Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin τους σχηματίζουν την ολική στροφορμή του συστήματος:. Με εξαίρεση το άτομο του υδρογόνου, τα άτομα έχουν πολλαπλά ηλεκτρόνια, έστω Ν, οπότε η συνολική τροχιακή στροφορμή δίδεται ως L = L... LN. Άθροισμα ( r p).. Η μαγνητική ροπή του ηλεκτρονίου, μ, προέρχεται όχι μόνο από την τροχιακή στροφορμή, L, μέσω του γνωστού μ L, αλλά και από το σπιν, S, για το οποίο επίσης ισχύει μ S. Η συνολική μαγνητική ροπή, επομένως, εξαρτάται από το άθροισμα L S. 3. Υπάρχουν συστήματα, όπως π.χ. το φορτισμένο π μεσόνιο π = ( ud ), που αποτελούνται από δυο σωμάτια, ένα quark (το u) και ένα antiquark (το d ), με spin /. Το σπιν του πιονίου δίδεται από το άθροισμα των δύο σπιν, S S. Σε ότι ακολουθεί εξετάζουμε το άθροισμα δύο στροφορμών και. Χρησιμοποιούμε το σύμβολο, αντί του L ή του S για να δείξουμε ότι τα αποτελέσματά μας είναι ανεξάρτητα από το αν πρόκειται για τροχιακή στροφορμή ή ιδιοστροφορμή (σπιν).. Ιδιότητες της ολικής στροφορμής Έστω, λοιπόν, δυο στροφορμές, και, και το άθροισμά τους, =. Οι συνιστώσες της ολικής στροφορμής, δίδονται, προφανώς, από τις σχέσεις i = i i, i = x, y, z. Θα εξετάσουμε την άλγεβρα των τελεστών του, ξεκινώντας από την άλγεβρα των και, για τις οποίες, εξ ορισμού, εφόσον είναι στροφορμές, θα ισχύουν οι σχέσεις x, y i z και x, = y = iz Επιπλέον, όλες οι συνιστώσες του μετατίθενται με όλες τις συνιστώσες του : i, k = 0 ik, επειδή οι δύο τελεστές Ĵ και Ĵ δρουν σε δύο διαφορετικούς, ανεξάρτητους χώρους. (Αν πάρουμε την i k αναπαράσταση στο χώρο, τότε η Ĵi έχει παραγώγους ως προς τις μεταβλητές θ, φ και η τις θ φ, οπότε είναι προφανές ότι οι παράγωγοι μετατίθενται μεταξύ τους)., Το πρώτο βήμα είναι να δείξουμε ότι ισχύει η γνωστή άλγεβρα της στροφορμής:, = i x y z Ĵ k (9.) (9.) ως προς (9.3)
Αυτό είναι πολύ εύκολο:,,,, = = = i x y x x y y x y x y z Είναι εξίσου εύκολο να δείξουμε ότι και οι άλλες δύο σχέσεις μετάθεσης ισχύουν:, y z i x, = z x = i y (9.5) Επομένως, η όντως συμπεριφέρεται ως «στροφορμή», και άρα πληρεί όλες τις ιδιότητες που έχουμε αποδείξει ως τώρα: α) i, = 0 για i = x, y, z β) Οι τρεις συνιστώσες της ( i ) (9.4) δεν μετατίθενται μεταξύ τους. Άρα μπορούμε να γνωρίζουμε συγχρόνως μόνο το μέτρο της ( ) και μέχρι μία συνιστώσα (έστω την z ). γ) Αν οι κοινές ιδιοκαταστάσεις των, z είναι,, τότε θα ισχύει = =,, και z,, όπου και ακέραιοι, με. Το ζητούμενο είναι να υπολογίσουμε τους και, και τις