Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1

ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε σύνολο πραγματικών αριθμών; Πώς συμβολίζεται; Το σύνολο που αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, ονομάζεται σύνολο των πραγματικών αριθμών. Συμβολίζεται με το γράμμα ή με το όταν δεν περιέχει το μηδέν. Οι πραγματικοί αριθμοί παριστάνονται με τα σημεία ενός άξονα: 5 O 5 π -5-4 -3 - -1 0 1 3 4 5

. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς προσθέτουμε πραγματικούς αριθμούς; Πρόσθεση ομόσημοι αριθμοί προσθέτουμε τις απόλυτες Βάζουμε το κοινό πρόσημο τιμές + 5 + 7 5 7 5 + 7 = 1 5 + 7 = 1 + 1 1 ετερόσημοι αριθμοί αφαιρούμε τις απόλυτες τιμές βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή 5 + 7 + 5 7 7 5 = 7 5 = + 3. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς πολλαπλασιάζουμε πραγματικούς αριθμούς; Πολλαπλασιασμός ομόσημοι αριθμοί 3 5 (-3) (-5) ετερόσημοι αριθμοί (-3) (+5) (+3) (-5) πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές 3 5 = 15 3 5 = 15 πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές 3 5 = 15 3 5 = 15 Βάζουμε πρόσημο + + 15 + 15 Βάζουμε πρόσημο - 15-15 3

4. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού; ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Αντιμεταθετική α + β = β + α α β = β α Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α (β γ) = (α β) γ α + 0 = α α + (-α) = 0 α 1 = α α 1 α = 1, α 0 Επιμεριστική α (β + γ) = α β + α γ 5. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς αφαιρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς; Για να αφαιρέσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς προσθέτουμε στο μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Δηλαδή: α β = α + (-β) Π.χ. α) + 10 (-4) = + 10 + (4) = 14 β) 8 (+3) = - 8 + (- 3) = - 11 4

6. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς διαιρούμε δύο πραγματικούς αριθμούς; Για να διαιρέσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε το διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη. Δηλαδή: α : β = α 1 β με β 0 π.χ. α) (- 5) : 3 = - 5 1 3 = - 5 3 β) 8 : (- 4) = - 8 (- 1 4 ) = + 8 4 = ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τα εξαγόμενα: α) (- 3 5 + 1-5 3 ) + ( 3 5-11 5 ) ( 7 15-1) β) [(- 10) : 4 (- 3)] : [- 6 (- 3)] γ) 4 [- (- ) 3] 10 + [- 6 : (- )]. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) Α = 3-1+ 5 3 1 - +1-3 6 7 6-3 7 γ) γ = 11 55: 3 3-1- β) Β = 3 3 1-4 5

3. Χωρίς να κάνετε τους πολλαπλασιασμούς να βρείτε ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις έχουν: i) ίσες τιμές, ii) αντίθετες τιμές α) Α = (-3,5) (-,5) (-1,5) (-0,5) β) Β = 3,5 (-,5) (-1,5) 0,5 γ) Γ = (-3,5) (-,5) (-1,5) 0,5 δ) Δ = -3,5,5 1,5 0,5 4. Αν x = -1 και y = - να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης: Α = (3x y) (-x) (x 3y) (-3y) + xy 1 5. Αν οι αριθμοί x y + 3ω και y x + 3φ είναι αντίθετοι να αποδείξετε ότι και οι αριθμοί ω και φ είναι αντίθετοι. 6

Β. Δυνάμεις πραγματικών αριθμών 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται νιοστή δύναμη α ν, με ν φυσικό, ενός πραγματικού αριθμού α; Η δύναμη α ν ορίζεται ως εξής: α ν = α. α. α.. α αν ν 1 ν παράγοντες α 0 = 1 αν ν = 0 α 1 = α αν ν = 1 α -ν 1 = ν α με α 0 και ν = 1,, 3,. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων; Αν οι εκθέτες μ, ν είναι ακέραιοι έχω: α) α μ α ν = α μ+ν β) α μ : α ν = α μ-ν γ) α ν β ν = (α β) ν δ) ν α ν β = ν α β, β 0 ε) (α μ ) ν μ = ν α στ) α β -ν = β α ν, α 0, β 0 7

