Γραμμές Μεταφοράς και Ακεραιότητα Σήματος

Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τηλεπικοινωνιών Γραμμές Μεταφοράς και Ακεραιότητα Σήματος Θεωρητικά μοντέλα Πεδιακή σύζευξη Επίδραση απωλειών Νικόλαος Β. Κανταρτζής Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 1 / 58

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Ενσύρματες γραμμές μεταφοράς Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Εξισώσεις γραμμής μεταφοράς 2 Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Ενσύρματες δομές Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Χαρακτηριστικές αντιστάσεις 3 Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο χωρίς απώλειες) Ανάκλαση σε γραμμές μεταφοράς (μέσο χωρίς απώλειες) Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο με απώλειες) Μοντέλα απόκρισης γραμμών μεταφοράς (μέσο με απώλειες) 4 Καλώδια Χωρητική σύζευξη Επαγωγική σύζευξη 5 Αρχιτεκτονική διανομής σήματος 6 Διάγραμμα πλέγματος για τον υπολογισμό ανακλάσεων Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 2 / 58

Εισαγωγή Ενσύρματες γραμμές μεταφοράς Δισύρματη γραμμή R s Ι V t s( ) V Ι R L Πηγή Φορτίο z =0 z = L z Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 3 / 58

Εισαγωγή Ενσύρματες γραμμές μεταφοράς Μονοσύρματη γραμμή πάνω από επίπεδο αναφοράς R s Ι V t s( ) z =0 V Ι Επίπεδο αναφοράς z = L R L z Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 4 / 58

Εισαγωγή Ενσύρματες γραμμές μεταφοράς Ομοαξονικό καλώδιο R s Ι ε, μ V t s( ) Ι V R L z =0 z = L z Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 5 / 58

Εισαγωγή Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Γραμμή ταινίας (stripline) Ι Ι V ε, μ Ι Εσωτερικά επίπεδα τοποθετημένα εντός του τυπωμένου κυκλώματος. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 6 / 58

Εισαγωγή Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Μικροταινία (microstrip line) Ι Υπόστρωμα Ι V Επίπεδο αναφοράς Αγωγοί τοποθετημένοι στην επιφάνεια ενός τυπωμένου κυκλώματος με εσωτερικά επίπεδα. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 7 / 58

Εισαγωγή Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Τυπωμένο κύκλωμα (printed circuit board PCB) Ι Ι V Υπόστρωμα Αγωγοί σε κύκλωμα χωρίς εσωτερικά επίπεδα. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 8 / 58

Εισαγωγή Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Συγκεντρωμένα και κατανεμημένα κυκλώματα Παράδειγμα συγκεντρωμένου μοντέλου (διαστάσεις < λ/10).... Παράδειγμα κατανεμημένου μοντέλου (διαστάσεις λ/10). Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 9 / 58

Εισαγωγή Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Ανά μονάδα μήκους (per-unit-length) κυκλωματικές παράμετροι Ωμική αντίσταση R (Ω/m) Η αντίσταση που οφείλεται στις απώλειες των αγωγών λόγω της πεπερασμένης αγωγιμότητάς τους, δηλαδή η ωμική αντίσταση ενός τμήματος γραμμής (και των δύο αγωγών) με βραχυκυκλωμένα τα άκρα, μήκους ίσου με τη μονάδα. Χωρητικότητα C (F/m) Η χωρητικότητα λόγω της γειτνίασης των δύο αγωγών για μήκος γραμμής ίσο με μονάδα και τα άκρα της γραμμής ανοιχτοκυκλωμένα. Αυτεπαγωγή H (H/m) Η αυτεπαγωγή του βρόχου που σχηματίζεται από ένα τμήμα των δύο αγωγών μήκους ίσου με τη μονάδα και τα άκρα του βραχυκυκλωμένα. Αγωγιμότητα G (S/m) Οφείλεται στις απώλειες του διηλεκτρικού. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 10 / 58

Εισαγωγή Εξισώσεις γραμμής μεταφοράς Κυματικές εξισώσεις εξισώσεις γραμμής μεταφοράς x V E Νόμος τάσεων του Kirchhoff ( z 0): I(z, t) V(z + z, t) V(z, t) = L z t y y z x Ι H Ι z I( z,t) lδz I( z+ Δz,t) V(z, t) t I(z, t) = L t Νόμος ρευμάτων του Kirchhoff ( z 0): V(z + z, t) I(z + z, t) I(z, t) = C z t I(z, t) t V(z, t) = C t V( z,t) cδz V( z+ Δz,t) Δz z z +Δz z Παρατήρηση Για συχνότητες στην κλίμακα των GHz η αντίσταση των αγωγών μπορεί να γίνει σημαντική εξαιτίας του επιδερμικού φαινομένου. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 11 / 58

