ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 o : Βέλτιστη Ψηφιακή Αναγνώριση Προσαρμοσμένα Φίλτρα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : Βέλτιστη Ψηφιακή Αναγνώριση Προσαρμοσμένα Φίλτρα

3- Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 3 3. Εισαγωγή... 3 3. Ορισµός και ιδιότητες του Σύµφωνου Προσαρµοσµένου Φίλτρου (ΣΠΦ)... 4 3.. Ορισµός ΣΠΦ... 4 3.. Χρονική απόκριση του ΣΠΦ... 5 3..3 Το προσαρµοσµένο φίλτρο ως συσχετιστής... 6 3..4 Βελτίωση της σηµατοθορυβικής σχέσης µε το ΣΠΦ... 7 3.3 Προσαρµοσµένα Φίλτρα στον Ν-διάστατο σηµατικό χώρο... 8 3.3. Ο γραµµικός σηµατικός χώρος... 8 3.3. Αλγόριθµος ορθογωνιοποίησης Gam-Schmdt (Gam-Schmdt thgnalzatn)... 9 3.3.3 Το πρόβληµα της αναγνώρισης στον Ν-διάστατο χώρο... 9 3.3.4 Αναγνώριση µέγιστης πιθανοφάνειας σε αθροιστικό, γκαουσιανό θόρυβο... 3.3.5 Ανάλυση σφάλµατος... 3 3.3.6 Σύµφωνα και Ασύµφωνα συστήµατα αναγνώρισης... 4 3.3.7 Επίδραση θορύβου στον ασύµφωνο δέκτη... 9 3.4 Επεξεργασµένα παραδείγµατα... 3.4. Παράδειγµα: υαδική µετάδοση µε ηµιτονικούς παλµούς και αναγνώριση ΣΠΦ... 3.4. Παράδειγµα: Πιθανότητα εσφαλµένης ανίχνευσης συµβόλων L-ASK. 4 3.5 Ασκήσεις προς εκτέλεση... 9 3.6 Παράρτηµα... 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 3. Εισαγωγή Η µετάδοση ψηφιακών δεδοµένων (ακολουθιών ψηφίων ή άλλων διακριτών συµβόλων) απó την πηγή πληροφορίας στον προορισµό γίνεται µε απεικονισή τους σε ακολουθίες στοιχειωδών διακριτών κυµατοµορφών, κατάλληλων για µετάδοση µέσω του διαθέσιµου διαύλου επικοινωνίας. Τα στοιχειώδη αυτά σήµατα θα ονοµάζουµε συµβατικά παλµούς, τις δε ακολουθίες των παλµών, παλµοσειρές. Εκτός από τις παλµοσειρές αυτές καθ' εαυτές, στο δέκτη είναι απαραίτητη και η πληροφορία χρονισµού για την οριοθέτηση των παλµών. Τις περισσότερες φορές η πληροφορία αυτή ενυπάρχει στις ίδιες τις παλµοσειρές απ' τον ειδικό τρόπο κατασκευής τους. Οι παλµοσειρές (µαζί µε την πληροφορία χρονισµού τους) θα ονοµάζονται ψηφιακές κυµατοµορφές (παρά την κάποια αντίφαση του όρου). Αν ο δίαυλος ήταν ιδανικός, δεν αλλοίωνε δηλαδή καθόλου τις µεταδιδόµενες κυµατοµορφές, ή οι όποιες αλλοιώσεις ήταν ντετερµινιστικές και άρα προβλέψιµες, θα ήταν εύκολο για το δέκτη να ανεύρει µέσα στις λαµβανόµενες κυµατοµορφές τα µεταδιδόµενα δεδοµένα. Το πρόβληµα έγκειται ακριβώς στο γεγονός ότι οι εκπεµπόµενες κυµατοµορφές αλλοιώνονται κατά τρόπο στοχαστικό (λόγω θορύβου ή άλλης στοχαστικής συµπεριφοράς του διαύλου) και η αναγνωρισή τους στο δέκτη γίνεται µε κάποια πιθανότητα λάθους. Τα δύο βασικά προβλήµατα που ανακύπτουν εδώ είναι. Σχεδιασµός του ποµπού, σχεδιασµός δηλαδή κυµατοµορφών κατάλληλων για το διαθέσιµο είδος διαύλου µε γνωστές ατέλειες.. Σχεδιασµός του δέκτη. Ο δέκτης θα πρέπει να εφοδιαστεί µε λειτουργίες αποκατάστασης και αναγνώρισης (detectn) ή εκτίµησης (estmatn), οι οποίες θα ανακτούν τα ψηφιακά δεδοµένα από τις ψηφιακές κυµατοµορφές. Βασικό κριτήριο επίλυσης των παραπάνω δύο προβληµάτων είναι η ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λάθους αναγνώρισης στο δέκτη. Για το λόγο αυτό ξεκινάµε στο παρόν κεφάλαιο µε τη µελέτη των βασικών λειτουργιών αναγνώρισης ή εκτίµησης, κατ' αρχήν µεµονωµένων κυµατοµορφών (παλµών). Στο επόµενο κεφάλαιο η µελέτη επεκτείνεται σε ακολουθίες τέτοιων παλµών (παλµοσειρές), όπου έρχεται στο προσκήνιο η επίδραση του εύρους ζώνης του διαύλου.

3-4 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο 3. Ορισμός και ιδιότητες του Σύμφωνου Προσαρμοσμένου Φίλτρου (ΣΠΦ) Τα προσαρµοσµένα φίλτρα (matched fltes) χρησιµοποιούνται στους δέκτες συστηµάτων ψηφιακής επικοινωνίας, µε σκοπό την ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λανθασµένης αναγνώρισης των εκπεµπόµενων συµβόλων, όταν τα σήµατα-παλµοί που τα µεταφέρουν αλλοιώνονται κατά την εκποµπή ή και κατά την επεξεργασία τους στο δέκτη (φιλτράρισµα, ενίσχυση) µε λευκό αθροιστικό θόρυβο. 3.. Ορισμός ΣΠΦ Έστω G(f) η συνάρτηση µεταφοράς γραµµικού φίλτρου στο δέκτη συστήµατος εκποµπής-λήψης παλµών, όπως στη διάταξη του σχ. 3.α. Αν ο εκπεµπόµενος παλµός, h(t) [διάρκειας Τ, ενέργειας Ε h ], αλλοιώνεται µε λευκό αθροιστικό θόρυβο, w(t), έστω πυκνότητας (δίπλευρου) φάσµατος ισχύος Ν ο /, τότε η σηµατοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου κατά τη στιγµή δειγµατοληψίας, t=, µεγιστοποιείται όταν: συνάρτηση µεταφοράς προσαρµοσµένου φίλτρου G( f ) = ch * ( f ) e πf (3.) όπου H(f) ο µετασχηµατισµός Fue του παλµού h(t) και c οποιαδήποτε σταθερά. Απόδειξη της (3.): Κατά τη στιγµή δειγµατοληψίας, t=, η σηµατοθορυβική σχέση στην έξοδο του φίλτρου πf I H f G( f ) H ( f ) e df S = είναι ut h ( ) [ { ( )} t ] = = E{ w } ut ( ) S n ( f ) df G( f ) df Εφαρµόζοντας στον αριθµητή της παραπάνω σχέσης την ανισότητα Schwatz U ( f ) V ( f ) df U( f ) df V ( f ) df U( f ), V ( f ) C, * µε την ισότητα να ισχύει όταν U ( f ) = cv ( f ) (δηλαδή U(f) και V(f) ευθυγραµµισµένες algned), παίρνουµε S ut H ( f ) df h ( t) dt E = = = ut / / max h όταν G( f ) * πf = ch ( f ) e 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-5 (α) h(t) w(t) (t)= (t)= h(t)+w(t) h (t)+w (t) ίαυλος / -Fs / Fs / f ΣΠΦ G(f) * G( f ) = H ( f ) e g( t) = h( t) πf ( 3. ) = w () h( t) ( t) dt σwο (β) Ν s δείγµατα F s = s g[ n] = h[ n] s h () [ ] = h[ n] [ n] (γ) E h = h ( t) dt s n= h [ n] S n n Eh Fs = E h s S ut ut Eh Sn = Fs n = S n = s n ΠΟΜΠΟΣ ΙΑΥΛΟΣ ΕΚΤΗΣ Σχήµα 3.: Σύµφωνο Προσαρµοσµένο Φίλτρο-ΣΠΦ (α) ορισµός (β) πεδίο διακριτού χρόνου (γ) ενεργειακές σχέσεις 3.. Χρονική απόκριση του ΣΠΦ Στο πεδίο του χρόνου η (3.) γράφεται κρουστική απόκριση προσαρµοσµένου φίλτρου g( t) = ch( t) (3.) Η χρονική απόκριση του φίλτρου στον παλµό h(t) δίνεται από τη συνέλιξή του µε την g(t) της (3.): h ( t) = g( τ ) h( t τ ) dτ = c h( τ ) h( t τ ) dτ (3.3) Η χρονική απόκριση του φίλτρου (συνέλιξη µε g(t)) στο θορυβώδες σήµα (t)=h(t)+w(t) δείχνεται στο σχήµα 3..

