Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο και δεν είναι αναγκαστικά µεταθετικοί Όταν έµε ιδεώδες ενός δακτυίου εννοούµε αριστερό ιδεώδες Ορισµοί και Παραδείγµατα Ορισµός Έστω R ένας δακτύιος Μια Αβειανή οµάδα Μ εφοδιασµένη µε µια απεικόνιση R : ( r, m) r m ονοµάζεται R- πρότυπο ή πρότυπο πάνω από το R αν ισχύουν () () () r ( r2 m) = ( r r2 ) m για κάθε r, r 2 R, m ( r + r2 ) m = r m + r2 m για κάθε r, r 2 R, m r ( m + m = r m + r m 2 ) (v) m m για κάθε m R = 2 για κάθε Στα παρακάτω θα γράφουµε rm στη θέση του ορισµό, θα ονοµάζουµε την απεικόνιση ποαπασιασµό του Μ r R, m m, 2 r m Στον προηγούµενο R, τον εξωτερικό 2 Παράδειγµα () Έστω F ένα σώµα Κάθε F - διανυσµατικός χώρος είναι F -πρότυπο Μάιστα οι έννοιες F - διανυσµατικός χώρος και F - πρότυπο ταυτίζονται
2 Κεφάαιο () Κάθε Αβειανή οµάδα Μ είναι ποαπασιασµό που ορίζεται από τη σχέση όπου r Ÿ και m Ÿ - πρότυπο µε εξωτερικό m + + m ( r φορές), αν rm = 0, αν r = 0 ( r) m, αν r < 0, r > 0 () Κάθε ιδεώδες Ι ενός δακτυίου R είναι ένα R πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιασµό,(, ) στοιχείων του R R I I a b ab, που ορίζεται από το ποαπασιασµό (v) Έστω Ι ένα ιδεώδες ενός µεταθετικού δακτυίου R Ο δακτύιος πηίκο R/Ι είναι ένα R πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιασµό που ορίζεται από τη σχέση r ( a + I) = ra + I, όπου r R και a + I R / I Η σχέση αυτή είναι καά ορισµένη, γιατί αν a + I = a + I, τότε a a I και άρα r( a a ) I που σηµαίνει ότι ra + I = ra + I Η επαήθευση τώρα των αξιωµάτων του ορισµού 3 είναι θέµα ρουτίνας (v) Έστω φ : R S ένας οµοµορφισµός δακτυίων Τότε ο S είναι R πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιασµό που ορίζεται από τη σχέση rs = φ( r) s Ας επαηθεύσουµε ενδεικτικά το αξίωµα () του ορισµού Έχουµε ( r + r2 ) s = φ( r + r2 ) s = ( φ( r ) + φ( r2 )) s = φ( r ) s + φ( r2 ) s = r s r2 s + (v) Έστω F ένα σώµα, V ένας F -διανυσµατικός χώρος και α :V V µια γραµµική απεικόνιση Ο V γίνεται ένα F[ x] -πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιαµό που ορίζεται από τη σχέση f ( xv ) = f( a)( v) (v) Έστω ενδοµορφισµών της G µια Αβειανή οµάδα και R = End( G) το σύνοο των G Το R είναι ένας δακτύιος µε πρόσθεση που ορίζεται από τη σχέση ( f + g)( x) = f( x) + g( x) και ποαπασιαµό που ορίζεται από τη σύνθεση συναρτήσεων ( fg)( x) = f( g( x)), όπου f, g End( G), x G 3 Παρατήρηση Έστω Μ ένα R πρότυπο Τότε έχουµε
