ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΝΕΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΜΒΑ)»

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΝΕΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΜΒΑ)» Διπλωματική Εργασία της μεταπτυχιακής φοιτήτριας του τμήματος Διοίκησης Επιχειρήσεων του Πανεπιστημίου Πατρών ΜΠΑΡΜΠΟΥΛΕΤΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗΣ του ΣΤΑΥΡΟΥ Αριθμός Μητρώου: 290 ΘΕΜΑ «Χρονοπρογραμματισμός και Ομαλοποίηση Πόρων στη Διαχείριση Έργων» Επιβλέπων: Ανδρέας Νεάρχου Αναπληρωτής Καθηγητής ΠΑΤΡΑ, 2016

2

Περιεχόμενα Περιεχόμενα... 3 Λίστα Εικόνων... 5 Λίστα Πινάκων... 6 Περίληψη... 7 Abstract... 8 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 9 1 ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ... 10 1.1 Εισαγωγή στη Διοίκηση Έργων... 10 1.2 Χρονικός Προγραμματισμός Έργων... 15 1.2.1 Γενικά... 15 1.2.2 Σχέσεις διαδοχής δραστηριοτήτων... 16 1.2.3 Διάγραμμα Gantt... 17 1.2.4 Τεχνικές Δικτύων (CPM, PERT)... 18 1.3 Διαχείριση Πόρων... 28 1.3.1 Γενικά... 28 1.3.2 Ταξινόμηση Πόρων... 28 1.3.3 Μέθοδοι Μοντελοποίησης Πόρων... 30 1.3.4 Ομαλοποίηση Πόρων... 30 1.4 Το Πρόβλημα Χρονοπρογραμματισμού με Περιορισμένους Πόρους... 34 2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ... 36 2.1 Γενικά... 36 2.2 Ακριβείς Μέθοδοι... 36 2.3 Ευρετικές Μέθοδοι... 38 2.4 Μετα-ευρετικές Μέθοδοι... 49 2.4.1 Μέθοδοι Απλής Κατάστασης... 49 2.4.2 Μέθοδοι Πληθυσμού... 51 3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ... 55 3.1 Αναλυτική περιγραφή μεθόδου... 56 3

3.2 Παραλλαγές της Διαφορικής Εξέλιξης... 59 4 ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ... 61 4.1 Ανάπτυξη αλγορίθμου... 61 4.2 Διεθνώς γνωστό σύνολο πειραμάτων αναφοράς... 62 4.3 Αποτελέσματα... 64 4.4 Σχόλια... 77 5 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ - ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ... 78 ΑΝΑΦΟΡΕΣ... 79 4

Λίστα Εικόνων Εικόνα 1. Τυπικό επίπεδο κόστους και στελέχωσης κατά τη διάρκεια του κύκλου ζωής του έργου... 11 Εικόνα 2. Ομάδες Διαδικασιών της Διαχείρισης Έργου... 12 Εικόνα 3. Οι Ομάδες Διαδικασιών αλληλεπιδρούν σε μια φάση ή έργο... 13 Εικόνα 4. Το Τρίγωνο της Διαχείρισης Έργου... 14 Εικόνα 5. Σχηματική απεικόνιση σχέσεων διαδοχής δραστηριοτήτων... 17 Εικόνα 6. Απλοποιημένο χρονοδιάγραμμα Gantt... 18 Εικόνα 7. Κομβικό δίκτυο έργου (ΑΟΝ)... 19 Εικόνα 8. Τοξωτό δίκτυο έργου (ΑΟΑ)... 20 Εικόνα 9. Δικτύωση ταυτόχρονων δραστηριοτήτων έργου... 20 Εικόνα 10. Παράδειγμα CPM (Forward Pass)... 23 Εικόνα 11. Παράδειγμα CPM (Backward Pass)... 23 Εικόνα 12. Παράδειγμα CPM (Slack)... 24 Εικόνα 13. Κατανομή β εκτιμήσεων χρόνου δραστηριοτήτων στην PERT... 26 Εικόνα 14. Κανονική κατανομή χρόνου ολοκλήρωσης έργου στην PERT... 27 Εικόνα 15. Παράδειγμα ομαλοποίησης πόρων... 32 Εικόνα 16. Παράδειγμα χρονοπρογραμματισμού έργου με περιορισμένους πόρους.. 41 Εικόνα 17. Παράδειγμα ακολουθιακού SGS... 44 Εικόνα 18. Παράδειγμα παράλληλου SGS... 47 Εικόνα 19. Παράδειγμα μετάλλαξης στη Διαφορική Εξέλιξη... 56 Εικόνα 20: Παράδειγμα διασταύρωσης στη Διαφορική Εξέλιξη... 57 Εικόνα 21. Ο αλγόριθμος της Διαφορικής Εξέλιξης σε ψευδοκώδικα... 58 Εικόνα 22. Διάγραμμα Ροής του αλγόριθμου της Διαφορικής Εξέλιξης... 59 Εικόνα 23. Ανισορροπία κατανομής ενός πόρου... 64 Εικόνα 24. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 30 εργασιών... 75 Εικόνα 25. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 60 εργασιών... 75 Εικόνα 26. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 90 εργασιών... 76 Εικόνα 27. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 120 εργασιών... 76 5

Λίστα Πινάκων Πίνακας 1. Αποτελέσματα εφαρμογής ΔΕ σε προβλήματα 30 εργασιών... 66 Πίνακας 2. Αποτελέσματα εφαρμογής ΔΕ σε προβλήματα 60 εργασιών... 67 Πίνακας 3. Αποτελέσματα εφαρμογής ΔΕ σε προβλήματα 90 εργασιών... 68 Πίνακας 4. Αποτελέσματα εφαρμογής ΔΕ σε προβλήματα 120 εργασιών... 69 Πίνακας 5. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 30 εργασιών... 71 Πίνακας 6. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 60 εργασιών... 72 Πίνακας 7. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 90 εργασιών... 73 Πίνακας 8. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 120 εργασιών... 74 6

Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται με τη Διοίκηση Έργων και ιδιαίτερα με τα θέματα του χρονοπρογραμματισμού και της ομαλοποίησης πόρων. Σκοπός είναι να μελετηθεί η εφαρμογή του μετα-ευρετικού αλγορίθμου της Διαφορικής Εξέλιξης, στο πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού με περιορισμένους πόρους. Για το σκοπό αυτό, στο κεφάλαιο 1, γίνεται αρχικά μια εισαγωγή στις έννοιες της Διοίκησης Έργων, του χρονικού προγραμματισμού των έργων και της διαχείρισης των πόρων. Στη συνέχεια, στο κεφάλαιο 2, γίνεται αναφορά στις μεθόδους επίλυσης των προβλημάτων που συναντώνται στη Διαχείριση Έργων, λιγότερο στις ακριβείς μεθόδους βελτιστοποίησης, και περισσότερο στις ευρετικές μεθόδους και στην εξέλιξη αυτών, τις μετα-ευρετικές μεθόδους. Στο κεφάλαιο 3, πραγματοποιείται εκτενέστερη ανάλυση του μετα-ευρετικού αλγορίθμου της Διαφορικής Εξέλιξης, που εφαρμόζεται κατόπιν σε διεθνώς γνωστό σύνολο πειραμάτων αναφοράς για να διαπιστωθεί η αποτελεσματικότητά του στο πρόβλημα που μελετάται. Τα αποτελέσματα της συγκριτικής αξιολόγησης παρουσιάζονται και σχολιάζονται στο κεφάλαιο 4. Λέξεις-Κλειδιά: Διοίκηση Έργων, Πρόβλημα Χρονοπρογραμματισμού με Περιορισμένους Πόρους, Ομαλοποίηση Πόρων, Μετα-ευρετικές Μέθοδοι, Διαφορική Εξέλιξη 7

Abstract The present master thesis deals with Project Management and especially with the problems of project scheduling and resource leveling. The aim is to study the application of the Differential Evolution meta-heuristic algorithm for the resourceconstrained project scheduling problem. For this purpose, Chapter 1 starts by an introduction to the concepts of Project Management, project scheduling and resource allocation. In Chapter 2, reference is made to the solving methods of Project Management problems, giving less attention to exact optimization methods and more detail on heuristics and meta-heuristics. In Chapter 3, an extensive analysis of Differential Evolution meta-heuristic algorithm is carried out, which is then applied to the benchmark data set to determine its effectiveness on the problem being studied. Finally, the benchmarking results are presented and discussed in chapter 4. Key-Words: Project Management, Resource-Constrained Project Scheduling Problem, Resource Leveling, Meta-heuristics, Differential Evolution 8

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρήση των έργων και της Διοίκησης Έργων παρουσιάζει αυξανόμενη πορεία στις μέρες μας, στην κοινωνία και στους οργανισμούς. Πλέον, με την οργάνωση των έργων, είμαστε σε θέση να επιτύχουμε στόχους που θα ήταν εφικτοί με μέγιστη δυσκολία αν ακολουθούσαμε παραδοσιακούς τρόπους οργάνωσης. Παρόλο που η έννοια της Διοίκησης Έργων υπάρχει από τα αρχαία χρόνια, έχει εμφανίσει μεγάλη αύξηση δημοτικότητας από την δεκαετία του 1960. Η χρήση της Διοίκησης έργων για την υλοποίηση των πολυάριθμων και διαφορετικών στόχων των ποικίλων οργανώσεων της κοινωνίας συνεχίζει να αυξάνεται. Οι επιχειρήσεις χρησιμοποιούν τακτικά τη διαχείριση έργου για την επίτευξη μοναδικών αποτελεσμάτων με περιορισμένους πόρους και κάτω από κρίσιμα χρονικά όρια. Στον τομέα των υπηρεσιών η εφαρμογή της διαχείρισης έργου για την επίτευξη των στόχων ενός οργανισμού είναι ακόμα πιο συνήθης. Ένα σχετικά νέο πεδίο ανάπτυξης της διαχείρισης έργου είναι η χρήση έργων ως τρόπος επίτευξης οργανωτικών αλλαγών. Πράγματι, παρατηρείται μια ραγδαία αύξηση του πλήθους των επιχειρήσεων που στρέφονται στα έργα και τα χρησιμοποιούν ως προτιμώμενο τρόπο για να υλοποιούν σχεδόν τα πάντα που αναλαμβάνουν. Ακόμα και οι πιο αισιόδοξες προβλέψεις δεν υπολόγισαν την εκρηκτική αύξηση που έχει παρουσιαστεί στον τομέα. Η σημαντικότητα της διοίκησης έργων προκάλεσε ανάλογη ανάγκη τεκμηρίωσης της θεωρίας και των πρακτικών μεθόδων. Στο πλαίσιο αυτό, έχει αποδειχθεί ότι ο χρονικός προγραμματισμός αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο του συστήματος διοίκησης έργων, καθώς συνδέεται με δύο βασικά γνωρίσματα των έργων: το χρόνο ολοκλήρωσης των εργασιών και το κόστος υλοποίησης. Παράλληλα, η διαθεσιμότητα και ο τρόπος κατανομής του συνόλου των πόρων που είναι αναγκαίοι για την εκτέλεση ενός έργου, είναι άρρηκτα δεμένα με το χρονικό προγραμματισμό και από κοινού επηρεάζουν καταλυτικά την οργάνωση ενός έργου. Η σημασία της διαχείρισης έργων τη σημερινή εποχή αποκτά πρόσθετη βαρύτητα αν συνυπολογιστεί το εύρος των απαιτήσεων και η συνεχώς αυξανόμενη πολυπλοκότητα των έργων που αναλαμβάνονται. Έτσι, εκτός από την ανάγκη δημιουργίας ενός εφικτού σχεδίου για τη διαχείριση μεγάλων έργων, προκύπτει η ανάγκη βελτιστοποίησης του σχεδίου σε όλα τα επίπεδα. Σαν αποτέλεσμα, η επιχειρηματική και ακαδημαϊκή κοινότητα στρέφεται περισσότερο σε νέους τρόπους προσέγγισης των προβλημάτων του χρονικού προγραμματισμού και της κατανομής των πόρων. Με αυτό το πεδίο έρευνας ασχολείται η παρούσα εργασία και εξετάζει εξελιγμένες μεθόδους για την επίλυση του σύνθετου προβλήματος χρονικού προγραμματισμού με περιορισμένους πόρους. 9

1 ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΡΓΩΝ 1.1 Εισαγωγή στη Διοίκηση Έργων Η αφετηρία για την περαιτέρω ανάλυση και κατανόηση του θέματος είναι ο καθορισμός των βασικών εννοιών «Έργο» και «Διοίκηση Έργου» και κρίνεται απαραίτητος στο σημείο αυτό. Σύμφωνα με το Σώμα Γνώσεων Διαχείρισης Έργου (PMI, 2008) το Έργο (Project) ορίζεται ως ένα προσωρινό εγχείρημα το οποίο υλοποιείται με σκοπό τη δημιουργία ενός μοναδικού προϊόντος, υπηρεσίας ή αποτελέσματος. Η προσωρινή φύση του έργου υποδηλώνει ότι έχει μια καθορισμένη αρχή και ένα καθορισμένο τέλος, αλλά δε σημαίνει ότι είναι σύντομο σε διάρκεια υλοποίησης, ούτε ότι το αποτέλεσμα είναι προσωρινό. Ο λεγόμενος κύκλος ζωής του έργου είναι ένα σύνολο από συνήθως διαδοχικές και ενίοτε επικαλυπτόμενες φάσεις, των οποίων η ονομασία και το πλήθος καθορίζεται από τις ανάγκες της διοίκησης των οργανισμών που εμπλέκονται στο έργο, από τη φύση του ίδιου του έργου και από το πεδίο εφαρμογής του έργου. Ενώ κάθε έργο έχει καθορισμένη αρχή και καθορισμένο τέλος, τα συγκεκριμένα παραδοτέα και οι ενέργειες που πραγματοποιούνται στο μεταξύ ποικίλουν ευρέως ανάλογα με το έργο. Έτσι, ο κύκλος ζωής παρέχει το βασικό πλαίσιο για την διαχείριση του έργου, ανεξάρτητα από τις συγκεκριμένες εργασίες που εκτελούνται. Γενικά τα έργα ποικίλουν σε μέγεθος και πολυπλοκότητα. Ανεξάρτητα όμως με το πόσο μεγάλα ή μικρά, απλά ή πολύπλοκα είναι, όλα τα έργα χαρακτηρίζονται από διακριτές φάσεις στην πορεία, από την αφετηρία μέχρι την ολοκλήρωσή τους. Έτσι, ο κύκλος ζωής του έργου περιλαμβάνει τις φάσεις (PMI, 2008): της σκοπιμότητας, της σχεδίασης και ανάπτυξης, της εκτέλεσης, και της θέσης σε λειτουργία και παράδοσης. Στην εικόνα 1 φαίνονται οι προαναφερθείσες φάσεις του έργου, όπου το σχετικό επίπεδο κόστους και στελέχωσης κάθε φάσης δίνεται ως συνάρτηση του χρόνου (PMI, 2008). Η τυπική δομή του κύκλου ζωής ενός έργου ξεκινά με το επίπεδο προσπάθειας χαμηλά στην αρχή, στη συνέχεια αυξάνεται αργά μέχρι την κορυφή στη φάση εκτέλεσης και μειώνεται γρήγορα καθώς το έργο πλησιάζει στο τέλος του. 10

Εικόνα 1. Τυπικό επίπεδο κόστους και στελέχωσης κατά τη διάρκεια του κύκλου ζωής του έργου Όσον αφορά τη Διοίκηση Έργου (Project Management), στον ίδιο οδηγό (PMI, 2008), ορίζεται ως η εφαρμογή γνώσεων, δεξιοτήτων, εργαλείων και τεχνικών σε δραστηριότητες του έργου, ώστε να πληρούνται οι απαιτήσεις του έργου. Η Διοίκηση Έργου επιτυγχάνεται με την κατάλληλη εφαρμογή πολυάριθμων διαδικασιών, ή με άλλα λόγια, τα έργα αποτελούνται από διαδικασίες. Μια διαδικασία είναι μια σειρά από αλληλένδετες ενέργειες που αποφέρουν ένα προκαθορισμένο αποτέλεσμα, προϊόν ή υπηρεσία. Οι διαδικασίες εκτελούνται από την ομάδα του έργου και γενικά, εμπίπτουν σε μία από δύο μεγάλες κατηγορίες (PMI, 2008): Διαδικασίες διοίκησης έργου, που αφορούν την περιγραφή και οργάνωση των εργασιών του έργου Διαδικασίες προσανατολισμένες στο προϊόν, που αφορούν τον προσδιορισμό και τη δημιουργία του προϊόντος του έργου. Οι διαδικασίες διοίκησης έργου και οι προσανατολισμένες στο προϊόν διαδικασίες αλληλεπικαλύπτονται και αλληλεπιδρούν σε όλο το έργο. Επιπλέον, οι διαδικασίες διοίκησης έργου, μπορούν να ομαδοποιηθούν στις εξής πέντε βασικές κατηγορίες (PMI, 2008): α) Έναρξης. Οι διαδικασίες που πραγματοποιούνται για τον καθορισμό ενός νέου έργου ή μιας νέας φάσης ενός υπάρχοντος έργου, με την απόκτηση της άδειας για την έναρξη του έργου ή της φάσης. β) Σχεδιασμού. Οι διαδικασίες που απαιτούνται για τον προσδιορισμό του πεδίου εφαρμογής του έργου, για τη βελτίωση των στόχων και για τον καθορισμό της πορείας δράσης ώστε να επιτευχθούν οι στόχοι του έργου. 11

γ) Εκτέλεσης. Οι διαδικασίες που πραγματοποιούνται για την ολοκλήρωση των εργασιών που έχουν καθοριστεί από το σχέδιο διαχείρισης έργου, ώστε να καλυφθούν οι προδιαγραφές του έργου δ) Παρακολούθησης και Έλεγχου. Οι διαδικασίες που απαιτούνται για την παρακολούθηση, αξιολόγηση και ρύθμιση της εξέλιξης και της επίδοσης του έργου. Εντοπίζονται οι περιοχές που ενδεχομένως χρειάζεται να γίνουν αλλαγές το σχεδιασμό και ξεκινούν οι αντίστοιχες προσαρμογές. ε) Ολοκλήρωσης. Οι διαδικασίες που πραγματοποιούνται για να ολοκληρωθούν όλες οι δραστηριότητες, ώστε να επισημοποιηθεί το κλείσιμο του έργου ή της φάσης. Οι διαδικασίες διοίκησης έργου παρουσιάζονται σαν διακριτά στοιχεία με σαφώς καθορισμένες διεπαφές, αλλά στην πράξη αλληλεπικαλύπτονται και αλληλεπιδρούν με διάφορους τρόπους. Η ενοποιητική φύση της διοίκησης έργου απαιτεί την αλληλεπίδραση της ομάδας διαδικασιών παρακολούθησης και ελέγχου με άλλες ομάδες διαδικασιών, όπως φαίνεται στην εικόνα 2 (PMI, 2008). Ακόμη, καθώς η διοίκηση ενός έργου είναι μια πεπερασμένη προσπάθεια, η ομάδα διαδικασιών έναρξης ξεκινάει το έργο και η ομάδα διαδικασιών ολοκλήρωσης το τερματίζει. Εικόνα 2. Ομάδες Διαδικασιών της Διαχείρισης Έργου Οι ομάδες διαδικασιών συνδέονται μεταξύ τους από τις εισροές και τα αποτελέσματα που παράγουν. Γενικά, η εκροή μιας διαδικασίας γίνεται εισροή σε μια άλλη διαδικασία ή είναι παραδοτέο του έργου. Η ομάδα διαδικασιών σχεδιασμού παρέχει στην ομάδα διαδικασιών εκτέλεσης το σχέδιο της διαχείρισης του έργου και τα έγγραφα του έργου, και, καθώς το έργο εξελίσσεται, συχνά προσφέρει ενημερώσεις του σχεδίου και των εγγράφων. Η εικόνα 3 (PMI, 2008) δείχνει πώς αλληλεπιδρούν οι ομάδες διαδικασιών και το επίπεδο επικάλυψης σε διάφορες 12

