ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΗΣ ΕΞΑΝΤΛΗΣΗΣ Ιστορικά στοιχεία Οι αρχαίοι Έηες μέσα από τη Γεωμετρία έθεσα τις βάσεις για το σηματικότερο εργαείο της αθρώπιης όησης (Τα Μαθηματικά). Ειδικότερα μέσα από τη Γεωμετρία, επιόησα και τεειοποίησα τη «Μέθοδο της εξάτησης» πού είαι ο πρόδρομος του σημεριού Οοκηρωτικού Λογισμού. Πρωτοπόροι της μεθόδου αυτής είαι ο Ιπποκράτης ο Χίος (470 40 π.x.) στο οποίο ο Εύδημος αποδίδει, αά κάτι τέτοιο ήτα μάο αδύατο για τη εποχή αυτή, το παρακάτω θεώρημα: «t g r Ómoia tîn kúklwn tm»mata prõj llhl stin æj t põ tîn b sewn tetr gwna, diòti kaˆ oƒ Ómoioi kúkloi prõj ll»louj e sˆn æj t põ tîn diamštrwn tetr gwna». «Ο όγος τω εμβαδώ ομοίω κυκικώ τμημάτω είαι ίσος με το όγο τω τετραγώω τω βάσεω τους» Όπως υποστηρίζει ο Εύδημος, ο Ιπποκράτης απέδειξε το θεώρημα δείχοτας ότι ο όγος τω εμβαδώ δύο κύκω, είαι ίσος προς το όγο τω τετραγώω τω διαμέτρω τους. Η απόδειξη αυτή απαιτεί κάποια διαδικασία εξάτησης, αά δε έχουμε τίποτα το οποίο α μας επιτρέπει α συμπεράουμε ότι κατείχε έα τέτοιο εργαείο. Η απόδειξη που ααφέρεται στο βιβίο ΧΙΙ. τω Στοιχείω του Ευκείδη, οφείεται μάο στο Εύδοξο, ο οποίος έζησε μετά από το Ιπποκράτη και πρι από το Ευκείδη. Πάτως ο Ιπποκράτης είαι ο πρώτος στη ιστορία τω μαθηματικώ πού έκαε το τετραγωισμό μιας καμπυόγραμμης επιφάειας (τετραγωισμός τω μηίσκω Ο Δημόκριτος (460 70 π.χ.) ο οποίος ήτα πού υπερήφαος για τα μαθηματικά του έγοτας ότι ούτε οι «αρπεδοάπτες» της Αιγύπτου δε το ξεπερούσα, φαίεται ότι είχε ασχοηθεί με μαθηματικά προβήματα τα οποία απαιτούσα κάποιο είδος απειροστικής ατιμετώπισης. Ιστορικά επιβεβαιωμέο είαι πάτως ότι πατέρας της «Μεθόδου της εξάτησης» είαι ο Εύδοξος ο Κίδιος (408-55 π.χ.), ο οποίος εκτός από τους υποογισμούς του Musaios, Εύδημος, Fragment 40, line 74 G. Loria, Ιστορία τω Μαθηματικώ Τομ., Μετάφραση Μ.Κ. Κωβαίου, Ε.Μ.Ε, σε. 60. C. Boyer, A History of Mathematics, New York, John Wiley & Sons 968, σε. 00.
