Κεφάλαιο 2. Υποοµάδες και οµοµορφισµοί οµάδων. 2.1 Υποοµάδες. Q R C και ότι αν η πρόσθεση στο C περιοριστεί στα στοιχεία του R δίνει

Κεφάλαιο 2 Υποοµάδες και οµοµορφισµοί οµάδων 2.1 Υποοµάδες Μεταξύ των παραδειγµάτων των οµάδων που αναφέραµε στην προηγούµενη παράγραφο ήταν και οι (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +). Παρατηρούµε ότι Z Q R C και ότι αν η πρόσθεση στο C περιοριστεί στα στοιχεία του R δίνει την πρόσθεση στο R κ.ο.κ. Η παρατήρηση αυτή δίνει την αφορµή για τον ορισµό της υποοµάδας. Ορισµός 2.1.1 Εστω (G, ) µία οµάδα. Ενα υποσύνολο H G λέµε ότι είναι υποοµάδα (subgroup) της G, αν η πράξη ορίζεται στο H και η (H, ) είναι οµάδα και συµβολίζουµε H G, ή H < G όταν γνωρίζουµε ότι H G. Είναι ϕανερό ότι {e} G και G G. Η {e} λέγεται τετριµµένη (trivial) υποοµάδα της G. Κάθε υποοµάδα H της G τέτοια ώστε {e} < H < G λέγεται γνήσια (proper) υποοµάδα της G. Με τον συµβολισµό H < G εννοούµε ότι η H είναι γνήσια υποοµάδα της G. Πρόταση 2.1.2 Εστω G µία οµάδα και H G. Το ουδέτερο στοιχείο της G συµπίπτει µε το ουδέτερο στοιχείο της H και το αντίστροφο h 1 ενός στοιχείου h H συµπίπτει µε το αντίστροφο στοιχείο του h, αν αυτό το ϑεωρήσουµε ως στοιχείο της G. Απόδειξη : Σε κάθε οµάδα G το ουδέτερο στοιχείο της είναι το µόνο που ικανοποιεί την εξίσωση x 2 = x. Εφόσον η πράξη της H συµπίπτει µε την πράξη της G έπεται ότι το ουδέτερο στοιχείο της H που ικανοποιεί την εξίσωση x 2 = x, και στην οµάδα H και στην οµάδα G, συµπίπτει µε το ουδέτερο στοιχείο της G. 33

34 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Εξαιτίας της σύµπτωσης των ουδέτερων στοιχείων της H και της G προκύπτει ότι το h 1 είναι το ίδιο είτε ϑεωρήσουµε το h ως στοιχείο της H είτε το ϑεωρήσουµε ως στοιχείο της G. Πριν προχωρήσουµε σε παραδείγµατα υποοµάδων αποδεικνύουµε ένα κριτήριο για να είναι υποοµάδα ένα υποσύνολο µίας οµάδας. Είναι ϕανερό ότι ένα υποσύνολο της G που δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο της G δεν µπορεί να είναι υποοµάδα της G. Θεώρηµα (Κριτήριο Υποοµάδας) 2.1.3 Εστω G µία οµάδα και H ένα µη κενό υποσύνολο του G. Το H αποτελεί υποοµάδα της G αν και µόνον αν ισχύει : αβ 1 H, για όλα τα α, β H (2.1.1) Απόδειξη : Από τον ορισµό της οµάδας είναι ϕανερό ότι αν H G, τότε ισχύει η συνθήκη του Θεωρήµατος. Ας υποθέσουµε, τώρα, ότι ισχύει η σχέση (2.1.1) για το µη κενό υποσύνολο H της G. Εστω α H, τότε από τη σχέση (2.1.1) έπεται ότι αα 1 H, δηλαδή e H, όπου e είναι το ουδέτερο στοιχείο της G. Πάλι από τη σχέση (2.1.1), αφού τα e, α H, προκύπτει ότι eα 1 H, δηλαδή α 1 H. Τώρα ϑα αποδείξουµε ότι η πράξη της οµάδας G ορίζεται στο σύνολο H. Εστω α, β H, τότε το β 1 H, όπως είδαµε. Άρα από τη σχέση (2.1.1) έχουµε ότι α(β 1 ) 1 H, δηλαδή αβ H, για όλα τα στοιχεία α, β H. Με άλλα λόγια η πράξη της G ορίζεται στο σύνολο H. Μένει τώρα να δείξουµε ότι η πράξη στο H είναι προσεταιριστική. Αυτό, όµως, συµβαίνει γιατί η πράξη αυτή είναι προσεταιριστική στην G, άρα και στο H. Αποδείξαµε, εποµένως, ότι το H είναι υποοµάδα της G. Το παραπάνω κριτήριο εφαρµοζόµενο µας επιτρέπει να συµπεράνουµε αν ένα υποσύνολο µίας οµάδας είναι υποοµάδα της µε πράξεις σαφώς λιγότερες από αυτές που απαιτούνται αν είχαµε να ελέγξουµε όλα τα αξιώµατα του ορισµού της οµάδας. Ιδιαίτερα αν το σύνολο H G είναι πεπερασµένο, τότε οι απαιτούµενες πράξεις για τον έλεγχο αν το H αποτελεί υποοµάδα της G είναι ακόµη λιγότερες. Αυτό διαβεβαιώνει το επόµενο ϑεώρηµα. Θεώρηµα 2.1.4 Ενα µη κενό πεπερασµένο υποσύνολο H µίας οµάδας G είναι υποοµάδα της G, αν και µόνον αν η πράξη της G ορίζεται στο H. Απόδειξη : Αν H G, τότε ο ισχυρισµός του Θεωρήµατος είναι ϕανερός. Εστω H ένα πεπερασµένο υποσύνολο της οµάδας G στο οποίο ορίζεται η πράξη της G, δηλαδή αβ H, για όλα τα α, β H

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.1 Υποοµάδες 35 Η πράξη στο H είναι προσεταιριστική γιατί αυτό συµβαίνει στην G. Επίσης για τον ίδιο λόγο επιτρέπεται η απλοποίηση αριστερά και δεξιά στο H. Άρα ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του Θεωρήµατος 1.2.7 για να είναι το H οµάδα, δηλαδή υποοµάδα της G. Παραδείγµατα 2.1.5 1. Το υποσύνολο nz = {ns s Z}, για n > 1, είναι υποοµάδα της (Z, +) σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1.3. Πράγµατι για κ, λ Z, nκ + ( n)λ = n(κ λ) Z. 2. Το υποσύνολο N της Z δεν είναι υποοµάδα της (Z, +). Οµως η πρόσθεση των ακέραιων αριθµών ορίζεται στο N. Αυτό το παράδειγµα µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι η συνθήκη «πεπερασµένο» είναι απαραίτητη στο Θεώρηµα 2.1.4. 3. Εστω A = {1, 1, i, 1}. Το υποσύνολο {1, 1} είναι υποοµάδα της (A, ) γιατί ο πολλαπλασιασµός ορίζεται σε αυτό σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1.4. 4. Στην οµάδα συµµετρίας D 2.3 του ισόπλευρου τριγώνου (ϐλέπε Παράδειγµα 1.1.4.3) το σύνολο {e, ρ, ρ 2 } των στροφών του αποτελεί υποοµάδα της D 2.3. Το ίδιο συµβαίνει µε το σύνολο {e, ρ, ρ 2, ρ 3 } για την οµάδα συµµετρίας D 2.4 του τετραγώνου (ϐλέπε Παράδειγµα 1.1.4.4). 5. Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός και Q p = { m m, n Z} Q. pn Το Q p µε πράξη την πρόσθεση των µιγαδικών αριθµών αποτελεί αβελιανή οµάδα. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι Q p Q q, για p, q πρώτους ϕυσικούς αριθµούς τέτοιους ώστε p q. Ακόµη Z < Q p < Q < R < C. 6. Εστω C p n = {c C c pn = 1}, όπου n > 0 είναι σταθερός ϕυσικός αριθµός. Είναι εύκολο να δούµε ότι C p < C p 2 < < C p n < < C p,

36 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων όπου C p είναι η πολλαπλασιαστική οµάδα του Παραδείγµατος 1.1.2.8. 7. Θεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα GL n (R), ϐλ. Παράδειγµα 1.1.2.5 και την ειδική γραµµική οµάδα SL n (R), ϐλέπε άσκηση 4 του εδαφίου 1.1. Είναι ϕανερό ότι SL n (R) < GL n (R). Ακόµη µπορούµε να σχηµατίσουµε το ακόλουθο διάγραµµα GL n (R) GL n (Q) SL n (R) SL n (Q) SL n (Z) {e} Σχήµα 2.1 µε σχέση διάταξης τη σχέση εγκλεισµού. Ας παρατηρήσουµε ότι από τον ορισµό του αντίστροφου πίνακα αν A SL n (Z), ισχύει ότι A 1 SL n (Z) έτσι το παραπάνω διάγραµµα στο Σχήµα 2.1 είναι διάγραµµα υποοµάδων της GL n (R). 8. Θεωρούµε, τώρα, τα επόµενα υποσύνολα του GL n (C). D n (C), το σύνολο των διαγώνιων πινάκων (diagonal matrices), δηλαδή των πινάκων που κάθε στοιχείο τους εκτός της κύριας διαγωνίου είναι µηδέν. T n (C), το σύνολο όλων των άνω τριγωνικών πινάκων (upper trigonal matrices), δηλαδή των πινάκων που έχουν όλα τους τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο ίσα µε µηδέν. Ανάλογα ορίζεται το σύνολο των κάτω τριγωνικών πινάκων (low trigonal matrices). UT n (C), το σύνολο όλων των πινάκων µε όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο ίσα µε µηδέν και µε όλα τα στοιχεία πάνω στην κύρια διαγώνιο ίσα µε 1.

