Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο

ΣΜΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΩΝ ΗΟΤΝΗΟ 00 ΣΟΜΔΑ ΣΑΣΗΣΗΚΖ, ΠΗΘΑΝΟΣΖΣΩΝ & ΔΠΗΥΔΗΡΖΗΑΚΖ ΔΡΔΤΝΑ Μ Α Θ Η Μ Α Σ Ι Κ Ο Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Σ Ι Μ Ο ΘΕΜΑ ο : Ζ Tucker Inc παξάγεη αληξηθά θνζηνύκηα θαη αληξηθά παιηό. Ζ παξαγσγή θάζε θνζηνπκηνύ απαηηεί. hrs θνπήο, 0.7 hrs ξαςίκαηνο, 6 m πθάζκαηνο θη αθήλεη θέξδνο 90. Αλάινγα, ε παξαγσγή ελόο παιηό απαηηεί 0.8 hrs θνπήο, 0.6 hrs ξαςίκαηνο, 4 m πθάζκαηνο θη αθήλεη θέξδνο 50. Γηα ηελ παξαγσγή ηεο εξρόκελεο εβδνκάδνο, ε Tucker κπνξεί λα δηαζέζεη κέρξη 00 hrs γηα θνπή, κέρξη 80 hrs γηα ξάςηκν θαη κέρξη 00 m πθάζκαηνο. Βέβαηα, εάλ απαηηεζνύλ, ε Tucker κπνξεί λα εμαζθαιίζεη κέρξη 00 hrs ππεξσξηώλ κε θόζηνο 5 αλά ώξα εάλ πξόθεηηαη γηα ώξα θνπήο θαη 0 αλά ώξα εάλ πξόθεηηαη γηα ώξα ξαςίκαηνο. Σέινο, ππνζέζεηε όηη ππάξρνπλ εμαζθαιηζκέλεο πσιήζεηο γηα ηνπιάρηζηνλ 00 θνζηνύκηα θαη ηνπιάρηζηνλ 75 παλσθόξηα. Θεσξήζηε ηηο κεηαβιεηέο S θαη SC λα παξηζηνύλ, αληίζηνηρα, ην πιήζνο ησλ αληξηθώλ θνζηνπκηώλ θαη παιηό πνπ πξέπεη λα θαηαζθεπαζηνύλ θαη ηηο κεηαβιεηέο D θαη D λα παξηζηνύλ ηηο ώξεο ππεξσξηώλ πνπ ζα απαηηεζνύλ γηα θνπή θαη ξάςηκν αληίζηνηρα. Ο αλαθνξά απνηειεζκάησλ ηνπ LINDO πνπ αθνινπζεί ζα ζαο βνεζήζεη λα απαληήζεηε ζηα εξσηήκαηα -5 (δικαιολογήζηε ηις απανηήζεις ζας με ζαθήνεια σποδεικνύονηας ηασηότρονα ηα ανηίζηοιτα ζηοιτεία ηης αναθοράς αποηελεζμάηων ποσ τρηζιμοποιήζαηε): LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE ) 40900.00 VARIABLE VALUE REDUCED COST S 00.000000 0.000000 SC 50.000000 0.000000 D 40.000000 0.000000 D 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES ) 0.000000 5.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 34.500000 5) 60.000000 0.000000 6) 0.000000-35.000000 7) 75.000000 0.000000 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE S 90.000000 35.000000 INFINITY SC 50.000000 INFINITY 3.333334 D -5.000000 5.000000 7.500000 D -0.000000 0.000000 INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 00.000000 40.000000 60.000000 3 80.000000 INFINITY 0.000000 4 00.000000 33.33338 00.000000 5 00.000000 INFINITY 60.000000 6 00.000000 50.000000 00.000000 7 75.000000 75.000000 INFINITY. Να δηαηππώζεηε ην ζηόρν ηεο Tucker Inc θαη λα αλαπηύμεηε έλα κνληέιν γξακκηθνύ πξνγξακκαηηζκνύ, πνπ λα δύλαηαη λα βειηηζηνπνηήζεη ην ζηόρν απηό. Να πεξηγξάςεηε κε ζαθήλεηα θάζε