2 i d i(x(i), y(i)),

Κεφάλαιο 2 Σύγκλιη ακολουθιών και υνέχεια υνατήεων 2.1 Σύγκλιη ακολουθιών Στον Απειοτικό Λογιμό μελετήαμε τη ύγκλιη ακολουθιών παγματικών αιθμών. Με τον όο ακολουθία παγματικών αιθμών εννοούμε κάθε υνάτηη x : N R (με πεδίο οιμού το ύνολο των φυικών αιθμών και τιμές το R). Συνήθως, γάφουμε x n := x(n) για το n-οτό όο της ακολουθίας x και υμβολίζουμε τις ακολουθίες με {x n } n=1 ή {x n } ή (x n ). Αν (x n ) είναι μια ακολουθία το R, λέμε ότι η (x n ) υγκλίνει τον παγματικό αιθμό x αν ιχύει το εξής: Για κάθε ε > 0 υπάχει φυικός n 0 n 0 (ε) με την ιδιότητα: αν n N και n n 0 (ε), τότε x n x < ε. Σε αυτή την πείπτωη, γάφουμε lim x n = x ή lim n x n = x ή, πιο απλά, x n x. Σε αυτή την παάγαφο δίνουμε τον οιμό του οίου για μια ακολουθία (x n ) ε έ- να μετικό χώο (X, ). Ο οιμός υπαγοεύεται από τον αντίτοιχο οιμό για ακολουθίες παγματικών αιθμών: η βαική ιδέα είναι ότι μια ακολουθία (x n ) υγκλίνει το x X αν μποούμε να βούμε όο κοντά θέλουμε το x ένα τελικό τμήμα της ακολουθίας {x n : n n 0 }. Ιοδύναμα, θα λέγαμε ότι η (x n ) υγκλίνει το x αν η απόταη του x n από το x τείνει το 0 όταν το n τείνει το άπειο. Οι βαικές πώτες υνέπειες του οιμού του οίου εξακολουθούν να ιχύουν το γενικό πλαίιο των μετικών χώων. Οι αποδείξεις δεν έχουν καμία ουιατική διαφοά από τις αντίτοιχες αποδείξεις για ακολουθίες παγματικών αιθμών.

20 Συγκλιη ακολουθιων και υνεχεια υνατηεων 2.1.1 Συγκλίνουες ακολουθίες Ετω (X, ) ένας μετικός χώος. Ακολουθία τον X είναι κάθε υνάτηη x : N X. Γάφουμε x n := x(n) για τον n-οτό όο της ακολουθίας x και υμβολίζουμε τις ακολουθίες με {x n } n=1 ή {x n } ή (x n ) ή x = (x 1, x 2,..., x n,...). Οιμός 2.1.1 (ύγκλιη ακολουθίας). Λέμε ότι μια ακολουθία (x n ) το μετικό χώο (X, ) υγκλίνει το x X ως πος τη μετική (ή είναι -υγκλίνουα) αν για κάθε ε > 0 υπάχει n 0 n 0 (ε) N ώτε αν n n 0 να ιχύει (x n, x) < ε. Για να το δηλώουμε αυτό γάφουμε x n x ή απλώς x n x. Το x λέγεται -όιο (ή απλώς όιο) της ακολουθίας. Πόταη 2.1.2. Ετω (x n ) μια ακολουθία το μετικό χώο (X, ) και έτω x X. Τότε, x n x αν και μόνο αν η ακολουθία ((x n, x)) n παγματικών αιθμών είναι μηδενική. Απόδειξη. Ακεί να υγκίνουμε τους δύο οιμούς: η ακολουθία ((x n, x)) n το R είναι μηδενική αν για κάθε ε > 0 υπάχει n 0 n 0 (ε) N ώτε αν n n 0 να ιχύει (x n, x) = (x n, x) 0 < ε. Ομως αυτό υμβαίνει αν και μόνο αν x n x. Πόταη 2.1.3. Ετω (x n ) μια ακολουθία το μετικό χώο (X, ). Αν υπάχει το όιο της (x n ), τότε αυτό είναι μοναδικό. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι x n x και x n y, όπου x, y X. Θα δείξουμε ότι x = y. Πάγματι: για κάθε n N έχουμε 0 (x, y) (x, x n ) + (x n, y). Αν θεωήουμε τυχόν ε > 0, υπάχει n 0 N ώτε, για κάθε n n 0, (x n, x) < ε 2 και (x n, y) < ε 2. Τότε, για κάθε n n 0, (x, y) (x, x n ) + (x n, y) < ε. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι (x, y) = 0, άα x = y. Πόταη 2.1.4. Ετω (X, ) μετικός χώος. Αν (x n ), (y n ) ακολουθίες τον X και x, y X με x n x και y n y, τότε (x n, y n ) (x, y). Απόδειξη. Θα χηιμοποιήουμε ένα Λήμμα που έχει ανεξάτητο ενδιαφέον: Λήμμα 2.1.5. Ετω (X, ) μετικός χώος. Τότε ιχύουν οι ανιότητες: (α) (x, z) (y, z) (x, y) για κάθε x, y, z X. (β) (x, y) (z, w) (x, z) + (y, w) για κάθε x, y, z, w X.

