1 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 14 A Οµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση 1 + = 1 Είναι = ( 1) Ε.Κ.Π = ( 1) 0 0 και 1 0 0 και 1 (περιορισµοί) 1 + = 1 1 + = 1 1 ( ) ( 1) = ( 1)( + ) = + + + 4 6 = 0 ( + ) = 0 = 0 (απορρίπτεται) ή + = 0 = 4 + 1 = 16, ± 4 = = 1 (απορρίπτεται ) ή
1.ii) Να λύσετε την εξίσωση 4 = 1 + 1 1 Είναι 1 = ( 1)( + 1) Ε.Κ.Π = ( 1)( + 1) 0 1 0 και + 1 0 1 και 1 (περιορισµοί) 4 = + 1 1 1 4 = 1 + 1 ( 1)(+ 1) (+1) ( 1) = 4 + + + = 4 = 0 ( + 1) ( +1) = 0 ( + 1)( + 1 = 0 ) = 0 ή = 0 = 1 (απορρίπτεται) ή = = ή =
. Να λύσετε την εξίσωση ηµ +συν + ηµ = 0 ηµ +συν + ηµ = 0 ηµ + 1 ηµ + ηµ = 0 ηµ ηµ + ηµ 1= 0 ηµ( ηµ + 1) ( ηµ + 1) = 0 ( ηµ + 1)(ηµ 1) = 0 ηµ 1 = 0 ηµ = 1 ηµ = 1 = kπ + 6 π ή = kπ + π 6 π = kπ + 6 π ή = kπ + π, k Z 6.i) Να λύσετε την εξίσωση Περιορισµοί: επειδή = 4 0 0 (1) Από (1) και () έχουµε = 0 0, από την εξίσωση θα είναι και 4 0 0 ().ii) Να λύσετε την εξίσωση = 4 Περιορισµός: 0 = 4 = 16 = 18 = 6.iii) Να λύσετε την εξίσωση 1= 4 Η εξίσωση είναι αδύνατη, αφού 1 0 και 4 < 0, οπότε δεν υπάρχουν τιµές του για τις οποίες οι δύο ποσότητες να είναι ίσες.
4.iv) Να λύσετε την εξίσωση + = + 1 Περιορισµοί: + 0 επειδή + 0, από την εξίσωση θα είναι και + 1 0 1 + = + 1 + = ( + 1) + = + + 1 + = 0 = (απορρίπτεται) ή = 1.v) Να λύσετε την εξίσωση + = 10 + 1 Περιορισµοί: + 0 10 0 10 + = 10 + 1 ( + ) = Περιορισµός: 4 0 4 ( 10 + 1) + = 10 + 10 + 1 8 = 10 4 = 10 (1) (1) ( 4) = 10 8+ 16 = 10 7+ 6 = 0 = 1 (απορρίπτεται) ή = 6
.vi) Να λύσετε την εξίσωση + 0 = 10 Περιορισµοί: 0 0 0 0 + 0 = 10 0 = 10 (1) Περιορισµός: επειδή 0 0, από την εξίσωση () θα είναι και (1) 0 = 10 0 10 100 (10 ) 0 = 100 0 + 0 = 10 = 6 = 6.vii) Να λύσετε την εξίσωση = 8 + Περιορισµοί: 0 0 0 = 8 + = 8 + 6 + 8 = 6 (1) Περιορισµός: επειδή 6 0, από την εξίσωση θα είναι και + 8 0-8 (1) 16 64 6 + + = 0+ 64 = 0 = 4 ή = 16
6.viii) Να λύσετε την εξίσωση 1+ = + 1 Περιορισµός: + 1 0 1 1+ = + 1 1 + = + 1 = (1) Περιορισµός: επειδή 0, από την εξίσωση θα είναι και 0 (1) 4 = 4 = 0 ( 4) = 0 = 0 ή 4 = 0 = 0 ή = 4 4.i ) Να λύσετε την ανίσωση + 1 >0 > 0 ( )( + 1) >0 και 1 (1) + 1 ( )( + 1) = 0 = ή = 1 ( τριώνυµο µε ρίζες και 1) (1) < 1 ή > 4 ii ) Να λύσετε την ανίσωση + 1 0 Πρέπει να είναι τότε + 1 0 ( + 1)( ) 0 (1) ( +1)( 1) = 0 = (1) 1 < 1 1 ή = 1 ( τριώνυµο µε ρίζες 1 και 1)