ζηνηρείν ηνπ κνληέινπ. Πνηα είλαη ε άξηζηε ιύζε θαη πνηα ε άξηζηε ηηκή ηνπ κνληέινπ; Γηαηππώζηε ηα απνηειέζκαηα κε όξνπο ηεο εθθώλεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο.. Αο ππνζέζνπκε όηη ππάξρεη ε ζθέςε ην θέξδνο από θάζε θνζηνύκη λα αλέξζεη ζηα 0. ρνιηάζηε εθηελώο ηε κεηαβνιή πνπ ζπλεπάγεηαη ε θίλεζε απηή ζηε βέιηηζηε ιύζεο θαη ηε βέιηηζηε ηηκή. 3. Τπνζέζηε όηη ιόγσ θάπνηαο έθηαθηεο παξαγγειίαο, ε Tucker Inc ζθέθηεηαη λα πξνρσξήζεη ζηελ αγνξά πθάζκαηνο θαηαβάιινληαο 8 επηπιένλ ηεο ζπλήζνπο ηηκήο πνπ ην πξνκεζεύεηαη. Ννκίδεηαη όηη είλαη πξνο ην ζπκθέξνλ ηεο κηα ηέηνηα θίλεζε; Μέρξη πνηνύ πνζνύ ζα ήηαλ δηαηεζεηκέλε ε Tucker λα θαηαβάιεη γηα θάζε επηπιένλ κέηξν πθάζκαηνο; Πόζα επηπιένλ κέηξα πθάζκαηνο κπνξεί λα παξαγγείιεη κε απηή ηελ ηηκή; 4. Τπνζέζηε όηη ε ειάρηζηε δήηεζε γηα θνζηνύκηα πέθηεη ζηα 75 ηεκάρηα. Ζ κεηαβνιή απηή ζα απμήζεη ή ζα ειαηηώζεη ην ζπλνιηθό θέξδνο ηεο Tucker; Δμεγήζηε αλαιπηηθά. 5. Τπνζέζηε όηη ην θόζηνο γηα κία ώξα ππεξσξίαο ξαςίκαηνο πέθηεη 5. Ζ κεηαβνιή απηή ζα απμήζεη ή ζα ειαηηώζεη ην ζπλνιηθό θέξδνο ηεο Tucker; Δμεγήζηε αλαιπηηθά. ΘΕΜΑ ο : Ζ βηνκεραλία ΥΤΕ παξαζθεπάδεη ηξνθέο γηα ζθύινπο θαη γάηεο θαη ηηο δηαζέηεη ζε κία ζπγθεθξηκέλε αιπζίδα ζνύπεξ κάξθεη. Ζ ηξνθή γηα ζθύινπο απνθέξεη θαζαξό θέξδνο 700 επξώ αλά ηόλν θαη ε ηξνθή γηα γάηεο 400 επξώ αλά ηόλν. ην ηειηθό ζηάδην ηεο παξαγσγήο νη ηξνθέο ζπζθεπάδνληαη κε έλα εηδηθό κεράλεκα. Όηαλ ην κεράλεκα ζπζθεπάδεη ηξνθή γηα ζθύινπο, έρεη δπλαηόηεηα ζπζθεπαζίαο 6 ηόλσλ αλά ώξα, ελώ όηαλ ζπζθεπάδεη ηξνθή γηα γάηεο έρεη δπλαηόηεηα ζπζθεπαζίαο 4 ηόλσλ αλά ώξα. Λόγσ απξόβιεπησλ βιαβώλ, αιιά θαη ηεο πξνγξακκαηηζκέλεο ζπληήξεζεο, ην κεράλεκα ζπζθεπαζίαο ιεηηνπξγεί 8 ώξεο αλά εκέξα. Από πξνεγνύκελε έξεπλα αγνξάο είλαη γλσζηό όηη γηα θάζε 5 ηόλνπο ηξνθήο γηα ζθύινπο ε βηνκεραλία πξέπεη λα παξάγεη ηνπιάρηζηνλ ηόλνπο ηξνθήο γηα γάηεο. Δπηπιένλ, ε βηνκεραλία πξέπεη λα ηξνθνδνηεί ηελ αιπζίδα ζνύπεξ κάξθεη κε ηνπιάρηζηνλ 0 ηόλνπο ηξνθήο αλά εκέξα, από ηνπο νπνίνπο ηνπιάρηζηνλ 0 ηόλνη λα είλαη ηξνθή γηα ζθύινπο.. Να δηακνξθώζεηε ην κνληέιν γξακκηθνύ πξνγξακκαηηζκνύ γηα ηνλ θαζνξηζκό ηνπ βέιηηζηνπ ζρεδίνπ παξαγσγήο πνπ κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε ηεο βηνκεραλίαο. Να εμεγήζεηε κε ζαθήλεηα ηηο κεηαβιεηέο πνπ ρξεζηκνπνηείηε θαη ην θπζηθό λόεκα ησλ πεξηνξηζκώλ ηνπ κνληέινπ πνπ ζα θαηαζθεπάζεηε. Υξεζηκνπνηείζηε ηε γξαθηθή κέζνδν γηα λα ζθηαγξαθήζεηε ηελ εθηθηή πεξηνρή, θαη γηα λα βξείηε ηε βέιηηζηε ιύζε θαη ηελ άξηζηε ηηκή ηνπ κνληέινπ πνπ δηακνξθώζαηε. Σα