Εισαγωγή Εξισώσεις γραμμής μεταφοράς Γραμμές μεταφοράς χωρίς απώλειες Ξεκινώντας από τις εξισώσεις του τηλεγραφητή (telegrapher s equations), οι οποίες θα εξαχθούν αναλυτικά παρακάτω, με γ = (R + jωl)(g + jωc): d 2 V dz 2 γ2 V = 0 και d 2 I dz 2 γ2 I = 0 και θέτoντας R = G = 0, δηλαδή γ = jω LC προκύπτει: V(z) = V + e jβz + V e jβz I(z) = 1 Z 0 ( V + e jβz V e jβz) με Z 0 = L/C και β = ω LC. Παρατήρηση Οι απώλειες μπορούν να αγνοηθούν σε μικρά σχετικά τμήματα γραμμών μεταφοράς (της τάξης των λίγων μηκών κύματος) που συναντώνται σε κυκλώματα ραδιοσυχνοτήτων ή και μικροκυματικές διατάξεις. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 12 / 58

Εισαγωγή Εξισώσεις γραμμής μεταφοράς Γραμμές μεταφοράς με μικρές απώλειες Στη περίπτωση που οι απώλειες δεν μπορούν να αγνοηθούν αλλά παραμένουν μικρές, υποθέτουμε ότι R ωl και G ωc και λαμβάνουμε R + jωl L Z 0 = G + jωc C ( γ 1 ) C L R 2 L + G + jω LC C ενώ για την σταθερά απόσβεσης την ( α 1 ) C L R 2 L + G 1 C 2 ( ) R + GZ 0 Z 0 δηλαδή οι συνολικές απώλειες είναι το άθροισμα των απωλειών στους αγωγούς και το διηλεκτρικό. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 13 / 58