2.1 Συγκλιη ακολουθιων 21 Απόδειξη του Λήμματος. (α) Ετω x, y, z X. Από την τιγωνική ανιότητα της μετικής έχουμε (x, z) (x, y) + (y, z) (x, z) (y, z) (x, y), (y, z) (y, x) + (x, z) (y, z) (x, z) (y, x). Συνδυάζοντας τις δυο ανιότητες παίνουμε (x, z) (y, z) (x, y). (β) Αν x, y, z, w X, από την τιγωνική ανιότητα το R έχουμε Ομως, από το (α) ιχύει (x, y) (z, w) (x, y) (z, y) + (z, y) (z, w) (x, y) (z, y) + (z, y) (z, w) (x, z) + (y, w). Επιτέφουμε τώα την απόδειξη της πόταης: χηιμοποιώντας την ανιότητα (β) του Λήμματος 2.1.5 βλέπουμε ότι (x n, y n ) (x, y) (x n, x) + (y n, y) 0 καθώς n, αφού x n x και y n y. 2.1.2 Πααδείγματα ύγκλιης ε μετικούς χώους 1. Θεωούμε τη διακιτή μετική δ ε ένα ύνολο X. Τότε, μια ακολουθία (x n ) τον (X, δ) είναι υγκλίνουα αν και μόνον αν είναι τελικά ταθεή. δ x. Τότε, υπάχει n 0 N ώτε: αν n n 0 τότε Απόδειξη. Υποθέτουμε πώτα ότι x n δ(x n, x) < 1 2. Από τον οιμό της διακιτής μετικής, έπεται ότι δ(x n, x) = 0 για κάθε n n 0 ή αλλιώς, ότι x n = x για κάθε n n 0. Συνεπώς η (x n ) είναι τελικά ταθεή. Το αντίτοφο είναι ποφανές από τον οιμό του οίου: ε κάθε μετικό χώο, κάθε τελικά ταθεή ακολουθία είναι υγκλίνουα. Το ίδιο επιχείημα δείχνει ότι τον κύβο του Hamming (H n, h) μια ακολουθία υγκλίνει αν και μόνον αν είναι τελικά ταθεή: έτω (x m ) ακολουθία τον H n με x m x. Τότε, υπάχει m 0 N ώτε αν m m 0 να ιχύει h(x m, x) < 1 2. Ομως η h παίνει μόνο τις τιμές 0, 1,..., n. Άα, h(x m, x) = 0 για κάθε m m 0. Δηλαδή, x m = x για κάθε m m 0. h

22 Συγκλιη ακολουθιων και υνεχεια υνατηεων 2. Πεπεαμένο γινόμενο μετικών χώων. Ετω (X 1, 1 ),..., (X k, k ) μετικοί χώοι και X = k i=1 X i το κατειανό τους γινόμενο. Δηλαδή, τα τοιχεία του X είναι k-άδες της μοφής x = (x(1),..., x(k)) με x(j) X j, j = 1,..., k. Μια μετική το γινόμενο X = k i=1 X i λέγεται μετική γινόμενο αν μια ακολουθία x n = (x n (1),..., x n (k)) το X υγκλινει το x = (x(1),..., x(k)) ως πος την αν και μόνο αν υγκλίνει κατά υντεταγμένη, δηλαδή x n (i) i x(i) για κάθε i = 1,..., k. Παάδειγμα: το X οίζουμε τη μετική = k j=1 j, δηλαδή Τότε, η είναι μετική γινόμενο. (x, y) = k j (x(j), y(j)). Απόδειξη. Ετω (x n ) μια ακολουθία το X. Τότε, η (x n ) έχει τη μοφή j=1 x n = (x n (1), x n (2),..., x n (k)), n = 1, 2,.... Αν λοιπόν υποθέουμε ότι x n x = (x(1), x(2),..., x(k)) τότε x n (i) i = 1,..., k. Πάγματι αν i {1, 2,..., k} έχουμε i (x n (i), x(i)) k j (x n (j), x(j)) = (x n, x) 0 j=1 καθώς n, δηλαδή x n (i) i x(i). i x(i) για Αντίτοφα αν x n (i) i x(i) για i = 1, 2,..., k, αυτό ημαίνει ότι i (x n (i), x(i)) 0 για i = 1, 2,..., k. Συνεπώς, (x