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc όγκου της τριγωικής πυραμίδας και του όγκου του κόουρου κώου, στο Δωδέκατο Βιβίο τω Στοιχείω του Ευκείδη απέδειξε ότι: ) (Πρόταση ) Oƒ kúkloi prõj ll»louj e sˆn æj t põ tîn diamštrwn tetr gwna Ο όγος τω εμβαδώ δύο κύκω με διαμέτρους δ, Δ είαι ίσος με το όγο. ) (Πρόταση 5) Aƒ ØpÕ tõ aùtõ Ûyoj oâsai puram dej kaˆ trigènouj œcousai b seij prõj ll»laj e sˆn æj aƒ b seij. Aƒ ØpÕ tõ aùtõ Ûyoj oâsai puram dej kaˆ polugènouj œcousai b seij prõj ll»laj e sˆn æj aƒ b seij. Δύο πυραμίδες ( τριγωικές και μετά πουγωικές ) με ίσα ύψη είαι αάογες τω βάσεω τους. ) (Πρόταση 6) P n pr sma tr gwnon œcon b sin diaire tai e j tre j puram daj saj ll»laij trigènouj b seij coúsaj. Κάθε τριγωικό πρίσμα διαιρείται σε τρεις ισοδύαμες τριγωικές πυραμίδες. 4) Ο όγος δύο ομοίω τριγωικώ πυραμίδω αάγεται σε όγο παραηεπιπέδω, για α αποδειχθεί (Πρόταση 8) ότι ισούται με το κύβο του όγου δύο ομοόγω ακμώ τους. Aƒ Ómoiai puram dej kaˆ trigènouj œcousai b seij prõj ll»laj n triplas oni lògj e sˆ tîn ÐmolÒgwn pleurîn. 5) Στη (Πρόταση ) αποδεικύεται ότι α δύο κώοι (ή κύιδροι) έχου ίσα ύψη, τότε είαι αάογοι τω βάσεω τους. Oƒ ØpÕ tõ aùtõ Ûyoj Ôntej kînoi kaˆ kúlindroi prõj ll»louj e sˆn ïn aƒ b seij. 6) Τέος στη (Πρόταση 7) αποδεικύεται ότι Aƒ sfa rai prõj ll»laj n triplas oni lògj e sˆ tîn d wn diamštrwn. «ο όγος τω όγκω δυο σφαιρώ με ακτίες, είαι ίσος με το όγο
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Αξίωμα Ευδόξου Αρχιμήδη Α δοθού δύο άισα μεγέθη Α Β του ίδιου είδους τότε υπάρχει θετικός ακέραιος τέτοιος ώστε Α Β Από το αξίωμα τω Αρχιμήδη Ευδόξου προκύπτει μία πρόταση η οποία αποτεεί τη βάση της μεθόδου της εξάτησης. Α από έα μέγεθος αφαιρέσουμε έα τμήμα μεγαύτερο ή ίσο από το μισό του, και από το υπόοιπο αφαιρέσουμε τμήμα πάι μεγαύτερο ή ίσο του μισού του και α η διαδικασία αυτή τω αφαιρέσεω συεχιστεί, θα καταήξουμε σε μέγεθος μικρότερο από οποιοδήποτε προκαθορισμέο μέγεθος του ίδιου είδους. Η πρόταση αυτή τη οποία θα αποκαούμε «ιδιότητα της εξάτησης» μπορεί α διατυπωθεί με σύγχροους όρους ως εξής: Έστω Μ έα μέγεθος και ε έα προκαθορισμέο μέγεθος του ίδιου είδους και ρ έας ρητός αριθμός τέτοιος ώστε ρ, τότε υπάρχει θετικός ακέραιος Ν τέτοιος ώστε, M ρ ε για καθε θετικο ακέραιο N. Δηαδή η «ιδιότητα της εξάτησης» είαι ισοδύαμη με τη πρόταση limm ρ 0. Θα αποδείξουμε εδώ τη παρακάτω πρόταση από τα Στοιχεία του Ευκείδη (Στοιχεία XII.) σε εφαρμογή της «Μεθόδου της Εξάτησης» Ο όγος τω εμβαδώ δύο κύκω με διαμέτρους δ, Δ είαι ίσος με το όγο δ Δ Απόδειξη Έστω οι κύκοι c, C με εμβαδά α, Α και διαμέτρους δ, Δ ατίστοιχα. Θέουμε α δείξουμε ότι α δ =, οπότε αρκεί α δείξουμε ότι δε ισχύου οι δύο A Δ άες δυατές περιπτώσεις, α δ > A Δ και α δ < A Δ. Ας υποθέσουμε ότι α δ > A Δ, τότε θα υπάρχει α α τέτοιο ώστε α δ A Δ. ()