απνηειέζκαηα ηεο επίιπζεο λα ηα δηαηππώζεηε κε όξνπο ηεο εθθώλεζεο ηνπ πξνβιήκαηνο.. Τπνζέζηε όηη ε XYZ ζέιεη λα απμήζεη ηηο πσιήζεηο ηξνθήο γηα ζθύινπο θαη απνθαζίδεη λα κεηώζεη ην θέξδνο ηεο ζε 500 Δπξώ αλά ηόλν. Πώο ζα επεξεάζεη ε απόθαζε απηή ην ζρέδην παξαγσγήο θαη ην θέξδνο ηεο βηνκεραλίαο; (Δμεγήζηε κε ζαθήλεηα, ρσξίο λα ιύζεηε εθ λένπ ην πξόβιεκα). 3. Τπνζέζηε όηη, ιόγσ απμεκέλσλ βιαβώλ, ν εκεξήζηνο ρξόλνο ιεηηνπξγίαο ηνπ κεραλήκαηνο ζπζθεπαζίαο κεηώλεηαη θαηά δύν ώξεο. Πώο ζα επεξεάζεη ην γεγνλόο απηό ηα θέξδε ηεο XYZ; (Δμεγήζηε κε ζαθήλεηα, ρσξίο λα ιύζεηε εθ λένπ ην πξόβιεκα). ΘΕΜΑ 3 ο : Ζ εηαηξεία CSC αγνξάδεη ζσιήλεο PVC δηακέηξνπ ¾ ηεο ίληζαο θαη κήθνπο 0m πξνθεηκέλνπ λα ηηο δηαζέζεη ζηελ αγνξά ζε κήθε ησλ 30m, 4m θαη 56m. Ο πίλαθαο πνπ αθνινπζεί δίλεη ην πιήζνο ησλ ζσιήλσλ γηα ηηο αλσηέξσ δηαζηάζεηο πνπ ππάξρνπλ ήδε ζηελ απνζήθε ηεο CSC θαζώο επίζεο θαη ηηο παξαγγειίεο πνπ έρνπλ ήδε ζπγθεληξσζεί: 30m 4m 56m Σξέρνλ απόζεκα 0 400 50 Εήηεζε 500 900 750 Τπνδείμηε έλα π.γ.π. γηα ηελ εύξεζε ηνπ πιήζνπο ησλ ζσιήλσλ πνπ πξέπεη λα αγνξαζηνύλ από ηελ CSC, ζε ηξόπν ώζηε ε δηακόξθσζή ηνπο ζε ζσιήλεο ησλ 30m, 4m θαη 56m λα έρεη ηηο ειάρηζηεο δπλαηέο απώιεηεο. ΘΕΜΑ 4 ο : Μηα εηαηξεία πξνγξακκαηίδεη ηελ παξαγσγή ησλ ζρνιηθώλ ηζαληώλ ηεο επόκελεο ζρνιηθήο ρξνληάο επηιύνληαο ην θαησηέξσ π.γ.π.: maximize z = 0x + 9x (θέξδνο, ) θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο (7/0)x + x 630 (ρξόλνο γηα θνπή θαη βαθή, hrs) (/)x + (5/6)x 600 (ρξόλνο γηα ξάςηκν, hrs) x + (/3)x 708 (ρξόλνο γηα επεμεξγαζία, hrs) (/0)x + (/4)x 35 (ρξόλνο γηα έιεγρν θαη παθεηάξηζκα, hrs) x, x 0 (όπνπ x, x ην πιήζνο ησλ ηζαληώλ ηύπνπ Α θαη Β, αληίζηνηρα, πνπ πξέπεη λα παξαρζνύλ. Ο αιγόξηζκνο Simplex ρξεζηκνπνηήζεθε γηα ηελ επίιπζή ηνπ θαη ηεξκάηηζε ζην αθόινπζν tableau (x 3, x 4, x 5 θαη x 6 πεξηζώξηεο κεηαβιεηέο): 0 9 0 0 0 0 B c B β P P P 3 P 4 P 5 P 6 P 9 5 0 30/6 0 -/6 0 P 4 0 0 0 0-5/6 5/3 0 P 0 540 0-0/6 0 30/6 0 P 6 0 8 0 0 -/3 0 9/64 z 7668 0 0 70/6 0 /6 0. ε πνην πνζό ζα έπξεπε λα αλέξρνληαη ηα θέξδε από εθάζηε ηζάληα ηύπνπ Β πξνθεηκέλνπ ε εηαηξεία λα αλαζεσξήζεη ην αλσηέξσ βέιηηζην ζρέδην παξαγσγήο;. Καηά πόζν ζα ειαηησζνύλ ηα ζπλνιηθά θέξδε ηεο εηαηξείαο, εάλ ν δηαζέζηκνο ρξόλνο ξαςίκαηνο θαηεβεί ζηηο 560 hrs (κεησζεί δειαδή θαηά 40 hrs); 3. Καηά πόζν ζα απμάλνληαλ ηα ζπλνιηθά θέξδε ηεο εηαηξείαο γηα θάζε επηπιένλ ώξα πνπ ζα κπνξνύζε λα εμαζθαιηζηεί γηα θνπή θαη βαθή; Πνηνο είλαη ν κέγηζηνο αξηζκόο σξώλ πνπ ζα κπνξνύζε λα ρξεζηκνπνηεζεί κε απηή ηελ ηηκή;