χρονικές στιγμές. Οι παραπάνω κατηγοριοποίηση του συνόλου των διαδικασιών ενός έργου, ακολουθεί σε γενικές γραμμές τη δομή του κύκλου ζωής του έργου. Εικόνα 3. Οι Ομάδες Διαδικασιών αλληλεπιδρούν σε μια φάση ή έργο Το σύνολο των διαδικασιών που απαιτούνται στην διοίκηση έργου ταξινομούνται σε γνωστικές περιοχές (knowledge areas), που επιτρέπουν τη θεώρηση της διαχείρισης έργου ως μοναδική και µη επαναλαμβανόμενη προσπάθεια. Τέτοιες γνωστικές περιοχές είναι οι ακόλουθες (PMI, 2008): Διαχείριση Αντικειμένου του έργου (Project Scope Management), που περιλαμβάνει τις διαδικασίες που απαιτούνται ώστε να διασφαλιστεί ότι στο έργο περιλαμβάνεται όλη η απαιτούμενη εργασία και μόνο η απαιτούμενη εργασία, για την επιτυχή ολοκλήρωσή του. Διαχείριση Χρόνου του έργου (Project Time Management), που περιλαμβάνει τις διαδικασίες που απαιτούνται ώστε το έργο να πραγματοποιηθεί στον προκαθορισμένο χρόνο. Διαχείριση Κόστους του έργου (Project Cost Management), που περιλαμβάνει τις διαδικασίες που εμπλέκονται στην εκτίμηση, τον προϋπολογισμό και τον έλεγχο του κόστους του έργου, έτσι ώστε να ολοκληρωθεί εντός του εγκεκριμένου προϋπολογισμού. Διαχείριση Ποιότητας του έργου (Project Quality Management), που περιλαμβάνει τις διαδικασίες και τις δραστηριότητες του οργανισμού που υλοποιεί το έργο και καθορίζουν την πολιτική ποιότητας, τους στόχους και τις ευθύνες, ώστε να ικανοποιηθούν οι ανάγκες για τις οποίες πραγματοποιείται το έργο. 13

Διαχείριση Ανθρώπινων Πόρων του έργου (Project Human Resource Management), που περιλαμβάνει τις διαδικασίες για την οργάνωση, τη διοίκηση και την καθοδήγηση της ομάδας του έργου. Διαχείριση Προμηθειών του έργου (Project Procurement Management), που περιλαμβάνει τις αναγκαίες διαδικασίες για την αγορά ή απόκτηση αγαθών, υπηρεσιών ή αποτελεσμάτων που χρειάζονται από το εξωτερικό περιβάλλον του έργου. Διαχείριση Επικοινωνιών του έργου (Project Communication Management), που περιλαμβάνει τις διαδικασίες που απαιτούνται για την έγκαιρη και κατάλληλη δημιουργία, συλλογή, διανομή, αποθήκευση, ανάκτηση και τελική διάθεση των πληροφοριών που αφορούν το έργο. Διαχείριση Κινδύνων του έργου (Project Risk Management), που περιλαμβάνει τις διαδικασίες για τον προγραμματισμό, την αναγνώριση, την ανάλυση, τον σχεδιασμό απόκρισης και την παρακολούθηση και έλεγχο των κινδύνων σε ένα έργο. Τέλος, είναι σημαντικό να αναφερθούν οι τρεις βασικοί στόχοι της διοίκησης έργων, δηλαδή να επιτευχθεί η καθορισμένη ποιότητα, εντός του προϋπολογισμού κόστους και σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα (Meredith & Mantel, 2009). Η ενοποίηση των εννοιών χρόνος-κόστος-ποιότητα παρουσιάζεται ως ένα τρίγωνο ισορροπημένων απαιτήσεων, σύμφωνα με το οποίο, μια αλλαγή σε μια παράμετρο θα μπορούσε να επηρεάσει τις υπόλοιπες. Το λεγόμενο Τρίγωνο της Διαχείρισης Έργου (εικόνα 4) δείχνει το νοητό επιθυμητό σημείο ισορροπίας του έργου, όπου γίνεται αποτελεσματικός συμβιβασμός των τριών αξόνων απόδοσης. Εικόνα 4. Το Τρίγωνο της Διαχείρισης Έργου 14

1.2 Χρονικός Προγραμματισμός Έργων 1.2.1 Γενικά Ο χρονικός προγραμματισμός του έργου αποτελεί ένα πολύ σημαντικό τμήμα στον τομέα της Διαχείρισης Έργων. Όπως αναφέρουν οι Meredith και Mantel (2009), ένα πρόγραμμα είναι η μετατροπή του σχεδίου δράσης του έργου σε ένα λειτουργικό χρονοδιάγραμμα. Έτσι, χρησιμεύει ως θεμελιώδης βάση για την παρακολούθηση και τον έλεγχο του έργου. Παράλληλα, σε συνδυασμό με το σχεδιασμό και τον προϋπολογισμό κόστους, είναι πιθανόν το σημαντικότερο εργαλείο της Διαχείρισης Έργων. Ο χρονοπρογραμματισμός ενός έργου περιλαμβάνει το σχεδιασμό χρονοδιαγραμμάτων και τον καθορισμό ημερών κατά τις οποίες οι διάφοροι πόροι, όπως ο εξοπλισμός και το προσωπικό, θα εκτελούν τις απαραίτητες δραστηριότητες για την ολοκλήρωση του έργου (Shtub, Bard & Globerson, 1994). Ουσιαστικά, η γνωστική περιοχή Διαχείριση Χρόνου περιλαμβάνει όλες τις απαιτούμενες διαδικασίες για την έγκαιρη ολοκλήρωση του έργου (PMI, 2008). Οι διαδικασίες αυτές είναι: Προσδιορισμός δραστηριοτήτων: η διαδικασία προσδιορισμού των συγκεκριμένων εργασιών προς εκτέλεση για την υλοποίηση των παραδοτέων του έργου Διαδοχή δραστηριοτήτων: η διαδικασία προσδιορισμού των σχέσεων προτεραιότητας μεταξύ των εργασιών Εκτίμηση απαιτούμενων πόρων δραστηριοτήτων: η διαδικασία εκτίμησης του είδους και της ποσότητας των υλικών, προσωπικού, εξοπλισμού ή προμηθειών που απαιτούνται για την εκτέλεση κάθε εργασίας Εκτίμηση διάρκειας δραστηριοτήτων: η διαδικασία προσέγγισης του πλήθους περιόδων εργασίας που χρειάζονται για την ολοκλήρωση μεμονωμένων εργασιών με εκτιμώμενους πόρους Ανάπτυξη χρονοδιαγράμματος: η διαδικασία ανάλυσης της διαδοχής, της διάρκειας, της απαίτησης πόρων και των χρονικών περιορισμών των εργασιών, ώστε να κατασκευαστεί το χρονοδιάγραμμα Έλεγχος χρονοδιαγράμματος: η διαδικασία παρακολούθησης της κατάστασης του έργου, για να ενημερώνεται η πρόοδος του έργου και να διαχειρίζονται οι αλλαγές ως προς το αρχικό πρόγραμμα. Το χρονοδιάγραμμα ενός έργου μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορους τρόπους και έχουν αναπτυχθεί πολυάριθμες τεχνικές. Οι πιο γνωστές τεχνικές χρονοπρογραμματισμού έργων, που αναλύονται στη συνέχεια, είναι τα διαγράμματα 15

Gantt, η Μέθοδος της Κρίσιμης Διαδρομής (Critical Path Method, CPM) και η Τεχνική Αξιολόγησης και Αναθεώρησης Προγράμματος (Program Evaluation and Review Technique, PERT). Οι στόχοι του χρονικού προγραμματισμού των έργων μπορούν να συνοψιστούν ως εξής: Δείχνει τη σχέση των διαφόρων δραστηριοτήτων τόσο μεταξύ τους όσο και ως προς το συνολικό έργο. Αναγνωρίζει τις προτεραιότητες στην εκτέλεση μεταξύ των διαφόρων δραστηριοτήτων. Ενθαρρύνει τον ορισμό ρεαλιστικών χρόνων ολοκλήρωσης και κόστους για κάθε δραστηριότητα. Βοηθά στην καλύτερη χρησιμοποίηση των πόρων (εργαζομένων, κεφαλαίου, υλικών, μηχανών) εντοπίζοντας τα κρίσιμα σημεία καθυστέρησης στο έργο. 1.2.2 Σχέσεις διαδοχής δραστηριοτήτων Το σύνολο των εργασιών ενός έργου συχνά εμπεριέχει αλληλεξαρτήσεις και σχέσεις προτεραιότητας, δηλαδή, ορισμένες δραστηριότητες δεν μπορούν να εκτελεστούν εάν δεν ολοκληρωθούν προηγουμένως κάποιες άλλες δραστηριότητες. Γενικά, ο χρονοπρογραμματισμός περιορίζεται από διάφορους παράγοντες, όπως τεχνολογικούς περιορισμούς ή διαθεσιμότητα πόρων, που αναφέρονται ως σχέσεις προτεραιότητας και εκφράζουν τη χρονική διαδοχή και των τρόπο εξάρτησης των δραστηριοτήτων του έργου. Έχουν διατυπωθεί τέσσερις γενικοί τύποι σχέσεων προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων, οι οποίες απεικονίζονται γραφικά στην εικόνα 5 και περιγράφονται συνοπτικά: Σχέση τέλους-αρχής (Finish to Start relationship, FS): Η επόμενη εργασία αρχίζει μόλις ολοκληρωθεί η προηγούμενη. Σχέση τέλους-τέλους (Finish to Finish relationship FF): Η επόμενη εργασία τελειώνει µε το τέλος της προηγούμενης. Σχέση αρχής-αρχής (Start to Start relationship SS): Η επόμενη εργασία αρχίζει ταυτόχρονα µε την προηγούμενη. Σχέση αρχής-τέλους (Start to Finish relationship SF): Το τέλος της επόμενης εργασίας εξαρτάται από την έναρξη της προηγούμενης. 16

Εικόνα 5. Σχηματική απεικόνιση σχέσεων διαδοχής δραστηριοτήτων Στις σχέσεις αυτές μπορεί να προστεθεί μια χρονική υστέρηση (lag) ή προπόρευση (lead), που εκφράζεται είτε ως μονάδα χρόνου, είτε ποσοστιαία. Αυτές οι περιπτώσεις γενικευμένων σχέσεων διαδοχής των δραστηριοτήτων, είναι πιο σύνθετες και περιγράφουν με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τα δεδομένα των έργων. 1.2.3 Διάγραμμα Gantt Το διάγραμμα Gantt αναπτύχθηκε ως εργαλείο ελέγχου παραγωγής από τον αμερικανό μηχανικό Henry Gantt το 1917. Ουσιαστικά πρόκειται για ένα οριζόντιο ιστόγραμμα που παρέχει μια γραφική απεικόνιση του έργου. Σε ένα διάγραμμα Gantt ο οριζόντιος άξονας αντιπροσωπεύει τη συνολική χρονική διάρκεια του έργου, που χωρίζεται σε ίσα διαστήματα (π.χ. μήνες, εβδομάδες, ή ημέρες) και ο κάθετος άξονας αντιπροσωπεύει τις εργασίες που αποτελούν το έργο. Ένα παράδειγμα διαγράμματος Gantt φαίνεται στην εικόνα 6, όπου γίνεται εύκολα αντιληπτή η απλότητα του σχηματικού μοντέλου. 17

Εικόνα 6. Απλοποιημένο χρονοδιάγραμμα Gantt Η χρήση της συγκεκριμένης τεχνικής προσφέρει ορισμένα πλεονεκτήματα, όπως, η σαφής απεικόνιση της χρονικής διάρκειας και της αλληλουχίας των εργασιών, παρέχοντας άμεση εποπτεία του προγράμματος του έργου και της προόδου των εργασιών. Επιπλέον, είναι χαρακτηριστική η εύκολη και γρήγορη κατασκευή του και η ευκολία στη χρήση ακόμα και από μη εξειδικευμένο προσωπικό, ενώ παράλληλα είναι ευέλικτο και επεκτάσιμο ως προς τη μορφή του. Γενικά, τα διαγράμματα Gantt είναι χρήσιμα, ιδιαίτερα για στατικά περιβάλλοντα. Ωστόσο, τα διαγράμματα Gantt δεν έχουν μεγάλες δυνατότητες πληροφόρησης, επομένως χρησιμοποιούνται σε λιγότερο σύνθετα έργα. Επειδή δεν δύναται να απεικονιστούν οι σχέσεις αλληλεξάρτησης των επιμέρους εργασιών με αυτή την τεχνική, κρίνεται ανεπαρκής για περίπλοκους σχεδιασμούς έργων. Ακόμη, όταν παρουσιάζονται μεταβολές στην χρονική διάρκεια εκτέλεσης κάποιων δραστηριοτήτων, είναι δύσκολη η αναπροσαρμογή των διαγραμμάτων, ενώ εφαρμόζονται δύσκολα σε έργα με μεγάλο αριθμό εργασιών, λόγω του σημαντικού χώρου που απαιτεί η απεικόνισή τους. Τέλος, υπάρχει αδυναμία στην παρουσίαση των κρίσιμων δραστηριοτήτων για την επιτυχή ολοκλήρωση του συνολικού έργου. 1.2.4 Τεχνικές Δικτύων (CPM, PERT) Με εξαίρεση τα διαγράμματα Gantt, που σχολιάστηκαν προηγουμένως, η κύρια και συνηθέστερη προσέγγιση για τον χρονοπρογραμματισμό ενός έργου είναι η χρήση τεχνικών δικτύων. Στις τεχνικές αυτές, διαμορφώνεται ένα δίκτυο που απεικονίζει γραφικά τις σχέσεις διαδοχής μεταξύ των εργασιών ενός έργου. Οι πιο διαδεδομένες μέθοδοι δικτυωτού προγραμματισμού είναι η Μέθοδος της Κρίσιμης Διαδρομής (Critical Path Method, CPM) και η Τεχνική Αξιολόγησης και Αναθεώρησης Προγράμματος (Program Evaluation and Review Technique, PERT). Οι τεχνικές CPM και PERT αναπτύχθηκαν στα τέλη της δεκαετίας του 1950 και έχουν αρκετά κοινά χαρακτηριστικά, καθώς και οι δύο θεωρούν σχέσεις προτεραιότητας και αλληλεξαρτήσεις μεταξύ των δραστηριοτήτων του έργου. Η βασική διαφορά μεταξύ τους είναι πως χρησιμοποιούν διαφορετικό τρόπο υπολογισμού του χρόνου υλοποίησης κάθε δραστηριότητας. Η CPM χρησιμοποιεί ντετερμινιστικές εκτιμήσεις του χρόνου των δραστηριοτήτων και σχεδιάστηκε για να 18

ελέγχει ταυτόχρονα τις παραμέτρους του χρόνου και του κόστους του έργου, ενώ η PERT χρησιμοποιεί πιθανολογικές εκτιμήσεις του χρόνου των δραστηριοτήτων, για να βοηθήσει στον καθορισμό της πιθανότητας να ολοκληρωθεί το έργο εντός συγκεκριμένου χρονικού ορίου (Meredith & Mantel, 2009). Σε κάθε περίπτωση, πριν την εφαρμογή κάποιας μεθόδου, πρέπει να δοθούν απαντήσεις στα εξής τέσσερα ερωτήματα: 1. Ποιες είναι οι σημαντικές δραστηριότητες του έργου; 2. Ποιοι είναι οι περιορισμοί στην αλληλουχία των δραστηριοτήτων; 3. Ποιες δραστηριότητες είναι δυνατόν να εκτελεστούν ταυτόχρονα; 4. Ποια είναι η εκτιμώμενη χρονική διάρκεια κάθε δραστηριότητας; Οι τεχνικές CPM και PERT βασίζονται σε ένα διάγραμμα, όπου αναπαριστάνεται η ροή εκτέλεσης του έργου, απεικονίζοντας τις δραστηριότητες σαν ένα δίκτυο από βέλη και κόμβους. Για τη μετατροπή του σχεδίου του έργου σε δίκτυο, αρχικά προσδιορίζονται οι δραστηριότητες που περιλαμβάνει το έργο και, για κάθε δραστηριότητα, ποιες προηγούνται ή έπονται αυτής. Μια δραστηριότητα μπορεί να ικανοποιεί οποιαδήποτε από τις συνθήκες: α) να έχει επόμενη(-ες), αλλά όχι προηγούμενη(-ες), β) να έχει προηγούμενη(-ες) αλλά όχι επόμενη(-ες), και γ) να έχει και προηγούμενη(-ες) και επόμενη(-ες). Η πρώτη είναι δραστηριότητα που ξεκινάει το δίκτυο (Start), η δεύτερη τελειώνει το δίκτυο (End) και η τρίτη είναι κάθε δραστηριότητα στη μέση του δικτύου (Meredith & Mantel, 2009). Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις για τη δημιουργία του δικτύου, όπως φαίνονται στις εικόνες 7 και 8 (Meredith & Mantel, 2009): Κομβικά Δίκτυα (Activity On Node, AON), όπου οι κόμβοι αντιπροσωπεύουν τις δραστηριότητες και τα βέλη τις σχέσεις διαδοχής τους. Εικόνα 7. Κομβικό δίκτυο έργου (ΑΟΝ) Τοξωτά Δίκτυα (Activity On Arrow, AOA), όπου τα βέλη αντιπροσωπεύουν τις δραστηριότητες και οι κόμβοι τα γεγονότα. Σαν γεγονός (event) χαρακτηρίζεται μια χρονική στιγμή που ορίζει την έναρξη ή το πέρας μίας ή περισσότερων δραστηριοτήτων. 19

Εικόνα 8. Τοξωτό δίκτυο έργου (ΑΟΑ) Η κατασκευή του δικτύου του έργου με τον έναν ή τον άλλο τρόπο, ακολουθεί ορισμένους κανόνες. Αρχικά, κάθε δραστηριότητα αναπαρίσταται, στην περίπτωση ΑΟΝ αυστηρά με έναν μόνο κόμβο, ή στην περίπτωση ΑΟΑ αυστηρά με ένα μόνο βέλος. Επιπλέον, δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν δύο δραστηριότητες που προσδιορίζονται από το ίδιο αρχικό και τελικό γεγονός. Τέτοια κατάσταση μπορεί να προκύψει αν δύο δραστηριότητες εκτελούνται παράλληλα και για την αντιμετώπισή της εισάγεται η έννοια της πλασματικής δραστηριότητας (dummy), που δεν καταναλώνει χρόνο ή πόρους (εικ. 9). Τέλος, για να εξασφαλιστεί η ορθή αναπαράσταση στα δίκτυα ΑΟΑ όταν προστίθεται μια νέα δραστηριότητα στο δίκτυο, είναι αναγκαίο να προσδιοριστούν οι δραστηριότητες που πρέπει να ολοκληρωθούν ακριβώς πριν ξεκινήσει η νέα, οι δραστηριότητες που πρέπει να ακολουθήσουν αμέσως τη νέα και οι δραστηριότητες πρέπει να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα µε τη νέα. Εικόνα 9. Δικτύωση ταυτόχρονων δραστηριοτήτων έργου Tα πρώτα βήματα για την εφαρμογή των μεθόδων CPM και PERT είναι κοινά και περιλαμβάνουν τις εξής ενέργειες: 1. Καθορισμό του έργου και προετοιμασία της δομής διάσπασής του σε δραστηριότητες. 2. Καθορισμό των σχέσεων μεταξύ των δραστηριοτήτων (σειρά προτεραιότητας). 3. Σχεδιασμό του δικτύου που συνδέει τις δραστηριότητες μεταξύ τους. 4. Εκχώρηση χρόνων ή/και κόστους σε κάθε δραστηριότητα. 5. Υπολογισμό της διαδρομής στο δίκτυο µε το μέγιστο χρόνο ολοκλήρωσης (Κρίσιμη Διαδρομή). 20

