Αποδείξεις (1/2)! Χρησιµοποιούµε τις συνεπαγωγές της βάσης γνώσης για να βγάλουµε νέα συµπεράσµατα. Για παράδειγµα:! Από τις προτάσεις:! Ακαι Α Β! µπορούµε να βγάλουµε το συµπέρασµα (τεχνική modus ponens / τρόπος του θέτειν):! Β! Γενικά συµβολίζουµε:! Α (Α Β) B! όπου το σύµβολο έχει την έννοια της παραγωγής, δηλαδή το αριστερό µέρος ισχύει ενώ το δεξιό µέρος συµπεραίνεται και προστίθεται στη βάση γνώσης.! Στο παράδειγµά µας γνωρίζουµε ότι: A11 και A11 M12 M21, άρα καταλήγουµε ότι ισχύουν οι προτάσεις M12 και M21. Γιάννης Ρεφανίδης 19 Αποδείξεις (2/2)! Μπορούν να χρησιµοποιηθούν όλες οι λογικές ισοδυναµίες της διαφάνειας 10 καθώς και αρκετές άλλες.! Η παραγωγή συµπερασµάτων µε χρήση των λογικών ισοδυναµιών ονοµάζεται απόδειξη (proof). Γιάννης Ρεφανίδης 20 1
Τεχνική της Ανάλυσης (1/2)! Ητεχνική της ανάλυσης (resolution) είναι µια απλοποιηµένη περίπτωση διαδικασίας απόδειξης, η οποία χρησιµοποιεί έναν µόνο κανόνα.! Απαιτεί όλες οι σύνθετες προτάσεις της βάσης γνώσης να είναι διαζεύξεις απλών προτάσεων ή αρνήσεών τους.! Α Β Γ! Ε! Από δύο προτάσεις της µορφής:! Α1 Α2... Αi-1 Ai Ai+1... Am και! B1 B2... Bj-1 Bj Bj+1... Bn! όπου Ai= Bj! προκύπτει η πρόταση! Α1 Α2... Αi-1 Ai+1... Am B1 B2... Bj-1 Bj+1... Bn Γιάννης Ρεφανίδης 21 Τεχνική της Ανάλυσης (2/2)! Ηεφαρµογή της τεχνικής της ανάλυσης προϋποθέτει ότι γνωρίζουµε τι προσπαθούµε να αποδείξουµε.! Έστω Κ η πρόταση που θέλουµε να αποδείξουµε. Εκτελούµε τα εξής βήµατα:! Προσθέτουµε στη βάση γνώσης την πρόταση Κ.! Εφαρµόζουµε επανειληµµένα τον κανόνα της ανάλυσης.! Εάν καταλήξουµε σε άτοπο, δηλαδή αν παραχθούν δύο προτάσεις της µορφής Χ και Χ, συµπεραίνουµε ότι η πρόταση Κ δεν ίσχυε, άρα αποδείχθηκε ή πρόταση Κ. Γιάννης Ρεφανίδης 22 2
Κανονική συζευκτική µορφή! Οποιαδήποτε πρόταση µπορεί να µετατραπεί σε µία ή (συνήθως) περισσότερες προτάσεις που αποτελούνται µόνο από διαζεύξεις, χρησιµοποιώντας τις λογικές ισοδυναµίες της διαφάνειας 10.! Βασικό ρόλο παίζει ο κανόνας: Α Β Α Β! Οι διάφορες διαζευκτικές προτάσεις της βάσης γνώσης R1, R2, R3 κλπ θεωρείται ότι ισχύουν όλες µαζί, άρα η βάση γνώσης περιέχει την σύζευξή τους R1 R2 R3... Rk.! Μια βάση γνώσης που αποτελείται µόνο από διαζευκτικές προτάσεις λέγεται ότι βρίσκεται σε