμε από την εξίσωση (6.9) την μεταβλητή : = β + β + ε Πολλαπλασιάζουμε την παραπάνω σχέση επι λ, και δημιουργούμε το δεξιό μέρος της σχέσης (6.) : ( ) = βλ + βλ λ ε λ + Αντικαθιστούμε την παραπάνω σχέση στην εξίσωση ( 6.) λαμβάνοντας: με ( ) = β λ + βλ λ λε = λ + ( λ + ) λε ( λ) λε λ + ( ) w = β λ + β λ + = β + + λ βλ = λ + β λ + β (6.) w = λε (6.) Οι σχέσεις (6.) και (6.) είναι οι δύο σχέσεις που θα πρέπει να αξιοποιηθούν για τον υπολογισμό των παραμέτρων β, β και λ. Ιδιαίτερα η σχέση (6.) η οποία έχει πλέον ένα νέο διαταρακτικό όρο, την w = λε. Οι στατιστικές ιδιότητες του νέου διαταρακτικού όρου: E w = E = E = λ = (Μέση Τιμή) ( ) ( λε ) λ ( ε ) 7

18 V w = V λε = λ V ε = λ σ ε (ιακύμανση) ( ) ( ) ( ) Οι υποθέσεις για τον διαταρακτικό όρο w της παραπάνω στοχαστικής εξίσωσης είναι αυτές του Κλασσικού Γραμμικού Υποδείγματος. Οι δύο παραπάνω υποθέσεις είναι χρησιμότατες για την = λ + β λ + λ + w β με την εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος ( ) εφαρμογή της μεθόδου των απλών ελάχιστων τετραγώνων. Αυτό είναι δυνατό δεδομένου ότι η αναμενόμενη τιμή του διαταρακτικού όρου w έχει μέση τιμή μηδέν και σταθερή διακύμανση. Με βάση την παραπάνω υπόθεση προκύπτει ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο των Απλών Ελάχιστων Τετραγώνων για την εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος, έστω και αν στις ερμηνευτικές μεταβλητές υπάρχει η εξαρτημένη μεταβλητή με χρονική υστέρηση. Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων είναι συνεπείς, δεδομένου ότι εφαρμόζουμε το Μερικώς Ανεξάρτητο Στοχαστικό Γραμμικό Υπόδειγμα. Η εκτίμηση των παραμέτρων β, β, λ, ( βλ βλ + ( λ) ) min ˆ ˆ T β, β, λ =. σ θα γίνει ελαχιστοποιώντας το Άθροισμα: 8

19 Το Υπόδειγμα των Αναπροσαρμοσμένων Προβλέψεων. Σύμφωνα με το υπόδειγμα αυτό σε μια σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων μεγεθών ερμηνευμένη μεταβλητή είναι συνάρτηση των αναμενόμενων ή προβλεπόμενων (epeced forecased) τιμών των ερμηνευτικών μεταβλητών. Ένα τέτοιο σχήμα θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση της συνεξέλιξης της τιμής της αμόλυβδης στην Ελλάδα και των διεθνών τιμών του πετρελαίου Brend. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η μέση τιμή της αμόλυβδης P AVER, είναι συνάρτηση των αναμενόμενων τιμών του πετρελαίου Bren oil. μ ένα σχήμα της μορφής: P = β + β P + ε AVER, oil, Επιπλέον αν υποθέσουμε ότι σύνδεση της αναμενόμενης τιμής του Brend ( P oil, ) με την πραγματική τιμή, γίνεται μέσω ενός μηχανισμού Αναπροσαρμοσμένων Προβλέψεων της μορφής: ( λ )( ) P P = P P oil, oil, oil, oil, Όπου λ είναι ο συντελεστής προσαρμογής των πραγματικών τιμών P oil, και των προβλεπόμενων (αναμενόμενων) τιμών P oil,. Για την απλοποίηση των υπολογισμών μπορούμε να γράφουμε με = P, = P και AVER, oil, P = oil, οπότε: Το Υπόδειγμα των Αναπροσαρμοσμένων Προβλέψεων γράφεται ως εξής: = β ο + β + ε ή = β + ε = ( λ)( ) λ Ο συντελεστής λ ονομάζεται συντελεστής προβλέψεων (epecaions coefficien). Όπου : ερμηνευόμενη μεταβλητή : Προβλεπόμενο μέγεθος της μεταβλητής : Η ερμηνευτική μεταβλητή ( )( ) Εάν λ= = = = Εάν λ= ( )( = ) Parial Adusmen model. 9