6. Χρήση του δικτύου για βοήθεια στον σχεδιασμό, προγραμματισμό και έλεγχο του έργου. Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή της διαδικασίας των τεχνικών CPM και PERT με ανάλογο παράδειγμα. Μέθοδος Κρίσιμης Διαδρομής (CPM) Η ανάλυση της κρίσιμης διαδρομής προσδιορίζει τις κρίσιμες διαδρομές ενός έργου. Ουσιαστικά προσδιορίζει τη μακρύτερη διαδρομή στο δίκτυο και συνεπώς τον ελάχιστο χρόνο στον οποίο μπορεί να ολοκληρωθεί το έργο. Οι δραστηριότητες επί της κρίσιμης διαδρομής δεν έχουν περιθώριο καθυστέρησης, οπότε οποιαδήποτε καθυστέρηση δραστηριότητας που βρίσκεται επί της κρίσιμης διαδρομής καθυστερεί όλο το έργο. Σε ένα δίκτυο μπορεί να υπάρχουν πολλές κρίσιμες διαδρομές. Ας θεωρήσουμε ένα παράδειγμα έργου 8 δραστηριοτήτων με τις σχέσεις διαδοχής και τους χρόνους εκτέλεσης που φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Το κομβικό δίκτυο του έργου (ΑΟΝ) φαίνεται επίσης. Δραστηριότητα Άμεσα Προηγηθείσα Διάρκεια (εβδ.) A - 2 B - 3 C A 2 D A, B 4 E C 4 F C 3 G D, E 5 H F, G 2 Κατά την εκτίμηση της διάρκειας κάθε δραστηριότητας ενός έργου, προτείνεται να ακολουθούνται κάποιοι γενικοί κανόνες. Η διάρκεια κάθε δραστηριότητας πρέπει να κυμαίνεται περίπου μεταξύ 0,5% έως 2% της συνολικής διάρκειας του έργου. Δηλαδή, αν ένα έργο διαρκεί περίπου 1 χρόνο, τότε κάθε δραστηριότητα πρέπει να διαρκεί από 1 ημέρα έως 1 εβδομάδα. Επίσης, αν το πλήθος των δραστηριοτήτων είναι πολύ μεγάλο, τότε το έργο πρέπει να σπάσει σε υποέργα, για μεγαλύτερη ευελιξία και ευκολότερο έλεγχο. Αρχικά, κρίνεται σκόπιμο να οριστούν οι έννοιες των χρόνων ενωρίτερης και βραδύτερης έναρξης και ολοκλήρωσης των δραστηριοτήτων: 21

Ενωρίτερη Έναρξη (EΕ), είναι ο νωρίτερος χρόνος στον οποίο μπορεί να ξεκινήσει µια δραστηριότητα, θεωρώντας ότι έχουν ολοκληρωθεί όλες οι προηγηθείσες. Ενωρίτερη ολοκλήρωση (EΟ), είναι ο νωρίτερος χρόνος στον οποίο μπορεί να ολοκληρωθεί µια δραστηριότητα. Βραδύτερη Έναρξη (ΒΕ), είναι ο βραδύτερος χρόνος στον οποίο μπορεί να ξεκινήσει μια δραστηριότητα, έτσι ώστε να µην καθυστερήσει την ολοκλήρωση του έργου. Βραδύτερη Ολοκλήρωση (ΒΟ), είναι ο βραδύτερος χρόνος στον οποίο μπορεί να ολοκληρωθεί µια δραστηριότητα χωρίς να καθυστερήσει την ολοκλήρωση του έργου. Στα σχήματα που θα ακολουθήσουν υιοθετείται ένα συμβολισμός για τις δραστηριότητες, όπου σημειώνονται οι χρόνοι αυτοί ως εξής: πάνω αριστερά ο χρόνος ΕΕ, κάτω αριστερά ο χρόνος ΒΕ, πάνω δεξιά ο χρόνος ΕΟ και κάτω αριστερά ο χρόνος ΒΟ. Στο κέντρο των συμβόλων σημειώνεται η ονομασία της δραστηριότητας και η διάρκειά της. Η τεχνική CPM περιλαμβάνει 4 βασικά βήματα, όπως περιγράφονται στη συνέχεια. Βήμα 1: Πέρασμα προς τα εμπρός (forward pass) Υπολογισμός των χρόνων ΕΕ k και ΕΟ k για κάθε δραστηριότητα k (k = 1,, n) µε χρόνο διάρκειας T k : ΕΕ k = max { EOj } για κάθε δραστηριότητα j που είναι άμεσα προηγούμενη της k. ΕO k = ΕΕ k + T k Το βήμα επαναλαμβάνεται για όλες τις δραστηριότητες του έργου από την αρχική (k=1) μέχρι την τελική (k=n) και οι πληροφορίες συμπληρώνονται στο δίκτυο, όπως φαίνεται στην εικόνα 10. 22

Εικόνα 10. Παράδειγμα CPM (Forward Pass) (Πηγή: Ανδρέας Νεάρχου, Ανοιχτά ακαδημαϊκά μαθήματα, "Διοίκηση Λειτουργιών: Ενότητα Διοίκηση Έργων", Έκδοση 1.0, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2014) Βήμα 2: Πέρασμα προς τα πίσω (backward pass) Υπολογισμός των χρόνων BΕ k και BΟ k για κάθε δραστηριότητα k (k = n,, 1) µε χρόνο διάρκειας T k : BΕ k = min { BEj } για κάθε δραστηριότητα j που είναι άμεσα επόμενη της k. BO k = ΒΟ k - T k Το βήμα επαναλαμβάνεται για όλες τις δραστηριότητες του έργου από την τελική (k=n) μέχρι την αρχική (k=1) και οι πληροφορίες συμπληρώνονται στο δίκτυο, όπως φαίνεται στην εικόνα 11. Εικόνα 11. Παράδειγμα CPM (Backward Pass) (Πηγή: Ανδρέας Νεάρχου, Ανοιχτά ακαδημαϊκά μαθήματα, "Διοίκηση Λειτουργιών: Ενότητα Διοίκηση Έργων", Έκδοση 1.0, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2014) 23

Βήμα 3: Χρόνοι χαλαρότητας - Περιθώρια (Slack) Για κάθε δραστηριότητα το περιθώριο χρόνου Π k δείχνει την ποσότητα του χρόνου που μπορεί μια δραστηριότητα να καθυστερήσει και υπολογίζεται: Π k = BE k - ΕΕ k ή Π k = BOk - EO k Το βήμα επαναλαμβάνεται για όλες τις δραστηριότητες του έργου και το αποτέλεσμα φαίνεται στην εικόνα 12. Εικόνα 12. Παράδειγμα CPM (Slack) (Πηγή: Ανδρέας Νεάρχου, Ανοιχτά ακαδημαϊκά μαθήματα, "Διοίκηση Λειτουργιών: Ενότητα Διοίκηση Έργων", Έκδοση 1.0, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2014) Βήμα 4: Προσδιορισμός Κρίσιμης Διαδρομής Η κρίσιμη διαδρομή Δ είναι εκείνη όπου όλες οι δραστηριότητές της k (k Δ) έχουν περιθώριο Π k = 0. Οι χρόνοι ενωρίτερης και βραδύτερης έναρξης/ολοκλήρωσης και τα περιθώρια χαλάρωσης κάθε δραστηριότητας που υπολογίστηκαν από την ανάλυση κρίσιμης διαδρομής συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. Οι δραστηριότητες που ανήκουν στην κρίσιμη διαδρομή σημειώνονται με χρώμα. Προκύπτει ότι ο μακρύτερος δρόμος του δικτύου είναι η αλληλουχία δραστηριοτήτων Α - C - E - G - H. Το άθροισμα της διάρκειας των δραστηριοτήτων αυτών ισούται με 15 εβδομάδες και αυτός είναι ο μικρότερος δυνατός χρόνος στον οποίο μπορεί να ολοκληρωθεί το έργο. 24

Δραστηρ. ΕΕ ΕΟ ΒΕ ΒΟ Π A 0 2 0 2 0 B 0 3 1 4 1 C 2 4 2 4 0 D 3 7 4 8 1 E 4 8 4 8 0 F 4 7 10 13 6 G 8 13 8 13 0 H 13 15 13 15 0 Τεχνική Αξιολόγησης και Αναθεώρησης Προγράμματος (PERT) Έχει ήδη αναφερθεί ότι, σε αντίθεση με την μέθοδο CPM που θεωρεί γνωστή και σταθερή τη διάρκεια των δραστηριοτήτων, η PERT χρησιμοποιεί μια πιο ρεαλιστική προσέγγιση θεωρώντας τους χρόνους ως στοχαστικές μεταβλητές. Έτσι, θεωρούνται τρεις εκτιμήσεις χρόνου: Αισιόδοξη a (optimistic time), αν όλα εξελιχθούν σύμφωνα με το αρχικό σχέδιο ( 1%), Απαισιόδοξη b (pessimistic time), αν υποθέσουμε τις πιο απαισιόδοξες συνθήκες ( 1%), Πιο πιθανή m (most likely time), η πιο πιθανή εκτίμηση. Οι εκτιμήσεις των χρόνων ακολουθούν την πιθανοτική κατανομή βήτα (εικ. 13). Ο αναμενόμενος ή μέσος χρόνος κάθε δραστηριότητας δίνεται από τη σχέση και η διακύμανση των χρόνων δίνεται από τη σχέση 25

Εικόνα 13. Κατανομή β εκτιμήσεων χρόνου δραστηριοτήτων στην PERT Ας θεωρήσουμε το έργο του προηγούμενου παραδείγματος, αποτελούμενο από 8 δραστηριότητες, με κρίσιμη διαδρομή την Α - C - E - G - H. Στα δεδομένα του προβλήματος αντικαθίστανται οι χρόνοι των δραστηριοτήτων με τις εκτιμήσεις της PERT, σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δραστηρ. Αισιόδοξη α Πιο πιθανή m Απαισιόδοξη b Αναμεν. Χρόνος μ Διακύμανση σ 2 A 1 2 3 2 0,11 B 2 3 4 3 0,11 C 1 2 3 2 0,11 D 2 4 6 4 0,44 E 1 4 7 4 1,00 F 1 2 9 3 1,78 G 3 4 11 5 1,78 H 1 2 3 2 0,11 Μέση διάρκεια έργου μ p 15 Διακύμανση έργου σ p 2 3,11 Στη συνέχεια, υπολογίζεται η μέση διάρκεια του έργου μ p, από το άθροισμα της μέσης διάρκειας των κρίσιμων δραστηριοτήτων και η διακύμανση του έργου σ 2 p, από το άθροισμα των διακυμάνσεων των κρίσιμων δραστηριοτήτων, και παίρνουν τις τιμές που φαίνονται στις τελευταίες γραμμές του παραπάνω πίνακα. 26

Η τεχνική PERT κάνει δύο επιπλέον υποθέσεις. Πρώτον, ο συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης ενός έργου είναι µια τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί µια κανονική κατανομή πιθανότητας µε μέση τιμή (µ) και τυπική απόκλιση (σ). Δεύτερον, οι χρόνοι των δραστηριοτήτων είναι στατιστικά ανεξάρτητοι. Με αυτές τις παραδοχές, μπορεί να υπολογιστεί ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου Τ από ένα σχήμα της μορφής της εικόνας 14. Επίσης, με χρήση της μεθόδου PERT μπορούν να απαντηθούν τα ερωτήματα: Ποια είναι η πιθανότητα να ολοκληρωθεί το έργο σε Χ «περιόδους»; Ποια είναι η αναμενόμενη διάρκεια του έργου για συγκεκριμένο επίπεδο βεβαιότητας; Εικόνα 14. Κανονική κατανομή χρόνου ολοκλήρωσης έργου στην PERT Όταν προσδιοριστεί η πιθανότητα ολοκλήρωσης του έργου σε συγκεκριμένο χρόνο, θα πρέπει να υπολογιστεί και η διακύμανση στις χρονικές διάρκειες των δραστηριοτήτων που ανήκουν σε μη-κρίσιμες διαδρομές. Η διακύμανση των μηκρίσιμων δραστηριοτήτων μπορεί να επιφέρει αλλαγές στην κρίσιμη διαδρομή και προβλήματα. Αξιολόγηση και σύγκριση μεθόδων CPM και PERT Οι δύο τεχνικές δικτύων για τον χρονοπρογραμματισμό ενός έργου που αναλύθηκαν αποτελούν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο της διοίκησης έργων. Είναι εύκολες στην υλοποίηση και δεν εμπεριέχουν μαθηματικές πολυπλοκότητες, γεγονός που τις κάνει χρήσιμες για τον προγραμματισμό και έλεγχο μεγάλων έργων. Η δικτυακή ανάλυση γενικά εξυπηρετεί στην παρακολούθηση των αλληλεξαρτήσεων μεταξύ των δραστηριοτήτων, ενώ η κρίσιμη διαδρομή και τα περιθώρια χαλαρότητας βοηθούν σημαντικά τις δραστηριότητες που χρειάζονται σοβαρή εποπτεία. Είναι διαθέσιμες για κάθε είδος έργου και χρησιμεύουν ακόμα και στην εποπτεία του κόστους του έργου. 27

Ωστόσο, η υλοποίηση τους απαιτεί να είναι οι δραστηριότητες ξεκάθαρα ορισμένες, ανεξάρτητες και σταθερές. Επίσης, απαιτούν καθορισμό προτεραιοτήτων μεταξύ των εργασιών και υπερτονίζουν τις κρίσιμες διαδρομές. Για την επιλογή μεταξύ των δύο μεθόδων δεν υπάρχει γενικός κανόνας. Εξαρτάται από το είδος του έργου και τους αντικειμενικούς στόχους που έχουν τεθεί από τη Διοίκηση. Η PERT είναι κατάλληλη όταν υπάρχει μεγάλη αβεβαιότητα στην πρόβλεψη των χρόνων των δραστηριοτήτων και όταν είναι κρίσιμο να ελεγχθεί αποτελεσματικά το χρονοδιάγραμμα του έργου (πχ. προγράμματα έρευνας και ανάπτυξης). Η CPM επιλέγεται όταν οι χρόνοι των δραστηριοτήτων μπορούν να προβλεφθούν ικανοποιητικά. (πχ. έργα κατασκευής ή συντήρησης). 1.3 Διαχείριση Πόρων 1.3.1 Γενικά Αναφέρθηκε ήδη ένας τύπος προβλήματος κατανομής πόρων, αυτό της κατανομής χρόνου στις διάφορες δραστηριότητες του έργου, που είναι γνωστό ως χρονοπρογραμματισμός(meredith & Mantel, 2009). Στη συνέχεια, εξετάζεται η κατανομή φυσικών πόρων. Οι πόροι ενός έργου, μπορούν να οριστούν ως τα μηχανήματα και οι άνθρωποι που εκτελούν το εύρος του έργου. Επομένως, ο προγραμματισμός πόρων προβλέπει τον αριθμό των πόρων που είναι απαραίτητοι για την εκτέλεση του εύρους του έργου σύμφωνα με το χρονοδιάγραμμα του έργου. Το θέμα της Διαχείρισης Πόρων συνδέεται άμεσα με τον χρονοπρογραμματισμό του έργου, γιατί η τροποποίηση του χρονοδιαγράμματος μπορεί να διαφοροποιήσει την ανάγκη σε πόρους, καθώς και τη χρονική στιγμή των αναγκών σε πόρους (Meredith & Mantel, 2009). Αρχικά, κρίνεται σκόπιμη η ταξινόμηση των πόρων που χρησιμοποιούνται στα έργα και η διάκρισή τους ανάλογα με τη διαθεσιμότητα κατά τη διάρκεια του έργου. Ακόμη, θα αναφερθούν κάποιες βασικές μέθοδοι για την μοντελοποίηση των πόρων που συμμετέχουν στο έργο, με έμφαση στην Ομαλοποίηση Πόρων. 1.3.2 Ταξινόμηση Πόρων Η ταξινόμηση των πόρων μπορεί να γίνει με διάφορα κριτήρια. Στη συνέχεια αναφέρονται τρεις συνήθεις προσεγγίσεις (Shtub, Bard & Globerson, 1994). 1. Λογιστική ταξινόμηση Με βάση τα λογιστικά πρότυπα οι πόροι διακρίνονται σε: κόστη εργασίας (ανθρώπινοι πόροι), 28

κόστη των υλικών, άλλα έξοδα παραγωγής, όπως υπεργολαβίες ή δανεισμός. Η ταξινόμηση αυτή είναι πολύ χρήσιμη στην σύνταξη του προϋπολογισμού και άλλα λογιστικά ζητήματα. 2. Ταξινόμηση µε βάση τη διαθεσιμότητα. Ανάλογα με τη διαθεσιμότητά τους κατά τη διάρκεια του έργου, ο πόροι διακρίνονται σε: Ανανεώσιμους πόρους (renewable), οι οποίοι είναι διαθέσιμοι στο ίδιο επίπεδο σε κάθε χρονική περίοδο (π.χ. σταθερό εργατικό δυναμικό). Αναλώσιμους πόρους (depletable), οι οποίοι διατίθενται εφάπαξ στην αρχή του έργου και αναλώνονται µε την πάροδο του χρόνου (π.χ. υλικά, χρόνος CPU). Διπλά περιορισμένους πόρους (doubly constrained), οι οποίοι είναι διαθέσιμοι σε περιορισμένες ποσότητες σε κάθε χρονική περίοδο (π.χ. χρηματικές ροές). 3. Ταξινόμηση με βάση τη δυνατότητα απόκτησης Σύμφωνα με τη δυνατότητα απόκτησης, που βασίζεται πάλι στη διαθεσιμότητα, οι πόροι διακρίνονται σε: Περιορισμένους πόρους (constrained), που είναι διαθέσιμοι σε περιορισμένη ποσότητα σε κάθε χρονική περίοδο. Μη-περιορισμένους πόρους (non-constrained), που είναι διαθέσιμοι σε απεριόριστες ποσότητες µε κάποιο κόστος (π.χ. οι ανειδίκευτοι εργαζόμενοι, εξοπλισμός γενικού σκοπού). Ακριβούς πόρους, οι οποίοι είναι μεγάλης αξίας ή είναι αδύνατο να αποκτηθούν κατά τη διάρκεια εκτέλεσης του έργου (π.χ. η αγορά ενός πολύ ακριβού μηχανήματος, ενός πολύ ισχυρού Η/Υ ή οι τεχνικοί εμπειρογνώμονες που εργάζονται σε πολλά έργα). Επίσης, είναι πόροι για τους οποίους µια δεδομένη ποσότητα διατίθεται για το σύνολο του έργου (π.χ. ένα σπάνιο είδος υλικού µε μεγάλο χρόνο παράδοσης). Να σημειωθεί επίσης ότι οι περιορισμένοι πόροι αφορούν έργα με μεταβλητή διάρκεια, και θα πρέπει να μετρηθεί η επίδραση αυτής της περιορισμένης διαθεσιμότητας πόρων στη διάρκεια του έργου, ενώ οι απεριόριστοι πόροι αφορούν έργα με σταθερή διάρκεια, και εφόσον δεν υπάρχει περιορισμένη διαθεσιμότητα πόρων το πρόβλημα συνίσταται στον υπολογισμό του βέλτιστου επιπέδου των πόρων που τελικά απαιτούνται ώστε το έργο να ολοκληρωθεί στην προκαθορισμένη ημερομηνία. 29

1.3.3 Μέθοδοι Μοντελοποίησης Πόρων Από τη στιγμή που χρησιμοποιείται ένα δίκτυο για τη μελέτη ή τη διαχείριση ενός έργου, υπάρχουν πέντε βασικές μέθοδοι διαθέσιμες για την μοντελοποίηση των πόρων που συμμετέχουν στο έργο, όπως αναφέρουν οι Gordon και Tulip (1997). Αυτές είναι: α) Συνάθροιση (Aggregation), β) Σώρευση (Cumulation), γ) Ανάθεση/Κατανομή (Allocation), δ) Εξομάλυνση (Smoothing) και ε) Ομαλοποίηση (Leveling). Συνοπτικά, δίνεται ο σκοπός κάθε μεθόδου για σύγκριση, ενώ μεγαλύτερη έμφαση θα δοθεί στη μέθοδο της ομαλοποίησης των πόρων. Συνάθροιση (Aggregation) Πρόκειται για την απλούστερη από τις μεθόδους προγραμματισμού πόρων και είναι μια μέθοδος προσδιορισμού του συνολικού αριθμού των μονάδων πόρων που απαιτούνται στη μονάδα του χρόνου καθ όλη τη διάρκεια του έργου. Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μονάδα χρόνου είναι η ημέρα. Σώρευση (Cumulation) Αυτή η προσέγγιση παρέχει μια συνεχή συσσώρευση των απαιτήσεων σε πόρους κατά τη διάρκεια του έργου. Ανάθεση/Κατανομή (Allocation) Παρέχει ένα εφικτό χρονοδιάγραμμα για την ολοκλήρωση του έργου εντός των περιορισμών της διαχείρισης, όπου η ανάγκη σε πόρους ανά περίοδο δεν ξεπερνά τη διαθεσιμότητα των πόρων. Διαδικασία γνωστή και ως Χρονοπρογραμματισμός Πόρων (Resource Scheduling). Εξομάλυνση (Smoothing) Παράγει ένα εφικτό χρονοδιάγραμμα εντός των χρονικών περιορισμών, με ένα ομοιόμορφο επίπεδο των απαιτούμενων πόρων ή της προβλεπόμενης χρήσης. Ομαλοποίηση (Leveling) Χρησιμοποιείται για να επιτευχθεί μια πιο ομαλή κατανομή των πόρων στις εργασίες του έργου (δηλ. να αντιμετωπιστούν οι περιπτώσεις υπερφόρτωσης) και εφαρμόζεται στο χρονοδιάγραμμα που έχει παραχθεί από μια προηγούμενη διαδικασία. 1.3.4 Ομαλοποίηση Πόρων Η μέθοδος της ομαλοποίησης πόρων προσπαθεί να βελτιώσει το αποτέλεσμα που έχει προκύψει από μία από τις προηγούμενες διαδικασίες. Γενικά, όταν η απαίτηση 30

