5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ Στην προσαρµογή µια σύνθετης παραµετρικής καµπύλης r(t) σε σειρά σηµείων {, =,,} µπορούν να χρησιµοποιηθούν όλα τα µοντέλα παραµετρικών καµπυλών, όπως Ferguso, Bezer, B-Sple, ρητές B-Sple, κλπ Το πρόβληµα ανάγεται στην επίλυση συστήµατος εξισώσεων, που δηµιουργούνται από την επιβολή συνθηκών συνέχειας C σε κάθε ένα από τα σηµεία Η επιλογή του είδους της καµπύλης εξαρτάται και από την κατανοµή τωνσηµείων, και έχουµε : Για οµοιόµορφα κατανεµηµένα σηµεία : Προσαρµογή κυβικής καµπύλης (Ferguso) Προσαρµογή οµοιόµορφης B-Sple Για ανοµοιόµορφα κατανεµηµένα σηµεία : Προσαρµογή κυβικής καµπύλης σε σχέση µήκους τόξου Προσαρµογή ανοµοιόµορφης B-Sple

5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΕ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΑ ΣΗΜΕΙΑ 5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΚΥΒΙΚΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ FERGUSON Προσαρµογή κυβικών τµηµάτων Ferguso από σειρά + σηµείων στο χώρο { }, σχ5 Η σύνθετη καµπύλη πρέπει να έχει C -συνέχεια Επίσης, δίνονται τα ακραία εφαπτόµενα διανύσµατα t και t Έστω, t, το εφαπτόµενο διάνυσµα σεκάθε ένα από τα σηµεία Τότε µεταξύτωνδιαδοχικώντµηµάτων r - (u) και r (u) ισχύει η παρακάτω σχέση : t - +4t +t + =3( + - - ) για =,,,- και για τα ακραία διανύσµατα t = t$, t = t$ Σχ5 Σειρά σηµείων που θα παρεµβάλουµε την καµπύλη Συνεπώς, έχουµε το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων, σε µορφή πινάκων, AX=B, όπου A=(+)x(+) είναι ο πίνακας των συντελεστών και Χ ο πίνακας των αγνώστων εφαπτόµενων διανυσµάτων t t$ 4 t 3( ) 4 t 3( 3 ) = or X = A - B 4 t 3( ) ) t t Έχοντας προσδιορίσει όλα τα εφαπτόµενα διανύσµατα σε όλα τα σηµεία, µπορούµε να υπολογίσουµε κάθετµήµα r (u), µεταξύ των σηµείων [, + ], από τον τύπο r (u)=ucs για =,,,, - Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5--

όπου S =[ + t t + ] T, U = [ u u u 3 ] και C = 3 3 Όταν τα ακραία διανύσµατα δεν δίνονται, τότε µπορούµε να τα υπολογίσουµε χρησιµοποιώντας µια από τις παρακάτω τρεις µεθόδους, Κυκλικές τελικές συνθήκες Πολυωνυµικές τελικές συνθήκες Ελεύθερες τελικές συνθήκες A ΚΥΚΛΙΚΕΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Ηεφαπτοµένη στα άκρα υπολογίζεται προσαρµόζοντας ένα κύκλο στα τρία ακραία σηµεία, σχ5 Ορίζουµε τα παρακάτω µεγέθη : Q κέντρο του κύκλου ιάνυσµα r=q- ιανύσµατα a= - ; b = - ; c = axb Σχ5 Προσδιορισµός ακραίου εφαπτόµενου διανύσµατος για κυκλικές τελικές συνθήκες Το ζητούµενο διάνυσµα to είναι κάθετο στα διανύσµατα r και c και το µέγεθός του τίθεται ίσο προς το µήκος χορδής Ρ Ρ, και δίνεται από την εξίσωση : t = a ( rc x ) rc x Το άγνωστο διάνυσµα r=q-, δίνεται από τη σχέση r={ a (bxc)+ b (cxa)} / ( c ) Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-3-

B ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Στην περίπτωση αυτή προσαρµόζουµε µια πολυωνυµική καµπύλη r(t), στα ακραία σηµεία, και το ακραίο διάνυσµα ισούται µε τα ακραίο διάνυσµα της νέας καµπύλης, πχ t =r () Ηπολυωνυµική καµπύλη µπορεί να είναι : κυβική καµπύλη από τα σηµεία,,, 3 δευτέρου βαθµού από τα σηµεία,, C ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΕΛΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ Στην περίπτωση αυτή υποθέτουµε ότιηκαµπυλότητα στα ακραία σηµεία Ρ και Ρ είναι µηδέν Η συνθήκη αυτή ισοδυναµεί µε την επιβολή µηδενικού εξωτερικού φορτίου στα άκρα της καµπύλης Συνεπώς, r&& ( ) r&& και () = που ισοδυναµεί µε τις σχέσεις t +t =3( - ) και t +t - =3( - - ) Συνεπώς, το τελικό σύστηµα εξισώσεων, για τον προσδιορισµό των εφαπτόµενων διανυσµάτωνσεόλατασηµεία από τα οποία διέρχεται η καµπύλη, είναι : t 3( ) 4 t 3( ) 4 t 3( 3 ) ` = 4 t 3( ) t 3( ) Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-4-

5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ B-SLINE Προσαρµογή σύνθετης καµπύλης Β-Sple σε σειρά σηµείων, { :=,,, }, σχ5 Απαιτείται ο προσδιορισµός +3 σηµείων ελέγχου, { :=,,,+}Τα διαδοχικά τµήµατα της σύνθετης καµπύλης είναι τµήµατα B-Sple, που ενώνονται µεταξύ τους στα σηµεία Για κάθε ένα από τα σηµεία ισχύει η παρακάτω σχέση (συνέχεια θέσης) +4 + + + =6 ; =,,, Η παραπάνω σχέση µας δίνει (+) εξισώσεις, και για τον υπολογισµό των (+3) σηµείων ελέγχου απαιτούνται άλλες δύο εξισώσεις που προέρχονται από τα ακραία εφαπτόµενα διανύσµατα, &r () = ( - )/ = t &r - () = ( + - )/ = t Συνεπώς, το σύστηµα εξισώσεων γίνεται : t 4 6 4 6 = 4 + 6 + t Εάν τα ακραία διανύσµατα δεν δίνονται τότε µπορούν να υπολογισθούν όπως και προηγούµενα, δηλ µε κυκλικές, πολυωνυµικές ή ελεύθερες ακραίες συνθήκες Στην περίπτωση των ελεύθερων ακραίων συνθηκών, έχουµε : r& ( ) r&& ( ) = καµπυλότητα µηδέν στην αρχή της καµπύλης r& () r&& () = καµπυλότητα µηδέν στo τέλος της καµπύλης Ηπρώτησχέσηµας δίνει : r& ( ) r&& ( ) = ( ) ( + ) = H παραπάνω σχέση ικανοποιείται από µια από τις παρακάτω συνθήκες : ( - )= ( - + )= ( - )=( - + ) Συνήθως χρησιµοποιείται η τρίτη σχέση, που µας δίνει : = Αντίστοιχα και για το τέλος της καµπύλης παίρνουµε : + = + Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-5-

Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-6- Αντικαθιστώντας παίρνουµε το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων : 4 4 4 6 6 6 = + + Έχοντας προσδιορίσει τα σηµεία ελέγχου, { }, το κάθε τµήµα B-Sple της καµπύλης που περιέχεται µεταξύ των σηµείων [, + ] υπολογίζεται από τον τύπο : r u UNR ( ),, = = για όπου U = [ u u u 3 ] N = 6 4 3 3 3 6 3 3 3 R =[ + + +3 ] T Η τελική καµπύλη αποτελείται από τµήµατα που ορίζονται από τα +3 σηµεία ελέγχου

