ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 xpeiments ae the only means o knowledge. Anyothe is poety and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Σε µια πρώτη παρουσίαση του θέµατος δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell στο κενό (δηλαδή έξω από διηλεκτρικό και µαγνητικό υλικόαλλά παρουσία πηγών (δηλαδή φορτία και ρεύµατα. 1. Νόµος του Gauss (για το q 1 ds = = ρ dv ε ε s V ολοκληρωµατική µορφή ρ = ε (1 διαφορική µορφή x Σ ε καρτεσιανές συντεταγµένες : x + y y + z z = ρ ε Η φυσική σηµασία του νόµου του Gauss είναι ότι συνδέει το Ηλεκτρικό πεδίο, µε τις πηγές του τα φορτία. Αναφέρει ότι η ηλεκτρική ροή προς τα έξω δια µέσου της κλειστής επιφάνειας s, ισούται µε το φορτίο q που περιλαµβάνεται µέσα στην s. Νόµος Coulomb: Ισχύει η ισοδυναµία: 1 q = 2 $ 4πε Νόµος Gauss + Συµµετρία Νόµος Coulomb Ο όρος συµµετρία σηµαίνει ότι ορίζεται επιφάνεια s, κλειστή, σε κάθε σηµείο της οποίας το διάνυσµα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθετο στην s, και έχει σταθερό µέτρο. Οι ηλεκτρικές δυναµικές γραµµές έχουν αρχή και τέλος. Ξεκινούν από θετικά φορτία και καταλήγουν σε αρνητικά. 2. Νόµος του Gauss (για το ds = ολοκληρωµατική µορφή Σε καρτεσιανές συντεταγµένες: s = (2 διαφορική µορφή x + + = y z x y z Κατά αντιστοιχία προς το νόµο του Gauss για το ηλεκτρικό πεδίο είναι λάθος να καταλήξουµε στο συµπέρασµα ότι δεν υπάρχουν πηγές του µαγνητικού πεδίου.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 8 Υπάρχουν πηγές όπως θα δούµε παρακάτω. Η φυσική σηµασία της σχέσης (2 είναι «η µη ύπαρξη µεµονωµένων µαγνητικών πόλων». Οι δυναµικές γραµµές του µαγνητικού πεδίου είναι κλειστές. εν έχουν αρχή και τέλος. 3. Γενικευµένος νόµος του Ampee: dφ dl = µ ( i+ ε dt c ολοκληρωµατική µορφή = µ ( j + ε (3 διαφορική µορφή µε i = j d s : ένταση ηλεκτρικού ρεύµατος. Σε καρτεσιανές συντεταγµένες i$ $ j k$ = µ ( j + ε x y z x y z z y y x y x i$ $ j k$ ( j y z x y + x y = µ + ε Η φυσική σηµασία της σχέσης (3 είναι ότι πηγές µαγνητικού πεδίου είναι ή κινούµενα ηλεκτρικά φορτία (ρεύµατα ή χρονικά µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά πεδία. 4. Νόµος του Faaday dφ dl = dt c όπου Φ = ds s ολοκληρωµατική µορφή = (4 διαφορική µορφή Σε καρτεσιανές συντεταγµένες : i$ $ j k$ x y z x y z x y i$ $ z = j k$ z y z x y i$( $( j k$ x ( = + = y z x z x y
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 9 Η φυσική σηµασία της σχέσης (4 είναι ότι πηγές του ηλεκτρικού πεδίου είναι και τα χρονικά µεταβαλλόµενα µαγνητικά πεδία. Το σύστηµα των τεσσάρων εξισώσεων αποτελεί τις εξισώσεις του Maxwell. Παρακάτω δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell σε διάφορες συνθήκες. 1. Εξισώσεις του Maxwell στο κενό χωρίς πηγές (ρ=,= j = ( 1 = ( 2 = ε µ ( 3 = ( 4 (ρ, 2. Εξισώσεις του Maxwell στο κενό µε πηγές j ρ = ( 1 ε = ( 2 = µ ( j + ε ( 3 = ( 4 (Συµµετρία (Ασυµµετρία Από διαίσθηση θα περίµενε κανείς συµµετρία στις εξισώσεις του Maxwell και στην περίπτωση που υπάρχουν πηγές. Θα περίµενε δηλαδή την παρακάτω µορφή: ρ = ( 1 ε ρm = ( 2 k 1 (Άρση ασυµµετρίας = µ ( j + ε ( 3 j m 1 = µ ( ( 4 k µ 2 όπου ρ m και j m «πυκνότητες» µαγνητικού φορτίου και ρεύµατος αντίστοιχα (k 1,k 2 σταθερές. Μια τέτοια γραφή των εξισώσεων του Maxwell δεν αποτελεί τίποτε περισσότερο παρά τη θεωρητική πρόβλεψη του µαγνητικού µονόπολου. Μέχρι σήµερα όλα τα πειράµατα και οι έρευνες έχουν δώσει αρνητικά αποτελέσµατα. Μαγνητικό µονόπολο δεν έχει αποµονωθεί. Η έλλειψη συµµετρίας δεν είναι µόνο θέµα αισθητικής των εξισώσεων του Maxwell. Με επιχειρήµατα της κβαντικής