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε την παράσταση: Α = (-7 + 5) 3 [- (8 4) + 3 3 ]. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: α) 3 3-5 β) 5 13 5 - : 5 9 1 γ) 3-4 10 δ) 4 5 7 4 5 7 3. Αν x = - 1 και y = - να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α) (x ) β) (x y) 005 γ) (y x) 005 δ) (3x y) 10 ε) x 3 3xy στ) x 3y 3 4. Να κάνετε τις πράξεις: α) 4α β -3 γ - 1 9 α 5 β 3 γ 1α -1 β γ 0 4α β β) γ δ -3 4-1 -3 0α γ : 4 β δ 5. Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: (-3) (-) (-3) (-) α) Α = -1 1 1 0 - (-) (-3) 3-4 3 α β) Β = β 3 6β 3α α 4β 6. Να υπολογίσετε την παράσταση: Α = (-) 4 3 + [(-4 8) : (-3) 7 (-1) 004 ] 3 8

7. Να εκφράσετε την παράσταση σαν μία δύναμη του. 1 Α = 16-5 3 5 56-8. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x = 17 β) x x+1 1 = 3 γ) (-3) 5x+ = -7 δ) (5 - ) 3 1-3 5 ε) 4 - x 5 = 8 στ) x -3 = 1 5 x +1 = 1 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (5 - ) 3 1-3 5 x = 1 β) 4 - x 5 = 8 γ) (10-3 ) 10 4 x = 10-1 δ) 0,0001x = 0,01 9

Γ. Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α; Πώς συμβολίζεται; Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α είναι ο θετικός αριθμός x που αν υψωθεί στο τετράγωνο, μας δίνει τον αριθμό α. Συμβολίζεται με α. Δηλαδή: α= x αν και μόνο αν x = α, με x > 0. Ορίζουμε ακόμα ότι 0 = 0. Π.χ. α) 9 = 3 γιατί 3 = 9 β) 144 = 1 γιατί 1 = 144 Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α ισχύει: α = α π.χ. (-3) = 3 = 3. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιες είναι οι ιδιότητες των ριζών; α) α β = α β με α 0, β 0 10

Απόδειξη Υψώνουμε κάθε μέλος της ισότητας στο τετράγωνο και έχουμε: ( α β) = ( α ) ( β) = α β ( α β) = α β Άρα (( α β) = ( α β) Άρα α β = α β β) α β = α β με α 0, β > 0 3. ΕΡΩΤΗΣΗ Ισχύει η ισότητα: α + β = α+β, με α > 0, β > 0. ΟΧΙ!!!! Δηλαδή: α + β α+β π.χ. 36 + 64 = 6 + 8 = 14 36+64 = 100 = 10 Άρα 36 + 64 36+64 Η ισότητα α + β = α+β ισχύει μόνο όταν τουλάχιστον ένας από τους α, β είναι μηδέν. 11

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) 5-4 5 + 3 5 β) 8-5 - 3 - γ) 6 3-5 + 3-4 3 δ) 7-3 - 4 3 + 3 3. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων: α) 3 3 5 6 β) 5 3 5 1 6 γ) 3 δ) 75 48 3. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 5 8 0 β) 3 7 1 γ) 1 4 3 δ) 18 5 4. Να αποδείξετε ότι α) ( 1 + 75 ) ( 48-7 ) = 1 β) 108 15 + 1 0 8 6 + 3 4 = 11 5. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 5 1-7 + 48 β) 7 18-3 + 6 50 γ) 3 8-7 + 63-75 δ) 3 + 45 + 8 + 15 1

6. Αν α = 3 - και β = 3 + να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων: α) α + β β) α β γ) α β δ) α + β 7. Να κάνετε τις πράξεις: α) ( 7-5 )( 7 + 7 ) β) ( - 1)( +1) 8. Να μετατρέψετε τα κλάσματα σε ισοδύναμα με ρητό παρονομαστή: α) 3 β) 3 5 γ) 5 7 δ) 3 5 ε) 1+ στ) + 3 3 9. Αν α = 50 10-10 και β είναι η ρίζα της εξίσωσης 3 x - 7 3 = 0 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = + 71-β - 100+α 13

1. ΜΟΜΩΝΥΜΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΜΟΜΩΝΥΜΑ Α. Αλγεβρικές παραστάσεις Μονώνυμα 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιες παραστάσεις λέγονται αλγεβρικές; Τι λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης; Αλγεβρικές παραστάσεις λέγονται οι παραστάσεις που περιέχουν αριθμούς και μεταβλητές που συνδέονται με τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων. Αν σε μία αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουμε τις μεταβλητές με αριθμούς και εκτελέσουμε τις πράξεις που σημειώνονται, προκύπτει ένας αριθμός που λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης.. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι λέγεται μονώνυμο; Μονώνυμα λέγονται οι αλγεβρικές παραστάσεις που οι αριθμοί και μεταβλητές συνδέονται μόνο με την πράξη του πολλαπλασιασμού. Ο αριθμητικός παράγοντας λέγεται συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μεταβλητών λέγεται κύριο μέρος του μονωνύμου. Τα μονώνυμα με το ίδιο κύριο μέρος λέγονται όμοια Π.χ. 5x y 3 α 4 και -10x y 3 α 4. 3. ΕΡΩΤΗΣΗ Tι λέγεται βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή και τι βαθμός μονωνύμου; 14

Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή λέγεται ο εκθέτης της μεταβλητής αυτής και Βαθμός μονωνύμου λέγεται το άθροισμα των εκθετών των μεταβλητών του π.χ. Το 4x 3 y είναι: 3 ου βαθμού ως προς x 1 ου βαθμού ως προς y 4 ου βαθμού ως προς x και y 4. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιά μονώνυμα λέγονται όμοια, ποιά ίσα και ποιά αντίθετα ; Όμοια λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Ίσα λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος και ίδιο συντελεστή. Αντίθετα λέγονται τα μονώνυμα που έχουν το ίδιο κύριο μέρος και αντίθετο συντελεστή. π.χ. όμοια: 4x 3 y αντίθετα: 4x 3 y και 7x 3 y και -4x 3 y 5. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιά μονώνυμα λέγονται σταθερά και ποιο είναι το μηδενικό μονώνυμο; Όλοι οι αριθμοί λέγονται σταθερά μονώνυμα και είναι μηδενικού βαθμού. Ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό. 15

Β. Πράξεις με μονώνυμα 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς ορίζεται το άθροισμα μονωνύμων; Το άθροισμα μονωνύμων ορίζεται μόνο όταν τα μονώνυμα είναι όμοια και ισούται με ένα όμοιο μονώνυμο με αυτά, το οποίο, έχει συντελεστή το άθροισμα των συντελεστών τους. Π.χ. 3x y + 5x y = 8x y. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς ορίζεται ο πολλαπλασιασμός μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είναι ένα μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους και ως κύριο μέρος όλες τις μεταβλητές με εκθέτη σε καθεμιά το άθροισμα των εκθετών της. Π.χ. α β 3αβ 3 x = 6α 3 β 4 x 3. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς ορίζεται η διαίρεση μονωνύμων; Η διαίρεση μονωνύμων γίνεται, όπως και στους αριθμούς, με πολλαπλασιασμό επί τον αντίστροφο του διαιρέτη. Π.χ. (8α β) : 4αβ = 8α β 1 4αβ = 8αβ 4αβ = α Οι εκθέτες στις μεταβλητές ενός μονωνύμου είναι φυσικοί αριθμοί. Το πηλίκο μονωνύμων δεν είναι πάντα μονώνυμο. 16