Πρότυπα 3 () () () 0 R m = 0 για κάθε m r0 = 0 για κάθε r R ( r) m = r( m) = rm για κάθε r R, m Απόδειξη () Έχουµε 0 + 0 = 0 (0 + 0 ) m = m 0 m + 0 m = m R R R R R 0R από το αξίωµα () του Ορισµού 3 Άρα νόµο της διαγραφής που ισχύει στην οµάδα Μ παίρνουµε R R R R R 0R 0 m + 0 m = 0 m + 0 Από το 0 R m + 0 () Έχουµε: 0 + 0 = 0 r(0 + 0 ) = r0 r0 + r0 = r0 από το αξίωµα () του ορισµού 3 Όπως και πριν παίρνουµε r0 = 0 () r( m ( )) 0 = 0 + m = r από το () Συνεπώς r m m m m rm + ( ) = 0 και άρα r( m) = ( rm) Όµοια ( r + ( r)) m = 0 = 0 από το () Συνεπώς R rm + ( r) m = 0 Άρα ( r) m = ( rm) Στο παρακάτω θα χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις της Παρατήρησης 3 χωρίς ιδιαίτερη µνεία Αξίζει να σηµειωθεί ότι σ ένα R πρότυπο Μ είναι δυνατό να ισχύει rm = 0µε r 0 και ισχύει R Για παράδειγµα, στο Ÿ - πρότυπο m 0 n[ a] = [ na] = [0] για κάθε [a] Ÿ n Ÿn 4 Ορισµός Έστω Μ ένα R πρότυπο Ένα υποσύνοο N ονοµάζεται R υποπρότυπο του Μ αν το Ν είναι R πρότυπο ως προς την πρόσθεση και τον εξωτερικό ποαπασιασµό του Μ Στην περίπτωση αυτή χρησιµοποιούµε το συµβοισµό N 5 Λήµµα Έστω Μ ένα R πρότυπο και N ένα µη κενό υποσύνοο του Μ Τότε το Ν είναι υποπρότυπο του Μ αν και µόνο αν () a, b N a b N () a N, r R ra N Απόδειξη Έστω N Τότε το Ν είναι υποοµάδα του Μ και συνεπώς ισχύει η () Η συνθήκη () έπεται άµεσα από τον Ορισµό 4 Αντίστροφα, έστω ότι ισχύουν οι (), () Από την () συµπεραίνουµε ότι το Ν είναι υποοµάδα του Μ
4 Κεφάαιο Επειδή τώρα ισχύει η (), θα ισχύουν όα τα αξιώµατα του Ορισµού για το Ν 6 Παράδειγµα () Έστω R ένας δακτύιος Τα R υποπρότυπα του R είναι ακριβώς τα ιδεώδη του R της () Τα Ÿ - υποπρότυπα µιας Αβειανής οµάδας είναι ακριβώς οι υποοµάδες () Έστω F ένα σώµα Τα F- υποπρότυπα ενός F διανυσµατικού χώρου είναι ακριβώς οι υπόχωροί του (v) Έστω F ένα σώµα, V ένας F -διανυσµατικός χώρος και α :V V µια γραµµική απεικόνιση Είδαµε ότι ο V γίνεται ένα F[ x] -πρότυπο µε εξωτερικό ποαπασιαµό που ορίζεται από τη σχέση f ( xv ) = f( a)( v) Τα F[ x] - υποπρότυπα του V είναι ακριβώς οι διανυσµατικοί υπόχωροι U του V που έχουν την ιδιότητα α( U) U (δηαδή οι α-αναοίωτοι διανυσµατικοί υπόχωροι του V ) Από το Λήµµα 5 έπεται άµεσα ότι η τοµή µιας (µη κενής) οικογένειας R- υποπροτύπων ενός R-προτύπου είναι πάι ένα R-πρότυπο Αυτό µας οδηγεί στον επόµενο ορισµό 7 Ορισµός Έστω X ένα υποσύνοο του R-προτύπου Μ Το υποπρότυπο του Μ που παράγεται από το Χ είναι η τοµή όων των υποπροτύπων του Μ που περιέχουν το Χ Αυτό συµβοίζεται µε X 8 Πρόταση Έστω X ένα υποσύνοο του R προτύπου Μ Τότε X n = r x = n Õ, r R x X, Απόδειξη Έστω Α το δεξί µέος της παραπάνω ισότητας Ισχύει Πράγµατι, έστω Ν ένα υποπρότυπο του Μ που περιέχει το Χ Τότε A X x X
Πρότυπα 5 n x N r x N Άρα r x N Συνεπώς r x X = n = Ισχύει X A Πράγµατι το Α είναι υποπρότυπο του Μ (όπως συµπεραίνουµε από το Λήµµα 5) που περιέχει το Χ Το X ως τοµή τέτοιων προτύπων θα περιέχεται στο Α Αν το Χ είναι πεπερασµένο, X { x,, } =, θα συµβοίζουµε το X µε x,, x n ή Rx + + Rx n και θα έµε ότι το X παράγεται από τα x,, x n x m 9 Ορισµός () Ένα R-πρότυπο Μ έγεται πεπερασµένα παραγόµενο αν υπάρχει πεπερασµένο υποσύνοο