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.1 Υποοµάδες 37 Είναι εύκολο να διαπιστώσουµε ότι UT n (C) < T n (C) < GL n (C) και D n (C) < T n (C) < GL n (C). Η οµάδα D n (C) λέγεται διαγώνιος (diagonal) οµάδα (των n n-πινάκων µε συντελεστές από το C), η T n (C) λέγεται άνω τριγωνική οµάδα (upper diagonal) και η UT n (C) µοναδοτριγωνική (unidiagonal) οµάδα. 9. Θεωρούµε το πολυώνυµο n ανεξάρτητων µεταβλητών f(x 1, x 2,..., x n ) = i < j 1 i, j n (x j x i ) Παρατηρούµε ότι στο γινόµενο ο παράγων (x j x i ), για i j και 1 i, j n, εµφανίζεται ακριβώς µία ϕορά. Αν σ S n, ϐλέπε Παράδειγµα 1.1.2.7, ορίζουµε το πολυώνυµο σf(x 1, x 2,..., x n ) = i < j 1 i, j n (x σ(j) x σ(i) ). Βλέπουµε ότι κάθε παράγων (x j x i ), για i j και 1 i, j n, εµφανίζεται ακριβώς µία ϕορά στο πολυώνυµο σf(x 1, x 2,..., x n ). Οµως, είναι δυνατόν στο πολυώνυµο σf(x 1, x 2,..., x n ) αντί του (x j x i ), για i j, να υπάρχει το (x i x j ). Ετσι τα δύο πολυώνυµα f(x 1, x 2,..., x n ) και σf(x 1, x 2,..., x n ) διαφέρουν µόνο στο πρόσηµο, δηλαδή σf(x 1, x 2,..., x n ) = ±f(x 1, x 2,..., x n ). Ορισµός 2.1.6 Η µετάθεση σ S n λέγεται άρτια (even) αν σf(x 1, x 2,..., x n ) = f(x 1, x 2,..., x n ) και περιττή (odd) αν σf(x 1, x 2,..., x n ) = f(x 1, x 2,..., x n ).

38 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Εστω σ, τ S n, παρατηρούµε ότι στf(x 1, x 2,..., x n ) = i < j 1 i, j n (x στ(j) x στ(i) ) = = i < j 1 i, j n (x σ(τ(j)) x σ(τ(i)) ) = σ(τ(f(x 1, x 2,..., x n ))). Ετσι ϕαίνεται αµέσως ότι αν οι µεταθέσεις σ, τ είναι και οι δύο άρτιες ή και οι δύο περιττές, τότε η µετάθεση στ είναι άρτια, ενώ αν η µία είναι άρτια και η άλλη περιττή, τότε η σύνθεσή τους είναι περιττή µετάθεση. Ας ϑεωρήσουµε, τώρα, το σύνολο A n όλων των άρτιων µεταθέσεων του S n. Αν σ, τ A n, τότε, όπως είδαµε, στ A n. Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1.4 το A n είναι υποοµάδα της S n. 10. Το παράδειγµα που ακολουθεί γενικεύει τα Παραδείγµατα 3 και 4 των σελίδων 12 και 15 αντίστοιχα. Εστω X ένας µετρικός χώρος (metric space) µε µετρική d X X R, δηλαδή ένα σύνολο X για το οποίο ορίζεται µία συνάρτηση d X X R που ικανοποιεί τις ιδιότητες : i. d(x, y) = 0, για x, y X, x = y, ii. d(x, y) + d(y, z) d(x, z),για x, y, z X. Μία αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση ϕ X X λέµε ότι διατηρεί τη δοµή του µετρικού χώρου X αν d(ϕ(x), ϕ(y)) = d(x, y), για x, y X. Μία τέτοια συνάρτηση λέγεται ισοµετρία (isometry) του X. Π.χ. η διατήρηση των αποστάσεων σηµείων στο επίπεδο είναι µία ισοµετρία του επιπέδου. Συµβολίζουµε µε Isom(X) το σύνολο των ισοµετριών του X. Είναι ϕανερό ότι Isom(X) S X (ϐλέπε Παράδειγµα 1.1.2.6). Θα αποδείξουµε ότι Isom(X) S X.

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.1 Υποοµάδες 39 Εστω ϕ, f Isom(X), τότε, για όλα τα x, y X, ισχύει d(ϕ f 1 (x), ϕ f 1 (y)) = d(ϕ(f 1 (x)), ϕ(f 1 (y))) = = d(f 1 (x), f 1 (y)) = d(f(f 1 (x)), f(f 1 (y))) = = d(f f 1 (x), f f 1 (y)) = d(x, y). Άρα η ϕ f Isom(X), για όλα τα ϕ, f Isom(X), και σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1.4 αποδείξαµε ότι Isom(X) S X. Για τις ισοµετρίες παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [3] και στο [6]. Στη συνέχεια αναφέρουµε τρεις ισοµετρίες του ευκλείδειου χώρου ([9], ch.5) R 2, δηλαδή του R-διανυσµατικού χώρου R 2 εφοδιασµένου µε ένα εσωτερικό γινόµενο. Α. Μετατόπιση (Translation) Μία συνάρτηση ϕ R 2 R 2 λέγεται µετατόπιση, αν απεικονίζει το τυχαίο στοιχείο x R 2 στο σηµείο ϕ(x) που ϐρίσκεται σε σταθερή απόσταση από το x και σε σταθερή κατεύθυνση. Η αναλυτική έκφραση µίας µετατόπισης είναι R 2 R 2, x x + α, όπου α είναι ένα σταθερό στοιχείο του R 2 και ϑα τη συµβολίζουµε µε τ α. Συµβολίζουµε µε T rans(r 2 ) = {τ α α R 2 } το σύνολο όλων των µετατοπίσεων του Ευκλείδειου χώρου R 2. Είναι ϕανερό ότι T rans(r 2 ) S R 2. Θα αποδείξουµε ότι T rans(r 2 ) S R 2. Πράγµατι έστω α, β R 2, τότε, για κάθε x R 2, έχουµε Άρα δηλαδή τ α τβ 1(x) = τ α(x β) = x β + α = τ α β (x). τ α τ 1 β T rans(r 2 ), για όλα τα α, β R 2, T rans(r 2 ) S R 2. Ακόµη παρατηρούµε ότι, για όλα τα α, β, x R 2, ισχύει τ α τ β (x) = τ α (x + β) = (x + β) + α = (x + α) + β = τ β τ α (x),

40 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων δηλαδή τ α τ β = τ β τ α, για όλα τα α, β R 2. Συµπέρασµα : Η T rans(r 2 ) είναι µία αβελιανή υποοµάδα της S R 2. Β. Κατοπτρισµός (Reflection) Μία συνάρτηση ϕ R 2 R 2 λέγεται κατοπτρισµός, αν υπάρχει µία ευθεία γραµµή l του R 2 τέτοια ώστε η ϕ να απεικονίζει το τυχαίο σηµείο του R 2 στην καθρεφτκή του εικόνα ως προς την ευθεία l. Αν επιλέξουµε ως l τον άξονα OX, τότε η αναλυτική έκφραση της ϕ είναι η ϕ R 2 R 2, (x, y) (x, y) για x, y R. Παρατηρούµε ότι ϕ 2 = 1 R 2 και εύκολα διαπιστώνουµε ότι ϕ S R 2. Γ. Στροφή (Rotation) Εστω s ένα σταθερό σηµείο του S R 2. Η στροφή του S R 2 µε κέντρο το s κατά γωνία α και ϕορά αντίστροφη των δεικτών του ϱολογιού συµβολίζεται µε ρ α. Η αναλυτική έκφραση της ρ α, αν τα στοιχεία δοθούν σε πολικές συντεταγµένες, είναι ρ α R 2 R 2, re iϑ re i(ϑ+α). Είναι ϕανερό ότι ρ α S R 2, α R. Παρατηρούµε ότι κάθε στροφή µε κέντρο το s εκφράζεται µοναδικά µε τη µορφή ρ α, όπου 0 α 2π, γιατί e iα = 1 αν και µόνον αν το α είναι ακέραιο πολλαπλασίο του 2π. Συµβολίζουµε µε Rot(R 2, s) = {ρ α 0 α 2π}. Αν ρ α, ρ β είναι δύο τυχαία στοιχεία του Rot(R 2, s), τότε Ετσι ρ 1 β R2 R 2, re iϑ re i(2π+ϑ β). ρ α ρ 1 β = ρ αρ 2π β = ρ α+2π β Rot(R 2, s). Εποµένως από το Θεώρηµα 2.1.4 προκύπτει ότι Rot(R 2, s) < S R 2. Χωρίς απόδειξη αναφέρουµε το επόµενο ϑεώρηµα (ϐλ. [6], [9]) Θεώρηµα 2.1.7 Οι µετατοπίσεις, οι κατοπτρισµοί και οι στροφές είναι ισοµετρίες του Ευκλείδειου χώρου R 2. Ακόµη Isom(R 2 ) = H Hε,

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.1 Υποοµάδες 41 όπου ε είναι ένας τυχαίος κατοπτρισµός, και H = T rans(r 2 ) ( s R 2 Rot(R 2, s)) Hε = {hε h H}. 11. Εστω X ένας µετρικός χώρος (ϐλέπε Παράδειγµα 2.1.5.10) και Y µετρικός υποχώρος του X (δηλαδή διανυσµατικός υποχώρος του X µε την ίδια µετρική). Σχηµατίζουµε το σύνολο S X (Y ) = {ϕ Isom(X) ϕ(y ) = Y }. Είναι εύκολο να αποδείξει ο αναγνώστης ότι S X (Y ) Isom(X). Η οµάδα S X (Y ) λέγεται οµάδα συµµετρίας (symmetry group) του Y σχετικά µε τον µετρικό χώρο X. 12. Η ιεδρική οµάδα (Dyhedral group) D 2n. Η διεδρική οµάδα, που αµέσως ϑα ορίσουµε, είναι µία ειδική περίπτωση του προηγούµενου παραδείγµατος, δηλαδή µία οµάδα συµµετρίας. Θεωρούµε ένα κανονικό πολύγωνο P στον Ευκλείδειο χώρο R 2 µε n πλευρές, όπου n 3 και την οµάδα συµµετρίας S R 2(P ), η οποία είναι υποοµάδα της Isom(R 2 ). Συµβολίζουµε D 2n = S R 2(P ) Θα υπολογίσουµε την D 2n σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1.7. Η οµάδα συµ- µετρίας D 2n του P σχετικά µε τον Ευκλείδειο χώρο R 2 αποτελείται από τις ισοµετρίες ϕ του R 2 που έχουν την ιδιότητα ϕ(p ) = P. Ετσι, σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1.7, το σύνολο D 2n είναι το H Hε, όπου H είναι το σύνολο των στροφών ρ του R 2 που έχουν την ιδιότητα ρ(p ) = P και ε ένας κατοπτρισµός του R 2 για τον οποίο ε(p ) = P. Είναι ϕανερό ότι καµµία µεταφορά (εκτός της ταυτοτικής) δεν ικανοποιεί τη σχέση τ α (P ) = P. Τα στοιχεία του H είναι ακριβώς οι στροφές ως προς το κέντρο του πολυγώνου P κατά γωνία 2π n k, 0 k n 1. Ενας κατοπτρισµός ε ορίζεται ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του P και από µία κορυφή του P, αν το n είναι περιττός, ή από το κέντρο και το µέσον µίας πλευράς, αν ο n είναι άρτιος. Ας συµβολίσουµε µε ρ τη στροφή του P ως προς το κέντρο του κατά γωνία 2π n, τότε το H = {e, ρ, ρ 2,..., ρ n 1 } και D 2n = {e, ρ, ρ 2,..., ρ n 1, ε, ρε,..., ρ n 1 ε}.