ΘΕΜΑ ο Ερώηημα Καη αξράο θαζνξίδνπκε ηηο μεηαβληηές απόθαζης. ύκθσλα κε ηελ πεξηγξαθή ηνπ πξνβιήκαηνο, δεηνύκελν είλαη ε εύξεζε ηνπ αξηζκνύ ησλ αληξηθώλ θνζηνπκηώλ θαη αληξηθώλ παιηό πνπ πξέπεη λα θαηαζθεπαζηνύλ από ηελ Tucker αιιά θαη ηνπ πιήζνπο ησλ ππεξσξηώλ πνπ ζα αλαγθαζηεί λα ρξεζηκνπνηήζεη (κεηαβιεηέο απόθαζεο), πξνθεηκέλνπ λα κεγηζηνπνηεζνύλ ηα ζπλνιηθά ηεο θέξδε (ζηόρνο), ιακβάλνληαο ππ όςηλ ηνπο παξαγσγηθνύο πεξηνξηζκνύο. Καηά ζπλέπεηα νξίδνπκε λα είλαη: S: ν αξηζκόο ησλ αληξηθώλ θνζηνπκηώλ πνπ πξέπεη λα θαηαζθεπαζηνύλ SC: ν αξηζκόο ησλ αληξηθώλ παιηό πνπ πξέπεη λα θαηαζθεπαζηνύλ D: ν αξηζκόο ησλ ππεξσξηώλ πνπ ζα πξέπεη ρξεζηκνπνηεζνύλ ζηελ θνπή ησλ δύν ξνύρσλ D: ν αξηζκόο ησλ ππεξσξηώλ πνπ ζα πξέπεη ρξεζηκνπνηεζνύλ ζην ξάςηκν ησλ δύν ξνύρσλ ηε ζπλέρεηα πξνζδηνξίδνπκε ηελ ανηικειμενική ζσνάρηηζη πνπ αθνξά ηε Μεγηζηνπνίεζε ζπλνιηθώλ θεξδώλ Maximize [(θέξδε από θνζηνύκηα) + (θέξδε από παιηό) (θόζηνο ππεξσξηώλ θνπήο) (θόζηνο ππεξσξηώλ ξαςίκαηνο)] Μax z = 90S + 50SC 5D 0D ηε ζπλέρεηα θαζνξίδνπκε ηνπο περιοριζμούς πνπ έρνπκε. Απηνί είλαη: Πεξηνξηζκόο από ην ππάξρνλ πιήζνο σξώλ θνπήο Από ηα δεδνκέλα ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηεη όηη γηα θάζε θνζηνύκη απαηηνύληαη. hrs ελώ γηα θάζε παιηό 0.8 hrs. Άξα ν ζπλνιηθόο δεηνύκελνο αξηζκόο ξνπκπηληώλ είλαη.s + 0.8SC θαη δελ ζα πξέπεη λα μεπεξλά ηνλ ζπλνιηθά δηαζέζηκν πνπ είλαη ηα 00 πξνζαπμεκέλα θαηά D πνπ ζα ρξεζηκνπνηεζνύλ σο ππεξσξίεο..s + 0.8SC 00 + D () Αλάινγα έρνπκε: Πεξηνξηζκόο από ην ππάξρνλ πιήζνο σξώλ ξαςίκαηνο: Πεξηνξηζκόο κέηξσλ πθάζκαηνο: 0.7S + 0.6SC 80 + D () 6S + 4SC 00 (3) Πεξηνξηζκόο αξηζκνύ ππεξσξηώλ πνπ κπνξνύλ λα ρξεζηκνπνηεζνύλ: D + D 00 (4) Πεξηνξηζκόο παξαγγειηώλ ζε αληξηθά θνζηνύκηα: S > 00 (5) Πεξηνξηζκόο παξαγγειηώλ ζε αληξηθά παιηό: SC > 75 (6) Οη κεηαβιεηέο απόθαζεο εθθξάδνπλ παξαγόκελεο κνλάδεο πξντόληνο (ξνύρα) θαη ώξεο εξγαζίαο. Δπνκέλσο παίξλνπλ κε αξλεηηθέο ηηκέο: S, SC 0 θαη D, D 0 Βέιηηζηε ιύζε είλαη ε S = 00, SC = 50, D = 40 κε z = 40900. πλεπώο πξέπεη λα θαηαζθεπαζηνύλ 00 θνζηνύκηα, 50 παιηό θαη λα ρξεζηκνπνηεζνύλ 40 ώξεο ππεξσξηώλ γηα ηελ θνπή ησλ ξνύρσλ. Σόηε ζα επηηεπρζνύλ ζπλνιηθά θέξδε ύςνπο 40900 (πνπ είλαη θαη ηα πεξηζζόηεξα δπλαηόλ).