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 1 θεωρίας της ηλεκτροδυναµικής ο Diac έδειξε ότι η ύπαρξη µαγνητικού φορτίου θα εξηγούσε γιατί το ηλεκτρικό φορτίο είναι κβαντισµένο. 3. εξισώσεις του Maxwell στην ύλη µε πηγές Όπως είναι γνωστό, στην περίπτωση υλικού µε διηλεκτρικές και µαγνητικές ιδιότητες ορίζονται τα µεγέθη της ηλεκτρικής µετατόπισης D και της µαγνητικής διέγερσης H,που δίνονται από τις σχέσεις : D = ε + P H = M µ όπου P η πόλωση και M η µαγνήτιση του υλικού. Μέσα στην ύλη υπάρχουν ελεύθερα φορτία - ρ ee - καθώς και δέσµια φορτία - ρ bound - Το άνυσµα D συνδέεται µε την πυκνότητα των ελεύθερων φορτίων - ρ ee -, ενώ το µε όλα τα φορτία ρ ee +ρ bound.οι εξισώσεις του Maxwell έχουν τη µορφή: D = ρ ee (1 = (2 D H = jee + (3 = (4 Ο όρος D αποτελεί το λεγόµενο ρεύµα µετατόπισης. Για την περίπτωση που το µέσο είναι οµογενές και ισότροπο ισχύει : D = εε H = µµ όπου µ: η µαγνητική διαπερατότητα και ε: η διηλεκτρική σταθερά του µέσου αντίστοιχα. Αν ληφθεί υπόψη ο νόµος του Ohm : j ee =σ, όπου σ η αγωγιµότητα του µέσου, τότε οι παραπάνω εξισώσεις παίρνουν τη µορφή: ρ ee = (1 ε = (2 = µµ σ + εε µµ (3 = (4
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 11 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1.Η εξίσωση (4 για το ηλεκτρικό πεδίο αναλύεται σε τρεις αλγεβρικές εξισώσεις των x, y, z. Όµως οι εξισώσεις αυτές είναι γραµµικά εξαρτηµένες. Από κάθε συνδυασµό δύο εξ αυτών, προκύπτει η τρίτη. Απαιτείται λοιπόν µια επιπλέον εξίσωση που είναι η (1, για να ορισθεί µονοσήµαντα το (θεώρηµα Helmholtz. Αντίστοιχα ισχύουν για το µαγνητικό πεδίο. 2.Θα µπορούσε να διατυπώσει κανείς το εξής ερώτηµα: «Κοιτάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις του Maxwell, γιατί λέµε ότι χρονικά µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά (ή µαγνητικά πεδία προκαλούν µαγνητικά (ή ηλεκτρικά πεδία και δεν λέµε ότι χωρικά µεταβαλλόµενα ηλεκτρικά (ή µαγνητικά πεδία προκαλούν µαγνητικά (ή ηλεκτρικά πεδία;» Κατ αρχήν, είναι πειραµατικά διαπιστωµένο ότι µεταβαλλόµενα ή δηµιουργούν ή αντίστοιχα. εύτερον, οι σχέσεις (3,(4 δεν εννοούν ότι χωρικές µεταβολές των ή δηµιουργούν ή αλλά ότι τα ή είναι στροβιλά (,.Ας θεωρήσουµε το ηλεκτρικό πεδίο ενός ακίνητου, q σηµειακού φορτίου ( = $ 2. Πράγµατι, ενώ οι παράγωγοι του είναι 4ε π διάφορες από το µηδέν, είναι = (αστρόβιλο πεδίο. Κατά συνέπεια από την (4, οι χωρικές µεταβολές του δεν δηµιουργούν. Τα µόνα στροβιλά πεδία που ξέρουµε είναι αυτά που συνδέονται µε χρονικά µεταβαλλόµενα µαγνητικά πεδία κατά την (4. Επεκτείνετε τους συλλογισµούς σας και για τη σχέση (3 θεωρώντας ένα στατικό µαγνητικό πεδίο και διερευνήστε αν µπορεί να προκαλέσει πεδίο. ώστε µια πιο ολοκληρωµένη απάντηση χρησιµοποιώντας τον