πόρων ισούται με τους διαθέσιμους πόρους επιτυγχάνεται η ιδανική κατάσταση, αλλά πρακτικά αυτό συμβαίνει σπάνια. Στην περίπτωση που η πρόβλεψη απαίτησης πόρων υπερβαίνει τους διαθέσιμους πόρους συμβαίνει υπερφόρτωση πόρων. Αντίθετα, όταν η πρόβλεψη απαίτησης πόρων είναι μικρότερη από τους διαθέσιμους πόρους τότε συμβαίνει υποφόρτωση πόρων. Η μεν υπερφόρτωση πόρων έχει ως αποτέλεσμα την καθυστέρηση κάποιων δραστηριοτήτων, στη δε υποφόρτωση δε χρησιμοποιούνται πλήρως όλοι οι πόροι, επηρεάζοντας αρνητικά την κερδοφορία. Επίσης, οι μεγάλες διακυμάνσεις της απαιτούμενης ποσότητας πόρων σε κάθε χρονική περίοδο είναι ανεπιθύμητες. Σε αυτές τις περιπτώσεις λοιπόν, προτείνεται μια μεταφορά των δραστηριοτήτων, μπρος ή πίσω στο χρονοδιάγραμμα εντός των περιθωρίων χαλάρωσης, ώστε να υπάρχει καλύτερη ισορροπία μεταξύ προσφοράς και ζήτησης πόρων και μεγαλύτερη ισορροπία στη χρήση πόρων ανά χρονική περίοδο (εικ. 15). Σε αυτή τη προσπάθεια βελτίωσης του προφίλ πόρων αναφέρεται και η ομαλοποίηση, που χρησιμοποιεί ευρετικούς κανόνες για τη μετακίνηση των δραστηριοτήτων. Πρόκειται για μια επαναληπτική διαδικασία και λειτουργεί με το έργο στο σύνολό του. Τα βασικά βήματα είναι τα εξής (Gordon & Tulip, 1997): 1. Είναι ικανοποιητική η κατανομή των πόρων; Αν ναι, τελειώνει η διαδικασία. 2. Εύρεση του υψηλότερου σημείου της κατανομής. 3. Προσδιορισμός των δραστηριοτήτων που αναμένεται να είναι σε εξέλιξη σε εκείνο το σημείο. 4. Μετακίνηση μίας από αυτές τις δραστηριότητες ώστε να μειωθεί η υπερφόρτωση και επιστροφή στο βήμα 1. 31

Εικόνα 15. Παράδειγμα ομαλοποίησης πόρων Σε αυτό το επίπεδο φαίνεται να είναι μια απλή μέθοδος, αλλά πρόκειται ίσως για την πιο πολύπλοκη στον προγραμματισμό και ανακύπτουν κάποια ερωτήματα που διατυπώνονται από τους Gordon & Tulip (1997). Αρχικά, ποιο θα είναι το κριτήριο εκείνο που κρίνει αν η κατανομή είναι ικανοποιητική; Συνήθως είναι το επίπεδο χρήσης πόρων και ιδανικά θα πρέπει να παραμένει αμετάβλητο καθ' όλη τη διάρκεια του έργου, αλλά πρακτικά είναι σχεδόν αδύνατο να επιτευχθεί αυτό. Επίσης, η διαφορά θα πρέπει να μετριέται από το μέγιστο στο ελάχιστο σημείο ή από το μέγιστο στη μέση τιμή; Η δεύτερη επιλογή είναι ασφαλέστερη αλλά λιγότερο απαιτητική. Επιπλέον, εάν υπάρχουν πολλές χρονικές στιγμές όπου παρουσιάζεται το μέγιστο, τότε εκείνο που πρέπει να αντιμετωπιστεί πρώτο, είναι το πλησιέστερα στο άκρο του δικτύου που «οδηγεί» την ομαλοποίηση. Δηλαδή: εάν το πρόγραμμα βασίζεται σε χρόνους ενωρίτερης έναρξης/λήξης ή η έναρξη του έργου είναι κρίσιμη, τότε η διαδικασία καθυστερεί δραστηριότητες και παρατηρείται το φαινόμενο οδοστρωτήρα, καθώς οι αρχικές κορυφές ισοπέδωνονται. ή εάν το πρόγραμμα βασίζεται σε χρόνους βραδύτερης έναρξης/λήξης ή η ολοκλήρωση του έργου είναι κρίσιμη, οι τελευταίες κορυφές του χρονοδιαγράμματος θα ολισθήσουν προς τα εμπρός. 32

Και στις δύο περιπτώσεις προκαλείται ένα κύμα στο χρονοδιάγραμμα του έργου που εξετάζεται, το οποίο ιδανικά εξασθενεί ώστε να παράγει ένα πιο αποδεκτό χρονοπρόγραμμα. Σύμφωνα πάντα με τους Gordon & Tulip (1997) η αποκωδικοποίηση του προηγούμενου προγράμματος για να βρεθεί τι είχε προγραμματιστεί σε κάθε δεδομένη στιγμή, δεν φαίνεται δύσκολη διαδικασία και συνήθως δεν είναι, αλλά πρέπει να δοθεί προσοχή στο διαχωρισμό των δραστηριοτήτων. Από το σύνολο των δραστηριοτήτων που συλλέγονται, η διαδικασία πρέπει να επιλέξει μία για να μετακινήσει. Υπάρχουν μερικές κατευθυντήριες γραμμές που ακολουθούνται: Εύρεση μιας δραστηριότητας με μόνο πρόβλημα τον πόρο, Εύρεση μιας δραστηριότητας που έχει προγραμματιστεί να ξεκινήσει σε αυτή τη χρονική περίοδο, Εύρεση μιας δραστηριότητας η οποία δεν ακολουθείται αμέσως από τη διάδοχη της, εκτός αν η διάδοχη δεν απαιτεί πόρους. Όταν βρεθεί η κατάλληλη δραστηριότητα, βγαίνει από το πρόγραμμα για τη συνολική διάρκειά της και προγραμματίζεται ξανά να ξεκινήσει στη μονάδα του χρόνου στην επιθυμητή κατεύθυνση από το δεδομένο μέγιστο. Αν η κίνηση αυτή προκαλεί την επικάλυψη της γειτονικής δραστηριότητας τότε θα πρέπει να επαναπρογραμματιστεί κι εκείνη, και ούτω καθεξής μέχρι να σταματήσει ο κυματισμός. Η όλη διαδικασία αρχίζει και πάλι ελπίζοντας ότι θα σταματήσει σε κάποιο σημείο. Άλλοι τρόποι ομαλοποίησης, εκτός της μετακίνησης δραστηριοτήτων στη συνολική διάρκειά τους, είναι η επιμήκυνση δραστηριοτήτων µε βάση τους περιορισμούς στους πόρους, το σπάσιμο δραστηριοτήτων, χωρίς μεταβολή των σχέσεων αλληλουχίας, και η τροποποίηση του δικτύου με επανεξέταση των σχέσεων αλληλουχίας. Η διαδικασία της ομαλοποίησης, από τη φύση της, δεν διατηρεί τις προθεσμίες και τους στόχους της διοίκησης, ακόμη κι αν το αρχικό χρονοδιάγραμμα έχει παραχθεί βάσει των εν λόγω περιορισμών (Gordon & Tulip, 1997). Πλεονεκτήματα Από την ομαλοποίηση της χρήσης των πόρων προκύπτουν πολλά πλεονεκτήματα, τόσο για τη διοίκηση όσο και οικονομικά. Σύμφωνα με τους Meredith και Mantel (2009), αρχικά, απαιτείται λιγότερη επίβλεψη και ενεργή συμμετοχή από τη διοίκηση εάν η χρήση συγκεκριμένων πόρων είναι σχετικά σταθερή κατά τη διάρκεια χρήσης αυτών. Η διοίκηση μπορεί να κανονίσει να έχει τους πόρους διαθέσιμους όταν χρειάζονται, μπορεί να έχει τους προμηθευτές να παρέχουν σταθερές ποσότητες πόρων και εάν κρίνεται σκόπιμο μπορεί να φροντίσει 33

και για εφεδρικούς προμηθευτές. Επιπλέον, αν η χρήση πόρων είναι ομαλή μπορεί να εφαρμοστεί πολιτική ορθολογικής παραγωγής just-in-time, χωρίς ανησυχία για παράδοση λανθασμένης ποσότητας πόρων. Σε περίπτωση που ο πόρος που ομαλοποιείται είναι το ανθρώπινο δυναμικό, η ομαλοποίηση βελτιώνει το ηθικό και έχει σαν αποτέλεσμα τη μείωση των προβλημάτων στα τμήματα προσωπικού και μισθοδοσίας που προκύπτουν από την αυξομείωση του επιπέδου εργασίας. Εκτός από τις θετικές επιδράσεις σε διοικητικό επίπεδο, η ομαλοποίηση πόρων ενέχει και σημαντικές οικονομικές συνέπειες. Όπως αναφέρουν επίσης οι Meredith και Mantel (2009), όταν υπάρχει σχετική ισορροπία πόρων, τείνει να ομαλοποιείται το σχετικό κόστος. Εάν η χρήση πόρων αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου και εάν οι πόροι μετακινούνται πιο κοντά στο παρόν με την ομαλοποίηση, τα κόστη θα μετακινηθούν με τον ίδιο τρόπο. Βέβαια ισχύει και το αντίθετο, αν η χρήση πόρων μετακινηθεί στο μέλλον. Το πιο σημαντικό ίσως από την οπτική του κόστους είναι η εξισορρόπηση της απασχόλησης προσωπικού κατά τη διάρκεια ενός έργου ή μιας διαδικασίας. Για τις περισσότερες επιχειρήσεις, τα έξοδα προσλήψεων και απολύσεων δεν είναι καθόλου ευκαταφρόνητα. Συχνά είναι λιγότερο δαπανηρή η ομαλοποίηση των απαιτήσεων σε εργατικό δυναμικό, έτσι ώστε να αποφευχθούν οι προσλήψεις και απολύσεις, ακόμα κι αν αυτό σημαίνει ότι θα πληρωθούν μερικοί επιπλέον μισθοί. Σε κάθε περίπτωση, η διοίκηση πρέπει να γνωρίζει τις ταμειακές ροές που συνδέονται με το έργο και τα μέσα μετακίνησης τους με τρόπους που θα είναι χρήσιμοι. 1.4 Το Πρόβλημα Χρονοπρογραμματισμού με Περιορισμένους Πόρους Ένας συνδυασμός του χρονοπρογραμματισμού έργων και της διαχείρισης πόρων συνιστά το Πρόβλημα Χρονοπρογραμματισμού με Περιορισμένους Πόρους (Resource- Constrained Project Scheduling Problem, RCPSP), που έχει γίνει αντικείμενο εκτενούς μελέτης τις τελευταίες δεκαετίες. Ουσιαστικά, το πρόβλημα χρονοπρογραμματισμού ενός έργου με περιορισμένους πόρους θεωρεί πόρους με περιορισμένη διαθεσιμότητα και δραστηριότητες με γνωστή διάρκεια και απαιτήσεις σε πόρους, που συνδέονται με σχέσεις προτεραιότητας. Το πρόβλημα συνίσταται στην εύρεση ενός εφικτού χρονοδιαγράμματος ελάχιστης διάρκειας, αναθέτοντας χρόνους εκκίνησης σε κάθε δραστηριότητα, έτσι ώστε οι σχέσεις προτεραιότητας και η διαθεσιμότητα πόρων να μην παραβιάζονται (Artiques, 2008). Πιο αναλυτικά, ένας ορισμός του προβλήματος RCPS δίνεται από τους Hartmann & Briskorn (2010). Το πρόβλημα RCPS, λοιπόν, θεωρεί ένα έργο με J δραστηριότητες που συμβολίζονται j = 1,.., J. Ο χρόνος επεξεργασίας (ή η διάρκεια) 34

μιας δραστηριότητας συμβολίζεται ως p j. Εφόσον ξεκινήσει μια δραστηριότητα, δεν μπορεί να διακοπεί και να συνεχιστεί σε επόμενη χρονική στιγμή (preemption). Λόγω των τεχνολογικών απαιτήσεων, υπάρχουν σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ ορισμένων δραστηριοτήτων. Αυτές δίνονται από τα σύνολα των αμέσως προηγούμενων δραστηριοτήτων Pj που υποδεικνύουν ότι η J δραστηριότητα δεν μπορεί να αρχίσει πριν ολοκληρωθεί καθεμία από τις προηγούμενες i Pj. Οι σχέσεις προτεραιότητας μπορούν να αναπαρασταθούν σε δίκτυο τύπου ΑΟΝ (activity-on-node), που θεωρείται ότι δεν είναι κυκλικό. Κάθε δραστηριότητα απαιτεί ορισμένη ποσότητα πόρων που πρέπει να καταναλωθούν. Οι πόροι ονομάζονται ανανεώσιμοι, επειδή η πλήρης παραγωγική ικανότητά τους είναι διαθέσιμη σε κάθε περίοδο. Έστω ότι υπάρχουν Κ ανανεώσιμοι πόροι που συμβολίζονται ως k = 1,.., K. Για κάθε πόρο k, η διαθεσιμότητα ανά περίοδο R k θεωρείται σταθερή με την πάροδο του χρόνου. Η δραστηριότητα j απαιτεί r jk μονάδες πόρου k σε κάθε περίοδο που βρίσκεται σε εξέλιξη. Θεωρούμε δύο πρόσθετες δραστηριότητες j = 0 και j = J + 1, που αντιπροσωπεύουν την έναρξη και την ολοκλήρωση του έργου, αντίστοιχα. Και οι δύο είναι πλασματικές δραστηριότητες (dummy) με καμία απαίτηση σε χρόνο ή πόρους. Όλες οι πληροφορίες υποτίθεται ότι είναι ντετερμινιστικές και γνωστές εκ των προτέρων. Επίσης, οι παράμετροι υποτίθεται ότι παίρνουν τιμές ακέραιες μηαρνητικές. Ένα πρόγραμμα είναι η ανάθεση χρόνων έναρξης Sj στις δραστηριότητες j = 1,.., J. Ο στόχος είναι να βρεθεί ένα χρονοπρόγραμμα που οδηγεί στην ταχύτερη δυνατή ολοκλήρωση του έργου. Τέλος, έχει αποδειχθεί από τους Blazewicz κ.ά. (1983, όπως αναφέρεται στο Hartmann & Briskorn, 2010) ότι το πρόβλημα RCPS ανήκει στην κατηγορία των ισχυρά δυσεπίλυτων (NP-hard) υπολογιστικών προβλημάτων, που σημαίνει ότι είναι αδύνατο να λυθεί με ακριβείς μεθόδους εύρεσης της βέλτιστης λύσης. 35

2 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 2.1 Γενικά Όπως έχει ήδη αναφερθεί, υπάρχουν οι εξής βασικές προσεγγίσεις για τη λύση του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού με περιορισμούς: ακριβείς μέθοδοι βελτιστοποίησης (exact methods), ευρετικές μέθοδοι (heuristics), και μετα-ευρετικές μέθοδοι (meta-heuristics). Οι ακριβείς μέθοδοι βελτιστοποίησης επιχειρούν να εντοπίσουν τη μοναδική βέλτιστη λύση του προβλήματος, μεταξύ όλων των δυνατών λύσεων. Ωστόσο, η εκθετική αύξηση των δυνατών λύσεων, που προκύπτει από την αύξηση του μεγέθους του προβλήματος και των αλληλεξαρτήσεων των εργασιών στο έργο, αυξάνει σημαντικά την πολυπλοκότητα του μαθηματικού προβλήματος. Έτσι, η εφαρμογή αυτών των τεχνικών γίνεται απαγορευτική ακόμα και με τη χρήση υπολογιστών, με εξαίρεση περιπτώσεις σχετικά μικρών και μικρής πολυπλοκότητας έργων. Οι ευρετικές μέθοδοι απ την άλλη, έχουν γνωρίσει εκτεταμένη αποδοχή και διάδοση γιατί μπορούν να διαχειριστούν σε ικανοποιητικό βαθμό μεγάλα και μη-γραμμικά πολύπλοκα έργα. Οι μετα-ευρετικές τεχνικές, ως εξέλιξη των ευρετικών επιχειρούν να επιτύχουν ακόμη καλύτερα αποτελέσματα σε σύνθετα προβλήματα. Στη συνέχεια αναλύονται μερικές συνήθεις ακριβείς και ευρετικές μέθοδοι για την επίλυση του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού με περιορισμένους πόρους, καθώς και ορισμένες μετα-ευρετικές μέθοδοι, όπως αυτή που αναπτύσσεται στο πειραματικό σκέλος της εργασίας. 2.2 Ακριβείς Μέθοδοι Οι ακριβείς μέθοδοι βελτιστοποίησης χαρακτηρίζονται από μεγάλο υπολογιστικό κόστος, επειδή στοχεύουν στον εντοπισμό της μοναδικής βέλτιστης λύσης μεταξύ του συνόλου των πιθανών λύσεων του προβλήματος. Όταν το πρόβλημα αυξάνει σε μέγεθος, δηλαδή σε πλήθος εργασιών και αντίστοιχα σε αλληλεξαρτήσεις μεταξύ των εργασιών, αυξάνεται εκθετικά το πεδίο των δυνατών λύσεων, οπότε η προσέγγιση είναι συχνά αδύνατη. Με τη πάροδο των ετών και τη ραγδαία εξέλιξη των υπολογιστικών συστημάτων, υπάρχει μια σχετική βελτίωση των ακριβών μεθόδων ως προς το μέγεθος των προβλημάτων που μπορούν να προγραμματίσουν. Οι ακριβείς μέθοδοι βασίζονται στις αρχές του Μαθηματικού Προγραμματισμού (Mathematical Programming), ενός κλάδου της επιστήμης των μαθηματικών με αντικείμενο τη βελτιστοποίηση της απόδοσης ενός συστήματος που υπόκειται σε περιορισμούς. Γενικά, ταξινομούνται σε πέντε βασικές κατηγορίες (Καϊάφα, 2013): 36

Γραμμικός Προγραμματισμός (Linear Programming, LP) Οι μέθοδοι γραμμικού προγραμματισμού αντιμετωπίζουν προβλήματα όπου η αντικειμενική συνάρτηση και οι συναρτήσεις περιορισμών είναι γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών σχεδιασμού. Σε αυτήν την περίπτωση η βέλτιστη λύση βρίσκεται επί του συνόρου μίας ή περισσοτέρων συναρτήσεων περιορισμού. Σε προβλήματα αυτού του είδους (κυρτά) ένα τοπικό ελάχιστο είναι οπωσδήποτε και καθολικό ελάχιστο του προβλήματος. Μη Γραμμικός Προγραμματισμός (Non Linear Programming, NLP) Είναι οι πιο διαδεδομένες τεχνικές μαθηματικού προγραμματισμού, ιδιαίτερα σε προβλήματα βελτιστοποίησης χρονικού προγραμματισμού των έργων, αφού αντιμετωπίζουν γενικά όλες τις περιπτώσεις όπου η αντικειμενική συνάρτηση αλλά και οι συναρτήσεις περιορισμών είναι μη γραμμικές συναρτήσεις των μεταβλητών του προγραμματισμού. Σε αυτή την περίπτωση (μη κυρτό πρόβλημα) η εύρεση ενός τοπικού ελαχίστου δεν πιστοποιεί την εύρεση ενός καθολικού ελαχίστου. Ακέραιος Προγραμματισμός (Integer Programming, IP) Οι μέθοδοι ακέραιου προγραμματισμού αντιμετωπίζουν προβλήματα όπου οι παράμετροι προγραμματισμού δεν είναι συνεχείς, αλλά παίρνουν μη κλασματικές ή διακριτές τιμές από κάποιο συγκεκριμένο σύνολο τιμών. Ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού μπορεί να υπόκειται σε περιορισμούς ή όχι. Με αυστηρό κριτήριο ο ακέραιου προγραμματισμού είναι μη γραμμικός, επειδή οι συναρτήσεις ορίζονται μόνο για διακεκριμένες τιμές των μεταβλητών. Ένα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού μεταπίπτει σε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού εάν προκύπτουν γραμμικές συναρτήσεις, χαλαρώνοντας τους ακέραιους περιορισμούς των μεταβλητών. Μαθηματικά προβλήματα ακέραιου προγραμματισμού παρουσιάστηκαν πριν την ανάπτυξη της επιχειρησιακής έρευνας (1940 1950). Με την καθιέρωση της θεωρίας ανάλυσης συστημάτων και την ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού, προέκυψε η ανάγκη επίλυσης γραμμικών μοντέλων με ακέραιους περιορισμούς. Η πρώτη τεχνική ακέραιου προγραμματισμού αναπτύχθηκε από τον Ralph Edward Gomory (1958), Αμερικανό μαθηματικό και ερευνητή. Επίσης, υπάρχουν και περιπτώσεις «Μικτού Ακέραιου Προγραμματισμού» (Mixed Integer Programming), όπου μερικές από τις παραμέτρους προγραμματισμού είναι διακριτές και άλλες είναι συνεχείς. 37