X µε την ιδιότητα X = (ι) Ένα R-πρότυπο Μ έγεται κυκικό αν παράγεται από κάποιο a, δηαδή αν = a Για παράδειγµα τα κυκικά F υποπρότυπα ενός F διανυσµατικού χώρου (F σώµα) είναι οι υπόχωροι διάστασης και ο τετριµµένος υπόχωρος Σχόιο Όοι οι προηγούµενοι ορισµοί γενικεύουν κατά τρόπο προφανή αντίστοιχες έννοιες της Γραµµικής Άγεβρας Το ίδιο θα συµβεί στην επόµενη παράγραφο Ας µη θεωρηθεί όµως ότι η θεωρία προτύπων είναι αποϊκή γενίκευση της Γραµµικής Άγεβρας! Η δοµή R-προτύπων δεν συγκρίνεται ως προς την πουποκότητα και το µαθηµατικό ενδιαφέρον µε τη δοµή F-διανυσµατικών χώρων Αυτό θα γίνει φανερό στo Κεφάαιο 3, όταν θα µεετήσουµε εεύθερα πρότυπα 2 Οµοµορφισµοί 2 Ορισµός Έστω Μ και Ν δύο R-πρότυπα Μία απεικόνιση φ : N ονοµάζεται οµοµορφισµός R-προτύπων (ή R-γραµµική) αν: () φ ( m + m ) = φ( m) + φ( m ) για κάθε m, m, και () φ ( rm) = rφ( m) για κάθε r R, m
6 Κεφάαιο Ένας οµοµορφισµός R-προτύπων φ : N ονοµάζεται επιµορφισµός (αντίστοιχα µονοµορφισµός) αν ως απεικόνιση η φ είναι επί (αντίστοιχα -) Ισοµορφισµός R-προτύπων είναι ένας οµοµορφισµός που είναι ταυτόχρονα ως απεικόνιση επί - Συµβοισµός: για R-πρότυπα Μ και Ν, γράφουµε Μ Ν όταν υπάρχει ισοµορφισµός N Τότε αυτά έγονται ισόµορφα 22 Παράδειγµα () Αν Μ και Ν είναι R-πρότυπα η µηδενική απεικόνιση m 0 N είναι οµοµορφισµός R-προτύπων Η ταυτοτική απεικόνιση : m m είναι επίσης οµοµορφισµός R-προτύπων () Αν V και W είναι F διανυσµατικοί χώροι (F σώµα), οι οµοµορφισµοί F προτύπων V W είναι ακριβώς οι F-γραµµικές απεικονίσεις V W () Αν G και H είναι δύο Αβειανές οµάδες, οι οµοµορφισµοί Ÿ -προτόπων G H είναι ακριβώς οι οµοµορφισµοί οµάδων G H (v) Έστω R δακτύιος και a R Η απεικόνιση R x ax R είναι οµοµορφισµός R-προτύπων αά όχι γενικά οµοµορφισµός δακτυίων (γιατί;) Έστω φ : N οµοµορφισµός R-προτύπων Ο πυρήνας { a φ( ) 0} ker φ = a = είναι Αβειανή οµάδα Επιπέον είναι R-υποπρότυπο του Μ γιατί a ker φ φ( a) = 0 rφ( a) = 0 φ( ra) = 0 ra ker φ Κατά παρόµοιο τρόπο, η εικόνα του φ είναι R-υποπρότυπο του Ν 23 Πρόταση Έστω φ : Nοµοµορφισµός R-προτύπων Τότε ο φ είναι µονοµορφισµός αν και µόνο αν { 0} ker φ = Απόδειξη Άσκηση Έστω Μ ένα R-πρότυπο και N Θεωρώντας αυτά ως Αβειανές οµάδες, ορίζεται στο πηίκο N = { a + N a } / δοµή Αβειανής οµάδας µε πρόσθεση ( a + N) + ( b + ) = ( a + b) + N Επιπέον τώρα ορίζουµε δοµή R προτύπου θέτοντας r ( a + N) = ra + N Εύκοα αποδείχνεται ότι η σχέση αυτή είναι καά ορισµένη Πράγµατι έχουµε