5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΕ ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΑ ΣΗΜΕΙΑ Θα εξετασθούν δύο µέθοδοι προσαρµογής καµπυλών σε ανοµοιόµορφα κατανεµηµένα σηµεία (απόσταση σηµείων ανοµοιόµορφη) Κυβική καµπύλη σε σχέση µήκους-χορδής, όπου για τον υπολογισµό των εφαπτόµενων διανυσµάτων στα σηµεία παρεµβολής λαµβάνεται υπ όψιν και το µήκος της χορδής που ενώνει τα διαδοχικά σηµεία, Προσαρµογή ανοµοιόµορφης καµπύλης Β-Sple, όπου για ο υπολογισµός του διανύσµατος κόµβων βασίζεται στο µήκος της χορδής που ενώνει τα διαδοχικά σηµεία Καιοιδύο µέθοδοι είναι κατάλληλοι για την προσαρµογή καµπυλών χωρίς τοπικά επίπεδα τµήµατα ή ανακυκλώσεις Στο, σχ54, φαίνονται οι δύο µέθοδοι προσαρµογής κυβικής καµπύλης στην ίδια σειρά σηµείων Σχ54 Οι δύο µέθοδοι προσαρµογής κυβικής καµπύλης σε σειρά σηµείων 5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΜΕ ΣΧΕΣΗ ΜΗΚΟΥΣ ΧΟΡ ΗΣ Ηκαµπύλη αυτή χαρακτηρίζεται από G -Γεωµετρική συνέχεια (ίσα µοναδιαία εφαπτόµενα διανύσµατα και καµπυλότητα στα κοινά σηµεία) Επιλύεται πρώτα το πρόβληµα της προσαρµογής από τρία σηµεία,, µε δεδοµένα τα εφαπτόµενα διανύσµατα t, t σταάκρατηςκαµπύλης Ζητείται η προσαρµογή σύνθετης καµπύλης Ferguso µε G -συνέχεια Έστω, r a (u) και r b (u) τα δύο τµήµατα Ferguso, σχ55, και t το εφαπτόµενο διάνυσµα στο κοινό σηµείο Τότε έχουµε την παρακάτω σχέση : a b b a t = r& () r& ( ) = wt, οπου w = b a = r& ( ) r& () Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-7-

Σχ55 Κατασκευή καµπύλης σε σχέση µήκους χορδής Στην προσαρµογή αυτή το µήκος της χορδής που ενώνει διαδοχικά σηµεία, λαµβάνεται ως µήκος του εφαπτόµενου διανύσµατος : a = ; b = Η συνθήκη για G -συνέχεια, γίνεται b a r&& ( ) = w r&& (), οπου w = Οι εξισώσεις των δύο τµηµάτων Ferguso είναι : r () u = U C S, r () u = U C S a a b b 3 [ ] U = u u u C =, όπου 3 3 T [ ], [ ] a S = t t b S = wt t Συνεπώς, η συνθήκη G -συνέχειας µας δίνει : ( 6 + 6 4wt t ) = w ( 6 6 + t + 4t ) από την οποία προσδιορίζεται εύκολα το διάνυσµα t Στη συνέχεια επιλύεται το γενικευµένο πρόβληµα προσαρµογής καµπύλης από σειρά + σηµείων { : =,,}, µε δεδοµέναταακραίαεφαπτόµενα διανύσµατα t και t Προσδιορίζουµε ταµεγέθη w = + - / - -, για =,,, - (µε w =)και τα εφαπτόµενα διανύσµατα {t :=,,,-}στα κοινά σηµεία Οι εξισώσεις των τµηµάτων Ferguso, δίνονται από τις σχέσεις : Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-8- T

r (u)=ucs όπου S =[ + w t t + ] T w = w = + - / - - για =,,, - Σε κάθε κοινά σηµείο έχουµε : r&& ( ) = ( w ) r&& () γραµµικές εξισώσεις (για =,,, -), της µορφής : { ( ) } 3 ( ) { } w w t + w + w t + t = + w w + + I Συνεπώς, το σύστηµα εξισώσεων σε µορφή πινάκων, είναι το : w w + w ww w+ w { + } όπου 3 ( ) b = + w + ) w t t$ t b t b = ww w + w t b t t$ που µας δίνει - Τα ακραία εφαπτόµενα διανύσµατα, t και t, όταν δεν δίνονται υπολογίζονται µε τις ίδιες µεθόδους, δηλ Κυκλικές τελικές συνθήκες Πολυωνυµικές τελικές συνθήκες Ελεύθερες τελικές συνθήκες Όταν το µήκος της χορδής είναι κοινό, τότε έχουµε την περίπτωση της προσαρµογής απλής κυβικής καµπύλης Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-9-