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Έστω α α ε 0 εγγράφουμε καοικά πούγωα με εμβαδά p, P στους κύκους c, C. Διπασιάζουμε τις πευρές τω καοικώ πουγώω, άρα θα αφαιρέσουμε από τα εδιάμεσα εμβαδά περισσότερο από το μισό τους. Οπότε σύμφωα με τη ιδιότητα της εξάτησης, τα εδιάμεσα εμβαδά με διαδοχικούς διπασιασμούς τω αριθμώ τω πευρώ μπορού α εαττωθού μέχρι α είαι α p ε. Αφού όμως Γωρίζουμε όμως ότι α α ε 0, θα είαι και p = P δ Δ p α (). και όγω της () θα είαι α p, οπότε όγω της () A P θα πρέπει P A άτοπο, γιατί το P είαι το εμβαδό εός καοικού πουγώου εγγεγραμμέου σε κύκο με εμβαδό Α. Όμοια αποδεικύεται ότι δε ισχύει η α δ <, και έτσι το θεώρημα αποδείχτηκε. A Δ Η πρόταση πού αποδείξαμε προηγουμέως είαι το πρώτο θεώρημα για μεγέθη καμπυόγραμμω σχημάτω, και δίει επάξια στο Εύδοξο, το τίτο του πατέρα του οοκηρωτικού ογισμού. Αρχιμήδης Πέρασε περίπου έας αιώας από τη εποχή πού έζησε ο Εύδοξος για α εμφαιστεί ο Αρχιμήδης (87 π.χ.). Από το έργο του, θα ααφερθούμε ε συτομία σε εκεία στα οποία καταδεικύεται η τεράστια επίδραση που είχε το έργο του σε όους τους μεταγεέστερους θεμειωτές του Οοκηρωτικού Λογισμού. Α. Στο έργο του Περί Σφαίρας και Κυίδρου α και β αάμεσα σε ποά άα έχει αακαύψει και αποδείξει ότι: ) Πρόταση : PantÕj kul ndrou Ñrqoà ¹ pif neia cwrˆj táj b sewj sh stˆ kúklj, oá ¹ k toà kšntrou mšson lògon œcei táj pleur j toà kul ndrou kaˆ táj diamštrou táj b sewj toà kul ndrou. Πατός ορθού κυίδρου η επιφάεια χωρίς τη βάση είαι ίση με κύκο, του οποίου η ακτία είαι μέση αάογος της πευράς του κυίδρου (του ύψους) και της διαμέτρου της βάσης του κυίδρου. ) Πρόταση 4 : P shj sfa raj ¹ pif neia tetraplas a stˆ toà meg stou kúklou tîn n aùtí. Ε. Σ. Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπατα, Τόμος Α, Μέρος Β, Έκδοση Τεχικού Επιμεητηρίου, Αθήα 970, σε. 48. 4 Ε. Σ. Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπατα, Τόμος Α, Μέρος Β, Έκδοση Τεχικού Επιμεητηρίου, Αθήα 970, σε. 4. 4
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Η επιφάεια κάθε σφαίρας είαι τετραπάσια του μεγίστου κύκου αυτής. (Σχήμα ) ) Πρόταση 4 5 : P sa sfa ra tetraplas a stˆ kènou toà b sin mn œcontoj shn tù meg stw kúklj tîn n tí sfa rv, Ûyoj d t¾n k toà kšntrou táj sfa raj. Κάθε σφαίρα είαι τετραπάσια του κώου πού έχει βάση ίση με το μέγιστο κύκο της σφαίρας, και ύψος ίσο με τη ακτία της. Πορίσματα: Prodedeigmšnwn d toútwn fanerõn Óti p j kúlindroj b sin mn œcwn tõn mšgiston kúklon tîn n