5. ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΑΣΤΙΚΗΣ ΡΟΗΣ 5. Μια Μικροµηχανική Eρµηνεία του Tανυστή των Tάσεων Στο εισαγωγιό κεφάλαιο αυτό θα σκιαγραφήσουµε µια µικροµηχανική προσέγγιση στο πρόβληµα της εντάσεως, όπως αυτή απαντάται στη Μηχανική των κοκκωδών µέσων,. Από τη σκοπιά της Μικροµηχανικής τα διάφορα µεγέθη, κινηµατικά ή στατικά ορίζονται µε κάποια στατιστική διαδικασία πάνω στο λεγόµενο αντιπροσωπευτικό στοιχειώδη όγκο (REV). Για ισότροπες µικροδοµές ο (REV) επιλέγεται σφαιρικός, ο οποίος σε πρώτη προσέγγιση συντίθεται από σφαιρικά σωµατίδια, τους κόκκους. Αξίζει να σηµειώσουµε στο σηµείο αυτό ότι κατά τα τελευταία 0 χρόνια έχουν αναπτυχθεί πολλοί υπολογιστικοί κώδικες που µας επιτρέπουν σήµερα να πραγµατοποιήσουµε υπολογιστικά πειράµατα και να µελετήσουµε τις µηχανικές ιδιότητες των κοκκωδών υλικών στη µικροκλίµακα του κόκκου. Αναφορές από το διαδίκτυο: htt://sc.efl.ch/sa/ublcatons/scr96/scr8-age4.html Contact forces n the granular medum: The model we used was develoed by Cundall and Strack (979). At frst, t was manly used for the analyss of rock mechancs roblems and was named dstnct element method or dscrete element method (DEM). It s caable of handlng grans of any shae and sze. Here we wll use dry twodmensonal crcular dscs to model the grans. In the dstnct element method, every gran n the assembly s dentfed searately, wth ts own mass, moment of nerta, and contact roertes. Instead of recse gran deformaton due to contact, grans are allowed to overla one another at contact ont. The overlas are small n relaton to the artcle szes. We do not want to rewrte the comlete Cundall's model. We wll just say that contacts are modelled wth a system of srngs and dash-ots n order to calculate the forces actng at the contact ont. Then we calculate the resultng Chrstoffersen, J., M. M. Mehrabad, S. Nemat-Nasser (98), A mcromechancal descrton of granular materal behavor, Journal of Aled Mechancs, ASME, Vol. 48,. 9-44. Rothenberg, L., and A. P. S. Selvadura (98). Mcromechancal defnton of the Cauchy stress tensor for artculate meda, In: Mechancs of Structured Meda (edted by A.P.S. Selvadura), Elsever, Amsterdam, The Netherlands,. 469-486. Αγγλ. Reresentatve Elementary Volume (REV).
force for each gran and fnd the new veloctes by a numercal ntegraton. Ths method allows the reresentaton of the contact forces between the grans as shown n fgure. Cundall P.A., Strack O.D.L. (979). A dscrete numercal model for granular assembles, Géotechnque 9, No, 47-65. Contact forces n the granular medum [under gravty] htt://www.cee.rnceton.edu/~radu/aers/const/node.html The most oular numercal models, commonly called Dstnct Element or Dscrete Element Methods, derve from the oneerng work of P.A. Cundall (Cundall97), Cundall & Strack, 979) are adoted from the rocedures used n numercal Molecular Dynamcs for whch the book by Allen and Tldesley (987) s the standard reference. Cundall, P.A. (97). A Comuter Model for Smulatng Progressve Large Scale Movements of Blocky Rock Systems. Proceedngs, ASCE, Sym. Int. Soc. Rock. Mech., Nancy, France, Vol.,- 50. Cundall, P.A. and O.D.L. Strack (979). A Dscrete Numercal Model for Granular Assembles. Geotechnque, Vol. 9, 47-65. Allen, M.P. and D.J. Tldesley. Comuter Smulaton of Lquds, Clarendon Press, Oxford, 987.
Το απλό αυτό µικροµηχανικό µοντέλο για ένα σώµα µε κοκκώδη µικροδοµή µας επιτρέπει να υποθέσουµε ότι ανά πάσα στιγµή οι κόκκοι βρίσκονται σε επαφή µε ορισµένους από τους γείτονές τους. Γεωµετρικά η επαφή δύο κόκκων κ n και κ m χαρακτηρίζεται από το κοινό σηµείο επαφής c (m,n), το κοινό επίπεδο επαφής ε (m,n) nc mc και από τα µοναδιαία κάθετα διανύσµατα στο επίπεδο επαφής, n k n k, που βρίσκονται στην ευθεία που συνδέει τα κέντρα των κόκκων και η οποία περιέχει το σηµείο επαφής c. Από στατική σκοπιά η επαφή δύο κόκκων χαρακτηρίζεται από το nc mc ζεύγος δυνάµεων επαφής, F k F k, που ασκούνται στο σηµείο επαφής από τον ένα κόκκο στον άλλο. Με βάση την κοκκώδη µικροδοµή υποκαθιστούµε το πραγµατικό κοκκώδες υλικό από µεν γεωµετρικής σκοπιάς µε το χωροδικτύωµα εκείνο που έχει ως κόµβους τα κέντρα των σφαιρικών κόκκων από δε στατικής πλευράς µε το χωροδικτύωµα εκείνο που έχει ως τάσεις «ράβδων» το πλέγµα των δυνάµεων επαφής. Σηµειώνουµε ότι τα χωροδικτυώµατα της γεωµετρικής και της στατικής µικροδοµής γενικώς δεν ταυτίζονται. Τα δύο αυτά χωροδικτυώµατα ταυτίζονται µόνο στην περίπτωση όπου οι κόκκοι θεωρούνται ότι είναι λείες σφαίρες, οπότε κατά τις επαφές τους µόνο ορθές δυνάµεις µπορούν να ασκηθούν. Επίσης παρατηρούµε ότι οι µεταξύ των κόκκων επαφές είναι µονόπλευροι σύνδεσµοι, οπότε και οι µεταξύ των κόκκων αναπτυσσόµενες δυνάµεις επαφής είναι πάντοτε θλιπιτικές.
4 Σηµείωση Μία βασική ιδιότητα ένός κοκκώδους µέσου είναι και ο αριθµός επαφών ανά κόκκο, N c, που ονοµάζεται αριθµός συντάξεως 4. Π.χ. σφαιρικές συσκευασίες από σωµατίδια ιδίας διαµέτρου εµφανίζουν τα εξής πορώδη και αριθµούς συντάξεως: - χαλαρή-κυβική διάταξη: n 0.48, N C 6 - ορθοροµβική διάταξη: n 0.40, N C 8 - τετραγωνική-σφηνοειδής διάταξη: n 0.0, N C 0 - πυκνή-εξαγωνική διάταξη (ροµβοεδρική): n 0.6, N C - χαλαρή τυχαία διάταξη: n 0.40-0.50, N C µεταβλητός Χαλαρή και πυκνή συσκευασία οµοειδών σφαιρών 4 Αγλλ. coordnaton number
5 Η Αρχή των υνατών Έργων (Α..Ε.) στα κοκκώδη Μέσα 5 Θεωρούµε ένα χαρακτηριστικό στοιχειώδη όγκο ( REV), ο οποίος περιέχει N τον αριθµό κόκκους, οι οποίοι βρίσκονται σε επαφή µεταξύ τους και ορισµένοι εκ των οποίων φορτίζονται εξ επαφής µέσω εξωτερικών φορτίων στην περιφέρεια του ( REV). Στην περίπτωση που ο (REV) είναι µικρός η επίδραση των καθολικών δυνάµεων θεωρείται αµελητέα. Όλοι οι κόκκοι στον ( REV) οµαδοποιούνται σε ένα σύνολο στο οποίο αντιστοιχεί το σύνολο δεικτών αριθµήσεώς τους, B { κ, K, κ, K, κ } Β {, K,a, N} a N K Οι δυνάµεις οι οποίες δρούν στους κόκκους του ( REV) είναι συγκεντρωµένα φορτία που ασκούνται σε M τον αριθµό σηµεία επαφής, C { e, K,e, K,e } Γ {, K,s,,M} s M K Το υποσύνολο I C περιλαµβάνει τα σηµεία επαφής των κόκκων στο εσωτερικό του ( REV), ενώ το υποσύνολο E C περιλαµβάνει τα σηµεία όπου ασκούνται τα στο σύνορο του ( REV) : 5 Bardet, J.-P. and Vardoulaks (00). The asymmetry of stress n granular meda. Int. J. Solds Struct.,8, 5-67.
6 I E { e, K,e } { e, Ke } MΙ+ MΙ M Ι {, K,MΙ } Ε {MΙ +, KM} I E C, I E Τα υποσύνολα Ia Ιa και Ea Εa αφορούν στα σηµεία επαφής του κόκκου κ a αντιστοίχως µε κόκκους στο σωτερικό του ( REV), µε κόκκους εξωτερικά του ( REV) ενώ το σύνολο και Ca Γa αφορά στα σηµεία επαφής του κόκκου συνολικά, οπότε C U Ca a B, Ca Ia Ea I U Ia a B, E U Ea a B όπου για δύο διαφορετικούς κόκκους κ a και κ b ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις Ea Eb, Ia Ib { e } κ κ B c a b Μια δεδοµένη συσκευασία κόκκων είναι σε ισορροπία όταν κάθε κόκκος είναι σε ισορροπία, δηλαδή όταν όλες οι εσωτερικές και εξωτερικές δυνάµεις που δρούν στον κόκκο είναι σε ισορροπία, ac Ισορροπία δυνάµεων: F 0 (5.) c Ca c a ac Ισορροπία ροπών: ε jk (x j x j ) F k 0 (5.) c Ca a c όπου x και x είναι τα διανύσµατα θέσεως του κέντρου του κόκκου και του σηµείου επαφής του µε εσωτερικούς κόκκους ή του σηµείου εφαρµογής εξωτερικού φορίου. εχόµεθα ότι δυνητική κινηµατική του τυχόντος κόκκου κ a (θεωρουµένου ως a απολύτως στερεού σώµατος) συνοψίζεται σε µία δυνατή µετατόπιση δ u και µία a δυνατή στροφή δθ.
7 Πολλαπλασιάζοντας τις παρπάνω εξισώσεις ισορροπίας (5.) και (5.) µε τη δυνατή a a µετατόπιση δ u και τη δυνατή στροφή δθ και αθροίζοντας τις εξισώσεις που προκύπτουν για όλους τους κόκκους στον ( REV), παίρνουµε την εξής έκφραση a Β c Ca ac a c a ac a ( ( ) ) jk j j k F δu + ε x x F δθ 0 (5.) Το παραπάνω διπλό άθροισµα πάνω στα σύνολα C a και Β µπορεί να αναλυθεί σε δύο αθροίσµατα πάνω στα σύνολα Ι και Ε. Λαµβάνοντας δε υπόψη το γεγονός ότι οι εσωτερικές δυνάµεις εµφανίζονται στα αθροίσµατα αυτά κατά ζεύγη αντιθέτων δυνάµεων, c ac F : F bc F παίρνουµε τελικά την εξής έκφραση για την Α..Ε. όπου οι ποσότητες (D,ext) δ W και (D,ext) (D,nt) δ W δw (5.4) (D,nt) δ W συνιστούν αντιστοίχως 6 :. Το δυνατό έργο των εξωτερικών δυνάµεων, που δρούν στο διακριτό µέσο (D,ext) e e δw F δu (5.5) e Ε e όπου δ u είναι η δυνατή µετατόπιση του σηµείου εφαρµογής e του εξωτερικού e φορτίου F.. Το δυνατό έργο των εσωτερικών δυνάµεων: (D,nt) δw c c F δu c Ι (5.6) 6 Ο δείκτης D συµβολίζει ότι οι εκφράσεις αυτές αντιστοιχούν σε δυνατά έσρα για το διακριτό σύστηµα των κόκκων.