καταστάσεις, δεδομένων των (ανεξάρτητων) καταστάσεων, και, των δύο στροφορμών. Ο ορισμός των καταστάσεων της κάθε στροφορμής είναι προφανής:, =, και, =, (9.6) z, =, και, =, (9.7) z Είναι εύκολο να δείξουμε ότι το γινόμενο των δύο καταστάσεων είναι και ιδιοκατάσταση του Ĵ z :,, =, ;, (9.8),, =,, =,,,, =,,,, =,, z z z z z με ιδιοτιμή ( ) (9.9). Επομένως, το γινόμενο,, αποτελεί ιδιοκατάσταση της ολικής Ĵ ( ) στροφορμής στον άξονα z, με ιδιοτιμή z. Το ίδιο, ωστόσο, δεν ισχύει για την Ĵ, δηλ. η,, δεν είναι και ιδιοκατάσταση της Ĵ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ, =, = 0 οι τελεστές Ĵ και Ĵ δεν μετατίθενται με τον : z z (9.0)
, z, z 0 (9.) Η σχέση (9.0) αποδεικνύεται ως εξής: υπολογίζοντας τον μεταθέτη στην πρώτη σχέση της (9.0), έχουμε:,,, = = =, = 0 (9.) Αφού ξέρουμε ότι για κάθε στροφορμή, η Ĵ μετατίθεται με τις συνιστώσες της, δηλ. :, k με k =,, 3 (ή x, y, z) (9.3) Αυτό ωστόσο δεν είναι δυνατό για τις προβολές των και, λόγω της (9.), η οποία αποδεικνύεται ως εξής: z, z, = = z, (9.4) Ο τελευταίος μεταθέτης δεν είναι μηδέν: z, z, x e z, x y e y z, = z ez = iyex ixe y (9.5) και άρα z, = i ( yx xy ) 0 Η αντίστοιχη σχέση ισχύει για τις άλλες δύο συνιστώσες, δηλ. x, 0 και y, 0 Επομένως, έχουμε δυο μη συμβατές δυνατότητες: (9.6) (9.7) α) να γνωρίζουμε την προβολή του κάθε σωματιδίου, δηλ. να ξέρουμε ότι η ιδιοκατάσταση είναι,, (9.8) β) να γνωρίζουμε την ολική στροφορμή και προβολή του συνολικού συστήματος, δηλ. να ξέρουμε ότι η ιδιοκατάσταση είναι,,, (9.9) Οι (α) και (β) αναφέρονται στο ίδιο μεν σύστημα, ωστόσο περιγράφουν διαφορετικές καταστάσεις, δηλ. ανάγονται σε διαφορετικές μετρήσεις του συστήματος: η (α) μετράει την προβολή του κάθε σωματιδίου, έχοντας γνώση των,, ενώ η (β) μετράει την ολική στροφορμή και την προβολή της,. Επιπλέον, δεν μπορούμε να γνωρίζουμε συγχρόνως τις δύο προβολές και την ολική στροφορμή και την προβολή της.. Συντελεστές Clebsch-Gordan Υπάρχουν ( ) καταστάσεις στην περιγραφή (9.8) και προφανώς θα πρέπει, αντίστοιχα, να υπάρχουν τόσες καταστάσεις και στην περίπτωση (9.9). Επιπλέον, εφόσον αναφερόμαστε σε Ερμιτιανούς τελεστές, θα πρέπει να μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ως βάση του χώρου οποιοδήποτε εκ των δυο συνόλων καταστάσεων. Ειπωμένο διαφορετικά, θα πρέπει αν υπάρχουν σταθερές c τέτοιες 3