tí sfa rv, Ûyoj d son tí diamštrj táj sfa raj, ¹miÒliÒj sti táj sfa raj kaˆ ¹ pif neia aùtoà met tîn b sewn ¹miol a táj pifane aj táj sfa raj 6. Αφού απεδείχθησα αυτά είαι φαερό ότι κάθε κύιδρος που έχει βάση το μέγιστο κύκο της σφαίρας, και ύψος ίσο με τη διάμετρο της σφαίρας, είαι τα / του όγκου της σφαίρας, και η κυρτή επιφάεια αυτού μαζί με τις βάσεις είαι επίσης τα / της επιφάειας της σφαίρας. Έτσι συέκριε το εμβαδό και το όγκο μίας σφαίρας και εός κυίδρου ο οποίος ήτα περιγεγραμμέος γύρω από αυτή. Το διάγραμμα (Σχήμα ) του φημισμέου αυτού θεωρήματος, έχει χαραχθεί στο τάφο του που βρίσκεται στη Σικεία. Σχήμα Β. Στο έργο του Περί τω Μηχαικώ Θεωρημάτω, προς το Ερατοσθέη Έφοδος (Μέθοδος), απατά στο ερώτημα: Με ποιες διαισθητικές μεθόδους έφταε στο προσδοκώμεο αποτέεσμα, ώστε α εφαρμόζει μετά για τη απόδειξη τη μέθοδο της 5 Ε. Σ. Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπατα, Τόμος Α, Μέρος Β, Έκδοση Τεχικού Επιμεητηρίου, Αθήα 970, σε. 8. 6 Στο ίδιο σε. 4. 5
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc εξάτησης; Εκεί περιγράφει συστηματικά πως αακάυψε με τη μηχαική μέθοδο τα αποτεέσματα, και πως τα απέδειξε στη συέχεια γεωμετρικά. `Orîn dš se, kaq per lšgw, spouda on kaˆ filosof aj proestîta xiològwj kaˆ t¾n n to j maq»masin kat tõ Øpop pton qewr an tetimhkòta dok masa gr yai soi kaˆ e j tõ aùtõ bibl on xor sai tròpou tinõj diòthta, kaq' Ón soi parecòmenon œstai lamb nein form j e j tõ dúnasqa tina tîn n to j maq»masi qewre n di tîn mhcanikîn. Toàto d pšpeismai cr»simon e nai oùd n Âsson kaˆ e j t¾n pòdeixin aùtîn tîn qewrhm twn. Kaˆ g r tina tîn pròteròn moi fanšntwn mhcanikîj Ûsteron gewmetrikîj pede cqh di tõ cwrˆj pode xewj e nai t¾n di toútou toà tròpou qewr an toimòteron g r sti prolabònta di toà tròpou gnîs n tina tîn zhthm twn por sasqai t¾n pòdeixin m llon À mhdenõj gnwsmšnou zhte n 7... «Βέπω σε σέα όπως έχω ήδη πει έα σπουδαίο περί τη φιοσοφία και έχοτα τιμήσει τη μαθηματική έρευα, έκρια ορθό α σου εκθέσω σε αυτό το βιβίο και α καθορίσω μέθοδο, η οποία θα σου δίει τη δυατότητα α εξετάζεις μερικές μαθηματικές προτάσεις δια της μηχαικής. Είμαι δε πεπεισμέος ότι αυτό δε είαι ιγότερο χρήσιμο και από τη απόδειξη τω ίδιω τω θεωρημάτω. Διότι μερικά από αυτά τα οποία απέδειξα προηγουμέως μηχαικά αποδείχθηκα και γεωμετρικά, διότι είαι ευκοότερο α βρει καείς δια της μηχαικής μεθόδου κάτι για τα προβήματα αυτά και μετά α βρει τη γεωμετρική απόδειξη, παρά α ερευά χωρίς α ξέρει τίποτα προηγουμέως» `Hm n d sumba nei kaˆ toà nàn kdidomšnou qewr»matoj t¾n eûresin Ðmo an ta j pròteron gegenásqai ºboul»qhn d tõn tròpon nagr yaj xenegke n ma m n