Γεωμετρικός Προγραμματισμός (Geometric Programming, GP) Αναφέρεται σε μία ειδική κατηγορία προβλημάτων, όπου οι συναρτήσεις περιορισμών αλλά και η αντικειμενική συνάρτηση είναι πολυωνυμικής μορφής συναρτήσεις των παραμέτρων σχεδιασμού. Σε προβλήματα αυτού του είδους πρέπει να ισχύει πάντα η αυστηρή προϋπόθεση ότι οι παράμετροι σχεδιασμού λαμβάνουν πάντα θετικές τιμές. Δυναμικός Προγραμματισμός (Dynamic Programming, DP) Κύριος στόχος αυτών των μεθόδων είναι να διασπαστεί ένα σχετικά μεγάλο πρόβλημα βελτιστοποίησης σε μικρότερα τα οποία μπορούν να αντιμετωπισθούν ως ξεχωριστά προβλήματα βέλτιστου σχεδιασμού. Κάθε υποπρόβλημα περιέχει μέρος από τα στοιχεία του καθολικού προβλήματος και μπορεί να επιλυθεί με κάποια από τις προηγούμενες τεχνικές. Στην ουσία ο δυναμικός προγραμματισμός δεν αποτελεί μια ξεχωριστή τεχνική μαθηματικής βελτιστοποίησης αλλά μάλλον μία τεχνική διαμερισμού μεγάλων προβλημάτων βελτιστοποίησης σε μικρότερα. 2.3 Ευρετικές Μέθοδοι Οι ευρετικές μέθοδοι για την επίλυση του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού με περιορισμένους πόρους είναι ευρέως διαδεδομένες για πολλούς λόγους, που αναφέρονται από τους Meredith και Mantel (2009). Αρχικά, είναι οι μοναδικές εφικτές τεχνικές για την αντιμετώπιση των μεγάλων, μη-γραμμικών, πολύπλοκων προβλημάτων που εμφανίζονται στο χώρο της διοίκησης έργων. Επιπλέον, παρόλο που το αποτέλεσμα που παράγουν μπορεί να μην είναι βέλτιστο, είναι συνήθως καλό, ασφαλώς αρκετά καλό για τις περισσότερες περιπτώσεις. Τα εμπορικά διαθέσιμα λογισμικά χειρίζονται μεγάλα προβλήματα και έχουν χρησιμοποιηθεί σημαντικά στη βιομηχανία. Ακόμη, οι σύγχρονες τεχνικές προσομοίωσης επιτρέπουν στη διοίκηση να αναπτύξει γρήγορα πολλά διαφορετικά χρονοπρογράμματα και να καθορίσει ποιο είναι σημαντικά καλύτερο από την τρέχουσα πρακτική. Εάν ένας λογικός αριθμός προσομοιώσεων αποτύχει να παράγει σημαντική βελτίωση, τότε η διοίκηση μπορεί να αισθάνεται αρκετά βέβαιη ότι η υπάρχουσα λύση είναι καλή. Οι ευρετικές μέθοδοι διακρίνονται σε: Κατασκευαστικές (Constructive heuristics): δημιουργούν ένα χρονικό πρόγραμμα βήμα-βήμα από μηδενική βάση. Βελτιωτικές (Improvement heuristics): χρησιμοποιούν ως βάση ένα υπάρχον εφικτό πρόγραμμα και το βελτιώνουν με διαδοχικές μικρές αλλαγές. 38

Σχήματα Παραγωγής Χρονοπρογράμματος Τα Σχήματα Παραγωγής Χρονοπρογράμματος (Schedule Generation Schemes - SGS) αποτελούν τον πυρήνα των περισσότερων ευρετικών μεθόδων για τη λύση του προβλήματος RCPS (Kolisch & Hartmann, 1999). Τα SGS ξεκινούν από το μηδέν και χτίζουν ένα εφικτό χρονοπρόγραμμα με σταδιακή επέκταση ενός µερικού χρονοπρογράµµατος (partial schedule). Υπάρχουν δύο διαφορετικά SGS διαθέσιμα και διακρίνονται ανάλογα με τον τρόπο επέκτασης σε ακολουθιακά (activityincrementation) και σε παράλληλα (time-incrementation). Ένα ακολουθιακό (σειριακό) SGS επιλέγει τις δραστηριότητες μία-προς-μία από τη λίστα και τις προγραμματίζει όσο το δυνατόν νωρίτερα στο χρονοδιάγραμμα. Ουσιαστικά, αποτελείται από g = 1,.., n στάδια, σε καθένα από τα οποία επιλέγεται μία δραστηριότητα από το σύνολο επιλογής και προγραμματίζεται στον νωρίτερο εφικτό χρόνο ολοκλήρωσης, χωρίς να παραβιάζονται οι εξαρτήσεις προήγησης και οι περιορισμοί των πόρων. Το σύνολο επιλογής επομένως περιλαμβάνει εκείνες τις δραστηριότητες που οι προαπαιτούμενες τους έχουν ήδη προγραμματιστεί. Τα ακολουθιακά SGS δημιουργούν εφικτά χρονοπρογράμματα, που είναι βέλτιστα στην περίπτωση που δεν υπάρχουν περιορισμοί πόρων (Kolisch, 1996). Ένα παράλληλο SGS επιλέγει σε κάθε προκαθορισμένη χρονική περίοδο τις διαθέσιμες προς προγραμματισμό δραστηριότητες και τις εισάγει στο χρονοπρόγραμμα εφόσον υπάρχουν επαρκείς διαθέσιμοι πόροι. Δηλαδή, κάθε επανάληψη-στάδιο g συνδέεται µε µια χρονική στιγμή t g και ένα σύνολο επιλέξιμων δραστηριοτήτων, που δεν παραβιάζουν τις εξαρτήσεις προήγησης και τους περιορισμούς των πόρων. Οι δραστηριότητες επιλέγονται από το σύνολο επιλογής και ξεκινούν κατά τη χρονική στιγµή tg, µέχρι να µην υπάρχουν άλλες επιλέξιµες. Έπειτα, το SGS προχωρεί στην επόμενη χρονική στιγµή προγραμματισμού, που είναι ο νωρίτερος χρόνος ολοκλήρωσης κάθε δραστηριότητας που βρίσκεται σε εξέλιξη. Τα παράλληλα SGS, όπως και τα ακολουθιακά, δημιουργούν χρονοπρογράμματα µηκαθυστέρησης (non-delay schedules), τα οποία είναι βέλτιστα στην περίπτωση που δεν έχουμε περιορισμούς πόρων (Kolisch, 1996). Οι ευρετικές μέθοδοι που βασίζονται στους κανόνες προτεραιότητας χρησιμοποιούν το ένα ή και τα δύο SGS για να κατασκευάσουν ένα ή περισσότερα χρονοπρογράμματα. Ο ίδιος ο κανόνας προτεραιότητας χρησιμοποιείται για την επιλογή μιας δραστηριότητας από το σύνολο των διαθέσιμων. Στη συνέχεια αναφέρονται διάφοροι συνήθεις κανόνες προτεραιότητας και δίνονται αναλυτικά οι αλγόριθμοι των δύο μεθόδων ανάπτυξης SGS, συνδυάζοντας τέτοιους κανόνες. 39

Κανόνες Προτεραιότητας Οι περισσότερες ευρετικές μέθοδοι επίλυσης ξεκινούν με τη μέθοδο PERT/CPM και αναλύουν τη χρήση των πόρων ανά περίοδο και ανά πόρο. Σε μια χρονική περίοδο, αν η διαθέσιμη ποσότητα πόρων έχει ξεπεραστεί, η ευρετική μέθοδος ελέγχει τις δραστηριότητες της περιόδου και κατανέμει τον ανεπαρκή πόρο σε αυτές διαδοχικά, σύμφωνα με κάποιον κανόνα προτεραιότητας. Η βασική διαφορά ανάμεσα στις διάφορες ευρετικές μεθόδους είναι ο κανόνας προτεραιότητας που χρησιμοποιούν. Μερικοί από τους συνηθέστερους κανόνες προτεραιότητας είναι (Meredith & Mantel, 2009): Όσο πιο γρήγορα γίνεται (As Soon as Possible): είναι ο προεπιλεγμένος κανόνας και προβλέπει την γενική λύση για την κρίσιμη διαδρομή και το χρόνο. Ουσιαστικά προγραμματίζονται πρώτα οι δραστηριότητες με το μικρότερο χρόνο ενωρίτερης έναρξης (ή ενωρίτερης ολοκλήρωσης). Όσο πιο αργά γίνεται (As Late as Possible): όλες οι εργασίες προγραμματίζονται όσο πιο αργά γίνεται στη διάρκεια του έργου, χωρίς όμως να προκαλείται καθυστέρηση αυτού. Ουσιαστικά οι δραστηριότητες προγραμματίζονται ανάλογα με το μικρότερο χρόνο βραδύτερης έναρξης (ή βραδύτερης ολοκλήρωσης) και ο συνήθης σκοπός του κανόνα είναι να αναβληθούν ταμειακές εκροές όσο το δυνατόν περισσότερο. Αρχή της προτεραιότητας (First-Come First-Served): οι δραστηριότητες εξυπηρετούνται ανάλογα με τον αριθμό ταυτότητάς τους, δηλαδή με τη σειρά άφιξης. Προηγείται η δραστηριότητα μικρότερης διάρκειας (Shortest Task First): οι δραστηριότητες ταξινομούνται με κριτήριο τη διάρκειά τους, ξεκινώντας από την συντομότερη. Γενικά, ο κανόνας χρησιμοποιείται για να μεγιστοποιήσει το πλήθος των δραστηριοτήτων που μπορούν να ολοκληρωθούν σε κάποιο χρονικό διάστημα. Προηγείται η δραστηριότητα με τους περισσότερους πόρους (Most Resources First): οι εργασίες ταξινομούνται με κριτήριο τη χρήσης ενός συγκεκριμένου πόρου, ξεκινώντας από εκείνη που χρησιμοποιεί την μεγαλύτερη ποσότητα. Ο κανόνας βασίζεται στην υπόθεση ότι οι σημαντικότερες δραστηριότητες συνήθως καταναλώνουν μεγαλύτερες ποσότητες δυσεύρετων πόρων. Προηγείται η δραστηριότητα με το μικρότερο περιθώριο (Minimum Slack First): οι εργασίες ταξινομούνται με κριτήριο το περιθώριο χαλάρωσης, ξεκινώντας από εκείνη με το μικρότερο περιθώριο. Ο κανόνας στοχεύει 40

στην πρόσδοση προτεραιότητας στις δραστηριότητες της κρίσιμης διαδρομής. Περισσότερες κρίσιμες επακόλουθες δραστηριότητες (Most Critical Followers): οι εργασίες ταξινομούνται με κριτήριο τον αριθμό των κρίσιμων εργασιών που ακολουθούν, ξεκινώντας από εκείνη με τις περισσότερες κρίσιμες επακόλουθες. Περισσότερες επακόλουθες δραστηριότητες (Most Successors): όμοιος με τον προηγούμενο κανόνα, με τη διαφορά ότι υπολογίζονται όλες οι εργασίες που ακολουθούν κι όχι μόνο οι κρίσιμες. Γενικά, υπάρχουν πολλοί τέτοιοι κανόνες προτεραιότητας που χρησιμοποιούνται από τις ευρετικές μεθόδους και δεν υπάρχει κάποιος γενικός κανόνας που αποδεδειγμένα είναι καλύτερος για όλα τα έργα. Οι περισσότερες ευρετικές μέθοδοι χρησιμοποιούν συνδυασμούς κανόνων, ένα βασικό κανόνα και έναν ή περισσότερους δευτερεύοντες σε περίπτωση που υπάρχουν πολλές δραστηριότητες με τα ίδια χαρακτηριστικά και οι προηγούμενοι κανόνες δεν δίνουν αποτέλεσμα. Παράδειγμα Ακολουθιακού SGS Ας θεωρήσουμε ένα έργο 6 δραστηριοτήτων, με γνωστές σχέσεις προτεραιότητας μεταξύ των δραστηριοτήτων. Για κάθε δραστηριότητα ορίζεται η ανάγκη σε πόρο (τύπου R1), οποίος είναι ανανεώσιμος πόρος με σταθερή μέγιστη διαθεσιμότητα 4 μονάδων. Στον προγραμματισμό λαμβάνονται υπόψη οι χρόνοι ΕΕ και το περιθώριο χαλαρότητας Π για κάθε δραστηριότητα, που έχουν υπολογιστεί από την ανάλυση CPM. Τα δεδομένα του έργου συνοψίζονται στην εικόνα 16. Εικόνα 16. Παράδειγμα χρονοπρογραμματισμού έργου με περιορισμένους πόρους 41

Η ακολουθιακή μέθοδος ανάθεσης πόρου ξεκινάει όπως φαίνεται με άδειο χρονοπρόγραμμα. Από το σύνολο των υποψήφιων δραστηριοτήτων για ανάθεση πόρου, επιλέγεται εκείνη με τη μεγαλύτερη προτεραιότητα και η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να μην υπάρχει άλλη δραστηριότητα υποψήφια για ανάθεση. Οι πόροι κατανέμονται στις εργασίες ακολουθιακά (δηλ. µία εργασία κάθε φορά από την αρχή μέχρι να τελειώσει). Υποψήφιες για ανάθεση είναι οι δραστηριότητες που μπορούν να ξεκινήσουν τη δεδομένη χρονική στιγμή λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς προήγησης (διαδοχής) και τους χρόνους έναρξης. Στις υποψήφιες δραστηριότητες γενικά εκχωρούνται προτεραιότητες µε βάση κάποιον ή κάποιους εμπειρικούς κανόνες. Ο συνδυασμός κανόνων προτεραιότητας για την επιλογή των δραστηριοτήτων στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι: i. ανάθεση στη δραστηριότητα με το μικρότερο χρόνο βραδύτερης ολοκλήρωσης (ΒΟ), ii. σε περίπτωση ισοπαλίας, ανάθεση σε αυτή με το μικρότερο περιθώριο χαλάρωσης (Π). iii. σε περίπτωση νέας ισοπαλίας, ανάθεση σε αυτή με το μικρότερο αριθμό ταυτότητας (FCFS). Επίσης, είναι αναγκαίο να διατηρείται η πληροφορία για το πότε να γίνει ανάθεση και πόση ποσότητα πόρου να ανατεθεί. Αυτό επιτυγχάνεται διατηρώντας ένα ρολόι (Τ) για το έργο. Το ρολόι Τ αυξάνεται όταν δεν υπάρχουν άλλοι πόροι για ανάθεση ή όταν δεν υπάρχουν δραστηριότητες στις οποίες μπορούν να ανατεθούν πόροι. Το ρολόι Τ σταματά όταν υπάρχουν πόροι για ανάθεση και υπάρχουν δραστηριότητες στις οποίες μπορούν να ανατεθούν πόροι. Στη συνέχεια, αναφέρονται αναλυτικά τα βήματα που ακολουθούνται για την δημιουργία του χρονοπρογράμματος, σύμφωνα με την περιγραφή της μεθόδου. Παράλληλα, δίνεται η γραφική αναπαράσταση της κατανομής του πόρου βήμα-βήμα, τις χρονικές στιγμές Τ που γίνεται ανάθεση πόρου σε μία ή περισσότερες δραστηριότητες (εικ. 17). 42

Βήμα Ρολόι 1 Τ=0 Υποψήφιες {1, 2, 3} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 2, λόγω κριτηρίου (ii) Ανάθεση 1 μονάδας πόρου R1 για 3 χρονικές περιόδους 2 Τ=0 Υποψήφιες {1, 3} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 1, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 για 2 χρονικές περιόδους 3 Τ=0 Δεν υπάρχει άλλη διαθεσιμότητα πόρου για ανάθεση Αύξηση Τ 4 Τ=1 Δεν υπάρχει άλλη διαθεσιμότητα πόρου για ανάθεση Αύξηση Τ 5 Τ=2 Υποψήφιες {3, 4} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 3, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 2 μονάδων πόρου R1 για 1 χρονική περίοδο 6 Τ=2 Δεν υπάρχει άλλη διαθεσιμότητα πόρου για ανάθεση Αύξηση Τ 7 Τ=3 Υποψήφιες {4, 5} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 4, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 για 4 χρονικές περιόδους 8 Τ=3 Δεν υπάρχει άλλη διαθεσιμότητα πόρου για ανάθεση Αύξηση Τ 9 Τ=4 Δεν υπάρχει άλλη διαθεσιμότητα πόρου για ανάθεση Αύξηση Τ 10 Τ=5 Δεν υπάρχει άλλη διαθεσιμότητα πόρου για ανάθεση Αύξηση Τ 11 Τ=6 Δεν υπάρχει άλλη διαθεσιμότητα πόρου για ανάθεση Αύξηση Τ 12 Τ=7 Υποψήφιες {5, 6} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 6, λόγω κριτηρίου (ii) Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 για1 χρονική περίοδο 13 Τ=7 Δεν υπάρχει άλλη διαθεσιμότητα πόρου για ανάθεση Αύξηση Τ 14 Τ=8 Υποψήφιες {5} Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 για 2 χρονικές περιόδους 15 Τ=10 Ολοκλήρωση Χρονοπρογράμματος 43

Εικόνα 17. Παράδειγμα ακολουθιακού SGS (Πηγή: Ανδρέας Νεάρχου, Ανοιχτά ακαδημαϊκά μαθήματα, "Διοίκηση Λειτουργιών: Ενότητα Διοίκηση Έργων", Έκδοση 1.0, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2014) 44

Παράδειγμα Παράλληλου SGS Ας επανεξετάσουμε το προηγούμενο πρόβλημα 6 δραστηριοτήτων, κάνοντας την ανάθεση πόρων αυτή τη φορά με την παράλληλη μέθοδο παραγωγής χρονοπρογράμματος. Η παράλληλη μέθοδος ανάθεσης πόρων στις δραστηριότητες ξεκινάει επίσης με άδειο χρονοπρόγραμμα. Αρχικά, τίθεται ο χρόνος Τ=0 (χρόνος έναρξης του έργου). Στη συνέχεια, προσδιορίζεται το σύνολο των υποψήφιων για ανάθεση πόρου δραστηριοτήτων και από αυτές επιλέγεται εκείνη με την υψηλότερη προτεραιότητα, για την οποία υπάρχει ικανή ποσότητα πόρων διαθέσιμη για ανάθεση στον χρόνο Τ. Το βήμα επαναλαμβάνεται μέχρις ότου να μην υπάρχει διαθέσιμος πόρος για ανάθεση στον χρόνο Τ. Τότε, αυξάνεται ο χρόνος Τ. Σε κάθε χρονική στιγμή Τ, επαναλαμβάνεται η διαδικασία αναζήτησης των υποψήφιων δραστηριοτήτων και επιλογής ανάλογα με την προτεραιότητα, μέχρι να μην υπάρχει άλλη δραστηριότητα για ανάθεση. Γενικά, η ανάθεση πόρων γίνεται μόνο για την περίοδο που δείχνει το ρολόι Τ. Παρακάτω αναφέρονται τα βήματα που ακολουθούνται για την δημιουργία του χρονοπρογράμματος, σύμφωνα με την περιγραφή της μεθόδου. Παράλληλα, δίνεται η γραφική αναπαράσταση της κατανομής του πόρου κάθε χρονική στιγμή Τ που γίνεται ανάθεση πόρου (εικ. 18). Ρολόι Τ=0 Τ=1 Τ=2 Βήμα 1 2 3 4 5 6 Υποψήφιες {1, 2, 3} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 2, λόγω κριτηρίου (ii) Ανάθεση 1 μονάδας πόρου R1 Υποψήφιες {1, 3} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 1, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 Υποψήφιες {1, 2, 3} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 2, λόγω κριτηρίου (ii) Ανάθεση 1 μονάδας πόρου R1 Υποψήφιες {1, 3} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 1, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 Υποψήφιες {2, 3} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 2, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 1 μονάδας πόρου R1 Υποψήφιες { 3} Ανάθεση 2 μονάδων πόρου R1 45