ώστε να μπορούμε να εκφράσουμε τις καταστάσεις (β) ως γραμμικούς συνδυασμούς των καταστάσεων (α):,,, = " C",,, (9.0) Το άθροισμα και οι σταθερές " ", θα πρέπει να φέρουν δυο δείκτες,, για να καλύψουν όλο το χώρο που περιγράφουν οι την κάθε τιμή των και γράφουμε: C, και,. Επειδή οι δείκτες. Επιπλέον, οι σταθερές αυτές θα είναι διαφορετικές για και είναι οι ίδιοι στις δύο πλευρές της εξίσωσης,, C (9.) Η βιβλιογραφία, δυστυχώς, χρησιμοποιεί όλους τους πιθανούς τρόπους συμβολισμού των σταθερών με τέσσερις δείκτες. Έτσι, συναντώνται όλα τα ακόλουθα: C, C, C, ;, ; C ; C, (9.) όπου οι δυο τελευταίες μορφές «υπονοούν» τα, που εμφανίζονται στην αριστερή πλευρά της έκφρασης (9.0). Στο παρόν κείμενο, επιλέγουμε τις ακόλουθες δυο μορφές: C, και C, ;, (9.3) ανάλογα με το πόσο «φορτωμένη» είναι η μαθηματική έκφραση στην οποία θα χρησιμοποιηθούν. Έτσι λοιπόν, έχουμε:, ;, = C, ;, ;, (9.4) Οι σταθερές του αναπτύγματος υπολογίζονται εύκολα παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο με την κατάσταση,,, και κάνοντας χρήση της ορθοκανονικότητας της βάσης: C Έτσι, παίρνουμε από τις (9.4) και (9.5):,,,, ;, = δ δ (9.5),,,, ;, = C, ; = C, ;, (9.6) δ δ Οι συντελεστές C(, ;, ) λέγονται «συντελεστές Clebsch-Gordan». Ξεκινώντας με το Ĵ x έχουμε: x, x,x y z x, y x, = = z = y x, y x, y y z x, z x, z = i i i i = 0 y z z y y z z y (9.7) Οι αντίστοιχες σχέσεις ισχύουν για τις άλλες δύο συνιστώσες. Άρα μπορούμε να προσδιορίσουμε συγχρόνως τη φυσική ποσότητα και τις δύο φυσικές ποσότητες,. Ας δούμε ένα απλό παράδειγμα υπολογισμού των (, ;, ) C : έστω δύο σωμάτια χωρίς spin με τροχιακή στροφορμή = = και με ολική στροφορμή, (το είναι η προβολή στον άξονα z ). 4
Μέτρηση των L z και L z δίνει, προφανώς, έναν από τους τέσσερεις δυνατούς συνδυασμούς:,. Η πιθανότητα εμφάνισης των τιμών,, αν γνωρίζουμε τα,, είναι ( =± =± ) Έστω τώρα ότι P =,,,, ; ; (9.8) =. Οι δυνατές καταστάσεις ολικής στροφορμής είναι Ποια είναι η πιθανότητα μέτρησης των (, ), ;,, ; =, 0;, (9.9), ;, αν = ; Εφόσον = =, υπάρχουν μόνο δυο δυνατότητες: =, = 0 και = 0, =. Άρα γενικά έχουμε: C, ;, = C, ;, 0, ;, 0, ;0,, 0;, =, = = C, 0 C 0,,0 0, (9.30) η δεύτερη εξίσωση είναι η ίδια απλώς έχουμε ελαφρύνει το συμβολισμό γράφοντας λιγότερους δείκτες (θυμόμαστε, ωστόσο, την τιμή της κάθε στροφορμής ( = = ). Πρέπει λοιπόν να βρούμε τους συντελεστές C ορίζονται ως εξής:, C,0 0, για τους οποίους ισχύει η ταυτότητα: Δρώντας με τον. Αυτό γίνεται με χρήση των τελεστών ανάβασης και κατάβασης, οι οποίοι ± = ± i (9.3) ± x y Ĵ, = ±, ± (9.3) Ĵ στην (9.30) έχουμε: Ĵ =, = =. Επομένως 0 ( ) C ( ),0 C 0, = 0,0 0, 0 C 0, C, 0= 0,0 0, C C, = 0 C =C,0 0,,0 0, (9.33) Η κανονικοποίηση της κατάστασης δίνει, ;, = C,0 = C,0 = (9.34) Και έτσι, τελικά έχουμε =, = ; =, = = =, = ; = ; = 0 =, = 0; = ; = η οποία γράφεται και συμβολικά ως εξής: (9.35) =, = ; =, = = (9.36) 5