κανονική συζευκτική µορφή (conjuctive normal form). Γιάννης Ρεφανίδης 23 Παράδειγµα µετατροπής σε κανονική συζευκτική µορφή (1/2)! Για παράδειγµα, έστω η σύνθετη πρόταση:! R1: A11 M12 M21! Αυτή καταρχήν αναλύεται σε δύο απλές συνεπαγωγές (Α Β Α Β Β Α ):! R11: A11 M12 M21! R12: M12 M21 A11! Κάθε µία από τις συνεπαγωγές αυτές µπορεί να γραφεί ως εξής (Α Β Α Β):! R13: A11 ( M12 M21)! R14: ( M12 M21) A11 Γιάννης Ρεφανίδης 24 3
Παράδειγµα µετατροπής σε κανονική συζευκτική µορφή (2/2)! Η R13 µε επιµερισµό ως προς την διάζευξη γίνεται:! R15: (A11 M12) (A11 M21)! Εφαρµόζοντας την ταυτότητα (Α Β) ( Α Β) στην R14 παίρνουµε:! R16: M12 M21 A11! Τέλος "σπάµε" την R15 σε δύο απλούστερες προτάσεις, τις:! R17: A11 M12! R18: A11 M21! Τελικά η βάση γνώσης περιλαµβάνει τις διαζευκτικές προτάσεις R16, R17 και R18, αντί της αρχικής R1:! Βάση γνώσης = R16 R17 R18 Γιάννης Ρεφανίδης 25 Παράδειγµα: Ναρκαλιευτής (4/4)! Έστω ότι θέλουµε να ελέξουµε εάν η θέση (1,2) δεν έχει νάρκη, αν δηλαδή ισχύει η πρόταση Μ12.! Εισάγουµε στη βάση γνώσης την πρόταση:! R19: ( Μ12)= Μ12.! Εφαρµόζουµε την αρχή της ανάλυσης µεταξύ των R17 και R19 και παίρνουµε:! R20: A11! Ήδη όµως ξέρουµε ότι ισχύει η πρόταση:! R10: A11.! Συνδυάζοντας την R10 µε την R20 καταλήγουµε σε κενή πρόταση, η οποία ισοδυναµεί µε άτοπο. Άρα η M12 είναι ψευδής, οπότε ισχύει η M12 και εισέρχεται στη βάση.! R21: M12 Γιάννης Ρεφανίδης 26 4
Παρατηρήσεις στην Τεχνική της Ανάλυσης! Σε κάθε βήµα εφαρµογής της τεχνικής της ανάλυσης συνήθως υπάρχουν περισσότερα από ένα ζεύγη προτάσεων που µπορούν να συνδυαστούν.! Η επιλογή του ζεύγους κάθε φορά καθορίζεται από τον αλγόριθµο αναζήτησης (κατά βάθος, κατά πλάτος, ευριστικός κλπ).! π.χ. προτίµηση στις µοναδιαίες προτάσεις (unit clauses)! Η τεχνική της ανάλυσης εγγυάται ότι θα καταλήξει σε άτοπο όταν η πρόταση που θέλουµε να αποδείξουµε ισχύει. Γιάννης Ρεφανίδης 27 Προτάσεις Horn! Μια απλοποιηµένη µορφή προτασιακής λογικής περιλαµβάνει σύνθετες προτάσεις µόνο της µορφής:! Q1 Q2... Qn R! οι οποίες ισοδύναµα γράφονται ως:! Q1 Q2... Qn R! Η εξαγωγή θετικών συµπερασµάτων (δηλαδή όχι αρνήσεων προτάσεων) µε τέτοιες προτάσεις και µε την αρχή της ανάλυσης είναι εύκολη και γίνεται σε γραµµικό χρόνο ως προς το πλήθος των κανόνων της βάσης γνώσης.! εν µπορούν όλες οι βάσεις γνώσης να µετατραπούν σε βάσεις προτάσεων Horn. Γιάννης Ρεφανίδης 28 5