3-6 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο (α) (β) (γ) Σχήµα 3.: Απόκριση ΣΠΦ στο πεδίο του χρόνου (α) θορυβώδες σήµα (β) συνέλιξη µε g(τ) (γ) έξοδος 3..3 Το προσαρμοσμένο φίλτρο ως συσχετιστής Το προσαρµοσµένο φίλτρο λειτουργεί στην πραγµατικότητα ως συσχετιστής, αφού η έξοδός του κατά τη στιγµή δεγµατοληψίας (στο τέλος της περιόδου Τ) είναι η συχέτιση <h,>, του λαµβανόµενου θορυβώδους σήµατος µε τον εν λόγω παλµό. Προφανώς, απαιτείται συγχρονισµός για να γίνει σωστά η συσχέτιση και η δειγµατοληψία στο δέκτη, όπως εξηγείται αναλυτικότερα στην παράγραφο 3.3.6, απ όπου και το όνοµα σύµφωνη αναγνώριση και Σύµφωνο Προσαρµοσµένο Φίλτρο-ΣΠΦ). = + =< >= h( t) ( t) dt h ( t) dt h( t) w( t) dt [ ] h, (3.4) s s s h[ n] [ n] = h [ n] + n= n= h[ n] w[ n] n= 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-7 3..4 Βελτίωση της σηματοθορυβικής σχέσης με το ΣΠΦ Η σηµατοθορυβική σχέση κατά τη στιγµή δειγµατοληψίας στην έξοδο του ΣΠΦ γίνεται µέγιστη, ίση µε έξοδος ΣΠΦ για t= S ut ut max h [ ] Eh S n = = (3.5) E{ w } [ ] ανεξάρτητη από το εύρος ζώνης Fs του θορύβου που έχει υπερτεθεί. Με την υπόθεση σταθερής φασµατικής πυκνότητας θορύβου, η ισχύς θορύβου είναι ανάλογη της συχνότητας δειγµατοληψίας, F s, και η σηµατοθορυβική σχέση αντιστρόφως ανάλογη αυτής. Ωστόσο, στην έξοδο του ΣΠΦ η σηµατοθορυβική σχέση παραµένει σταθερή, σύµφωνα µε τη σχέση (3.5), και υπ αυτή την έννοια το ΣΠΦ παρέχει βελτίωση της σηµατοθορυβικής σχέσης κατά τον παράγοντα F s. Στο πεδίο διακριτού χρόνου, αυτό µπορεί να δειχθεί εύκολα, ως εξής: = = s s (3.4) ut E ( h[ n] w[ n] ) = E w k h n = n { [ ]} [ ] n ns n = s S ut ( h [ n] ) = ( Sn s ) απ όπου προκύπτει = = n SR SR ut n = = F (3.6) s s Συµπερασµατικά, στην έξοδο του ΣΠΦ έχουµε ένα ισοδύναµο εύρος ζώνης θορύβου ίσο µε το Baud Rate, /, και όχι ίσο µε τη συχνότητα δειγµατοληψίας. Ένα σύστηµα ψηφιακής µετάδοσης χρησιµοποιεί Μ διακριτούς παλµούς, σε καθέναν από τους οποίους κωδικοποιεί lgμ bts πληροφορίας. Εν γένει απαιτούνται Μ διαφορετικά προσαρµοσµένα φίλτρα, ένα για κάθε παλµό. Κατά την αποδιαµόρφωση, επιλέγεται (στο τέλος κάθε περιόδου, Τ) εκείνος ο παλµός του οποίου το αντίστοιχο φίλτρο δίνει τη µεγαλύτερη έξοδο. Η γενική προσέγγιση της επόµενης παραγράφου, ωστόσο, αποδεικνύει ότι απαιτούνται τόσα προσαρµοσµένα φίλτρα όση η διάσταση του γραµµικού σηµατικού χώρου.