Πρότυπα 7 a + N = a + N a a N r( a a) = ra ra N ra + N = ra N Η επαήθευση των αξιωµάτων του Ορισµού είναι άµεση Κατ αναογία µε τους διανυσµατικούς χώρους, τις αβειανές οµάδες και τα ιδεώδη, υπάρχουν και εδώ θεωρήµατα ισοµορφισµών Έστω Μ ένα R-πρότυπο και Α, Β υποπρότυπα του Μ Με A + B παράγεται από το υποσύνοο { a + b a A, b B} συµβοίζουµε το υποπρότυπο του Μ που A B (Ορισµός 7) Φυσικά ισχύει A + B = 24 Θεώρηµα ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών Προτύπων: Έστω φ : Nένας οµοµορφισµός R- προτύπων Τότε η απεικόνιση είναι ισοµορφισµός R-προτύπων φ : / N m + N φ( m) Im φ 2ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών Προτύπων: Έστω ότι A, B είναι R-υποπρότυπα του R- προτύπου Μ Τότε υπάρχει ισοµορφισµός R-προτύπων ( A + B) / A B / A B 3ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών Προτύπων: Έστω ισοµορφισµός R-προτύπων Απόδειξη ( A/ C) /( B / C) A/ B A B C R-πρότυπα Τότε υπάρχει ) Όµοια µε την απόδειξη του θεωρήµατος 266 στο Μια Εισαγωγή στην Άγεβρα 2) Η απεικόνιση φ : B ( A + B) / A, φ( b) = b + A = 0 είναι επιµορφισµός R-προτύπων Ισχύει φ { b B b + A = } = A B ker Άρα από το ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών Προτύπων προκύπτει B / A B ( A + B) / A 3) Εφόσον C B η απεικόνιση φ : A/ C A/ B, φ( a + C) = a + B
8 Κεφάαιο είναι ένας καά οριζόµενος επιµορφισµός R-προτύπων Ισχύει kerφ = { a + C a + B = B} = B / C Άρα από το ο Θεώρηµα Ισοµορφισµών R-προτύπων προκύπτει ( A/ C)/( B/ C) A/ B Ίσως είναι η κατάηη στιγµή να εισάγουµε την πρώτη έννοια που ανάογή στους διανυσµατικούς χώρους δεν υπάρχει (ακριβέστερη είναι τετριµµένη) Έστω Μ ένα R-πρότυπο Το σύνοο Ann = { r R ra = 0 για κάθε a } είναι ιδεώδες του R Πράγµατι, () Ann αφού 0 Ann, () r, s AAnn ( r + s) a = ra + sa = 0 για κάθε a και άρα r + s Ann, και () x R, r Ann ( xr) a = x( ra) = 0 για κάθε a και άρα xr Ann Το ιδεώδες Ann ονοµάζεται µηδενιστής του Μ Για διανυσµατικούς χώρους ισχύει βέβαια Ann V = ( 0) Για το Ÿ -πρότυπο Ÿ ισχύει Ann = (m) m Ÿ m 3 Αθροίσµατα Αν Μ και Ν είναι δύο R-πρότυπα τότε το ευθύ γινόµενό τους N είναι το σύνοο N = {( x, y) x, y N} µε πρόσθεση και εξωτερικό ποαπασιασµό που ορίζονται από τις σχέσεις όπου αν ( x, y) + ( x + y ) = ( x + x, y + y ) r ( x, y) = ( rx, ry), x, x, y, yx N και r R Το N είναι ένα R-πρότυπο Πιο γενικά ( ) ( x ) είναι µια οικογένεια R-προτύπων, τότε το σύνοο των ακοουθιών µε x, είναι ένα R-πρότυπο µε πρόσθεση και εξωτερικό ποαπασιασµό που ορίζονται από τις σχέσεις r x rx ( ) Λ = ( ) R-υποπρότυπο του Λ Θα το συµβοίζουµε µε αποτεείται από τις ακοουθίες Έστω ( x ) όπου ) Λ + ( x ) = ( x + x ) ( x, Κατασκευάζουµε τώρα ένα το υποσύνοο του που x = 0 για κάθε Λ εκτός το πού ένα πεπερασµένο πήθος Εύκοα επαηθεύεται ότι αυτό είναι ένα