Αναπαράσταση Γνώσης και Συλλογιστικές Γενικά Προτασιακή λογική " Λογική πρώτης τάξης Λογικός προγραµµατισµός Επεκτάσεις της Λογικής Πρώτης Τάξης Συστήµατα Κανόνων Επίλογος Μειονεκτήµατα προτασιακής λογικής! εν επιτρέπει τη χρήση µεταβλητών, αντικειµένων µε ιδιότητες, γενικών εκφράσεων κλπ.! Για παράδειγµα, στο πρόβληµα του ναρκαλιευτή, χρειάστηκε να γράψουµε εννέα προτάσεις της µορφής:! R1: A11 M12 M21! Εάν το παιχνίδι είχε µεγαλύτερες διαστάσεις;! Γενικά θα θέλαµε να γράφαµε µόνο µια πρόταση και να καλύπταµε όλες τις περιπτώσεις (θέσεις πάνω στο παιχνίδι). Γιάννης Ρεφανίδης 30 6
Λογική πρώτης τάξης (First order logic)! Λέγεται και κατηγορηµατική λογική (predicate logic).! Επεκτείνει την προτασιακή λογική επιτρέποντας την ύπαρξη:! αντικειµένων (objects)! συναρτησιακών όρων (terms)! κατηγορηµάτων (predicates)! ποσοδεικτών (quantifiers) Γιάννης Ρεφανίδης 31 Αντικείµενα! Τα αντικείµενα είναι ονόµατα που αποδίδονται στα πραγµατικά αντικείµενα του προβλήµατος.! Για παράδειγµα, στον κόσµο του ναρκαλιευτή, τα παρακάτω θα µπορούσαν να είναι κάποια αντικείµενα:! Νάρκη1! Νάρκη2 Γιάννης Ρεφανίδης 32 7
Συναρτησιακοί όροι! Οι συναρτησιακοί όροι ή απλά όροι είναι σύνθετες ονοµασίες (όχι απλές λέξεις) για αντικείµενα.! Για παράδειγµα, στον κόσµο του ναρκαλιευτή, θα µπορούσαµε να ονοµάσουµε τις θέσεις πάνω στο πεδίο µε τα ακόλουθα ονόµατα:! Θ(1,1)! Θ(1,2)!...! Θ(3,3)! Ονοµάζοντας κάποια αντικείµενα µε τον παραπάνω τρόπο πετυχαίνουµε να γράφουµε γενικές προτάσεις που να ισχύουν για οµάδες αντικειµένων. Γιάννης Ρεφανίδης 33 Κατηγορήµατα! Ένα κατηγόρηµα είναι το όνοµα µιας σχέσης µεταξύ Ν-άδων αντικειµένων.! Τα κατηγορήµατα ορίζουν είτε ιδιότητες αντικειµένων ή σχέσεις µεταξύ οµάδων αντικειµένων.! Για παράδειγµα:! Νάρκη(Νάρκη1)! Θέση( Θ(1,2) )! Γειτονική( Θ(1,1), Θ(1,2) )! Βρίσκεται( Νάρκη1, Θ(1,3) )! Γειτονεύει_µε_νάρκη( Θ(1,2) )! Κάθε κατηγόρηµα έχει συγκεκριµένο αριθµό ορισµάτων, ο οποίος ονοµάζεται τάξη του κατηγορήµατος (arity).! Κάθε όρισµα του κατηγορήµατος έχει συγκεκριµένη σηµασία, η οποία προσδιορίζεται από τη θέση του. Γιάννης Ρεφανίδης 34 8