42 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Οπως είδαµε από το προηγούµενο παράδειγµα το D 2n αποτελεί οµάδα µε πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων µε τάξη 2n. Η οµάδα D 2n λέγεται διεδρική οµάδα τάξης 2n. Μπορούµε εύκολα να αποδείξουµε ότι H < D 2n και {e, ε} < D 2n, εφαρµόζοντας το Θεώρηµα 2.1.7 (αυτό έχει ήδη γίνει στο Παράδειγµα 10 για τη γενικότερη περίπτωση). Παρατηρούµε ότι το Παράδειγµα 1.1.4.3 είναι η D 2 3 και το Παράδειγµα 1.1.4.4 είναι η D 2 4. Ας επανέλθουµε στη D 2n. Από τον ορισµό των κατοπτρισµών διαπιστώνουµε ότι τα στοιχεία του συνόλου Hε = {ε, ρε,..., ρ n 1 ε} είναι κατοπτρισµοί ως προς διαφορετικούς άξονες. Αυτό σηµαίνει (γεωµετρικά) ότι (ρ k ε) 2 = e, 0 k n 1, άρα, ε 2 = e ε = ε 1 και (ρ k ε) 2 = e ρ k ερ k ε = e ρ k ερ k = ε 1 ρ k ερ k = ε ρ k ε = ερ k ρ k ε = ερ n k. Εποµένως τα στοιχεία της D 2n ικανοποιούν τις σχέσεις ρ n = e, ε 2 = e, ρ k ε = ερ n k, για 0 k n 1. (2.1.2) Ακόµη είναι ϕανερό ότι η οµάδα D 2n δεν είναι αβελιανή, ενώ οι υποοµάδες της {e, ρ, ρ 2,..., ρ n 1 } και {e, ε} είναι αβελιανές. Μετά τον ορισµό της υποοµάδας είναι ϕυσικό να αναρωτηθούµε αν µπο- ϱούµε να δηµιουργήσουµε νέες υποοµάδες από δοσµένες υποοµάδες. Π.χ. η ένωση ή η τοµή υποοµάδων είναι υποοµάδες της αρχικής οµάδας ; Οι επόµενες προτάσεις απαντούν στον παραπάνω προβληµατισµό. Πρόταση 2.1.8 Εστω {H i, i I} µία οικογένεια υποοµάδων µίας οµάδας G, όπου I είναι ένα µη κενό σύνολο. Τότε H i G. i I

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.1 Υποοµάδες 43 Απόδειξη : Εστω i I H i G. Είναι ϕανερό ότι το H είναι ένα µη κενό υποσύνολο της G. Εστω α, β H, τότε α, β H i για όλα τα i I. Άρα σύµ- ϕωνα µε το Θεώρηµα 2.1.3 ισχύει ότι αβ 1 H i για όλα τα i I. Εποµένως αβ 1 H, δηλαδή H G. Πρόταση 2.1.9 Η ένωση H K δύο υποοµάδων H και K µίας οµάδας G είναι υποοµάδα της G αν και µόνον αν H K ή K H. Απόδειξη : Είναι ϕανερό ότι για τις υποοµάδες H και K της G αν ισχύει µία από τις σχέσεις H K ή K H, τότε H K G. Ας υποθέσουµε αντίστρο- ϕα, ότι H K G. Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1.3 αν α, β H K, τότε αβ 1 H K. Ας ϑεωρήσουµε α H και β K, τότε αβ 1 H ή αβ 1 K. Αν αβ 1 = h H β 1 = α 1 h H β = h 1 α H, δηλαδή το τυχαίο στοιχείο β της K ανήκει στο H. Άρα K H. Αν αβ 1 = κ K, τότε α = κβ K, για το τυχαίο α H. Άρα H K. Εποµένως H K ή K H. Γενικότερα ισχύει η επόµενη Πρόταση. Πρόταση 2.1.10 Εστω {H i, i I} µία οικογένεια υποοµάδων µίας οµάδας G, που έχει την ιδιότητα για κάθε Ϲεύγος υποοµάδων του συνόλου η µία από τις δύο να περιέχει την άλλη. Τότε η είναι υποοµάδα της G. H i i I Η απόδειξη αφήνεται για τον αναγνώστη. Παραδείγµατα 2.1.11 1. Θεωρούµε την υποοµάδα Q p του Παραδείγµατος 2.1.5.5, όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. Σύµφωνα µε την Πρόταση 2.1.8 A = Q p Q, p όπου το p διατρέχει όλους τους πρώτους ϕυσικούς αριθµούς. Είναι ϕανερό ότι Z A. Θα αποδείξουµε ότι Z = A. Εστω α A, τότε για δύο διακεκριµένους πρώτους p, q ισχύει ότι α Q p Q q. Άρα υπάρχουν m, n, s, t Z ώστε α = m p s = n q t mqt = np s p s m, δηλαδή α Z.

44 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 2. Θεωρούµε την υποοµάδα C p n της πολλαπλασιαστικής οµάδας (C, ) του Παραδείγµατος 2.1.5.6. Σύµφωνα µε την Πρόταση 2.1.10 C p = C p n C, n όπου το n διατρέχει τα στοιχεία του N /{0}. Εστω, τώρα, µία οµάδα G και g G. Θεωρούµε το σύνολο g = {g k k Z}, όλων των ακεραίων δυνάµεων του στοιχείου g G. Εφαρµόζοντας το Θεώρηµα 2.1.3 αποδεικνύουµε αµέσως ότι το g αποτελεί υποοµάδα της G. Εποµένως κάθε στοιχείο g G δηµιουργεί την υποοµάδα g της G. Είναι δυνατόν g = {e} και αυτό συµβαίνει αν και µόνον αν g = e. Είναι δυνατόν G = g για κάποιο στοιχείο της ; Ναι, η οµάδα (Z, +) = 1 = {κ 1 κ Z}. Ορισµός 2.1.12 Μία οµάδα λέγεται κυκλική (cyclic) αν υπάρχει στοιχείο της g τέτοιο ώστε G = g. Το στοιχείο g λέγεται παράγον στοιχείο (generator) της G. Παρατηρούµε (Z, +) = 1 = 1, αφού Z = {κ ( 1) κ Z}, δηλαδή το παράγον στοιχείο δεν ορίζεται µοναδικά για µία κυκλική οµάδα. Παραδείγµατα 2.1.13 1. Η πολλαπλασιαστική οµάδα {1, 1, i, i} είναι κυκλική, αφού παράγεται από το i. Επίσης i = i. Οµως η 1 i 2. Η υποοµάδα των στροφών του κανονικού πολυγώνου P (ϐλ. Παράδειγµα 2.1.5.12) είναι κυκλική που παράγεται από το στοιχείο ρ και ρ = {e, ρ,..., ρ n 1 }. 3. Η µετάθεση σ = ( 1 2 3 ) παράγει την υποοµάδα 2 3 1 σ = σ, σ 2 = ( 1 2 3 3 1 2 ), σ3 = ( 1 2 3 1 2 3 ) της S 3. Πράγµατι δεν υπάρχουν άλλες διακεκριµένες δυνάµεις του σ, γιατί αν κ Z, τότε από την ευκλείδεια διαίρεση κ = 3s + υ, 0 υ 2. Εποµένως σ κ = σ 3s+υ = (σ 3 ) s σ υ = eσ υ = σ υ,

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.1 Υποοµάδες 45 δηλαδή οι διακεκριµένες δυνάµεις του σ είναι οι : σ, σ 2, σ 3 = e. 4. Η οµάδα (Z n, +) είναι κυκλική γιατί Z n = {0, 1, 2 1 = 2,, (n 1) 1} = {κ 1 κ Z}. Στο επόµενο εδάφιο ϑα ασχοληθούµε περισσότερο µε τις κυκλικές οµάδες. Τώρα ϑα γενικεύσουµε τον Ορισµό 2.1.12. Παρατηρούµε ότι η οµάδα D 2 3 δεν είναι κυκλική, γιατί δεν υπάρχει ένα στοιχείο της, έστω g, ώστε κάθε στοιχείο της να είναι δύναµη του g. Αυτό το διαπιστώνουµε από τον πίνακα του Cayley της D 2 3 (ϐλ. Παράδειγµα 1.1.4.3). Ακόµη, όµως, παρατηρούµε ότι κάθε στοιχείο της D 2 3 είναι γινόµενο δυνάµεων του ρ και του ε. Με αφορµή τις παρατηρήσεις αυτές οδηγούµαστε στον επόµενο ορισµό. Ορισµός 2.1.14 Εστω G µία οµάδα. Ενα υποσύνολο S του G λέγεται σύνολο παραγόντων στοιχείων (set of generators) της G και συµβολίζουµε G = S, αν G = {s 1 s 2... s n s i S ή s 1 i S, n N}. Παραδείγµατα 2.1.15 1. Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα (S 3, ), ϐλέπε Παράδειγµα 1.1.2.7. Η S 3 έχει 6 στοιχεία, ας συµβολίσουµε µε σ = ( 1 2 3 1 2 3 ) και µε τ = ( 2 3 1 2 1 3 ). Υπολογίζουµε τον πίνακα Cayley της S 3 προκειµένου να ϐρούµε ένα παράγον σύνολο της S 3. Φυσικά για την S 3 µας ϐοηθά το γεγονός ότι έχει µικρή τάξη. Οπως είδαµε σ 2 = ( 1 2 3 3 1 2 ), σ3 = e S 3. Ακόµη υπολογίζουµε ότι τ 2 = e, στ = ( 1 2 3 3 2 1 ), σ2 τ = ( 1 2 3 1 3 2 ). Άρα S 3 = {e, σ, σ 2, τ, στ, σ 2 τ}. (2.1.3) Ο πίνακας Cayley της S 3 εύκολα υπολογίζεται (µε τους απαραίτητους υπολο-