Το παράδειγμα αυτό επιδεικνύει τα βασικά χαρακτηριστικά της όλης μεθόδου: οι καταστάσεις με συγκεκριμένη ολική στροφορμή και μία προβολή της, είναι γραμμικές συνδυασμοί των καταστάσεων με συγκεκριμένες προβολές. Οι συντελεστές του αναπτύγματος βρίσκονται μέσω της χρήσης των τελεστών ανάβασης και κατάβασης. Προτού εξετάσουμε το πως υπολογίζομε γενικά τους συντελεστές Clebsch-Gordan, θα βρούμε όλες τις επιτρεπτές τιμές της ολικής στροφορμής,, και της προβολής της σε ένα άξονα,, δεδομένων των, και,. 3. Σχέση μεταξύ των, και των, και, Η μέγιστη δυνατή τιμή του, έστω ax, υπολογίζεται εύκολα: εφόσον ισχύει = (9.37) Συμπεραίνουμε ότι ax =. Και εφόσον η μέγιστη δυνατή τιμή οποιασδήποτε συνιστώσας μίας στροφορμής είναι ο δείκτης της στροφορμής,, η μέγιστη δυνατή τιμή της στροφορμής είναι ax =. Η ελάχιστη δυνατή τιμή της στροφορμής μπορεί να υπολογιστεί από το γεγονός ότι ο ολικός αριθμός των καταστάσεων πρέπει να είναι ο ίδιος, είτε χρησιμοποιούμε τη βάση, είτε τη βάση, των καταστάσεων στις δύο βάσεις δίνει. Αν το παίρνει τιμές στο διάστημα [, ] =, τότε η ισότητα του συνολικού αριθμού in ax ax ( ) = ( )( ) (9.38) = in Με λίγη άλγεβρα παίρνουμε in =. Περίληψη: προσθέτοντας δύο στροφορμές,, παίρνουμε συνολικό που έχει ως δυνατές τιμές όλες τις τιμές που ανήκουν στο διάστημα,, δηλ. οποιαδήποτε τιμή από τις,,...,. Προφανώς, κάθε τιμή του μπορεί να έχει n = διαφορετικές τιμές των, δηλ. σε διαφορετικές προβολές στον άξονα z. Παράδειγμα: έστω δυο τροχιακές στροφορμές =, = in =, ax = 3 =,,3. Οι δε καταστάσεις συγκεκριμένης ολικής στροφορμής και προβολής της είναι = : =,0, n = 3 = : =,, 0,, n = 5 = 3: =3,,...,, 3 n = 7 3 (9.39) Και επομένως υπάρχουν συνολικά 3 5 7 = 5 καταστάσεις. Όταν γνωρίζουμε τις προβολές της κάθε στροφορμής, η = έχει 5 δυνατές καταστάσεις, τις =,,...,, ενώ η = έχει 3 δυνατές καταστάσεις, τις =,0,. Ο δε συνδυασμός τους έχει 3 5 = 5 καταστάσεις. Άρα ίσες! 4. Περίληψη 6