kaˆ di tõ proeirhkšnai Øp r aùtoà, m» tisin dokîmen ken¾n fwn¾n katabeblásqai, ma d kaˆ pepeismšnoj e j tõ m qhma où mikr n n sumbalšsqai cre an Øpolamb nw g r tinaj À tîn Ôntwn À piginomšnwn di toà podeicqšntoj tròpou kaˆ lla qewr»mata oüpw ¹m n sunparapeptwkòta eør»sein. «Συμβαίει σε μέα η εύρεση του εκδιδομέου θεωρήματος α έχει γίει όπως τα προηγούμεα και ήθεα α περιγράψω τη μέθοδο αυτή για τη οποία έχω ομιήσει και προηγουμέως, για α μη φαεί ότι έμε κεά όγια και ότι είμαι πεπεισμέος ότι δε προσφέρω μικρότερη υπηρεσία στα μαθηματικά. Νομίζω ότι μερικοί από τους συγχρόους μου και τους μεταγεέστερους θα βρου και άα θεωρήματα με το τρόπο αυτό.» Ο Αρχιμήδης από το πρόογο του έργου του Τετραγωισμός ορθογωίου κώου τομής (παραβοής) είχε αρχίσει α υπαιίσσεται πως είχε συάβει τα κυριότερα αποτεέσματα γράφοτας: 'Anagr yantej oân aùtoà t j pode xiaj postšllomej prîton m n æj di tîn mhcanikîn qewr»qh, met taàta d kaˆ æj di tîn gewmetroumšnwn pode knutai 8. Ααγράψατες οιπό του προβήματος αυτού τας αποδείξεις τας αποστέομε πρώτο με τας δια τω μηχαικώ μεθόδω, κατόπι δε πως έγιε η απόδειξις δια τω γεωμετρικώ μεθόδω. 7 Ε.Σ. Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπατα, Τόμος Β, Έκδοση Τεχικού Επιμεητηρίου, Αθήα 97, σε. 86. 8 Ε.Σ. Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπατα, Τόμος Β, Έκδοση Τεχικού Επιμεητηρίου, Αθήα 97, σε. 0. 6
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Γεική Περιγραφή της Μεθόδου της Εξάτησης Η βασική ιδέα όπως είδαμε είαι α προσεγγίσει το ζητούμεο εμβαδό Ε ή όγκο V με εγγεγραμμέα και περιγεγραμμέα σχήματα χωρία ο Βήμα Ορίζει εμβαδά ή όγκους ε, εγγεγραμμέω χωρίω και εμβαδά ή όγκους E, περιγεγραμμέω χωρίω της ζητούμεης επιφάειας ή του όγκου. Τότε θα ισχύει: ε E E, () ο Βήμα Ματεύει όπως είπαμε με «μηχαικό» τρόπο έα αριθμό C, τέτοιο ώστε: ο Βήμα ε C E, () Αποδεικύει ότι για κάθε ε 0 υπάρχει συμπεραίει στο τέος ότι E C τέτοιο ώστε E ε ε και Η απόδειξη του συμπεράσματος γίεται με τη μέθοδο της «εις άτοπο απαγωγής» Έστω C E Τότε για ε C E θα υπάρχει τέτοιο ώστε E ε Από τις σχέσεις () και () έχουμε ε E C E, C E () Επομέως: ε E C E ε C E E E ε C E C E E ε C E (άτοπο) Έστω C E Τότε για ε E C θα υπάρχει τέτοιο ώστε E ε Από τις σχέσεις () και () έχουμε ε C E E, E C () Επομέως: ε C E E ε E E C C ε E C E C E ε E E (άτοπο) Οπότε τεικά E C 7
