Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο νησί της Ελλάδας». Από συντακτική και γραμματική άποψη οι παραπάνω εκφράσεις είναι ορθές. Στα μαθηματικά όμως, δεν θεωρούνται προτάσεις όλες οι παραπάνω εκφράσεις. Πρόταση στα μαθηματικά λέγεται κάθε έκφραση η οποία, με βάση το νοηματικό της περιεχόμενο, μπορεί να χαρακτηριστεί αποκλειστικά ως αληθής ή ψευδής. Για τα μαθηματικά η P1 δεν είναι πρόταση, η P2 είναι αληθής πρόταση ενώ η P3 είναι ψευδής πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Ορισμός λέγεται η πρόταση που καθορίζει τη σημασία ενός νέου όρου. Στους ορισμούς, συνήθως γίνεται αναφορά σε κάποιες άλλες, γνωστές έννοιες. Υπάρχουν όμως και έννοιες που δεν μπορούν να περιγραφούν με άλλες, απλούστερες έννοιες. Οι έννοιες αυτές, λέγονται αρχικές. Για παράδειγμα, οι έννοιες: σημείο, ευθεία, επίπεδο είναι αρχικές. Αξίωμα λέγεται μια πρόταση που τη δεχόμαστε ως αληθή. Για παράδειγμα, η πρόταση: «από δύο σημεία διέρχεται μόνο μία ευθεία» είναι ένα αξίωμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας. Θεώρημα λέγεται η πρόταση που η αλήθεια της μπορεί να προκύψει ως λογικό συμπέρασμα άλλων αληθών προτάσεων. Πόρισμα λέγεται η πρόταση που η αλήθεια της προκύπτει άμεσα από ένα θεώρημα. Η αλήθεια μιας πρότασης μπορεί να προκύψει: άμεσα από έναν ορισμό, ως λογικό συμπέρασμα ενός θεωρήματος, ενός πορίσματος ή ενός αξιώματος.
Βασικές έννοιες της Λογικής 2 Έστω μια πρόταση P. Άρνηση μιας πρότασης Ονομάζουμε άρνηση της P μια πρόταση η οποία είναι αληθής όταν η P είναι ψευδής και ψευδής όταν η P είναι αληθής. Την άρνηση μιας πρότασης P τη συμβολίζουμε με P. Για παράδειγμα, έστω οι προτάσεις: P: «ο αριθμός 8 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό 6» Q: «η Βιέννη είναι η πρωτεύουσα της Γερμανίας». Είναι φανερό ότι η P είναι αληθής ενώ η Q είναι ψευδής. Οι αρνήσεις των προτάσεων αυτών είναι: P : «ο αριθμός 8 είναι μικρότερος ή ίσος του 6», η οποία είναι ψευδής πρόταση Q : «η Βιέννη δεν είναι η πρωτεύουσα της Γερμανίας», η οποία είναι αληθής πρόταση. Απλή- Σύνθετη Πρόταση Μία πρόταση λέγεται απλή όταν κανένα τμήμα της δεν αρκεί ώστε να σχηματιστεί μια άλλη πρόταση. Μια πρόταση λέγεται σύνθετη όταν μπορούμε να τη χωρίσουμε σε δύο ή περισσότερες προτάσεις. Μπορούμε να σχηματίσουμε σύνθετες προτάσεις κάνοντας χρήση των λογικών συνδέσμων «δεν», «και», «ή», «αν τότε». Σύζευξη - Ο σύνδεσμος «και» Δυο απλές προτάσεις P,Q μπορούν να σχηματίσουν μια σύνθετη πρόταση όπως είναι η πρόταση «P και Q». Για παράδειγμα, με τις απλές προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 3 P: «η Ελένη μιλάει Αγγλικά» Q: «η Ελένη μιλάει Γαλλικά» μπορούμε να σχηματίσουμε τη σύνθετη πρόταση P και Q : «η Ελένη μιλάει Αγγλικά και