Όταν έχουμε δύο στροφορμές, και, π.χ. επειδή έχουμε δύο σωματίδια, μπορούμε να προσδιορίσομε συγχρόνως το μέγεθος της κάθε ορμής, και, όπως επίσης και τις δύο προβολές ως προς ένα άξονα, έστω τον z, δηλαδή τους κβαντικούς αριθμούς και. Υπενθυμίζομε ότι αυτό σημαίνει ότι το ένα σωμάτιο έχει ολική στροφορμή και προβολή = = (9.40),z και αντίστοιχα, το δεύτερο σωμάτιο έχει = =,z (9.4) Μπορούμε, αντί των και να μετρήσουμε την συνολική στροφορμή των δύο σωματίων, όπως επίσης και την προβολή της,. Μαθηματικά, αν = (9.4) και η συνολική στροφορμή «είναι» και η προβολή της «είναι», δηλ. αν = = (9.43) Τότε τα και, πληρούν τις σχέσεις: (α) το παίρνει όλες τις τιμές από έως. (β) το, όπως κάθε προβολή της στροφορμής, παίρνει τιμές από έως. (γ) το πάντα ισούται με το άθροισμα των δύο επιμέρους προβολών, δηλ. =. z 5. Παράδειγμα υπολογισμού των συντελεστών Clebsch-Gordan: δύο σπιν ½ Θεωρούμε δύο σωματίδια με σπιν /: s = s = / οπότε s = 0 ή. Θα ξεκινήσουμε από την περίπτωση s = s ax = όπου =±, 0 και ax =. Είναι προφανές ότι η τιμή = = μπορεί να επιτευχθεί μόνο με έναν τρόπο: = / και = /. Επομένως ισχύει: Δρώντας τώρα με τον τελεστή κατάβασης S = S S παίρνομε: s=, = =,, = (9.44) Ŝ s =, = = s =, = 0 (9.45) και έτσι βρίσκουμε: (S S ), =,,,, (9.46) Προσέξτε την ανακριβή φρασεολογία: λέγοντας ότι «το μέγεθος της ορμής είναι εννοούμε ότι = ( ) Απλώς, από τη στιγμή που ο δείκτης δίνει το μέγεθος του ανύσματος της στροφορμής, ποιητική αδεία λέγε «η στροφορμή είναι.. 7
s =, = 0 =,,,, = ( ) (9.47) Ακόμα ένας βηματισμός (δηλ. εφαρμογή του τελεστή κατάβασης) θα μας δώσει : s =, = =,, = (9.48) Είναι προφανές ότι το τελευταίο αποτέλεσμα μπορεί να παραχθεί απ ευθείας όπως το (9.44): ο μόνος τρόπος να έχουμε = = είναι = και =. Αυτό είναι γενικό συμπέρασμα: όταν είμαστε σε κατάσταση με s = s s, ο μόνος συνδυασμός που δίνει = =ss είναι =s και =s. Θα μπορούσαμε μάλιστα να χρησιμοποιήσουμε αυτό το συνδυασμό ως αφετηρία και ακολούθως να χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή ανάβασης S = S S για να εξαντλήσουμε όλες τις τιμές του. Το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο. Εκείνο που απομένει είναι να εκφράσουμε την τέταρτη κατάσταση s= 0, = 0 ως γραμμικό συνδυασμό των ιδιοκαταστάσεων των Ŝ και Ŝ. Εφόσον = 0, υπάρχουν δυο δυνατότητες: =, = και =, = : z z s = 0, = 0 = α,, β,, Δρώντας με τον Ŝ και στις δυο πλευρές παίρνουμε: ( S ) ( S S S) O = α β = α β = α β α = β Κανονικοποιώντας, α β = α =. Και τέλος s = 0, = 0 =,,,, = ( ) 6. Παράδειγμα υπολογισμού των συντελεστών Clebsch-Gordan: πρόσθεση δύο = Παράδειγμα: πρόσθεση δυο στροφορμών = =. Η ολική στροφορμή,, μπορεί να πάρει όλες τις τιμές στο διάστημα =,...,, και επομένως = 0,,. Η ακρότατη κατάσταση είναι προφανώς η, =, Υπάρχει μόνο ένας συνδυασμός των και που να δίνει αυτό το ακρότατο: = =. Επομένως, θα ισχύει Ή, γραμμένο πιο αναλυτικά: =, = = =, = (9.49) =, = ; =, = = =, = ; =, = (9.50) Για να βρούμε τις καταστάσεις με =,, κατεβάζουμε τον δείκτη μέσω του : Ĵ 8
