ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Ροπή και Στροφορµή Μέρος δεύτερο Στο προηγούµενο Κεφάλαιο εξετάσαµε την περιστροφή στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. Εδώ θα εξετάσοµε την εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος γενικώς. Πριν το κάνοµε αυτό όµως, καλό είναι να γράψοµε την εξίσωση κίνησης υλικού σηµείου στον χώρο µε τη βοήθεια της ροπής δύναµης και της στροφορµής. 8. Κίνηση υλικού σηµείου. Ας θεωρήσοµε σύστηµα συντεταγµένων και υλικό σηµείο µάζας m που κινείται στον χώρο υπό την επίδραση δύναµης F F ˆ + F ˆ j+ Fkˆ. Η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου την τυχούσα χρονική στιγµή είναι ˆ + ˆj + kˆ. Όπως είδαµε στο Κεφάλαιο, η εξίσωση κίνησης του υλικού σηµείου είναι dp F, (8.) όπου p mu m d / είναι η ορµή του υλικού σηµείου. Με βάση όσα είδαµε στο Κεφάλαιο 7, ορίζοµε τη στροφορµή του υλικού σηµείου ως προς την αρχή των αξόνων ως ˆ ˆj kˆ l p ( ˆ + ˆj + kˆ) ( p ˆ + p ˆj + p kˆ) ( p p )ˆ + ( p p ) ˆj + ( p p ) kˆ. (8.) εν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε την έκφραση (8.) για τη στροφορµή. Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού ή ισοδύναµα τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, βρίσκοµε εύκολα την κατεύθυνση του διανύσµατος της στροφορµής. Το µέτρο της στροφορµής δίνεται από µια από τις σχέσεις (6.3). Οµοίως, ορίζοµε τη ροπή της δύναµης F ως προς την αρχή των αξόνων ως τ F ( ˆ + ˆj + kˆ) ( F ˆ + F ˆj + F k) ( F F )ˆ + ( F F ) ˆj + ( F F ) kˆ. (8.3) p ˆ F p ˆj F p kˆ F

εν είναι απαραίτητο να χρησιµοποιούµε την έκφραση (8.3) για τη ροπή. Χρησιµοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού ή ισοδύναµα τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, βρίσκοµε εύκολα την κατεύθυνση του διανύσµατος της ροπής. Το µέτρο της ροπής δίνεται από µια από τις σχέσεις (6.3). Ας εξετάσοµε τώρα τη χρονική µεταβολή της στροφορµής του υλικού σηµείου. Παραγωγίζοντας αµφότερα τα µέλη της (8.) έχοµε dl d dp p+. (8.4) Όµως, ο πρώτος όρος στο δεξιό µέλος της (8.4) ισούται µε µηδέν διότι τα διανύσµατα d / και p είναι συγγραµµικά. Συνεπώς, µε τη χρήση της (8.), η (8.4) γίνεται dl τ. (8.5) Είναι σηµαντικό να κατανοήσοµε ότι η εξίσωση (8.5) δεν είναι τίποτε άλλο παρά ο εύτερος Νόµος του Νεύτωνα (8.) γραµµένος µε άλλη µορφή. Το πλεονέκτηµα της µορφής (8.5) είναι ότι αν η ροπή της δύναµης F είναι µηδέν, τότε η στροφορµή του υλικού σηµείου είναι σταθερή, δηλαδή διατηρείται, πράγµα που δεν είναι εµφανές από την εξίσωση (8.). 8. Κίνηση στερεού σώµατος. Ας θεωρήσοµε ότι το στερεό σώµα αποτελείται από υλικά σηµεία,, 3, µε µάζες m, m, m 3,, m, αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες,, 3,,. Ας υποθέσοµε ότι το υλικό σηµείο ασκεί στο υλικό σηµείο j δύναµη F j, όπου j. Επίσης, ας θεωρήσοµε ότι στο υλικό σηµείο,, ασκείται εξωτερική δύναµη F. Η ροπή των δυνάµεων που ασκούνται στο υλικό σηµείο είναι τ F + F (8.6) j και η ολική ροπή που ασκείται στο σύστηµα των υλικών σηµείων είναι j τ τ + F F j. (8.7) j Οι όροι στο διπλό άθροισµα είναι της µορφής F + F F +. (8.8) α βα β αβ α βα β ( Fβα) ( α β) Fβα