3-8 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο 3.3 Προσαρμοσμένα Φίλτρα στον Ν-διάστατο σηματικό χώρο Σύµφωνα µε τη σχέση 3.4, η έξοδος του προσαρµοσµένου φίλτρου κατά τη στιγµή δειγµατοληψίας δίνει τη συσχέτιση (celatn) του λαµβανόµενου σήµατος µε τον παλµό στον οποίο είναι προσαρµοσµένο το φίλτρο, ή, αλλιώς, το εσωτερικό γινόµενο των δύο αυτών σηµάτων, θεωρούµενων ως διανυσµάτων στο γραµµικό, µετρικό χώρο µε µέτρο την τετραγωνική ρίζα της ενέργειας των σηµάτων. Στο χώρο αυτό (που ονοµάζεται και σηµατικός χώρος - sgnal space) κάθε παλµός αντιστοιχεί σε ένα σηµείο, το δε σύνολο των σηµείων-παλµών αποτελεί το σηµατικό αστερισµό (sgnal cnstellatn) του συστήµατος φηφιακής µετάδοσης. Οι χρησιµοποιούµενοι παλµοί δεν είναι κατ ανάγκη όλοι γραµµικά ανεξάρτητοι, οπότε το µέγεθος του σηµατικού αστερισµού, Μ, µπορεί να είναι µεγαλύτερο από τη διάσταση του σηµατικού χώρου, Ν. Τυπικά παραδείγµατα τέτοιας περίπτωσης είναι όλα τα συστήµατα PSK και QAM, των οποίων ο σηµατικός χώρος είναι δισδιάστατος (Ν=). Στη συνέχεια διατυπώνεται συνοπτικά το πρόβληµα της κωδικοποίησηςδιαµόρφωσης και βέλτιστης αναγνώρισης στον Ν-διάστατο σηµατικό χώρο. Θα καταστεί φανερό ότι αρκούν Ν (και όχι Μ, αν Μ>Ν) προσαρµοσµένα φίλτρα, δηλ. τόσα, όση η διάσταση του σηµατικού χώρου. 3.3. Ο γραμμικός σηματικός χώρος Ο χώρος των Μ διαφορετικών κυµατοµορφών-παλµών, { s ( t), =,... M}, εφοδιασµένος µε την πράξη της συσχέτισης και το αντίστοιχο µέτρο (λαµβανόµενο από τη συσχέτιση σήµατος µε τον εαυτό του), είναι ένας γραµµικός µετρικός χώρος, ο οποίος µπορεί να παραχθεί (be spanned) από Ν ορθοκανονικά σήµατα { φ ( t),,... }, M. Ο χώρος διέπεται, συνεπώς, από τις παρακάτω σχέσεις: = < s, s > s ( t) s ( t) dt, s < s, s >= s ( t) dt (3.7), = < φ,φ >=, (3.8) s ( t) s = = = = α φ ( t), a =< s, φ > = (3.9) α, s s = ( α α ) (3.) k k Για τα ισοδύναµα σήµατα βασικής ζώνης, ο χώρος αυτός ταυτίζεται µε το µιγαδικό επίπεδο πλατώνφάσεων. 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-9 Με γνωστά τα φ ( t), =,..., κάθε σήµα-σηµείο του γραµµικού χώρου µπορεί να δοθεί από τις Ν συντεταγµένες του, { α, =,... }. Για κάθε σύνολο διανυσµάτων { s, =,... M} (άρα και για το σηµατικό µας αστερισµό { s ( t), =,... M} ) µπορεί να βρεθεί ένα ορθοκανονικό σύστηµα { φ, =,... } Ν Μ, µε τον γνωστό αλγόριθµο ορθογωνοποίησης Gam-Schmdt. 3.3. Αλγόριθμος ορθογωνοποίησης Gam-Schmdt (Gam-Schmdt thgnalzatn) φ = s s, φ = s < s, φ > φ s < s, φ > φ, φ = 3 s3 < s3, φ > φ < s3, φ > φ s < s, φ > φ < s, φ > φ 3 3 3,... untl s s, φ ή Ν=Μ. + = < + φ > = Στη συνέχεια, η ανεξάρτητη µεταβλητή χρόνου, t, για τα σήµατα του σηµατικού αστερισµού και τα ορθοκανονικά σήµατα µπορεί να παραλείπεται και οι συµβολισµοί s (t) και s θα χρησιµοποιούνται ως ταυτόσηµοι. 3.3.3 Το πρόβλημα της αναγνώρισης στον Ν-διάστατο χώρο Υποθέτουµε ότι ένας εκπεµπόµενος παλµός s αλλοιώνεται από ανεξάρτητο, αθροιστικό θόρυβο και εκείνο που λαµβάνει ο δέκτης είναι κυµατοµορφή, η οποία απέχει από την εκπεµφθείσα κατά τον όρο θορύβου w: = s + w (3.) Υποθέτουµε, επίσης, ότι τα w και, συνεπώς, τα ανήκουν στο σηµατικό µας χώρο, αφού κάθε άλλη συνιστώσα θα αποκοπεί από τα φίλτρα εισόδου του δέκτη. Έτσι = = α φ, α =<, φ > (3.) Η (3.) υλοποείται ως µια συστοιχία Ν συσχετιστών (προσαρµοσµένων φίλτρων) που δίνουν τις προβολές του ληφθέντος σήµατος στα Ν ορθοκανονικά διανύσµατασήµατα, όπως σχηµατικά δείχνεται στο σχήµα 3.3(β). Το σχήµα3.3(α) δίνει την κατασκευή του σήµατος s στον ποµπό, σύµφωνα µε τη σχέση (3.9).

3- Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο φ σύµβολο m ΠΡΟΣ ΙΟ- ΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕ- ΣΤΩΝ α α.. α φ φ Χ Χ Σ s w ίαυλος Χ (α).. φ φ φ Χ Χ Χ dt dt dt α α.. α ΑΝΙΧΝΕΥΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ m προσαρµοσµένο φίλτρο στο φ (β) Σχήµα 3.3: Ποµπός και δέκτης στον Ν-διάστατο σηµατικό χώρο (α) κατασκευή παλµού στον ποµπό (β )βέλτιστη αναγνώριση στο δέκτη Το πρόβληµα της αναγνώρισης µπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Πρόβληµα αναγνώρισης(detectn) Από την εκτίµηση των συντελεστών { α, =,... } στο δέκτη (προβολές του λαµβανόµενου σήµατος στα γενετήρια διανύσµατα του σηµατικού χώρου) να βρεθεί ποιός από τους παλµούς { s, =,... M } έχει τη µεγαλύτερη πιθανότητα να έχει εκπεµφθεί από τον ποµπό. Αναζητούµε, λοιπόν, εκείνο το για το οποίο µεγιστοποιείται η πιθανότητα να έχει εκπεµφθεί το s δεδοµένου του, ήτοι:? max p( s ) (3.3) Οι εκ των υστέρων πιθανότητες (a pste pbabltes) της σχέσης (3.3), µπορούν να αναχθούν στις πιο εύχρηστες εκ των προτέρων πιθανότητες (a p pbabltes) µε τη βοήθεια του θεωρήµατος του Bayes (εδώ εκφρασµένου για διακριτούς και συνεχείς δειγµατικούς χώρους):

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3- p ( s ) ( s ) f = p( s ) (3.4) f ( ) όπου f s ) η υπό συνθήκη (το s ) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( (pbablty densty functn) του και f () η αντίστοιχη συνάρτηση χωρίς συνθήκη. Λόγω της (3.4), και µε την πρόσθετη υπόθεση ότι οι παλµοί s εκπέµπονται µε ίδια πιθανότητα, δηλ. p(s )=/Μ, η µεγιστοποίηση της p( s ) στην (3.3) ισοδυναµεί µε µεγιστοποίηση της f s ) ως προς (η συνάρτηση f () είναι ανεξάρτητη του ). ( Οι συναρτήσεις { f ( s ), =,... M }, ονοµάζονται συναρτήσεις πιθανοφάνειας (lkelhd functns), η δε αναγνώριση που βασίζεται στην εύρεση της µέγιστης εξ αυτών για ληφθέν ονοµάζεται αναγνώριση µέγιστης πιθανοφάνειας (maxmum lkelhd detectn). 3.3.4 Αναγνώριση μέγιστης πιθανοφάνειας σε αθροιστικό, γκαουσιανό θόρυβο Όταν ο θόρυβος είναι αθροιστικός, τύπου Gauss, οι συναρτήσεις πιθανοφάνειας είναι κανονικές κατανοµές µε κέντρα τα αντίστοιχα s στον Ν-διάστατο χώρο. Για µονοδιάστατους αστερισµούς (διαµόρφωσης πλάτους) είναι s ( s ) σ e e f ( s ) = = (3.5α) σ π π όπου έχει ληφθεί υπόψη ότι στην έξοδο του προσαρµοσµένου φίλτρου και για ισχύ σήµατος ανάλογη του s, η αντίστοιχη ισχύς θορύβου, σ, είναι ανάλογη του Ν ο /. Στον Ν-διάστατο χώρο οι γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας εκφράζονται ως s e f ( s ) = (3.5β) ( π) Ο δειγµατικός χώρος των s είναι διακριτός, ενώ του συνεχής. P{ } f ( ) και P{ s } f ( s ) Εξ άλλου, λόγω Bayes, απ όπου λαµβάνεται η (3.4). P{ s } = P{ s P{ } } P{ s }

3- Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο Στο σχήµα 3.4 δείχνονται σχηµατικά τέτοιες συναρτήσεις για Ν=. f ( s ) = e s ( π ) s 8 6 4 8 6 s s 4 s 4 6 8 4 6 8 Σχήµα 3.4: Συναρτήσεις πιθανοφάνειας (προοπτικό και ισοϋψείς),περίπτωση αθροιστικού γκαουσιανού θορύβου στο δισδιάστατο σηµατικό χώρο Αντί για τη µεγιστοποίηση των ίδιων των συναρτήσεων πιθανοφάνειας, µπορούµε, ισοδύναµα, να µεγιστοποιήσουµε τους φυσικούς τους λογαρίθµους:? max{ln f ( s )} (3.6) Η (3.6), συνδυαζόµενη µε την (3.5) για γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας, ισοδυναµεί µε ελαχιστοποίηση αποστάσεων στον Ν-διάστατο χώρο: (3.5) & (3.6) mn{ s, =,... M} (3.7) Επιλέγουµε, δηλαδή, εκείνο το s που βρίσκεται πλησιέστερα (πάντα κατά την έννοια της συσχέτισης) στο ληφθέν. Έτσι ο σηµατικός χώρος µπορεί να διαµεριστεί σε περιοχές απόφασης, µία για κάθε σηµείο s, το δε πρόβληµα µπορεί να αναχθεί σε γεωµετρικό.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 3.3.5 Ανάλυση σφάλματος Ας συµβολίσουµε µε S την περιοχή απόφασης του παλµού s και µε συµπληρωµατική της στο σηµατικό µας χώρο, S. Έτσι είναι S την U = S, S U S S (3.8) S = Η πιθανότητα εσφαλµένης ανίχνευσης συµβόλου, P e, δίνεται από τη σχέση P e = M = P{ s I S } = η οποία, για ισοπίθανα s, γίνεται M = P{ s }P{ S s } = M = P{ s } S f ( s ) d P e = M M = S f ( s ) d (3.9) Η δυσκολία µε τη σχέση (3.9) έγκειται στο ότι η ολοκληρούµενη ποσότητα είναι, e x για γκαουσιανό θόρυβο, της µορφής και δεν ολοκληρώνεται σε κλειστή µορφή. Σε ειδικές περιπτώσεις (π.χ. για µονοδιάστατο σηµατικό χώρο) µπορεί να υπολογιστεί µε τη βοήθεια της συµπληρωµατικής συνάρτησης λάθους (cmplementay e functn), η οποία οριζεται ως x efc x e x ( ) dx (3.) π και δίνεται σε πίνακες ή µε προσεγγιστικούς τύπους (βλ. Παράρτηµα 3.). Για σηµατικό αστερισµό δύο σηµείων, µε s s = d και s = s = E = d /, και γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας όπως στη σχέση (3.5α), η (3.9) γίνεται: d = E P e( M= ) = efc efc (3.) Στο παράδειγµα 3.4. θα υπολογισθεί η πιθανότητα λάθους για σηµατικό αστερισµό L> σηµείων σε µονοδιάστατο σηµατικό χώρο (L-ASK). Υπολογισµός άνω φράγµατος της πιθανότητας λάθους στον Ν-διάστατο χώρο Είναι δυνατόν να υπολογίσουµε ένα άνω φράγµα της (3.9) µε βάση τις σχέσεις

3-4 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο M M = < M f ( s ) d P{ S k s} P{ sk s s} efc k k= k= k = S k k k d οπότε P e M M M efc = k= k d k (3.) µε την ισότητα να ισχύει όταν Μ=, ταυτιζόµενη µε τη σχέση (3.). Τέλος, µπορούµε να αντικαταστήσουµε τις αποστάσεις d k στην (3.) µε την ελάχιστη εξ αυτών d mn, και να πάρουµε ένα ακόµη απλούστερο (όµως χονδροειδέστερο) άνω φράγµα της πιθανότητας λάθους: P e M d efc mn (3.3) Από τη σχέση (3.3) είναι φανερό ότι, για δεδοµένη πυκνότητα ισχύος θορύβου Ν ο, έχουµε ελαχιστοποίηση της πιθανότητας λάθους (ή, έστω, ενός άνω φράγµατος αυτής) όταν µεγιστοποιηθεί η ελάχιστη απόσταση µεταξύ των σηµείων του σηµατικού αστερισµού. Για δεδοµένη ισχύ ποµπού (δηλαδή δεδοµένη µέγιστη απόσταση των σηµείων από την αρχή των αξόνων), αυτό συµβαίνει όταν τα σηµεία κατανεµηθούν οµοιόµορφα στην υπερσφαίρα που αντιστοιχεί στην ισχύ αυτή. 3.3.6 Σύμφωνα και Ασύμφωνα συστήματα αναγνώρισης Το επικοινωνιακό σύστηµα του σχήµατος 3.3 βασίζεται στην υπόθεση ότι στο δέκτη υπάρχει η δυνατότητα της απόλυτα πιστής αναπαραγωγής των ορθοκανονικών σηµάτων φ (t), που χρησιµοποιούνται στον ποµπό σαν συναρτήσεις βάσης των κυµατοµορφών s (t). Η υπόθεση αυτή δικαιολογείται για όλες τις παραµέτρους εκτός της καθυστέρησης ή αντίστοιχα της φάσης των αρµονικών συναρτήσεων που είτε χρησιµοποιούνται αυτούσιες είτε συµβάλουν στην δηµιουργία των φ (t), σε σχέση µε τις λαµβανόµενες κυµατοµορφές. Η καθυστέρηση, έστω µόνον λόγω διάδοσης, µεταξύ ποµπού-δέκτη είναι κατά κανόνα άγνωστη και µεταβλητή λόγω πολλαπλών ανακλάσεων, διακυµάνσεων των διηλεκτρικών και διαµαγνητικών σταθερών του µέσου κλπ. Όπως θα φανεί ευθύς αµέσως, το σύστηµα του σχήµατος 3.3 αποδίδει µόνον µε την προϋπόθεση πιστής αναπαραγωγής της φάσης των φ (t) στον δέκτη και ονοµάζεται για το λόγο αυτό σύµφωνο. Η αναπαραγωγή αυτή γίνεται µε διάφορες τεχνικές, η απλούστερη των οποίων είναι η παράλληλη εκποµπή σήµατος-πιλότου που διέρχεται ακριβώς από τον ίδιο δίαυλο και µπορεί να χρησιµοποιηθεί σαν αναφορά στον δέκτη. Εν γένει το πρόβληµα της συµφωνίας στον δέκτη είναι δύσκολο και 'ακριβό' στις τεχνικές επιλυσής του. Αφού λοιπόν δούµε στην παρακάτω κάπως 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-5 ειδικότερη περίπτωση, πώς η λειτουργία του σύµφωνου δέκτη πραγµατικά καταρρέει µε την ασυµφωνία της φάσης, θα δούµε τις εναλλακτικές υλοποιήσεις ασύµφωνου δέκτη, καθώς και την αναπόφευκτη αυξηµένη επίδραση του θορύβου που την συνοδεύει. Στο σχήµα 3.5(α) δίδονται τα γενετήρια διανύσµατα φ, =, ενός συστήµατος υαδικής Μεταλλαγής Συχνότητας (Bnay Shft Keyng-BFSK), για το οποίο είναι Μ=Ν=. Ας υποθέσουµε ότι τα δύο σήµατα που κατασκευάζει ο ποµπός κατά το σχήµα 3.3(α) είναι συγγραµµικά των φ και φ. Υποθέτουµε επιπλέον ότι τα σήµατα αυτά φθάνουν στο δέκτη µε άγνωστη ή/και τυχαία µεταβαλλόµενη φάση θ στο διάστηµα [, π], ενώ αγνοούµε προς το παρόν την επίδραση του θορύβου, δηλαδή E ( t) = cs(π ft+ θ), =,, t (3.4) Για τον δέκτη ΣΠΦ του σχήµατος 3.3(β) έχοµε E α = cs(πf t+ θ ) cs(πf t) dt, =,, =, (3.5) Οι συντελεστές α εξαρτώνται από το θ, όπως φαίνεται στο σχήµα 3.5(β) και είναι φανερό ότι η άγνοια ή/και τυχαία µεταβολή της φάσης θ καταστρέφει την λειτουργία του δέκτη. Οι καµπύλες του σχ. 3.5(β) αναφέρονται στη µέση τιµή των συντελεστών, Ε{ α }, για να καλύψουν και την περίπτωση παρουσίας αθροιστικού θορύβου. φ ( t) φ ( t ) α π/ a a = E + α Eα { }, E{ α } π π θ Σχήµα 3.5: (α) Γενετήρια διανύσµατα σηµατικού χώρου ΒFSK ( Ν=Μ=, f =/), =, (β) Έξοδος προσαρµοσµένων φίλτρων συναρτήσει της άγνωστης φάσης θ