Ĵ =, = = 3 =, = = =, = (9.5) Ĵ =, = ; =, = = 0 =, = 0; =, = (9.5) και ο όρος με Ĵ θα δώσει την ίδια έκφραση (με ). Επομένως, =, = = =, = 0; =, = =, = ; =, =0 (9.53) Ευκολότεροι τρόποι γραφής, αν θεωρήσουμε ότι θυμόμαστε ότι αναφερόμαστε σε = = : =, = 0; =, = = =, = 0 =, = =, 0, = (9.54) Οπότε μπορούμε να γράψουμε σχηματικά: =, = =, 0,,, 0 = ) (9.55) ( Εφαρμόζοντας τον τελεστή κατάβασης ακόμα μια φορά παίρνουμε: Ĵ =, = = 3 0 =, =0 (9.56) ( ) = 0 0 0 = (9.57) =, = 0 = / 6 (9.58) Οι καταστάσεις με χαμηλότερες τιμές του υπολογίζονται με διαδοχικές εφαρμογές του τελεστή κατάβασης: =, = = =, = = ( ) (9.59) Ο υπολογισμός των καταστάσεων με το μέγιστο είναι επομένως μία απλή αλγεβρική άσκηση. Πάμε τώρα στην ενδιάμεση τιμή, =, που δεν είναι ακρότατη για το. Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα = = = zz ( x x y y ) (9.60) = z z Η μέγιστη τιμή του για = είναι =. Οι συνδυασμοί των και που δίνουν = είναι προφανώς οι (,0) και (0,). Άρα μπορούμε να γράψουμε =, = = a,, 0 b, 0, = a b (9.6) Δρώντας με το Ĵ στις δυο πλευρές της (9.6) έχουμε: Ο λόγος, βεβαίως, είναι ότι θα δράσουμε σε καταστάσεις με ορισμένο και, και Ĵ ως γραμμικό συνδυασμό τελεστών των οποίων γνωρίζουμε τη δράση στις καταστάσεις,,,, και επομένως γράφουμε τον 9
Ĵ =, = = ( ) =, = = a b (9.6) z z a b ( = 4 a( ) b( ) a( ) b( ) = a b a b 0 b a (9.63) Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις, παίρνουμε: Και επομένως, μετά την κανονικοποίηση: Οι επόμενες δύο καταστάσεις με τελεστή κατάβασης: ( ) 0 a b = a=b (9.64),, 0, 0,, = = = = (9.65) =, δηλ. με = 0, =, υπολογίζονται με απλή εφαρμογή του Ĵ =, = = 0 =, = 0 (9.66) = 0 0 0 = (9.67) Εξισώνοντας τις δύο εκφράσεις, παίρνουμε: = = = =, 0 Ενώ μία ακόμη εφαρμογή του τελεστή κατάβασης δίνει,,,, (9.68) = = = =,, 0,,, 0 (9.69) Η εύρεση των καταστάσεων με =0 ακολουθεί την ίδια μέθοδο. Γράφουμε την κατάσταση ως γραμμικό συνδυασμό των δυνατών καταστάσεων και :,, 0, 0,,. 0, 0,,, 0, 0,, 3 3 = = = = (9.70) ) 7. Περίληψη και ανάλυση Στο πρώτο από τα παραδείγματα βρήκαμε τη βάση στην οποία μπορούμε να περιγράψουμε ένα σύστημα δύο σωματιδίων καθένα από τα οποία έχει spin /. Η βάση αυτή αποτελείται από μια κατάσταση με spin 0 (η συντομογράφηση είναι προφανής): 0,0 =,, = ( ) (9.7) και από μια τριάδα καταστάσεων με spin : 0