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε την αριθμητική τιμή της παράστασης Α = xy x y + xy + 005 για α) x = 10 και y = 0 β) x = 0 και y = 10 γ) x = -10 και y = 10 δ) x = 0 και y = 0. Να βρείτε ποιες από τις παραστάσεις είναι μονώνυμα: α) (1 + )αβ β) x 3 y - γ) α β + αβ δ) 1 3 xy 3. Να κάνετε τις πράξεις: α) 5x + 3x x β) 7κ κ κ γ) 0,8y 0,7y + y 1 3 3 3 3 δ) ω ω + ω 4. Να κάνετε τις πράξεις: α) 3xy xy xy β) 1 3 α β - 1 α β + α β γ) αβγ αβγ + 3αβγ δ) 1,5x y 0,5x y + x y 5. Να βρείτε τα γινόμενα: α) 4x 5x β) 3y 3 y γ) x 3 y 1 x y 3 δ) xy 3 (- 1 xy) 4yx 4 ε) (-xy) (-x) (-3x 3 ) στ) (- 1 3 x ) (- 3 x 3 ) (-x) ζ) (-x) (-y ) η) (-x) (-y) (-ω) (-z) 17

6. Να κάνετε τις πράξεις: α) 16x : 8x β) 0xyω : - 5x γ) 60xy ω : 1 x δ) 5xy 3 ω : (15x y) ε) 36xyω 3 : (-x y ) στ) x y 3 : (xy) 7. Να βρείτε τους ακέραιους κ, λ ώστε η παρακάτω αλγεβρική παράσταση να είναι μονώνυμο και στη συνέχεια να βρείτε το μονώνυμο. 3 x y κ-1-1 x λ- y 18

1.3ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ-ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΌΡΩΝ 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι λέγεται πολυώνυμο; Πολυώνυμο λέγεται μία αλγεβρική παράσταση όταν είναι άθροισμα ανόμοιων μονωνύμων. Π.χ. 3α β 4αβ + αβx 5αxy. ΕΡΩΤΗΣΗ Tι λέγεται βαθμός πολυωνύμου ως προς μια μεταβλητή και τι βαθμός πολυωνύμου; Βαθμός πολυωνύμου ως προς μια η περισσότερες μεταβλητές του είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του. π.χ. Το πολυώνυμο 5x 3 y 3x y + 4xy είναι : 3 ου βαθμού ως προς x ου βαθμού ως προς y 5 ου βαθμού ως προς x και y 3. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιά πολυώνυμα λέγονται σταθερά και ποιο είναι το μηδενικό πολυώνυμο; Όλοι οι αριθμοί λέγονται σταθερά πολυώνυμα και είναι μηδενικού βαθμού. Ο αριθμός 0 λέγεται μηδενικό μονώνυμο και δεν έχει βαθμό. 19

4. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι λέγεται αναγωγή ομοίων όρων; Αναγωγή ομοίων όρων λέγεται η αντικατάσταση των ομοίων όρων του με το άθροισμά τους. Παράδειγμα 3α 5αβ + 6αβ α + 4 = (3 1)α + (-5 + 6)αβ + 4 = α + αβ + 4 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάνετε τις αναγωγές ομοίων όρων α) 3x y x + 4y β) 1 5 x - 1 y 3 + 1 10 x - 1 4 y 3 γ) 4x 3x 3x + x δ) 3x xy + y x xy + 3y. Να κάνετε τις αναγωγές ομοίων όρων α) 3x 3y xy + xy x y x y + xy β) 7α 3 β αβ 3 + 5αβ 5α 3 β 3αβ + αβ 3 γ) 3κλ 4κ λ κλ κλ + 3κ λ + κλ 3. Αν x = -1 και y = 1 να βρείτε την αριθμητική τιμή του πολυωνύμου: 5x 3 y 3x y + 4xy xy 7x y 3 4. Να κάνετε τις πράξεις και να γράψετε τις παραστάσεις σε απλούστερη μορφή: α) 3x (x y) + y β) (x 3y) + (y 3x) γ) (xy x y) x + y (-x) δ) x (x xy) (x + xy + x ) 5. Να κάνετε τις πράξεις και να γράψετε τις παραστάσεις σε απλούστερη μορφή: α) 5x [- (x + y) (x y)] (x + y) β) x [(x 3y) 6y (x 5y)] γ) 3x y [ - (x + y ) 3y] [(x + y) y ] 1