n, x) = 1 (x n (1), x(1)) + + k (x n (k), x(k)) 0 καθώς n, δηλαδή x n x. 3*. Άπειο γινόμενο μετικών χώων. Ετω (X i, i ), i = 1, 2,... ακολουθία μετικών χώων ώτε i (x, y) 1 για κάθε x, y X i, i = 1, 2,.... Στο X = i=1 X i οίζουμε τη μετική : X X R με (x, y) = i=1 1 2 i i(x(i), y(i)), όπου x = (x(1), x(2),...), y = (y(1), y(2),...) με x(i), y(i) X i για κάθε i = 1, 2,.... Η είναι πάγματι μετική και μποούμε να ελέγξουμε ότι είναι μετική γινόμενο (δηλαδή, η

2.1 Συγκλιη ακολουθιων 23 ύγκλιη ως πος την είναι ιοδύναμη με τη ύγκλιη κατά υντεταγμένη): Ετω (x m ) ακολουθία τον (X, ). Τότε η (x m ) είναι ακολουθία ακολουθιών: x 1 = (x 1 (1), x 1 (2),..., x 1 (i),...) x 2 = (x 2 (1), x 2 (2),..., x 2 (i),...). x m = (x m (1), x m (2),..., x m (i),...). Για τη μία κατεύθυνη, υποθέτουμε ότι x m x = (x(1), x(2),..., x(i),...) καθώς το m. Θα δείξουμε ότι, για κάθε i = 1, 2,..., ιχύει x m (i) i x(i) καθώς m. Ετω i N. Τότε, για κάθε m N ιχύει 2 i i (x m (i), x(i)) 2 j j (x m (j), x(j)) = (x m, x), j=1 και επειδή (x m, x) 0 έπεται ότι i (x m (i), x(i)) 0 καθώς m. Η άλλη κατεύθυνη αφήνεται ως άκηη. 4*. Ο κύβος του Hilbert H. Το ύνολο το εφοδιάζουμε με τη μετική [ 1, 1] N = { x : N R x(i) 1, i = 1, 2,... } (x, y) = i=1 x(i) y(i) 2 i, όπου x = (x(i)) και y = (y(i)). Ο μετικός χώος ([ 1, 1] N, ) λέγεται κύβος του Hilbert και υμβολίζεται με H. Η ύγκλιη τον κύβο είναι κατά υντεταγμένη. Απόδειξη. Ετω (x m ) μια ακολουθία τον κύβο, δηλαδή x m = (x m (1), x m (2),..., x m (i),...), m = 1, 2,... όπου x m (i) 1 για m, i = 1, 2,... Υποθέτουμε ότι x m x = (x(1), x(2),..., x(i),...). Τότε, για κάθε k N ιχύει 2 k x m (k) x(k) i=1 x m (i) x(i) 2 i = (x m, x)

24 Συγκλιη ακολουθιων και υνεχεια υνατηεων για κάθε m N και επειδή (x m, x) 0 έπεται ότι x m (i) x(i) καθώς m για κάθε i = 1, 2,.... Ιχύει και το αντίτοφο: δηλαδή, αν x m = (x m (1), x m (2),...) είναι μια ακολουθία τον H (δηλ. x m (i) 1, i, m = 1, 2,...) ώτε x m (i) x(i) για κάθε i = 1, 2,... τότε η x = (x(1), x(2),...) είναι τοιχείο του H και μάλιτα x m x. Ξεκινάμε παατηώντας ότι, αφού x m (i) x(i), έχουμε x(i) = lim x m (i) 1, άα x H. Για m να δείξουμε ότι x m x ακεί για κάθε ε > 0 να βούμε ένα m 0 N ώτε αν m m 0 τότε (x m, x) < ε. Θα χηιμοποιήουμε την εξής ανιότητα (άκηη): αν x, y H τότε x(i) y(i) (x, y) = 2 i M k+1 + 2 k, k = 1, 2,... όπου Ετω ε > 0. Θέτουμε i=1 M k = max{ x(1) y(1), x(2) y(2),..., x(k) y(k) }. M m k = max{ x m (i) x(i) : i = 1,..., k}. Τότε, για κάθε k N ιχύει Mk m 0 καθώς m (γιατί;). Επίης, υπάχει k k(ε) N ώτε 1 < ε 2 k 2. Γι αυτό το k ιχύει M k+1 m 0, άα υπάχει m 0(ε, k) m 0 N ώτε αν m m 0 να ιχύει Mk+1 m < ε 2. Αν λοιπόν m m 0, τότε (x m, x) M m k+1 + 1 2 k < ε 2 + ε 2 = ε και αυτό ολοκληώνει την απόδειξη. 