Συναρτησιακοί Όροι και Κατηγορήµατα! Συνήθως υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι να περιγράψουµε τον ίδιο κόσµο.! Στις προηγούµενες διαφάνειες ορίσαµε:! Νάρκη1! Νάρκη(Νάρκη1)! Θ(3,1)! Θέση( Θ(3,1) )! Βρίσκεται(Νάρκη1, Θ(3,1))! Εναλλακτικά, επειδή κάθε θέση έχει µία το πολύ νάρκη, µπορούµε να περιορίσουµε τον αριθµό των δηλώσεων ως εξής:! Θ(3,1)! Θέση( Θ(3,1) )! Νάρκη( Θ(3,1) ) Γιάννης Ρεφανίδης 35 Ποσοδείκτες! Μπορούµε να γράφουµε σύνθετες προτάσεις που να περιέχουν µεταβλητές.! Συνήθως τις µεταβλητές τις δηλώνουµε µε µικρά γράµµατα: x, y κλπ.! Κάθε µεταβλητή συνοδεύεται και από έναν ποσοδείκτη, ο οποίος καθορίζει τη σηµασία της στην πρόταση.! : Καθολικός ποσοδείκτης (Universal quantifier)! : Υπαρξιακός ποσοδείκτης (Existential quantifier) Γιάννης Ρεφανίδης 36 9
Παράδειγµα: Καθολικός ποσοδείκτης! x y Θέση(x) Θέση(y) Γειτονική(x,y) Γειτονεύει_µε_νάρκη(x) Νάρκη(y)! x1 x2 y1 y2 Θέση(Θ(x1,x2)) Θέση(Θ(y1,y2)) x1>0 y1>0 x1<4 y1<4 ( (x1=x2 (y1=y2-1 y1=y2+1)) (y1=y2 (x1=x2-1 x1=x2+1)) ) Γειτονική(Θ(x1,x2),Θ(y1,y2))! Όταν έχουµε συνεχόµενους καθολικούς ποδοσείκτες µπορούµε να τους αντικαθιστούµε µε έναν, π.χ.:! x1 x2 y1 y2... Γιάννης Ρεφανίδης 37 Παράδειγµα: Υπαρξιακός ποσοδείκτης! x Θέση(x) Γειτονεύει_µε_νάρκη(x) y Θέση(y) Γειτονική(x,y) Νάρκη(y) Γιάννης Ρεφανίδης 38 10
Σχέση καθολικού και υπαρξιακού ποσοδείκτη! Για οποιαδήποτε πρόταση P ισχύουν οι παρακάτω λογικές ισοδυναµίες:! x P x P! x P x P! x P x P! x P x P Γιάννης Ρεφανίδης 39 Παράδειγµα: Συγγένειες (1/2)! Θέλουµε να ορίσουµε τις σχέσεις ενός γενεολογικού δένδρου: Πατέρας, Μητέρα, Γονιός, Αδερφός, Αδερφή, Αδέρφι, Κόρη, Γιος, Παιδί, Άντρας, Γυναίκα, Σύζυγος, Παππούς, Γιαγιά, Εγγονός, Εγγονή, Ξάδερφος, Ξαδέρφη, Θείος, Θεία, Ανιψιός, Ανιψιά...! Ορίζουµε καταρχήν δύο κατηγορήµατα για το φύλο τάξης 1:! Αρεν(x) : Το πρόσωπο x είναι αρσενικό! Θήλυ(y) : Το πρόσωπο y είναι θηλυκό.! Επειδή κάθε άνθρωπος έχει έναν πατέρα και µια µητέρα, ορίζουµε τους συναρτησιακούς όρους:! Πατέρας(x): Ο πατέρας του x! Μητέρα(x): Η µητέρα του x! Όλα τα υπόλοιπα (Γονιός, Αδερφός κλπ) είναι κατηγορήµατα τάξης 2. Γιάννης Ρεφανίδης 40 11