Ερώηημα Σν εύξνο αξηζηόηεηαο ηνπ αληηθεηκεληθνύ ζπληειεζηή c είλαη ην δηάζηεκα (-, 5]. Ζ ηηκή 0 βξίζθεηαη κέζα ζ απηό ην δηάζηεκα, νπόηε ε βέιηηζηε ιύζε δελ πξόθεηηαη λα κεηαβιεζεί. Ζ Tucker ζα εμαθνινπζεί λα θαηαζθεπάδεη 00 θνζηνύκηα, 50 παιηό θαη λα ρξεζηκνπνηεί 40 ώξεο ππεξσξηώλ γηα ηελ θνπή ησλ ξνύρσλ, αιιά ην ζπλνιηθό θέξδνο ζα απμεζεί θαηά 00*(0-90) = 000 θαη ζα θηάζεη ηα 4900. Ερώηημα 3 Ζ δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ 3 ν πεξηνξηζκό είλαη 34.5 κε εύξνο εθηθηόηεηαο ην δηάζηεκα [000, 333.33]. Σν πνζό ησλ 34.5 είλαη θαη ην κέγηζην πνζό πνπ ζα ήηαλ δηαηεζεηκέλε λα πιεξώζεη γηα θάζε επηπιένλ κέηξν πθάζκαηνο πνπ ζα κπνξνύζε λα εμαζθαιίζεη κέρξη ησλ 333.33 m (γηα επηπιένλ 33.33 m δειαδή). Δπνκέλσο, γηα θάζε επηπιένλ κέηξν πθάζκαηνο κε επηβάξπλζε 8 ζηε ζπλήζεο ηηκή πνπ κπνξεί λα πξνκεζεύεηαη ε Tucker κέρξη ησλ 333.33 m, ζα απμάλεη ηα θέξδε ηεο θαηά 34.5 8 = 6.5, θη άξα είλαη πξνο ην ζπκθέξνλ ηεο ε αγνξά ηνπο. Ερώηημα 4 Ζ δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ 5 ν πεξηνξηζκό είλαη -35 κε εύξνο εθηθηόηεηαο ην δηάζηεκα [0, 50]. Δπνκέλσο, γηα θάζε ιηγόηεξν θνζηνύκη ηελ πώιεζε ηνπ νπνίνπ ε Tucker είρε εμαζθαιίζεη ζα θέξδηδε 35. Έηζη γηα εμαζθαιηζκέλεο πσιήζεηο 75 θνζηνπκηώλ, ηα θέξδε ηεο Tucker ζα απμάλνληαλ θαηά (00-75)*35 = 875 θαη ζα έθηαλαλ ηα 4775. Ερώηημα 5 Ζ κεηαβιεηή D έρεη ηηκή 0 ζηε βέιηηζηε ιύζε. Ο αληίζηνηρνο αληηθεηκεληθόο ζπληειεζηήο c 4 πξέπεη λα βειηησζεί ηνπιάρηζηνλ θαηά 0 κνλάδεο, όζν ην αληίζηνηρν θόζηνο επθαηξίαο, πξηλ ε D γίλεη βαζηθή κεηαβιεηή ( 0). πλεπώο γηα c 4 = -5, θακία κεηαβνιή δελ ζα πξνθιεζεί ζηε βέιηηζηε ηηκή ηνπ κνληέινπ, ην ζπλνιηθό θέξδνο ζα παξακείλεη ίζν κε 40900.

ΘΕΜΑ ο Ερώηημα Ζ βηνκεραλία πξέπεη λα θαζνξίζεη ηηο εκεξήζηεο πνζόηεηεο παξαγσγήο ηεο ηξνθήο γηα ζθύινπο θαη ηεο ηξνθήο γηα γάηεο (κεηαβιεηέο απόθαζεο) έηζη ώζηε λα κεγηζηνπνηήζεη ην εκεξήζην θέξδνο (ζηόρνο), ιακβάλνληαο ππόςε ην δηαζέζηκν ρξόλν ζπζθεπαζίαο θαη ηηο ζπλζήθεο πνπ απνξξένπλ από ηε δήηεζε ησλ ηξνθώλ θαη ηηο αλάγθεο ηξνθνδνζίαο ηεο αιπζίδαο ζνύπεξ κάξθεη (πεξηνξηζκνί). Γηα λα κνξθνπνηήζνπκε ην καζεκαηηθό κνληέιν ηνπ πξνβιήκαηνο, πξέπεη λα νξίζνπκε ζπκβνιηθά ηηο κεηαβιεηέο απόθαζεο θαη ζηε ζπλέρεηα λα θαηαγξάςνπκε, σο ζπλαξηήζεηο ησλ κεηαβιεηώλ απηώλ, ην ζηόρν θαη ηνπο πεξηνξηζκνύο. Μεηαβληηές. ύκθσλα κε ηα παξαπάλσ, κεηαβιεηέο απόθαζεο είλαη: x : πνζόηεηα παξαγσγήο ηξνθήο γηα ζθύινπο εκεξεζίσο (ζε ηόλνπο) x : πνζόηεηα παξαγσγήο ηξνθήο γηα γάηεο εκεξεζίσο (ζε ηόλνπο) ηότος (ανηικειμενική ζσνάρηηζη). Σν ζπλνιηθό εκεξήζην θέξδνο ηεο βηνκεραλίαο από ηελ παξαγσγή θαη πώιεζε x ηόλσλ ηξνθήο γηα ζθύινπο θαη x ηόλσλ ηξνθήο γηα γάηεο είλαη 700x + 400x Δπξώ. Καηά ζπλέπεηα, ε αληηθεηκεληθή ζπλάξηεζε ηνπ πξνβιήκαηνο πνπ αλαθέξεηαη ζηε κεγηζηνπνίεζε ηνπ ζπλνιηθνύ θέξδνπο είλαη ε: max Z = 700x +400x (ζε Δπξώ). Περιοριζμοί. Οη πεξηνξηζκνί ηνπ πξνβιήκαηνο πξνθύπηνπλ από: i) Σν δηαζέζηκν ρξόλν ζπζθεπαζίαο: Αθνύ ην κεράλεκα ζπζθεπαζίαο επεμεξγάδεηαη 6 ηόλνπο ηξνθήο γηα ζθύινπο αλά ώξα, ν ρξόλνο ζπζθεπαζίαο αλά ηόλν ηξνθήο γηα ζθύινπο είλαη /6 ώξεο. Παξόκνηα, αθνύ ην κεράλεκα επεμεξγάδεηαη 4 ηόλνπο ηξνθήο γηα γάηεο αλά ώξα, ν ρξόλνο ζπζθεπαζίαο αλά ηόλν ηξνθήο γηα γάηεο είλαη /4 ώξεο. Καηά ζπλέπεηα, ν ζπλνιηθόο ρξόλνο