20 = δεν έχουμε καμία προσαρμογή Ο μηχανισμός προσαρμογής των προβλέψεων σε σχέση με την μεταβλητή ( λ )( ) (, ; λ ) = + = f γράφεται ως εξής: ηλαδή οι αναπροσαρμοσμένες προβλέψεις εξαρτώνται τόσο από την τρέχουσα τιμή της μεταβλητής αλλά και από προβλέψεις της προηγούμενης περιόδου. Ο συντελεστής λ είναι αυτός που καθορίζει και την ένταση της προσαρμογής. Η σχέση (6.5) γράφεται και ως εξής: = λ + ( λ) Η εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος των δύο εξισώσεων γίνεται ως εξής : ( λ )( ) = = ( λ) ( λ) ( L) ( λ ) ( L) ( L ) ( λ) L ( λ) L L λl ( λ) L = + = + = = ( λl) ( λ) ( λ ) ( λl) = αντικαθιστούμε την παραπάνω σχέση λαμβάνοντας: ( λ) = β ( ) + ε λl ( λl) = ( λ) β + ( λl) ε = + λ β + w λ ( ) w = ε λε Η εκτίμηση της παραπάνω σχέσης δεν μπορεί να γίνει με την απλή μέθοδο των Ελάχιστων Τετραγώνων. Και αυτό διότι ο νέος διαταρακτικός όρος w = ε λε είναι ένα σχήμα κινητού μέσου, σαν αυτά που αναπτύξαμε στην περίπτωση του προβλήματος της αυτοσυσχέτισης του διαταρακτικού όρου. Ο νέος διαταρακτικός όρος μέσω αυτού του σχήματος ενσωματώνει πληροφόρηση. Με πολύ απλά λόγια αν χρησιμοποιήσουμε την απλή μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων και αγνοήσουμε αυτή την πληροφόρηση που μας παρέχει ο διαταρακτικός όρος τότε οι εκτιμήσεις μας δεν θα είναι καν Σε αυτή την ανάλυση χρησιμοποιήθηκε ο τελεστής των χρονικών επιδράσεων. Πρόκειται για ένα εργαλείο απλοποίησης των αλγεβρικών πράξεων. Ο τελεστής ή και μετασχηματιστής των επιδράσεων (Lag Operaor) καθορίζεται ως εξής: Μια μεταβλητή με κάποια χρονική υστέρηση έστω γράφεται ως εξής: = L και = L, L L ( L ) 3 = =, = 3 L

21 συνεπείς 3. Αν εκτιμήσουμε με την μέθοδο των απλών ελάχιστων τετραγώνων το υπόδειγμα ( ) = λ + λ β + w χωρίς να λάβουμε υπ όψη μας την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης στις τιμές του διαταρακτικού όρου w = ε λε τότε μπορεί να οδηγηθούμε σε λαθεμένα συμπεράσματα4. Χρειάζεται να γίνουν οι ανάλογοι μετασχηματισμοί ούτως ώστε στο παραπάνω υπόδειγμα ο διαταρακτικός του όρος να ακολουθεί τις υποθέσεις του Κλασσικού Γραμμικού Υποδείγματος. Η εκτίμηση των παραμέτρων του υποδείγματος με διαταρακτικό όρο που ακολουθεί ένα σχήμα κινητού μέσου ΜΑ() γίνεται ως εξής: λ = [ ] + w β( λ) w = ε λε Η (3) μπορεί να απλοποιηθεί ακόμη περισσότερο εάν τη χωρίσουμε σε δύο μέρη : = β ( λ) λ + β ( λ) λ + ε = Γράφοντας -=i μπορούμε να γράψουμε την (4) ως : όπου : = β z + n z + ε = (5) (4) n E = ( ) = β( λ) λ = (6) z = λ = λ ( ) = λ (8) (7) Η εκτίμηση της (5) μπορεί να γίνει με τη μέθοδο των Γραμμικών Ελαχίστων τετραγώνων όπως αυτή παρουσιάζεται στο Παράρτημα 5. 3 Υπάρχουν τρεις περιπτώσεις όπου η μέθοδος των απλών ελάχιστων τετραγώνων δεν μας δίδει καν συνεπείς εκτιμήσεις. Οι περιπτώσεις αυτές είναι οι εξείς: Υποδείγματα που στο δεξιό τους μέρος έχουν την ερμηνευμένη μεταβλητή με χρονική υστέρηση και αυτοσυσχετιζόμενο διαταρακτικό όρο, Υποδείγματα με λάθη μέτρησης στις μεταβλητές καί τα ιαρθρωτικά Συστήματα Εξισώσεων. 4 Μία παρουσίαση αυτών των λαθεμένων συμπερασμάτων απο την εφαρμογή της μεθόδου των απλών ελάχιστων τετραγώνων παρουσιάζεται στο αμέσως επόμενο μέρος με την βοήθεια μιας σειράς πειραματισμών.