Παράδειγµα: Συγγένειες (2/2)! Με βάση τους προηγούµενους ορισµούς, θα γράψουµε προτάσεις για τις υπόλοιπες έννοιες:! m,c Μητέρα(c)=m Θήλυ(m) Γονιός(m,c)! w,h Άντρας(h,w) Άρεν(h) Σύζυγος(h,w)! x Άρεν(x) Θήλυ(x)! g,c Παππούς(g,c) Άρεν(g) p Γονιός(g,p) Γονιός(p,c)! x,y Αδέρφι (x,y) x y p Γονιός(p,x) Γονιός(p,y)! κλπ Γιάννης Ρεφανίδης 41 Εξαγωγή συµπερασµάτων στη λογική πρώτης τάξης! Στην λογική πρώτης τάξης χρησιµοποιούνται οι ίδιες τεχνικές εξαγωγής συµπερασµάτων, όπως και στην προτασιακή λογική, µε προσαρµογές όµως που να καλύπτουν τα επιπλέον στοιχεία της.! Μετατροπή σε προτασιακή λογική (δεν θα το δούµε)! Απόδειξη! Ανάλυση! Η εφαρµογή των τεχνικών της απόδειξης και της ανάλυσης στις προτάσεις της λογικής πρώτης τάξης απαιτεί τη χρήση τεχνικών ενοποίησης όρων που περιέχουν µεταβλητές. Γιάννης Ρεφανίδης 42 12
Ενοποίηση (Unification) (1/3)! Έστω ότι έχουµε τις προτάσεις:! Άνθρωπος(Σωκράτης)! x Άνθρωπος(x) Θνητός(x)! Θέλουµε να βγάλουµε το συµπέρασµα ότι Θνητός(Σωκράτης).! Γνωρίζουµε από την προτασιακή λογική ότι από δύο προτάσεις της µορφής P και P Q, προκύπτει το Q.! Τώρα όµως οι δύο προτάσεις έχουν τη µορφή P1 και P2 Q.! Πρέπει λοιπόν να ελεγχθεί εάν τα P1 και P2 µπορούν να ταυτιστούν (ενοποιηθούν). Γιάννης Ρεφανίδης 43 Ενοποίηση (2/3)! Έστω ένας όρος P που περιέχει µεταβλητές.! Συµβολίζουµε µε x/a την αντικατάσταση µιας µεταβλητής x από έναν όρο Α.! Έστω θ={x1/a1, x2/a2,..., xn/an} ένα πλήθος τέτοιων αντικαταστάσεων.! Συµβολίζουµε µε P θ τον όρο που προκύπτει εάν αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές του P µε τις αντικαταστάσεις που ορίζονται στο σύνολο θ.! π.χ. Άνθρωπος(x) {x/σωκράτης} =Άνθρωπος(Σωκράτης) Γιάννης Ρεφανίδης 44 13
Ενοποίηση (3/3)! ύο όροι P1 και P2 ενοποιούνται µε µια αντικατάσταση θ, εάν ισχύει P1 θ =P2 θ.! ύο όροι είναι δυνατόν να µπορούν να ενοποιηθούν µε πολλούς τρόπους:! P1=Αδερφός(x,y), P2=Αδερφός(z,w)! θ1={x/z, y/w}: P1 θ1 =P2 θ1 =Αδερφός(z,w)! θ2={x/z, y/z,w/z): P1 θ2 =P2 θ2 =Αδερφός(z,z)! Από όλες τις δυνατές ενοποιήσεις πρέπει να επιλέγουµε τη λιγότερο δεσµευτική.! Ο πιο γενικός ενοποιητής (most general unifier) Γιάννης Ρεφανίδης 45 Παραδείγµατα ενοποίησης P1 Γνωρίζει(Γιάννης, x) Γνωρίζει(Γιάννης, x) Γνωρίζει(Γιάννης, x) Γνωρίζει(Γιάννης, x) Γνωρίζει(Γιάννης, x) P2 Γνωρίζει(Γιάννης, Νίκος) Γνωρίζει(y, Νίκος) Γνωρίζει(y, Μητέρα(y)) Γνωρίζει(x, Γιώργος) Συνεργάζεται(Γιάννης,y) Πιο γενικός ενοποιητής {x/νίκος} {x/νίκος, y/γιάννης} {y/γιάννης, x/µητέρα(γιάννης)} αποτυχία αποτυχία Γιάννης Ρεφανίδης 46 14