3-6 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο Είναι φανερό ότι το κλείδωµα και ως εκ τούτου ο συσχετισµός του σήµατος µε τους παλµούς αναφοράς του δέκτη δεν είναι εύκολα σε κλίµακα του διαστήµατος [,Τ]. Η (3.4) γράφεται και ως E ( t) = [csθ cs(πf t) snθ sn(πf t)], =,, t (3.6) και η σύµφωνη διάταξη του συσχετιστή διασπάται τώρα στην ασύµφωνη που περιέχει δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες φ d, φ q για το σήµα αναφοράς φ, όπως στο σχήµα 3.6(β). Με τον εγκάρσιο (quadatue) αυτό συσχετιστή του δέκτη παίρνοµε σαν ολοκληρώµατα στο διάστηµα [,Τ] τις ποσότητες E / csθ και E / snθ, απ' όπου εύκολα παίρνοµε σαν υποτείνουσα την ποσότητα E που εξαρτάται µόνο από την ενέργεια Ε του σήµατος, χωρίς καµµία επίδραση της φάσης. Η ερµηνεία των παραπάνω µε αναφορά στο σχήµα 3.5 είναι ότι: για τις τεταγµένες a και a οποιωνδήποτε σηµείων µε απόσταση π/ ισχύει η σχέση α + α = E (ανεξάρτητο του θ). Εύκολα επίσης συνάγεται ότι για την άλλη συχνότητα, ο εγκάρσιος συσχετιστής δίνει. Μ' αυτόν τον τρόπο, βλέποµε ότι ο εγκάρσιος (ασύµφωνος - nn-cheent) συσχετιστής λύνει το πρόβληµα της άγνωστης φάσης θ. Η ισοδυναµία συσχετιστή και προσαρµοσµένου φίλτρου, όπως παρατηρήθηκε στην ενότητα 3. για το ΣΠΦ, ισχύει και εδώ, έτσι ώστε οι δύο εγκάρσιοι συσχετιστές του Σχήµατος 3.6(β) να µπορούν να αντικατασταθούν µε προσαρµοσµένα φίλτρα. Πιο ενδιαφέρουσα είναι η ισοδυναµία σε κλίµακα όχι του καθ'αυτό σήµατος αλλά της περιβάλλουσάς του, µε το λεγόµενο ασύµφωνο προσαρµοσµένο φίλτρο (nncheent matched flte) κατά το σχήµα 3.6(γ). Με κρουστική απόκριση g ( t) = / cs[π f ( t)], που είναι προσαρµοσµένη µόνον για τη φάση θ=, και είσοδο ( t) = E / cs(π ft+ θ ), παίρνοµε ως απόκριση του φίλτρου y ( t) = όπου Y ( t)cs(πf + θ ), = E csπ ft cs πf ( t) =, (3.7α) t E, t t Y ( t) = E ( ), t, t (3.7β) Για τις παραπάνω σχέσεις έχοµε υποθέσει ότι = π f k, k>>. 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-7 φ ( t) = cs πf t (t) Χ dt α (α) Συσχετιστής σε σύµφωνο δέκτη φ ( t) = cs πf t (t) Χ π/ dt y d (. ) Σ E, =, Χ dt y q (. ) (β) Εγκάρσια διάταξη συσχετιστή σε ασύµφωνο δέκτη (t) Φίλτρο, κρ.απ. g( t) =φ ( t) Ανιχνευτής περιβάλλουσας δειγµάτιση t =, E, = (γ) Ασύµφωνο προσαρµοσµένο φίλτρο Σχήµα 3.6: Μετάβαση από τον σύµφωνο (α) στον ασύµφωνο (β,γ) δέκτη

3-8 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο Σχηµατικά, η διαδικασία της συνέλιξης της σχέσης 3.7α φαίνεται στο Σχήµα 3.7: η γραµµική αύξηση/µείωση της περιβάλλουσας της συνάρτησης είναι αυτή που ενδιαφέρει και προέρχεται από την πεπερασµένη διάρκεια των ταλαντώσεων της εισόδου και της κρουστικής απόκρισης. Για t= η περιβάλλουσα παίρνει τη µέγιστη τιµή. Εξ άλλου, η έξοδος της διάταξης του σχήµατος 3.6(β) είναι Y ( ) = I =, E, = (3.8) Αρκεί λοιπόν η ανίχνευση της περιβάλλουσας του σήµατος (3.7) (ανόρθωση και βαθυπερατό φίλτρο, µαζί µε δειγµατισή της στο µέγιστο, t=), έτσι ώστε η χρήση του ασύµφωνου προσαρµοσµένου φίλτρου να αποτελεί µια ισοδύναµη δυνατότητα πραγµατοποίησης του δέκτη κατά το Σχήµα 3.6(γ). νίζεται εδώ ότι κάθε µια από τις διατάξεις του σχήµατος 3.6 αντιστοιχεί µόνον σε έναν κλάδο, τον, του δέκτη στο σχήµα 3.3(γ). ( t) = cs(π f t+ θ ) φ ( t) φ ( t) π θ = 3 4π θ = 3 ( t) φ ( t) π θ = 3 4π θ = 3 Σχήµα 3.7: Συνέλιξη και περιβαλλουσά της 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-9 3.3.7 Επίδραση θορύβου στον ασύμφωνο δέκτη Είδαµε ότι ο ασύµφωνος δέκτης είναι τεχνολογικά απλούστερος, καθ'όσον δεν απαιτεί εκποµπή σήµατος αναφοράς ή κατ' άλλο τρόπο ανακατασκευή της φάσης της εκπεµπόµενης κυµατοµορφής. Σαν επακόλουθο όµως της λιγότερης πληροφορίας που χρειάζεται ή λαµβάνεται υπ' όψη στον δέκτη, έχοµε δυσµενέστερη συµπεριφορά του δέκτη ως προς το θόρυβο, όπως θα φανεί καθαρά µε τη σύγκριση των σχηµάτων (σύµφωνης) BPSK και ασύµφωνης BFSK σε επόµενο κεφάλαιο. Η ανάλυση της επίδοσης του ασύγγρονου δέκτη παρουσία θορύβου [ΗΑΥΚ88, Chap 7] δίνει τα εξής άνω φράγµατα για την πιθανότητα εσφαλµένου συµβόλου, κατ αντιστοιχία των σχέσεων (3.) και (3.3): Πιθανότητα εσφαλµένου συµβόλου Ασύµφωνης υαδικής FSK E P e = e (3.9) Άνω φράγµα πιθανότητας εσφαλµένου συµβόλου Ασύµφωνης MFSK P e E M e (3.3)

3- Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο 3.4 Επεξεργασμένα παραδείγματα 3.4. Παράδειγμα: Δυαδική μετάδοση με ημιτονικούς παλμούς και αναγνώριση ΣΠΦ Έστω ότι χρησιµοποιούνται δύο ηµιτονικοί παλµοί, s και s, µιάς και δύο πλήρων περιόδων, αντίστοιχα (δυαδική µεταλλαγή συχνότητας). Α. Να γραφεί πρόγραµµα µε την εξής λειτουργία I. Για δεδοµένη ακολουθία δυαδικών ψηφίων b[k], k=,...κ=, παράγει παλµοσειρά S[ k] = [ s ], {, }, σύµφωνα µε την αντιστοιχία s, s. Η II. III. S[k] είναι πίνακας [ s xk ], του οποίου κάθε στήλη είναι παλµός s στο διακριτό πεδίο (δείγµατα πλήθους s ). Παράγει και υπερθέτει στην ψηφιακή παλµοσειρά λευκό, γκαουσιανό θόρυβο, για δεδοµένη σηµατοθορυβική σχέση. Υπολογίζει και σχεδιάζει τις αποκρίσεις των προσαρµοσµένων φίλτρων στη θορυβώδη παλµοσειρά εισόδου, µε ενδείξεις επί του σχήµατος για τις χρονικές στιγµές δειγµατοληψίας καθώς και τα κωδικοποιηµένα δυαδ. ψηφία. Αυτό να γίνει για δύο τιµές σηµατοθορυβικής σχέσης: (α) SR= db (b) SR=-db. Β. Μιά άλλη έκδοση του παραπάνω προγράµµατος και για µιά µεγάλη ακολουθία εισόδου b[k] (µήκους π.χ. Κ=5) να επαληθεύσει ότι η βελτίωση της σηµατοθορυβικής σχέσης ισούται µε το πλήθος, s, των δειγµάτων των παλµών s (εντός της βασικής περιόδου Τ). Υλοποίηση Κώδικες 3. και 3..