1.4 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς γίνεται ο πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο; Για να πολλαπλασιάσουμε μονώνυμο με πολυώνυμο, πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Ο πολλαπλασιασμός μονωνύμου με πολυώνυμο στηρίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα: α (β + γ) = α β + α γ π.χ. 3x(α + 3x y 4) = 6xα + 9x 3 y 1x. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς γίνεται ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμων; Για να πολλαπλασιάσουμε δύο πολυώνυμα, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός, με κάθε όρο του άλλου και προσθέτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν. Ο πολλαπλασιασμός πολυωνύμων βασίζεται στην επιμεριστική ιδιότητα: (α+β) (γ+δ)=αγ+αδ+βγ+βδ π.χ. (3x y) (9x + y ) = 7x 3 + 3x y 18xy y 3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάνετε τις πράξεις: α) 3(α β) β) 5(α αβ) γ) 3(α 3β) (α + β) δ) 5(α 3) 6(β 1) ε) (α β αβ) 3 (β 1) στ) 1 3 (9α 3β) - 1 (4α β). Να κάνετε τις πράξεις: α) α (α + β 1) 3β (α β + ) β) 3α + α (α 1) 5 (α ) γ) α + 3α (α + ) 6α (α + αβ) α β 3. Να κάνετε τις πράξεις: α) (α β) (α + β) (α + β) (-α + 3β) β) (-α β) (α β) ( -α + β) (α β 1) α β γ) (α 3β) (α + 3β) 3(α β ) + 4(α αβ + β ) 4. Να κάνετε τις πράξεις: α) (-α 3 + α α + 1) (α 1) β) (1 x + x ) (x 3 + x) γ) (1x 5 6x 3 3x 3 ) : (-3x ) 5. Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του αποτελέσματος για τις τιμές των μεταβλητών που αναφέρονται: α) (x y xy ) (x y) x 3 (x + y) (x y) (-y 3 ) για x = 1, y = β) α + αβ [α 3 (α + β)(α + β )] για α = -, β = 1 3

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται ταυτότητα; Ταυτότητα ονομάζεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών.. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιες είναι οι βασικές ταυτότητες; Να τις αποδείξετε. α) Τετράγωνο αθροίσματος: (α + β) = α + αβ + β Απόδειξη (α + β) = (α + β). (α + β) = α + αβ + βα + β = α + αβ + β π.χ. (x + y) = (x) + x y + y = 4x + 4xy + y β) Τετράγωνο διαφοράς: (α β) = α αβ + β Απόδειξη Αν στην ταυτότητα (α) θέσουμε όπου β το β, έχουμε: (α β) = [α + (-β)] = α + α(-β) + (-β) = α αβ + β π.χ. (x y) = (x ) x y + y = x 4 x y + y γ 1 ) Κύβος αθροίσματος: (α + β) 3 = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 4

Απόδειξη (α + β) 3 = (α + β)(α + β) = (α + β)(α + αβ + β ) = = α 3 + α β + αβ + βα + αβ + β 3 = = α 3 + 3α β + 3αβ + β 3 π.χ. (y+5) 3 = (y) 3 + 3 (y) 5 + 3 y 5 + 5 3 = 8y 3 +60y + 150y + 15 γ ) Κύβος διαφοράς: (α β) 3 = α 3 3α β + 3αβ β 3 π.χ. (y-1) 3 = (y) 3 3(y) 1 + 3 y 1 1 3 = 8y 3 1y + 6y 1 δ) Γινόμενο αθροίσματος επί διαφορά: (α β) (α + β) = α β Απόδειξη (α β) (α + β) = α + αβ αβ β = α β π.χ. (x 3)(x +3) = x 3 = x 9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) (x + 1) β) (3x + 4y) γ) ( 3α - β 3 ) δ) (α x β x) 3 x ε) ( 4 - y ) 3 στ) (x α + y β ) ζ) (-x + 1 3 ) η) (-αx + 1) θ) (- 1 3 x 1) ι) (-αx βy) 5