ορισµό και τις ιδιότητες αστρόβιλου πεδίου της σελίδας 3. Εξίσωση της συνέχειας Στη µελέτη ηλεκτροµαγνητικών φαινοµένων, συνήθως, οι παραπάνω τέσσερις εξισώσεις «συµπληρώνονται» από την εξίσωση της συνέχειας : v j = ρ t η οποία αποτελεί µια µαθηµατική διατύπωση της αρχής διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου. Στην πραγµατικότητα η εξίσωση της συνέχειας εµπεριέχεται στις εξισώσεις του Maxwell, όπως φαίνεται στην άσκηση 1. Ο µαθηµατικός φορµαλισµός των εξισώσεων Maxwell Το γεγονός ότι το πρώτο µέλος των εξισώσεων Maxwell περιέχει την απόκλιση και τον στροβιλισµό του ηλεκτρικού και του µαγνητικού πεδίου είναι κάτι αναµενόµενο από το θεώρηµα του Helmholtz, αφού η γνώση π.χ των και x αρκεί, υπό κάποιες προϋποθέσεις βέβαια, για την γνώση του. Πρέπει να τονισθεί
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 12 ότι η εµφάνιση του εσωτερικού και του εξωτερικού γινοµένου του διανυσµατικού τελεστή ανάδελτα ( x + y + z µε τα πεδία στις εξισώσεις Maxwell, x y z υποκρύπτει βαθύτερο φυσικό περιεχόµενο που σχετίζεται µε µια θεµελιώδη ιδιότητα του χώρου, αυτή της ισοτροπίας. Ακόµη περισσότερο, η έκφραση των εξισώσεων µε την βοήθεια του είναι αναµενόµενη καθώς στον ισότροπο χώρο όπου εφαρµόζονται οι εξισώσεις του Maxwell η ισοδυναµία των διευθύνσεων µαθηµατικά σηµαίνει ότι οι χωρικές παράγωγοι,, θα πρέπει να εµφανίζονται ισότιµα x y z και συµµετρικά στις αντίστοιχες εξισώσεις που εκφράζουν τους φυσικούς νόµους. Πρέπει να σηµειωθεί περαιτέρω ότι η µαθηµατική έκφραση των εξισώσεων Maxwell µέσω εσωτερικού και εξωτερικού γινοµένου διανυσµάτων είναι συµβατή µε την ισοτροπία του χώρου, που απαιτεί το αναλλοίωτο των φυσικών νόµων σε στροφές. Πράγµατι το εσωτερικό γινόµενο είναι µονόµετρο µέγεθος που παραµένει αναλλοίωτο σε στροφές, ενώ το εξωτερικό γινόµενο είναι διανυσµατικό µέγεθος (συναλλοίωτο όπως λέγεται των δύο διανυσµάτων που το παράγουν δηλ. οι συνιστώσες του αλλάζουν όπως οι συνιστώσες ενός διανύσµατος κατά την περιστροφή του συστήµατος συντεταγµένων. Σηµειώστε ότι το γεγονός ότι ένας φυσικός νόµος ή µία φυσική σχέση µπορεί να εκφραστεί µέσω µίας διανυσµατικής εξίσωσης µας εξασφαλίζει ότι η σχέση παραµένει αναλλοίωτη όταν στρέφεται το σύστηµα συντεταγµένων. Το αναλλοίωτο στην στροφή αποτελεί στην ουσία και τον µαθηµατικό ορισµό του ανύσµατος και παράλληλα τον βασικό λόγο που τα διανύσµατα είναι τόσο χρήσιµα στην φυσική. Βέβαια στην περίπτωση των εξισώσεων Maxwell έχουµε το εσωτερικό και το εξωτερικό γινόµενο των ανυσµατικού τελεστή µε τα πεδία και. Μία άλλη βασική ιδιότητα του χώρου είναι η οµογένεια ( ισοδυναµία όλων των σηµείων του. ιαπιστώστε ότι οι εξισώσεις Maxwell δεν αλλάζουν µε µεταφορά στον χώρο από ένα σηµείο σε ένα άλλο. Συµπερασµατικά οι εξισώσεις Maxwell όπως εκφράζονται µέσω των σχέσεων o και x διατηρούν την µορφή τους σε στροφές και µεταφορές όπως αναµένεται λόγω της ισοτροπίας και οµογένειας του χώρου. Η µορφή τους είναι επίσης συµβατή µε την οµογένεια του χρόνου καθόσον οι χρονικές παράγωγοι των και δεν µεταβάλλονται σε µεταφορές στον χρόνο δηλ. οι εξισώσεις του Maxwell παραµένουν αναλλοίωτες σε µεταφορά της αρχής του χρόνου.