46 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων γισµούς) ότι είναι ο Πίνακας 2.1. e σ σ 2 τ στ σ 2 τ e e σ σ 2 τ στ σ 2 τ σ σ σ 2 e στ σ 2 τ τ σ 2 σ 2 e σ σ 2 τ τ στ τ τ σ 2 τ στ e σ 2 σ στ στ τ σ 2 τ σ e σ 2 σ 2 τ σ 2 τ στ τ σ 2 σ e Πίνακας 2.1 Από το σύνολο S 3 στη σχέση (2.1.3) προκύπτει ότι S 3 = σ, τ, δηλαδή το σύνολο {σ, τ} είναι παράγον σύνολο για την S 3. Αλλά ακόµη µε τη ϐοήθεια του πίνακα Cayley µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι S 3 = σ, τ = σ, στ. Μπορούµε να υπολογίσουµε και άλλα παράγοντα σύνολα µε δύο στοιχεία της S 3, ενώ καταλαβαίνουµε ότι παράγοντα σύνολα µε περισσότερα από δύο στοιχεία υπάρχουν, αλλά δεν είναι τόσο χρήσιµα. Από τους υπολογισµούς ϕαίνεται ότι όσο µικρότερο παράγον σύνολο εντοπίσουµε για µία οµάδα τόσο καλύτερο και ταχύτερο αποτέλεσµα έχουµε για τον χειρισµό της οµάδας. 2. Η διεδρική οµάδα D 2 3 παράγεται από τα στοιχεία ρ, ε (ϐλ. Παράδειγµα 1.1.4.3), όπως διαπιστώνεται από τον πίνακα Cayley. Οµοια η D 2 4 έχει παράγον σύνολο το {ρ, ε} (ϐλ. Παράδειγµα 1.1.4.4). 3. Ας δούµε την οµάδα (Q, +). Ενας τυχαίος ϱητός αριθµός έχει τη µορφή α n, όπου α Z και n N /{0}, δηλαδή είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 1 n. Άρα (Q, +) = { 1 n n N /{0}}. 4. Από το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα της Αριθµητικής γνωρίζουµε ότι κάθε ϱητός αριθµός γράφεται ως ± s i=1 όπου p i, 1 i s, είναι πρώτοι ϕυσικοί αριθµοί, α i Z και s N {0}. Άρα (Q, ) = { 1 {p p είναι πρώτος ϕυσικός αριθµός}}. Από τα παραπάνω παραδείγµατα ϐλέπουµε ότι υπάρχουν άπειρης τάξης οµάδες µε µονοσύνολο παράγον σύνολο όπως η (Z, +) ή µία κυκλική οµάδα άπειρης τάξης. Υπάρχουν οµάδες άπειρης τάξης που έχουν παράγον σύνολο µε άπειρο πλήθος στοιχείων, όπως η (Q, +) και η (Q, ). Καταλαβαίνουµε ότι το παράγον σύνολο δίνει σηµαντικές πληροφορίες για την οµάδα, όµως η εύρεση παραγόντων συνόλων µε συγκεκριµένες ιδιότητες είναι πολλές ϕορές δυσεπίλυτο πρόβληµα. p α i i

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.1 Υποοµάδες 47 Ασκήσεις 1. ίνεται ένα µη κενό σύνολο X και ένας ϑετικός πραγµατικός αριθµός α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d X X {0, α}, (x, y) { 0, αν x = y α, αν x y είναι µία µετρική στο X. Ακόµη να αποδείξετε ότι, για τον µετρικό χώρο X, ισχύει Isom(X) = S X. 2. Θεωρούµε το σύνολο R των πραγµατικών αριθµών ως Ευκλείδειο χώρο διάστασης 1. Ο R µε µετρική τη d(x y) = x y, x, y R, γίνεται ένας µετρικός χώρος. Να αποδείξετε ότι : i. Για κάθε α R, η συνάρτηση είναι µία ισοµετρία. ii. Για κάθε α R, η συνάρτηση είναι µία ισοµετρία και ακόµη ότι τ α R R, x x + α ε α R R, x α x ε 2 α = 1 R και ε α τ β = τ β ε α, α, β R. iii. Κάθε ισοµετρία του R είναι µία µετατόπιση ή ένας κατοπτρισµός. iv. Το σύνολο T = {τ α α R} αποτελεί αντιµεταθετική υποοµάδα της Isom(R). (v) Αν ορίσουµε τ n 1 = τ n, n Z, τότε S R (Z) = {τ n 1 n Z} {τ n 1 ε 0 n Z}. 3. Με τους συµβολισµούς του Παραδείγµατος 2.1.5.10 να εξετάσετε αν το Hε αποτελεί υποοµάδα της Isom(R 2 ). 4. Εστω G µία οµάδα και g G. Να αποδείξετε ότι το {g κ κ Z} είναι υποοµάδα της G. 5. Εστω G µία οµάδα και H G. Να αποδείξετε ότι το ghg 1 αποτελεί υποοµάδα της G, g G. Η υποοµάδα ghg 1 λέγεται συζυγής (conjugate) υποοµάδα της H.

48 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων 2.2 Τάξη στοιχείου - Κυκλικές οµάδες Από τα παραδείγµατα των κυκλικών οµάδων που αναφέραµε στο Εδάφιο 2.1 είδαµε ότι υπάρχουν πεπερασµένες κυκλικές οµάδες, όπως η 1, i, 1, i, όπου i C και i 2 = 1, και υπάρχουν άπειρες κυκλικές οµάδες, όπως η (Z, +) = 1. Εδώ ϑα εξετάσουµε λεπτοµερέστερα τις κυκλικές οµάδες. Ας ϑεωρήσουµε µία οµάδα G και g G. Εστω H = g = {g k k Z}, η υποοµάδα της G που παράγεται από το στοιχείο της g. Ας υποθέσουµε ότι η H έχει πεπερασµένη τάξη, δηλαδή H <. Αυτό σηµαίνει ότι όλες οι ακέραιες δυνάµεις του g δεν είναι διακεκριµένες. Εποµένως υπάρχουν τουλάχιστον δύο ακέραιοι κ, λ τέτοιοι ώστε κ λ και g κ = g λ g κ λ = e. Αν κ > λ, τότε κ λ N. Αν κ < λ, τότε από τη σχέση g κ = g λ g λ κ = e και λ κ > 0, δηλαδή λ κ N. Συµπαιρένουµε, έτσι, ότι σε κάθε περίπτωση υπάρχει ϕυσικός αριθµός, έστω s (κ λ ή λ κ), ώστε g s = e. Θεωρούµε το σύνολο A = {ν N /{0} g ν = e}. Το A είναι µη κενό υποσύνολο του συνόλου των ϕυσικών αριθµών, εποµένως έχει ένα ελάχιστο στοιχείο, έστω n. Ετσι, n είναι ο ελάχιστος διάφορος του µηδενός ϕυσικός αριθµός ώστε g n = e. Θα υπολογίσουµε, τώρα, µε τη ϐοή- ϑεια του n όλες τις διακεκριµένες δυνάµεις του g, δηλαδή όλα τα στοιχεία της κυκλικής οµάδας H. Εστω g κ ένα τυχαίο στοιχείο της H, από τον αλγόριθµο του Ευκλείδη προκύπτει ότι υπάρχουν µοναδικοί ϕυσικοί αριθµοί π και υ, ωστε κ = πn + υ, µε 0 υ n 1. Εποµένως g κ = g πn+υ = (g n ) π g υ = e π g υ = g υ, 0 υ n 1. Άρα οι δυνατές διακεκριµένες δυνάµεις του g είναι οι δηλαδή g 0 = e, g, g 2,..., g n 1, H = g = {e, g,..., g n 1 }. Ακόµη από τα παραπάνω παρατηρούµε ότι g κ = e κ = tn, για κάποιο t Z, κ 0 modn

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.2 Τάξη στοιχείου - Κυκλικές οµάδες 49 και g κ = g λ g κ λ = e κ λ 0 modn κ λ modn. Αν, τώρα, η υποοµάδα H = g έχει άπειρο πλήθος στοιχείων, τότε όλες οι ακέραιες δυνάµεις του g είναι διακεκριµένες, δηλαδή H = {..., g κ,..., g 1, e, g,..., g κ,...}. Πράγµατι, αν υπάρχουν ακέραιοι κ, λ ώστε g κ = g λ, τότε, όπως παραπάνω, ϑα οδηγούµασταν στο συµπέρασµα ότι τα στοιχεία της H ϑα ήταν πεπερασµένου πλήθους. Εποµένως, αν H =, τότε, για ακεραίους κ, λ, g κ = g λ κ = λ. Από τα παραπάνω ϕαίνεται η ανάγκη του επόµενου ορισµού. Ορισµός 2.2.1 Εστω g ένα στοιχείο µίας οµάδας G. Ο ελάχιστος διάφορος του µηδενός ϕυσικός αριθµός n, αν υπάρχει, για τον οποίο g n = e λέγεται τάξη (order) του στοιχείου g, συµβολίζεται µε ord(g) και λέµε ότι το στοιχείο έχει πεπερασµένη (finite) τάξη. Αν δεν υπάρχει τέτοιος ϕυσικός αριθµός για το στοιχείο g G, τότε λέµε ότι το στοιχείο g έχει άπειρη (infinite) τάξη και συµβολίζουµε ord(g) =. Από όσα προηγήθηκαν του ορισµού 2.2.2 αποδείχθηκε η επόµενη πρόταση Πρόταση 2.2.2 Εστω G µία οµάδα και g G. i. αν ord(g) = n < και g = ord(α), τότε και αν ord(g) = n =, τότε g = {e, g,..., g n 1,...}, g = {..., g κ,..., g 1, e, g,..., g κ,...}. ii. Εστω ord(g) = n <. Τότε, για κ, λ Z, α κ = α λ κ λ mod n και ιδιαίτερα α κ = e κ 0 mod n. iii. Εστω ord(g) =. Τότε, για κ, λ Z, α κ = α λ κ λ.