. Να κάνετε τις πράξεις: α) (x ) (x + ) β) (x 3y) (x + 3y) γ) ( 1 x - 1 3 y)( 1 x + 1 3 y) δ) (x y) (x + y) 3. Να βρείτε τα αναπτύγματα: α) (x + 1) 3 β) (x + x) 3 γ) (x - 1 x ) 3 δ) (-x + 1 3 ) 3 4. Να κάνετε τις πράξεις α) (x + ) (x + 3)(x 3) (x 3) β) (x + 1) (3x ) (x + 5)(5 x) γ) (α + β) 3(α + 3β) (α + 3β) (α 3β) δ) (x 1) 3 (3x + ) x(x+) (x ) ε) (x + y) 3 y(x-y) (x+y) + x(x-y) στ) (x + ) 3 3x (x 1) + (x 1) (x + 1) (x + ) 5. Να αποδείξετε τις ταυτότητες α) (α + β) + (α β) = (α + β ) β) (κx + κy) = κ (x + y) γ) (κ + λ) (κ λ) = 4κλ 6. Αν α = 3 - και β = 3 + να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = α + 3β 10 αβ 7. Αν x - 1 x = να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης : Α = x 1 + x 8. Αν x + y = 7 και x y = - 5 να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: α) Α = x + y β) B = (x + )(y + ) 6

9. Αν Α = -005 + 005 και Β = -005 005 να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Κ = Α Β 10. Αν Α = 3 - και Β = 3 + να υπολογίσετε την τιμή της A +B παράστασης: λ = A B 7

1.6 ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι λέγεται παραγοντοποίηση πολυωνύμων; Παραγοντοποίηση λέγεται η διαδικασία με την οποία μετατρέπουμε μία αλγεβρική παράσταση ή ένα πολυώνυμο από άθροισμα σε γινόμενο. Π.χ. α + β = (α + β). ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιες είναι οι πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις παραγοντοποίησης πολυωνύμων; α) Κοινός παράγοντας Αν όλοι οι όροι ενός πολυωνύμου έχουν κοινό παράγοντα, το πολυώνυμο μετατρέπεται σε γινόμενο, σύμφωνα με την επιμεριστική ιδιότητα. Π.χ. κα + κβ κγ = κ (α + β γ) β) Ομαδοποίηση Όταν όλοι οι όροι του πολυωνύμου δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε το χωρίζουμε σε ομάδες και εξετάζουμε αν πετυχαίνουμε: κάθε ομάδα που δημιουργούμε να έχει κοινό παράγοντα οι παραστάσεις που μένουν μετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι ίδιες. Π.χ. αx + αy + βx + βy = α(x+y) + β(x + y) = (x + y) (α + β) 8

γ) Διαφορά τετραγώνων Η περίπτωση αυτή βασίζεται στην ταυτότητα α β = (α β)(α + β) Π.χ. 9x 16 = (3x) 4 = (3x 4) (3x + 4) δ) Ανάπτυγμα τετραγώνου (τέλειο τετράγωνο) Οι περιπτώσεις αυτές βασίζονται στις ταυτότητες: α + αβ + β = (α + β) α αβ + β = (α β) π.χ. α) x + 10x + 5 = x + 5x + 5 = (x + 5) β) y 6yα + 9α = y y 3α + (3α) = (y 3α) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα: α) x 3 9x β) 15α 5 γ) 18x 9x δ) 9α 3αβ ε) 1x y 4xy στ) 4α β αβ. Να παραγοντοποιήσετε τα πολυώνυμα α) 1x y 4x y + 8xy β) 3α β 3αβ +αβ γ) x 3 y x y + 3x y δ) α 3 + α + α 3. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) κα + κβ λα λβ β) α + αβ α β γ) α 3 α + 5α 5 δ) x 4 + x 3 y xy 3 y 4 4. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) x 4 9x β) 4x 3 36x γ) x - 8 δ) (x + 4) 16x 5. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 11x + x + 1 β) 9x + 1αx + 4α γ) 9x 6xy + y δ) (x + y) 4 (x + y) + 1 9

6. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 4α 4αβ + β 9α β β) x 7 x 5 x 3 + x γ) x α β + αβ δ) x 3 x + 4 4x 7. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) (x 4) + x 16 + (x 4) (x +1) β) (x + ) (x + 1) 16x - 3 γ) 3 (x 9) (x + 1) (x + 3) (x + 1) δ) (x 1) (x + ) (x 4) (x + 1) 8. Να παραγοντοποιήσετε τις παραστάσεις: α) 9x + 1xy + 4y 81x y β) (x 9) + 8 (x 1) (x + 3) γ) α 4 + 4β 4 13α β δ) x 4 + 5x y + 9y 4 30