, =, =, 0 =,, = (9.7), =, = Για ευκολία, έχομε εισαγάγει τον συμβολισμό με ένα κάθετο βέλος, με φορά προς τα άνω (κάτω) ( ) όταν >0 (<0). Και όταν =0, όπως στο επόμενο παράδειγμα, γράφομε μία τελεία: ( ). Από τις καταστάσεις αυτές η (9.7) αναφέρεται ως «singlet» ενώ τα ανύσματα (9.7) απαρτίζουν μια «triplet». Η αφετηρία της ονομασίας αυτής βρίσκεται στη διαφορετική απόκριση των καταστάσεων αυτών σε στροφές του φυσικού συστήματος. Όπως είναι προφανές η singlet κατάσταση (9.7) δεν μεταβάλλεται. Αντίθετα τα ανύσματα της triplet (9.7) αναμειγνύονται: Η δράση του τελεστή i exp ϕn S πάνω σε οποιοδήποτε από αυτά θα οδηγήσει σε μια κατάσταση η οποία είναι γραμμικός συνδυασμός των ανυσμάτων της triplet. Διατυπωμένο αλλιώς: στη βάση αυτή μπορούμε να περιγράψουμε μια οντότητα ψ = 0,0 με spin 0 η οποία έχει συντεθεί από δύο σωμάτια με spin / αλλά και μια οντότητα ψ = a, b, 0 c, με spin η οποία επίσης συντίθεται από δύο σωμάτια με spin /. Τέλος, σημειώνουμε ότι η singlet είναι αντισυμμετρική ως προς την εναλλαγή των δύο σωματιδίων, ενώ η triplet είναι συμμετρική. Στο δεύτερο από τα παραδείγματα έχουμε μια singlet κατάσταση με spin 0: μια triplet με spin : s = 0, = 0 = (, 0, 0, ) = ( ) (9.73) 3 3 s =, = = (, 0 0, ) = ( ) s =, = 0 = (,, ) = ( ) s =, = = ( 0,, 0 ) = ( ) και μια pentuplet με spin : s =, = =, = s =, = = (, 0 0, ) = ( ) s =, = 0 =, 0, 0, = 6 6 s =, = = ( 0,, 0 ) = ( ) s =, = =, = (9.74) (9.75)
8. Παραδείγματα Α) Αποδείξτε ότι η ακόλουθη κατάσταση δυο ηλεκτρονίων χ = ( ) έχει σπιν. Απάντηση: Πρέπει να δείξουμε ότι χ = χ Επειδή η χ δίδεται ως γραμμικός συνδυασμός Ŝ. ιδιοκαταστάσεων των Ŝ και Ŝ, χρησιμοποιούμε την ταυτότητα (9.60). Δρώντας με αυτή τη μορφή του Ŝ στην και επομένως, z χ, έχουμε τους εξής όρους: S Ŝ z 3 3 χ = S ( ) = ( ) = 4 3 χ = χ 4 SS z z χ = SS z z SS z z = ( ) ( ) = χ S S( ) = S S ( ) = 3 3 Ŝ χ = χ = χ 4 4 Β) Αποδείξτε την (9.70) δηλ., για δυο σωμάτια με σπιν, βρείτε την κατάσταση με συνολικό σπιν 0 ως γραμμικό συνδυασμό καταστάσεων συγκεκριμένου και των δυο σωματιδίων. Εφόσον Επομένως: s = 0 = 0 =0, άρα υπάρχουν τρεις δυνατοί συνδυασμοί: (, ), ( 0, 0 ), (, ) s α β γ = 0, = 0 = 0 0 Δρώντας αριστερά και δεξιά με τον S = S S Ŝ s = 0, = 0 = 0 ( ) ( ) ( ) S S = 0 S S = 0, θα αντιμετωπίσουμε τους εξής όρους: S S 0 0 = 0 0 χ