50 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Παραδείγµατα 2.2.3 1. Το ουδέτερο στοιχείο e µίας οµάδας G είναι το µόνο στοιχείο µε τάξη ίση µε 1. Πράγµατι αν α G και ord(α) = 1 α 1 = e. 2. Στην κυκλική οµάδα (Z, +) το στοιχείο 1 έχει άπειρη τάξη. Αλλά και κάθε ακέραιος κ 0 έχει άπειρη τάξη, αφού αν s, t Z, τότε sκ = tκ s = t. Οµως, αν κ Z /{ 1, 1}, τότε κ = {κs s Z} Z. 3. Στην κυκλική οµάδα G = g άπειρης τάξης, δηλαδή ord(g) =, κάθε στοιχείο g κ, κ Z /{0} έχει άπειρη τάξη. Πράγµατι αν ord(g κ ) = s <, τότε (g κ ) s = e g κs = e = g 0, δηλαδή οι δυνάµεις του g δεν είναι διακεκριµένες, ισοδύναµα ord(g) < το οποίον είναι αδύνατον. 4. Στην οµάδα i (ϐλ. Παράδειγµα 2.1.13.1), παρατηρούµε ότι ord(i) = 4 = ord( i) και ord( 1) = 2. 5. Παίρνουµε το Παράδειγµα 1.2.8.1. Στην οµάδα του Πίνακα 1.12, ϐλέπου- µε ότι ord(α) = 2 = ord(β) = ord(γ) Στην οµάδα του Πίνακα 1.13, ϐλέπουµε ότι ord(α) = 2, ord(β) = 4 = ord(γ) και ακόµη η οµάδα αυτή είναι κυκλική, παράγεται από το β ή από το γ, δηλαδή β = {β, β 2 = α, β 3 = γ, β 4 = e} = γ = {γ, γ 2 = α, γ 3 = β, γ 4 = e}. Για τις οµάδες των Πινάκων 1.14 και 1.15 παρατηρούµε ότι είναι επίσης κυκλικές, αυτή µε πίνακα Cayley τον πίνακα 3 παράγεται από το α ή από το γ, ενώ αυτή του Πίνακα 1.15 παράγεται από το α ή το β. 6. Στο Παράδειγµα 1.2.8.3 παρατηρούµε από τον πίνακα Cayley, ϐλ. Πίνακα 1.17, ότι ord(α) = 5 = ord(β) = ord(γ) = ord(δ) και α = β = γ = δ. 7. Στην οµάδα D 2.3 (ϐλ. Παράδειγµα 1.1.4.3) ϐλέπουµε από τον πίνακα Cayley, ϐλ. Πίνακα 1.5, ότι ord(ρ) = 3, ord(ε) = 2.

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.2 Τάξη στοιχείου - Κυκλικές οµάδες 51 8. Θεωρούµε την οµάδα Z 8 = {1, 3, 5, 7}. Υπολογίζουµε τις τάξεις των στοιχείων της. Βλέπουµε ότι 3 2 = 9 = 1, και δεν υπάρχει ϕυσικός s < 2 για τον οποίο 3 s = 1. Άρα ord(3) = 2. Οµοια ord(5) = 2 = ord(7). Βέβαια η Z 8 δεν είναι κυκλική, αφού δεν υπάρχει στοιχείο της που να την παράγει. Ας δούµε τώρα, µερικές ϐασικές ιδιότητες της έννοιας της τάξης στοιχείου οµάδας. Πρόταση 2.2.4 Εστω G µία οµάδα. i. ord(g) = ord(g 1 ), g G. ii. ord(g) = ord(αgα 1 ), g, α G. iii. ord(gα) = ord(αg), g, α G. Απόδειξη : i. Εστω ord(g) =. Αν ord(g 1 ) = κ <, τότε (ϐλέπε Θεώρηµα 1.3.2, i) (g 1 ) κ = e (g κ ) 1 = e g κ = e αυτό, όµως, είναι άτοπο, γιατί ord(g) =. Άρα ord(g 1 ) = και ord(g) = ord(g 1 ). Εστω ότι ord(g) = n < και ord(g 1 ) = s <. Τότε Οµοια από τη σχέση ord(g) = n g n = e (g n ) 1 = e (g 1 ) n = e s n. ord(g 1 ) = s (g 1 ) s = e (g s ) 1 = e g s = e n s. Οι σχέσεις n s και s n για τους ϕυσικούς αριθµούς s και n οδηγούν στη σχέση n = s. Άρα σε κάθε περίπτωση ord(g) = ord(g 1 ) και αποδείχθηκε η i). ii. Η απόδειξη είναι ανάλογη µε αυτή του i), αρκεί να παρατηρήσουµε ότι (αgα 1 ) κ = αg κ α 1. Οι λεπτοµέρειες αφήνονται για τον αναγνώστη. iii. Εστω ord(gα) = n < και ord(αg) = s <. Τότε ord(gα) = n (gα) n = e gαgα gα = e g(αg) n 1 α = e n ϕορές (αg) n 1 = g 1 α 1 (αg) n 1 = (αg) 1 (αg) n = e s n. Οµοια n s, άρα n = s. Η περίπτωση ord(gα) = αντιµετωπίζεται όπως στο i) και αφήνεται για τον αναγνώστη.

52 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Πρόταση 2.2.5 Εστω G = g µία κυκλική οµάδα. Τότε i. Αν ord(g) = n <, τότε για κάθε κ Z, ισχύει ord(g κ ) = n (n, κ), όπου (n, κ) = ΜΚ {n, κ} και G = g κ, (n, κ) = 1. ii. Αν ord(g) =, τότε η G παράγεται από το g ή από το g 1. Απόδειξη : i. Εστω ότι ord(g κ ) = t. Επειδή οι αριθµοί ακέραιοι, έχουµε (g κ ) n nκ (n,κ) = g (n,κ) = (g n ) κ (n,κ) = e. Εποµένως, αφού ord(g κ n ) = t, έπεται ότι t (n,κ). Ακόµη, e = (g κ ) t e = g κt n κt n (n, κ) κ (n, κ) t n (n,κ) και κ (n,κ) και επειδή οι αριθµοί n (n,κ) t. Τώρα, από τις σχέσεις t n (n,κ) και ord(g κ ) = t = n (n,κ) και κ (n,κ) είναι είναι πρώτοι µεταξύ τους, προκύπτει ότι t έπεται ότι n (n,κ) n (n, κ) και αποδείχθηκε το i). Τώρα, ας παρατηρήσουµε ότι αν G = g είναι µία πεπερασµένη κυκλική οµάδα µε ord(g) = n και α είναι ένα επίσης παράγον στοιχείο της G, τότε Άρα g = G = α. G = g = n = ord(g) = ord(α) (ϐλέπε Πρόταση 2.2.2, i). Ετσι διαπιστώνουµε ότι κάθε παράγον στοιχείο της G έχει τάξη n. Εφαρµόζουµε τώρα στη παραπάνω διαπίστωση το i., και ϐρίσκουµε ποιά είναι ακριβώς τα στοιχεία που παράγουν την G. Είναι ακριβώς τα g κ G για τα οποία Άρα n = n (n, κ) = 1. (n, κ) G = g κ, όπου (n, κ) = 1 και αποδείχθηκε το i). Το ii) αφήνεται ως άσκηση για τον αναγνώστη.

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.2 Τάξη στοιχείου - Κυκλικές οµάδες 53 Παραδείγµατα 2.2.6 1. Ας ϑεωρήσουµε την οµάδα (Z n, +), η οποία όπως είδαµε είναι κυκλική και Z n = 1 (ϐλ. Παράδειγµα 2.1.13.4) Από την Πρόταση 2.2.5, ii. προκύπτει ότι Z n = κ 1 = κ, όπου (κ, n) = 1. 2. Στην οµάδα (Z 6, +) το στοιχείο 2 = 2 1 έχει τάξη 6 (2,6) = 6 2 = 3, ενώ ord(3) = 2. 3. Θεωρούµε την οµάδα (Z p, +), όπου p είναι ένας πρώτος ϕυσικός αριθ- µός. Αν α Z p /{1}, τότε ord(α) = p (α, p) = p 1 = p. Άρα κάθε στοιχείο α 1 της Z p έχει τάξη p, δηλαδή είναι παράγον στοιχείο της Z p. Πρόταση 2.2.7 Εστω G µία οµάδα και α, β δύο στοιχεία της G πεπερασµένης τάξης έτσι ώστε (ord(α), ord(β)) = 1 και Τότε αβ = βα. ord(αβ) = ord(α)ord(β). Απόδειξη : Εστω ότι ord(α) = κ, ord(β) = λ και ord(αβ) = n. Τότε επειδή αβ = βα, έχουµε (αβ) κλ = α κλ β κλ = (α κ ) λ (β λ ) κ = e e = e. Άρα ord(αβ) κλ, δηλαδή n κλ. Επίσης από τις σχέσεις ord(αβ) = n και αβ = βα, έπεται ότι e = (αβ) nκ = α nκ β nκ = eβ nκ = β nκ, άρα Οµοια άρα λ nκ e = (αβ) nλ = α nλ β nλ = α nλ e = α nλ, κ nλ.

54 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Οµως (κ, λ) = 1, εποµένως από τις σχέσεις λ nκ και κ nλ έπεται ότι κ n και λ n, δηλαδή κλ n. Οι σχέσεις n κλ και κλ n, οδηγούν στη σχέση κλ = n, για τους ϕυσικούς αριθµούς κ, λ, n. Ετσι αποδείχθηκε η πρόταση. Το επόµενο συµπέρασµα δίνει µία σηµαντική πληροφορία για τη δοµή των κυκλικών οµάδων. Θεώρηµα 2.2.8 Κάθε υποοµάδα κυκλικής οµάδας είναι κυκλική. Απόδειξη : Εστω G = g και H µία γνήσια υποοµάδα της G. Τα στοιχεία της H είναι δυνάµεις του g, έστω, λοιπόν, ότι M = {κ g κ H, κ 0}. Το M Z, αλλά στο M υπάρχουν και ϕυσικοί αριθµοί. Πράγµατι, αν g κ H, τότε g κ H. Εστω M 1 = {κ κ N {0}, g κ H}. Το M 1 έχει ένα ελάχιστο στοιχείο ως υποσύνολο του N και έστω n αυτό. Αν g s H µε s M 1, τότε υπάρχουν µοναδικοί ϕυσικοί αριθµοί ώστε s = nπ + υ, µε 0 υ n 1. Εποµένως g s = g nπ+υ = (g n ) π g υ g υ = (g n ) π g s H, γιατί g n, g s H. Οµως, από την επιλογή του n και τις δυνατές τιµές που µπορεί να λάβει το υ, έπεται ότι υ = 0. Άρα το τυχαίο στοιχείο g s του H µε ϑετικό εκθέτη είναι της µορφής g nπ = (g n ) π. Αυτό σηµαίνει ότι το τυχαίο στοιχείο του H είναι δύναµη του g n, αφού g s = (g n ) π. Άρα το H περιέχει δυνάµεις του g n και αφού είναι οµάδα, ως υποοµάδα της G, περιέχει όλες τις δυνάµεις του g n, δηλαδή H = g n. Αποδείχθηκε έτσι το Θεώρηµα. Παρατήρηση 2.2.9 Θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι το αντίστροφο του Θεωρήµατος 2.2.8 δεν ισχύει. Αν, δηλαδή, κάθε υποοµάδα µίας οµάδας G είναι κυκλική δεν έπεται ότι η G είναι κυκλική. Π.χ. η S 3 έχει την ιδιότητα κάθε υποοµάδα της να είναι κυκλική (ϐλέπε Παράδειγµα 2.1.15.1), όµως η S 3 δεν είναι κυκλική.

