ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Βέλτιστος Σχεδιασμός Κατασκευών Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ 2007-2008 1 Βέλτιστος Σχεδιασμός Καρασκευών με τα Οριακά Θεωρήματα της Πλαστικής Θεωρίας Στάδια Σχεδιασμού Αρχική σύλληψη (conceptual design) Επιλογή του υλικού και της φορφής της κατασκευής Γέφυρες, σκέπαστρα, Αισθητικά κριτήρια ρ Τοπολογία μελών για ραβδωτές κατασκευές Πλήθος και συνδεσμολογία ράβδων Συνδυασμός τοιχίων και υποστυλωμάτων Κριτήρια Σχεδιασμού: Οικονομία + Ασφάλεια Κριτήρια Λειτουργικότητας: Ύψη δοκών, βέλη κάμψεως, ιδιοπερίοδοι 2
Βέλτιστος Σχεδιασμός Καρασκευών με τα Οριακά Θεωρήματα Γραμμικοποίηση του προβλήματος W: βάρος ανά μονάδα μήκος δοκού M p W=c(M p ) s W=a+bM p Συνολικό βάρος φορέα με m δοκούς-υποστυλώματα m m m G = WL = a L + b M L ολ i i i Pi i i= 1 i= 1 i= 1 W Συνάρτηση Βάρους 3 Γεωμετρία φορέα και φόρτιση στο στάδιο της κατάρρευσης Κρίσιμες διατομές Ανεξάρτητοι μηχανισμοί καταρρεύσεως: 10-6=4 4
Παράδειγμα εφαρμογής Βέλτιστου Σχεδιασμού Μηχανισμοί δοκού 1,2 Προσημασμένες εξισώσεις 1. M 2 θ 1 +2Μ 3 θ 1 -ΜΜ 4 θ 1 =4θ 1 2. -Μ 5 θ 2 +2Μ 7 θ 2 -Μ 8 θ 2 =2θ 2 5 Πλάγιος μηχανισμός 3 Προσημασμένη εξίσωση 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 =2θ 3 Μηχανισμός κόμβου 4 Προσημασμένη εξίσωση 4. M 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 +Μ 6 θ 4 =0 6
Περίπτωση (a): Μp 1 <Mp 2 Μηχανισμοί δοκού 1a,2a 1. M 2 θ 1 +2Μ 3 θ 1 -Μ 4 θ 1 =4θ 1 2. -Μ 5 θ 2 +2Μ 7 θ 2 -Μ 8 θ 2 =2θ 2 Μη προσημασμένες εξισώσεις 1α. 4Μp 1 θ 1 =4θ 1 2a. 4Μp 1 θ 2 =2θ 2 7 Περίπτωση (b): Μp 2 <Mp 1 Μηχανισμοί δοκού 1b,2b 1. M 2 θ 1 +2Μ 3 Θ 1 -Μ 4 θ 1 =4θ 1 2. -Μ 5 θ 5 +2Μ 7 θ 2 -Μ 8 θ 2 =2θ 2 Μη προσημασμένες εξισώσεις 1b. 3Μp 1 θ 1 +Μp 2 θ 1 =4θ 1 2b. 3Μp 1 θ 2 +Mp 2 θ 2 =2θ 2 8
Περίπτωση (a): Μp 1 <Mp 2 Πλάγιος μηχανισμός 3a 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 =2θ 3 Μη προσημασμένη η εξίσωση 3α. 2Μp 1 θ 3 +4Μp 2 θ 3 =2θ 3 9 Περίπτωση (b): Μp 2 <Mp 1 Πλάγιος μηχανισμός 3b 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 =2θ 3 Μη προσημασμένη η εξίσωση 3b. 6Μp 2 θ 3 =2θ 3 Μηχανισμός κόμβου: M 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 +Μ 6 θ 4 =0 2Mp 1 +Mp 2 =0 10
Γραφική aπεικόνηση των μηχανισμών στο επίπεδο Mp 1 -Mp 2 Mp 2 2.0 1α: 4Μp 1 θ 1 =4θ 1 2a 1a 1b: 3Μp 1 θ 2 +Mp 2 θ 2 =2θ 2 A B C D 2α: 4Μp 1 θ 2 =2θ 2 2b: 3Μp 1 θ 1 +Μp 2 θ 1 =4θ 1 3α: 2Μp 1 θ 3 +4Μp 2 θ 3 =2θ 3 3b: 6Μp 2 θ 3 =2θ 3 0.5 3a 2b 1b O 0.5 1.0 1.33 0.67 3b Mp 1 Συνδυασμοί μηχανισμών 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 =2θ 3 4. M 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 +Μ 6 θ 4 =0 (3+4). ΜΜ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 +M 6 (θ 4 -θθ 3 )-Μ Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 ΜΜ 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 =2θ 3 Περίπτωση (a): Μp 1 <Mp 2 Μη προσημασμένη εξίσωση (3+4)α. 4Μp 1 θ+3μp 2 θ=2θ Περίπτωση (b): Μp 2 <Mp 1 Μη προσημασμένη εξίσωση (3+4)b. 2Μp 1 θ+5μp 2 θ=2θ 12