8 όπου c δu είναι η µετατόπιση το σηµείου επαφής c των κόκκων κ a και κ b, c b a δu δu δu +εjk b c b a c ( δθ ( x x ) δθ ( x x a ) j k k j k k Οι δυνατές µετατοπίσεις και στροφές µπορούν να επιλεγούν τυχαία. Ειδικότερα µπορούν να επιλεγούν ως συναρτήσεις του διανύσµατος θέσεως του κέντρου του κόκκου: a a a a δu a + bjx j +L, δθ α +βjx j + L για τυχαίους συντελεστές a, bj και α,β j, οπότε: και c δu bj b a b a b c b a c a ( x x ) α ε ( x x ) +β ε ( x ( x x ) x ( x x ) + L j j j jk k k jl jk l k k l k k
9 e δu a a δu +εjkδθ j ae a + bjx j +εjk e ae ( x ) k x k + L e ae ae e ae α ( x x ) +ε β x ( x x ) + L j k k jk jl l k k ae όπου το διάνυσµα x k δίνει τη θέση του κέντρου a του κόκκου κ a µε την εξωτερική επαφή e. Με τις παραπάνω παραδοχές παίρνουµε τις εξής εκφράσεις για τα έργα των εξωτερικών και εσωτερικών δυνάµεων: (D,nt) δw c b a c b a bj F (x j x j ) α j εjkf (x k x k ) +L c Ι c Ι (D,ext) δw e e ae e e ae a F + bj F x j +α j εjkf (x k x k ) +L e Ε e Ε e Ε Από την Α..Ε., Εξ. (5.0) παίρνουµε διαδοχικά τις εξής εξισώσεις ισορροπίας: e ) bj 0, α 0, K a F 0 a e Ε e F 0 (5.7.) e Ε Η Εξ. (5.7.) εκφράζει την ισορροπία των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται στον ( REV). c b a e ae ) a 0, α 0, K bj F (x j x j ) bj F x j bj c Ι e Ε c b a e ae F (x j x j ) F x j (5.7.) c Ι e Ε c b a e e ae ) a 0, bj 0, K α j εjkf (x k x k ) α j εjkf (x k x k ) α j c Ι e Ε c b a e e ae εjk F (x x ) εjkf (x x ) k k k k c Ι e Ε
0 e ae Αν δεχθούµε τώρα ότι η ποσότητες (x k x k ) είναι της τάξεως µεγέθους της ακτίνας του κόκκου. e ae x k x k O(R g) τότε η παραπάνω εξίσωση ισοροπίας ροπών δίνει κατά προσέγγιση τη εξής σχέση: c b a εjk F (x x ) 0 k k c Ι (5.7.) Ο µικροµηχανικός ορισµός της τάσεως Για τη µετάβαση απο το ιακριτό στο Συνεχές Μέσο παρατηρούµε ότι ο τανυστής των τάσεων κατά Cauchy στο Συνεχές ικανοποιεί τις εξισώσεις ισορροπίας. Όπως αναφέρµε στην περίπτωση που ο (REV) είναι µικρός η επίδραση των καθολικών δυνάµεων θεωρείται αµελητέα, οπότε έχουµε τις εξής εξίισώσεις ισορροπίας, σj x 0 xk VREV (5.8.) σ jn t j xk VREV (5.8.) Ορίζουµε τώρα τη µέση τάση σ j VREV σ jdv V REV (5.9) Λόγω της εξισώσεως ισορροπίας Εξ. (5.8.), ο παραπάνω ορισµός, Εξ. (5.9), δίδει σj VREV VREV x k ( kj) xσ dv η οποία λόγω του θεωρήµατος αποκλίσεως γίνεται, σj VREV xσkjnkds V REV ή λόγω της εξισώσεως ισορροπίας (5.8.) σj VREV xt jds V REV (5.0)
Αντιπαραβάλλοντας τις Εξ. (5.0) και (5.7.) και θέτοντας e t jds F j οδηγούµεθα σε µία έκφραση που µας επιτρέπει τον υπολογισµό της µέσης τάσεως από τις δυνάµεις επαφής και τη θέση των επαφών των κόκων που βρισκονται στο σύνορο του (REV) ae e b a c σ j x F j (x x ) F V j (5.) REV e Ε VREV c Ι ή c c σj l F V j (5.) REV c Ι όπου l b a x x είναι το διάνυσµα που εννώνει τα κέντρα των εκάστοτε δύο κόκκων σε επαφή. Η παραπάνω σχέση, Εξ. (5.) για τον υπολογισµό της τάσεως αποδίδεται στον Love 7. Τέλος παρατηρούµε ότι από τις Εξ. (5.7.) και (5.) προκύπτει (πρσεγγιστικά) η συµµετρία της µέσης τάσεως οπότε για c c εjk F l k c Ι 0 εjkσk 0 j : εσ +εσ 0 σ σ, κ.ο.κ. ή σ j σ j (5.) 7 A.E.H. Love, A Treatse of the Mathematcal Theory of Elastcty, Cambrdge Unversty Press, 97.
Παράδειγµα Για την επεξήγηση του παραπάνω τύπου του Love για τον υπολογισµό της µέσης τάσεως σε ένα διακριτό µέσο θα θεωρήσουµε το εξής απλό παράδειγµα: Έστω ένα απλό επίπεδο τριγωνικό δικτύωµα, αποτελούµεο από ράβδους του ιδίου µήκους και της ίδιας στιβαρότητας, φορτιζόµενο στην κορυφή του από οριζόντιο φορτίο F [kn/m], όπως φαίνεται στο σχήµα. Θεωρούµε τον κεντρικό κόµβο (a ) και τους γειτονικούς του, µε τους οποίους αυτός συνδέεται µέσω των ράβδων () ως (6). Επιλύοντας τον φορέα βρίσκουµε τις τάσεις των ράβδων αυτών και εφαρµόζουµε τον τύπο του Love ως εξής: 6 c c σj l S j π l c Οπότε πρκύπτει ότι η εντατική κατάσταση στον κόµβο (a) είναι απλή διάτµηση: [ σ] 0 / 4 / 4 0 F πl
5. Οι Αναλλοίωτες του Τανυστή των Τάσεων Θεωρούµε το συµµετρικό (πραγµατικό, Cauchy) τανυστή των τάσεων σε καρτεσιανή µορφή σε σύστηµα αξόνων O( x,x, x): [ σ] σ σ σ σ σ σ σ σ σ Ο τανυστής αυτός αναλύεται σε ισότροπο ή σφαιρικό και αποκλίνοντα, σ j σkkδj + sj όπου σ kk σ+σ + σ και s κ ( σ σ σ ), s σ, κο...
4 Παρατηρούµε ότι οι κύριοι άξονες του τανυστή σ και του αποκλίνοντα s ταυτίζονται (γιατί;). Σε σύστηµα κυρίων αξόνων ( x,x, x ) οι τανυστές αυτοί παρίστανται από τους παρακάτω πίνακες [ σ] σ 0 0 0 σ 0 0 0 σ δηλ. σ σ, σ 0, κο.. κ [ ] s 0 0 s 0 s 0 δηλ. s s, s 0, κο.. κ 0 0 s Όταν η εντατική κατάσταση αναφέρεται σε σύστηµα κυρίων αξόνων, τότε παρίσταται αυτή γεωµετρικά σε ένα καρτεσιανό χώρο, το λεγόµενο χώρο των κυρίων τάσεων κατά Hagh-Westergaard. Στο χώρο αυτό η εντατική κατάσταση παρίσταται µε το OP. Το διάνυσµα αυτό προβάλλεται αντιστοίχως στη λεγόµενη διάνυσµα θέσεως χωροδιαγώνιο 8 και στο κάθετο προς αυτή αποκλίνον επίπεδο 9 (π).πάνω στη χωροδιαγώνιο απεικονίζονται όλες οι ισότροπες εντατικές καταστάσεις, δηλαδή οι εντατικές καταστάσεις µε σ σ σ 8 Αγγλ. sace dagonal 9 Αγγλ. devatorc lane
5 ενώ πάνω στο αποκλίνον επίπεδο απεικονίζονται όλες οι καθαρώς αποκλίνουσες από την ισότροπη εντατικές καταστάσεις, δηλ. οι εντατικές καταστάσεις µε Έστω σ +σ +σ σταθ. Iσ σkk σ+σ + σ η η αναλλοίωτος του σ. Οπότε, σ s+ Iσ, κο.. κ. Παρατηρούµε ότι η η αναλλοίωτος του αποκλίνοντα s µηδενίζεται, J s skk s+ s + s 0 Άρα για τον υπολογισµό των κυρίων τάσεων σ (,, ) αρκεί να υπολογίσουµε τις κύριες τάσεις s (,, ). Αυτές δίδονται από την εξής χαρακτηριστική εξίσωση (γιατί;): s Js s Js 0 οι συντελεστές της οποίας είναι αντιστοίχως η η και η αναλλοίωτος του αποκλίνοντα τανυστή των τάσεων, ( s + s ) J s sjsj + s (5.4) ( s + s ) J s sjsjksk + s (5.5) Επειδή ο τανυστής των τάσεων είναι συµµετρικός, έχει πραγµατικές ιδιοτιµές, οπότε η λύση της παραπάνω κυβικής εξισώσεως για τις ιδιοτιµές του αποκλίνοντα δίδεται µε τη βοήθεια τριγωνοµετρικών συναρτήσεων µιας βοηθητικής γωνίας α s ως εξής: π π s Tcosαs, s Tcos αs, s Tcos +αs (5.6) όπου:
6 T J s (5.7) () 0 αs π / (s s s) : αs αs0 () π / αs π/ (s s s ) : αs αs0 + π / () (4) π / αs π π αs 4π/ (s s s ) (s s s) : αs αs0 + π / : αs αs0 + 4π / (5.8) (5) 4π/ αs 5π / (s s s ) : αs αs0 + 4π / (6) 5π / αs π (s s s) : αs αs0 + π Η γωνία α s0 καλείται αναλλοίωτη τασική γωνία οµοιότητας 0 η οποία ορίζεται ως εξής J cosα s s0, 0 αs0 π/ (5.9) / J s Στο παρακάτω διάγράµµα σηµειώνονται στο αποκλίνον οι διάφορες περιοχές διατάξεως των κυρίων τάσεων, συµφώνως προς τις σχέσεις (5.6). 0 Αγγλ. stress nvarant angle of smlarty or Lode angle
7 Στη βιβλιογραφία συχνά αντί της γωνίας α s0 χρησιµοποιείται η λεγοµένη παράµετρος Lode ή η λεγόµενη παράµετρος b, οι οποίες στο ο εκτιµόριο ορίζονται ως εξής: Lσ σ σ σ σ snαs0 sn( π/ +αs0 ), σ σ σ σ sn b σ α σ σ σ sn( π / +αs0) σ ( L + ) s0 ( σ σ ) W. Lode (96). Versuche über den Enfluss der mttleren Hautsannung auf das Flessen der Metalle Esen, Kufer und Nckel. Z. Physk, Vol. 6, 9-99. Η παράµετρος b χρησιµοποιείται συνήθως στην Εδαφοµηχανική, πρβλ. Reads & Green, Géotechnque, 6(4), 55-576, 976. Parry RHG. Ed. Stress-stran behavour of sols. Proceedngs of the Roscoe Memoral Symosum. Cambrdge Unversty, March, 97.
8 5. Αξονοσυµµετρικές Εντατικές Καταστατάσεις Οι αξονοσυµµετρικές εντατικές κατάστάσιεις χαρακτηρίζονται από το γεγονός ότι δύο κύριες τάσεις είναι ίσες: οπότε [ σ] σ 0 0 0 σc 0 0 0 σc, Js ( σ+ σc ), J s ( σ+ σc ) 7 cosα s ( / ) / (/ ) ( σ+σc ) σ+σc sgn( σ+ σc ) Ειδικότερα διακρίνουµε ανάµεσα στον αξονοσυµµετρικό εφελκυσµό σc <σ cosαs + ( L σ, b ) α s0 π 0, αs, αs 4π Αγγλ. axsymmetrc extenson
9 και την αξονοσυµµετρική θλίψη 4 σ< σ c cos αs ( Lσ +, b 0) α s0 π, αs π, αs 5π Οι εντατικές κατάστάσεις αυτές υλοποιούνται εύκολα στο εργαστήριο µέσω της λεγόµενης τριαξονικής συσκευής, η οποία επιτρέπει την άσκηση επι του δικιµίου ολόπλευρης πιέσεως σ c και αξονικής τάσεως σ, η οποία µε τη σειρά της εξαρτάται από το επιβαλόµενο αξονικό φορτίο P και από την επιφάνεια A της ορθής προς το άξονα διατοµής του δοκιµίου 5 : σ σc + Είναι φανερό ότι στη περίπτωση της τριαξονικής θλίψεως το αξονικό φορτίο είναι θλιπτικό ( P< 0 ), όποτε σ < σc < 0, ενώ στην περίπτωση του τριαξονικού εφελκυσµού το αξονικό φορτίο είναι εφελκυστικό ( P> 0 ) και σc <σ< 0. P A 4 Αγγλ. axsymmetrc comresson 5 Πρβλ. Ι. Βαρδουλάκη, Γεωτεχνική Μηχανική, Κεφ..5, www.geolab.mechan.ntua.gr
40 Για παράδειγµα ας θεωρήσουµε την απεικόνιση µιας αξονοσυµµετρικής θλίπτικής εντατικής καταστάσεως στο χώρο κυρίων τάσεων Hagh-Westergaard. Όπως
4 αναφέραµε και πιο πάνω οι προβολές του διανύσµατος θέσεως της προκείµενης εντατικής καταστάσεως OP πάνω στη χωρδιαγώνιο και στο αντίστιχο αποκλίνον επίπεδο συνδένται άµεσα µε τη η και τη η αναλλοίωτη του τανυστή των τάσεων και του αποκλίνοντά του αντιστοίχως, ( OP ) Iσ / και ( PP ) J s. Στη θεωρούµενη περίπτωση της τριαξoνικής θλίψεως επιλέγουµε τους εξής συµβολισµούς, σ σz σσ σc, αs 5π / οπότε έχουµε αντιστοίχως τις εξής εκφράσεις για τις αναλλοίωτες: Iσ T π s cos 5 ( σ +σ ), T J ( s + s + s ) T π π s cos 5 σ σ s T π π s cos + 5 σ σ T σ σ σ σ
4 Για τη γεωµετρική παράσταση των τριαξονικών εντατικών καταστάσεων εισάγουµε τις αντίστοιχες σφαιρικές συντεταγµένες 6 του διανύσµατος θέσεως OP της θεωρούµενης εντατικής καταστάσεως. Συγκεκριµένα οι τριαξονικές θλίψεις παρίστανται στο λεγόµενο επίπεδο Rendulc, που είναι εκείνο το επίπεδο που περιέχει την τασική διαγώνιο σ σ στο επίπεδο σ 0 καθώς και τον άξονα Oσ. Στο επίπεδο αυτό το γεωγραφικό πλάτος του διανύσµατος θέσεως της εντατικής καταστάσεως ορίζεται ως εξής: όπου λσ λ0 + η σ PP tan η σ OP T και π o λ 0 a tan ( λ0 44.74 ) 6 Η γωνία λ, καλείται «γεωγραφικό πλάτος» και η γωνία θ καλείται «γεωγραφικό µήκος». Το τυχόν σηµείο P πάνω στη σφαίρα βρίσκεται στην τοµή ενός «παράλληλου κύκλου», λ σταθ. και ενός «µεσηµβρινού», θ σταθ. Οι τιµές αυτές των γωνιών λ και θ συνιστούν εν προκειµένω τις «καµπυλόγραµµες» (και δη τις σφαιρικές) συντεταγµένες του σηµείου P.