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.3 Οµοµορφισµοί οµάδων 55 Παράδειγµα 2.2.10 1. Θεωρούµε την οµάδα (Z p, +). Οπως είδαµε στο Παράδειγµα 3 στη σελίδας 53, κάθε στοιχείο α 1 της Z p είναι παράγον στοιχείο της. Αν H Z p, τότε από το Θεώρηµα 2.2.8 η H είναι κυκλική, άρα παράγεται από κάποιο στοιχείο της Z p. Εποµένως ή H = {1} ή H = Z p. Συµπέρασµα : Η (Z p, +) έχει δύο µόνον υποοµάδες την {1} και τον εαυτό της. 2. Εστω p ένας πρώτος ϕυσικός αριθµός. Τότε (p 1)! ( 1)modp (Θεώρηµα του Wilson). Πράγµατι, ϑεωρούµε την πολλαπλασιαστική οµάδα Z p = {1, 2,..., p 1}. Κάθε στοιχείο της Z p, έχει αντίστροφο, επίσης µόνον τα στοιχεία 1 και -1 ταυτίζονται µε το αντίστροφό τους. Άρα στο γινόµενο 1 2 p 1 = 1, αφού τα άλλα στοιχεία ϑα απλοποιηθούν. Άρα (p 1)! ( 1)modp. Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε την τάξη κάθε στοιχείου της (Z 9, ). Είναι η Z 9 κυκλική ; 2. Να ολοκληρωθεί η απόδειξη της Πρότασης 2.2.4. 3. Να αποδείξετε οτι τα στοιχεία A = ( 1 0 0 1 ) και B = ( 1 1 ) της οµάδας 0 1 GL 2 (R) έχουν τάξη 2, ενώ ord(ab) =. 4. Να εξηγήσετε αν ισχύει η επόµενη πρόταση : Αν η G είναι µία οµάδα τάξης n <, τότε υπάρχει στοιχείο g G µε ord(g) = n. 5. Να αποδείξετε ότι αν G είναι µία αβελιανή οµάδα, το σύνολο των στοιχείων της µε πεπερασµένη τάξη είναι υποοµάδα της G. Η πρόταση αυτή ισχύει για µη αβελιανές οµάδες ; (Υπόδειξη : ϐλ. άσκηση 3) 6. Να αποδείξετε ότι µία οµάδα µε τάξη άρτιο αριθµό περιέχει περιττό πλήθος στοιχείων τάξης ισης µε 2. 7. Να υπολογίσετε όλες τις υποοµάδες της (Z, +). 8. Να υπολογίσετε όλες τις υποοµάδες της (Z 8, +). 2.3 Οµοµορφισµοί οµάδων Ας ϑεωρήσουµε τις οµάδες Z 4 = {0, 1, 2, 3} και G = {1, i, 1, i}. Οπως έ- χουµε διαπιστώσει είναι και οι δύο κυκλικές οµάδες τάξης 4 και Z 4 = 1 =

56 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων {0, 1 1, 2 1, 3 1}, ενώ G = i = {1, i, i 2, i 3 }. Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα Cayley για κάθε µία από αυτές τις οµάδες ϑα διαπιστώσουµε ότι αν αλλάξου- µε την ονοµασία των στοιχείων της οµάδας Z 4 ως εξής : καλέσουµε 1 το 0, i το 1, 1 το 2 και i το 3, τότε ο πίνακας Cayley της G γίνεται ο πίνακας Cayley της Z 4. Το γεγονός αυτό το περιγράφουµε λέγοντας ότι οι οµάδες Z 4 και G είναι ισόµορφες. Ας δούµε ουσιαστικά τι κάναµε παραπάνω. Ορίσαµε µία συνάρτηση f Z 4 G µε κανόνα f ( 0 1 2 3 1 i 1 i ). Η συνάρτηση f είναι προφανώς αµφιµονότιµη και επί. Ακόµη είναι εύκολο να δούµε ότι αν, για α, β, γ Z 4, α β = γ τότε f(α) + f(β) = f(γ), (η Z 4 είναι προσθετική και η G πολλαπλασιαστική). Η συνάρτηση f παρατηρούµε ότι ουσιαστικά διατηρεί τη δοµή των δύο οµάδων. οκιµάζοντας µε άλλες συναρτήσεις από τη Z 4 στην G είναι εύκολο να δούµε ότι δεν ϑα έχουµε το ίδιο αποτέλεσµα. Σε αυτό το εδάφιο εξετάζουµε τέτοιες συναρτήσεις, όπως η f, αλλά και γενικότερες όπως είναι οι οµοµορφισµοί οµάδων, δηλαδή συναρτήσεων που δεν διατηρούν πλήρως τη δοµή του προτύπου και της εικόνας. Τέτοιες συναρτήσεις µας ϐοηθούν γνωρίζοντας ιδιότητες της οµάδας πρότυπο να ανακαλύψουµε αντίστοιχες ιδιότητες της οµάδας εικόνας. Με άλλα λόγια να συγκρίνουµε µεταξύ τους οµάδες. Ορισµός 2.3.1 Εστω G και H δύο οµάδες. Μία συνάρτηση f G H λέγεται οµοµορφισµός (homomorphism) από την οµάδα G στην οµάδα H αν για όλα τα g 1, g 2 G. f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ), (2.1) Στη σχέση (2.1) το γινόµενο g 1 g 2 ορίζεται ως προς την πράξη της G, ενώ το γινόµενο f(g 1 )f(g 2 ) ορίζεται ως προς την πράξη της H. Ιδιαίτερη ονοµασία δίνουµε στον οµοµορφισµό f ανάλογα µε τις ιδιότητες που έχει η συνάρτηση f, έτσι προκύπτει ο επόµενος ορισµός. Ορισµός 2.3.2 Εστω f G H ένας οµοµορφισµός της οµάδας G στην οµάδα H. Ο f λέγεται επιµορφισµός (epimorphism), αν η συνάρτηση f είναι επί. Ο f λέγεται µονοµορφισµός (monomorphism), αν η συνάρτηση f είναι αµφιµονότιµη. Ο f λέγεται ισοµορφισµός (isomorphism), αν η συνάρτηση f είναι αµφιµονότιµη και επί. Ιδιαίτερη ορολογία έχουµε όταν H = G. Ο οµοµορφισµός f G G λέγεται ενδοµορφισµός (endomorphism) της G. Ο ισοµορφισµός f G G λέγεται αυτοµορφισµός (automorphism) της G. ύο

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.3 Οµοµορφισµοί οµάδων 57 οµάδες G και H λέγονται ισόµορφες (isomorphic) αν υπάρχει ισοµορφισµός f G H και συµβολίζουµε G H. Αν υπάρχει µονοµορφισµός f G H, τότε λέµε ότι η οµάδα G εµφυτεύεται στην H και συµβολίζουµε G H, επίσης ο µονοµορφισµός λέγεται εµφύτευση (embedding). Παραδείγµατα 2.3.3 1. Για κάθε ϕυσικό αριθµό n > 1, η συνάρτηση f Z Z n, α α είναι επιµορφισµός οµάδων (προσθετικών). Πράγµατι, αν α, β Z, τότε f(α + β) = α + β = α + β = f(α) + f(β). Άρα η f είναι οµοµορφισµός οµάδων. Η f είναι επί συνάρτηση. Πράγµατι, αν α Z n, τότε υπάρχει το α Z ώστε f(α) = α. Εποµένως η f είναι επιµορφισµός. 2. Η συνάρτηση f R {1, 1}, f(r) = { είναι επιµορφισµός πολλαπλασιαστικών οµάδων. 3. Η συνάρτηση S n {1, 1}, σ { 1, αν r > 0 1, αν r < 0 1, αν η σ είναι άρτια 1, αν η σ είναι περιττή είναι επιµορφισµός οµάδων. 4. Αν n > 0 είναι ϕυσικός αριθµός, η συνάρτηση f GL n (R) R, A det(a) είναι επιµορφισµός πολλαπλασιαστικών οµάδων. Πράγµατι, αν A, B GL n (R), τότε f(ab) = det(ab) = det(a) det(b) = f(a)f(b), δηλαδή η f είναι οµοµορφισµός οµάδων. Η f είναι επί συνάρτηση, γιατί αν α R, τότε υπάρχει ο πίνακας α 0... 0 0 1... 0 0...... 1 GL n (R) και f(a) = α. Ας παρατηρήσουµε εδώ ότι η GL n (R) είναι µη αβελιανή, για κάθε n > 1, ενώ η R είναι αβελιανή οµάδα. Ακόµη για n = 1, η f είναι ισοµορφισµός οµάδων.

58 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Ας δούµε µερικές ϐασικές ιδιότητες των οµοµορφισµών οµάδων. Πρόταση 2.3.4 Εστω f G H ένας οµοµορφισµός οµάδων. Τότε τα επό- µενα ισχύουν i. Το f(e) είναι το ουδέτερο στοιχείο της H, όπου e είναι το ουδέτερο στοιχείο της G. ii. f(α 1 ) = f(α) 1, όπου α G. iii. Αν K G, τότε η f(k) H. Απόδειξη : i. Εστω g G, τότε f(ge) = f(g) f(g)f(e) = f(g) Οµως, στην οµάδα επιτρέπεται η απλοποίηση, άρα από την τελευταία σχέση έπεται ότι το f(e) είναι το ουδέτερο στοιχείο της H. ii. Εστω g G, τότε gg 1 = e f(gg 1 ) = f(e) f(g)f(g 1 ) = f(e) και επειδή από το i) το f(e) είναι το ουδέτερο στοιχείο της H, από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι το f(g 1 ) είναι το αντίστροφο του f(g) στην H. iii. Εστω K G. Γνωρίζουµε ότι f(k) = {f(κ) κ K}. Εστω κ 1, κ 2 K, τότε από το ii) έχουµε γιατί κ 1 κ 1 2 f(κ 1 )f(κ 2 ) 1 = f(κ 1 )f(κ 1 2 ) = f(κ 1, κ 1 2 ) f(k), K (ϐλέπε Θεώρηµα 2.1.3). Άρα f(κ 1 )f(κ 1 2 ) K, δηλαδή f(k) H, πάλι σύµφωνα µε το Θεώρηµα 2.1.3. Πρόταση 2.3.5 i. Η σύνθεση οµοµορφισµών οµάδων, όταν αυτή ορίζεται, είναι επίσης οµοµορφισµός οµάδων. ii. Συµβολίζουµε µε Aut(G) το σύνολο των αυτοµορφισµών µίας οµάδας G. Το Aut(G) µε πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων αποτελεί οµάδα.