Εισαγωγή Εξισώσεις γραμμής μεταφοράς Γραμμές μεταφοράς χωρίς παραμόρφωση Είναι ιδιαίτερα σημαντικό στην ανάλυση EMC η εξασφάλιση της ακεραιότητας του σήματος, δηλαδή η μη παραμόρφωση του σήματος στην έξοδο σε σχέση με αυτό στην είσοδο (διάδοση με την ίδια φασική ταχύτητα). Για να συμβαίνει αυτό, θα πρέπει η σχέση της σταθεράς διάδοσης προς τη συχνότητα να είναι γραμμική. Μια πολύ ειδική περίπτωση γραμμής μεταφοράς χωρίς παραμόρφωση (αλλά με υπαρκτές απώλειες) προκύπτει όταν: που συνεπάγεται ότι Z 0 = LC και γ = R + R L = G C C L + jω LC και α = C L = R Z 0 Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 14 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Ενσύρματες δομές Δισύρματη γραμμή (Ι) I r w r H H H Σχετικά με την ροή ισχύει: R 1 L I ψ m S L I R 1 R 2 B ds S 1 S2 ˆ R2 µ 0 I ψ m = R 1 2πr dr = µ ( ) 0I 2π ln R2 R 1 R 1 R 2 I R 1 ds B B B R 2 Το εγκάρσιο μαγνητικό πεδίο συνεισφέρει στην ανάπτυξη της ανά μονάδα μήκους αυτεπαγωγής (εσωτερική και εξωτερική ανάλογα με τη θέση του πεδίου). Η εξωτερική αυτεπαγωγή είναι πολύ μεγαλύτερη από την εσωτερική. Τονίζεται, επίσης, ότι το ρεύμα είναι ομοιόμορφα διανεμημένο στη διατομή του καλωδίου. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 15 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Ενσύρματες δομές Δισύρματη γραμμή (ΙΙ) Ι r w1 s r w2 Ι Ροή: ψ m = µ0i [ ] (s 2π ln rw2 )(s r w1 ) r w2 r w1 s ψ m Αυτεπαγωγή: όταν s r w1 r w2 L = ψ m = µ ( ) 0 s 2 I 2π ln r w2 r w1 q r w1 V r w2 q Χωρητικότητα: όταν s r w1 = r w2 = r w C πϵ0 ln(s/r w) Για την αυτεπαγωγή ισχύει, επίσης, η ακριβής σχέση: L = µ ( ) [ ( 0 s π cosh 1 = µ ) 2 0 2r w π ln s s + 1] 2r w 2r w Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 16 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Ενσύρματες δομές Δισύρματη γραμμή (ΙII) h r w Αυτεπαγωγή: όταν s r w1 r w2 L = µ ( ) 0 h 2π cosh 1 r w h r w Χωρητικότητα: όταν s r w1 = r w2 = r w 2πϵ 0 C = cosh 1 (h/r w) Προσοχή: Στην περίπτωση που h r w ισχύει: cosh 1 (h/r w) ln(2h/r w). Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 17 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Ενσύρματες δομές Δισύρματη γραμμή (IV) E H r w r s B I I 1m s B s Χωρητικότητα: C = 2πϵ ln(r s/r w) ( ) και Αυτεπαγωγή: L = µ0 2π ln rs r w Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 18 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Γραμμή ταινίας s w h t ε r h Επίπεδο αναφοράς Θεωρούμε ότι η γραμμή ταινίας βρίσκεται σε ομογενές μέσο, έτσι ώστε η σχετική διηλεκτρική σταθερά να είναι ίση με την ενεργό σχετική διηλεκτρική σταθερά Z C = 30π [ we 1 + 0.441] με ϵr s w e s = w s w s (0.35 w s w s 0.35 ) 2 w s 0.35 Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 19 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων Μικροταινία w t w t ε r h ε r h Επίπεδο αναφοράς Z C = [ 60 8h ln ϵ r w + w ] 4h w h 1 120π ϵ r [ w h + 1.393 + 0.667 ln ( w h + 1.4444 )] 1 w h 1 με την ενεργό σχετική διηλεκτρική σταθερά να δίνεται από την ϵ r = ϵr + 1 2 + ϵr 1 2 1 1 + 10h/w Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 20 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων PCB με δύο λωρίδες στην ίδια πλευρά w s w w w s t h ε ŕ ε r Z C = ( 120 ln 2 1 + ) k ϵ r 1 k 1 2 k 1 377π ( ϵ r ln 2 1 + ) 0 k 1 k 2 1 k με k = s/(s + 2w), k = 1 k 2 και ϵ r = ϵ { [ ( ) ] r + 1 h tanh 0.775 ln + 1.75 + kw } 2 w h [0.04 0.7k + 0.01(1 0.1 r)(0.25 + k)] Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 21 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Δομές τυπωμένων κυκλωμάτων PCB με δύο λωρίδες σε αντίθετες πλευρές t ε r h w Για w/h > 1: Για w/h < 1: Z C = { w ϵr h Z C = 377 2 π ϵ r + 1 + 0.441 + ϵr + 1 2πϵ r [ ln [ ln ( ) 4h + 1 ( w w 8 h 377 ( w ) ] h + 0.94 + 1.451 ) 2 1 ϵ r 1 2 ϵ r + 1 + 0.082 ϵr 1 } (ϵ r) 2 ( 0.452 + 0.242 )] ϵ r Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 22 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Χαρακτηριστικές αντιστάσεις Απλός αγωγός d h/2 d h h/2 Αγωγός υπεράνω εδάφους: Για d h, η χαρακτηριστική αντίσταση δίνεται από Z C = 138 ( ) 4h log ϵr d Αγωγός μεταξύ δύο αγώγιμων παράλληλων επιπέδων: Για d < 0.75h, ισχύει Z C = 138 ( ) 4h log ϵr πd Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 23 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Χαρακτηριστικές αντιστάσεις Δισύρματη γραμμή (Ι) d 1 d 2 d d D ε r D Ασύμμετρη δισύρματη γραμμή: Z C = 277 ( ) 2D log ϵr d1 d 2 Συμμετρική ασύρματη γραμμή: Για D d, ισχύει Z C = 277 ( ) 2D log ϵr d Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 24 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Χαρακτηριστικές αντιστάσεις Δισύρματη γραμμή (ΙΙ) d d d d h/2 d d h D h D h/2 D Δισύρματη γραμμή υπεράνω εδάφους με ρεύματα διαφορικού ρυθμού: Για d D, h Z C = 277 ( ) [ ( ) ] 2 1/2 2D D log 1 + ϵr d 2h Δισύρματη γραμμή υπεράνω εδάφους με ρεύματα κοινού ρυθμού: Για d D, h Z C = 69 ( ) [ ( ) ] 2 1/2 4h D log 1 + ϵr d 2h Ισοσταθμισμένη γραμμή μεταξύ παράλληλων γειωμένων επιπέδων: Για d D, h Z C = 277 [ ] 4h tanh (πd/2h) log ϵr πd Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 25 / 58