Τ=3 7 Υποψήφιες {4,5} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 4, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 2 μονάδων πόρου R1 Τ=4 8 Υποψήφιες {4,5} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 4, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 2 μονάδων πόρου R1 Τ=5 9 Υποψήφιες {4,5} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 4, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 2 μονάδων πόρου R1 Τ=6 10 Υποψήφιες {4,5} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 4, λόγω κριτηρίου (i) Ανάθεση 2 μονάδων πόρου R1 Τ=7 11 Υποψήφιες {5, 6} Προτεραιότητα στην δραστηριότητα 6, λόγω κριτηρίου (ii) Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 Τ=8 12 Υποψήφιες {5} Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 Τ=9 13 Υποψήφιες {5} Ανάθεση 3 μονάδων πόρου R1 Τ=10 14 Ολοκλήρωση Χρονοπρογράμματος 46

Εικόνα 18. Παράδειγμα παράλληλου SGS (Πηγή: Ανδρέας Νεάρχου, Ανοιχτά ακαδημαϊκά μαθήματα, "Διοίκηση Λειτουργιών: Ενότητα Διοίκηση Έργων", Έκδοση 1.0, Πανεπιστήμιο Πατρών, 2014) 47

Μέθοδος Περικομμένης Διακλάδωσης και Ορίου Μια άλλη συνήθης προσέγγιση των ευρετικών μεθόδων είναι η μέθοδος Περικομμένης Διακλάδωσης και Ορίου (Truncated Branch and Bound). Πρόκειται για μια γενική μέθοδο αναζήτησης λύσης σε ένα δένδρο καταστάσεων (state tree). Παράγει ένα σύνολο λύσεων για το πρόβλημα και μετά από διερεύνηση των λύσεων (tree search), απορρίπτει αρχικά εκείνες που είναι ανέφικτες και άλλες που είναι μεν εφικτές αλλά λιγότερο καλές. Με αυτό τον τρόπο, η μέθοδος περιορίζει το σύνολο όπου μπορεί να βρεθούν καλές εφικτές λύσεις. Εάν το δένδρο δεν είναι πολύ μεγάλο, η αυτή η μέθοδος μπορεί να εντοπίσει τη βέλτιστη λύση. Μια προτεινόμενη τεχνική από τον Pollack-Jonshon (1995, όπως αναφέρεται στο Kolisch & Hartmann, 1999) χρησιμοποιεί τη λεγόμενη αναζήτηση πρώτα σε βάθος με επιστροφές (depth-first, jumptracking branch and bound search) στο δέντρο των λύσεων. Ο αλγόριθμος είναι ουσιαστικά μια ευρετική μέθοδος παράλληλου προγραμματισμού. Αντί να προγραμματίζεται η δραστηριότητα με τη μεγαλύτερη προτεραιότητα, το δένδρο διακλαδώνεται σε ορισμένες περιπτώσεις, έτσι ώστε το ένα κλαδί έχει τη δραστηριότητα με τη μεγαλύτερη προτεραιότητα και το άλλο κλαδί έχει τη δραστηριότητα με τη δεύτερη μεγαλύτερη προτεραιότητα, η οποία προγραμματίζεται επόμενη. Μια άλλη προσέγγιση από τον Sprecher (1996, όπως αναφέρεται στο Kolisch & Hartmann, 1999), χρησιμοποιεί τη διαδικασία διακλάδωσης και ορίου με αναζήτηση πρώτα σε βάθος επιβάλλοντας ένα χρονικό όριο. Η διαδικασία της απαρίθμησης καθοδηγείται από το λεγόμενο δένδρο προτεραιοτήτων (precedence tree), που ουσιαστικά διακλαδώνεται στις δραστηριότητες του συνόλου επιλογής του ακολουθιακού SGS. Μέσω υπαναχώρησης, απαριθμούνται (έμμεσα) όλες οι λίστες δραστηριοτήτων με εφικτή προτεραιότητα. Προκειμένου να βρεθούν οι καλές λύσεις νωρίς στη διαδικασία της αναζήτησης και, επομένως, εντός του χρονικού ορίου, εφαρμόζονται κανόνες προτεραιότητας για την επιλογή της πλέον υποσχόμενης δραστηριότητας από το σύνολο επιλογής που θα διακλαδωθεί πρώτη. Μέθοδοι βασισμένες στον ακέραιο προγραμματισμό Οι ευρετικές μέθοδοι που βασίζονται στον ακέραιο προγραμματισμό (Integer programming based heuristics) χρησιμοποιήθηκαν από τους Oguz & Bala (1994, όπως αναφέρεται στο Kolisch & Hartmann, 1999). Η μέθοδος βασίζεται στη διατύπωση του ακέραιου προγραμματισμού, σύμφωνα με την οποία ο ορίζοντας του χρονικού προγραμματισμού διαιρείται σε Τ χρονικές περιόδους ίσης διάρκειας και οι χρόνοι επεξεργασίας p j των εργασιών πρέπει να δίνονται ως ακέραια πολλαπλάσια μιας περιόδου. Η δυαδική μεταβλητή απόφασης είναι x j,t = 1 όταν η δραστηριότητα j έχει ολοκληρωθεί στο τέλος της περιόδου t. 48

Μέθοδοι βασισμένες στα διαζευκτικά τόξα Η βασική ιδέα της προσέγγισης που βασίζεται στα διαζευκτικά τόξα (Disjunctive Arc Based Method) είναι η επέκταση των σχέσεων προήγησης (του συνόλου συζευκτικών τόξων) προσθέτοντας επιπλέον τόξα (το σύνολο διαζευκτικών τόξων), έτσι ώστε τα ελάχιστα απαγορευμένα σύνολα, λ.χ. τα σύνολα τεχνολογικά ανεξάρτητων δραστηριοτήτων που δεν μπορούν να προγραμματιστούν ταυτόχρονα λόγω περιορισμών πόρων, να καταστρέφονται κι επομένως το πρόγραμμα νωρίτερης ολοκλήρωσης να είναι εφικτό αναφορικά με τους περιορισμούς προήγησης και πόρων (Kolisch & Hartmann, 1999). 2.4 Μετα-ευρετικές Μέθοδοι Μια κατηγορία μεθόδων που ονομάζονται μετα-ευρετικές (meta-heuristics) αποτελούν εξέλιξη των ευρετικών και αντικείμενο μεγάλου ερευνητικού ενδιαφέροντος για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων, όπως το πρόβλημα του χρονοπρογραμματισμού ενός έργου με περιορισμένους πόρους. 2.4.1 Μέθοδοι Απλής Κατάστασης Οι μετα-ευρετικές μέθοδοι Απλής Κατάστασης (Single-State methods) βασικά προσφέρουν μια διαδικασία επιλογής που αποφασίζει ποιες από τις υποψήφιες λύσεις θα διατηρηθούν και ποιες θα απορριφθούν, καθώς γίνεται αναζήτηση στον χώρο των πιθανών λύσεων του προβλήματος (Luke, 2014). Για να βελτιστοποιηθεί μια υποψήφια λύση, θα πρέπει να γίνουν τέσσερεις ενέργειες: Προσδιορισμός μίας ή περισσότερων αρχικών υποψήφιων λύσεων (διαδικασία αρχικοποίησης) Αξιολόγηση της ποιότητας μιας υποψηφίας λύση (διαδικασία αξιολόγησης), μέσω μιας συνάρτησης αξιολόγησης που ονομάζεται Συνάρτηση Ποιότητας (Quality(S)) Δημιουργία αντιγράφου μιας υποψήφιας λύσης (συνάρτηση Copy(S)), και Τροποποίηση αυτής ώστε να παραχθεί μια τυχαία ελαφρώς διαφορετική υποψήφια λύση (διαδικασία τροποποίησης), από τη Συνάρτηση Τροποποίησης (Tweak(S)). 49

Απότομη Αναρρίχηση Λόφου Αρχικά, υπάρχει η απλή τεχνική της Αναρρίχησης Λόφου (Hill-climbing), η οποία σχετίζεται με την κλίση ανόδου, χωρίς όμως να απαιτείται η γνώση του βαθμού ή της κατεύθυνσης της κλίσης. Επαναληπτικά δοκιμάζονται νέες υποψήφιες λύσεις στην γειτονιά των τρεχουσών λύσεων και υιοθετούνται εάν είναι καλύτερες, με αποτέλεσμα την αναρρίχηση του λόφου μέχρι να βρεθεί ένα τοπικό βέλτιστο. Η μέθοδος της Απότομης Αναρρίχησης Λόφου (Steepest ascend hill-climbing) είναι μια παραλλαγή πιο «επιθετική», καθώς δημιουργούνται πολλαπλές τροποποιήσεις (tweaks) σε μια υποψήφια λύση ταυτόχρονα και υιοθετείται η καλύτερη λύση, οπότε, ουσιαστικά γίνεται δειγματοληψία της κλίσης και οδηγούμαστε κατευθείαν σε αυτήν (Luke, 2014). Προσομοιωμένη Ανόπτηση Η μέθοδος της Προσομοιωμένης Ανόπτησης (Simulated Annealing, SA) προέρχεται από τη φυσική διαδικασία ανόπτησης, κατά την οποία ένα τηγμένο μέταλλο ψύχεται σε μια κατάσταση χαμηλής ενέργειας. Η διαδικασία περιγράφεται ως εξής (Kolisch & Hartmann, 1999): Ξεκινώντας με κάποια αρχική λύση, παράγεται μια λεγόμενη «γειτονική» λύση με μικρή μετατροπή της τρέχουσας. Εάν αυτή η νέα λύση είναι καλύτερη από την τρέχουσα, γίνεται αποδεκτή και η αναζήτηση συνεχίζει από αυτή τη νέα λύση. Διαφορετικά, εάν η νέα λύση είναι χειρότερη, γίνεται αποδεκτή μόνο με μια πιθανότητα που εξαρτάται από το μέγεθος της επιδείνωσης και από μια παράμετρο που ονομάζεται θερμοκρασία. Καθώς εξελίσσεται ο αλγόριθμος, η θερμοκρασία μειώνεται προκειμένου να μειωθεί η πιθανότητα να αποδεχθεί χειρότερες γειτονικές λύσεις. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος ομαλοποίησης πόρων στις κατασκευές, προτείνεται μια υπερ-ευρετική προσέγγιση (hyper-heuristics) βασισμένη στην προσομοιωμένη ανόπτηση (Anagnostopoulos & Koulinas, 2010). Τόσο η μελέτη περίπτωσης, όσο και η πειραματική ανάλυση σε τυχαία δίκτυα δραστηριοτήτων, αναδεικνύουν τις δυνατότητες της μεθόδου για επίλυση σύνθετων προβλημάτων χρονοπρογραμματισμού. Αν και η προτεινόμενη μέθοδος βελτιώνει τα αποτελέσματα ευρέως χρησιμοποιούμενου πακέτου λογισμικού διαχείρισης έργων, κάποιες αλλαγές μπορούν να οδηγήσουν σε περαιτέρω βελτίωση της απόδοσης. Απαγορευμένη Αναζήτηση Η μέθοδος της Αναζήτησης σε Απαγορευμένες Καταστάσεις (Tabu Search, TS) εισάγει την ιδέα του ιστορικού της εξερεύνησης. Πρόκειται ουσιαστικά για μια εξέλιξη της μεθόδου απότομης αναρρίχησης λόφου, δηλαδή αξιολογεί όλες τις λύσεις στη γειτονιά και επιλέγει την βέλτιστη, από την οποία προχωρά περαιτέρω. Αυτή η 50

διαδικασία, ωστόσο, ενέχει τον κίνδυνο ταλάντωσης, δηλαδή, μπορεί να επιστρέφει πάντα στο ίδιο τοπικό βέλτιστο από το οποίο μόλις έφυγε. Για να αποφευχθεί αυτό το πρόβλημα δημιουργείται μια λίστα απαγορευμένων καταστάσεων (tabu list) με τις υποψήφιες λύσεις που έχουν ήδη εξετασθεί, ως μια μορφή μνήμης για τη διαδικασία της αναζήτησης. Η λίστα έχει πεπερασμένο μήκος κι όταν συμπληρωθεί με το μέγιστο αριθμό παρατηρήσεων διαγράφονται οι παλαιότερες υποψήφιες λύσεις, που δεν αποτελούν πλέον απαγορευμένες καταστάσεις για επανεξέταση. Ο αλγόριθμος εφαρμόζεται μόνο σε ακέραια σύνολα, γιατί είναι εξαιρετικά απίθανο να πετύχει την ίδια πραγματική τιμή, καθιστώντας τη λίστα άχρηστη. Σε αυτή την περίπτωση, μια προσέγγιση είναι να εξετάζεται η ομοιότητα μιας λύσης με κάποια υπάρχουσα, με βάση ένα προκαθορισμένο μέτρο (κατώφλι) ομοιότητας (Luke, 2014). Επαναληπτική Τοπική Αναζήτηση Η τεχνική της Επαναληπτικής Τοπικής Αναζήτησης (Iterated Local Search, ILS) προσπαθεί να κάνει αναζήτηση στο χώρο των τοπικών βέλτιστων με έναν πιο έξυπνο τρόπο: με στοχαστική αναρρίχηση λόφου (Luke, 2014). Δηλαδή, η ILS βρίσκει ένα τοπικό βέλτιστο και στη συνέχεια αναζητά ένα «κοντινό» τοπικό βέλτιστο και ενδεχομένως υιοθετεί αυτό, έπειτα βρίσκει ένα νέο «κοντινό» τοπικό βέλτιστο κ.ο.κ. Η ευρετική εδώ είναι ότι συχνά μπορεί να βρεθεί καλύτερο τοπικό βέλτιστο κοντά στο τρέχον, και καθώς κινείται από τοπικό βέλτιστο σε τοπικό βέλτιστο με αυτόν τον τρόπο, συχνά αποδίδει καλύτερα απλώς δοκιμάζοντας νέες θέσεις εντελώς τυχαία. 2.4.2 Μέθοδοι Πληθυσμού Μια διαφορετική κατηγορία που ονομάζονται Μέθοδοι Πληθυσμού (Population Methods), διαφέρει από τις προηγούμενες καθότι οι αλγόριθμοι αυτοί διατηρούν ένα σύνολο υποψήφιων λύσεων αντί μιας μοναδικής πιθανής λύσης. Καθεμιά από τις λύσεις συμμετέχει στη διαδικασία τροποποίησης και αξιολόγησης της ποιότητας, αλλά επηρεάζει και τον τρόπο με το οποίο αξιολογούνται οι υπόλοιπες υποψήφιες. Δύναται οι καλές λύσεις να προκαλέσουν την απόρριψη των χειρότερων λύσεων και τη δημιουργία νέων ή την τροποποίησή τους προς την κατεύθυνση των καλύτερων λύσεων (Luke, 2014). Οι περισσότερες μέθοδοι πληθυσμού δανείζονται στοιχεία από τη βιολογία, καθώς σχετίζονται από τους ερευνητές με πληθυσμούς έμβιων όντων. Έτσι, τείνουν να χρησιμοποιούν όρους από την επιστήμη της γενετικής και της εξέλιξης. 51

Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι (Evolutionary Algorithms, ΕΑ) συγκαταλέγονται στις μετα-ευρετικές μεθόδους πληθυσμού. Οι περισσότεροι ΕΑ μπορούν να διακριθούν σε αλγορίθμους γενεών (generational algorithms), οι οποίοι ανανεώνουν ολόκληρο το δείγμα μια φορά σε κάθε επανάληψη, και σε αλγορίθμους σταθερής κατάστασης (steady-state algorithms), οι οποίοι ανανεώνουν στο δείγμα λίγες υποψήφιες λύσεις κάθε φορά (Luke, 2014). Συνήθεις ΕΑ περιλαμβάνουν τους Γενετικούς Αλγόριθμους (Genetic Algorithms, GA) και τις Στρατηγικές Εξέλιξης (Evolution Strategies, ES), όπου υπάρχουν εκδοχές τόσο γενεών όσο και σταθερής κατάστασης. Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι γενικά λειτουργούν ως εξής (Γκουντή, 2013): 1. Αρχικά, δημιουργείται ένας πληθυσμός (population) από άτομα (individuals). Κάθε άτομο λαμβάνει μια τιμή καταλληλότητας (fitness value) και αποκωδικοποιείται για να παράγει μια υποψήφια λύση. 2. Αξιολογείται η καταλληλότητα κάθε υποψήφιας λύσης, υπολογίζοντας την αξία της μέσω μιας συνάρτησης καταλληλότητας (fitness function). Αυτή η αξιολόγηση μπορεί να περιλαμβάνει περίπλοκες προσομοιώσεις και υπολογισμούς. 3. Με βάση αυτήν την αξιολόγηση, τα άτομα του πληθυσμού με μεγαλύτερη καταλληλότητα επιλέγονται να παράγουν την επόμενη γενιά (γονείς). Έτσι, η διαδικασία της επιλογής γονέων απορρίπτει τις υποψήφιες λύσεις με χαμηλότερη καταλληλότητα και επιτρέπει στις υπόλοιπες να εισέλθουν στην «πισίνα ζευγαρώματος» (mating pool) με μεγαλύτερη πιθανότητα. 4. Στην φάση της αναπαραγωγής δημιουργούνται απόγονοι (offsprings), μεταλλάσσοντας ή/και διασταυρώνοντας τους γονότυπους των επιλεγμένων ατόμων. Ο ανασυνδυασμός (recombination) ή αλλιώς διασταύρωση (crossover) είναι ένας τελεστής που εφαρμόζεται σε δύο ή περισσότερα επιλεγμένα άτομα (γονείς) και δημιουργεί μία ή περισσότερες υποψήφιες λύσεις (παιδιά). Ο τελεστής της μετάλλαξης (mutation) εφαρμόζεται σε ένα άτομο και δημιουργεί μία υποψήφια λύση. 5. Οι απόγονοι στη συνέχεια ενσωματώνονται στον πληθυσμό, οπότε δημιουργείται ένας νέος πληθυσμός ατόμων που ανταγωνίζονται για μια θέση στην επόμενη γενιά. Τα άτομα με μεγαλύτερη καταλληλότητα έχουν περισσότερες πιθανότητες να επιβιώσουν (επιβίωση του καλύτερου). 6. Ο Εξελικτικός Αλγόριθμος σταματάει όταν φτάσουμε σε κάποια συνθήκη τερματισμού (υπολογιστικό όριο που έχει τεθεί, καταλληλότητα που έχει επιτευχθεί, κτλ), αλλιώς ακολουθεί τον επαναλαμβανόμενο κύκλο που 52