7 4.iii ) Να λύσετε την ανίσωση + Πρέπει να ισχύει + 0 και 1 Τότε + 0 ( ) ( + ) 0 (1) Οι ρίζες των τριωνύµων του πρώτου µέλους είναι οι, 1,, 1 Το πρόσηµο του γινόµενου ( ) ( + ) φαίνεται παρακάτω 1 1 + πρόσηµο + 0 0 + 0 0 + 0 Από το παραπάνω πίνακα προσήµου και λαµβάνοντας υπόψη και τους περιορισµούς έχουµε ότι (1) < 1 ή 1 <. i) Να λύσετε την ανίσωση + 1 > 4 Πρέπει να ισχύει 1 0 1 τότε + 1 > 4 + 1 4 >0 + 4( 1) >0 1 + 7 1 >0 ( + 7)( 1) >0 (1) ( + 7)( 1) = 0 = 7 ή = 1 τριώνυµο µε ρίζες 1 και 7 (1) 1 < < 7
8.ii) Να λύσετε την ανίσωση 4 + Πρέπει να ισχύει + 0 + 4 4 0 + 4(+ ) + 11 + 0 0 ( 11 )( + ) 0, (1) ( 11 )( + ) = 0 = ή = (1) ή > τριώνυµο µε ρίζες και. iii) Να λύσετε την ανίσωση 1 10 + 0 Πρέπει να ισχύει 1 0 1 τότε 1 10 + 0 + 1 10 ( 1) 0 1 1 0 ( 1)( 1 ) 0, 1 (1) ( 1)( 1 ) = 0 = ή = 4 ή = 1 Το πρόσηµο του γινόµενου ( 1)( 1 ) φαίνεται παρακάτω
9 1 4 + πρόσηµο 0 + 0 0 + Από τον παραπάνω πίνακα έχουµε ότι Η (1) ή 1 < 4. iν) Να λύσετε την ανίσωση 1 Πρέπει να ισχύει 0 και 1 0 και 1 τότε 1 1 0 ( 1) ( ) 0 ( )( 1) 7+ 10 ( )( 1) 0 ( 7 + 10)( )( 1) 0, και 1 (1) ( 7 + 10)( )( 1) = 0 = ή = ή = ή = 1 Το πρόσηµο του γινόµενου ( 7 + 10)( )( 1) φαίνεται παρακάτω 1 + πρόσηµο + 0 0 + 0 0 + Από τον παραπάνω πίνακα έχουµε ότι Η (1) 1 < < ή
10. ν) Να λύσετε την ανίσωση 1 + Πρέπει να ισχύει 1 0 και + 0 1 και τότε 1 + 1 + 0 (+ ) ( 1) 0 ( 1)(+ ) 4+ 0 ( 1)(+ ) ( 4 + )( 1)( + 1) 0, 1 και (1) ( 4 + )( 1)( + ) = 0 = 1 ή = ή = 1 ή = Το πρόσηµο του γινόµενου ( 4 + )( 1)( + ) φαίνεται παρακάτω 1 1 + πρόσηµο + 0 0 + 0 0 + Από τον παραπάνω πίνακα έχουµε ότι Η (1) < ή 1 < 1 ή
11 6. Να λύσετε την ανίσωση 1 + 1 1 ( ) Ε.Κ.Π = ( 1) 0 0 και 1 0 0 και 1 1 + 1 1 Για το τριώνυµο ( ) 1 + : α = 1, δηλαδή θετικό. Η (1) ( + 1) 0 () 0 και 1 (περιορισµοί) 1 + 0 1 1 ( ) 1 + 0 ( 1) 1 + 0 + 1 0 ( + 1) 0 ( + 1)( + 1) 0 (1) Είναι = 1 4 = < 0, άρα είναι οµόσηµο του Το πρώτο µέλος της () είναι τριώνυµο µε ρίζες 1 και 0. Η () 1 ή 0 και λόγω των περιορισµών, 1 ή 0 < < 1 1 ή <