Επειδή όµως στα στερεά σώµατα η δύναµη που ασκείται µεταξύ των ιόντων που τα αποτελούν είναι κατά µήκος της ευθείας που τα ενώνει (δηλαδή F βα είναι παράλληλη προς το α ), οι όροι στο διπλό άθροισµα κάνουν µηδέν ανά δυο. Έτσι, η εξίσωση (8.7) γράφεται ως β dp d d d τ F ( p ) p l dl, (8.9) όπου l είναι η στροφορµή του υλικού σηµείου και L είναι η στροφορµή του στερεού σώµατος. Έτσι αποδείξαµε ότι αν σε ένα στερεό σώµα ασκείται συνολική ροπή τ ως προς την αρχή των αξόνων και η στροφορµή του είναι L ως προς την αρχή των αξόνων, τότε η εξίσωση κίνησης του στερεού σώµατος είναι dl τ. (8.) Τονίστηκε το ως προς την αρχή των αξόνων, διότι δεν έχει νόηµα ούτε η ροπή ούτε η στροφορµή αν δεν πούµε ως προς ποιο σηµείο ορίζονται. Είναι σηµαντικό να κατανοήσοµε ότι η εξίσωση κίνησης (8.) προέκυψε από τον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα για καθένα από τα σωµατίδια που συνθέτουν το στερεό σώµα. Με άλλα λόγια, αν θέλοµε κατά την κίνηση ενός στερεού σώµατος τα επιµέρους σωµατίδιά του να υπακούουν στον εύτερο Νόµο του Νεύτωνα κατά την κίνησή τους, τότε πρέπει να χρησιµοποιήσοµε την εξίσωση (8.) για τη µελέτη της κίνησης του στερεού σώµατος. 8.3 Χρήσιµα θεωρήµατα 8.3. Στροφορµή Για να βρίσκοµε σχετικά εύκολα τη στροφορµή L ενός στερεού σώµατος, θα διαχωρίσοµε τις συνεισφορές στο L από την κίνηση του κέντρου µάζας τού σώµατος και από την στροφορµή του σώµατος ως προς το κέντρο µάζας. Ας θεωρήσοµε υλικά σηµεία,, 3, µε µάζες m, m, m 3,, m, αντιστοίχως, που βρίσκονται την τυχούσα χρονική στιγµή στις αντίστοιχες διανυσµατικές ακτίνες,, 3,,. Τα υλικά σηµεία µπορεί να είναι σωµατίδια ενός στερεού σώµατος ή ανεξάρτητα σωµατίδια. Έστω ότι η διανυσµατική ακτίνα του κέντρου µάζας των υλικών σηµείων (ας τα θεωρήσοµε ως στερεό σώµα) είναι την τυχούσα χρονική στιγµή R. Τότε τη διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου γράφεται ως R+, (8.)

όπου είναι η διανυσµατική ακτίνα του υλικού σηµείου ως προς το κέντρο µάζας. Με άλλα λόγια, θεωρούµε δυο συστήµατα συντεταγµένων: Ένα το,, µε αρχή το σηµείο Ο (,, ) και ένα το το σύστηµα,, µε αρχή το κέντρο µάζας. Είναι προφανές ότι,, κινείται καθώς το στερεό σώµα κινείται. Με παραγώγιση της (8.) ως προς χρόνο έχοµε & & R+ &, (8.) όπου, χάριν συντοµογραφίας, την παράγωγο ως προς τον χρόνο τη συµβολίσαµε µε µια τελεία πάνω από την υπό παραγώγιση ποσότητα. Έτσι, η στροφορµή L ενός στερεού σώµατος γράφεται ως L που µε πράξεις γίνεται ίση µε p m & m R R+ m & & R+ R m ( R+ m & & ) ( R+ & + m ), (8.3) &. (8.4) Η παρένθεση στον πρώτο όρο της (8.4) είναι ίση µε τη µάζα M του στερεού σώµατος. Ο δεύτερος όρος στην (8.4) είναι ίσος µε µηδέν διότι η ποσότητα m R είναι η διανυσµατική ακτίνα του κέντρου µάζας ως προς το M κέντρο µάζας, δηλαδή ως προς το σύστηµα,,. Το κέντρο µάζας είναι στην αρχή του συστήµατος,, και εποµένως έχει διανυσµατική ακτίνα R. Οµοίως, ο τρίτος όρος είναι µηδέν διότι η παρένθεση είναι η χρονική παράγωγος του µηδενικού διανύσµατος R. Έτσι, η (8.4) γράφεται ως ή & L R MR+ & L MR R+ m & R P+ m& p (8.5) (8.6) και εποµένως αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα : Η στροφορµή στερεού σώµατος ως προς την αρχή των αξόνων L ισούται µε τη στροφορµή του κέντρου µάζας του (όπου θεωρούµε συγκεντρωµένη όλη τη µάζα) ως προς την αρχή των αξόνων L συν τη στροφορµή του σώµατος ως προς το κέντρο µάζας του L, δηλαδή