4 είναι το γεωγραφικό πλάτος της χωροδιαγωνίου. Αντιστοίχως σε ορισµένες εφαρµογές θα χρειασθεί να κάνουµε χρήση του µοναδιαίου διανύσµατος r στη κατεύθυνση το διανύσµατος θέσεως τηε εντατικής OP, (OP) r, (OP) r cosλσ cosθσ r cosλσ snθσ r snλσ Λααµβάνονας υπόψη ότι το γεωγραφηκό µήκος του επίπεδου Rendulc είναι παίρνουµε εµπροκειµένω ότι θ π / 4 r cosλσ, r cosλσ, r snλσ Π.χ. µία αναλογική 7 συνέχιση της θλιπικής τριαξονικής καταπονήσεως χαρακτηρίζεται από την εξής απλή συνθήκη σ r σ Στο επίπεδο Rendulc θα ορίσουµε επίσης και το µοναδιαίο διάνυσµα n, που είναι κάθετο στο διάυσµα r και που δείχνει προς τα «έξω», 7 Αγγλ. roortonal loadng
44 n snλ, n snλσ, n cosλ σ σ Παρατηρούµε ότι για τη τιµή for λ σ λ0 παίρνουµε από τους παραπάνω τύπους τις καρτεσινές συνιστώσες των µοναδιαίων εκείνων διανσµάτων που είναι αντιστοίχως παρράλληλα και κάθετα προς τη χωροδιαγώνιο. Μια συνέχιση της φορτίσεως κατά τη κατέυθυνση του εφαπτοµενική 8 φόρτιση, n, θα κληθεί µιά σ n σ Τέλος θα ορίσουµε και το µοναδιαίο διάνυσµα l, που είναι κάθετο στο επίπεδο Rendulc, έτσι ώστε το σύστηµα r, l, n να είναι δεξιόστροφο: j k l r n r r r + j n n n Με τη βοήθεια των παραπάνω ορισµών µπορούµε π.χ. να περιγράψουµε την συνέχιση µιάς τριαξονικής θλίψεως έξω από το επίπεδο Rendulc, έτσι ώστε οι µέν κύριοι άξονες του τανυστή των τάσεων να µη στρέφοναι αλλά να εγκταλείπεται η συνθήκη αξονικής συµµετρίας. Μιά τέτοια φόρτιση λέγεται οµοαξονική πλάγια φόρτιση 9 της εντάσεως ή σ σ l ( σ> 0) σ σ, σ σ, σ 0 8 Αγγλ. tangental loadng 9 Αγγλ. coaxal loadng to the sde
45 5.4 Η Φυσική Ερµηνία των Αναλλοίωτων του Τανυστή των Τάσεων Θεωρούµε τη σχέση που συνδέει την τάση µε τον ελκυστή t j, που δρά σε επίπεδο µε µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα n, διερχόµενου δια του εν λόγω σηµείου έχουµε t j σjn Οι παραπάνω έκφραση µας επιτρέπει να υπολογίσουµε τον ελκυστή των τάσεων για κάθε επιλογή του µοναδιαίου διανύσµατος n. Για να επεξηγήσουµε το φυσικό νόηµα της θεµελιώδους αυτής της διαδικασίας µεταφέρουµε νοερά σε µία κοινή αρχή στον R όλα τα διανύσµατα n k που ορίζουν ως εκ τούτου µία µοναδιαία σφαίρα. Η ακτίνα θέσεως n k ορίζει στη σφαίρα το εκάστοτε σηµείο E. Στο σηµείο αυτό E προσάπτουµε τον ελκυστή t j. Άρα σε κάθε δεδοµένη ενταική κατάσταση θα εντιστοιχεί µία κατανοµή των διανυσµάτων t j πάνω στη µοναδιαία σφαίρα. Με αυτό το σκεπτικό µπορεί κανείς να αναρωτηθεί π.χ. ποιά να είναι άραγε η τιµή του µέσου ορθού ελκυστή πάνω στη µοναδιαία σφα ρα ή ποια να είναι η τιµή του µέσου διατµητικού ελκυστή, που αντιστοιχεί σ όλες τις πιθανές κατευθύνσεις n. Για να απαντήσουµε στα ερωτήµατα αυτά υπολογίζουµε κατ αρχήν ένα βαθµωτό µέγεθος n t tn που αντιστοιχεί στην ορθή συνιστώσα του ελκυστή στο σηµείο E, που µε τη σειρά του αντιστοιχεί στο µοναδιαίο διάνυσµα n. Ας υπολογίσουµε τώρα τη µέση ορθή τάση για όλες τις κατευθύνσεις n, < t n > όπου η µέση τιµή υπολογίζεται πάνω στη µοναδιαία σφαίρα ως εξής:
46 n < t > ππ n t snθdθdφ 4π 0 0 r,θκαιφείναι σφαιρικές συντεταγµένες του σηµείου E. Παρατηρούµε ότι οι r καρτεσιανές συντεταγµένες του τυχόντος διανύσµατος OE n πάνω στη µοναδιαία σφαίρα µπορούν να εκφρασθούν ως συναρτήσεις των σφαιρικών συντεταγµένων του σηµείου E n snθcosφ, n snθsnφ, n cosθ Ισχύουν δε οι παρακάτω σχέσεις (γιατί;): ππ nnj > nnj snθdθdφ δj 0 0 < < n njnk > 0 < nnjnknl > 5 ( δjδkl+δkδjl +δlδjk) δjkl 5
47 < n njnknlnm > 0 < nnjnknlnmnn > 5 7 ( δnδ jklm +δ jnδklm +δknδlmj +δlnδmjk +δmnδjkl) δjklmn 5 7 Άρα n < t ><σjnjn >σj < njn > σjδj σkk Ο παραπάνω υπολογισµός δείχνει ότι: η η αναλλοίωτος του τανυστή των τάσεων συνδέεται µε την µέση ορθή τάση, n < t > Iσ Στη συνέχεια ορίζουµε ένα διανυσµατικό µέγεθος, t t n t t n το διατµητικό ελκυστή, που ασκείται στη στοιχειώδη επιφάνεια µε κέντρο το σηµείο E και µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυσµα n. Αναλόγως µε τον παραπάνω υπολογισµό βρίσκουµε ότι η η αναλλοίωτος του αποκλίνοντα τανυστή των τάσεων, συνδέεται µε τη µέση διατµητική τάση τ mean (t) (t) < t t > Js 5 Για το λόγο αυτό στη βιβλιογραφία η ποσότητα, T Js T 5 τmean ονοµάζεται ένταση διατµητικής τάσεως 0. Παρατηρούµε ότι η η τρίτη αναλλοίωτος του τανυστή των τάσεων δεν έχει απλή στατιστική ερµηνεία. Στη συνέχεια θα δώσουµε µια εναλλακτική προσέγγιση για τη φυσική σηµασία της ης αναλλοίωτης του τανυστή των τάσεων. 0 Αγγλ. shearng stress ntensty Πρβλ. I. Vardoulaks and J. Sulem, Bfurcaton Analyss n Geomechancs, Blacke Academc and Professonal, Sect. 6.., 995.
48 Η γωνία Lode α s ή η ισοδύναµη προς αυτή παράµετρος Lode L σ, εκφράζουν την απόκλιση της µέγιστης διατµητικής τάσης από τη µέση διατµητική τάση, τ,max τmean σ σ τmean / 5 sn( αs ) τ,max τmean σ σ / τmean 5 sn( π / αs ) τ,max τmean σ σ / τmean 5 sn( π / +αs ) όπου τ mean Js 5 5 T
49 Απο τις εκφράσεις αυτές προκύπτει ότι η απόκλιση µεταξύ µέγιστης και µέσης διατµητικής τάσης είναι συνάρτηση της γωνίας α s στο αποκλίνον επίπεδο. Παρατηρούµε ότι η ελάχιστη απόκλιση µεταξύ µέγιστης και µέσης διατµητικής τάσης παρατηρείται στις πρίπτωσεις του τριαξονικού εφελκυσµού και της τριαξονικής θλίψεως: τmax τmean mn 5 sn( π/ ) 5 5 8.7 Η µέγιστη απόκλιση παρατηρείται π.χ. στο ο εκτιµόριο για τη τιµή α s0 π / 6 : τmax τmean max 5 sn( π / +π/ 6) 5.58 Στην περίπτωση αυτή έχουµε ότι η ενδιάµεση κύρια τάση ισούται µε τη µέση τιµή των δύο άλλων κύριων τάσεων: σ L σ σ 0 σ ( σ+σ ) ( σ σ σ) σ σ Παρατηρούµε ότι η τιµή α s0 π/ 6 χαρακτηρίζει κατά προςσέγγιση τις λεγόµενες επίπεδες παραµορφώσεις. Ασκήσεις. Να αποδειχθεί ότι σε σύστηµα κυρίων αξόνων η ορθή και διατµητική συνιστώσα του ελκυστή των τάσεων σε ένα επίπεδο µε µοναδιαίο εξωτερικό διάνυσµα n υπολογίζονται από τις παρακάτω σχέσεις: n t σn +σn + σ n t t σ n +σ n +σ n ( σn +σn + σn ). Το οκταεδρικό επίπεδο είναι εκείνο το επίπεδο, το οποίο σχηµατίζει ίσες γωνίες µε τους άξονες των κυρίων τάσεων. Σε σύστηµα κυρίων αξόνων αναγνωρίζουµε 8 τέτοια επίπεδα:
50 5. () T {n } () T {,, }, {n } {,, }, K Η ορθή και διατµητική συνιστώσα του ελκυστή των τάσεων σε ένα οκταεδρικό επίπεδο σ oct n t t oct, τoct t oct Να αποδειχθεί ότι η σ oct ισούται µε το αριθµητικό µέσο των ορθών τάσεων σ oct ( σ +σ +σ ) I σ ή σ oct I σ και ότι τ oct ισούτται µε το γεωµετρικό µέσο των µέγιστων διατµητικών τάσεων τ oct ( σ +σ +σ ) ( σ +σ +σ ) ( σ σ) + ( σ σ ) + ( σ σ) ή τ oct Js 5 τm
5. Για την εντατική κατάσταση, Να υπολογισθούν : [ σ ] [MPa] 4. Οι κύριες τάσεις και κατευθύνσεις.. Η µέση ορθή και µέση διατµητική τάση. r( ). Οι οκτεδερικές τάσεις και τα αντίστοιχα διανύσµατα n α (α,,8), v. Η µέγιστη διατµητική τάση και το επίπεδο πάνω στο οποίο αυτή δρα. v. Η αναλλοίωτη γωνία α s Να επαληθευθεί στο αντίστοιχο διάγραµµα στο επίπεδο (π) η σχέση 4 τ max f( αs ) τm 5.5 Τα Κριτήρια Αστοχίας κατά Tresca και v. Mses Στη βάση των παραπάνω ορισµών ανευρίσκουµε στη βιβλιογραφία µια σειρά κριτηρίων για τη διαρροή ή την αστοχία των υλικών. Αν και οι έννοιες της διαρροής και αστοχίας συνήθως δεν επεξήγονται ικανοποιητικά, συναρτώνται συνήθως µε το τέλος της ελαστικής συµπεριφοράς και την αντοχή ενός υλικού, όπως αυτά προσδιορίζονται πειραµατικά σε δοκίµια από το ίδιο το υλικό. Π.χ. σε ένα µονοαξονικό πείραµα θλίψεως οι τάσεις διαρροής και αστοχίας σ Y και σ F ταυτίζονται µε τις αντίστοιχες τιµές της αξονικής τάσεως στο σηµείο διαρροής (Υ) Αγγλ. yeld Αγγλ. falure
5 και στο σηµείο αστοχίας (F), στο διάγραµµα τάσεων-τροπών. Για τη γενίκευση των εννοιών αυτών σε δι- ή τριδιάστατες εντατικές καταστάσεις, οι τάσεις αστοχίας µεταφράζονται σε αντίστοιχες αναλλοίωτες του τανυστή των τάσεων, που συνήθως καλούνται ισοδύναµες τάσεις 4. Για όλκιµα υλικά (π.χ. µέταλλα) έχουν προταθεί τα κάτωθι κριτήρια: Κριτήριο Tresca: Η ισοδύναµη τάση ταυτίζεται µε τη µέγιστη διατµητική τάση T σ eq τmax Κριτήριο von Mses: Η ισοδύναµη τάση ταυτίζεται µε την οκταεδρική διατµητική τάση (δηλ. µε τη µέση διατµητική τάση) M σ eq ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) Στην ειδική περίπτωση επίπεδης εντατικής κατάστασης ( σ 0, π.χ. σε ελάσµατα) έχουµε αντιστοίχως T σeq max σ σ, σ 0, σ 0 M σ eq σ +σ σσ σ +σ σσ + σ 4 Αγλ. equvalent stresses
5 Άσκηση ίδονται οι εντατικές καταστάσεις 0 () [ σ ] 0 0 [MPa] 0 0 () [ σ ] 0 7 0 [MPa] 0 0 0 0 5 Να προσδιορισuεί ποία από αυτές τις καταστάσεις είναι πιο «κρίσιµη», αν ισχύουν διαδοχικά τα κάτωθι κριτήρια διαρροής (ή αστοχίας): Μια εντατική κατάσταση () είναι κρισιµότερη µίας άλλης () εφόσον,. Η ορθή οκταεδρική τάση, () () σ oct > σoct.. Η διατµητική οκταεδρική τάση, () () τ oct >τ oct.. Η µέγιστη διατµητική τάση, ( ) ( ) τ max > τ max. 5.6 Η Πλαστική Συµπεριφορά Υλικών 5.6. ιαχωρισµός της τροπής Από φαινοµενολογική σκοπιά τα πραγµατικά υλικά εµφανίζουν κατ εξοχήν µηγραµµική συµπεριφορά καθώς και µη-αντιστρεπτές παραµορφώσεις, γεγονός που αναγνωρίζεται στο πείραµα φόρτισεως αποφορτίσεως. Οπως φαίνεται και στο παρακάτω γράφηµα η συµπεριφορά του υλικού (µαρµάρου εν προκειµένω) είναι ριζικά διαφορετική στον κλάδο φορτίσεως από ότι είναι στον κλάδο αποφορτίσεωςς/επαναφορτίσεως. Επίσης οι τροπές κατά την αποφόρτιση υστερούν εκείνων κατά την φόρτιση, δηλαδή το υλικό δεν είναι ελαστικό. Αν ε είναι η ολική τροπή µέχρι κάποιο σηµείο Α στη καµπύλη φορτίσεως, τότε το πείραµα e αποφορτίσεως µας δείχνει ότι µόνο ένα µέρος αυτής της τροπής, έστω ε η λεγόµενη και ελαστική τροπή 5, είναι αντιστρεπτή. Η παραµένουσα τροπή ε καλείται και πλαστική τροπή 6, e ε ε +ε 5 Αγγλ. elastc 6 Πλάσσω (αρχ.): µορφώνω, διαπλάθω, σχηµατίζω (Lddle and Scott s, Greek-Englsh Lexcon, Calendron Press 889: πλάσσω to form, mould, shae). (αρχ.) επιθ.: πλαστικός. Αγλλ. lastc.