2.1.3 Βαικές ακολουθίες και φαγμένες ακολουθίες Ο οιμός της ακολουθίας Cauchy (ή βαικής ακολουθίας) παγματικών αιθμών γενικεύεται κι αυτός άμεα το πλαίιο των μετικών χώων. Οιμός 2.1.6 (βαική ακολουθία). Ετω (x n ) μια ακολουθία το μετικό χώο (X, ). Λέμε ότι η (x n ) είναι βαική (ή Cauchy) αν για κάθε ε > 0 υπάχει n 0 n 0 (ε) N ώτε αν m, n n 0 τότε (x m, x n ) < ε. Πόταη 2.1.7. Ετω (X, ) μετικός χώος. Τότε, κάθε υγκλίνουα ακολουθία τον X είναι ακολουθία Cauchy. Απόδειξη. Ετω (x n ) υγκλίνουα ακολουθία. Τότε, υπάχει x X ώτε x n Ετω ε > 0. Αφού x n x, υπάχει n 0 N ώτε αν n n 0 τότε (x n, x) < ε 2. Ετω m, n n 0. Τότε, (x n, x m ) (x n, x) + (x, x m ) < ε 2 + ε 2 = ε. x. Συνεπώς, η (x n ) είναι ακολουθία Cauchy.

2.1 Συγκλιη ακολουθιων 25 Οιμός 2.1.8 (φαγμένη ακολουθία). Ετω (x n ) μια ακολουθία το μετικό χώο (X, ). Λέμε ότι η (x n ) είναι φαγμένη αν το ύνολο A = {x n : n N} είναι φαγμένο υπούνολο του X. Με άλλα λόγια, αν υπάχει C > 0 ώτε (x m, x n ) C για κάθε m, n N. Πόταη 2.1.9. Ετω (X, ) μετικός χώος. Τότε, κάθε βαική ακολουθία τον X είναι φαγμένη. Ειδικότεα, κάθε υγκλίνουα ακολουθία τον X είναι φαγμένη. Απόδειξη. Ετω (x n ) βαική ακολουθία τον (X, ). Τότε, υπάχει n 0 > 1 ώτε αν m, n n 0 να ιχύει (x n, x m ) < 1. Ειδικότεα, (x n, x n0 ) < 1 για κάθε n n 0. Θέτουμε Τότε, για κάθε n N έχουμε C = max {(x 1, x n0 ),..., (x n0 1, x n0 ), 1} > 0. (x n, x n0 ) C. Από την τιγωνική ανιότητα έπεται (εξηγήτε γιατί) ότι Συνεπώς, η (x n ) είναι φαγμένη. sup{(x m, x n ) : m, n N} 2C. Ο δεύτεος ιχυιμός ποκύπτει άμεα από τον πώτο, αφού κάθε υγκλίνουα ακολουθία είναι βαική. Παατηήεις 2.1.10. (α) Υπάχουν πααδείγματα μετικών χώων τους οποίους δεν υγκλίνουν όλες οι βαικές ακολουθίες. Ενα παάδειγμα είναι ο χώος (Q, ) των ητών με τη υνήθη μετική: η ακολουθία (q n ) όπου q n = (1 + 1 n )n, ενώ είναι βαική, δεν υγκλίνει ε ητό αιθμό. Για ένα άλλο παάδειγμα, ας θεωήουμε το χώο (R, ) με τη μετική (x, y) = f(x) f(y), x, y R, όπου 1 f(t) = t t +1. Τότε η ακολουθία x n = n είναι -βαική αλλά δεν είναι -υγκλίνουα. Πάγματι, επειδή η (f(n)) είναι υγκλίνουα ως πος τη υνήθη μετική είναι και -βαική, δηλαδή (n, m) = f(n) f(m) 0 καθώς m, n. Αλλά, η (x n ) δεν είναι -υγκλίνουα, διότι αν ήταν τότε θα υπήχε x R ώτε (n, x) 0. Από την άλλη πλευά, αφού f(n) 1, Ομως τότε, 1 f(x) = 0, δηλαδή (n, x) = f(n) f(x) 1 f(x). x x +1 = 1. Αυτό είναι άτοπο. 1 παατηήτε ότι η f είναι 1-1 από το R επί του ( 1, 1).