ζπζθεπαζίαο γηα x ηόλνπο ηξνθήο γηα ζθύινπο θαη x ηόλνπο ηξνθήο γηα γάηεο είλαη: x x ώξεο 6 4 Ο ρξόλνο απηόο δελ κπνξεί λα ππεξβαίλεη ηηο 8 ώξεο εκεξεζίσο, νπόηε ν ζρεηηθόο πεξηνξηζκόο γξάθεηαη: x x 8 (ή ηζνδύλακα x 3x 96 ) 6 4 ii) Σελ ειάρηζηε πνζόηεηα παξαγσγήο ησλ ηξνθώλ: x + x 0 iii) Σελ ειάρηζηε πνζόηεηα παξαγσγήο ηξνθήο γηα ζθύινπο: x 0 iv) Σελ αλαινγία ησλ παξαγόκελσλ πνζνηήησλ. Δθόζνλ γηα θάζε 5 ηόλνπο ηξνθήο γηα ζθύινπο ε βηνκεραλία πξέπεη λα παξάγεη ηνπιάρηζηνλ ηόλνπο ηξνθήο γηα γάηεο, πξέπεη λα ηζρύεη: x x 5 ή 0, 4x x ή,4x 0 0 x v) Σε κε-αξλεηηθόηεηα ησλ κεηαβιεηώλ απόθαζεο: x, x 0 πλνςίδνληαο, ην καζεκαηηθό κνληέιν γηα ην ππό κειέηε πξόβιεκα κεγηζηνπνίεζεο, αθνξά ηελ εύξεζε ηηκώλ γηα ηηο κεηαβιεηέο x θαη x έηζη ώζηε λα κεγηζηνπνηείηαη ην θέξδνο: max Z = 700x +400x θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο: () x x < 8 (δηαζέζηκνο ρξόλνο ζπζθεπαζίαο) 6 4

() x + x 0 (ειάρηζηε πνζόηεηα παξαγσγήο ηξνθώλ) (3) x 0 (ειάρηζηε πνζόηεηα παξαγσγήο ηξνθήο γηα ζθύινπο) (4) -0,4x + x > 0 (αλαινγία παξαγόκελσλ πνζνηήησλ) (5) x, x 0 (θπζηθνί πεξηνξηζκνί) Γηα ηε γξαθηθή επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο ραξάζζνπκε ηηο επζείεο πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο ηέζζεξηο ιεηηνπξγηθνύο πεξηνξηζκνύο ηνπ πξνβιήκαηνο, ζην πξώην ηεηαξηεκόξην ελόο νξζνθαλνληθνύ ζπζηήκαηνο αμόλσλ (αθνύ είλαη x, x 0). Ζ εθηθηή πεξηνρή ηνπ πξνβιήκαηνο είλαη ην θπξηό πνιύγσλν ΑΒΓΓ ηεο Δηθόλαο, πνπ πξνθύπηεη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνπο πεξηνξηζκνύο (), (), (3) θαη (4). Ζ θνξπθή Α πξνζδηνξίδεηαη σο ε ηνκή ηνπ δεύηεξνπ θαη ηνπ ηέηαξηνπ πεξηνξηζκνύ θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο (4,857, 5,743) πξνθύπηνπλ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο x +x = 0 θαη -0,4x +x = 0. Ζ θνξπθή Β(0,0) πξνζδηνξίδεηαη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζην δεύηεξν θαη ηνλ ηξίην πεξηνξηζκό θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο πξνθύπηνπλ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο x + x = 0 θαη x = 0. Παξόκνηα, ε θνξπθή Γ πξνζδηνξίδεηαη από ηελ ηνκή ησλ επζεηώλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηνλ πξώην θαη ηνλ ηξίην πεξηνξηζκό θαη νη ζπληεηαγκέλεο ηεο (0, 5,333) πξνθύπηνπλ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο x + 3x =96 θαη x =0. Σέινο, νη ζπληεηαγκέλεο (30, ) ηεο θνξπθήο Γ πξνθύπηνπλ από ηελ επίιπζε ηνπ ζπζηήκαηνο x +3x = 96 θαη -0,4x +x = 0, δειαδή από ηηο επζείεο ηνπ πξώηνπ θαη ηέηαξηνπ πεξηνξηζκνύ αληηζηνίρσο. Εικόνα. Γξαθηθή επίιπζε ηνπ πξνβιήκαηνο. Ο ππνινγηζκόο ηεο ηηκήο ηεο αληηθεηκεληθήο ζπλάξηεζεο Z = 700x + 400x ζε θάζε θνξπθή ηεο εθηθηήο πεξηνρήο, νδεγεί ζηελ εύξεζε ηεο βέιηηζηεο ιύζεο (θνξπθή Γ). Κορσθή Σιμή ηης ανηικειμενικής ζσνάρηηζης Α(4.857, 5.743) 85.7 Β(0, 0) 000.00 Γ(0, 5.333) 733.0 Γ(30, ) 5800.00 πλεπώο ε βηνκεραλία πξέπεη λα παξαζθεπάδεη 30 ηόλνπο ηξνθήο γηα ζθύινπο θαη ηόλνπο ηξνθήο γηα γάηεο εκεξεζίσο θαη ην εκεξήζην θέξδνο αλέξρεηαη ζε 5800 Δπξώ. Με απηό ην πιάλν παξαγσγήο εμαληιείηαη ν δηαζέζηκνο ρξόλνο ζπζθεπαζίαο θαη ηζρύεη ε αλαινγία 5: ζηηο παξαγόκελεο πνζόηεηεο. Δπίζεο, ππεξθαιύπηεηαη ε ειάρηζηε πνζόηεηα παξαγσγήο ηόζν ηεο ηξνθήο γηα ζθύινπο όζν θαη ησλ δύν ηξνθώλ ζπλνιηθά.