22 Αυτό που χρειάζεται είναι να εφαρμόσουμε μία επαναληπτική τεχνική ελαχίστων τετραγώνων για διάφορες τιμές του λ στο διάστημα τιμών που καθορίζεται από την (8). Επιλέγουμε εκείνη την εκτίμηση του λ που μας δίνει το ελαχιστότερο(μικρότερο) άθροισμα του τετραγωνικού σφάλματος. ^ ^,, )) ( ) ( ( min ^ ^ ^ λ λ β λ β ο o o T n z n z o =

23 Υποδείγματα με Πολυωνυμικά Κατανεμημένες Χρονικές Επιδράσεις. Ένα τέτοιο σχήμα θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση της συνεξέλιξης της τιμής της αμόλυβδης στην Ελλάδα και των διεθνών τιμών του πετρελαίου Brend. Θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι η μέση τιμή της αμόλυβδης P AVER, είναι συνάρτηση των αναμενόμενων τιμών του πετρελαίου Brend P oil. μ ένα σχήμα της μορφής: ιαχρονικές Επιδράσεις της μεταβλητής β = f = a + a + a + + a ( ) o... r στις τιμές της μεταβλητής r Σχεδιάγραμμα. Πολυωνυμική Μορφή των ιαχρονικών Επιδράσεων της μεταβλητής. στην μεταβλητή 3

24 (Χρονο)ιάγραμμα G.4 ιαχρονική Αντίδραση της Η Αντίδραση της Μέσης Τιμής της Αμόλυβδης στην Ελλάδα σε μία Μεταβολή της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend. ( PAVER ) ( Poil) ( AVER ) d( Poil), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την τρέχουσα περίοδο(πρώτη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τόν δεύτερη Ημέρα)) ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), +, + ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τή Τρίτη Ημέρα) 4 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 4, + 4 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής της ιεθνούς Τιμής του Πετρελαίου Brend στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα τήν Τέταρτη Ημέρα) 7 ( PAVER ) ( Poil ) ( AVER ) d( Poil ), + 7, + 7 ( εκφράζει την επίδραση μιας μεταβολής του ιαθέσιμου Ιδιωτικού Εισοδήματος στην Μέση Τιμή της Αμόλυβδης στην Ελλάδα την έβδομη Ημέρα) = a+ β + β + + β + ε... m m 4

25 ή = a+ β + β + + β + ε (4)... m m m = + β ε = ο + (5) a όπου,3,..., m a, a, a,... a,γ, o r r β = f ( ) = ao + a+ a ar (6) = (7) β, β, β,, βm είναι παράμετροι υπό εκτίμηση. Η Μέθοδος Εκτίμησης των Παραμέτρων του Υποδείγματος. Για δεδομένο αριθμό χρονικών υστερήσεων m και τον βαθμό του πολυώνυμου (r) ν το υπόδειγμα με την υπόθεση ότι : m = γ + β + ε = ο β = f = a + a + a + + a ( ) o... r r μπορεί να εκτιμηθεί με την μέθοδο των απλών ελάχιστων τετραγώνων. Έστω ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι r = 3 και ο αριθμός των χρονικών επιδράσεων είναι m=(5), τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε τους συντελεστές των χρονικών υστερήσεων ως εξής: ( ) β = f = a + a + a + a (8) 3 Έτσι για =,..., s=5 οι συντελεστές των χρονικών υστερήσεων θα μπορούσαν να προκύψουν ως εξής: = β = ƒ() = α = β = ƒ() = α + α + α + α3 (9) = β = ƒ() = α + α + α + 3 α3 =5 : : : : : : : : : : : : : : : : : : β5 = ƒ(5) = α + 5α +5 α α3 Αντικαθιστούμε τους συντελεστές β στο = = γ + s 5 β ε = ο + μπορούμε να λάβουμε: = α + β + β β5-5 + ε = γ + α + (α + α + α + α3) - +(α + α + α + 3 α3) - + : + (α + sα +s α + s 3 α3) -5 5