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3- Α.. % Απόκριση Προσαρµοσµένων Φίλτρων -. % υαδική µετάδοση µε ηµιτονικούς παλµούς διαφορετικών συχνοτήτων 3. clea all; clse all; 4. b=[ ]; % η δυαδική ακολουθία προς µετάδοση 5. t=[:.:*p]'; % το χρονικό πλέγµα µιας βασικής περιόδου, Τ 6. s=length(t); 7. s=sn(t); s=sn(*t); % οι δύο παλµοί 8. E=sum(s.^); E=sum(s.^); % η ενέργεια των παλµών 9. f =:s-. g(s-)=s(+); % προσαρµοσµένο #. g(s-)=s(+); % προσαρµοσµένο #. end 3. SRdb=5; SRn=^(SRdb/); % επιθυµητό SR 4. Sn=/*(E+E)/s; % (µέση) ισχύς σήµατος εισόδου 5. n=sn/srn; % ισχύς θορύβου 6. f k=:length(b) % για κάθε bt εισόδου επίλεξε αντίστοιχο παλµό 7. f b(k)== s=s; 8. else s=s; 9. end. w=wgn(s,,*lg(n)); % λευκός γκαουσ. θορύβος ισχύος n. =s+w; % θορυβώδες σήµα. S(:,k)=s; R(:,k)=; 3. h=cnv(g,); H(:,k)=h(:s); 4. h=cnv(g,); H(:,k)=h(:s); 5. clea s h; 6. end 7. %%%%% plts 8. m=max([max(max(h)); max(max(h))]); 9. H=3*H/m; H=3*H/m; 3. fgue; ylm([-3,3]); hld; 3. f k=:length(b) 3. t=t//p+(k-); 33. tmax=t(length(t)); 34. lne(t,s(:,k),'cl','black','lnewdth', ); 35. plt(t,r(:,k),'k'); 36. lne([tmax,tmax], 37. [-3,3],'Cl','black','Lnestyle',':','Lnewdth',); 38. text(tmax-.5,,ntst(b(k)),'fntsze',4); 39. end 4. ttle(['θορυβώδες σήµα εισόδου -- SRn=',numst(SRdb), ' db']); 4. xlabel('x','fntsze',); 4. hld; fgue; 43. ylm([-4,4]); hld; 44. f k=:length(b) 45. t=t//p+(k-); 46. tmax=t(length(t)); 47. plt(t,h(:,k),'cl', 'black','lnewdth',); 48. plt(t,h(:,k),'cl', 'black','lnestyle','--','lnewdth',); 49. lne([tmax,tmax],[-3,3], 'Cl', 5. 'black','lnestyle',':','lnewdth',); 5. text(tmax-.5,,ntst(b(k)),'fntsze',4); 5. text(t(length(t)-3),3.,'\dwnaw','fntsze',); 53. end 54. text(t(length(t))/,3.7,'στιγµές δειγµατοληψίας','fntsze',8); 55. ttle(['έξοδος προσαρµοσµένων φίλτρων -- SRn=',numst(SRdb), ' db']); 56. xlabel('x','fntsze',); 57. hld; Κώδικας 3.: Εξοµοίωση προσαρµοσµένων φίλτρων για θορυβώδη ηµιτονικά σήµατα µιας και δύο περιόδων

3- Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο 3 Θορυβώδες σήµα εισόδου -- SRn= db 4 Έξοδος προσαρµοσµένων φίλτρων -- SRn= db στιγµές δειγµατοληψίας 3 - - - - -3-3 3 4 5 6 x -4 3 4 5 6 x 3 Θορυβώδες σήµα εισόδου -- SRn=- db 4 Έξοδος προσαρµοσµένων φίλτρων -- SRn=- db στιγµές δειγµατοληψίας 3 / - - -3 3 4 5 6 x (α) - - -3-4 3 4 5 6 x (β)!!! λάθος Σχήµα 3.8: Εξαγόµενa Κώδικα 3.. (α) θορυβώδες σήµα εισόδου (β) αποκρίσεις προσαρµοσµένων φίλτρων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3 Β. 3 % Εκτίµηση βελτίωσης SR προσαρµοσµένου φίλτρου 4 clea all; 5 b=andnt(,5); % το δυαδικό σήµα προς µετάδοση 6 t=[:.:*p]; % χρονικό πλέγµα βασικής περιόδου, 7 s=length(t); 8 s=sn(t); % παλµός # 9 s=sn(*t); % παλµός # E=sum(s.^); % ενέργεια παλµού # E=sum(s.^); % ενέργεια παλµού # SRdb=; % επιθυµητό SR εισόδου, σε db 3 SRn=^(SRdb/); 4 Sn=/*(E+E)/s; % µέση ισχύς σήµατος εισόδου 5 n=sn/srn; % ισχύς θορύβου εισόδου 6 f k=:length(b) % για κάθε bt εισόδου επέλεξε αντίστοιχο παλµό 7 f b(k)== s=s; 8 else s=s; 9 end w=andn(,s)*sqt(n); % θόρυβος εισόδου W(k)=sum(w.^)/s; =s+w; 3 H(k)=sum(s.^); % σήµα εξόδου, h(), σε χρόνους t=k 4 W(k)=sum(s*')-H(k); % θόρυβος εξόδου 5 clea s w; 6 end 7 n_measued=sum(w)/length(w); 8 SRut=sum(H.^)/sum(W.^); 9 SRn_measued=*lg(Sn/n_measued) 3 SR_mpvement=SRut/SRn 3 s Κώδικας 3.: Εκτίµηση της βελτίωσης της σηµατοθορυβικής σχέσης µε χρήση προσαρµοσµένου φίλτρου Με τα δεδοµένα του παραπάνω παραδείγµατος παίρνουµε απόκριση παρόµοια µε την ακόλουθη SRn_measued =.46 SR_mpvement = 6.633 s =63 (db) Κάθε ανεξάρτητη εκτέλεση του προγράµµατος θα µας δίνει ενδεχοµένως ελαφρώς διαφοροποιηµένα αποτελέσµατα. Αυτό είναι φυσικό, λόγω των διαφορετικών, κάθε φορά, στιγµιότυπων θορύβου. Επαληθεύεται συνεπώς ότι η βελτίωση του σηµατοθορυβικού λόγου µε το ΣΠΦ είναι περίπου ίση µε το Ν s. Να σηµειωθεί ότι δεν απαιτείται η συνθήκη Γκαουσιανής κατανοµής για την αλήθεια του συµπεράσµατος αυτού, παρά µόνον ότι ο θόρυβος είναι λευκός, αθροιστικός, στατιστικά ανεξάρτητος του σήµατος (θα µπορούσε να χρησιµοποιηθεί π.χ. οµοιόµορφη κατανοµή).