Ερώηημα Απηό ζεκαίλεη όηη ζα έρνπκε c = 500 (κείσζε θαηά 00 ζηελ ηηκή πνπ ιύζεθε ην κνληέιν). Πξνρσξάκε ζε αλάιπζε επαηζζεζίαο ηνπ αληηθεηκεληθνύ ζπληειεζηή c. Καηά ηε δηάξθεηα ηεο πεξηζηξνθή ηεο πεξί ηελ άξηζηε ιύζε Γ(30, ), ζύκθσλα κε ηε θνξά ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ, ε επζεία z κπνξεί λα έξζεη ζε ζέζε θάζεηε πξνο ηνλ νξηδόληην άμνλα. Δπνκέλσο, θάησ θξάγκα γηα ηελ θιίζε ηεο επζείαο z είλαη ην -. Ζ πεξηζηξνθή ηεο επζείαο z κε θνξά αληίζεηε ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ θξάζζεηαη από ηελ επζεία () κε θιίζε -/3. πλνςίδνληαο, ην ζεκείν Γ(30, ), εμαθνινπζεί λα είλαη ε βέιηηζηε ιύζε όζν ε θιίζε ηεο επζείαο z ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε: - θιίζε επζείαο z θιίζε πεξηνξηζηηθήο επζείαο () c 6 c 4 c c 3 πνπ γηα c = 400 δίλεη c 66,667. Καηά ζπλέπεηα, γηα θέξδνο από ηηο πσιήζεηο ηξνθήο γηα ζθύινπο 500 επξώ αλά ηόλν, ε ΥΤΕ ζα εμαθνινπζήζεη λα παξαζθεπάδεη 30 ηόλνπο ηξνθήο γηα ζθύινπο θαη ηόλνπο ηξνθήο γηα γάηεο αιιά ην κέγηζην θέξδνο ζα είλαη κεησκέλν θαηά 30x00=6000 επξώ, δειαδή ζα είλαη 5800-6000=9800 επξώ. Ερώηημα 3 Πξέπεη λα ππνινγηζηεί ε δπηθή ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζηνλ ν πεξηνξηζκό. Από ην ζρήκα βιέπνπκε όηη καο ελδηαθέξεη λα ππνινγίζνπκε ηε κεηαβνιή ηνπ b ηελ νπνία πξνθαιεί ε παξάιιειε κεηαηόπηζε ηεο πεξηνξηζηηθήο επζείαο () πάλσ ζηελ εκηεπζεία κε αξρή ην ζεκείν Α: Α: (4.857) 6 (5.743) 4 3.8095 z 85.7 Γ: (30) 6 () 4 8 z 5800.00 θαη επνκέλσο 5800 85.7 354.9 w 8 3.8095 4.905 35 κε εύξνο εθηθηόηεηαο ην δηάζηεκα [3.8095, ). Ζ κείσζε ηνπ ρξόλνπ ζην ηκήκα ζπλαξκνιόγεζεο ζηηο 6 (από 8) βξίζθεηαη κέζα ζην όξην εθηθηόηεηαο ηνπ νπ πεξηνξηζκνύ. Κάζε κία από απηέο ηηο ιηγόηεξεο ώξεο, κεηώλεη ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο θαηά 35 επξώ. Δπνκέλσο ηα θέξδε ζα κεησζνύλ ζπλνιηθά θαηά 35 = 6450 επξώ.