26 Συγκλιη ακολουθιων και υνεχεια υνατηεων Από τον Απειοτικό Λογιμό γνωίζουμε ότι η κατάταη αυτή δεν μποεί να εμφανιτεί το R με τη υνήθη μετική: εκεί, κάθε βαική ακολουθία υγκλίνει. Οι μετικοί χώοι τους οποίους κάθε βαική ακολουθία υγκλίνει λέγονται πλήεις μετικοί χώοι και θα τους μελετήουμε ξεχωιτά αγότεα. (β) Πολύ απλούτεο είναι να δώουμε πααδείγματα μετικών χώων τους οποίους υ- πάχουν φαγμένες ακολουθίες που δεν είναι βαικές. Στο R με τη υνήθη μετική, η x n = ( 1) n είναι φαγμένη αλλά δεν είναι βαική, αφού x n x n+1 = 2 για κάθε n = 1, 2,.... 2.1.4 Υπακολουθίες Ετω (X, ) ένας μετικός χώος και έτω (x n ) μια ακολουθία τον X. Αν k 1 < k 2 < < k n < είναι μια γνηίως αύξουα ακολουθία φυικών αιθμών τότε η (x kn ) λέγεται υπακολουθία της (x n ). Παατηήεις 2.1.11. (α) Αν k : N N είναι γνηίως αύξουα ακολουθία και x : N X είναι ακολουθία τον X, τότε η x k : N X είναι υπακολουθία της (x n ). Για την ακίβεια, κάθε υπακολουθία της (x n ) είναι η ύνθεη της ακολουθίας (x n ) με μια γνηίως αύξουα ακολουθία φυικών αιθμών. (β) Αν (k n ) είναι μια γνηίως αύξουα ακολουθία φυικών αιθμών, έχουμε ότι k n n για κάθε n = 1, 2,.... Η (απλή) απόδειξη αυτού του ιχυιμού γίνεται με επαγωγή. Αποδεικνύεται, ακιβώς όπως την πείπτωη των ακολουθιών παγματικών αιθμών, ότι αν x n x τότε για κάθε υπακολουθία (x kn ) της (x n ) ιχύει x kn x (άκηη 4(α)). Ενα άλλο αποτέλεμα που μεταφέεται χωίς καμιά δυκολία από το πλαίιο των παγματικών αιθμών ε αυτό των μετικών χώων είναι το εξής: Πόταη 2.1.12. Ετω (X, ) ένας μετικός χώος και έτω (x n ) ακολουθία τον X. Αν η (x n ) είναι βαική και έχει υγκλίνουα υπακολουθία, τότε υγκλίνει. Απόδειξη. Ετω ότι η (x n ) είναι βαική και ότι x kn x, όπου η (x kn ) είναι υπακολουθία της (x n ). Ιχυιμός. Η (x n ) υγκλίνει το x. Πάγματι, έτω ε > 0. Επειδή η (x n ) είναι βαική έχουμε ότι υπάχει n 1 N ώτε (x n, x m ) < ε 2 αν n, m n 1. Επιποθέτως, x kn x, άα υπάχει n 2 N ώτε (x kn, x) < ε 2 αν n n 2.