ξεκινάει από το 2 βήμα. Το μέγεθος του πληθυσμού διατηρείται σταθερό σε κάθε επανάληψη. Γενετικοί Αλγόριθμοι Ο Γενετικός Αλγόριθμος (Genetic Algorithm), ως μέθοδος πληθυσμού και σε αντίθεση με τις μεθόδους τοπικής αναζήτησης που περιγράφονται παραπάνω, θεωρεί ταυτόχρονα ένα σύνολο ή πληθυσμό λύσεων αντί για μία μόνο. Εφόσον έχει δημιουργηθεί ένας αρχικός πληθυσμός, παράγονται νέες λύσεις από το ζευγάρωμα δύο υφιστάμενων (διασταύρωση, crossover) ή/και από την τροποποίηση μιας υφιστάμενης (μετάλλαξη, mutation). Μετά την παραγωγή νέων λύσεων, οι ισχυρότερες λύσεις επιβιώνουν και δημιουργούν την επόμενη γενιά, ενώ οι υπόλοιπες διαγράφονται. Η τιμή καταλληλότητας μετράει την ποιότητα μιας λύσης, συνήθως με βάση την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης του προβλήματος βελτιστοποίησης προς επίλυση (Kolisch & Hartmann, 1999). Η εφαρμογή του ΓΑ για ένα συγκεκριμένο τομέα είναι σχετικά εύκολο έργο, δεδομένου ότι χρειάζεται μόνο να προσδιορισθούν τα ακόλουθα πέντε χαρακτηριστικά (Goldberg, 1989, όπως αναφέρεται στο Nearchou, 2004): Ένας μηχανισμός αναπαράστασης, δηλαδή ένας τρόπος κωδικοποίησης των λύσεων του προβλήματος σε τεχνητά γονίδια. Ένας τρόπος αρχικοποίησης του πληθυσμού των γονιδίων. Ένας μηχανισμός αξιολόγησης, δηλαδή ο υπολογισμός μιας συνάρτησης που ονομάζεται συνάρτηση καταλληλότητας για κάθε γονίδιο. Η εφαρμογή των ειδικών γενετικών τελεστών (π.χ. αναπαραγωγή, διασταύρωση, μετάλλαξη) στον πληθυσμό, προκειμένου να δημιουργήσει νέους πληθυσμούς με καλύτερα γονίδια. Τιμές για ορισμένες παραμέτρους ελέγχου (π.χ. το μέγεθος του πληθυσμού, ο ρυθμός διασταύρωσης και μετάλλαξης, η διαβάθμιση της καταλληλότητας), που ελέγχουν τον τρόπο με τον οποίο συνδυάζονται και λειτουργούν οι διάφορες συνιστώσες του ΓΑ. Οι γενετικοί αλγόριθμοι έχουν εφαρμοστεί με μεγάλη επιτυχία σε ποικιλία σύνθετων προβλημάτων συνδυαστικής βελτιστοποίησης. Η απόδοσή τους εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την επιλογή των κατάλληλων γενετικών τελεστών, με τη διασταύρωση και τη μετάλλαξη να είναι οι δύο βασικότεροι παράγοντες παραλλαγής σε κάθε γενετικό αλγόριθμο (Nearchou, 2004). Διαφορική Εξέλιξη H μέθοδος της Διαφορικής Εξέλιξης (Differential Evolution, DE) είναι μια παραλλαγή εξελικτικού αλγορίθμου, που έχει σχεδιαστεί κυρίως για πολυδιάστατους 53

χώρους πραγματικών τιμών και εισάγει δύο νέες ανατροπές (Luke, 2014). Πρώτον, τα παιδιά πρέπει να ανταγωνίζονται ευθέως έναντι των άμεσων γονέων τους για να συμπεριληφθούν στον πληθυσμό. Δεύτερον, η Διαφορική Εξέλιξη καθορίζει το μέγεθος των μεταλλάξεων σε μεγάλο βαθμό με βάση την τρέχουσα διακύμανση του πληθυσμού. Εάν ο πληθυσμός είναι εξαπλωμένος, η μετάλλαξη θα κάνει μεγάλες αλλαγές. Εάν ο πληθυσμός είναι συμπυκνωμένος σε μια συγκεκριμένη περιοχή, η μετάλλαξη θα είναι μικρή. Έτσι, η Διαφορική Εξέλιξη είναι ένας προσαρμοστικός αλγόριθμος μετάλλαξης. Μια πολυκριτηριακή παραλλαγή βασισμένη στη Διαφορική Εξέλιξη (Multi- Objective Differential Evolution, MODE) παρουσιάστηκε από τον Nearchou (2008) για την επίλυση του δι-κριτηριακού προβλήματος εξισορρόπησης απλής γραμμής συναρμολόγησης (Simple Assembly Line Balancing Problem, SALBP). Βασικός σκοπός ήταν η ελαχιστοποίηση του χρόνου κύκλου εργασίας και δευτερεύοντες στόχοι ήταν η ελαχιστοποίηση του χρόνου καθυστέρησης εξισορρόπησης και του δείκτη ομαλότητας του φόρτου εργασίας. Η μέθοδος είναι απλή και πολύ εύκολη στην εφαρμογή, ενώ εκτεταμένες πειραματικές συγκρίσεις μεταξύ της MODE και δύο υφιστάμενων πολυκριτηριακών εξελικτικών αλγορίθμων έδειξε καλύτερη απόδοση για την MODE σε επίπεδο ποιότητας των λύσεων. Επίσης, έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι ο αλγόριθμος της Διαφορικής Εξέλιξης είναι αρκετά ισχυρός και για προβλήματα βελτιστοποίησης διακριτών τιμών, με την ενσωμάτωση ενός νέου συστήματος αναπαράστασης για την κωδικοποίηση της λύσης (Nearchou & Omirou, 2006). Μελετήθηκε η εφαρμογή της Διαφορικής Εξέλιξης σε τρία κλασσικά NP-hard προβλήματα χρονοπρογραμματισμού (multiple machine flow-shop scheduling problem, single machine total weighted tardiness problem, single machine common due date scheduling problem) και φαίνεται ότι ο αλγόριθμος μπορεί να αντιμετωπίσει ένα ευρύ φάσμα συνδυαστικών προβλημάτων με διακριτές μεταβλητές απόφασης. Η Διαφορική Εξέλιξη θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα εργασία στην προσπάθεια προσέγγισης και επίλυσης του προβλήματος ομαλοποίησης πόρων, και ακλουθεί αναλυτικότερη περιγραφή στο επόμενο κεφάλαιο. 54

3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ Η μέθοδος της Διαφορικής Εξέλιξης ανήκει στην κατηγορία των μετα-ευρετικών μέθοδων πληθυσμού, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως. Αναπτύχθηκε από τους Price και Storn (1997) σε μια προσπάθεια να καλυφθούν οι τέσσερις προϋποθέσεις που απαιτούν γενικά οι χρήστες για μια πρακτική τεχνική βελτιστοποίησης. Αυτές οι προϋποθέσεις είναι: Ικανότητα να χειρίζεται μη διαφορίσιμες, μη γραμμικές και πολυτροπικές αντικειμενικές συναρτήσεις. Ικανότητα παραλληλοποίησης για την αντιμετώπιση υπολογιστικά απαιτητικών αντικειμενικών συναρτήσεων. Ευκολία χρήσης, δηλαδή λίγες μεταβλητές ελέγχου που κατευθύνουν την βελτιστοποίηση. Οι μεταβλητές αυτές πρέπει επίσης να είναι στιβαρές και εύκολο να επιλεχθούν. Καλές ιδιότητες σύγκλισης, δηλαδή συνεπής σύγκλιση στο ολικό ακρότατο σε διαδοχικές ανεξάρτητες δοκιμές. Η Διαφορική Εξέλιξη, όπως περιγράφεται από τους Price και Storn (1997), είναι μια παράλληλη άμεση μέθοδος αναζήτησης που χρησιμοποιεί NP D-διάστατα διανύσματα παραμέτρων: x i,g, i = 1, 2,, NP ως πληθυσμό για κάθε γενιά G. Το αρχικό διάνυσμα πληθυσμού επιλέγεται τυχαία και πρέπει να καλύπτει ολόκληρο το χώρο των παραμέτρων. Κατά κανόνα υποτίθεται ομοιόμορφη κατανομή πιθανοτήτων για όλες τις τυχαίες αποφάσεις, εκτός αν ορίζεται διαφορετικά. Σε περίπτωση που είναι διαθέσιμη μια προκαταρκτική λύση, ο αρχικός πληθυσμός θα μπορούσε να δημιουργηθεί με την προσθήκη κανονικά κατανεμημένων τυχαίων αποκλίσεων στην ονομαστική λύση x nom,0. Η Διαφορική Εξέλιξη δημιουργεί νέα διανύσματα παραμέτρων προσθέτοντας τη σταθμισμένη διαφορά δύο διανυσμάτων του πληθυσμού σε ένα τρίτο διάνυσμα. Αυτή η λειτουργία ονομάζεται μετάλλαξη (mutation). Οι παράμετροι του μεταλλαγμένου διανύσματος στη συνέχεια αναμιγνύονται με τις παραμέτρους ενός άλλου προκαθορισμένου διανύσματος, του διανύσματος-στόχου (target-vector), ώστε να προκύψει το λεγόμενο δοκιμαστικό διάνυσμα (trial vector). Η ανάμειξη των παραμέτρων αναφέρεται ως διασταύρωση (crossover). Εάν το δοκιμαστικό διάνυσμα αποφέρει μια καλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από το διανύσμα-στόχο, τότε το δοκιμαστικό διάνυσμα αντικαθιστά το διάνυσμαστόχο στην επόμενη γενιά. Αυτή η λειτουργία ονομάζεται επιλογή (selection). Κάθε διάνυσμα του πληθυσμού πρέπει να χρησιμεύσει μια φορά ως διάνυσμα-στόχος, έτσι ώστε σε μία γενιά διεξάγονται ΝΡ συγκρίσεις. 55

Πιο αναλυτικά, η βασική στρατηγική της Διαφορικής Εξέλιξης περιγράφεται στη συνέχεια. 3.1 Αναλυτική περιγραφή μεθόδου Μετάλλαξη Για κάθε διάνυσμα-στόχο x i,g,i = 1, 2, NP, δημιουργείται ένα μεταλλαγμένο διάνυσμα σύμφωνα με τον τύπο v i,g+1 = x r1,g + F (x r2,g - x r3,g ) όπου, r 1, r 2, r 3 {1, 2,, ΝΡ}: τυχαίοι δείκτες, ακέραιοι, διαφορετικοί μεταξύ τους και διαφορετικοί από τον τρέχοντα δείκτη i, F [0, 2]: πραγματικός, σταθερός παράγοντας που ελέγχει την ενίσχυση της διαφορικής διακύμανσης (x r2,g - x r3,g ). Στην εικόνα 19 φαίνεται ένα δισδιάστατο παράδειγμα με τις ισοϋψείς καμπύλες της αντικειμενικής συνάρτησης και τα διανύσματα που παίρνουν μέρος στη δημιουργία του διανύσματος v i,g+1. Εικόνα 19. Παράδειγμα μετάλλαξης στη Διαφορική Εξέλιξη Διασταύρωση Προκειμένου να αυξηθεί η διαφορετικότητα των αλλαγμένων παραμέτρων των διανυσμάτων, εισάγεται η διασταύρωση. Για το σκοπό αυτό, σχηματίζεται το δοκιμαστικό-διάνυσμα u i,g+1 = (u 1i,G+1, u 2i,G+1,, u Di,G+1 ) 56

v ji,g+1 αν (randb(j) CR) ή j = rnbr(i) όπου, u ji,g+1 = x ji,g αν (randb(j) > CR) ή j rnbr(i) j = 1, 2,, D randb(j) : η j-οστή αξιολόγηση μιας γεννήτριας τυχαίων αριθμών ομοιόμορφα κατανεμημένων με αποτέλεσμα [0,1] CR [0,1] : σταθερά διασταύρωσης που καθορίζεται από τον χρήστη rnbr(i) 1, 2,, D : τυχαία επιλεγμένος δείκτης που διασφαλίζει ότι το διάνυσμα u i,g+1 παίρνει τουλάχιστον μια παράμετρο από το μεταλλαγμένο διάνυσμα v ji,g+1. Στην εικόνα 20 δίνεται ένα παράδειγμα του μηχανισμού διασταύρωσης για διανύσματα διάστασης D=7 παραμέτρων. Εικόνα 20: Παράδειγμα διασταύρωσης στη Διαφορική Εξέλιξη Επιλογή Για να ληφθεί η απόφαση αν πρέπει ή όχι να γίνει μέλος της γενιάς G+1, το δοκιμαστικό διάνυσμα u i,g+1 συγκρίνεται με το διάνυσμα-στόχο x i,g χρησιμοποιώντας το κριτήριο άπληστης επιλογής. Εάν το διάνυσμα u i,g+1 αποδίδει καλύτερη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από το x i,g, τότε το διάνυσμα x i,g+1 ορίζεται στο u i,g+1. Διαφορετικά, διατηρείται η προηγούμενη τιμή του x i,g. 57

Ψευδοκώδικας Η απλότητα της Διαφορικής Εξέλιξης εξηγείται περαιτέρω μέσω του ψευδοκώδικα και τους διαγράμματος ροής που παρουσιάζονται στις εικόνες 21 και 22 αντίστοιχα. /* ----------------------------------------------------- Main Loop ---------------------------------------- */ while (count < gen_max) /* Halt after gen_max generations. */ { for (i=0; i<np; i++) /* Start loop through population. */ { /******* Mutate/Recombine ******/ do a=rnd_uni( )*NP; while (a==i) ; /* Randomly pick 3 vectors, */ do b=rnd_uni( )*NP; while (b==i b==a) ; /* all different */ do c=rnd_uni( )*NP; while (c==i c==a c==b) ; /* from i. */ j=rnd_uni( ) *D ; /* Randomly pick the first parameter. */ for (k=1; k<=d; k++) /* Load D parameters into trial[ ]. */ { /* Perform D-1 binomial trials. */ if (rnd_uni( ) < CR k==d) /* Source for trial[j] is */ { /* a random vector plus weighted differential, */ trial[j]=x1[c][j]+f*(x1[a][j] x1[b][j]) ; /* or */ } /* trial parameter comes from target vector */ else trial[j] = x1[i][j] ; /* x1[i][j] itself. */ j=(j+1)%d /* Get next parameter, modulo D. */ } /******* Evaluate/Select *******/ score=evaluate(trial) ; /* Evaluate trial with fitness function. */ if (score<=cost[i]) /* If trial[ ] improves on x1[i][ ], */ { for (j=0, j<d; j++) x2[i][j]=trial[j] ; /* move trial[ ] to secondary array */ cost[i] = score ; /* and store improved cost, */ } else for (j=0; j<d; j++) x2[i][j]=x1[i][j] ; */ otherwise, move x1[i][ ] to secondary array. */ } /* Mutate/recombine next primary array vector. */ */ --- End of population loop; swap arrays --- */ } for (i=0; i<np; i++) /* After each generation. */ { for (j=0; j<d; j++) x1[i][j]=x2[i][j]; /* move secondary array into primary array. */ } Count++; /* End of generation, increment counter. */ /*-------------------------------------------------- End of Main Loop --------------------------------------*/ Εικόνα 21. Ο αλγόριθμος της Διαφορικής Εξέλιξης σε ψευδοκώδικα 58

Εικόνα 22. Διάγραμμα Ροής του αλγόριθμου της Διαφορικής Εξέλιξης 3.2 Παραλλαγές της Διαφορικής Εξέλιξης Η στρατηγική που περιγράφηκε παραπάνω δεν είναι η μόνη παραλλαγή της Διαφορικής εξέλιξης που έχει αποδειχθεί χρήσιμη. Όπως αναφέρθηκε, ο αρχικός πληθυσμός εξελίσσεται σε κάθε γενιά με τη χρήση των τελεστών της μετάλλαξης, της διασταύρωσης και της επιλογής. Ανάλογα με τη μορφή αυτών των τελεστών, έχουν δημιουργηθεί στη βιβλιογραφία πολλές διαφορετικές στρατηγικές Διαφορικής Εξέλιξης, που διαφέρουν μόνο στον τρόπο με τον οποίο δημιουργούνται οι νέες λύσεις. Η επιλογή της καλύτερης στρατηγικής εξαρτάται από τη μορφή του προβλήματος. Προκειμένου να ταξινομηθούν οι διάφορες παραλλαγές, εισάγεται ο συμβολισμός Price και Storn (1997): DE/x/y/z όπου, x προσδιορίζει το διάνυσμα προς μετάλλαξη, που μπορεί να είναι rand (ένα τυχαία επιλεγμένο διάνυσμα πληθυσμού) ή best (το διάνυσμα χαμηλότερου κόστους από τον τρέχοντα πληθυσμό), 59

y είναι ο αριθμός των διανυσματικών διαφορών που χρησιμοποιούνται, και z υποδηλώνει τον τρόπο διασταύρωσης. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον συμβολισμό, ο κλασσικός αλγόριθμος της Διαφορικής Εξέλιξης που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να γραφτεί ως DE/rand/1/bin. Ο όρος rand δείχνει ότι τα διανύσματα βάσης επιλέχθηκαν τυχαία (randomly), το 1 δείχνει ότι χρησιμοποιήθηκε μία διανυσματική διαφορά και ο όρος bin δείχνει ότι ο αριθμός των παραμέτρων που δίνονται από το μεταλλαγμένο διάνυσμα ακολουθεί την διωνυμική κατανομή (binomial). 60

4 ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Στην παρούσα ενότητα αποτυπώνονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής του αλγορίθμου της Διαφορικής Εξέλιξης σε ένα σύνολο προβλημάτων που αναπτύχθηκαν για συγκριτική αξιολόγηση. 4.1 Ανάπτυξη αλγορίθμου Για την υλοποίηση των πειραμάτων αναπτύχθηκε κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C, με τη δομή που φαίνεται παρακάτω. 1 ΕΝΑΡΞΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ 2 Προσδιορισμός παραμέτρων ΔΕ: NP, D, Gmax, F, CR 3 Είσοδος δεδομένων προβλήματος από αρχείο 4 Δημιουργία τυχαίου πληθυσμού NP διανυσμάτων 5 Υπολογισμός κόστους κάθε μέλους του πληθυσμού 6 Γενιά = 1 7 ΟΣΟ γενιά < Gmax 8 ΓΙΑ κάθε μέλος του πληθυσμού ΕΠΑΝΑΛΑΒΕ 9 Δημιουργία δοκιμαστικού διανύσματος 10 Υπολογισμός κόστους δοκιμαστικού διανύσματος 11 Σύγκριση κόστους δοκιμαστικού διανύσματος και διανύσματος-στόχου 12 Ενημέρωση νέας γενιάς 13 ΤΕΛΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 14 Υπολογισμός κόστους κάθε μέλους 15 Εύρεση βέλτιστου μέλους 16 Γενιά = γενιά + 1 17 ΤΕΛΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 18 Εξαγωγή καλύτερου μέλους του πληθυσμού 19 ΤΕΛΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Ακολουθούν επεξηγήσεις για κάθε βήμα του αλγορίθμου. Βήμα 2: Η παράμετρος D ορίζει το μέγεθος των διανυσμάτων-μελών του πληθυσμού και είναι ίση με το πλήθος των εργασιών του έργου. Η παράμετρος ΝP ορίζει το μέγεθος του πληθυσμού και επιλέγεται ίση με D. Η παράμετρος Gmax δείχνει το πλήθος των γενεών, δηλαδή ουσιαστικά το πλήθος των επαναλήψεων που 61

θα πραγματοποιηθούν και επιλέγεται ίση με 100. Οι παράμετροι F και CR είναι σταθερές που χρησιμοποιούνται κατά τις φάσεις της μετάλλαξης και διασταύρωσης αντίστοιχα στην Διαφορική Εξέλιξη και υπολογίζονται δυναμικά σε κάθε γενιά ως εξής: όπου, F l =0.1, F u =0.9, r 1 = r 2 = 0.1 και rand j (j {1, 2, 3, 4}) ομοιόμορφα κατανεμημένοι τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα [0,1]. Για την πρώτη γενιά, αποδίδονται στις παραμέτρους οι αρχικές τιμές CR=0.9 και F=0.5, για όλα τα μέλη του πληθυσμού. Βήμα 3: Γίνεται ανάγνωση των δεδομένων του προβλήματος από ειδικά διαμορφωμένα αρχεία, που προέρχονται από την βιβλιοθήκη προβλημάτων που περιγράφεται στην επόμενη ενότητα. Βήμα 4: Παράγεται ο πληθυσμός NP διανυσμάτων διάστασης D από γεννήτρια τυχαίων αριθμών. Βήμα 5: Υπολογίζεται και αποθηκεύεται το αρχικό κόστος κάθε μέλους του πληθυσμού, από την αντικειμενική συνάρτηση. Βήμα 7-17: Υλοποιείται η Διαφορική Εξέλιξη για Gmax γενιές. Βήμα 8-13: Υλοποιούνται οι διαδικασίες της μετάλλαξης και διασταύρωσης για τη δημιουργία του δοκιμαστικού διανύσματος. Το δοκιμαστικό διάνυσμα αξιολογείται από την αντικειμενική συνάρτηση και το κόστος του συγκρίνεται με το κόστος του διανύσματος-στόχου, ώστε να γίνει η επιλογή. Αν το δοκιμαστικό διάνυσμα αποδίδει καλύτερα, αντικαθιστά το διάνυσμα-στόχο στον πληθυσμό. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται για κάθε μέλος του πληθυσμού. Βήμα 14-15: Υπολογίζεται το κόστος κάθε μέλους του πληθυσμού της τρέχουσας γενιάς και αποθηκεύεται η καλύτερη λύση. Βήμα 16: Αυξάνεται ο δείκτης της γενιάς και η διαδικασία επαναλαμβάνεται. Βήμα 18: Εξάγεται το καλύτερο διάνυσμα του πληθυσμού, δηλαδή εκείνο με το βέλτιστο κόστος, και ολοκληρώνεται ο αλγόριθμος. 4.2 Διεθνώς γνωστό σύνολο πειραμάτων αναφοράς Η εκτίμηση της απόδοσης της Διαφορικής Εξέλιξης πραγματοποιήθηκε με εφαρμογή σε ένα διεθνώς γνωστό σύνολο πειραμάτων αναφοράς (benchmark test problems), που έχει δημιουργηθεί από τους Kolish & Sprecher (1996), ακριβώς για 62