Ανά μονάδα μήκους παράμετροι Χαρακτηριστικές αντιστάσεις Δισύρματη γραμμή (ΙΙΙ) D D h D h d d d ε r ε r ε r Ομοαξονική γραμμή: Z C = 138 ( ) D log ϵr d Θωρακισμένη δισύρματη γραμμή με ρεύματα κοινού ρυθμού: Για d D, h { [ Z C = 69 ( ) ]} 2 1 h log ϵr 2d(h/D) 2 1 D Θωρακισμένη δισύρματη γραμμή με ρεύματα διαφορικού ρυθμού: Για d D, h [ Z C = 277 ( 2h D 2 h 2) ] log ϵr d (D 2 + h 2 ) Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 26 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο χωρίς απώλειες) Η πρώτη εξίσωση (Ι) z H inc E inc k Δx Αγωγός 1 a + Vx () Ix () d E z S C Αγωγός 2 x y Ix () ds H y Διαφορική τομή δισύρματης γραμμής μεταφοράς. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 27 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο χωρίς απώλειες) Η πρώτη εξίσωση (ΙΙ) Η τάση που αναπτύσσεται μεταξύ των αγωγών της γραμμής σε μια τυχαία θέση x είναι: V(x) = ˆ d 0 E z (x, z)dz Από τον νόμο του Faraday για την γραμμοσκιασμένη περιοχή ισχύει: ˆ d 0 [E z(x + x, z) E z(x, z)] dz jωµ 0 ˆ d 0 ˆ x x+ x x ˆ x+ x [E x(x, d) E x(x, 0)] dx = H y dxdz Αντικατάσταση της πρώτης σχέσης στη δεύτερη και χρήση των οριακών συνθηκών δίνει dv(x) dx ˆ d ˆ d = jωµ 0 H y(x, z)dz = jωµ 0 0 0 [ H inc y (x, z) + H scat (x, z) ] dz y Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 28 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο χωρίς απώλειες) Η πρώτη εξίσωση (ΙΙΙ) O δεύτερος όρος της τελευταίας σχέσης μπορεί να συνδεθεί με τη μαγνητική ροή που παράγεται από το ρεύμα I(x) στους αγωγούς Φ(x) = LI(x) = µ 0 ˆ d 0 H scat y (x, z)dz Έτσι προκύπτει η πρώτη εξίσωση του τηλεγραφητή για τη γραμμή μεταφοράς dv(x) dx + jωli(x) = V (x) = jωµ 0 ˆ d 0 H inc y (x, z)dz Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 29 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο χωρίς απώλειες) Η δεύτερη εξίσωση (Ι) z H inc E inc k S 1 Ix+ ( Δx) Αγωγός 1 a Ix () r E r + Vx () d Δx Αγωγός 2 x y Κλειστή επιφάνεια που περικλείει τον ένα αγωγό. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 30 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο χωρίς απώλειες) Η δεύτερη εξίσωση (ΙΙ) Από τον νόμο του Ampere ισχύει: I(x + x) I(x) + jωϵ E r rdϕdx = 0 S 1 H παραπάνω σχέση μπορεί επίσης να γραφεί ως εξής: di(x) dx + jωϵ ˆ 2π 0 [ E inc r (x) + E scat r (x) ] adϕ = 0 Από τη στιγμή που a d, μπορεί να υποτεθεί ότι το ηλεκτρικό πεδίο γύρω από τον αγωγό είναι ανεξάρτητο από τη γωνία ϕ και το ολοκλήρωμα του σκεδαζόμενου πεδίου μπορεί να συνδεθεί με το φορτίο στον αγωγό ως: jωϵ ˆ 2π 0 E scat r (x)adϕ = jωϵ2πae scat (x) = jωcv scat (x) Για να προκύψει τελικά η δεύτερη εξίσωση του τηλεγραφητή για τη γραμμή: di(x) dx + jωcvtot (x) = I S1 (x) = jωc r ˆ d 0 E inc z (x, z)dz Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 31 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο χωρίς απώλειες) Αριθμητική επίλυση των εξισώσεων στο πεδίο του χρόνου V 1 V 2 V 3 Δx Πλέγμα τάσεων V kmax-2 V kmax-1 V kmax... x =0 x= L... Ι 1 Ι 2 Ι 3 Πλέγμα ρευμάτων Δ/2 x Ι kmax-3 Ι kmax-2 Ι kmax-1 Διακριτοποιώντας τις δύο εξισώσεις του τηλεγραφητή με τη βοήθεια πεπερασμένων διαφορών και χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό V n k = V((k 1) x, n t) και I n k = I((k 1/2) x, (n + 1/2) t), προκύπτει: V n k+1 V n k x I n+1 k + I n k + R k 2 I n+1 k + L k I n k t = 0 για k = 1 έως k max 1 I n+1 k+1 In+1 k x V n+1 k + G k + V n k 2 V n+1 k + C k V n k t = 0 για k = 2 έως k max 1 Λύνουμε τις παραπάνω εξισώσεις με αγνώστους τα I n+1 k και V n+1 k. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 32 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Ανάκλαση σε γραμμές μεταφοράς (μέσο χωρίς απώλειες) Τερματισμένες γραμμές: Συντελεστής ανάκλασης V V + + Συντελεστής ανάκλασης: Αγωγός αναφοράς 0 l ρ(x) = V V + = beγx ae γx Z L V L x H τάση και το ρεύμα δίνονται από: V(x) = ae γx + be γx = ae γx [1 + ρ(x)] I(x) = Y C ( ae γx be γx) = Y C ae γx [1 ρ(x)] H σύνθετη αντίσταση εισόδου της γραμμής σε οποιαδήποτε θέση δίνεται από: Z in(x) = V(x) I(x) = 1 + ρ(x) ZC 1 ρ(x) Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 33 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Ανάκλαση σε γραμμές μεταφοράς (μέσο χωρίς απώλειες) Ασυνέχεια αντίστασης z =0 z = l z Συντελεστής ανάκλασης στο φορτίο: ρ(l) = R L Z 0 R L + Z 0 Όταν R L = 0 (βραχυκυκλωμένη γραμμή), τότε ρ(l) = 1. Όταν R L = Z 0 (προσαρμοσμένη γραμμή), τότε ρ(l) = 0 και δεν υπάρχει ανακλώμενο κύμα. Όταν R L = (ανοιχτοκυκλωμένη γραμμή), τότε ρ(l) = 1. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 34 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Ανάκλαση σε γραμμές μεταφοράς (μέσο χωρίς απώλειες) Χωρητική ασυνέχεια z =0 z = l z Aς υποθέσουμε ότι στη θέση του φορτίου υπάρχει πυκνωτής C L με V + (t) = V 0 για t 0. Τότε I L = C L dv L /dt και V = V 0 + Ae t/τ 1 με τ 1 = C L Z 0. ) Προκύπτει, συνεπώς, ότι V L (t) = 2V 0 (1 e t/τ 1. Από πρακτικής άποψης, ανακλώμενα κύματα που προκαλούνται από χωρητικές ασυνέχειες μπορεί να είναι πολύ επικίνδυνα εάν στην πηγή υπάρχουν δέκτες. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 35 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο με απώλειες) Η πρώτη εξίσωση (Ι) E inc E ref H ref k z H inc k Δx Αγωγός y a Ix () h E z S C x H y δ Ε= x 0 Επιφάνεια εδάφους Γεωμετρία απλού αγωγού πάνω από ημι-χώρο με απώλειες. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 36 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο με απώλειες) Η πρώτη εξίσωση (ΙΙ) Η πρώτη εξίσωση του τηλεγραφητή γράφεται, τώρα, ως εξής: όπου η V S1 δίνεται από: ˆ h [ V S1 (x) = jωµ 0 και η Z(ω) από: 0 H inc y dv(x) dx + Z(ω)I(x) = V S1 ] ˆ 0 (x, z) + H ref y (x, z) dz jωµ 0 Z(ω) = jωl + Z g + Z w H trans y (x, z)dz με Z g τη σύνθετη αντίσταση του εδάφους και Z w την εσωτερική σύνθετη αντίσταση του αγωγού. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 37 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Εξισώσεις τηλεγραφητή (μέσο με απώλειες) Η δεύτερη εξίσωση Η δεύτερη εξίσωση του τηλεγραφητή γράφεται, τώρα, ως εξής: όπου η I S1 δίνεται από: [ˆ h [ I S1 (x) = Y και η Y(ω) από: 0 E inc z di(x) dx + Y(ω)V(x) = I S 1 ] (x, z) + E ref z (x, z) ( 1 Y(ω) = jωc + 1 Y g ] ˆ 0 dz Y ) 1 E trans z (x, z)dz με Y g τη σύνθετη αγωγιμότητα του εδάφους και C την χωρητικότητα του αγωγού πάνω από το έδαφος. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 38 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Μοντέλα απόκρισης γραμμών μεταφοράς (μέσο με απώλειες) Περίπτωση 1: Ηλεκτρικό πεδίο παράλληλη πόλωση (Ι) E i x x E r k r H i k i θ i θ r H r ε=ε, μ= μ 1 0 1 0 O θ t E t z y k t x 1 ε, μ = μ, σ 2 2 0 2 y b I 1 R s O Z c R L I 2 s z b: Πλάτος γραμμής, s: Μήκος γραμμής, x 1 : Βάθος γραμμής. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 39 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Μοντέλα απόκρισης γραμμών μεταφοράς (μέσο με απώλειες) Περίπτωση 1: Ηλεκτρικό πεδίο παράλληλη πόλωση (ΙΙ) Oι τελικές εκφράσεις υπολογισμού των τάσεων που επάγονται στα άκρα της γραμμής είναι: V S = 1 2 T E i 0e ( Ax 1 e Ab 1 ) [ ] ( e (γ 2+jβ 1 sin θ 1 )s pe jδ 1 + γ ) 1 sin θ i γ 2 + jβ 1 sin θ i Aγ 2 V L = 1 2 T E i 0e Ax 1 ( e Ab 1 ) [ e jβ 1s sin θ 1 e γ 2s ] ( όπου γ 1 = jβ 1, γ 2 = α 2 + jβ 2 και pe jδ γ 2 jβ 1 sin θ i ) γ1 sin θi Aγ 2 και 2γ 1γ 2 cos θ i T = γ2 2 cos θ i + γ 1 γ 2 2 γ1sin 2 2 θ i A = p (α 2 cos δ β 2 sin δ) + jp (α sin δ + β 2 cos δ) µ0 ϵ 2 α 2, β 2 = ω 2 [ 1 + ( σ2 ωϵ 2 ) 2 1]1/2 Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 40 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Μοντέλα απόκρισης γραμμών μεταφοράς (μέσο με απώλειες) Περίπτωση 2: Ηλεκτρικό πεδίο κάθετη πόλωση (Ι) x x k r E i k i E r H i θ i θ r H r ε=ε, μ= μ 1 0 1 0 O θ t z y H t k t x 1 ε, μ = μ, σ 2 2 0 2 b I 1 O I 2 R s Z c R L s z y b: Πλάτος γραμμής, s: Μήκος γραμμής, x 1 : Βάθος γραμμής. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 41 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Μοντέλα απόκρισης γραμμών μεταφοράς (μέσο με απώλειες) Περίπτωση 2: Ηλεκτρικό πεδίο κάθετη πόλωση (ΙΙ) Oι τελικές εκφράσεις υπολογισμού των τάσεων που επάγονται στα άκρα της γραμμής είναι: V S = 1 2 bei 0T e Ax 1 ( e γ 2s e γ 1 sin θ i s 1 ) V S = 1 2 bei 0T e Ax 1 ( e γ 2s e γ 1 sin θ i s ) όπου γ 1 = jβ 1, γ 2 = α 2 + jβ 2 και 2γ 1 cos θ i T = γ 1 cos θ i + γ2 2 + γ1sin 2 2 θ i Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 42 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Μοντέλα απόκρισης γραμμών μεταφοράς (μέσο με απώλειες) Περίπτωση 3: Ηλεκτρικό πεδίο κάθετη πόλωση (Ι) x x k r E i k i E r H i θ i θ r H r ε=ε, μ= μ 1 0 1 0 O θ t z y H t k t x 1 I1 O R s b ε, μ = μ, σ 2 2 0 2 s R L Z c I 2 z y b: Πλάτος γραμμής, s: Μήκος γραμμής, x 1 : Βάθος γραμμής. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 43 / 58