54 Η θεωρία πλαστικής ροής 7 βασίζεται στην υπόθεση ότι δεν µπορούµε να διατυπώσουµε καταστατικές εξισώσεις που να αφορούν πεπερασµένες παραµορφώσεις, όπως κάναµε στη περίπτωση ελαστικών και υπερ-ελατικών υλικών. Πράγµατι, η συµπεριφορά ενός πραγµατικού υλικού δεν εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα τιµή της τάσεως, όπως υποθέτουµε ότι συµβαίνει στα ελαστικά υλικά, αλλά εξαρτάται και από την «ιστορία» της παραµορφώσεως. Για το λόγο αυτό οι εξισώσεις της θεωρίας πλαστικής ροής θα διατυπωθούν ως σχέσεις µεταξύ των ρυθµών τάσεων και τροπών, και θα έχουν τη µορφή εξελικτικών εξισώσεων 8,9 σ & f( σ, K, D) Θα περιορισθούµε εδώ σε υλικά που συµπεριφέρονται αµιγώς ανεξάρτητα της ταχύτητας παραµορφώσεως 0. Στην περίπτωση αυτή η οποιαδήποτε αλλαγή στη ταχύτητα φορτίσεως, που αντιστοιχεί σε κάποιο µετασχηµατισµό της χρονικής µεταβλητής της µορφής, τ g(t), αφήνει αναλλοίωτη την παραπάνω καταστατική εξίσωση για το ρυθµό της τάσης. 7 Αγγλ. theory of lastc flow. 8 Αγγλ. evoluton equatons 9 Οι τελείες στη λίστα των µεταβλητών σηµαίνουν εξάρτηση του ρυθµού της τάσεως και από µία σειρά παραµέτρων (εσωτερικών µεταβλητών), που περιγράφουν την «ιστορία» της παραµορφώσεως. 0 Αγγλ. rate ndeendent materals. Τα ανεξάρτητα της ταχύτητας παραµορφώσεως υλικά συνιστούν µία µαθηµατική εξιδανίκευση και µία οριακή συµπεριφορά. Γενικώς πραγµατικά υλικά συµπεριφέρονται διαφορετικά όταν η ταχύτητα παραµορφώσεως αλλάζει. Μια τέτοια συµπεριφορά καλείται ιξοδοελαστική ή «ιξοδοπλαστική» (vsco-elastc, vsco-lastc). Πρβλ. P.Perzyna (96). The consttutve equatons for rate senstve lastc materals. Q. Al. Math., Vol. 0, -).
55 Αυτό όµως σηµαίνει ότι η σ& θα είναι µια οµογενής ου βαθµού γραµµική ή µηγραµµική συνάρτηση του ρυθµού παραµορφώσεως, π.χ. µια συνάρτηση της µορφής, σ & C : D+ A D +L Ένας τέτοιος γενικός νόµος καλείται υπο-πλαστικός και αφορά γενικώς σε µια µη-γραµµική εξάρτηση του ρυθµού της τάσεως από τον ρυθµό της παραµορφώσεως. Λόγω της ανεξαρτησίας από την ταχύτητα παραµορφώσεως, στη συνέχεια θα χρησιµοποιούµε αδιακρίτως είτε το ρυθµό µεταβολής µιας ποσότητας είτε την απειροστική της µεταβολή. Έτσι ο παραπάνω διαχωρισµός της τροπής σε ελαστικό και πλαστικό µέρος θα γραφεί είτε για τον ρυθµό παραµορφώσεως είτε για τη µεταβολή της απειροστικής τροπής, e e D D + D, ε ε + ε Παρατηρούµε τέλος ότι για τις ελαστικές τροπές θα δεχθούµε γενικώς ότι ισχύει ένας υπο-ελαστικός νόµος, της µορφής, σ& e D e C : 5.6. Συνθήκη διαρροής Η ιδιότητα η οποία διακρίνει τα λεγόµενα γεωυλικά, όπως π.χ. τα εδάφη, τα πετρώµατα και τα σκυροδέµατα, από άλλα υλικά, όπως π.χ. τα µέταλλα, είναι η προεξάρχουσα ευαισθησία τους στην επιβαλλόµενη µέση ορθή τάση, η οποία αποδίδεται στην ύπαρξη εσωτερικής τριβής. Η εσωτερική τριβή αναπτύσσεται σε µικρο-δοµικό επίπεδο είτε µεταξύ κόκκων είτε στα χείλη εσωτερικών µικρορωγµών, τυχαία κατανεµηµένων µέσα στον (REV). W. Wu, E. Bauer and D. Kolymbas (996). Hyolastc consttutve model wth crtcal state for granular materals. Mechancs of Materals, Vol., 45-69. Αγγλ. geomaterals Αγγλ. ressure senstvty
56 Για υλικά ευαίσθητα στη µέση ορθή τάση 4 και υπό καθεστώς συνεχιζόµενης φόρτισης η ένταση διατµητικής τάσης T J s συναρτάται µε τη µέση ορθή θλιπτική τάση Iσ /. Υπο µορφή καταστατικής εξισώσεως προτείνουµε αντίστοιχα ένα περιορισµό, που θα ονοµάσουµε συνθήκη διαρροής 5, π.χ. µία σχέση της µορφής 6 όπου T + f 0 [ + c +L] c f + fc (5.0) c είναι η συνεκτικότητα 7 και f C είναι συντελεστής εσωτερικής τριβής 8 του υλικού. Σε πρώτη προσέγγιση για ένα υλικό τύπου Coulomb έχουµε ότι η συνθήκη διαρροής είναι γραµµική ως προς T c fc Από την παραπάνω καταστατική Εξ. (5.0) προκύπτει ότι κάτω από αρκετά µεγάλες πιέσεις τα γεωυλικά συµπεριφέρονται ως αµιγώς µη-συνεκτικά υλικά, T fc (< 0,c<< ) Ενα κοκκώδες υλικό, όπως η άµµος, είναι ένα τυπικό παράδειγµα ενός µησυνεκτικού υλικού (τριβώδους 9 ). Παρατηρούµε τέλος ότι πολλά προσοµοιώµατα τεκτονικών µακρο-δοµών, όπως τα γεωλογικά ρήγµατα (όπου στη πραγµατικότητα οι γεωστατικές τάσεις είναι πολύ µεγάλες), πραγµατοποιούνται στο εργαστήριο 4 Αγγλ. ressure-senstve materals 5 Αγγλ. yeld condton 6 Θλιπτικές τάσεις λαµβάνονται µε αρνητικό πρόσηµο. 7 Αγγλ. coheson 8 Αγγλ. coeffcent of nternal frcton 9 Αγγλ. frctonal
57 υπό κλίµακα µε µη-συνεκτική ή ελαφρώς συνεκτική άµµο κάτω από συνθήκες κανονικής βαρύτητας 40,4. Προσοµοίωµα τεκτονικού ρήγµατος στο εργαστήριο µε τη βοήθεια ξηρής άµµου. Οι λωρίδες χρωµατισµένης άµµου δείχνουν καθαρά τη γεωµετρική µορφή των ηµικατακόρυφων ρηγµάτων που προκαλούνται από µία έντονη βύθιση της βάσης (µηχανισµός καταπακτής, tra door mechansm). 40 M.K.. Hubbert, Mechancs of deformaton of crustal rocks: Hstorcal develoment. In: Mechancal Behavor of Crustal Rocks-The Handn Volume (Ed. N.L. Carter et al.) Amercal Geohyscal Unon, 98, -9. 4 Exadaktylos, G.E., Vardoulaks, I. Stavrooulou, M.C. and Tsombos, P. (00). Analogue and numercal modellng of normal fault atterns roduced due to sl along a detachment zone. Tectonohyscs 76, 7 4.
58 5.6. Ο νόµος πλαστικής ροής Ένας απλός τρόπος να συσχετίσουµε την πλαστική διαρροή µε την πλαστική ροή είναι να δούµε την έκφραση για το στοιχειώδες πλαστικό έργο παραµορφώσεως, w & σjd j v& + Tg& Στην έκφραση αυτή v& και g& είναι ο ρυθµός πλαστικής ογκοµετρικής παραµορφώσεως και ο ρυθµός πλαστικής διατµητικής παραµορφώσεως, που είναι ενεργειακώς συζυγείς προς την µέση τάση και την ένταση της διατµητικής τάσεως αντιστοίχως. Στο σηµείο αυτό παρατηρούµε ότι τα γεωυλικά εκτός από εσωτερική τριβή, γεωυλικά εµφανίζουν και πλαστική διασταλτικότητα 4, η οποία θεωρείται ως ένας εσωτερικός περιορισµός µεταξύ του ρυθµού της πλαστικής ογκοµετρικής τροπής v & D kk και του ρυθµού πλαστικής διατµητικής τροπής 4 g& v & d R g& Ο παραπάνω περιορισµός συνιστά το νόµο πλαστικής ροής 44. Η παράµετρος d R στη παραπάνω καταστατική εξίσωση καλείται συντελεστής διασταλτικότητας κατά Reynolds 45. 4 Αγγλ. dlatancy 4 Οι ποσότητα αυτή ορίζεται επακριβώς στο επόµενο κεφάλαιο. 44 Αγγλ. flow rule 45 Αγγλ. dlatancy coeffcent. Reynolds, O. (885). On the dlatancy of meda comosed of rgd artcles n contact. Wth exermental llustratons. Phl. Mag. () 0, 469-48. Also: Truesdell, C. and Noll, W.: The Non-Lnear Feld Theores of Mechancs, Handbuch der Physk Band III/, secton 9, Srnger 965.