1 B Oµάδας 1.i) Να λύσετε την ανίσωση + < 1 Περιορισµοί: + 0 1 0 1 1 (1) () + < 1 + < 1 < < () Συναλήθευση των (1), (), () < 1.ii) Να λύσετε την ανίσωση > Περιορισµός: 0 (1) α) Όταν < 0 δηλαδή <. () Τότε η δοσµένη ανίσωση επαληθεύεται για κάθε που ικανοποιεί τις (1) και (), δηλαδή <, αφού το πρώτο µέλος είναι 0 και το δεύτερο < 0 β) Όταν 0 δηλαδή. () Τότε η δοσµένη ανίσωση > ( ) > 10+ 11+ 8 < 0 Τριώνυµο µε ρίζες 4 και 7, ετερόσηµο του α = 1, άρα ο είναι εντός των ριζών, δηλαδή 4 < < 7 (4) Συναληθεύουµε τις (1), () και (4), οπότε < 7
1.i) Να λύσετε την εξίσωση + 10 = 0 Περιορισµός: 0 Θέτουµε = y, οπότε = Η εξίσωση γίνεται Άρα = = 4. y και y 0 y + y 10 = 0 y = (απορρίπτεται) ή y =..ii) Να λύσετε την εξίσωση Περιορισµός: 0 + 6 = 0 Θέτουµε Η εξίσωση γίνεται Από την ισότητα = y, οπότε = ( ) = y και y 0 y + y 6 = 0 y = (απορρίπτεται) ή y =. = y έχουµε = = 8.i) Να λύσετε την εξίσωση Περιορισµός: + 4 = + + 0 ή 1 Θέτουµε + = y 0, οπότε Η εξίσωση γίνεται y = y + 4 = y Περιορισµός: Επειδή y 0, θα είναι και y 0 δηλαδή y Η εξίσωση ( y ) = y y 4y+ 4= y y y+ 4= 0 y = 1 (απορρίπτεται) ή y = 4 Η ισότητα + = y + = 4 + 6 = 0 = ή =
14.ii) Να λύσετε την εξίσωση 1+ 4= + 4 Περιορισµοί: 1 0 1 4 0 4 + 4 0 4 Συναλήθευση 4 (1) ( 1+ 4) = ( + 4) 1 + 1 4 + 4 = + 4 1 4 = 9 (A) Επειδή 1 4 0, θα είναι και 9 0 9 () Η εξίσωση (A) = 4 + 780 = 784 = ± 784 ± 8 = = ή 6 6 ( 1 4) = (9 ) 4( 1)( 4) = 81 18 + 4 16 4 + 16 = 81 18 + 6 = 0 1 ( απορρίπτεται λόγω των (1), ()) 4.i) Να λύσετε την εξίσωση 1 = α Περιορισµός: 1 0 1 Επειδή 1 0, θα είναι και α 0. Η εξίσωση 1 = α = 1 + α 4.ii) Να λύσετε την εξίσωση Επειδή 4 + 1 = λ 4 + 1 > 0, θα είναι και λ > 0 (1) Η εξίσωση 4 +1 = ( λ ) 4 +1 = 4 4λ + 4λ = λ 1 () α) Όταν λ = 0, η () γίνεται 0 = 1 αδύνατη λ
1 β) Όταν λ 0 η () γίνεται = λ 1 4λ (1) λ 1 4λ λ > 0 λ 1 λ λ > 0 λ 1 λ > 0 λ λ 1 > 0 λ ( λ + 1) > 0 λ < 0 λ. 4 Να λύσετε την εξίσωση ηµ ηµ συν ηµ + 4= 0 4 ηµ ηµ συν ηµ + 4= 0 4 ηµ ηµ (1 ηµ ) ηµ + 4= 0 4 ηµ ηµ + ηµ ηµ + 4= 0 4 ηµ ηµ + ηµ ηµ + 1= 0 Θέτουµε ηµ = y, οπότε η εξίσωση γίνεται 4 y y + y y+ 1= 0 Πιθανές ακέραιες ρίζες, οι διαιρέτες 1, -1 του σταθερού όρου. 1 1 1 1 1 1 0 Η εξίσωση γίνεται (y 1)( y y + y 1) = 0 (y 1) y( y + 1) ( y + 1) = 0 (y 1)( y + 1)(y 1) = 0 y 1 = 0 ή y 1 = 0 y = 1 ή y = 1 α) για y = 1 έχουµε ηµ = 1 = κπ + π, κ Z β) για y = 1 έχουµε ηµ = 1 ηµ = ηµ 6 π = κπ + 6 π π π ή = κπ + π = κπ +, κ Z 6 6
16