5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΑΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ B-SLINE Μια σύνθετη καµπύλη που αποτελείται από κυβικά ανοµοιόµορφα τµήµατα B-Sple, σχ56, {r (u)=,,,-} ορίζεται από +3 Σηµεία Ελέγχου { :=,,+}και +4 ιανύσµατα Κόµβων { =(t + -t ):=-,,+} Σχ56 Προσαρµογή ανοµοιόµορφης καµπύλης B-Sple Συνεπώς, το πρόβληµα της προσαρµογής ανάγεται στo παρακάτω πρόβληµα : εδοµένα Σηµεία { :=,,,}και t,t : ακραία εφαπτόµενα διανύσµατα Προσδιορισµός { =(t + -t ):=-,,+}: ιανύσµατα κόµβων και { :=,,+}:Σηµεία ελέγχου Τοπρώτοστάδιοείναιοπροσδιορισµός του διανύσµατος κόµβων, { }, - που ονοµάζονται και κύρια διαστήµατα (supportg kot spas) Τα υπόλοιπα ονοµάζονται πρόσθετα διανύσµατα (exteded kot spas) Μια καλή επιλογή για τα κύρια διαστήµατα είναι να γίνουν ίσα µε τα αντίστοιχα µήκη τόξων των τµηµάτων που υποστηρίζουν, δηλ : = + - για =,,,- Τα πρόσθετα διαστήµατα δεν επηρεάζουν τη µορφή της καµπύλης και µπορούµε ναταθεωρήσουµε ίσαµε τοµηδέν, ήίσαµε το πρώτο και το τελευταίο διάνυσµα - = - = + = = (Πολλαπλοί κόµβοι) - = - = ; + = = - Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5--

Έχοντας προσδιορίσει τα διανύσµατα κόµβων, µπορούµε ναδηµιουργήσουµε το γραµµικό σύστηµα εξισώσεων για τον υπολογισµό των κορυφών ελέγχου Η εξίσωση του κάθε τµήµατος της καµπύλης είναι : r ( u) = UN R ; u, =,,, c όπου U = [ u u u 3 ] R =[ + + +3 ] N s ( ) ( ) 3 ( 3) 3 3 3 ( 3 3) 3 = 3( ) 3 ( 3 + 33) 3 ( 43 44 ) 43 ( ) 3,j = στοιχείο γραµµής, και στήλης j, του πίνακα 4,3 =-{ 33 /3 + 44 +( ) /( 3 - )} k = + + + + +k- Επειδή κάθε τµήµα καµπύλης, r (u) ορίζεται µεταξύ των σηµείων και + παίρνουµε τιςπαρακάτω εξισώσεις ( =,,-) r()= r()=+ αντικαθιστώντας την εξίσωση των τµηµάτων, παίρνουµε τις σχέσεις : f + h + g = ; =,,, + + 3 3 όπου f = ( ) ( ), h = ( f g ), g = ( ) ( ) Οι δύο επιπλέον εξισώσεις που απαιτούνται υπολογίζονται από τα ακραία εφαπτόµενα διανύσµατα, ( ) $ t = r& ( ) = a + b a b 3 3 όπου a = 3( ) ( ), b = 3( ) ( ) Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-- και $ & () ( ) t = r = a + b a b + + 3 3 όπου a = ( ) ( ) b = ( ) ( ), Εάν χρησιµοποιήσουµε πολλαπλούς πρόσθετους κόµβους, δηλ

Προσαρµογή Σύνθετων Καµπυλών -5-- - = - = + = = τότε οι αντίστοιχοι συντελεστές γίνονται : f = ; g = ; f = ; g = ; a = ; b =3 ; a =3 ; b = καιτοτελικόσύστηµα εξισώσεων έχει τη µορφή : = + + 3 3 3 3 f h g f h g t t $ $