59 Στην ειδική περίπτωση όπου d R 0, το υλικό είναι πλαστικά ασυµπίεστο, v& 0 Γενικώς θα δεχθούµε ότι τόσο οι συντελεστές τριβής και διασταλτικότητας όσο και συνεκτικότητα είναι συναρτήσεις κάποιας παραµέτρου Ψ που εκφράζει τη κατάσταση πλαστικής παραµόρφωσης c ĉ(...; Ψ), fc fˆ(...; Ψ), dr dˆ(...; Ψ) Λαµβάνοντας υπ όψη ότι, παίρνουµε T c fc και v & dr g& w & ( c+ ( ) ( f d )) g& C R Αυτό σηµαίνει ότι από τη σκοπιά της κατανάλωσης έργου παραµορφώσεως, ένα υλικό µε εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα συµπεριφέρεται ως ένα υλικό µε εσωτερική τριβή που παραµορφώνεται ισόχωρα και έχει ενεργό συντελεστή εσωτερικής τριβής τη διαφορά f f C d R (5.) Τα πειραµατικά δεδοµένα ενισχύουν την υπόθεση ότι ο ενεργοποιηµένος συντελεστής τριβής είναι σταθερός f σταθ., (5.) Η παραπάνω σχέση οδηγεί στην γνωστή από την Βραχοµηχανική υπόθεση ότι η «αντοχή» ενός πετρώµατος εξαρτάται από τη συνεκτικότητα c και την εσωτερική τριβή, που µε τη σειρά της συνίσταται σε αντίσταση λόγω τριβής και σε αντίσταση λόγω διαστολικότητας f C f + d R
60 Στη περίπτωση απλής, διαστολικής διάτµησης η παραπάνω υπόθεση Εξ. (5.) εκφράζεται συναρτήσει της γωνίας εσωτερικής τριβής 46 ϕ και της γωνίας διαστολικότητας 47 ψ του υλικού tanϕ tanϕ tanψ σταθ. (5.) Αυτή η σχέση είναι γνωστή στην Εδαφοµηχανική ως η συνθήκη του Taylor 48. Αξίζει να σηµειωθεί ότι τόσο ο Rowe 49,50 όσο και ο de Joseln de Jong 5 χρησιµοποίησαν την ίδια ιδέα και ονόµασαν την ϕ την πραγµατική γωνία τριβής 5 και την ταύτισαν µε την γωνία τριβής ϕ µ µεταξύ των κόκκων ενός κοκκώδους υλικού. Ένας άλλος τρόπος να δούµε την παραπάνω Εξ. (5.) είναι να τη λύσουµε ως προς τον συντελεστή διασταλτικότητας, dr fc f (5.4) 46 Αγγλ. frcton angle 47 Αγγλ. dlatancy angle 48 D.W. Taylor. Fundamentals of Sol Mechancs, John Wley, 948. 49 P.W. Rowe (96). The stress-dlatancy relaton for statc equlbrum of an assembly of artcles n contact. Proc. Roy. Soc., 69, 500-57. 50 P.W. Rowe (97). Theoretcal meanng and observed values of deformaton arametrs for sol. Proc. Roscoe Mem. Sym., Cambrdge, 4-94. 5 De Josseln de Jong (976). Rowe's stress-dlatancy relaton based on frcton. Géotechnque, 6, 57-54. 5 Αγγλ. true angle of frcton
6 Υπόθεση Taylor:Συντελεστές εσωτερικής τριβής και διαστολικότητας για µία µετρίως πυκνή άµµο σε τριαξονικό πείραµα θλίψης Η Εξ. (5.4) αποτελεί την απλούστερη γενίκευση της συνθήκης καθετότητας 5 της κλασσικής θεωρίας πλαστικής ροής. Πράγµατι σε ένα ισότροπο υλικό οι κύριοι άξονες της τάσεως και του ρυθµού της πλαστικής τροπής συµπίπτουν. Στη περίπτωση αυτή τόσο η συνθήκη διαρροής όσο και ο νόµος πλαστικής ροής παρίστανται στο ίδιο επίπεδο. Στο επίπεδο αυτό και σε κάθε σηµείο σ (,T) της επιφάνειας διαρροής 54, F (,T, ψ ) 0, προσάπτουµε το αντίστοιχο διάνυσµα ρυθµού πλαστικής παραµόρφωσης 55 T. ε & ( g&,v& ). Όταν ισχύει η συνθήκη καθετότητας τότε το διάνυσµα ε& είναι κάθετο στην επιφάνεια διαρροής. Η συνθήκη καθετότητας εκφράζεται εν προκειµένω απλά από την ισότητα συντελεστού τριβής και συντελεστού διαστολικότητας, που οδηγεί σε µηδενικό ενεργό συντελεστή εσωτερικής τριβής, dr fc f 0 Ο νόµος πλαστικής ροής, που αντιστοιχεί στην παραπάνω συνθήκη καθετότητας, συνήθως καλείται συνηρτηµένος 56. Όταν το διάνυσµα ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως δεν είναι κάθετο προς την επιφάνεια διαρροής dr < fc f > 0 5 Αγγλ. normalty condton 54 Αγγλ. yeld surface 55 Πρβλ. Ι. Βαρδουλάκη. Τεχνική Μηχανική ΙΙ, Κεφ. 0, Εκδ. Συµµετρία, 999. 56 Αγγλ. assocated flow rule
6 τότε ο νόµος πλαστικής ροής καλείται µη-συνηρτηµένος 57, αν και η συνθήκη του Taylor, Εξ. (5.), εκφράζει µια απλή συσχέτιση µεταξύ drκαι f C. Άσκηση Θεωρούµε το πρότυπο του Reynolds για ένα κοκκώδες υλικό στο παράδειγµα της απλής διασταλτικής διατµήσεως µιας λεπτής ζώνης πάχους h υπο την επίδραση ορθής τάσεως σκαι της διατµητικής τάσεως τ. Θεωρούµε ότι οι µεταβολές όγκου δίδονται µε ικανοποιητική ακρίβεια από την απειροστική ογκοµετρική τροπή h ε h Η ογκοµετρική τροπή διαχωρίζεται σε ελαστική και πλαστική, ε e ε + ε Υποθέτουµε ότι η ελαστική ογκοµετρική τροπή συνδέεται κατ ευθείαν µε την ορθή τάση, 57 Αγγλ. non-assocated flow rule
6 e σ ε, D> 0 (ελαστικό οιδηµετρικό µέτρο) D Παράλληλα υποθέτουµε ότι πλαστικές ογκοµετρικές τροπές προκαλούνται λόγω της διαστολικότητας του κοκκώδους υλικού. Η θεωρία του Reynolds αφορά στην περίπτωση όπου η ορθή τάση είναι σταθερή. Συµφώνως προς τη θεωρία αυτή έχουµε ότι σ const. : ε τ δ ( δ> 0). Να προσδιορισθεί ο συντελεστής εσωτερικής τριβής f fˆ( σ), f τ σ στη περίπτωση όπου το κοκκώδες υλικό αυτό υφίσταται µία ισόχωρη απλή διάτµηση ( ε 0).. Να σχεδιασθεί στο χώρο ( τ, σ) η αντίστοιχη καµπύλη διαρροής τ +σfˆ ( σ) 0 5.7 Οι Καταστατικές Εξισώσεις της Θεωρίας Πλαστικής Ροής Λόγω της µη-γραµµικής συµπεριφοράς ενός ελαστο-πλαστικού υλικού, για δεδοµένη αύξηση της τάσεως σ η ολική απειροστική τροπή ε προκύπτει µεγαλύτερη από εκείνη που θα προέβλεπε ένας ελαστικός υπολογισµός, ε e > ε σ E Για να υπολογισθεί σωστά την ολική απειροστική τροπή ο ελαστικός υπολογισµός πρέπει να διορθωθεί προσθέτοντας στην «ελαστική» τροπή την υπολειπόµενη «πλαστική» τροπή ε e ε + ε Με αυτό το σκεπτικό φτάνουµε µέσα στα πλαίσια της θεωρίας πλαστικής ροής στην γενική υπόθεση ότι ο ρυθµός παραµορφώσεως διαχωρίζεται σε ελαστικό και σε πλαστικό µέρος e D j D j + D j (5.5)
64 Υπενθυµίζουµε ότι ο D j είναι το συµµετρικό µέρος της βαθµίδας της ταχύτητας στη τρέχουσα απεικόνιση του Συνεχούς, Dj ( v j + jv) Ο διαχωρισµός αυτός, Εξ. (5.5), εισάγει γενικώς στο πρόβληµα 6 νέες αγνώστους, τις συνιστώσες του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως. Η άρση της κινηµατικής αοριστίας γίνεται εν προκειµένω µε την υιοθέτηση µιας σειράς καταστατικών υποθέσεων που θα εκθέσουµε παρακάτω. 5.7. Ελαστικότητα e Ο ρυθµός ελαστικής παραµορφώσεως D j δίδεται µέσω των εξισώσεων µιάς κατάλληλα επιλεγµένης θεωρίας Ελαστικότητας. Επειδή στην περίπτωση αυτή οι σχέσεις τάσεων-τροπών δεν αφορούν πεπερασµένα µεγέθη αλλά τους ρυθµούς τους, η αντίστοιχη θεωρία δεν ονοµάζεται ελαστικότητα αλλά υπο-ελαστικότητα. Συµφώνως πρoς τον ορισµό που δίνουν οι Truesdell και Noll 58, υπο-ελαστικά καλούνται εκείνα τα υλικά που χαρακτηρίζονται από µία γραµµική σχέση µεταξύ της αντικειµενικής χρονικής παραγώγου ενός επιλεγέντος τανυστή τάσεως και του αντίστοιχου, ενεργειακώς συζυγούς, ρυθµού παραµορφώσεως. Π.χ. µπορούµε να επιλέξουµε την κατά Jaumann παράγωγο της σχετικής τάσεως κατά Krchhoff, και τον ρυθµό ελαστικής παραµρφώσεως 59 58 C. Truesdell and W. Noll. Nonlnear Feld Theores of Mechancs. Encycloeda of Physcs, Vol. III/, Sect. 99,00, Srnger, 965. 59 Πρβλ. Κεφ. 4.