Απόδειξη στη λογική πρώτης τάξης! Έστω ότι έχουµε τις προτάσεις:! P1! P2 Q! Εάν οι P1 και P2 είναι ενοποιήσιµες σύµφωνα µε ένα σύνολο αντικαταστάσεων θ, P1 θ =P2 θ, τότε προκύπτει το συµπέρασµα Q θ.! Π.χ. έστω:! P1=Άνθρωπος(Σωκράτης)! P2=Άνθρωπος(x)! Q = Θνητός(x)! Τότε το συµπέρασµα Θνητός(Σωκράτης) προκύπτει µε την ενοποίηση θ={x/σωκράτης}.! Η παραπάνω τεχνική απόδειξης ονοµάζεται γενικευµένος τρόπος του θέτειν (generalized modus ponens). Γιάννης Ρεφανίδης 47 Τεχνική της Ανάλυσης στη Λογική Πρώτης Τάξης (1/2)! Ητεχνική της ανάλυσης µπορεί να εφαρµοσθεί και στη λογική πρώτης τάξης.! Όπως και στην προτασιακή λογική, απαιτείται όλες οι σύνθετες προτάσεις της βάσης γνώσης να είναι διαζεύξεις απλών προτάσεων ή αρνήσεών τους, όπως π.χ.! Α Β Γ! Ε! Από δύο προτάσεις της µορφής:! Α1 Α2... Αi-1 Ai Ai+1... Am και! B1 B2... Bj-1 Bj Bj+1... Bn! όπου Ai θ = Bj θ! προκύπτει η πρόταση! Α1 θ Α2 θ... Αi-1 θ Ai+1 θ... Am θ B1 θ B2 θ... Bj-1 θ Bj+1 θ... Bn θ Γιάννης Ρεφανίδης 48 15
Τεχνική της Ανάλυσης στη Λογική Πρώτης Τάξης (2/2)! Ηεφαρµογή της τεχνικής της ανάλυσης προϋποθέτει ότι γνωρίζουµε τι προσπαθούµε να αποδείξουµε.! Έστω Κ η πρόταση που θέλουµε να αποδείξουµε. Εκτελούµε τα εξής βήµατα:! Προσθέτουµε στη βάση γνώσης την πρόταση Κ.! Εφαρµόζουµε επανειληµµένα τον κανόνα της ανάλυσης.! Εάν καταλήξουµε σε άτοπο, δηλαδή αν παραχθούν δύο προτάσεις της µορφής Χ1 και Χ2 τέτοιες ώστε οι X1 και X2 δεν µπορούν να θεωρηθούν διαφορετικές (δηλαδή δεν υπάρχουν αντικαταστάσεις θ1 και θ2, τέτοιες ώστε X θ1 Χ2 θ2 ), συµπεραίνουµε ότι η πρόταση Κ δεν ίσχυε, άρα αποδείχθηκε ή πρόταση Κ. Γιάννης Ρεφανίδης 49 Κανονική συζευκτική µορφή στη λογική πρώτης τάξης! Και εδώ χρειάζεται η µετατροπή των προτάσεων της βάσης γνώσης σε προτάσεις που αποτελούνται µόνο από διαζεύξεις.! Το επιπλέον πρόβληµα που υπάρχει στη λογική πρώτης τάξης είναι η απαλοιφή των ποσοδεικτών (ιδιαίτερα των υπαρξιακών).! Βήµατα:! Απαλοιφή συνεπαγωγών! Μετακίνηση αρνήσεων µέσα στις παρενθέσεις! Απαλοιφή υπαρξιακών ποσοδεικτών και αντικατάσταση υπαρξιακών µεταβλητών µε σύνθετους όρους.! Απόρριψη καθολικών ποσοδεικτών! Κατανοµή συζεύξεων και διαζεύξεων Γιάννης Ρεφανίδης 50 16