3-4 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο 3.4. Παράδειγμα: Πιθανότητα εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλων L-ASK Α. Έστω αστερισµός L σηµείων, κείµενων επί ευθείας γραµµής στις θέσεις ± E, ± 3 E,..., ± ( L E. { } ) Για ισοπίθανα σύµβολα, να υπολογιστεί θεωρητικά η πιθανότητα εσφαλµένης ανίχνευσης συµβόλου (ή το Symbl E Rate - SER) για λευκό αθροιστικό θόρυβο Gauss, συναρτήσει των L και E b, av. Β. Να γραφεί πρόγραµµα-συνάρτηση σε MALAB µε την εξής λειτουργία: a) Παράγει σήµα εκ τυχαίων συµβόλων, µε ορθογωνικούς παλµούς διάρκειας Τ και πλάτους εκ του συνόλου { ± A, ± 3A,..., ± ( L ) A}, υπερθέτει δε θόρυβο E b av AWG συγκεκριµένου ανηγµένου σηµατοθορυβικού λόγου,,. b) Εξοµοιώνει δέκτη σύµφωνου προσαρµοσµένου φίλτρου για τη φώραση της ως άνω παλµοσειράς και υπολογίζει το ρυθµό εσφαλµένων συµβόλων (SER). Γ. Να σχεδιαστούν θεωρητικές καµπύλες BER για L=4,8,6 και, µε χρήση της συνάρτησης εξοµοίωσης του ερωτήµατος Β.b και του betl του MALAB, να υπολογιστούν και υπερτεθούν σηµεία εξοµοίωσης για διάφορες τιµές του στην περιοχή,... db. E b, av Υλοποίηση: Α. Στο σχήµα 3.9 έχει σχεδιαστεί ο σηµατικός χώρος συγγραµµικών σηµείων και έχουν υπερτεθεί γκαουσιανές συναρτήσεις πιθανοφάνειας. Λόγω του αθροιστικού (ανεξάρτητου από το σήµα) θορύβου, οι συναρτήσεις αυτές είναι ίδιου εύρους και, συνεπώς, τέµνονται στα µεσοδιαστήµατα των σηµείων του αστερισµού, ορίζοντας έτσι ίσα διαστήµατα απόφασης γύρω από τα σηµεία. 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-5 περιοχή απόφασης -(L-) - 3 (L-) x Σχήµα 3.9: Αστερισµός L συγγραµµικών σηµείων και συναρτήσεις πιθανοφάνειας E Με τους συµβολισµούς p : η πιθανότητα εκποµπής του συµβόλου s, I=,, L p e, : η πιθανότητα σφάλµατος, δεδοµένου ότι εστάλει το σύµβολο s η πιθανότητα εσφαλµένου συµβόλου, P e, εκφράζεται ως εξής: L L E E + L E = p = = p e, efc efc efc (3.3) = L = L Pe Η µέση ενέργεια συµβόλου εκφράζεται, συναρτήσει των Ε και L, ως εξής Μέση ενέργεια συµβ. L-ASK (3.3) και ανηγµένη ανά bt E b, av E = av L L / E = p ( ) E = ( ) L E lg = av E L = L lg L 3 L 3 = E = Λύνοντας την τελευταία σχέση ως προς Ε και αντικαθιστώντας στην (3.3) παίρνουµε L 3lg E L b, av Πιθανότητα Εσφαλµένου Συµβόλου L-AS K Pe = efc L (3.33) L

3-6 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο B. Η ζητούµενη συνάρτηση MALAB δίνεται από τον κώδικα 3.3. Σε σχέση µε τη γενικότερη διατύπωση του ερωτήµατος (Α) και µε τους εξής πρόσθετους συµβολισµούς Τ: η διάρκεια κάθε παλµού, nsamp: ο αριθµός δειγµάτων σήµατος στη διάρκεια Τ ενός παλµού. εδώ είναι Ε =Α Τ. Στον κώδικα 3.3 και χωρίς βλάβη της γενικότητας, έχει ληφθεί το πλάτος του µικρότερου παλµού, Α, ίσο µε. Αφού παραχθεί διάνυσµα συµβόλων (τυχαίων τιµών, οµοιόµορφα κατανεµηµένων στα L πλάτη), έστω x(xκ), δηµιουργείται αντίστοιχο διάνυσµα σήµατος ορθογωνικών παλµών, y(xnsamp.k), µε επανάληψη κάθε συµβόλου του x, nsamp φορές [µε χρήση της ectpulse(x, nsamp)]. Η ισχύς θορύβου, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε δείγµα του y ώστε να εξασφαλισθεί συγκεκριµένη τιµή ανηγµένου σηµατοθορυβικού λόγου, E b,av /, υπολογίζεται ως εξής, λαµβανοµένου υπόψη ότι το µέγιστο εύρος ζώνης (σήµατος και θορύβου) είναι ίσο µε τη συχνότητα δειγµατοληψίας F samp /: nsamp = Fsamp = = =, / nsamp samp η δε σηµατοθορυβική σχέση είναι S S E E av lg L b, av = = = nsamp nsamp nsamp εδοµένου ότι η ισχύς της παλµοσειράς είναι (λόγω της 3.5) L S = E / = A, av 3 ο συνδυασµός των παραπάνω σχέσεων δίνει Ισχύς διακριτού θορύβου (προστίθεται σε κάθε δείγµα) = A L ) lg L E b /( 3 nsamp (, av ) Η συνάρτηση του κώδικα 3.3 µπορεί να κληθεί για διάφορες τιµές των k και Eb για τον υπολογισµό και σχεδιασµό καµπυλών BER-Eb/. Αυτό µπορεί να γίνει και µέσω του ειδικού εργαλείου του MALAB, BEROOL, µε τη βασική του συνάρτηση υπολογισµού του ΒΕR να διαµορφώνεται όπως στον Κώδικα 3.4. Με bld δείχνονται τα τµήµατα κώδικα που εισάγονται στο έτοιµο template του BEROOL: 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-7. functn es=ask_es(k,m,nsamp,eb). % Η συνάρτηση αυτή εξοµοιώνει την παραγωγή και αποκωδικοποίηση 3. % θορυβώδους σήµατος L-ASK και µετρά τον αριθµό των εσφαλµένων συµβόλων. 4. % Επιστρέφει τον αριθµό των εσφαλµένων συµβόλων (στη µεταβλητή es). 5. % k είναι ο αριθµός των bts/σύµβολο, εποµένως L=^k -- ο αριθµός των 6. % διαφορετικών πλατών 7. % M είναι ο αριθµός των παραγόµενων συµβόλων (µήκος ακολουθίας L-ASK) 8. % nsamp ο αριθµός των δειγµάτων ανά σύµβολο (vesamplng at) 9. % Eb είναι ανηγµένος σηµατοθορυβικός λόγος Eb/, σε db. %. L=^k;. SR=Eb-*lg(nsamp//k); % SR ανά δείγµα σήµατος 3. % ιάνυσµα τυχαίων ακεραίων {±, ±3,... ±(L-)}. Να επαληθευθεί 4. x=*fl(l*and(,m))-l+; 5. Px=(L^-)/3; % θεωρητική ισχύς σήµατος 6. sum(x.^)/length(x); % µετρούµενη ισχύς σήµατος (για επαλήθευση) 7. y=ectpulse(x,nsamp); 8. n=wgn(,length(y),*lg(px)-sr); 9. ynsy=y+n; % θορυβώδες σήµα. y=eshape(ynsy,nsamp,length(ynsy)/nsamp);. matched=nes(,nsamp);. z=matched*y/nsamp; 3. l=[-l+::l-]; 4. f =:length(z) 5. [m,]=mn(abs(l-z())); 6. z()=l(); 7. end 8. e=nt(x==z); 9. es=sum(e); 3. end Κώδικας 3.3: Υπολογισµός πιθανότητας εσφαλµένου συµβόλου σύµφωνης ASK, µε ορθογωνικούς παλµούς το µεν (Α) για την αρχικοποίηση των παραµέτρων (k, symb, nsamp), το δε (Β) για την κλήση της συνάρτησης υπολογισµού των λαθών (ask_es του κώδικα 3.3) για συγκεκριµένη ακολουθία συµβόλων. Η συνάρτηση αυτή καλείται επαναληπτικά, έως ότου είτε ο σωρρευτικός αριθµός των λαθών που έχουν καταµετρηθεί ξεπεράσει ένα ελάχιστο όριο (maxumes), είτε ο αριθµός των bts που «έτρεξαν» µε την εξοµοίωση φθάσει ένα µέγιστο όριο (maxumbts). Και τα δύο όρια τίθενται εξ αρχής στο ειδικό GUI του BEROOL. Οι λαµβανόµενες καµπύλες δείχνονται στο σχ. 3. (οι θεωρητικές παίρνονται µε την επιλογή PAM από το BEROOL). Ας σηµειωθεί ότι για κωδικοποίηση Gay ισχύει SER : αριθµός BER, k = lg L k bts ανά σύµβολο. Πρέπει να διευκρινιστεί επίσης ότι αυτό που υπολογίζεται στην πραγµατικότητα είναι η πιθανότητα εσφαλµένου συµβόλου ή εσφαλµένου bt που εκ παραδροµής έχει επικρατήσει να ονοµάζεται SER ή BER. Για να πάρουµε ρυθµό λαθών, πρέπει να πολλαπλασιάσουµε τις ως άνω πιθανότητες µε τον αντίστοιχο ρυθµό εκποµπής (συµβόλων ή δ.ψ.).