αξιολόγηση αλγορίθμων επίλυσης του προβλήματος χρονοπρογραμματισμού με περιορισμένους πόρους. Τα σύνολα αξιολόγησης δημιουργήθηκαν συστηματικά από την πρότυπη γεννήτρια έργων ProGen, και χαρακτηρίζονται από τις παραμέτρους εισόδου της. Η βιβλιοθήκη περιλαμβάνει τέσσερις περιπτώσεις προβλημάτων με 30, 60, 90 και 120 εργασίες αντίστοιχα. Καθένα σύνολο αποτελείται από 10 προβλήματα για διαφορετικούς συνδυασμούς μεταβλητών παραμέτρων. Πιο αναλυτικά, τα σύνολα των 30, 60 και 90 εργασιών, περιλαμβάνουν 48 συνδυασμούς παραμέτρων, άρα δίνονται συνολικά 480 προβλήματα, ενώ το σύνολο των 120 εργασιών περιλαμβάνει 60 συνδυασμούς παραμέτρων, καταλήγοντας στα 600 προβλήματα συνολικά. Από αυτά έχουν επιλεγεί τυχαία 3 συνδυασμοί από κάθε σύνολο, ώστε να εκτελεσθούν 4*3*10=120 πειράματα. Τα προσφερόμενα αρχεία έχουν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες για το δίκτυο του έργου, δηλαδή τις σχέσεις προήγησης μεταξύ των εργασιών, για τις ανάγκες σε πόρους κάθε εργασίας και για τη διαθεσιμότητα καθενός από τους τέσσερις ανανεώσιμους πόρους. Επιπλέον, δίνονται τέσσερα αρχεία, ένα για κάθε σύνολο των 30, 60, 90 και 120 εργασιών, με τις βέλτιστες τιμές της αντικειμενικής συνάρτησης κάθε προβλήματος, όπου αντικειμενική συνάρτηση είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου εκτέλεσης του έργου. Πιο συγκεκριμένα, για το σύνολο προβλημάτων των 30 εργασιών έχει υπολογιστεί η βέλτιστη λύση με ακριβείς μεθόδους βελτιστοποίησης, που περιγράφονται από τους Demeulemeester & Herroelen (1995). Για το σύνολο προβλημάτων των 60 εργασιών, που δεν μπορεί να λυθεί με ακριβείς μεθόδους επίλυσης, δίνονται τα άνω όρια (upper bounds) και κάτω όρια (lower bounds). Τα άνω όρια έχουν υπολογιστεί με την ευρετική μέθοδο που αναφέρεται στο Kolisch & Drexl (1996). Τα κάτω όρια έχουν υπολογιστεί με τις μεθόδους που δίνονται από τους Brucker & Knust (1998a), Heilmann & Schwindt (1997a) και Klein & Scholl (1997). Για το σύνολο προβλημάτων των 90 εργασιών, που επίσης δεν μπορεί να λυθεί με ακριβείς μεθόδους, δίνονται τα άνω όρια (upper bounds) με την ίδια ευρετική μέθοδο των Kolisch & Drexl (1996), και κάτω όρια (lower bounds) υπολογίστηκαν από τους Brucker & Knust (1998b) και Heilmann & Schwindt (1997b). Τέλος, για το σύνολο των 120 εργασιών ακολουθήθηκε παρόμοια λογική, με υπολογισμό άνω και κάτω ορίων. Γενικά, εάν τα άνω και κάτω όρια που υπολογίζονται με τις ευρετικές μεθόδους συμπίπτουν, θεωρείται ότι η βέλτιστη λύση έχει επαληθευτεί. Για τα πειράματα προτιμήθηκαν τα προβλήματα αυτής της κατηγορίας, με γνωστή τη βέλτιστη λύση, ώστε να γίνει η σύγκριση με τα αποτελέσματα της μεθόδου της διαφορικής εξέλιξης. 63

4.3 Αποτελέσματα Στους πίνακες που ακολουθούν παρουσιάζονται συγκεντρωμένα τα αποτελέσματα από την εφαρμογή της μεθόδου της Διαφορικής Εξέλιξης για τον χρονοπρογραμματισμό έργων. Όλα τα προβλήματα επιλύθηκαν τρεις φορές με διαφορετικά κριτήρια απόδοσης, τα οποία χρησιμοποιήθηκαν ως κριτήρια επιλογής κατά την αντίστοιχη φάση του αλγόριθμου Διαφορικής Εξέλιξης. Έτσι, η απόδοση της μεθόδου αξιολογήθηκε: i. Με κριτήριο την ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου εκτέλεσης του έργου (min Cmax). Η διάρκεια του έργου υπολογίστηκε με τη μέθοδο της σειριακής ανάθεσης πόρων στις δραστηριότητες, όπως περιγράφηκε στην 2.3. ii. Με κριτήριο την ελαχιστοποίηση της ανισορροπίας στην κατανομή των πόρων (min IB). Ως ανισορροπία (Inbalance, ΙΒ) θεωρήθηκε η σχέση όπου, MAX R (MIN R ) είναι η μέγιστη (ελάχιστη) ποσότητα χρήσης του πόρου R στη διάρκεια εκτέλεσης του έργου, και q = 4 είναι το πλήθος των ανανεώσιμων πόρων. Όπως φαίνεται και στην εικόνα 23, την 9 η και 10 η ημέρα απαιτείται η μικρότερη ποσότητα πόρου (3 μονάδες), ενώ την 3 η και 4 η ημέρα απαιτείται η μεγαλύτερη ποσότητα πόρου (9 μονάδες). Η διαφορά της μέγιστης από την ελάχιστη ποσότητα χρήσης του πόρου, ορίζει το μέγεθος της ανισορροπίας πόρου: ΙΒ = 9 3 = 6. Εικόνα 23. Ανισορροπία κατανομής ενός πόρου 64

iii. Με πολυκριτηριακό μοντέλο, με συνδυασμό των προηγούμενων δύο κριτηρίων (min F). Ως αντικειμενική συνάρτηση θεωρήθηκε η όπου, x είναι το διάνυσμα x στον πληθυσμό, και w 1, w 2 είναι συντελεστές βαρύτητας που καθορίζουν την σημαντικότητα κάθε κριτηρίου. Οι συγκεκριμένοι συντελεστές υπολογίζονται ως εξής:, όπου, random1, random2 είναι τυχαίοι αριθμοί στο διάστημα (0,1). Στην αρχή κάθε νέας γενιάς, παράγονται οι τυχαίοι αριθμοί και υπολογίζονται οι συντελεστές βαρύτητας. Στους Πίνακες 1, 2, 3 και 4 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των προβλημάτων 30, 60, 90 και 120 εργασιών αντίστοιχα. Στην πρώτη στήλη αναγράφεται ο αύξων αριθμός του προβλήματος. Η δεύτερη και τρίτη στήλη αφορούν στο πρώτο κριτήριο (ελαχιστοποίησης του συνολικού χρόνου εκτέλεσης του έργου Cmax) και δείχνουν τη βέλτιστη λύση που επιτεύχθηκε (min Cmax) και την αντίστοιχη ανισορροπία πόρων στη λύση αυτή (IB). Η τέταρτη και πέμπτη στήλη αφορούν στο δεύτερο κριτήριο (ελαχιστοποίησης της ανισορροπίας κατανομής των πόρων IB) και δείχνουν τη βέλτιστη λύση που επιτεύχθηκε (min ΙΒ) και την αντίστοιχη διάρκεια έργου στη λύση αυτή (Cmax). Τέλος, οι τρεις τελευταίες στήλες αφορούν στο πολυκριτηριακό μοντέλο και δείχνουν τη βέλτιστη λύση που επιτεύχθηκε (min F) και τις τιμές της διάρκειας έργου (Cmax) και ανισορροπίας πόρων (IB) στην λύση αυτή. 65

Κριτήριο [i] [ii] [iii] Πρόβλημα min Cmax IB Cmax min IB min F Cmax IB 1 43 41 61 33 33,582 61 33 2 50 44 64 42 42,643 64 42 3 51 40 51 40 40,187 51 40 4 62 43 74 41 41,620 74 41 5 40 38 46 37 38,046 40 38 6 49 41 49 41 41,033 49 41 7 64 39 64 39 39,472 64 39 8 57 43 57 43 43,126 57 43 9 51 45 51 45 45,007 51 45 10 47 39 47 39 39,577 47 39 11 55 70 55 70 55,013 55 70 12 42 88 46 86 42,688 42 88 13 42 77 49 71 43,514 42 77 14 49 82 49 82 49,642 49 82 15 44 80 47 72 45,519 44 80 16 35 96 35 95 35,677 35 95 17 52 65 52 65 52,551 52 65 18 44 67 47 66 44,480 44 67 19 60 70 65 68 60,148 60 70 20 50 86 54 77 50,129 50 86 21 80 45 91 43 45,063 99 44 22 73 48 85 44 44,461 87 44 23 90 51 94 44 45,713 97 44 24 86 46 96 42 43,033 96 43 25 82 46 116 41 45,162 94 45 26 76 45 105 41 43,784 88 43 27 92 50 98 46 46,696 98 46 28 72 46 87 41 42,055 79 42 29 57 45 69 40 40,865 75 40 30 82 45 90 42 43,171 86 43 Πίνακας 1. Αποτελέσματα εφαρμογής ΔΕ σε προβλήματα 30 εργασιών 66

Κριτήριο [i] [ii] [iii] Πρόβλημα min Cmax IB Cmax min IB min F Cmax IB 1 82 46 83 45 46,303 83 46 2 68 56 97 42 50,805 96 48 3 70 60 75 59 60,122 79 59 4 91 54 101 53 53,049 101 53 5 73 46 80 44 45,834 78 45 6 66 53 70 49 50,820 74 49 7 73 51 82 47 48,008 94 48 8 76 50 91 46 47,416 86 47 9 88 51 91 49 49,047 91 49 10 80 47 87 45 45,988 91 45 11 85 96 89 91 85,022 85 99 12 64 141 75 129 75,428 70 139 13 72 104 75 101 74,860 74 108 14 80 86 81 86 81,103 80 87 15 79 107 86 103 79,253 79 114 16 70 128 80 117 72,856 72 129 17 70 101 75 101 74,301 74 119 18 66 94 72 91 69,297 69 103 19 79 116 84 109 82,278 80 121 20 73 121 74 120 76,078 73 122 21 83 120 92 113 88,009 86 120 22 79 97 83 91 81,030 81 100 23 82 95 86 88 84,000 84 84 24 78 93 85 88 81,092 80 96 25 95 80 100 77 80,057 99 80 26 94 78 94 73 74,449 98 73 27 82 89 88 74 76,741 84 75 28 78 89 82 81 80,594 80 83 29 71 96 72 95 76,337 74 107 30 91 75 94 72 77,060 96 75 Πίνακας 2. Αποτελέσματα εφαρμογής ΔΕ σε προβλήματα 60 εργασιών 67

Κριτήριο [i] [ii] [iii] Πρόβλημα min Cmax IB Cmax min IB min F Cmax IB 1 76 56 93 54 56,303 85 55 2 92 57 114 55 58,824 111 56 3 68 52 76 51 52,004 83 52 4 89 55 101 54 55,081 95 55 5 92 53 107 51 55,053 112 52 6 76 54 100 52 53,031 100 52 7 93 55 102 54 56,081 102 54 8 97 58 110 54 57,527 125 56 9 75 64 86 62 64,001 87 63 10 95 61 129 58 61,167 101 60 11 96 59 134 53 58,504 129 56 12 114 52 117 52 54,301 114 52 13 95 60 106 59 60,843 106 59 14 97 55 114 54 55,238 98 55 15 118 53 133 49 53,056 122 51 16 98 54 106 52 53,057 110 53 17 84 52 88 50 52,718 89 52 18 118 52 125 50 50,390 133 50 19 99 53 112 51 53,014 104 53 20 92 56 110 52 53,206 111 52 21 102 53 114 50 51,465 114 51 22 113 53 129 50 50,839 128 50 23 108 51 140 47 55,391 148 48 24 94 55 98 53 55,613 100 54 25 116 52 126 48 51,521 124 51 26 88 57 93 56 56,349 111 56 27 110 47 123 47 47,454 115 47 28 113 50 123 45 48,209 130 46 29 96 52 112 47 50,927 109 48 30 116 54 133 53 55,047 119 54 Πίνακας 3. Αποτελέσματα εφαρμογής ΔΕ σε προβλήματα 90 εργασιών 68

Κριτήριο [i] [ii] [iii] Πρόβλημα min Cmax IB Cmax min IB min F Cmax IB 1 88 67 113 64 67,305 113 66 2 79 65 90 62 65,007 83 64 3 97 68 106 65 68,678 117 67 4 97 58 111 54 56,868 112 56 5 107 59 116 58 59,095 138 58 6 94 66 103 65 68,759 99 66 7 92 57 100 57 60,463 114 60 8 87 63 109 58 62,357 100 62 9 98 61 126 56 61,076 129 59 10 104 69 122 66 67,127 115 67 11 108 60 142 57 59,942 131 59 12 114 67 129 65 66,184 127 66 13 101 64 114 60 61,109 119 61 14 92 63 105 60 63,171 102 63 15 98 64 139 60 63,781 122 62 16 110 58 119 56 56,569 124 56 17 133 54 156 49 57,134 161 52 18 108 64 121 62 65,619 146 62 19 112 63 124 61 62,092 135 62 20 80 69 91 66 67,055 89 66 21 106 67 111 65 67,020 111 85 22 120 60 129 59 60,458 127 59 23 98 62 110 61 61,508 110 61 24 105 71 119 67 71,662 117 68 25 109 66 128 62 65,143 124 64 26 100 66 111 63 64,152 113 64 27 127 67 145 64 66,020 147 65 28 116 70 127 67 68,758 126 68 29 107 71 113 68 69,043 116 69 30 113 63 131 58 61,421 131 59 Πίνακας 4. Αποτελέσματα εφαρμογής ΔΕ σε προβλήματα 120 εργασιών 69

Στη συνέχεια, παρουσιάζονται οι καλύτερες λύσεις που βρέθηκαν με τη μέθοδο της Διαφορικής Εξέλιξης, με αντικειμενική συνάρτηση την ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου εκτέλεσης του έργου Cmax, σε σύγκριση με τις βέλτιστες λύσεις που δίνονται ως αναφορά για το σύνολο των προβλημάτων της βιβλιοθήκης. Τα αποτελέσματα χωρίζονται πάλι σε 4 πίνακες, ανάλογα με το πλήθος των εργασιών των προβλημάτων. Έτσι, στους πίνακες 5-8 φαίνεται η μέχρι σήμερα καλύτερη λύση που εντοπίστηκε (στήλη Optimal ) και η καλύτερη λύση που υπολογίστηκε από τη Διαφορική Εξέλιξη (στήλη DE ). Ακόμη, παρουσιάζεται η διαφορά της βέλτιστης λύσης από την Διαφορική Εξέλιξη σε απόλυτες μονάδες (στήλη DE - Opt ) και ποσοστιαία (στήλη DE - Opt % ). Επιπλέον, για καθένα πίνακα παρουσιάζονται οι καμπύλες της λύσης της Διαφορικής Εξέλιξης (DE Cmax), συγκριτικά με την καλύτερη λύση (DE Optimal) στις εικόνες 24-27. 70

Πρόβλημα Optimal DE DE - Opt DE - Opt % 1 43 43 0 0,00% 2 47 50 3 6,38% 3 47 51 4 8,51% 4 62 62 0 0,00% 5 39 40 1 2,56% 6 48 49 1 2,08% 7 60 64 4 6,67% 8 53 57 4 7,55% 9 49 51 2 4,08% 10 45 47 2 4,44% 11 55 55 0 0,00% 12 42 42 0 0,00% 13 42 42 0 0,00% 14 44 49 5 11,36% 15 44 44 0 0,00% 16 35 35 0 0,00% 17 50 52 2 4,00% 18 44 44 0 0,00% 19 60 60 0 0,00% 20 49 50 1 2,04% 21 79 80 1 1,27% 22 69 73 4 5,80% 23 81 90 9 11,11% 24 83 86 3 3,61% 25 80 82 2 2,50% 26 73 76 3 4,11% 27 92 92 0 0,00% 28 72 72 0 0,00% 29 57 57 0 0,00% 30 81 82 1 1,23% Πίνακας 5. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 30 εργασιών 71

Πρόβλημα Optimal DE DE - Opt DE - Opt % 1 77 82 5 6,49% 2 68 68 0 0,00% 3 68 70 2 2,94% 4 91 91 0 0,00% 5 73 73 0 0,00% 6 66 66 0 0,00% 7 72 73 1 1,39% 8 75 76 1 1,33% 9 85 88 3 3,53% 10 80 80 0 0,00% 11 85 85 0 0,00% 12 62 64 2 3,23% 13 72 72 0 0,00% 14 80 80 0 0,00% 15 79 79 0 0,00% 16 67 70 3 4,48% 17 69 70 1 1,45% 18 65 66 1 1,54% 19 73 79 6 8,22% 20 73 73 0 0,00% 21 79 83 4 5,06% 22 78 79 1 1,28% 23 79 82 3 3,80% 24 74 78 4 5,41% 25 91 95 4 4,40% 26 90 94 4 4,44% 27 78 82 4 5,13% 28 75 78 3 4,00% 29 69 71 2 2,90% 30 88 91 3 3,41% Πίνακας 6. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 60 εργασιών 72

Πρόβλημα Optimal DE DE - Opt DE - Opt % 1 73 76 3 4,11% 2 92 92 0 0,00% 3 66 68 2 3,03% 4 86 89 3 3,49% 5 87 92 5 5,75% 6 74 76 2 2,70% 7 91 93 2 2,20% 8 95 97 2 2,11% 9 72 75 3 4,17% 10 90 95 5 5,56% 11 92 96 4 4,35% 12 100 114 14 14,00% 13 89 95 6 6,74% 14 94 97 3 3,19% 15 113 118 5 4,42% 16 94 98 4 4,26% 17 80 84 4 5,00% 18 113 118 5 4,42% 19 96 99 3 3,13% 20 89 92 3 3,37% 21 99 102 3 3,03% 22 112 113 1 0,89% 23 108 108 0 0,00% 24 92 94 2 2,17% 25 109 116 7 6,42% 26 88 88 0 0,00% 27 109 110 1 0,92% 28 110 113 3 2,73% 29 95 96 1 1,05% 30 114 116 2 1,75% Πίνακας 7. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 90 εργασιών 73

Πρόβλημα Optimal DE DE - Opt DE - Opt % 1 87 88 1 1,15% 2 75 79 4 5,33% 3 92 97 5 5,43% 4 95 96 1 1,05% 5 103 107 4 3,88% 6 92 94 2 2,17% 7 90 90 0 0,00% 8 83 86 3 3,61% 9 94 98 4 4,26% 10 96 104 8 8,33% 11 101 108 7 6,93% 12 107 114 7 6,54% 13 96 101 5 5,21% 14 90 92 2 2,22% 15 93 98 5 5,38% 16 103 110 7 6,80% 17 133 133 0 0,00% 18 103 108 5 4,85% 19 109 112 3 2,75% 20 79 80 1 1,27% 21 105 106 1 0,95% 22 120 120 0 0,00% 23 95 98 3 3,16% 24 105 105 0 0,00% 25 105 109 4 3,81% 26 98 100 2 2,04% 27 122 127 5 4,10% 28 115 116 1 0,87% 29 105 107 2 1,90% 30 113 113 0 0,00% Πίνακας 8. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 120 εργασιών 74

Εικόνα 24. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 30 εργασιών Εικόνα 25. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 60 εργασιών 75

Εικόνα 26. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 90 εργασιών Εικόνα 27. Σύγκριση λύσης ΔΕ με βέλτιστη λύση για προβλήματα 120 εργασιών 76