65 o t t e T j R jkl D kl (5.6) Για υπο-ελαστικά υλικά ισχύει ο επί πλέον περιορισµός ότι ο τανυστής 4ης τάξεως t της ελαστικής στιβαρότητας R πρέπει να είναι µία ισότροπη συνάρτηση του αντίστοιχου τανυστή της τάσεως t ˆ t t R R ( T ) Αν οι παραπάνω «υπο-ελαστικές» καταστατικές Eξ. (5.6) προέρχονται από µια θεωρία για υπερ-ελαστικά υλικά, τότε από την ύπαρξη µιας συναρτήσεως ειδικής ελαστικής ενέργειας συνεπάγεται η λεγόµενη µείζων συµµετρία του ελαστικού τανυστή στιβαρότητας t t t t R jkl R klj R jkl R jlk Παρατηρούµε ότι στη βιβλιογραφία αντί της κατά Jaumann παραγώγου του σχετικού τανυστή Krchhoff θα χρησιµοποιηθεί συχνά η αντίστοιχη αντικειµενική παράγωγος του τανυστή Cauchy και η υπο-ελαστική σχέση θα γραφτεί ως εξής e e σ o j C jkl D kl (5.7) Επειδή όµως ισχύει η σχέση 60 e C jkl t R jkl σjδkl παρατηρούµε ότι η αντίστοιχη ελαστική στιβαρότητα ικανοποιεί µόνο τις λεγόµενες συνθήκες ελάσσονος συµµετρίας e e e C jkl C jkl C jlk Οι παραπάνω παρατηρήσεις σηµαίνουν ότι µέσα στα πλαίσια µιας θεωρίας µεγάλων παραµορφώσεων ή/και τάσεων, ο υπο-ελαστικός νόµος για τον ελαστικό ρυθµό παραµορφώσεως θα πρέπει να εκφρασθεί συναρτήσει της αντικειµενικής παραγώγου Krchhoff-Jaumann παρά συναρτήσει της αντίστοιχης Cauchy- Jaumann. Υπενθυµίζουµε επίσης ότι, όπως σκιαγραφήσαµε στο Κεφ. 4., και αν ακόµα δεχθούµε ότι η ελαστικότητα του υλικού είναι ισότροπη, κάτω από πεπερασµένες παραµορφώσεις το υλικό θα αναπτύξει τροπικά επιβεβληµένη ανισοτροπία και το πιο σηµαντικό, θα εµφανίσει µια αύξηση της στιβαρότητας για o διάτµηση κατά 45 προς τους κύριους άξονες της προ-έντασης 6. Κάτι τέτοιο δεν 60 Πρβλ. Κεφ. 4.4. 6 Πρβλ. Κεφ. 4..4
66 είναι θεµιτό, διότι στα πραγµατικά υλικά τα µέτρα ελαστικότητας µειώνονται αντί να αυξάνονται µε προϊούσα την παραµόρφωση και αυτό λόγω εσωτερικής φθοράς που υφίστανται αυτά κατά την παραµόρφωση 6. Στην πράξη θα αγνοήσουµε τα ελαττώµατα των διαφόρων υπο-ελαστικών και υπερ-ελαστικών νόµων και θα δεχθούµε ότι η ελαστικότητα του υλικού περιγράφεται ικανοποιητικά από µια καταστατική σχέση της µορφής (5.7), όπου χάριν απλότητας θα δεχθούµε ότι ο e τανυστής C jkl είναι ο γνωστός ισότροπος (Hooke) ελαστικός τανυστής στιβαρότητας e ν C jkl G δkδ jl +δlδ jk + δjδkl ν µε τους γνωστούς περιορισµούς για τα µέτρα ελαστικότητας G> 0 και ν 5.7. Η συνάρτηση διαρροής 6 Ξεκινάµε µε το παράδειγµα του απλού εφελκυσµού, όπου η εντατική κατάσταση είναι µονοαξονική [ σ] σ 0 0 0 0 0 0 0 0 6 Πρβλ. Κεφ. 4.6 6 Αγγλ. yeld functon
67 Κατά τη διαδικασία της φορτίσεως η τάση αυξάνεται µονοτόνως. Έστω ότι η τάση έχει λάβει ήδη µια τιµή σ σ> 0 και ότι αυξάνεται απειροστικά κατά σ> 0. Κατά την απειροστική αυτή µετάβαση διαπιστώνουµε ότι παράγεται πλαστική τροπή ε > 0, που συνδέεται άµεσα µε την παραγωγή πλαστικού έργου παραµορφώσεως, που µε τη σειρά του µετατρέπεται σε θερµότητα w σ ε > 0 Η κατάσταση πλαστικής παραµορφόσεως µετράται µε τη βοήθεια µιας µηφθίνουσας παραµέτρου Ψ που εµπροκειµένω µπορεί να ταυτισθεί είτε µε την ολική πλαστική τροπή Ψ ε ε & dt είτε µε το ολικό έργο πλαστικής παραµορφώσεως Ψ w w& dt Σε κάθε περίπτωση ορίζουµε µια συνάρτηση διαρροής της µορφής, F σ σˆ( Ψ) Παρατηρούµε λοιπόν ότι πρωτογενώς η έννοια της φορτίσεως ορίζεται για µονοδιάστατες εντατικές καταστάσεις. Πράγµατι φόρτιση έχουµε όταν κατά µία απειροστική µετάβαση ισχύουν οι σχέσεις: σˆ σ σˆ( Ψ), σ σˆ( Ψ+ Ψ) σˆ( Ψ) + Ψ, Ψ > 0 Ψ
68 Για να γενικεύσουµε τις παραπάνω έννοιες σε τριδιάστατες εντατικές καταστάσεις, εισάγουµε την έννοια της συναρτήσεως διαρροής ή συναρτήσεως φορτίσεως, η οποία θεωρούµε ότι είναι µια ισότροπη συνάρτηση του τανυστή της (πραγµατικής) τάσης σ και µιας µη-φθίνουσας παραµέτρου Ψ, η οποία περιγράφει την κατάσταση πλαστικής κρατύνσεως 64 του υλικού ( σ Ψ) F Fˆ j, Αντιστοίχως στο χώρο των τάσεων ορίζουµε µια επιφάνεια διαρροής 65 περιγράφεται αναλυτικά από την εξίσωση που (, Ψ) 0 Fˆ σ j (5.8) Τώρα υποθέτουµε ότι πλαστικές παραµορφώσεις D j παράγονται όταν η εντατική κατάσταση βρίσκεται και παραµένει πάνω στην επιφάνεια διαρροής, γεγονός που συνιστά την προαναφερθείσα πλαστική φόρτιση. Άρα πλαστική φόρτιση έχουµε (t) (t+ t) όταν κατά µια απειροστική µετάβαση, C a C, όπου η µεταβολή της τάσεως είναι, σ j a σj σj + σj σj +σ& j t και η µεταβολή της πλαστικής παραµέτρου είναι, Ψ a Ψ Ψ+ Ψ Ψ+Ψ t &, Ψ & > 0 (5.9) ισχύει ότι F 0 a F F+ F F+ F& t 0 64 Αγγλ. hardenng 65 Αγγλ. yeld surface
69 ή Fˆ Fˆ F & σ& j + Ψ & 0 σj Ψ (5.0) Άρα µε τη βοήθεια της γεωµετρικής έννοιας της επιφάνειας διαρροής µπορούµε σχετικά εύκολα να γενικεύσουµε για τριδιάστατες εντατικές καταστάσεις την έννοια της φορτίσεως. Φόρτιση έχουµε όταν: F 0, F& 0, Ψ& > 0 Παρατηρούµε ότι κατά τη φόρτιση το διάνυσµα της µεταβολής της τάσεως δείχνει προς τα «έξω» της επιφάνειας διαρροής. Αυτό καθορίζεται από το πρόσηµο του 9 εσωτερικού γινοµένου (στον R ) µεταξύ του διανύσµατος σj και της καθέτου Fˆ / σj σ j. στην επιφάνεια διαρροής στο σηµείο { } Άρα, κατά την φόρτιση ισχύουν οι κάτωθι σχέσεις:
70 Fˆ F 0, F& 0, σ& j > 0, Ψ & > 0 (κράτυνση) σj Η παραπάνω ανισότητα ( Fˆ / σj ) σ& j > 0 ισχύει µόνο στην περίπτωση όπου κατά τη φόρτιση η ίδια η επιφάνεια διαρροής κινείται προς τα «έξω», δηλαδή στην περίπτωση όπου το υλικό υφίσταται «κράτυνση». Όταν το υλικό υφίσταται «χαλάρωση», τότε η ανισότητα αυτή δεν ισχύει και έχουµε ότι, Fˆ F 0, F& 0, σ& j < 0, Ψ & > 0 (χαλάρωση) σj Όταν κατά τη θεωρούµενη απειροστική µεταβολή το διάνυσµα της µεταβολής της τάσεως βρίσκεται πάνω στο εφαπτοµενικό επίπεδο στην επιφάνεια διαρροής, τότε έχουµε την περίπτωση της λεγόµενης ουδέτερης φορτίσεως 66 : Fˆ F 0, σ& j 0, Ψ & 0 (ουδέτερη φόρτιση) σj Όταν η εντατική κατάσταση βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια διαρροής, αλλά το διάνυσµα της µεταβολής της τάσεως δείχνει προς τα «µέσα» της επιφάνειας διαρροής, ενώ δεν παράγονται πλαστικές τροπές, τότε έχουµε αποφόρτιση 66 Αγγλ. neutral loadng
7 Fˆ F 0, σ& j < 0, Ψ & 0 (αποφόρτιση) σj Στο σηµείο αυτό παρατηρούµε ότι υπάρχει µια τεχνική δυσκολία στο να ξεχωρίσουµε µεταξύ αποφορτίσεως και χαλαρώσεως. Η δυσκολία αυτή θα ξεπεραστεί παρακάτω, όπου θα καθορίσουµε το νόµο πλαστικής ροής, δηλαδή τις καταστατικές εκείνες σχέσεις που θα µας επιτρέψουν να προσδιορίσουµε τις πλαστικές τροπές και να παρακολουθήσουµε την εξέλιξη της επιφάνειας διαρροής στις διάφορες φάσεις φορτίσεως, αποφορτίσεως κλ.π. 67. Εδώ περιοριζόµαστε στη παρατήρηση ότι στο µονοδιάστατο παράδειγµα ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις Κράτυνση : σ ε > 0, Ψ > 0 Χαλάρωση: σ ε< 0, Ψ > 0 Αποφόρτιση: σ ε > 0, Ψ 0 Και σηµειώνουµε πάλι ότι η πλαστική παράµετρος δεν µειώνεται. Αυτός είναι ο βασικός περιορισµός που καθιστά τις εξισώσεις πλαστικής ροής ικανές να περιγράψουν µη-αντιστρεπτές παραµορφώσεις. 67 Πρβλ. Q.S. Nguyen and H.D. Bu (974). Sur les materaux elastlastques a ecroussage ostf ou negatf. J. de Mecanque, Vol., -4. J. Casey (00). On loadng crtera n lastcty. C. R. Mecanque, 0, 85 90.
7 Τέλος παρατηρούµε ότι στην περίπτωση που η εντατική κατάσταση βρίσκεται «εντός» της επιφάνειας διαρροής, τότε πλαστικές παραµορφώσεις δεν παράγονται, οποιαδήποτε και αν είναι η κατεύθυνση του διανύσµατος µεταβολής της τάσεως, F < 0, Ψ& 0 Στην περίπτωση αυτή η συµπεριφορά του υλικού για οποιαδήποτε απειροστική µετάβαση είναι ελαστική. Για το λόγο αυτό, η εσωτερική περιοχή της επιφάνειας διαρροής στο χώρο των τάσεων F< 0 καλείται «ελαστική» περιοχή. Παρατηρούµε τέλος ότι ορισµένοι συγγραφείς, εµπνεόµενοι από το τρόπο µε τον οποίο χειρίζεται κανείς τους ανισοτικούς περιορισµούς στη θεωρία Βελτιστοποιήσεως, γράφουν τη συνθήκη για την πλαστική φόρτιση υπο µορφή συνθηκών Kuhn-Tucker, Ψ & 0, F 0, Ψ& F 0 5.7. Ο νόµος πλαστικής ροής και η συνθήκη συµβατότητας Στα πλαίσια της θεωρίας πλαστικής ροής θα δεχθούµε ότι ο ρυθµός πλαστικής παραµορφώσεως έχει τους ίδιους κύριους άξονες µε την (πραγµατική) τάση. Στη περίπτωση αυτή λέµε ότι οι τανυστές D και σ είναι οµοαξονικοί 68. Ένας εύκολος τρόπος να ικανοποιήσουµε αυτή την παραδοχή και παράλληλα να απλοποιήσουµε το πρόβληµα προσδιορισµού των 6 συνιστουσών του ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως είναι ο εξής: α) υποθέτουµε ότι όλες οι συνιστώσες του D είναι ανάλογες του ρυθµού µεταβολής της πλαστικής παραµέτρου 69 Ψ & και β) υποθέτουµε ότι υπάρχει µία ισότροπη συνάρτηση του τανυστή των τάσεων και της πλαστικής παραµέτρου, ( σ Ψ) Q Qˆ j, (5.) η λεγόµενη συνάρτηση πλαστικού δυναµικού 70, έτσι ώστε 68 Αγγλ. coaxal 69 Για το λόγο αυτό ο Ψ & θα ονοαµασθεί και πλαστικός πολλαπλασιαστής. 70 Αγγλ. lastc otental functon
7 Qˆ D Ψ& j (5.) σj Η παραπάνω Εξ. (5.) καλείται νόµος πλαστικής ροής 7. Στην περίπτωση που δεν θα εισάγουµε νέα συνάρτηση στη καταστατική περιγραφή και θα δεχθούµε ότι η συνάρτηση διαρροής παίζει το ρόλο του πλαστικού δυναµικού, δηλ. στη περίπτωση που δεχόµαστε ότι, Q F, τότε λέµε πως ο νόµος πλαστικής ροής είναι συνηρτηµένος 7 Fˆ F Q D Ψ& j (5.) σj Στην περίπτωση αυτή το διάνυσµα ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως παριστάµενο στον χώρο των τάσεων 7 είναι κάθετο στην επιφάνεια διαρροής στη θέση που αντιστοιχεί στη τρέχουσα τιµή της έντασης και της πλαστικής παραµέτρου. Οπως είδαµε στο Κεφ. 5. η παραλληλία µεταξύ D j και της καθέτου στην επιφάνεια διαρροής ( Fˆ / σj ) καλείται συνθήκη καθετότητας 74. Παρατηρούµε ότι µε δεδοµένη τη συνάρτηση πλαστικού δυναµικού, η κινηµατική αοριστία του ελστο-πλαστικού προβλήµατος περιορίζεται στον υπολογισµό α) των βαθµών ελευθερίας κινήσεως του υ.σ., δηλ. στον προσδιορισµό των συνιστουσών της ταχύτητας v (,, ) και β) στον προσδιορισµό της πλαστικής παραµέτρου Ψ &. Για την απαλοιφή της κινηµατικής αγνώστου Ψ & κάνουµε χρήση της υποθέσεως ότι πλαστικές τροπές θα παράγονται, και λόγω τις Εξ. (5.), Ψ & > 0 θα παράγεται, όταν θα λαµβάνει χώρα φόρτιση της επιφάνειας διαρροής. Με άλλα λόγια η απαλοιφή του Ψ & > 0 θα γίνει µε το να απαιτήσουµε ο νόµος πλαστικής ροής, Εξ. (5.), να είναι συµβατός µε τη φόρτιση της επιφάνειας διαρροής. Αυτή η διαδικασία γίνεται ως εξής: Όπως αναφέραµε στο προηγούµενο κεφάλαιο, κατά τη φόρτιση ισχύουν οι σχέσεις Fˆ Fˆ F 0, F & σ& j + Ψ & 0 σj Ψ (5.4) Ο ρυθµός του τανυστή των τάσεων κατά Cauchy δίδεται µέσω των καταστατικών σχέσεων της υπο-ελαστικότητας, 7 Αγγλ. lastc flow-rule 7 Αγγλ. assocated 7 Αυτό είναι δυνατό λόγω οµοαξονικότητας µεταξύ 74 Αγγλ. normalty condton. D και σ.
74 σ o j e e C jkl D kl και των γεωµετρικών σχέσεων που συνδέουν την υλική του παράγωγο µε την κατά Jaumann αντικειµενική του παράγωγο 75, σ& j o σj+ Wkσkj σkwkj Παρατηρούµε τώρα ότι επειδή ο τανυστής ( Fˆ / σj ) είναι συµµετρικός, ενώ ο στροβιλισµός είναι αντισυµµετρικός, ισχύει η σχέση Fˆ σ& j σj Fˆ o σj σj Fˆ σ& j σj Fˆ e e C jkl D σ kl j Τέλος, κάνοντας χρήση του διαχωρισµού του ρυθµού της παραµορφώσεως e D j D j + D j και του νόµου πλαστικής ροής Qˆ D Ψ& j σj από την Εξ. (5.4) παίρνοθµε τη σχέση, Fˆ e C jkl D σ kl j Qˆ Fˆ Ψ& + Ψ & 0 (5.5) σkl Ψ Λαµβανοµένου υπ όψιν του γεγονότος ότι ο ρυθµός της παραµορφώσεως είναι το συµµετρικό µέρος της βαθµίδας της ταχύτητας καθίσταται φανερό ότι η παραπάνω Εξ. (5.5) µας επιτρέπει την απαλοιφή του ρυθµού του πλαστικού πολλαπλασιαστή. Στην τελική έκφραση για το Ψ & κάνουµε χρήση των εξής συµβολισµών: Nj Fˆ σj N j Qˆ σj 75 Πρβλ. Κεφ. 4.