3-8 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο. functn [be,numbts] = ask_be_func(eb, maxumes, maxumbts). % Impt Java class f BERl. 3. mpt cm.mathwks.tlbx.cmm.berl; 4. % Intalze vaables elated t ext ctea. 5. tte = ; % umbe f es bseved 6. numbts = ; % umbe f bts pcessed 7. % Α. --- Set up paametes. --- 8. % --- ISER YOUR CODE HERE. 9. k=3; % numbe f bts pe symbl. symb=; % numbe f symbls n each un. nsamp=6; % vesamplng,.e. numbe f samples pe. % Smulate untl the numbe f es exceeds maxumes 3. % numbe f bts pcessed exceeds maxumbts. 4. whle((tte < maxumes) && (numbts < maxumbts)) 5. % Check f the use clcked the Stp buttn f BERl. 6. f (BERl.getSmulatnStp) 7. beak; 8. end 9. % Β. --- ISER YOUR CODE HERE.. es=ask_es(k,symb,nsamp,eb);. % Assume Gay cdng: symbl e ==> bt e. tte=tte+es; 3. numbts=numbts + k*symb; 4. end % End f lp 5. % Cmpute the BER 6. be = tte/numbts; Κώδικας 3.4:Συνάρτηση εκτίµησης λαθών καλείται από το BEROOL Σχήµα 3.: Πιθανότητα εσφαλµένου bt για την L-ASK µε ορθογωνικούς παλµούς 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-9 3.5 Ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση 3. (να εκτελεστεί στο εργαστήριο) I. Να επαληθευθεί, µε υπολογισµό και προβολή σχετικού ιστογράµµατος, ότι τα στοιχεία του διανύσµατος x της εντολής 4 του Κώδικα 3.3 ακολουθούν πράγµατι την οµοιόµορφη κατανοµή στο σύνολο των ακεραίων {±, ±3,... ±(L-)}. II. Να ξηγηθεί η λειτουργία του βρόχου 4-7 του Κώδικα 3.3 ως ανιχνευτή ελάχιστης απόστασης για την L-ASK. III. Να επαληθευθεί η καµπύλη του σχήµατος 3. για την 8-ASK µε κλήση της συνάρτησης ask_es() του Kώδικα 3.3, (α) µέσα από δικό σας κύριο πρόγραµµα, (β) µέσα από το BEROOL του MALAB. Να υπερτεθεί και η θεωρητική καµπύλη µε χρήση της σχέσης (3.33) και την προσέγγιση BER P e /lg L. Άσκηση 3. Να διατυπωθούν αναλυτικά οι κρουστικές αποκρίσεις των δύο ΣΠΦ, του παραδείγµατος 3.4. καθώς και η απόκριση του καθενός στον αντίστοιχο παλµό (στον οποίο είναι προσαρµοσµένο). Άσκηση 3.3 ίνεται σηµατικός αστερισµός 4 σηµείων (QPSK) ως εξής: ο ο s ( t) = Acs(πf ct+ θ ), θ = ± θ, ± (8 θ ), 3 θ 6 a) Να ευρεθεί και σχεδιαστεί συναρτήσει της γωνίας θ µια καλή προσέγγιση της πιθανότητας εσφαλµένου συµβόλου, P e, µε την υπόθεση λευκής ακολουθίας εισόδου, δέκτη προσαρµοσµένου φίλτρου και λευκό αθροιστικό θόρυβο, µε ανηγµένο σηµατοθορυβικό λόγο Ε/Ν ο 6 db. b) Με τα δεδοµένα του ερωτήµατος (a) να ευρεθούν τα ακρότατα (µέγιστο και ελάχιστο) της P e και οι αντίστοιχες τιµές της γωνίας θ. Άσκηση 3.4 Εξειδικεύοντας το Παράδειγµα 3.4. µε L=4, να υποτεθεί ότι τα µεγαλύτερα κατ απόλυτη τιµή πλάτη εµφανίζονται µε πιθανότητα /8 το καθένα, ενώ τα άλλα δύο µε πιθανότητα 3/8, αντίστοιχα. Εξ άλλου, η ισχύς θορύβου κατά τη µετάδοση των δύο µεγαλύτερων πλατών είναι διπλάσια αυτής που αντιστοιχεί στα άλλα δύο πλάτη (Ν ο, έναντι Ν ο ), ενώ σε κάθε περίπτωση ο θόρυβος είναι λευκός, αθροιστικός. (Ι) Να προσδιοριστούν οι περιοχές απόφασης στο σηµατικό χώρο. (ΙΙ) Να εκφρασθεί η πιθανότητα λάθους συναρτήσει του (ΙΙΙ) Να εξοµοιωθεί ο δέκτης ΣΠΦ και να εκτιµηθεί το SER.

3-3 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Συνοπτική θεωρία και εργαστήριο 3.6 Παράρτημα Συνάρτηση λάθους (e functn) ef ( x) π x e z dz Συµπληρωµατική συνάρτηση λάθους (cmplementay e functn): efc( x) e π x z dz= ef ( x) Η συµπληρωµατική συνάρτηση λάθους, efc(x), µπορεί να βρεθεί από πίνακες ή µε χρήση προσεγγιστικών αναπτυγµάτων σε σειρές. efc( x) x e x π x.3 + (x ).3.5 (x ) 3 + L Για µεγάλα θετικά x, µπορούµε να πάρουµε τα άνω φράγµατα: efc( x) < e x x π < e x π u ef(u) u ef(u)....88.5.5637.5.896..46..93.5.68.5.99..7.3.934.5.7633.35.94376.3.3863.4.959.35.37938.45.9597.4.4839.5.966.45.47548.55.976.5.55.6.97635.55.5633.65.9838.6.6386.7.98379.65.643.75.98667.7.6778.8.9899.75.76.85.99.8.74.9.9979.85.7767.95.9948.9.7969..9953.95.889.5.99959..847 3..99998.5.8644 3.3.999998 3

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Βέλτιστη ψηφιακή αναγνώριση Προσαρμοσμένα φίλτρα 3-3