2.1 Συγκλιη ακολουθιων 27 Θέτουμε n 0 = max{n 1, n 2 }. Παατηήτε ότι αν n n 0 τότε k n n n 0, οπότε n, k n n 1 και n n 2. Συνεπώς, Επεται ότι x n x. (x n, x) (x n, x kn ) + (x kn, x) < ε 2 + ε 2 = ε. Στο (R, ) ιχύει ότι κάθε φαγμένη ακολουθία έχει υγκλίνουα υπακολουθία. Το αποτέλεμα αυτό επεκτείνεται την πείπτωη του Ευκλείδειου χώου οποιαδήποτε διάταης. Θεώημα 2.1.13. Κάθε φαγμένη ακολουθία τον R m (με την Ευκλείδεια μετική) έχει υγκλίνουα υπακολουθία. Απόδειξη. Ετω x n = (x n (1),..., x n (m)) ακολουθία τον R m. Αν η (x n ) είναι φαγμένη, τότε η (x n (1)) είναι φαγμένη ακολουθία το R. Από το αντίτοιχο αποτέλεμα το R, έχει υγκλίνουα υπακολουθία (x kn (1)): x kn (1) x 1. Η υπακολουθία (x kn ) της (x n ) έχει λοιπόν υγκλίνουα πώτη υντεταγμένη. Η (x kn (2)) είναι φαγμένη ακολουθία το R, άα έχει υγκλίνουα υπακολουθία (x kλn (2)): Παατηήτε ότι x kλn (2) x 2. x kλn (1) x 1, διότι η x kn (1) x 1 και η (x kλn (1)) είναι υπακολουθία της x kn (1). Άα, η υπακολουθία (x kλn ) έχει υγκλίνουα πώτη και δεύτεη υντεταγμένη. Συνεχίζοντας με παόμοιο τόπο μέχι την m-οτή υντεταγμένη και παίνοντας m διαδοχικές υπακολουθίες της (x n ) βίκουμε υπακολουθία της η οποία έχει κάθε υντεταγμένη της υγκλίνουα. Εχουμε δείξει ότι η ύγκλιη ακολουθίας τον Ευκλείδειο χώο είναι ιοδύναμη με τη ύγκλιη κατά υντεταγμένη, υνεπώς η (x n ) έχει υγκλίνουα υπακολουθία. Σε τυχόντα μετικό χώο το Θεώημα 2.1.13 δεν ιχύει κατ ανάγκην, όπως φαίνεται και από το ακόλουθο παάδειγμα: Παάδειγμα 2.1.14. (α) Θεωούμε το χώο (c 0, ) των μηδενικών ακολουθιών με τη μετική που επάγεται από την supremum νόμα: αν x = (x n ) και y = (y n ) τότε (x, y) = sup{ x n y n : n = 1, 2,...}. Σε αυτό το χώο θεωούμε την ακολουθία (e n ) όπου e 1 = (1, 0, 0, 0,...) e 2 = (0, 1, 0, 0,...) e 3 = (0, 0, 1, 0,...).

28 Συγκλιη ακολουθιων και υνεχεια υνατηεων η οποία είναι φαγμένη αφού (e n, e m ) = e n e m = 1 αν n m. Η ίδια ιότητα δείχνει ότι η (e n ) δεν μποεί να έχει υγκλίνουα υπακολουθία: αν είχε, οι όοι της υπακολουθίας θα έπεπε τελικά να απέχουν απόταη μικότεη από 1. (β) Ενα ακόμα πιο απλό παάδειγμα παίνουμε αν θεωήουμε τη διακιτή μετική δ ε ένα άπειο ύνολο, για παάδειγμα το N. Η ακολουθία x n = n τον (N, δ) είναι φαγμένη αλλά δεν έχει υγκλίνουα υπακολουθία (υμπληώτε τις λεπτομέειες, όπως το ποηγούμενο παάδειγμα). 