Γραφική aπεικόνηση των μηχανισμών στο επίπεδο Mp 1 -Mp 2 Mp 2 2.0 2a 1a A B C D (3+4)α. 4Μp 1 θ+3μp 2 θ=2θ (3+4)b. 2Μp 1 θ+5μp 2 θ=2θ 0.5 (3+4)a 3a 2b (3+4)b 1b O 0.5 1.0 1.33 0.67 3b Mp 1 Συνδυασμοί μηχανισμών 1. M 2 θ 1 +2Μ 3 θ 1 -Μ 4 θ 1 =4θ 1 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 + Μ 10 θ 3 =2θ 3 (1+3). ΜΜ 1 θ 3 +Μ 2 (θ 3 -θθ 1 )+2Μ 3 θ 1 -M 4 θ 1 -ΜΜ 6 θ 3 -ΜΜ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 + Μ 10 θ 3 =4θ 1 +2θ 3 Περίπτωση (a): Μp 1 <Mp 2 Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)α. 4Μp 1 θ+4μp 2 θ=6θ Περίπτωση (b): Μp 2 <Mp 1 Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)b. 3Μp 1 θ+5μp 2 θ=6θ 14
Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)α. 4Μp 1 θ+4μp 2 θ=6θ Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)b. 3Μp 1 θ+5μp 2 θ=6θ 15 Mp 2 Γραφική aπεικόνηση των μηχανισμών στο επίπεδο Mp 1 -Mp 2 2.0 2.67 2a 1a A B C D 1.2 (1+3)a (1+3)α. 4Μp 1 θ+4μp 2 θ=6θ (1+3)b. 3Μp 1 θ+5μp 2 θ=6θ 0.5 (3+4)a 3a 2b (3+4)b 1b (1+3)b O 0.5 0.67 1.0 1.33 2.0 3b Mp 1
(1+3)α (1-2)α (1+3)b (1-2)b (1+2+3+4)α (1+2+3+4)b 17 Συνάρτηση Βάρους 5 i =1 G = M L = 8M p + 3M p Pi i 1 2 18
Mp 2 Γραφική aπεικόνηση των μηχανισμών στο επίπεδο Mp 1 -Mp 2 2.0 2.67 Συνάρτηση βάρους 2a 1a G=4 A B C D 1.2 (1+3)a δίνει υπό κλίμακα το βάρος της κατασκευής (3+4)a 0.5 3a Α 2b (3+4)b Ε Mp 1 =1.167,Mp 2 =0.5 1b (1+3)b O 0.5 0.67 1.0 1.33 2.0 3b Mp 1 Έλεγχος Μηχανισμού Foulkes Μη προσημασμένες μ εξισώσεις 1b. 3Μp 1 θ 1 +Μp 2 θ 1 =4θ 1 Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)b. 3Μp 1 θ+5μp 2 θ=6θ Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το Ε 3Μp 1 θ 1 +Μp 2 θ 1 +3Μp 1 θ+5μp 2 θ=4θ 1 +6θ Μp 1 (3θ 1 +3θ)+Μp 2 (θ 1 +5θ)=4θ 1 +6θ 3(θ 1 +θ)/8=(θ 1 +5θ)/3 θ 1 /θ=31>0
Στατικός Έλεγχος Προσημασμένες μ εξισώσεις μηχανισμών μ 1 και (1+3) 1 M 2 θ 1 +2Μ 3 θ 1 -Μ 4 θ 1 =4θ 1 (1+3) Μ 1 θ 6 +2Μ 3 θ 6 -M 4 θ 6 -Μ 6 θ 6 -Μ 8 θ 6 +Μ 9 θ 6 +Μ 10 θ 6 =4θ 1 +6θ 6 Το σημείο Ε βρίσκεται στην περιοχή Μp 2 <Mp 1 Μ 2 =-Μp 2, Μ 3 =Mp 1, Μ 4 =-Mp 1 Μ 1 =-Mp 2 Μ 6 =-Μp 2, M 8 =-Μp 2, M 9 =Μp 2, M 10 =Μp 2 Μένουν να προσδιοριστούν Μ 5, Μ 7 4. M 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 +Μ 6 θ 4 =0 Μ 5 =-0.667 0.0667<Μp 1 2. -ΜΜ 5 θ 2 +2Μ 7 θ 2 -ΜΜ 8 θ 2 =2θ 2 M 7 =0.417<Μp Μ 1