1.8 Ε.Κ.Π. ΚΑΙ Μ.Κ.Δ. ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Πως βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; Το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι το γινόμενο κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο εκθέτη του καθενός. π.χ. το Ε.Κ.Π. των : 3x 4 y ω, 4x 3 y, 6xω είναι το : 1x 4 y ω. ΕΡΩΤΗΣΗ Πως βρίσκουμε το M.K.Δ. δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων; Ο Μ.Κ.Δ. δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι το γινόμενο των κοινών παραγόντων με το μικρότερο εκθέτη του καθενός. π.χ. ο Μ.Κ.Δ. των : 3x 4 y ω, 1x y 5, 9x 3 yω είναι ο : 3x y. 31

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων : α) 3x y 3 z, 4xy 4, xz β) 5αβ 5 γ, 10α 3 β 4, β γ γ) 4α xy, 8x y 3, 1αxy 4. Να βρείτε το Ε.Κ.Π. των παραστάσεων : α) 3x y 3 z, 4xy 4, xz β) 5αβ 5 γ, 10α 3 β 4, β γ γ) 4α xy, 8x y 3, 1αxy 4 3. Να βρείτε το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων : α) 4(x-y), 6(x-y)(x+y), 3(x-y)(x+y) β) x -x, x -4, (x-) γ) (α -β ), 6α 3-6α β, 8α -16αβ+8β 4. Να βρείτε το Μ.Κ.Δ. των παραστάσεων : α) 4(x-y), 6(x-y)(x+y), 3(x-y)(x+y) β) x -x, x -4, (x-) γ) (α -β ), 6α 3-6α β, 8α -16αβ+8β 3

1.9 ΡΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποιες αλγεβρικές παραστάσεις λέγονται κλασματικές; Πότε ορίζεται μία τέτοια παράσταση; Κλασματική αλγεβρική παράσταση λέγεται η αλγεβρική παράσταση που έχει μία τουλάχιστον μεταβλητή στον παρονομαστή. Για να ορίζεται πρέπει να εξαιρέσουμε τις τιμές των μεταβλητών που μηδενίζουν τον παρονομαστή. Π.χ. x - 3 Πρέπει: x 3 0 x 3. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς γίνεται η απλοποίηση των κλασματικών αλγεβρικών παραστάσεων; Η απλοποίηση των κλασματικών αλγεβρικών παραστάσεων γίνεται ως εξής: α) Παραγοντοποιούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της κλασματικής αλγεβρικής παράστασης. β) Αν στα γινόμενα που δημιουργήθηκαν υπάρχουν κοινοί παράγοντες τους διαγράφουμε. Για να απλοποιηθεί μία κλασματική αλγεβρική παράσταση πρέπει ο αριθμητής και ο παρονομαστής να είναι γινόμενα και να έχουν κοινό παράγοντα. 3x-6 Π.χ. x 4 3(x-) = x = 3(x - ) (x - )(x + ) = 3 (x + ) 33

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ορίζονται οι παραστάσεις: 3 α) x + x δ) x -4 β) 5x-6 x - 8 x + 1 ε) x -9 x -9 γ) x + 10 3x-4 στ) x +1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: x +xy α) x -y x -5x+6 δ) x -6x+9 x -4 β) x +x- 9x - y ε) 9x -6xy+y x -1 γ) x+ 3x -1 στ) 3x +15x+18 3. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις x +7x-8 α) x -64 x+5 γ) 3x -75 (x -4) -(x+) ε) x -4x+3 3 3x -7x β) x +6x+9 9(x+1) -(4x-1) δ) 4(x +4x+4) (5-x)(x-1)-(x-5) στ) x -6x+5 34