Παράδειγµα µετατροπής σε κανονική συζευκτική µορφή! Έστω η σύνθετη πρόταση:! x Άνθρωπος(x) y Πατέρας(y,x)! Βήµατα:! Απαλοιφή συνεπαγωγών! x y Άνθρωπος(x) Πατέρας(y,x)! Απαλοιφή υπαρξιακών ποσοδεικτών: Επειδή το y προφανώς εξαρτάται από το x, αντικαθιστούµε το y µε έναν συναρτησιακό όρο P(x):! x Άνθρωπος(x) Πατέρας(P(x),x)! Απόρριψη καθολικών ποσοδεικτών! Άνθρωπος(x) Πατέρας(P(x),x) Γιάννης Ρεφανίδης 51 Παράδειγµα τεχνικής ανάλυσης σε λογική πρώτης τάξης (1/2)! Έστω η πρόταση:! x y Θέση(x) Θέση(y) Γειτονική(x,y) Γειτονεύει_µε_νάρκη(x) Νάρκη(y)! Η πρόταση αυτή µπορεί να γραφεί ως:! (Θέση(x) Θέση(y) Γειτονική(x,y) Γειτονεύει_µε_νάρκη(x)) Νάρκη(y)! Θέση(x) Θέση(y) Γειτονική(x,y) Γειτονεύει_µε_νάρκη(x) Νάρκη(y)! Έστω ότι προσπαθούµε να αποδείξουµε το Νάρκη(Θ(2,1)).! Εισάγουµε λοιπόν στη βάση την πρόταση Νάρκη(Θ(2,1)).! Ήδη υπάρχει στη βάση το γεγονός:! Γειτονεύει_µε_νάρκη(Θ(1,1)). Γιάννης Ρεφανίδης 52 17
Παράδειγµα τεχνικής ανάλυσης σε λογική πρώτης τάξης (2/2)! Συνδυάζοντας τις προτάσεις:! Θέση(x) Θέση(y) Γειτονική(x,y) Γειτονεύει_µε_νάρκη(x)) Νάρκη(y)! Νάρκη(Θ(2,1)).! µε ενοποίηση {y/θ(2,1)) παίρνουµε:! Θέση(x) Θέση(Θ(2,1)) Γειτονική(x,Θ(2,1)) Γειτονεύει_µε_νάρκη(x)! Συνδυάζοντας την παραπάνω πρόταση με το γεγονός:! Γειτονεύει_µε_νάρκη(Θ(1,1)).! µε ενοποίηση {x/θ(1,1)} παίρνουµε:! Θέση( Θ(1,1) ) Θέση(Θ(2,1)) Γειτονική( Θ(1,1),Θ(2,1))! Εάν εφαρµόσουµε τρεις ακόµη φορές την παραπάνω διαδικασία για τα γεγονότα Θέση(Θ(1,1)), Θέση(Θ(2,1)) και Γειτονική(Θ(1,1),Θ(2,1)), τα οποία υπάρχουν όλα στη βάση γνώσης, καταλήγουμε σε άτοπο. Γιάννης Ρεφανίδης 53 Παρατηρήσεις στην τεχνική της ανάλυσης στη λογική πρώτης τάξης! Η µέθοδος εγγυάται ότι πάντα θα καταλήγει σε άτοπο, εφόσον αυτό που προσπαθούµε να αποδείξουµε ισχύει.! Στη βασική της µορφή είναι χρονοβόρα µέθοδος.! Ευριστικές τεχνικές για γρηγορότερο αποτέλεσµα:! Προτίµηση στις µικρές προτάσεις.! Προτίµηση στους συνδυασµούς όπου τουλάχιστον µία από τις 2 προτάσεις είναι είτε από αυτές που υπήρχαν αρχικά στη βάση γνώσης, είτε η επιπλέον που προστέθηκε. Γιάννης Ρεφανίδης 54 18