Παρεμβολές σε γραμμές μεταφοράς Μοντέλα απόκρισης γραμμών μεταφοράς (μέσο με απώλειες) Περίπτωση 3: Ηλεκτρικό πεδίο κάθετη πόλωση (ΙΙ) Oι τελικές εκφράσεις υπολογισμού των τάσεων που επάγονται στα άκρα της γραμμής είναι: V S = E i jγ 1 0T e ( Ax 2k 0 γ2 2 1 e γ 1b sin θ i 1 ) ( e γ2s 1 ) ( ) γ1sin 2 2 θ i + Ape jδ γ 2 V L = E i jγ 1 0T e ( Ax 2k 0γ2 2 1 e γ 1b sin θ i 1 ) ( e γ2s 1 ) ( ) γ1sin 2 2 θ i + Ape jδ γ 2 όπου γ 1 = jβ 1, γ 2 = α 2 + jβ 2 και 2γ 1 cos θ i T = γ 1 cos θ i + γ2 2 + γ1sin 2 2 θ i Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 44 / 58

Καλώδια Γενικά Παραδοχές H ανάλυση πραγματοποιείται βάσει των ακόλουθων παραδοχών: Οι θωρακίσεις κατασκευάζονται από μη-μαγνητικά υλικά και έχουν πάχους πολύ μικρότερο από το βάθος διείσδυσης στην υπό εξέταση συχνότητα. O λήπτης δεν συζεύγνυται τόσο ισχυρά με την πηγή. Τα επαγώμενα ρεύματα στο λήπτη είναι αρκετά μικρά ώστε να μην αλλοιώνουν το αρχικό πεδίο. Τα καλώδια είναι μικρά συγκρινόμενα με το μήκος κύματος, με αποτέλεσμα να μπορούν να προσομοιωθούν με συγκεντρωμένες χωρητικότητες και αυτεπαγωγές. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 45 / 58