1.10 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Α. Πολλαπλασιασμός-διαίρεση ρητών παραστάσεων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς γίνεται ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση μεταξύ κλασματικών αλγεβρικών παραστάσεων; Για να κάνουμε πολλαπλασιασμό ή διαίρεση με κλασματικές αλγεβρικές παραστάσεις χρησιμοποιούμε τους γνωστούς μας κανόνες του πολλαπλασιασμού και διαίρεσης κλασμάτων. α) β) γ) β αβ α = γ γ α γ αγ = β δ βδ α γ α δ αδ : = = β δ β γ βγ δ) α β αδ =, γ βγ δ α α 1 αδ = =, γ γ γ δ δ α α β β α = = γ γ βγ 1 35

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάνετε τις πράξεις: x -9 α) x +5x+6 x+ x-3 x+ β) x x (x+1) x -4x+4 γ) x -4 x+ x- δ) x -x 3 x -1 x x+1. Να κάνετε τις πράξεις: x -x x +3x+ x -1 α) : x +4x+4 -x x -4 x -4 x -9 x -x-6 β) : x-3 x +4x+4 x+4 3 x+ x +x+1 γ) : x x x 3. Να κάνετε τις πράξεις: x -x α) x +4x+4 x +3x+ -x x -4 x -1 3 x -x -4x+4 β) x +x- x +4x+4 3 x -4x -3x -5y 4x γ) : 4αy 6α 5y 3 36

Β. Πρόσθεση Αφαίρεση ρητών παραστάσεων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Πώς γίνεται η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασματικών αλγεβρικών παραστάσεων; Η πρόσθεση και η αφαίρεση κλασματικών παραστάσεων βασίζεται στους γνωστούς κανόνες της πρόσθεσης και αφαίρεσης κλασμάτων και γίνεται ως εξής: α) Παραγοντοποιούμε τους παρονομαστές β) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρανομαστών γ) Βρίσκουμε τα πηλίκα του Ε.Κ.Π. με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος δ) Πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με το αντίστοιχο πηλίκο ε) Προσθέτουμε τα ομώνυμα κλάσματα που προκύπτουν. Παράδειγμα Να γίνουν οι πράξεις: 1 x -1 + Λύση 1 x -1 + x +x+1 + 3 x +x x +x+1 + 3 x +x = Ε.Κ.Π. = x(x+1) (x-1) 0 1 (x-1)(x-1) + (x+1) + 3 x(x+1) = x 0, x -1, x 1 x(x+1) 1 (x+1)(x-1) + (x+1) x(x-1) (x-1)(x+1) + 3 x(x+1) = x(x+1) x(x+1) (x 1) + x(x-1) x(x+1) ( x 1) + 3(x-1)((x+1) x(x+1) ( x 1) = x +x x(x+1) (x 1) + x -x x(x+1) ( x 1) + 3x -3 x(x+1) ( x 1) = 37

x +x+x -x+3x -3 x(x+1) (x-1) = 6x -x-3 x(x+1) (x-1) Το Ε.Κ.Π. δύο ή περισσότερων αλγεβρικών παραστάσεων που έχουν αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων είναι το γινόμενο κοινών και μη κοινών παραγόντων με το μεγαλύτερο εκθέτη του καθενός. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάνετε τις πράξεις: α) 1 x - 1 y γ) 3x+1 x- - 3(x+3) x- 3 ε) x -4-3 x -4x+4 1 ζ) 1 - x+1-1 x +x+1 β) x+1-1 x 5 δ) x +x - 5 x +x+1 4x στ) 6x+3-6 6x +3x + 1 x 4x+3y η) 4x -9y 1 - x + 3y - 1 x - 3y. Να κάνετε τις πράξεις: x 1 1 α) -x+ - 3x 3 1-x 1-x β) α +β - αβ 1 1 - α β 1 γ) x - 4x+4-4 3 x -x 1 - x + 4(x-1) x (x-) 38

3. Να κάνετε τις πράξεις: 1 α) 1 - x+ - 1 -x - x x -4 β) x-3 x 5x-3 + x x +x-6-3 x - 4 3 1 1 1 x -x γ) 1- + + 3 4 x x x x -1 4. Να κάνετε τις πράξεις: 8x α) x -16 + 1 x-4 + 4 4-x 3 β) x +x- - x +x-3 + 1 x +5x+6 1 4 4 γ) + 3 x x+1 : 1 5 + 4 x 4(x-1) 39