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Εφαρμογή (Μέθοδος της εξάτησης σε σύγχροη διατύπωση) 9 Θα δείξουμε ότι το εμβαδό Ε του χωρίου που περικείεται από τις και τις ευθείες x 0 και x ( 0)είαι ίσο με E y x,y 0 ο Βήμα Χωρίζουμε το διάστημα 0, σε ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους ( ) άκρα τα σημεία: x0 0,x,x,...,x,x Δx με Τα εσωτερικά ορθογώια έχου βάσεις ίσες με υ0 0,υ,...,,υ ( ), Δx και ύψη Εώ τα εξωτερικά ορθογώια έχου βάσεις ίσες με υ,...,,υ. Δx και ύψη Το άθροισμα τω εμβαδώ τω εσωτερικώ ορθογωίω είαι ε υ0 υ... υ... ( ) Το άθροισμα τω εμβαδώ τω εξωτερικώ ορθογωίω είαι Ε υ υ... υ... Επομέως ε Ε Ε ο Βήμα Ματεύουμε ότι C δηαδή ε Ε Ο Αρχιμήδης ματεύει το αριθμό αυτό με τη «μηχαική» μέθοδο, εμείς θα το δούμε διαφορετικά. Από τη ταυτότητα... 6 έχουμε 9 «Διδακτική και Μεθοδοογία τω Μαθηματικώ» Βασιείου Ν. Γεωργίου 8
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc... ( ) 6 και..., ακόμα 6 ( )... ( ), 6 6 Επομέως ε Ε ή ε Ε ο Βήμα Θα αποδείξουμε ότι κάθε ε 0 υπάρχει τέτοιο ώστε E ε ε Είαι E ε (... ) Από το θεώρημα Ευδόξου τέτοιο ώστε (... ( ) ) Αρχιμήδη για τους θετικούς αριθμούς ε ε.,ε υπάρχει Επομέως για κάθε ε 0 υπάρχει τέτοιο ώστε E ε ε, άρα ε E Γ. Στο έργο του Τετραγωισμός ορθογωίου κώου τομής (παραβοή), υπάρχει έα από τα πιο χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμογής της Μεθόδου της εξάτησης. ) Πρόταση 4 0 : P n tm ma tõ periecòmenon ØpÕ eùqe aj kaˆ Ñrqogwn ou kènou tom j p tritòn sti trigènou toà t n aùt n b sin œcontoj aùtù kaˆ Ûyoj son. Πα τμήμα περιεχόμεο υπό ευθείας και παραβοής είαι τα τέσσερα τρίτα του τριγώου που έχει τη ίδια βάση προς αυτό και ίσο ύψος. Απόδειξη 0 Ε.Σ. Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπατα, Τόμος Β, Έκδοση Τεχικού Επιμεητηρίου, Αθήα 97, σε. 60. 9
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Σχήμα Ας είαι E το εμβαδό του τμήματος της παραβοής που θέουμε α τετραγωίσουμε και Μ το μέσο της ΑΒ (Σχήμα ). Από το Μ φέρουμε παράηο προς το άξοα της παραβοής που τέμει τη παραβοή στο Γ, υποθέτουμε T το εμβαδό του τριγώου ΑΒΓ. Από τα μέσα, τω πευρώ ΑΓ και ΒΓ φέρουμε παράηες προς τη ΜΓ που τέμου τη παραβοή στα σημεία,. Αποδεικύεται ότι 4 T. Διχοτομώτας τα έα ευθύγραμμα τμήματα και φέροτας παράηες προς το άξοα της παραβοής θα τεικά προκύψει τεικά ότι: E = T + 4 T + 4 T +... + n 4 T () Mε σύγχροους όρους θα έγαμε ότι το δεύτερο μέος της () είαι έα άθροισμα απείρω όρω γεωμετρικής προόδου με όγο οπότε 4 E = 4 T. Ο Αρχιμήδης, όμως, δε κατέχει τη έοια «άπειρο άθροισμα τω όρω φθίουσας γεωμετρικής προόδου» μιας Ηξερε όμως : ) Πρόταση : E ka megšqea teqšwnti xáj n tù tetraplas oni lògj, t p nta megšqea kaˆ œti toà lac stou tõ tr ton mšroj j tõ aùtõ sunteqšnta p trita ssoàntai toà meg stou. Ε.Σ. Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπατα, Τόμος Β, Έκδοση Τεχικού Επιμεητηρίου, Αθήα 97, σε. 58. 0