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.3 Οµοµορφισµοί οµάδων 59 Απόδειξη : i. Εστω G, H, K οµάδες και f G H, g H K δύο οµοµορφισµοί οµάδων. Θα δείξουµε ότι η g f είναι οµοµορφισµός οµάδων. Εστω α, β G, τότε g f(αβ) = g(f(αβ)) = g(f(α)f(β)) = = g(f(α))g(f(β)) = g f(αβ)g f(αβ). Άρα η g f G K είναι οµοµορφισµός οµάδων. ii. Εστω G µία οµάδα. Η σύνθεση αυτοµορφισµών της G είναι επίσης αυτο- µορφισµός της G, όπως προκύπτει από το i) και τις ιδιότητες των συναρτήσεων. Άρα η σύνθεση συναρτήσεων είναι µία πράξη τστο σύνολο Aut(G), η οποία είναι προσεταιριστική. Η ταυτότητα 1 G στο G είναι ϕανερό ότι είναι το ουδέτερο στοιχείο της (Aut(G), ). Μένει να αποδείξουµε ότι αν f Aut(G), τότε η αντίστροφη συνάρτηση f 1 της f ανήκει στο Aut(G). Οµως, η f 1 G G είναι αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση, άρα αρκεί να δείξουµε ότι η f 1 είναι ενδοµορφισµός της G. Εστω x, y G, τότε υπάρχουν στοιχεία α, β G τέτοια ώστε x = f(α) και y = f(β), αφού η f είναι επί συνάρτηση. Άρα f 1 (xy) = f 1 (f(α)f(β)) = f 1 (f(αβ)) = = f 1 f(αβ) = αβ = f 1 (x)f 1 (y), δηλαδή η f 1 είναι ενδοµορφισµός της G και αποδείχθηκε το ii). Παραδείγµατα 2.3.6 1. ίνεται ένας µονοµορφισµός οµάδων ϕ G H, όπου η H είναι µία αβελιανή οµάδα. Θα αποδείξουµε ότι και η G είναι αβελιανή. Πράγµατι αφού η ϕ είναι οµοµορφισµός και η H είναι αβελιανή, τότε ϕ(αβ) = ϕ(α)ϕ(β) = ϕ(β)ϕ(α) = ϕ(βα), α, β G. Οµως, η ϕ είναι µονοµορφισµός, δηλαδή η ϕ είναι αµφιµονότιµη, άρα από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι αβ = βα, για όλα τα α, β G. Εποµένως η G είναι αβελιανή. 2. Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕ R GL n (R), α α 0... 0 0 1... 0 0...... 1

60 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Η ϕ είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση, αφού, για α, β R, έχουµε ϕ(α) = ϕ(β) α = β. Επίσης η ϕ είναι οµοµορφισµός οµάδων. Πράγµατι, για α, β R, ισχύει ϕ(αβ) = αβ 0... 0 0 1... 0 0...... 1 = α 0... 0 0 1... 0 0...... 1 β 0... 0 0 1... 0 0...... 1 = = ϕ(α)ϕ(β). Άρα η ϕ είναι µονοµορφισµός οµάδων. Παρατηρούµε ότι, ενώ η (R, ) είναι αβελιανή, δεν ισχύει το ίδιο για την (GL n (R), ). Με άλλα λόγια δεν ισχύει το συµπέρασµα του παραπάνω Παραδείγµατος 1, αν η G είναι αβελιανή. 3. ίνεται η αβελιανή οµάδα G και ο οµοµορφισµός οµάδων ϕ G H. Θα αποδείξουµε ότι η ϕ(g) είναι αβελιανή υποοµάδα της H. Πράγµατι, από την Πρόταση 2.3.4, iii) προκύπτει ότι η ϕ(g) H. Μένει να αποδείξουµε την αντιµεταθετικότητα της ϕ(g). Εστω α, β G, τότε ϕ(α)ϕ(β) = ϕ(αβ) = ϕ(βα) = ϕ(β)ϕ(α) από τον ορισµό του συνόλου ϕ(g), έπεται ότι η ϕ(g) είναι αβελιανή υποο- µάδα της H. ηλαδή, η αντιµεταθετικότητα µεταφέρεται στην ϕ(g). Πρόταση 2.3.7 Η οµάδα G εµφυτεύεται στην οµάδα H αν και µόνον αν η G είναι ισόµορφη µε µία υποοµάδα της H. Απόδειξη : Αν η οµάδα G εµφυτεύεται στην οµάδα H, τότε υπάρχει ένας µονοµορφισµός ϕ G H και ϕ(g) H (ϐλ. Πρόταση 2.3.4, iii.). Είναι ϕανερό ότι η συνάρτηση ϕ 1 G ϕ(g), g ϕ(g) είναι ισοµορφισµός οµάδων. Άρα η G είναι ισόµορφη µ,ε την υποοµάδα ϕ(g) της H. Αντίστροφα, αν η G είναι ισόµορφη µε την οµάδα K H, τότε υπάρχει ισοµορφισµός οµάδων f G K και η συνάρτηση f 1 G H, g f(g) είναι µονοµορφισµός οµάδων. Εστω ϕ G H ένας οµοµορφισµός οµάδων. Οπως είδαµε ορισµένες ι- διότητες που έχουν κάποια στοιχεία ή υποσύνολα της οµάδας G µεταφέρονται σε αντίστοιχες εικόνες της ϕ, όµως, όλες οι ιδιότητες της G δεν µεταφέρονται στην H. Αυτό ϑα αποδεικνύεται µε την ανάπτυξη της ϑεωρίας. Ο οµοµορ- ϕισµός είναι η έννοια που ϐοηθά στη σύγκριση µεταξύ των οµάδων. Είναι δε εύκολο να διαπιστώσει ο αναγνώστης ότι αν η ϕ είναι ισοµορφισµός τότε όλες οι ιδιότητες της G µεταφέρονται στην H και αντίστροφα ϐέβαια. Γι αυτό στην Άλγεβρα γενικότερα ταυτίζουµε τις ισόµορφες αλγεβρικές δοµές µε την

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.3 Οµοµορφισµοί οµάδων 61 έννοια ότι αρκεί να ασχοληθούµε µε µία από αυτές για να γνωρίζουµε τι συµ- ϐαίνει µε κάθε ισόµορφή της. Το µεγάλο, εποµένως, ερώτηµα για τις οµάδες ιδιαίτερα είναι : ποιές είναι οι µη ισόµορφες οµάδες ; Η απάντηση οδηγεί στην ταξινόµηση των οµάδων,αλλά η µέχρι σήµερα έρευνα ϐρίσκεται αρκετά µακριά από την πλήρη απάντηση. Προς αυτή την κατεύθυνση ϐρίσκεται το επόµενο σηµαντικό ϑεώρηµα. Θεώρηµα (Cayley) 2.3.8 Κάθε οµάδα εµφυτεύεται σε µία οµάδα µετασχηµατισµών. Ιδιαίτερα κάθε πεπερασµένη οµάδα G εµφυτεύεται στην οµάδα S n, όπου n είναι η τάξη της G. Απόδειξη : Εστω G µία οµάδα. Για κάθε στοιχείο α G ορίζουµε την αντιστοιχία f α G G, g αg. Είναι ϕανερό ότι η f α είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση αφού, αν g 1, g 2 G, τότε g 1 = g 2 αg 1 = αg 2. Ακόµη η f α είναι επί συνάρτηση. Πράγµατι, αν x G, τότε υπάρχει το στοιχείο α 1 x G, ώστε f α (α 1 x) = x. Εποµένως η f α είναι µία αµφιµονότιµη και επί συνάρτηση στο σύνολο G, δηλαδή είναι ένας µετασχηµατισµός του συνόλου G, για κάθε α G. Θεωρούµε το σύνολο S = {f α α G}. Θα αποδείξουµε ότι το σύνολο S µε πράξη τη σύνθεση συναρτήσεων είναι µία οµάδα και ϑα συγκρίνουµε την G µε την οµάδα S. Είναι ϕανερό ότι S S G, όπου (S G, ) είναι η οµάδα µετασχηµατισµών του συνόλου G (ϐλ. Παράδειγµα 1.1.2.6). Αρκεί να δείξουµε ότι S S G. Εστω f α, f β S, για δύο στοιχεία α, β G. Θα αποδείξουµε ότι f α f β 1 S σύµφωνα µε το κριτήριο υποοµάδας. Παρατηρούµε ότι, για x G, f β f β 1(x) = f β (β 1 x) = ββ 1 x = x, δηλαδή f β f β 1 = 1 G. Εποµένως fβ 1 = f β 1. Άρα, για x G, δηλαδή f α f β 1(x) = f α (β 1 x) = αβ 1 x = f αβ 1(x), f α f β 1 = f αβ 1 S. Εποµένως S S G. Ορίζουµε τώρα την αντιστοιχία ϕ G S, α f α. Θα αποδείξουµε ότι η ϕ είναι ισοµορφισµός οµάδων. Πράγµατι, αν α, β G, τότε εύκολα αποδεικνύεται ότι α = β f α = f β.

62 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Άρα, η ϕ είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση, ενώ είναι ϕανερό ότι η ϕ είναι επί συνάρτηση. Τέλος η ϕ είναι οµοµορφισµός οµάδων, γιατι, αν α, β, x G, τότε ϕ(αβ)(x) = f αβ (x) = (αβ)x = α(βx) = f α (βx) = = f α (f β (x)) = f α f β (x) = (ϕ(α)ϕ(β))(x). Εποµένως ϕ(αβ) = ϕ(α)ϕ(β). Αποδείξαµε ότι G S S G και το ϑεώρηµα προκύπτει από την Πρόταση 2.3.5. Τέλος αν όλα τα παραπάνω τα εφαρµόσουµε για την περίπτωση που G = n <, τότε η (S G, ) είναι η οµάδα µετασχηµατισµών των n αντικειµένων, δηλαδή η (S n, ). Άρα G S S n. Ας παρατηρήσουµε σε αυτό το σηµείο ότι όταν G = n <, τότε S n = n! Εποµένως για n > 2 η οµάδα G εµφυτεύεται στην S n, αλλά δεν είναι ισόµορφη µε την S n. Επίσης, όταν η G δεν είναι πεπερασµένη τότε η συνάρτηση ϕ G S, α f α είναι µονοµορφισµός οµάδων και όχι ισοµορφισµός, αφού καθε µετασχηµατισµός του συνόλου G δεν είναι απαραίτητα της µορφής f α, για κάποιο α G, όπως εύκολα µπορεί να διαπιστώσει ο αναγνώστης. Από το Θεώρηµα του Cayley προκύπτει ότι αρκεί να µελετήσουµε τις οµάδες µετασχηµατισµών και τις υποοµάδες τους για να γνωρίζουµε όλες τις οµάδες. Ιδιαίτερα αρκεί να γνωρίζουµε την S n, για κάθε ϕυσικό αριθµό n > 0, και τις υποοµάδες της για να γνωρίζουµε όλες τις πεπερασµένες οµάδες. Παρά την ιδιαίτερη αξία του Θεωρήµατος του Cayley, η έρευνα στη ϑεωρία οµάδων αποδεικνύει συνεχώς ότι πρέπει να αναπτυχθούν και άλλες µέθοδοι προσέγγισης της ϑεωρίας οµάδων από τον περιορισµό στη µελέτη των οµάδων µετασχηµατισµών. Η επόµενη έννοια που ϑα µας απασχολήσει ουσιαστικά «µετράει» πόσο απέχει ένας οµοµορφισµός οµάδων από το να είναι µονοµορφισµός, εξ αυτού του λόγου παίζει σηµαντικό ϱόλο στην αναζήτηση των ιδιοτήτων οµάδων. Ορισµός 2.3.9 Εστω ϕ G H ένας οµοµορφισµός οµάδων. (kernel) της ϕ και συµβολίζεται ker ϕ ορίζεται το σύνολο Πυρήνας ker ϕ = {g G ϕ(g) = e}.