Καλώδια Χωρητική σύζευξη Χωρητική σύζευξη Αγωγοί H τάση θορύβου που αναπτύσσεται μεταξύ του αγωγού 2 και του εδάφους είναι: V N = jω [C 12/ (C 12 + C 2G )] jω + 1/R (C 12 + C 2G ) V 1 Απλοποίηση μπορεί να πραγματοποιηθεί όταν R [jω (C 12 + C 2G )] Όταν R [jω (C 12 + C 2G)], τότε V N = V N = jωrc 12 V 1 ( C12 C 12 + C 2G ) V 1 Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 46 / 58

Καλώδια Χωρητική σύζευξη Επίδραση της θωράκισης στη χωρητική σύζευξη (Ι) Θωράκιση H τάση θορύβου που αναπτύσσεται στην θωράκιση είναι: ( ) C1S V N = V 1 C 1S + C SG Επειδή δεν υπάρχουν σύνθετες αντιστάσεις συνδεδεμένες στον αγωγό 2, δεν ρέει ρεύμα από στην C 2S, για αυτό V N = V S. Προκύπτει, λοιπόν, ότι η θωράκιση σε αυτή την περίπτωση δεν μειώνει καθόλου τον θόρυβο. Εάν, όμως, η θωράκιση τερματιστεί κατάλληλα (γειωθεί), τότε V S = 0 και άρα και η τάση θορύβου στον αγωγό 2 θα είναι V N = 0. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 47 / 58

Καλώδια Χωρητική σύζευξη Επίδραση της θωράκισης στη χωρητική σύζευξη (ΙΙ) Θωράκιση Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις ο αγωγός εξέχει από τη θωράκιση. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει: ( ) C 12 V N = V 1 C 12 + C 2G + C 2S Για αποτελεσματική θωράκιση θα πρέπει (α) να ελαχιστοποιηθεί το μήκος του αγωγού που εξέχει από τη θωράκιση και (β) να υπάρχει καλή γείωση της τελευταίας. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 48 / 58

Καλώδια Χωρητική σύζευξη Επίδραση της θωράκισης στη χωρητική σύζευξη (ΙΙΙ) Εάν ο υπό θωράκιση αγωγός εμφανίζει πεπερασμένη αντίσταση ως προς το έδαφος και υποθέσουμε ότι R 1 ȷω (C 12 + C 2G + C 2S) τότε ισχύει V N = jωrc 12 V 1, δηλαδή η ίδια με την αθωράκιστη περίπτωση με τη διαφορά ότι τώρα η C 12 είναι πολύ μικρότερη λόγω της θωράκισης. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 49 / 58