Γαλλικά» Η πρόταση «P και Q» λέγεται σύζευξη των προτάσεων P,Q και είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που αληθεύουν συγχρόνως οι προτάσεις P,Q. Διάζευξη Ο σύνδεσμος «ή» Δυο απλές προτάσεις P,Q μπορούν να σχηματίσουν μια σύνθετη πρόταση όπως είναι η πρόταση «P ή Q». Για παράδειγμα, με τις απλές προτάσεις P: «η Ελένη μιλάει Αγγλικά» Q: «η Ελένη μιλάει Γαλλικά» μπορούμε να σχηματίσουμε τη σύνθετη πρόταση P ή Q : «η Ελένη μιλάει Αγγλικά ή Γαλλικά» Η πρόταση «P ή Q» λέγεται διάζευξη των προτάσεων P,Q και είναι αληθής όταν αληθεύει τουλάχιστον μία από τις προτάσεις P,Q. Στο παράδειγμα που δώσαμε, η πρόταση: «η Ελένη μιλάει Αγγλικά ή Γαλλικά» είναι αληθής όταν αληθεύει τουλάχιστον μία από τις τρεις παρακάτω προτάσεις: «η Ελένη μιλάει μόνο Αγγλικά» «η Ελένη μιλάει μόνο Γαλλικά» «η Ελένη μιλάει Αγγλικά και Γαλλικά» ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Δεν πρέπει να συγχέουμε τη διάζευξη με την αποκλειστική διάζευξη. Η αποκλειστική διάζευξη αποδίδεται με την έκφραση «ή P ή Q» και αληθεύει στην περίπτωση που αληθεύει μόνο μία από τις προτάσεις P,Q. Για παράδειγμα, η πρόταση «ως μαθητής της Β Λυκείου, ο Γιάννης θα επιλέξει ή την κατεύθυνση των θετικών σπουδών ή την κατεύθυνση των θεωρητικών σπουδών» είναι μια αποκλειστική διάζευξη αφού ο μαθητής δε μπορεί να επιλέξει συγχρόνως και τις δύο κατευθύνσεις.
Βασικές έννοιες της Λογικής 4 Συνεπαγωγή Όταν η αλήθεια μιας πρότασης P έχει ως συνέπεια την αλήθεια μιας άλλης πρότασης Q, τότε γράφουμε «Αν P τότε Q» ή αλλιώς «P Q» και διαβάζουμε: «η P συνεπάγεται την Q». Η πρόταση «P Q» λέγεται συνεπαγωγή, η πρόταση P λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής ενώ η πρόταση Q λέγεται συμπέρασμα της συνεπαγωγής. Για παράδειγμα, έστω οι απλές προτάσεις: P: «ο Δημήτρης είναι κάτοικος Ωραιοκάστρου» Q: «ο Δημήτρης είναι κάτοικος νομού Θεσσαλονίκης» Παρατηρούμε ότι αν η πρόταση P είναι αληθής, τότε και η πρόταση Q είναι αληθής. Ισχύει δηλαδή η συνεπαγωγή P Q. Αν όμως υποθέσουμε ότι η πρόταση Q είναι αληθής (ο Δημήτρης είναι κάτοικος νομού Θεσσαλονίκης), τότε δεν προκύπτει αναγκαστικά ότι και η πρόταση P είναι αληθής (μπορεί ο Δημήτρης να είναι κάτοικος Λαγκαδά). Δεν ισχύει δηλαδή το αντίστροφο. Ισοδυναμία Υπάρχουν περιπτώσεις που ισχύουν συγχρόνως οι συνεπαγωγές P Q και P Q. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε «P Q» και διαβάζουμε «P αν και μόνο αν Q». Η πρόταση «P Q» λέγεται ισοδυναμία. Για παράδειγμα, έστω οι προτάσεις: P: «η Μαρία αγόρασε 3 σοκολάτες των 2 ευρώ» Q: «η Μαρία αγόρασε σοκολάτες των 2 ευρώ και πλήρωσε 6 ευρώ» Παρατηρούμε ότι ισχύει: P Q και P Q. Ισχύει δηλαδή το ευθύ αλλά και το αντίστροφο της πρότασης. Ισχύει δηλαδή η ισοδυναμία P Q.