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 13 AΣΚΗΣΕΙΣ 1. ιαπιστώστε ότι η εξίσωση της συνέχειας µπορεί να προέλθει από τις εξισώσεις του Maxwell. Πράγµατι είναι: D = ρ (1 = (2 D H = j + (3 = (4 ( D ρ D ρ ( 1 = = (1 ( 3 ( 1 ( = + D = H j j t + ρ t ρ οπότε j + = εξίσωση συνέχειας (5 Ιστορικά η πορεία που ακολουθήθηκε ήταν η αντίστροφη. Με δεδοµένο ότι η αρχή της συνέχειας (διατήρηση του φορτίου είναι πειραµατικά διαπιστωµένη, παρουσιάζεται αντίφαση σε σχέση µε τη γραφή των εξισώσεων Maxwell για στατικά πεδία. Πράγµατι η σχέση που συνδέει το µαγνητικό πεδίο µε το ρεύµα για την περίπτωση στατικών πεδίων είναι η : H = j (6. Παίρνοντας την απόκλιση στην (6 έχουµε: H = j =, που αντίκειται στην (5. Ο Maxwell για να άρει αυτή την ασυνέπεια εισήγαγε έναν επιπλέον όρο χ στην (6 που παίρνει τη µορφή: H = j + x (7 Παίρνοντας την απόκλιση πάλι έχουµε: = j + x και λόγω της (5 ρ ee = x. Συγκρίνοντας την τελευταία εξίσωση µε την (1 προκύπτει: D = x (8 Ο όρος D, που όπως φαίνεται από τις εξισώσεις έχει διαστάσεις ρεύµατος, ονοµάσθηκε ρεύµα µετατόπισης. Με την πειραµατική διαπίστωση ότι χρονικά µεταβαλλόµενα µαγνητικά πεδία δηµιουργούν µαγνητικά (και αντίστροφα η σχέση (8 απέκτησε το φυσικό της περιεχόµενο. Γενικά το σύστηµα των 1,2,3,4 και 5 εξισώσεων είναι αυτό που ελέγχει τη συµπεριφορά χρονικά µεταβαλλόµενων πεδίων.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 14 2. Σχολιάστε τη φράση «η εξίσωση = t». = µπορεί να προκύψει από την εξίσωση Υπόδειξη: Από την = έχουµε ( = ( Επειδή ( = ( = Θεωρώντας όλες τις παραγώγους του συνεχείς, θα έχουµε : ( ( = = ανεξάρτητο του t. Αυτό σηµαίνει ότι το = C( x, y, z. Λαµβάνοντας υπόψη C( x, y, z= (διερευνήστε τις συνέπειες µιας τέτοιας επιλογής καταλήγουµε ότι =. Ένα άλλο ενδιαφέρον σηµείο είναι ότι αν ξεκινήσουµε από στατικά πεδία, όπου η απουσία χρονικής εξάρτησης εξαφανίζει την αλληλοσύνδεση µεταξύ και,δηλαδή όταν =, τότε δεν προκύπτει η σχέση =. ρ µπορεί να προκύψει από την εξίσωση ε = µ ( j + ε». Υπόδειξη: Από την = µ ( j + ε έχουµε ( ( = µ ( j + ε = µ ( j + ε ρ j = ( ρ ( = j + ε = + ε 3. Σχολιάστε τη φράση «η εξίσωση = ( ρ + ε( = ( ρ + ε( = C( x, y, z = + ρ ε C( x, y, z = Οι ( = και = αποτελούν το λεγόµενο 1 ο ζεύγος των εξισώσεων ρ του Maxwell. Οι = και = µ ( j + ε αποτελούν το λεγόµενο 2ο ε ζεύγος των εξισώσεων του Maxwell. Γενικό συµπέρασµα που βγαίνει είναι ότι οι εξισώσεις του Maxwell εµφανίζουν γραµµική εξάρτηση. Μόνο δύο από αυτές µπορούν να θεωρηθούν γραµµικά ανεξάρτητες.
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 15 4. υϊσµός (Duality Ηλεκτροµαγνητικού πεδίου. ιαπιστώστε ότι σε χώρο ελεύθερο φορτίων και ρευµάτων, οι εξισώσεις Maxwell ικανοποιούνται επίσης από τα πεδία : = k = kµµ H ( a, H = kd = kεε (β. Απόδειξη Για ρ = o και j = οι εξισώσεις Maxwell γράφονται : D = ( 1, = ( 2 D H = ( 3 και = ( 4 Επίσης έχουµε λόγω των (α και (β τα εξής: = µµ H = kµµ D = kεε µµ (γ D = εε = kεε= kεε µµ H (δ Θα είναι : ( δ ( 2 D ( kεε = kεε D = ( 1 ( γ ( 1 ( kµµ D = kµµ D = ( 2 ( β ( 4 H ( kεε = kεε kεε ( D D ( δ H = ( 3 D ( a ( 3 ( kµµ H = kµµ H kµµ ( γ = ( 4 Στο Σχήµα 6 επιδεικνύονται ζεύγη δυαδικών πεδίων. Σχήµα 6