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.3 Οµοµορφισµοί οµάδων 63 Είναι ϕανερό ότι ker ϕ G και ker ϕ = ϕ 1 ({e H }), όπου e H είναι το ουδέτερο στοιχείο της H, γι αυτό πολλοί συγγραφείς συµβολίζουν τον ker ϕ ως ϕ 1 (e). Πρόταση 2.3.10 Εστω ϕ G H ένας οµοµορφισµός οµάδων. Τότε : i. ker ϕ G, ii. ker ϕ = {e} αν και µόνον αν η ϕ είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Απόδειξη : i. Εστω α, β ker ϕ, τότε ϕ(αβ 1 ) = ϕ(α)ϕ(β 1 ) = ϕ(α)ϕ(β) 1 = e. Άρα αβ 1 ker ϕ και από το κριτήριο υποοµάδας έπεται ότι ker ϕ G. ii. Εστω ker ϕ = {e}. Αν α, β G, τότε ϕ(α) = ϕ(β) ϕ(α)ϕ(β) 1 = e ϕ(α)ϕ(β 1 ) = e ϕ(αβ 1 ) = e αβ 1 ker ϕ αβ 1 = e α = β, δηλαδή η ϕ είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Αντίστροφα, έστω ότι η ϕ είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση, τότε Άρα ker ϕ = {e} ϕ(α) = e H ϕ(α) = ϕ(e) α = e. Μπορούµε να δούµε τώρα ένα πρώτο συµπέρασµα ταξινόµησης οµάδων που αναφέρεται στις κυκλικές οµάδες. Θεώρηµα 2.3.11 µε την (Z, +). i. Κάθε κυκλική οµάδα άπειρης τάξης είναι ισόµορφη ii. Κάθε κυκλική οµάδα πεπερασµένης τάξης, έστω n, είναι ισόµορφη µε την (Z n, +). Απόδειξη : i. Εστω G = g = {g κ κ Z} µία πολλαπλασιαστική οµάδα άπειρης τάξης. Θεωρούµε την αντιστοιχία ϕ G Z, g κ κ. Η ϕ είναι συνάρτηση. Πράγµατι, αν g κ = g λ, για κάποιους ακεραίους κ, λ, τότε από τον ορισµό της άπειρης τάξης (ϐλέπε Πρόταση 2.2.2, iii.) έπεται ότι κ = λ. Είναι ϕανερό ότι η ϕ είναι αµφιµονότιµη, αφού κ = λ g κ = g λ.

64 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων Επίσης η ϕ είναι επί συνάρτηση αφού αν κ Z, g κ G, ώστε ϕ(g κ ) = κ. Τέλος η ϕ είναι οµοµορφισµός. Πράγµατι, αν g κ, g λ G, τότε ϕ(g κ, g λ ) = ϕ(g κ+λ ) = κ + λ = ϕ(g κ ) + ϕ(g λ ). Άρα η ϕ είναι οµοµορφισµός οµάδων και G = g =..., g κ,..., g 1, e, g,..., g κ,... Z. ii. Εστω G = g = e, g,..., g n 1, δηλαδή ordg = n <, µία πολλαπλασιαστική κυκλική οµάδα τάξης n. Θεωρούµε την αντιστοιχία ϕ G Z n, g κ κ. Η ϕ είναι αµφιµονότιµη συνάρτηση. Πράγµατι, έστω g κ, g λ G µε g κ = g λ κ λ mod n κ = λ (ϐλέπε Πρόταση 2.2.2, ii.). Είναι ϕανερό ότι η ϕ είναι επί συνάρτηση, αφού αν κ Z n τότε g κ G ϕ(g κ ) = κ. Τέλος η ϕ είναι οµοµορφισµός. Πράγµατι αν g κ, g λ G, τότε ϕ(g κ, g λ ) = ϕ(g κ+λ ) = κ + λ = κ + λ = ϕ(g κ ) + ϕ(g λ ). Εποµένως η ϕ είναι ισοµορφισµός και G = g = e, g,..., g n 1 Z n. Ασκήσεις 1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f C GL 2 (R), α + βi ( α β β α ), όπου α, β είναι πραγµατικοί αριθµοί, είναι µονοµορφισµός πολλαπλασιαστικών οµάδων. 2. Εστω G = { α α R }. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση log G R, x log x είναι ισοµορφισµός της πολλπαπλασιαστικής οµάδας G µε την προσθετική οµάδα (R, +). Ακόµη να αποδείξετε ότι η συνάρτηση α C G, x x, είναι επιµορφισµός, αλλά όχι ισοµορφισµός πολλαπλασιαστικών οµάδων. 3. Να αποδείξετε ότι οι οµάδες (R, ) και η (R, +) δεν µπορεί να είναι

Κεφάλαιο 2 Εδάφιο 2.3 Οµοµορφισµοί οµάδων 65 ισόµορφες. 4. Εστω nz = {nκ κ Z}. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f Z nz, α nα είναι επιµορφισµός προσθετικών οµάδων. 5. Εστω G = g µία κυκλική οµάδα άπειρης τάξης. Να αποδείξετε ότι κάθε µη τετριµµένη υποοµάδα της G είναι ισόµορφη µε την G. Η πρόταση ισχύει για πεπερασµένες κυκλικές οµάδες ; 6. Στο Παράδειγµα 1.2.8.1 δίνονται οι πίνακες Cayley οµάδων τάξης 4. i. Να ϐρείτε ποιές από αυτές είναι κυκλικές οµάδες. ii. Να ϐρείτε τις µη ισόµορφες από τις τέσσερις αυτές οµάδες. iii. Ποιές από αυτές είναι ισόµορφες µε την (Z 4, +); 7. Εστω ϕ G H ένας µονοµορφισµός οµάδων. Να αποδείξετε ότι G ϕ(g). 8. ίνεται η συνάρτηση det GL n (R) R, A det(a) όπου n N {0} και R είναι η πολλαπλασιαστική οµάδα του R. Να αποδείξετε ότι η det είναι επιµιρφισµός οµάδων και GL n (R) R 9. C n = {e 2παi/n α Z} το σύνολο των ϱιζών της εξίσωσης x n 1 = 0 στο σύνολο των µιγαδικών αριθµών, δηλαδή η C n είναι το σύνολο των n-ϱιζών της µονάδας. i. Να αποδείξετε ότι η (C n, ) είναι υποοµάδα της (C, ). ii. Η (C n, ) είναι κυκλική οµάδα. iii. Η συνάρτηση ϕ Z C n, α e 2παi/n είναι επιµορφισµός της (Z, +) επί της (C n, ). 10. Εστω G µία οµάδα και ϕ G G, g g 1. Να αποδείξετε ότι η G είναι αβελιανή αν και µόνον αν η ϕ είναι ενδοµορφισµός της G. 11. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν πεπερασµένου µόνο πλήθους µη ισόµορφες οµάδες τάξης n <. 12. Εστω A, B δύο πεπερασµένα σύνολα τέτοια, ώστε A = B. Να αποδείξετε ότι S A S B. 13. Για τις οµάδες (Z, +) και (Z n, +), µε n <, να αποδείξετε ότι η ϕ Z Z n, κ κ

66 Θ. Θεοχάρη - Αποστολίδη Θεωρία Οµάδων είναι επιµορφισµός οµάδων και να υπολογίσετε τον πυρήνα της. 14. Να υπολογίσετε τον πυρήνα των παρακάτω οµοµορφισµών οµάδων : i. ϕ GL n (R) R, A det A, ii. ϕ C R, x x. 15. ίνεται ο οµοµορφισµός πολλαπλασιαστικών οµάδων ϕ G H. Να αποδείξετε ότι i. Αν g G µε ord(ϕ(g)) <, τότε ord(ϕ(g)) ord(g). ii. Αν g G µε ord(ϕ(g)) =, τότε ord(g) =. iii. Αν ο ϕ είναι µονοµορφισµός και g G, τότε ord(g) = ord(ϕ(g)). 16. ίνεται µία κυκλική οµάδα G και ϕ Aut(G). Να αποδείξετε ότι, αν g είναι ένα παράγον στοιχείο της G, τότε το ϕ(g) είναι επίσης ένα παράγον στοιχείο της G. 17. Να αποδείξετε ότι i. Aut(Z, +) (Z 2, +). ii. Εστω n N {0}, να αποδείξετε ότι όπου Z n = {α Z n (α, n) = 1}. Aut(Z n, +) (Z n, ), 18. Εστω (G, ) µία οµάδα, για κάθε g G, ορίζουµε την αντιστοιχία ϕ g G G, α gαg 1. i. Να αποδείξετε ότι η ϕ g είναι αυτοµορφισµός της G. Ο ϕ g ονοµάζεται εσωτερικός αυτοµορφισµός (inner automorphism) της G. Εστω Inn(G) = {ϕ g g G}. ii. Να αποδείξετε ότι Inn(G) Aut(G). Η υποοµάδα Inn(G) λέγεται οµάδα των εσωτερικών αυτοµορφισµών της G. iii. Να αποδείξετε ότι Inn(G) = {e} αν και µόνον αν η G είναι αβελιανή οµάδα. 19. Να αποδείξετε ότι D 2 3 S 3.