26 + ε () Μετά από μερική επεξεργασία μπορούμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές ως εξής : = γ + α( ) + α( ) () + α( ) + α3( )+ε ημιουργώντας τις μεταβλητές (,3) w i = ανάλογα με τον βαθμό του πολυωνύμου i w = ( ) w = ( ) () w = ( ) w3 = ( ) τότε το βασικό υπόδειγμα των διαχρονικά κατανεμημένων υστερήσεων γράφεται 5 ως εξής: = α + αw + αw + αw + α3w3+ε (3) Το παραπάνω υπόδειγμα μπορεί πλέον να εκτιμηθεί με την μέθοδο των απλών ελαχίστων τετραγώνων. aa ˆ, ˆ, aˆ aˆ Η μέθοδος των απλών ελάχιστων τετραγώνων μπορεί να εφαρμοσθεί ως εξής: Αν και είναι κάποιες ελάχιστων τετραγώνων εκτιμήσεις των παραμέτρων a, a, a και a3 τότε αυτές μπορούν να εκτιμηθούν ελαχιστοποιώντας το άθροισμα : ˆ, ˆ, ˆˆ T = ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) min a a w aw a w aa aa Έχοντας εκτιμήσει τις παραμέτρους a i με i =,,..., m, έστω a i για i,,..., m =, μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους β ως εξής: β = ƒ() = 3 ao + a + a + a3 για =,,,3,.,5 Αναλυτικότερα η παραπάνω σχέση μπορεί για =,,,3 να γράφεί ως εξής: 5 Εναλλακτικά το παραπάνω υπόδειγμα θα μπορούσε να γραφεί και ώς εξής: = a + = r i a w i i + ε όπου s= 5 i = τ τ = τ w i για ι =,,..., r και s= 5 i = τ τ = τ w i για i=,,,3 είναι η μετασχηματισμένη μεταβλητή βασισμένη στην ανεξάρτητη μεταβλητή σε σχέση πάντοτε και με την παράμετρο r. Επιπλέον αντικαθιστώντας τις σταθμίσεις s= 5 i = τ τ = τ w i τό αρχικό υπόδειγμα μπορεί να γραφεί ώς: ) m r i = ( γ τ τ i ι τ + = = ε 6

27 = ˆ β = f = aˆ + aˆ () + aˆ () + a () = aˆ Για ( ) 3 3 = ˆ β = f = aˆ + aˆ () + aˆ () + a () = aˆ + aˆ + aˆ + aˆ Για ( ) = ˆ β = f = aˆ + aˆ () + aˆ () + a () = aˆ + aˆ + 4aˆ + 8aˆ Για ( ) = 3 ˆ β = f 3 = aˆ + aˆ (3) + aˆ (3) + a (3) = aˆ + 3aˆ + 9aˆ + 7aˆ Για ( ) Αν για παράδειγμα έχουμε ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού (r=) και οι εκτιμήσεις των παραμέτρων aa a, και a είναι: aˆ 43.6 aˆ 4.38 = aˆ 6.7 aˆ 3.57 Τότε οι υπό εκτίμηση επιδράσεις μιας μεταβολής της μεταβλητής εξής: = ˆ β = f = aˆ + aˆ () + aˆ () = ˆ β = aˆ = 4.38 Για ( ) Για ( ) Για στην μεταβλητή = ˆ β = f = aˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + a() + a() = β = a + a+ a = = 7.54 = ˆ β = f ( ) = aˆ + aˆ () + aˆ () = ˆ β = aˆ + aˆ + 4aˆ = (6.7) + 4( 3.57) = 3.54 θα υπολογισθεί ως Για ( ) = 3 ˆ β = f 3 = aˆ + aˆ (3) + aˆ (3) = aˆ + 3aˆ + 9aˆ 3 = (6.7) + 9( 3.57) = 7.6 7