Μαζεύοντας όλους τους όρους έχουμε: 0 = α β γ ( α β) ( β γ) = 0 Εφόσον οι καταστάσεις και είναι κάθετες μεταξύ τους, αναγκαστικά: α = β, γ = β. Κανονικοποιώντας, α = και άρα: s = 0, = 0 = ( ) 3 3 9. Πρόσθετη ανάλυση: πιο γενική θεώρηση πρόσθεσης δύο = Δρώντας με τον τελεστή αυτό στις δύο πλευρές της σχέσης (9.4) παίρνουμε, = ( ), = ( ) C(, = ;, ), (9.76), Από την άλλη μεριά η δράση του τελεστή στα ανύσματα, θα τα τροποποιήσει : ( ), = z z = α β β [ (, ), (, ), (,), ] (9.77) όπου γράψαμε α(, ) = ( ) ( ) β (, ) = ( ) ( ) ( ) ( ) β (,) = ( ) ( ) ( ) ( ) Αν επομένως δράσουμε με τον τελεστή (9.60) στη σχέση (9.4) και χρησιμοποιήσουμε τις (9.76) και (9.77) θα πάρουμε : ( ) C(, =,, ), =, C(,,, ) α(, ), β(, ), β(,),, = = (9.78) Μπορούμε να απλοποιήσουμε την (9.78) αν κάνουμε τις μετονομασίες = και = ± στους δύο τελευταίους όρους. Το μόνο που πρέπει να προσέξουμε είναι ότι και με την αλλαγή αυτή πρέπει να παραμείνουμε στις επιτρεπόμενες περιοχές,. Για αυτό το σωστό είναι να γράψουμε = od( ), = ± od( ) (9.79) συμβολισμός που σημαίνει ότι αν με την αλλαγή βγούμε έξω από τα επιτρεπόμενα όρια θα προσθέσουμε (ή θα αφαιρέσουμε) το ή το για να επανέλθουμε στα επιτρεπτά όρια. Με τις εξηγήσεις αυτές μπορούμε να γράψουμε (9.80) ( ) C(, = ;, ), = C(, = ;, ),,, Είναι επομένως απλώς θέμα νορμαλισμού το να καταλήξουμε στο αποτέλεσμα 3
= 0, = 0 = ( =, = = 0, = 0 =, = 0 ) (9.8) 3 Επιστρέφομε λοιπόν στο παράδειγμα με την περίπτωση ( =, =±,0). Θα ξεκινήσουμε με την κατάσταση =, = η οποία μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο τρόπους Χρησιμοποιώντας την (9.77) παίρνουμε: = = = = = Ĵ,, =, = = α =, = 0 β = 0, = (9.8) ( ) ( 0 ) Ĵ =, = 0 = =, = 0 = 0, = Ĵ = 0, = = = 0, = =, = Επομένως με τη δράση του Ĵ στην (9.8) θα πάρουμε =, = = ( α β) = 0, = ( α β) =, = 0 (9.83) Από τις (9.8) και (9.83) προκύπτει αμέσως ότι α β = α και α β = β που είναι ακριβώς το σύστημα (9.80) για τους συνδυασμούς που συζητάμε. Κανονικοποιώντας το αποτέλεσμα βρίσκουμε =, = = ( =, = 0 = 0, = ) (9.84) Για να βρούμε τις άλλες καταστάσεις, που έχουν απλώς διαφορετικό, θα χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή = και αν λάβουμε υπόψη ότι : Ĵ =, = = =, = 0 Ĵ =, = 0 = = 0, = 0 =, = Ĵ = 0, = = = 0, = 0 =, = θα προκύψει αμέσως ότι =, = 0 = ( =, = =, = ) (9.85) Ακόμη ένας βηματισμός θα μας δώσει και την τελευταία κατάσταση =, = = ( = 0, = =, = 0 ) (9.86) 4