Πρότυπα 9 υποπρότυπο του και ονοµάζεται ευθύ άθροισµα των Στην ειδική αυτή περίπτωση που το Λ είναι πεπερασµένο σύνοο, έχουµε Έστω ( N ) = µια οικογένεια R-υποπροτύπων του R-προτύπου Μ Θα έµε ότι το Μ είναι το εσωτερικό ευθύ άθροισµα των µοναδικό τρόπο ως άθροισµα της µορφής Στην περίπτωση αυτή θα γράφουµε = N Σηµείωση Η χρήση του συµβόου N αν κάθε πρέπει να δηµιουργεί σύγχυση για τον εξής όγο: αν εσωτερικό ευθύ άθροισµα των υποπροτύπων ευθύ άθροισµα των προτύπων N N N, Λ x γράφεται κατά x = y + + y t, µε y N, t για δύο διαφορετικά πράγµατα δεν N (άσκηση) = N είναι το, τότε το Μ είναι ισόµορφο µε το Αν ) είναι µια οικογένεια R-υποπροτύπων του R-προτύπου Μ, µε συµβοίζουµε το R-υποπρότυπο του Μ που παράγεται από το σύνοο ( N 3 Πρόταση Έστω ) µια οικογένεια R-υποπροτύπων του R-προτύπου Μ Τότε ισχύει () = = N () για κάθε N Απόδειξη Αν Λ ισχύει N x y ( N αν και µόνο αν και y N N µ = 0 µ Λ µ x = y + + y = y + + y = ( y 2 y 2 t t ) + + ( y y t t µε ) y y N τότε N µ µ µ Λ
0 Κεφάαιο Τώρα αν ισχύει η συνθήκη () παίρνουµε συνθήκες της πρότασης, έχουµε µοναδική γραφή της µορφής y = y Συνεπώς, αν ισχύουν οι συνθήκη () Αά και η συνθήκη () ισχύει, γιατί αν y + µ = y + y t y µ = N Αντίστροφα, αν κάθε x έχει x = y + + y t, y N, τότε ισχύει προφανώς η N µ N 0 θα είχαµε µ µε y N, µ, δηαδή θα είχαµε δύο εκφράσεις για το Ας δούµε τώρα συνοπτικά τη σχέση αθροισµάτων προτύπων µε πεπερασµένα παραγόµενα πρότυπα 32 Πρόταση Έστω ότι,,, k είναι R-πρότυπα Αν = + + k και κάθε είναι πεπερασµένα παραγόµενο, τότε και το Μ είναι πεπερασµένα παραγόµενο 2 Αν το Μ είναι πεπερασµένα παραγόµενο και N, τότε και το / N είναι πεπερασµένα παραγόµενο 3 Αν = k και το είναι πεπερασµένα παραγόµενο, τότε κάθε είναι πεπερασµένα παραγόµενο Απόδειξη Έστω ότι το s παράγεται από το πεπερασµένο σύνοο X = { m,, m }, =,, k Είναι σαφές ότι το Μ παράγεται από το σύνοο k X που είναι πεπερασµένο = 2 Αν το Μ παράγεται από τα στοιχεία m,, m s, τότε το / N παράγεται από τα στοιχεία m + N,, m + N s 3 Αυτό έπεται άµεσα από το 2 και την παρατήρηση ότι για κάθε υπάρχει ισοµορφισµός στη θέση 0 k, όπου το µηδενικό πρότυπο υπάρχει
Πρότυπα Σηµείωση Επισηµαίνουµε ότι υποπρότυπο ενός πεπερασµένα παραγόµενου προτύπου δεν είναι αναγκαστικά πεπερασµένα παραγόµενο Ασκήσεις Εξετάστε αν τα - πρότυπα και 2 είναι ισόµορφα Αηθεύει ότι οι δακτύιοι και 2 είναι ισόµορφοι; 2 Αποδείξτε ότι υπάρχει ισoµορφισµός R-προτύπων ( R) R R R R, 2 όπου µε ( ) 2 R συµβοίζουµε το R-πρότυπο των 2 2πινάκων µε στοιχεία από το R 3 Να βρεθούν όοι οι οµοµορφισµοί -προτύπων και στη συνέχεια να βρεθούν όοι οι ισoµοµορφισµοί -προτύπων 4 Έστω ένα R -πρότυπο και φ : ένας R -οµοµορφισµός για τον οποίο ισχύει 2 φ = φ Αποδείξτε ότι = ker φ Imφ 5 Κάθε κυκικό πρότυπο του R είναι ισόµορφο µε ένα πρότυπο της µορφής R / I για κατάηο ιδεώδες I του R 6 Έστω Μ ένα R-πρότυπο και N / N είναι της µορφής L/ N, όπου N L Αποδείξτε ότι κάθε υποπρότυπο του 7 Έστω I ιδεώδες του R Αν είναι ένα R -πρότυπο, ορίζουµε I ως το υποπρότυπο του που παράγεται από το σύνοο { am a I, m } Τότε το / I έχει τη δοµή R / I -προτύπου, όπου ( r + I)( m + I ) = rm + I