ΘΕΜΑ 3 ο Τπάξρνπλ ζπλνιηθά έμη δηαθνξεηηθνί ηξόπνη κε ηνπο νπνίνπο ν ζσιήλαο ησλ 0m κπνξεί λα θνπεί ζε ζσιήλεο κήθνπο 30m, 4m θαη 56m: Αξηζκόο σιήλσλ Α/Α 30m 4m 56m ΤΠΟΛΟΗΠΟ (m) 4 0 0 0 0 8 3 0 4 4 0 6 5 0 6 0 0 8 πκβνιίδνπκε κε x i ην πιήζνο ησλ ζσιήλσλ κήθνπο 0m πνπ ζα θνπνύλ κε ηνλ i-ηξόπν. ύκθσλα κε ηνλ αλσηέξσ πίλαθα δεκηνπξγήζεθαλ 4x + x + x 3 + x 4 ζσιήλεο κήθνπο 30m, x + x 4 + x 5 ζσιήλεο κήθνπο 4m, x 3 + x 5 + x 6 ζσιήλεο κήθνπο 56m, ελώ νη απώιεηεο αλέξρνληαη ζε 8x + 4x 3 + 6x 4 + x 5 + 8x 6 κέηξα (m). Δπνκέλσο ην πξόβιεκα αθνξά ηελ ειαρηζηνπνίεζε ηεο πνζόηεηαο: θάησ από ηνπο πεξηνξηζκνύο: 8x + 4x 3 + 6x 4 + x 5 + 8x 6 4x + x + x 3 + x 4 500 (ζσιήλεο 30m) x + x 4 + x 5 500 (ζσιήλεο 4m) x 3 + x 5 + x 6 600 (ζσιήλεο 56m) x i 0 (i =,,, 6)

ΘΕΜΑ 4 ο Ερώηημα Γηα λα κεηαβιεζεί ε βέιηηζηε ιύζε ζα πξέπεη ν αληηθεηκεληθόο ζπληειεζηήο c λα βξεζεί εθηόο ησλ νξίσλ πνπ πξνζδηνξίδεη ην εύξνο αξηζηόηεηάο ηνπ. Ζ x είλαη κία εθ ησλ βαζηθώλ κεηαβιεηώλ ηεο βέιηηζηεο ιύζεο. Έζησ cˆ c. Σόηε ην ηειηθό tableau δηακνξθώλεηαη σο αθνινύζσο: 0 9+Γ 0 0 0 0 B c B β P P P 3 P 4 P 5 P 6 P 9+Γ 5 0 30/6 0 -/6 0 P 4 0 0 0 0-5/6 5/3 0 P 0 540 0-0/6 0 30/6 0 P 6 0 8 0 0 -/3 0 9/64 z 7668 +5Γ 0 0 70/6 +(30/6)Γ 0 /6 -(/6)Γ 0 Γηα λα εμαθνινπζεί ε δνζείζα ιύζε λα είλαη ε βέιηηζηε αξθεί θαη πξέπεη ε δηακνξθσζείζα γξακκή ησλ z j c j λα είλαη κε αξλεηηθή. Δπνκέλσο, αξθεί θαη πξέπεη 70 30 6 6 6 6 πνπ νδεγνύλ ζην ζπκπέξαζκα όηη 0 0 30 70 6 6 6 6 ζπκπέξαζκα όηη ην δεηνύκελν εύξνο αξηζηόηεηαο είλαη ην δηάζηεκα ηζάληα ηύπνπ Β πξέπεη λα θαηέβεη ρακειόηεξα από πξνθεηκέλνπ ην βέιηηζην ζρέδην παξαγσγήο λα αλαζεσξεζεί. 70 30 70 30. Λακβάλνληαο ππόςε ην γεγνλόο όηη c = 9, νδεγνύκαζηε ζην 6, 4 3 7. πλεπώο, ην θέξδνο από θάζε 6 3 επξώ ή λα αλέβεη πεξηζζόηεξν από 4 7 επξώ Ερώηημα Ζ αξρηθή βάζε ζηε δηαδηθαζία επίιπζεο κε ηε κέζνδν Simplex ζρεκαηηδόηαλ από ηα δηαλύζκαηα P 3, P 4, P 5, P 6. Δπνκέλσο ε δπηθή ηηκή ηνπ νπ πεξηνξηζκνύ, πνπ παξηζηά ηελ αμία κηαο ώξαο ξαςίκαηνο, ηζνύηαη κε 0. Πξάγκαηη, ζηε βέιηηζηε ιύζε έρνπκε x 4 = 0, δειαδή 0 ώξεο ξαςίκαηνο παξακέλνπλ αλεθκεηάιιεπηεο. πλεπώο, εάλ ν δηαζέζηκνο ρξόλνο ξαςίκαηνο κεησζεί θαηά 40 ώξεο, θακία κεηαβνιή δελ πξόθεηηαη λα ππάξμεη ζηε βέιηηζηε ιύζε ή ζηε βέιηηζηε ηηκή ηνπ κνληέινπ, ηα ζπλνιηθά θέξδε ηεο εηαηξείαο ζα παξακείλνπλ 7668. Ερώηημα 3 Ζ αξρηθή βάζε ζηε δηαδηθαζία επίιπζεο κε ηε κέζνδν Simplex ζρεκαηηδόηαλ από ηα δηαλύζκαηα P 3, P 4, P 5, P 6. Δπνκέλσο ε δπηθή ηηκή ηνπ νπ πεξηνξηζκνύ, πνπ παξηζηά ηελ αμία κηαο ώξαο θνπήο/βαθήο, ηζνύηαη κε (70/6). Γειαδή γηα θάζε επηπιένλ ώξα θνπήο ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο ζα απμάλνπλ θαηά (70/6). Δπηπιένλ, πξέπεη λα ππνινγηζηεί ην εύξνο εθηθηόηεηαο ηνπ δεμηνύ κέινπο ηνπ νπ πεξηνξηζκνύ. Έζησ bˆ b. Ζ εθηθηόηεηα εμαζθαιίδεηαη εάλ

5 0 540 8 max min,, 34.4 5.36 30 5 0 3 6 6 6 Καηά ζπλέπεηα, ε εηαηξεία κπνξεί λα πξνκεζεπηεί ην πνιύ 5.36 επηπιένλ ώξεο θνπήο/βαθήο θαηαβάιινληαο κέρξη ηνπ πνζνύ ησλ (70/6).