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Εά υπάρχωσι μεγέθη εις συεχή φθίουσα γεωμετρική πρόοδο με όγο έ τέταρτο και όα τα μεγέθη προστεθώσι και εις το άθροισμα προστεθή το έ τρίτο του μικρότερου όρου, το συοικό άθροισμα θα είαι τα τέσσαρα τρίτα του μεγίστου όρου. Ο Αρχιμήδης παίρει έα μερικό άθροισμα (άθροισμα τω πέτε πρώτω όρω) και 4 αποδεικύει ότι διαφέρει από το T κατά έα πού μικρό μέγεθος T 4. Ο Αρχιμήδης ξέρει ότι α πάρει περισσότερους όρους, το έο άθροισμα θα διαφέρει από το 4 T κατά έα πού μικρότερο μέγεθος. Δηαδή με σύγχροους όρους: Για κάθε 4 θετικό ακέραιο ε, υπάρχει έα μερικό άθροισμα το οποίο διαφέρει από το T κατά έα μέγεθος μικρότερο του ε. Το οποίο σημαίει ότι αυτό το άπειρο άθροισμα ισούται με 4 T. Στο τεευταίο στάδιο της απόδειξης όπως το κάει συχά, ο Αρχιμήδης αποδεικύει με διπή άτοπο απαγωγή, ότι το E δε μπορεί α είαι ούτε μικρότερο ούτε μεγαύτερο από το 4 T. Το εμβαδό για παράδειγμα τμήματος της παραβοής y x και της ευθείας y θα είαι 4, οπότε το χωρίο που περικείεται από τη παραβοή και τις ευθείες x 0 και x, θα είαι. Δηαδή με σύγχροους όρους x dx. 0 Δ. Πρόταση : P shj sfa raj ¹ pif neia tetraplas a stˆ toà meg stou kúklou tîn n aùtí. Η επιφάεια κάθε σφαίρας είαι τετραπάσια του μεγίστου κύκου αυτής. (Σχήμα ) Ε. Σ. Σταμάτη, Αρχιμήδους Άπατα, Τόμος Α, Μέρος Β, Έκδοση Τεχικού Επιμεητηρίου, Αθήα 970, σε. 4.
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Απόδειξη α) Θα χρειαστούμε το τύπο, E π R r (), που δίει το εμβαδό της παράπευρης επιφάειας, εός κόουρου κώου ακτίω R,r και γεέτειρας. β) Θα υποογίσουμε το εμβαδό του σφαιρικού τμήματος που προκύπτει από τη 0 περιστροφή του τόξου ΜΑΝκατά 60 περί τη ΑΔ. γ) Χωρίζουμε το τόξο ΜΑΝ σε n ίσα τόξα μήκους το καθέα (Σχήμα ), και φέρουμε τις χορδές Γ Γ, Ε Ε,..., Μ Μ, οι οποίες είαι κάθετες στη διάμετρο ΑΔ στα σημεία Ξ, Π,, Β ατίστοιχα. Θέτουμε ΓΞ y, ΕΠ y,..., MB y n. Το εμβαδό του σφαιρικού τμήματος που παράγεται προσεγγίζεται από το άθροισμα τω εμβαδώ τω εσωτερικώ κόουρω κώω, που προκύπτου από τη περιστροφή της γραμμοσκιασμέης επιφάειας, η οποία όγω της () θα είαι, E π y y yn y n () Στη συέχεια ο Αρχιμήδης εώει τις απέατι διαγώιες κορυφές όπως φαίεται στο σχήμα. Έστω Φ το σημείο τομής τω ΞΠ, ΓΕ, τότε από τη ισότητα τω τριγώω ΑΓΞ, ΦΞ Γ, προκύπτει ότι ΑΞ = ΞΦ = x, όμοια ΦΠ = x,..., ΖΛ x n, ΒΛ x n. Το ορθογώιο τρίγωο ΑΓΔ είαι όμοιο με κάθε έα από τα ορθογώια τρίγωα, ΑΓΞ, ΦΕΠ,..., ΛΒΜ, οπότε:
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc άρα, x y x y x y x x x x x y n n x n yn ΓΔ, n n y y yn yn ΓΔ ΓΔ. Αφού όμως x x xn xn AB η () γράφεται, E π ΓΔ AB Α τώρα το n, τότε 0 οπότε E 4πR. σφαίρας Παρατήρηση: Επειδή ο αριθμός τω πευρώ του παραπάω πουγώου είαι n α υποθέσουμε ότι το τόξο ΜΑΝ είαι α rad, τότε ισχύει: y y yn yn α Rsin n άρα ο Αρχιμήδης μπορούσε α υποογίσει το Για R= έχουμε, α sin n α n α sin sin n n A ποαπασιάσουμε και τα δύο μέη με άθροισμα του Riemann για τη συάρτηση f(x) α α lim cosα cot cosα, θα ισχύει, n n n 0 α α n α Rsin Rsin n n n k sinkω. nα sin n α n sinxdx cosα. sinα cosα α cot. n, τότε το πρώτο μέος είαι έα sinxστο διάστημα 0, α, και αφού Ε. Στο έργο του Περί κωοειδέω και σφαιροειδέω βρήκε το εμβαδό της έειψης, και μας έδειξε το τρόπο για α υποογίσουμε το όγκο τω σχημάτω τα οποία σχηματίζοται από τη τομή επιπέδω καθέτω στο άξοα συμμετρίας επιφαειώ, οι οποίες γειούται από τη περιστροφή μίας έειψης, μίας παραβοής ή εός κάδου μιας υπερβοής. Στις ύσεις χρησιμοποιεί τη μέθοδο της εξάτησης, με έα τρόπο ο οποίος προσεγγίζει βαθύτερα το σύγχροο ορισμό του ορισμέου οοκηρώματος ως εξής. Εγγράφει και περιγράφει στο τμήμα που θέει α υποογίσει, στερεά σχήματα, «κυίδρους» ή «κόουρους κώους» τα οποία διαφέρου όσο θέει, οπότε κάει τη διαφορά αυτή τόσο μικρή όσο χρειάζεται για α υποογίσει το τμήμα που παρεμβάεται. ) Στις προτάσεις 9-, ασχοείται με το πραγματικό σκοπό της πραγματείας, δηαδή με τη μεέτη του όγκου τω τμημάτω (ορθώ ή κεκιμέω) τω δύο κωοειδώ και τω σφαιροειδώ ατίστοιχα.
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc Επειδή η διαδικασία υποογισμού τμημάτω κομμέω από «παραβοοειδή» μοιάζει πού με τη σύγχροη οοκήρωση, θα περιγράψουμε τη παρακάτω περίπτωση. Όγκος παραβοοειδούς = Όγκος κυίδρου (Σχήμα ) Σχήμα α) Χωρίζει το ΟΒ σε n ίσα μέρη μήκους h, άρα OB n h β) Χωρίζει το όγκο σε εσωτερικούς και εξωτερικούς κυίδρους κάθε έας από τούς οποίους έχει όγκο V πkh με k,,, n. k γ) Ας συμβοίσουμε με V(I), V(J) το άθροισμα τω όγκω τω εσωτερικώ και εξωτερικώ κυίδρω ατίστοιχα και V το όγκο του κυίδρου, τότε έχουμε και VI V h... (n ) O V J h... n V O n n < () n n > () Α συμβοίσουμε με το όγκο του παραβοοειδούς και υποθέσουμε ότι 4
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc > V, τότε μπορούμε α επιέξουμε n τέτοιο ώστε > V(I) > V, άτοπο όγω της (). Α υποθέσουμε ότι < V, τότε μπορούμε α επιέξουμε n τέτοιο ώστε < V(J) < V, άτοπο όγω (). Οπότε τεικά = V. Με σύγχροους όρους και συμβοισμούς θα έγαμε. Έστω η παραβοή y x, 0 x α. Χωρίζουμε το διάστημα [0, α] σε n ίσα υποδιαστήματα x i,x i, i =,,...,n, με 0 xo x... xn α, και θα έχουμε V(I) n i y i h n i xh i και V(J) y x, i n i i y i h n i xh i Τα οποία είαι το αώτερο και το κατώτερο άθροισμα Riemann για το οοκήρωμα α α πxdx V, δηαδή xdx α 0 0 5
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc 6
ο Γεικό Λύκειο Ηρακείου Αδρέας Πατερής MSc 7