75 e B j NklC klj F H t (µέτρο κράτυνσης 76 ) ψ e H0 NklC klmn N mn > 0 (µέτρο αντεπιστροφής 77 ) H H0 + Ht > 0 (πλαστικό µέτρο 78 ) Οπότε Η Εξ. (5.5) γίνεται, Ψ & B kl D kl H Επειδή τώρα εξ ορισµού ο πλαστικός πολλαπλασιαστής Ψ & δεν µπορεί να πάρει αρνητικές τιµές, η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως εξής () < > Ψ & BklDkl (5.6) H όπoυ εισάγαµε το λεγόµενο σύµβολο ή αγκύλη Föl-Macauley () < > 0 : F : F 0 BklDkl > 0 < 0 (F 0 BklDkl 0) Με το τρόπο αυτό πετύχαµε µιαν έκφραση για τον ρυθµό µεταβολής της πλαστικής παραµέτρου, η οποία είναι συµβατή µε τους ορισµούς της φορτίσεως και της αποφορτίσεως της επιφάνειας διαρροής που δώσαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο. Η συνθήκη (5.6) λέγεται και συνθήκη συµβατότητας κατά Prager 79. 5.7.4 Εξισώσεις ρυθµού της θεωρίας πλαστικής ροής Επιστρέφουµε στις εξισώσεις υπο-ελαστικότητας, που τώρα µπορούν να γραφούν συναρτήσει του ρυθµού της ολικής παραµoρφώσεως, o e e e e σ j C jkl D kl C jkl (D kl D kl ) C jkl (D kl Ψ& N kl) 76 Αγγλ normalty condton 77 Αγγλ. sna-back modulus 78 Αγγλ. lastc modulus 79 Αγγλ. Prager s consstency condton
76 ή () e < > σ o j C jkl (D kl BqDqN kl) H Οι εξισώσεις αυτές γράφονται σε απλή, συνοπτική µορφή κάνοντας χρήση των παρακάτωτνυστών στιβαρότητας: e ν C jkl G δkδ jl +δlδ jk + δjδkl (ελαστική στιβαρότητα) ν e e C jkl N mnc mnj NqC H qkl (πλαστική στιβαρότητα) e e () C jkl C jkl < > C jkl (ελαστο-πλαστική στιβαρότητα ) e σ o j C jkl Dkl (5.7) Αυτές είναι οι καταστατικές εξισώσεις της θεωρίας πλαστικής ροής µεταξύ του αντικειµενικού ρυθµού της πραγµατικής τάσεως και του ρυθµού της παραµορφώσεως. Λόγω των αγκυλών Föl-Macauley ο ελαστο-πλαστικός e τανυστής C jkl είναι ένας οιονεί γραµµικός τελεστής 80. Καµία φορά οι καταστατικές Εξ. (5.7) θα χαρακτηριστούν και ως δι-γραµµικές 8, αφού είναι σε δύο περιοχές του χώρου των τάσεων κατά περιοχή γραµµικές, στην ελαστική περιοχή: e e C jkl C jkl αλλοιώς: e C jkl e C jkl C jkl Οπως αναφέραµε εισαγωγικά στο παρόν κεφάλαιο, ένας άλλος τρόπος να δει κανείς τις εξισώσεις της θεωρίας της πλαστικής ροής είναι ότι αυτές συνιστούν διόρθωση των εξισώσεων της (υπο-) ελαστικότητας, σ o j e () C jkl Dkl < > C jkl Dkl Γι αυτό καµιά φορά θα αναφερθεί ότι οι κατασταtικές εξισώσεις της θεωρίας πλαστικής ροής συνιστούν µια οµαλή διαταραχή 8 εκείνων της θεωρίας (υπο-) ελαστικότητας. 80 Αγγλ. quas-lnear oerator 8 Αγγλ. b-lnear 8 Αγγλ. regular erturbaton
77 Αν ο ελαστικός τανυστής ικανοποιεί τις συνθήκες µείζονος συµµετρίας, e C jkl e C klj e C jlk e C jkl L τότε ο ελαστο-πλαστικός τανυστής τις ικανοποιεί µόνον όταν ο νόµος πλαστικής ροής είναι συνηρτηµένος N j Nj e C jkl e C klj L Οπως αναφέραµε εισαγωγικά και θα αναπτύξουµε στο επόµενο κεφάλαιο, για πολλά γεωυλικά, λόγω του φαινοµένου της διασταλτικότητας, δεν ισχύει ο νόµος καθετότητας, οπότε ο νόµος πλαστικής ροής δεν συναρτάται απ ευθείας µε την επιφάνεια διαρροής. Παρ όλα αυτά στη βιβλιογραφία θα βρούµε µια ασθενέστερη µορφή, τον λεγόµενο αποκλίνοντα νόµο καθετότητας 8, που συνοψίζεται στη σχέση N j N j λδj και λ είναι ένα βαθµωτό µέγεθος. Άσκηση Να γραφούν οι καταστατικές εξισώσεις (5.7) αναλυτικά για διάφορες απειροστικές συνέχειες µιας µονότονης τριαξονικής θλίψεως. 5.8 Απλά Καταστατικά Πρoσοµοιώµατα 5.8. Ισότροπη πλαστικότητα Στα πλαίσια της θεωρίας πλαστικής ροής για ισότροπα υλικά κάνουµε χρήση των συναρτήσεων διαρροής και πλαστικού δυναµικού F Fˆ( σj, Ψ), Q Qˆ ( σj, Ψ) τις οποίες και θεωρούµε ως ισότροπες συναρτήσεις της (πραγµατικής) τάσεως. Όπως είδαµε πιο πάνω, στις καταστατικές εξισώσεις ρυθµού της θεωρίας αυτής υπεισέρχονται οι τανυστές βαθµίδας Fˆ Nj και σj Qˆ N j σj Συµφώνως προς το θεώρηµα σχετικά µε την παράσταση ισότροπων τανυστικών συναρτήσεων 84 γενικώς θα ισχύουν εκφράσεις της µορφής 8 Αγγλ. devatorc normalty condton. G. Gudehus (7). Elasto-lastc consttutve equatons for dry sand. Arch. Mech. Stosw., Vol. 4, 95-40. 84 Πρβλ. Κεφ..9
78 και N j A0δj + Asj + Askskj N j B0δj + Bsj + Bskskj όπου οι ποσότητες A ν και B ν ( ν 0,, ) είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων του τανυστή των τάσεων. Λαµβάνοντας υπ όψιν ότι οι F και Q είναι συναρτήσεις των αναλλοίωτων της τάσεως, F Fˆ(I σ,js,js, Ψ), Q Qˆ (Iσ,Js,Js, Ψ) για τον πρακτικό υπολογισµό των βαθµίδων της συναρτήσεως διαρροής και του πλαστικού δυναµικού χρησιµοποιούµε εκφράσεις της µορφής, Nj Fˆ Iσ Iσ σj Fˆ + Js Js σj Fˆ + Js Js σj Επειδή δε ισχύουν οι ταυτότητες tj I σ δj σj Js sj σj Js skskj Jsδj σj τελικά παίρνουµε την έκφραση N j N0δj + Ns j + Ntj όπου N0 Fˆ Iσ, Fˆ N Js, N Fˆ Js Με βάση τον διαχωρισµό του πλαστικού ρυθµού παραµορφώσεως σε ισότροπο και αποκλίνον µέρος D j I δ D j + D j
79 µπορούµε να ορίσουµε τις εξής παραµέτρους της πλαστικής παραµορφώσεως: πλαστική διασταλτικότητα: v& I D D kk πλαστική διάτµηση: g& J D D j D j πλαστικό έργο: w& σjd j Όσον αφορά τη σχέση των δύο πρώτων παραµέτρων µε τον πλαστικό πολλαπλασιαστή Ψ &, που υπεισέρχεται στον νόµο πλαστικής ροής, D j Ψ & N j, παρατηρούµε ότι ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις (γιατί;) & v Q Ψ& v, Q v N kk & Ψ& g Qg, Q g N j N kkδj N j N llδj Τα διάφορα µαθηµατικά πρότυπα (µοντέλα) που έχουν κατά καιρούς προταθεί για την περιγραφή της συµπεριφοράς γεωυλικών, µέσα στα πλαίσια της θεωρίας πλαστικής ροής, αναφέρονται κυρίως στην επιλογή των συναρτήσεων διαρροής και πλαστικού δυναµικού. 5.8. Προσοµοιώµατα τύπου Drucker-Prager (D.-P.) Τα προσοµοιώµατα (D.-P.) δεν εξαρτώνται από την η αναλλοίωτη, οπότε το ίχνος των αντίστοιχων επιφανειών στο αποκλίνον επίπεδο είναι κύκλος και η επιφάνεια διαρροής στο χώρο των κυρίων τάσεων είναι αντίστοιχα κυκλικός κώνος µε άξονα τη χωροδιαγώνιο. 5.8.. Γραµµικά προσοµοιώµτα: Στην ειδική αυτή περίπτωση η εξάρτηση από τη µέση τάση είναι γραµµική, F Js f q Iσ (f: συντελεστής εσωτερικής τριβής) Q Js d q Iσ (d: συντελεστής διασταλτικότητας) Οπότε Nj mj + fδj, N j mj + dδj
80 και sj mj, mjm j Js Η εξάρτηση των συναρτήσεων F και Q από την παράµετρο πλαστικής κρατύνσεως Ψ είναι επίσης θέµα κατάλληλης επιλογής. Όσον αφορά π.χ. την επιφάνεια διαρροής αναφέρουµε εδώ τις εξής ειδικές περιπτώσεις: «ισότροπη» κράτυνση: f fˆ( Ψ), qσταθ. Ht F df q Ψ dψ F dq «κινηµατική» κράτυνση: f σταθ, q.qˆ( Ψ). Ht f Ψ dψ
8 5.8.. Μη-γραµµικά προσοµοιώµατα Στη περίπτωση αυτή η επιφάνεια διαρροής ή το πλαστικό δυναµικό δεν είναι κατ ανάγκη γραµµικές συναρτήσεις της πρώτης αναλλοίωτης του τανυστή των τάσεων. Για παράδειγµα αναφέρουµε την εξής «παραβολική» συνάρτηση, F F (,T, Ψ) T f(q ) T Js, Iσ q 0 q f fˆ( Ψ), qσταθ. 0 ˆ 0( Ψ) Στο σχήµα διακρίνονται και οι τασικές οδεύσεις 85, που αντιστοιχούν σε µονοαξονικό εφελκυσµό (Oe) και µονοαξονική θλιψη (Oc), αντιστοίχως. Είναι φανερό ότι τα λεγόµενα οιονεί ψαθυρά υλικά 86, όπως τα πετρώµατα, το σκυρόδεµα κλπ., εµφανίζουν µικρότερη αντοχή σε εφελκυσµό απ ότι σε θλίψη. Γενικώς το πρόβληµα έγκειται στην εύρεση µιάς κατάλληλης συναρτήσεως διαρροής και ενός κατάλληλου µέτρου πλαστικής παραµορφώσεως, έτσι ώστε η συνάρτηση Fˆ (,T, Ψ ) 0 να παρεµβάλλεται µεταξύ των σηµείων (e) και (c) πάνω στις δύο αυτές (ή και σε περισσότερες) τασικές οδεύσεις, που αντιστοιχούν στην αυτή τιµή για την πλαστική παράµετρο Ψ. Το πρόβληµα αυτό δεν έχει µονοσήµαντη λύση. Αυτό φαίνεται και από το παρακάτω σχήµα, όπου µεταξύ των σηµείων (c) και (e) έχει παρεµβληθεί πέραν της («ανοιχτής») παραβολικής ( F 0 ) και µια άλλη («κλειστή») συνάρτηση διαρροής. 85 Αγγλ. stress-aths 86 Αγγλ. quas-brttle materals
8 Η συνάρτηση αυτή για δεδοµένη τιµή του Ψεµφανίζει πεπερασµένη τάση διαρροής σε ισότροπη θλίψη, ) ( ˆ c c Ψ ) f( T ) (,T, F F 0 c 0 0 Ψ Ενα τέτοιο πρόσοµοίωµα αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως µοντέλο κύπελλου 87, και βρίσκει εφαρµογή στη περιγραφή της συµπεριφοράς γεωυλικών, όπως οι άργιλοι, που εµφανίζουν το φαινόµενο της στερεοποιήσεως 88. Αν θέλουµε τώρα να προσθέσουµε στο προσοµοίωµα κυπέλλου µία απότµηση στην περιοχή εφελκυσµού 89, θα µπορούσαµε να δοκιµάσουµε συναρτήσεις διαρροής της µορφής n 0 c 0 0 ) f( T ) (,T, F F Ψ n c 0 q q q q ) f(q T ) (,T, F F Ψ 87 Αγγλ. ca-model 88 Αγγλ. consoldaton 89 Αγγλ. tenson cut-off