Βασικές έννοιες της Λογικής 5 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Με ποιον τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι μια πρόταση είναι αληθής; 1 ος τρόπος 2 2 α+β α β = 4αβ. Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε την ισότητα ( ) ( ) Ξεκινάμε από το 1 ο μέλος της ισότητας και αφού κάνουμε έγκυρες πράξεις, καταλήγουμε στο 2 ο μέλος της ισότητας. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε: ( α+β) 2 ( α β ) 2 =α 2 + 2αβ+β 2 ( α 2 2αβ+β 2 ) ΣΧΟΛΙΟ: =α + 2αβ+β α + 2αβ β = 4αβ 2 2 2 2 Δεν είναι υποχρεωτικό να ξεκινήσουμε από το 1 ο μέλος της ισότητας που θέλουμε να αποδείξουμε. Μπορούμε να ξεκινήσουμε από το 2 ο μέλος και να καταλήξουμε στο 1 ο μέλος. Η απόδειξη θα είναι εξίσου έγκυρη. Συνήθως ξεκινάμε από το μέλος στο οποίο μπορούμε να κάνουμε τις περισσότερες πράξεις (το πιο σύνθετο μέλος). 2 ος τρόπος Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε την ισότητα ( α+ 1)( α 2 α+ 1) + 3α( α+ 1) = ( α+ 1) 3 Παρατηρούμε ότι τα δύο μέλη της ισότητας είναι εξίσου σύνθετα. Με διαδοχικούς μετασχηματισμούς καταλήγουμε σε μία ισοδύναμη πρόταση η οποία είναι αληθής (ισχύει). Με τον τρόπο αυτό συμπεραίνουμε ότι και η αρχική πρόταση είναι αληθής οπότε η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε: ( 1)( 2 1) 3 ( 1) ( 1) 3 α+ α α+ + α α+ = α+ 3 2 2 2 3 2 α α +α+α α+ 1+ 3α + 3α=α + 3α + 3α+ 1 0= 0 το οποίο ισχύει
Βασικές έννοιες της Λογικής 6 3 ος τρόπος (απαγωγή σε άτοπο) Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε την πρόταση: «αν ο αριθμός α είναι ακέραιος και ο 2 α είναι περιττός, τότε ο α είναι περιττός». Υποθέτουμε ότι αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε δεν ισχύει και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις καταλήγουμε σε άτοπο (ένα συμπέρασμα που έρχεται σε αντίθεση με αυτό που γνωρίζουμε ότι ισχύει). Στο συγκεκριμένο παράδειγμα η απόδειξη θα γίνει ως εξής: Έστω ότι ο α δεν είναι περιττός. Τότε θα είναι άρτιος, δηλαδή της μορφής α= 2 κ, κ Z. Επομένως, 2 2 ( ) 2 ( 2 ) α = 2κ = 4κ = 2 2κ = 2 λ, λ Z. 2 Συμπεραίνουμε δηλαδή ότι ο α είναι άρτιος. Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση της πρότασης που θέλουμε να αποδείξουμε. Οδηγηθήκαμε σε άτοπο. Επομένως η παραδοχή ότι ο α δεν είναι περιττός ήταν λανθασμένη. Άρα ο αριθμός α είναι περιττός. Με ποιον τρόπο μπορούμε να αποδείξουμε ότι μια πρόταση δεν είναι αληθής; 1 ος τρόπος (απαγωγή σε άτοπο) Υποθέτουμε ότι αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε ισχύει και χρησιμοποιώντας αληθείς προτάσεις καταλήγουμε σε άτοπο. 2 ος τρόπος (με αντιπαράδειγμα) Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε την πρόταση: «Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει ( ) 2 2 2 α+ 3 =α + 3». Βρίσκουμε ένα παράδειγμα για το οποίο η συγκεκριμένη πρόταση δεν ισχύει. Για α= 1, έχουμε: 2 2 α+ 3 = 1+ 3 = 16 ( ) ( ) 2 2 2 2 α + 3 = 1 + 3 = 10 Συμπεραίνουμε ότι ( ) 2 2 2 α+ 3 α + 3 επομένως η πρόταση δεν είναι αληθής.