Καλώδια Επαγωγική σύζευξη Επαγωγική σύζευξη Ισοδύναμο κύκλωμα Η τάση θορύβου δίνεται από: V N = jωba cos θ. Κύρια επιδίωξη είναι η μείωση του εμβαδού της επιφάνειας A που σχηματίζουν οι βρόχοι με την πλησιέστερη προς το έδαφος τοποθέτηση του αγωγού. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου μπορεί να μειωθεί μέσω του φυσικού διαχωρισμού των κυκλωμάτων ή με τη συστροφή των καλωδίων της διάταξης. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 50 / 58

Αρχιτεκτονική διανομής σήματος Δομή σημείου-προς-σημείο Aποτελεί τη συνηθέστερη επιλογή για την ταυτόχρονη λύση για τη μεγιστοποίηση της ταχύτητας σε ψηφιακά κυκλώματα. Κατάλληλη επιλογή της Z 0 οδηγεί ακόμα και σε ενίσχυση του σήματος. Ευάλωτο σε μη προσαρμοσμένη διασύνδεση της πηγής με το δέκτη. Αύξηση καθυστέρησης. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 51 / 58

Αρχιτεκτονική διανομής σήματος Δομή αστέρα Aποτελεί τη συνηθέστερη επιλογή για την ταυτόχρονη αποστολή σήματος σε πολλούς δέκτες. Για την αποφυγή της υποβάθμισης της ταχύτητας τα μήκη θα πρέπει να είναι μικρότερα από μια κρίσιμη τιμή. Στην περίπτωση αυτή, το φορτίο που φαίνεται από την πηγή είναι μια ισοδύναμη χωρητικότητα που προκύπτει από την άθροιση των χωρητικοτήτων των γραμμών και των χωρητικοτήτων εισόδου του κάθε δέκτη. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 52 / 58

Αρχιτεκτονική διανομής σήματος Δομή αλυσίδας Όταν η υλοποίηση σε αστέρα δεν είναι εφικτή, τότε επιλέγεται η διάταξη της αλυσίδας. Όλοι οι δέκτες διανέμονται σε συγκεκριμένα διαστήματα και συνδέονται με την κύρια αρτηρία μέσω ορθά επιλεγμένου μήκους καλωδίου. Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται στην αρχική επιλογή των αντιστάσεων εισόδου. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 53 / 58

Αρχιτεκτονική διανομής σήματος Δομή διαύλου Ένα κρίσιμο σημείο της διάταξης είναι η πηγή στο κέντρο της κύριας αρτηρίας η οποία θα πρέπει να βλέπει συγκεκριμένη τιμή σύνθετης αντίστασης. Αυτή η τιμή μπορεί να είναι πολύ μικρή σε σύγκριση με το χωρητικό φορτίο του ζεύγους πηγή-δέκτη. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 54 / 58

Αρχιτεκτονική διανομής σήματος Δομή Η-δένδρου Aποτελεί τη λύση για να διατηρήσουν οι διατάξεις αλυσίδας και διαύλου τις βασικές τιμές των ηλεκτρικών παραμέτρων. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 55 / 58

Αρχιτεκτονική διανομής σήματος Δομή χτένας Χρησιμοποιείται σε διατάξεις αποθήκευσης δεδομένων και σε μνήμες ψηφιακών κυκλωμάτων. Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 56 / 58

Διάγραμμα πλέγματος για τον υπολογισμό ανακλάσεων Γραφική λύση των εξισώσεων της γραμμής μεταφοράς Vs( t) Vlt (,) R L A z=l + V ( t z/v) Γ L A z V ( t z/v) Vlt (,) z=l A z Γ L A z=l z z=l z Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 57 / 58

Διάγραμμα πλέγματος για τον υπολογισμό ανακλάσεων Διάγραμμα ανακλάσεων z =0 t= t t= t + l/ v t= t + 2 l/ v t= t + 3 l/ v t= t + 4 l/ v t= t + 5 l/ v t= t + 6 l/ v t= t + 7 l/ v t= t + 8 l/ v z = l/2 z = l K KΓ L KΓ L Γ S KΓ L ΓΓ S L KΓ L ΓΓΓ S L KΓ L ΓΓ S LΓΓ S 3 3 K( Γ )( Γ ) L S S 4 3 K( Γ )( Γ ) L S L t + l/ v t + 2 l/ v t + 3 l/ v t + 4 l/ v t + 5 l/ v t + 6 l/ v t + 7 l/ v t + 8 l/ v z t Γ S z = l/2 Γ L Ηλεκτρομαγνητική Συμβατότητα (3η ενότητα) Γραμμές Μεταφοράς Ακεραιότητα Σήματος 20 Οκτωβρίου 2016 58 / 58