8 Στο χώρο των κυρίων τάσεων οι παραπάνω συναρτήσεις διαρροής F και F οδηγούν σε κλειστές επιφάνειες διαρροής, οι οποίες στη συγκεκριµένη περίπτωση προσοµοι[ωσεως κατά Drucker-Prager, είναι επιφάνειες εκ περιστροφής µε άξονα τη χωροδιαγώνιο και ίχνος όµοιο της αντίστοιχης καµπύλης στο επίπεδο (,T). 5.8. Προσοµοιώµατα τύπου Mohr-Coulomb (M.-C.) Τα προσοµοιώµατα (M.-C.) δεν εξαρτώνται από την ενδιάµεση κύρια τάση. Συνάρτηση ιαρροής Οσον αφορά την συνθήκη διαρροής αυτή συνήθως εκφράζεται µέσω της λεγόµενης ενεργού γωνία τριβής 90 ϕ m του υλικού κατά Mohr-Coulomb, που ορίζεται στο επίπεδο Mohr µέσω µίας ευθύγραµµης περιβάλλουσας ( σ )/ sn σ ϕ m ( σ σ σ) q ( σ +σ)/ Στην περίπτωση αυτή εισάγουµε συνήθως τις αναλλοίωτες οπότε έπεται ότι ή σ M ( σ+σ) < 0, τm ( σ σ ) > 0 τ snϕ M m q σm τ M σm snϕm + c cosϕm, c qtanϕm 90 Αγγλ. moblzed frcton angle
84 Σηµειώνουµε ότι καµιά φορά η συνθήκη (M.-C.) θα γραφεί συναρτήσει της µέγιστης και της ελάχιστης κύριας τάσης ή cosϕm + snϕ σ m c+ σ snϕm snϕm σ K c+ Kσ K + snϕ m snϕm o tan (45 + ϕm / ) (συντελεστής παθητικής ωθήσεως)
85 Παρατηρούµε τώρα ότι σε µία τριαξονική θλίψη µε σ σ σ, έχουµε (σ+σ ) (σm+τm), T ( σ σ ) τm Εισάγοντας τη συνάρτηση διαρροής F T fc (q ) έπεται ότι F 0 fc T (/ ) τ M q q (σm τm) fc snϕ m + snϕm Από πειραµατα προκύπτει ότι γενικώς η ενεργοποιηµένη γωνία τριβής ενός e γεωυλικού σε τριαξονικό εφελκυσµό ϕ m θα είναι κατά τι µεγαλύτερη από την c e c o o αντίστοιχη τιµή ϕ m σε τριαξονική θλίψη (π,χ. ϕ m ϕm 5 ). Αντιστοίχως στο αποκλίνον επίπεδο έχουµε ότι, τριαξονική θλίψη ( α s π / ): Oc fc c snϕ m c + snϕm e τριαξονικό εφελκυσµό ( α s 0 ): snϕ Oe f m e e snϕ m
86 Μεταξύ των σηµείων (e) και (c) µπορούµε να παρεµβάλουµε µία ευθεία που σε πολικές συντεταγµένες ( ρ T /, αs) περιγράφεται από τη σχέση, ρ acosαs + bsnαs Στην περίπτωση αυτή το ίχνος των αντίστοιχων επιφανειών διαρροής στο αποκλίνον επίπεδο είναι ένα µη-κανονικό εξάγωνο και η επιφάνεια διαρροής στο χώρο των κυρίων τάσεων είναι αντίστοιχα εξαγωνική πυραµίδα µε άξονα τη χωροδιαγώνιο. Οι συντελεστές a και b στην παραπάνω έκφραση συνδέονται µε την ενεργό γωνία τριβής σε τριαξονική θλίψη και τριαξονικό εφελκυσµό a fe fc +, b fc fe fc Στην περίπτωση όπου κατά το κλασσικό προσοµοίωµα M.-C. θα δεχθούµε ότι η ενεργοποιηµένη γωνία τριβής είναι ανεξάρτητη της µέσης κύριας τάσεως, τότε έπεται ότι είναι η ίδια σε τριαξονική θλίψη και τριαξονικό εφελκυσµό, e c ϕ m ϕm b ( a ) Αναλυτικά οι συναρτήσεις διαρροής και πλαστικού δυναµικού κατά M.-C. έχουν ως εξής ( α s αs0, 0 αs0 π / ), F Js sn( αs +π /) + cos( αs +π/ )snϕm snφm q Iσ (M.-C.) Μια άλλη έκφραση της (γενικευµένης) συναρτήσεως διαρροής κατά (M.-C.) είναι η εξής, F Js σ s σ s Iσ ( a(i, Ψ)cosα + b(i, Ψ)snα ) q( Ψ) Η έκφραση αυτή επιτρέπει την προσοµοίωση της περιπτώσεως εκείνης, όπoυ η ενεργοποιηµένη γωνία τριβής είναι (συνήθως φθίνουσα) συνάρτηση της πίεσης. Πλαστικό δυναµικό Οµοίως ορίζουµε την ενεργό γωνία πλαστικής διασταλτικότητας Lundgren ε& sn ε& ψ m ( ε& <ε& < ε& ) ε& +ε& ψ m κατά Hansen-
87 Παρατηρούµε ότι η γωνία διασταλικότητας συνδέεται µε τον λόγο ρυθµού πλαστικής παραµορφώσεως όγκου προς τον ρυθµό πλαστικής διατµητικής τροπής snψm ε& M γ& M Συµφώνως προς το παραπάνω ορισµό η γωνία πλαστικής διασταλικότητας είναι θετική, ψ m > 0, όταν η πλαστική αλλαγή του όγκου αντιστοιχεί σε διόγκωση. Το αντίστοιχο πλαστικό δυναµικό έχει ως εξής Q Js sn( αs +π /) + cos( αs +π /)snψm snψm q Iσ Βαθµίδες Λαµβάνοντας υπ όψιν ότι Fˆ I Fˆ Js Fˆ J N s j σ + + N0δj + Ns j + Ntj Iσ σj Js σj Js σj N j N 0δj + N sj + N tj και αs Js cot αs Js, αs Js cot αs Js
88 παίρνουµε τις εξής εκφράσεις, N0 snϕm sn( α +π / ) Js + snϕm 4 Js snϕ s N + cot( α +π / ) + m ( cot( α +π / ) cot( α )) s snϕm 4 Js ( αs ( αs s 0) π / ) s (0<αs <π / ) N ( sn( α +π / )snϕ cos( α +π / ) ) Js sn(αs ) s 0 ( αs 0) m 0 ( αs π / ) s (0<αs <π / ) Οµοίως και για τους συντελεστές N ν ( ν 0,, ) Άσκηση Να αποδειχθούν οι παραπάνω τύποι για τους συντελεστές N ν ( ν 0,, ) και να αναπτυχθούν οι αντίστοιχοι τύποι για τους συντελεστές N ν ( ν 0,, ). Παρατήρηση Όσον αφορά την γενικευµένη συνάρτησης διαρροής κατά (M.-C.) ισχύουν οι εξής εκφράσεις F Js σ s σ s Iσ ( a(i, Ψ)cosα + b(i, Ψ)snα ) q( Ψ) a b N 0 + Js cosαs + snαs Iσ Iσ cot α s s s cos Js Js ( ) s N acosα + bsnα + ( asnα + b α ) s
89 cot α s s cos Js s N J ( asnα + b α ) s 5.8.4 Το προσοµοίωµα Rankne Η συµπεριφορά ψαθυρών υλικών καθορίζεται από τη µέγιστη τάση. Για α s αs0, (0 αs0 π / ), όπου T F cos( αs ) + k( Ψ) σ T k( Ψ) είναι η αντίστοιχη εξάρτηση της µονοαξονικής εφελκυστικής τάσης από την παράµετρο Ψ. Λαµβανοµένου υπ όψιν ότι γενικώς ισχύει snϕ m fe fe και ότι στηn περίπτωση του προσοµοιώµατος (R.) T f e σt
90 διαπιστώνουµε ότι η παραδοχή Rankne ισοδυναµεί µε την υπόθεση ότι η ενεργοποιηµένη γωνία τριβής του υλικού είναι, o φ m 90 Για το λόγο αυτό το προσοµοίωµα (R.) θεωρείται µη-ρεαλιστικό. 5.8.5 Το προσοµοίωµα Lade Μια λεία και εξίσου µονο-παραµετρική συνάρτηση, που παρεµβάλλεται µεταξύ των προσοµοιωµάτων (D.-P.) και (M.-C.) είναι το µοντέλο Lade 9, όπου, I F III ( η( Ψ)) τ τ (L.) τ j σj qδj Iτ τkk, IIIτ det( τj) Εισάγοντας τώρα τη βοηθητική συνάρτηση, tanφ σ T q η συνάρτηση (L.) γράφεται ως εξής ( α s αs0, 0 αs0 π / ) (γιατί;) F ηcot φσ + cotφσ + cos( αs ) Οπως φαίνεται και από το σχήµα η επιφάνεια διαρροής κατά Lade είναι, σε αντίθεση µε την επιφάνεια (M.-C.), µια λεία καµπύλη. Αυτή η ιδιότητα θεωρείται ως πλεονέκτηµα, αφού οι βαθµίδα N j (και αντιστοίχως η N j) είναι συνεχείς συναρτήσεις της αναλλοίωτης τασικής γωνίας οµοιότητας αs 9. 9 P. Lade (977). Elastolastc stress-stran theory for cohesonless sol wth curved yeld surface. Int. J. Solds Struct., Vol., 09-05. 9 Μια αρκετά πλήρης αναφορά στα διάφορα κατά καιρούς προταθέντα µοντέλλα στην Εδαφοµηχανική δίδεται στην εργασία του K. Hashguch (00). A roosal of the smlest convex-concal surface for sols. Sols and Foundatons, 4, 07-.
9 Ασκήσεις. Να αποδειχτεί ότι για την επιφάνεια διαρροής (L.) ισχύει η σχέση I N j ad( τ) j ( η) τ δj και να υπολογισθεί στην περίπτωση αυτή το εφαπτοµενικό µέτρο κράτυνσης H t F Ψ. ίδονται ι οι εξής σχέσεις που περιγράφουν την επιφάνεια διαρροής κατά Matsuoka & Naka 9 : I II F σ σ IIIσ snϕm (Μ&Ν) Iσ σ+σ +σ σ+σ + σ σ σ σ σ σ σ IIσ + + σσ +σσ +σσ σ σ σ σ σ σ 9 Matsuoka, H. And Naka, T. (974). Stress-deformaton and strength characterstcs of sol under three dfferent rncal stresses. Proc. Jaan. Soc. Cvl Engnrs.,, 59-70.
9 σ σ σ IIIσ σ σ σ σσ σ σ σ σ και ϕ m είναι η ενεργοποιηµένη γώνια τριβής σε τριαξονική θλίψη.. Να βαθµονοµηθεί η εν λόγω ε.δ. για στο αποκλίνον επίπεδο, I σ 00 kn. o ϕ m 4, και να σχεδιασθεί το ίχνος της. Να υπολογισθεί ο αντίστοιχος τανυστής Nj F/ σj. 5.8.6 Ανισοτροπικά προσοµοιώµατα Η πραγµατική συµπεριφορά των γεωυλικών κατά την αποφόρτιση δεν είναι ελαστική µέχρι τέλους. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω γράφηµα που αφορά την συµπεριφορά ενός ψαµµίτη σε µονοαξονική θλίψη. Πράγµατι η καµπύλη αποφορτίσεως καµπυλώνεται έντονα όσο αποµακρύνεται κανείς από το σηµείο αποφόρτισης U. Το φαινόµενο αυτό λέγεται επιστρέφουσα πλαστικότητα 94. 94 Αγγλ. reverse lastcty
9 Ένας απλός τρόπος να προσοµοιωθεί η συµπεριφορά αυτή είναι να προσφύγει κανείς σε θεωρίες πλαστικής ροής, όπου η επιφάνεια διαρροής και το πλαστικό δυναµικό εξελίσσονται ανισοτροπικά. Ως παράδειγµα αναφέρουµε εδώ το απλούστερο «γραµµικό» προσοµοίωµα τύπου (D.-P.) που παρέχει αυτή την δυνατότητα 95, όπου F F F : : tanφσ > R tanφσ < R F, T (R± M)(q ) T tanφ σ q Η συνάρτηση R Rˆ ( Ψ) περιγράφει την ανάπτυξη της ανισοτροπίας, ενώ η συνάρτηση M Mˆ ( Ψ) περιγράφει το εύρος της ελαστικής περιοχής. 95 Το προσοµοίωµα αυτό χρησιµοποιήθηκε πρόσφατα µέσα στα πλαίσια µιας θεωρίας ιξωδοελαστοπλαστικότητας, για την περιγραφή της ερπηστικής συµπεριφοράς υπερχαλαρών κοκκωδών εδαφών, πρβλ. d Prsco, C., Imosmato, S. and Vardoulaks, I. (000). Mechancal modelng of draned cree traxal tests on loose sand. Géotechnque, 50, 7-8.