L L + L. (8.7) Ο πρώτος όρος είναι στροφορµή υλικού σηµείου, που είναι εύκολη να υπολογιστεί, ενώ ο δεύτερος όρος είναι η στροφορµή στερεού σώµατος ως προς το κέντρο µάζας του, που επίσης είναι σχετικά εύκολη να υπολογιστεί. Παρατήρηση: Είναι σηµαντικό να επισηµάνοµε ότι η έκφραση (8.7) ισχύει ανεξαρτήτως του τι κίνηση κάνει το κέντρο µάζας! Ακόµη κι αν το κέντρο µάζας επιταχύνεται, η σχέση (8.7) ισχύει. 8.3. Κινητική ενέργεια Ανάλογο θεώρηµα προς το θεώρηµα ισχύει για την κινητική ενέργεια στερεού σώµατος. Η κινητική ενέργεια στερεού σώµατος είναι το άθροισµα των κινητικών ενεργειών των σωµατίων που συνθέτουν το σώµα. Έτσι γράφοµε T m & m & & (8.8) και χρησιµοποιώντας τη σχέση (8.) η σχέση (8.8) γράφεται ως T & m ( R+ & & ) ( R+ & ) & & & & & m & m R + m R+ R m + Ο δεύτερος και ο τρίτος όρος είναι µηδέν και εποµένως η (8.9) γράφεται ως. (8.9) T & MR + m &. (8.) Έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα. Θεώρηµα : Η κινητική ενέργεια στερεού σώµατος T ισούται µε την κινητική ενέργεια του κέντρου µάζας του (όπου θεωρούµε συγκεντρωµένη όλη τη µάζα) T συν την κινητική ενέργεια του σώµατος γύρω από το κέντρο µάζας του T, δηλαδή T + T T. (8.) Παρατήρηση: Είναι σηµαντικό να επισηµάνοµε ότι η έκφραση (8.) ισχύει ανεξαρτήτως του τι κίνηση κάνει το κέντρο µάζας! Ακόµη κι αν το κέντρο µάζας επιταχύνεται, η σχέση (8.) ισχύει. Παράδειγµα 8.: Θεωρείστε ότι ένα κέρµα µάζας M ακτίνας R και αµελητέου πάχους κυλίεται (χωρίς να ολισθαίνει) κατά µήκος του άξονα µε σταθερή ταχύτητα

u >. Να βρεθεί η κινητική ενέργειά του και η στροφορµή του ως προς την αρχή των αξόνων. Λύση: Η κινητική ενέργεια του κέντρου µάζας του κέρµατος είναι T M u. Θεωρώντας ότι η περιστροφή του κέρµατος γίνεται περί άξονα παράλληλο προς τον άξονα και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του, έχοµε από την (7.) ότι T I ω, όπου I είναι η ροπή αδράνειας του κέρµατος ως προς τον ως άνω άξονα και ω u / R. Επειδή το κέρµα είναι οµογενές, η πυκνότητά του (µάζα ανά επιφάνεια) M είναι σ και η I είναι π R I M R 4 R σ MR. 4 dm π d πσ Έτσι, η κινητική ενέργεια του κέρµατος είναι u 3 Mu. R 4 T T + T Mu + MR Με τον κανόνα του δεξιού χεριού βρίσκοµε ότι η στροφορµή του κέντρου µάζας του κέρµατος έχει κατεύθυνση ĵ. Το µέτρο της στροφορµής είναι R Mu. Αν θέλαµε να βρούµε το διάνυσµα της στροφορµής µε διανύσµατα µέσω του ορισµού (8.) θα γράφαµε l p ˆ + R kˆ) ( Mu ˆ) RMu ˆj. 8.3.3 Ροπή ( Κατ αναλογία προς τα δυο παραπάνω θεωρήµατα, θα δούµε τώρα ότι ισχύει αντίστοιχο θεώρηµα για τη ροπή. Η ροπή που ασκείται σε ένα στερεό σώµα είναι το άθροισµα των ροπών των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα. Έτσι, µε τη χρήση των (8.7) και (8.6) έχοµε dl τ d ( ) R P+ L d R M dr + L dr dr d R dl M + R M +. (8.) Ο πρώτος όρος είναι ίσος µε µηδέν διότι είναι το εξωτερικό γινόµενο συγγραµµικών διανυσµάτων. Για τον δεύτερο όρο χρησιµοποιούµε τη σχέση (4.6). Έτσι έχοµε