2.2 Συνέχεια ε ένα ημείο και αχή της μεταφοάς Υπενθυμίζουμε τον ε δ οιμό της υνέχειας για παγματικές υνατήεις. Αν A είναι ένα μη κενό υπούνολο του R, f : A R και x 0 A, τότε λέμε ότι η f είναι υνεχής το x 0 αν: για κάθε ε > 0 υπάχει δ > 0 ώτε: αν x A και x x 0 < δ, τότε f(x) f(x 0 ) < ε. Λέμε ότι η f είναι υνεχής το A αν είναι υνεχής ε κάθε x 0 A. Η γενίκευη του οιμού της υνέχειας το πλαίιο των μετικών χώων είναι άμεη: Οιμός 2.2.1. Ετω (X, ) και (Y, ) δύο μετικοί χώοι. Μια υνάτηη f : X Y λέγεται υνεχής το x 0 X αν για κάθε ε > 0 υπάχει δ δ(x 0, ε) > 0 ώτε: αν x X και (x, x 0 ) < δ τότε (f(x), f(x 0 )) < ε. Μια υνάτηη f : X Y λέγεται υνεχής τον X αν είναι υνεχής ε κάθε ημείο του X. Το ύνολο των υνεχών υνατήεων f : (X, ) (Y, ), το υμβολίζουμε με C(X, Y ). Ειδικότεα, αν Y = R γάφουμε C(X) αντί του C(X, R). Πααδείγματα 2.2.2. (α) Ετω δ η διακιτή μετική ε ένα μη κενό ύνολο X και έτω (Y, ) τυχών μετικός χώος. Κάθε υνάτηη f : X Y είναι υνεχής. Απόδειξη. Ετω f : (X, δ) (Y, ) τυχούα υνάτηη και έτω x 0 X. Θα δείξουμε ότι η f είναι υνεχής το x 0. Πάγματι: έτω ε > 0. Επιλέγουμε η = 1 2 > 0. Από τον οιμό της δ, αν x X και δ(x, x 0 ) < η = 1 2 τότε x = x 0, άα f(x) = f(x 0 ) και (f(x), f(x 0 )) = 0 < ε. (β) Κάθε ακολουθία f : N X είναι υνεχής υνάτηη (εξηγήτε γιατί). (γ) Η ταυτοτική υνάτηη I : (c 00, ) (c 00, 2 ) δεν είναι υνεχής. Απόδειξη. Παατηήτε ότι η άνηη του οιμού της υνέχειας μιας υνάτηης f : X Y το x 0 X διατυπώνεται ως εξής: Η f : X Y είναι αυνεχής το x 0 X αν και μόνο αν υπάχει ε > 0 ώτε: για κάθε δ > 0 υπάχει x X με (x, x 0 ) < δ και (f(x), f(x 0 )) ε.

2.2 Συνεχεια ε ενα ημειο και αχη της μεταφοας 29 Θα αποδείξουμε ότι η I είναι αυνεχής το 0 = (0, 0, 0,...). Πάγματι: αν x n = ( 1 1 1,,...,, 0, 0,...), n n n }{{} n θέεις n N, τότε έχουμε I(x n ) I(0) 2 = I(x n ) 2 = x n 2 = 1 και x n 0 = x n = 1 n. Αν επιλέξουμε ε = 1 2 παατηούμε ότι για κάθε δ > 0 υπάχει x δ c 00 με x δ < δ και I(x δ ) I(0) 2 > 1 2 (ακεί να επιλέξουμε x δ = x n για κάποιο n ακετά μεγάλο ώτε 1 n < δ). Συνεπώς, η I : (c 00, ) (c 00, 2 ) είναι αυνεχής το 0. Η υνέχεια πειγάφεται μέω της ύγκλιης ακολουθιών, ακιβώς όπως και την πείπτωη υνατήεων που οίζονται ε υπούνολα του R. Πόταη 2.2.3 (αχή της μεταφοάς). Ετω (X, ) και (Y, ) δύο μετικοί χώοι και έτω f : X Y και x 0 X. Τα ακόλουθα είναι ιοδύναμα: (α) Η f είναι υνεχής το x 0. (β) Για κάθε ακολουθία (x n ) τοιχείων του X με x n (γ) Για κάθε ακολουθία (y n ) με y n x 0 ιχύει f(x n ) f(x 0 ). x 0, η ακολουθία (f(y n )) είναι -υγκλίνουα. Απόδειξη. Δείχνουμε πώτα την ιοδυναμία των (α) και (β). (α) (β) Ετω x n x 0 και ε > 0. Επειδή η f είναι υνεχής το x 0 υπάχει δ > 0 ώτε αν x X και (x, x 0 ) < δ τότε (f(x), f(x 0 )) < ε. Επιπλέον, επειδή x n x 0 υπάχει n 0 N ώτε αν n n 0 τότε (x n, x 0 ) < δ. Συνδυάζοντας τα πααπάνω βλέπουμε ότι (f(x n ), f(x 0 )) < ε αν n n 0, δηλαδή f(x n ) f(x 0 ). (β) (α) Θα δείξουμε ότι η f είναι υνεχής το x 0. Υποθέτουμε ότι δεν ιχύει το υμπέαμα. Τότε, υπάχουν