dl τ R F +. (8.3) Έχοµε όµως δει στις σχέσεις (8.7) και (8.8) ότι για εσωτερικές δυνάµεις της µορφής F βα παράλληλες προς τα α µόνο οι εξωτερικές δυνάµεις συνεισφέρουν στη β ροπή, δηλαδή τ F. (8.4) Συνεπώς, από τις εξισώσεις (8.3) και (8.4) έχοµε dl F R F + (8.5) ή dl ( R) F F. (8.6) Συνεπώς, η (8.3) γράφεται ως τ R F + F (8.7) και έτσι αποδείξαµε το ακόλουθο θεώρηµα: Θεώρηµα 3: Η ροπή τ όλων των εξωτερικών δυνάµεων που ασκούνται σε ένα στερεό σώµα ως προς την αρχή των αξόνων ισούται µε τη ροπή της συνισταµένης δύναµης (που θεωρούµε ότι εφαρµόζεται στο κέντρο µάζας) τ ως προς την αρχή των αξόνων, συν τη ροπή τ των εξωτερικών δυνάµεων ως προς το κέντρο µάζας του σώµατος, δηλαδή τ τ + τ, (8.8) όπου τ R F και τ F. Έτσι, η εξίσωση κίνησης στερεού σώµατος (8.) γράφεται µε τη χρήση των (8.7) και (8.8) ως d ( L + L ) τ +τ. (8.9) Σχόλιο: Ίσως έχετε σχηµατίσει την εντύπωση ότι όταν ένα στερεό σώµα περιστρέφεται περί τον σταθερό άξονα η στροφορµή L του σώµατος έχει µόνο - συνιστώσα. Αυτό είναι λάθος, εκτός ειδικών περιπτώσεων. Ας δούµε γιατί.

Από τον ορισµό της στροφορµής στερεού σώµατος ως προς την αρχή των αξόνων έχοµε L p m Αλλά, όλες οι µάζες m & m [( & ) ˆ + ( & & ) ˆj + ( & & ) kˆ ] ˆ & ˆj & kˆ & &. (8.3) m περιγράφουν κύκλους µε ακτίνες +. Έτσι έχοµε cos φ & snφ ω ω σταθερ ο & sn φ & cosφ ω ω (8.3) dφ όπου ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώµατος, που είναι η ίδια για όλες τις µάζες m. Έτσι, οι τρεις συνιστώσες της (8.3) γίνονται L L L m ( & ) m ω m ω I ω m ( & ) m ω m ω I ω (8.3) m ( & & ) m ( + ) ω I ω όπου ορίσαµε τα γινόµενα αδράνειας ως προς την αρχή των αξόνων ως και I m (8.33) I m. (8.34) Γενικά, για ένα τυχόν στερεό σώµα τα γινόµενα αδράνειας είναι διάφορα του µηδενός. Έτσι, παρά το γεγονός ότι η περιστροφή του στερεού σώµατος γίνεται περί τον σταθερό άξονα, η στροφορµή του στερεού σώµατος µπορεί να έχει και - και -συνιστώσες!!! Αν για ένα σύστηµα αξόνων,,, τα γινόµενα αδράνειας I και I είναι µηδέν, τότε ο άξονας λέγεται κύριος άξονας αδράνειας και L Lk ˆ. Ένας άξονας συµµετρίας είναι πάντοτε κύριος άξονας αδράνειας, το αντίθετο όµως δεν ισχύει

πάντοτε. Ακόµη και σε στερεά σώµατα µε ακανόνιστο σχήµα µπορούµε να ορίσοµε πάντοτε τρεις κύριους άξονες αδράνειας. εν θα το αποδείξοµε όµως εδώ.