ε 0 > 0 και ακολουθία (x n ) τοιχείων του X με x n x 0 και (f(x n ), f(x 0 )) ε 0 για n = 1, 2,... (εξηγήτε γιατί). Από την υπόθεη έχουμε f(x n ) f(x 0 ), το οποίο είναι άτοπο (τελικά, θα είχαμε (f(x n ), f(x 0 )) < ε 0 ). Δείχνουμε τώα την ιοδυναμία των (β) και (γ). (β) (γ) Ποφανές: αν y n x 0, από την υπόθεη έχουμε f(y n ) (f(y n )) είναι -υγκλίνουα. (γ) (β) Ετω (x n ) ακολουθία τον (X, ) με x n f(x 0 ), άα η x 0. Θεωούμε την ακολουθία { x0, n = 2k 1 y n = (x 0, x 1, x 0, x 2, x 0, x 3,...) δηλαδή y n = x k, n = 2k,

30 Συγκλιη ακολουθιων και υνεχεια υνατηεων για την οποία εύκολα δείχνουμε ότι υγκλίνει το x 0. Από την υπόθεη, υπάχει y Y ώτε f(y n ) y. Επιπλέον, f(y 2n 1 ) = f(x 0 ) f(x 0 ), άα y = f(x 0 ). Τώα, ακεί να παατηήουμε ότι f(x n ) = f(y 2n ) y = f(x 0 ). Χηιμοποιώντας την αχή της μεταφοάς μποούμε να δείξουμε ότι η ύνθεη υνεχών υνατήεων είναι υνεχής. Πόταη 2.2.4 (ύνθεη υνεχών υνατήεων). Ετω (X, ), (Y, ) και (Z, τ) τεις μετικοί χώοι. Ετω f : X Y και g : Y Z δύο υνατήεις. Αν η f είναι υνεχής το x 0 X και η g είναι υνεχής το f(x 0 ) Y, τότε η g f : X Z είναι υνεχής το x 0. Απόδειξη. Ετω (x n ) ακολουθία ημείων του X με x n x 0. Αφού η f είναι υνεχής το x 0, η αχή της μεταφοάς δείχνει ότι f(x n ) f(x 0 ). Αφού η g είναι υνεχής το f(x 0 ) Y, για κάθε ακολουθία (y n ) ημείων του Y με y n f(x 0 ) έχουμε g(y n ) g(f(x 0 )). Ομως, f(x n ) Y και f(x n ) f(x 0 ). Συνεπώς, g(f(x n )) g(f(x 0 )). Για κάθε ακολουθία (x n ) ημείων του X με x n x 0 δείξαμε ότι (g f)(x n ) = g(f(x n )) g(f(x 0 )) = (g f)(x 0 ). Από την αχή της μεταφοάς, η g f είναι υνεχής το x 0. Το θεώημα που ακολουθεί δίνει τη χέη της υνέχειας με τις υνήθεις αλγεβικές πάξεις ανάμεα ε παγματικές υνατήεις. Η απόδειξή του είναι άμεη, αν χηιμοποιήουμε την αχή της μεταφοάς ε υνδυαμό με τις αντίτοιχες ιδιότητες για τα όια ακολουθιών παγματικών αιθμών. Θεώημα 2.2.5. Ετω f, g : (X, ) R, έτω λ R και έτω x 0 X. Υποθέτουμε ότι οι f, g είναι υνεχείς το x 0. Τότε, (α) Οι f + g, λf και fg είναι υνεχείς το x 0. (β) Αν επιπλέον g(x) 0 για κάθε x X, τότε η f g οίζεται το X και είναι υνεχής το x 0. Απόδειξη. Η απόδειξη όλων των ιχυιμών είναι απλή: για παάδειγμα, για να δείξουμε ότι η f g είναι υνεχής το x 0, ύμφωνα με την αχή της μεταφοάς, ακεί να δείξουμε ότι, (( ) ) για κάθε ακολουθία (x n ) ημείων του X που υγκλίνει το x 0, η ακολουθία f g (x n ) ) υγκλίνει το (x 0 ). Από την υπόθεη, οι f και g είναι υνεχείς το x 0. Από την ( f g αχή της μεταφοάς έχουμε έχουμε f(x n ) f(x 0 ) και g(x n ) g(x 0 ). Αφού g(x n ) 0 για κάθε n N και g(x 0 ) 0, έχουμε ( ) f (x n ) = f(x n) g g(x n ) f(x ( ) 0) f g(x 0 ) = (x 0 ). g