ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ -ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ-ΣΤΑΣΙΜΟ Το σηµείο Ο γραµµικού ελαστικού µέσου το οοίο ταυτίζεται µε τον άξονα χ Οχ, εκτελεί ταυτόχρονα δύο Α.Α.Τ ου γίνονται στην ίδια διεύθυνση, κάθετα στον άξονα χ χ και γύρω αό την ίδια θέση ισορροίας. Οι ταλαντώσεις εριγράφονται αό τις εξισώσεις: y =0, ηµ(0t+/3) (S.I) και y =0,.3^(/) ηµ(0t-/6) (S.I) ) Να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης ταλάντωσης ου εκτελεί το σηµείο Ο. Ποιες χρονικές στιγµές οι αοµακρύνσεις και οιες οι ταχύτητες των συνιστωσών ταλαντώσεων είναι αντίθετες; ) Θεωρούµε το σηµείο Ο σαν ηγή αρµονικού κύµατος ου διαδίδεται κατά µήκος του Οχ ηµιάξονα. Αν τη χρονική στιγµή t ου η ηγή ολοκληρώνει δύο ταλαντώσεις το κύµα φθάνει σε ένα σηµείο Γ ου αέχει αό την ηγή x Γ =0cm, να γράψετε την εξίσωση του αρµονικού κύµατος ου διαδίδεται κατά µήκος της χορδής. 3) Η φάση της ταλάντωσης ενός σηµείου Κ του ελαστικού µέσου την ίδια χρονική στιγµή t ισούται µε φ Κ =3/. Ποια χρονική στιγµή ξεκίνησε να ταλαντώνεται το σηµείο αυτό; Να εξετάσετε ρος τα ού θα κινηθεί το σηµείο Κ αµέσως µετά τη στιγµή t. 4) Να υολογίσετε τη διαφορά φάσης µεταξύ του σηµείου Κ και του ιο µακρινού σηµείου Η (αό την ηγή Ο) του ελαστικού µέσου ου αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγµή t =0,7s. 5) Να βρείτε τον αριθµό των υλικών σηµείων του µέσου, µεταξύ των Κ, Η ου έχουν την ίδια αοµάκρυνση και την ίδια ταχύτητα µε την ηγή κάθε στιγµή. 6) Να βρείτε όσα υλικά σηµεία του ελαστικού µέσου, τη χρονική στιγµή t =0,7s, έχουν µέγιστη κινητική και όσα έχουν δυναµική ίση µε U max /4. 7) Να γράψετε την εξίσωση ενός άλλου κύµατος το οοίο διαδίδεται κατά µήκος του ελαστικού µέσου και συµβάλλοντας µε το ρώτο δηµιουργεί στάσιµο. Ποια η εξίσωση του ροκύτοντος στάσιµου, θεωρώντας ως t=0 τη στιγµή ου τα κύµατα συµβάλλουν στο Ο (χ=0). 8) Να εξετάσετε αν τα σηµεία Κ, Η είναι δεσµοί ή κοιλίες του στάσιµου. 9) Να βρείτε όσες κοιλίες και όσοι δεσµοί του στάσιµου βρίσκονται µεταξύ των σηµείων Κ, Η.
0) Δύο σηµεία Ζ, Μ του µέσου βρίσκονται στις θέσεις x Z =0,m και x M =0,33m. Να βρείτε όσοι δεσµοί του στάσιµου βρίσκονται µεταξύ των σηµείων Ζ, Μ και στη συνέχεια να υολογίσετε την αοµάκρυνση και την ταχύτητα του σηµείου Μ, τη χρονική στιγµή ου το Ζ διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του µε θετική ταχύτητα. Δίνεται: συν(3/5)=-0,3 ΑΠΑΝΤΗΣΗ ) Η διαφορά φάσης µεταξύ των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων είναι: ϕ = ϕ ϕ = (0 t+ ) (0 t ) = 3 6 Άρα το λάτος της συνισταµένης ταλάντωσης υολογίζεται αό τη σχέση: A= A + A + A Aσυν = 0, m Η διαφορά φάσης θ µεταξύ της συνισταµένης y και της συνιστώσας y µε τη µικρότερη φάση υολογίζεται αό τη σχέση: Άρα: Aηµ = A 3 = A A = 3 = 6 =, αφού 0< θ < 6 + Aσυν εϕθ εϕ θ θ = ϕ y ϕ y ϕ (0 ) 0 (. ) y = θ+ ϕ y = + t = t S I 6 6 Συνεώς η εξίσωση της συνισταµένης κίνησης εριγράφεται αό τη σχέση: y= 0,ηµ 0 t( S. I) () Σχόλιο: Η σύνθεση ταλαντώσεων είναι ροτιµότερο να διδάσκεται µε χρήση εριστρεφόµενων διανυσµάτων. Οι µαθητές κατανοούν καλύτερα το φαινόµενο. Α /3 /6 Α Α
Η συνιστώσα ταλάντωση y αριστάνεται µε το διάνυσµα A, η y µε το διάνυσµα A ενώ η συνισταµένη ταλάντωση µε το διάνυσµα: A= A + A το οοίο έχει µέτρο: A= A + A A= 0,m αφού το A είναι κάθετο στο A. Η γωνία θ ου σχηµατίζει το A µε το A υολογίζεται αό το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΑ : A 0, 3 = = = = = = A 0, 3 3 3 6 6 εϕθ εϕθ εϕ θ Η αλή χρήση τύων δηµιουργεί σύγχυση στους µαθητές. Ειλέον είναι εύκολο να γίνουν λάθη αφού τα σύµβολα ου χρησιµοοιεί το βιβλίο δεν εξηγεί εαρκώς τι εκφράζουν,.χ: η θ είναι η αρχική φάση της συνισταµένης ταλάντωσης; Προφανώς Aηµθ όχι. Αν τον τύο της εϕθ τον λάβουµε όως στο βιβλίο: εϕθ = θα A + Aσυνθ κάνουµε λάθος, αφού ουθενά δεν εξηγεί ότι στον αριθµητή χρησιµοοιούµε το λάτος της ταλάντωσης µε τη µεγαλύτερη φάση. Όταν οι αοµακρύνσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων είναι αντίθετες τότε ισχύει: y = y y+ y = 0 y= 0 0, ηµ (0 t) = 0 ηµ (0 t) = 0 κ + ηµ (0 t) = ηµ ( κ ) 0 t= κ t= s, κ Z 0 Όταν οι ταχύτητες των συνιστωσών ταλαντώσεων είναι αντίθετες τότε ισχύει: υ = υ υ+ υ = 0 υ = 0 συν (0 t) = 0 συν (0 t) = 0 κ + + συν (0 t) = συν (κ + ) 0 t= (κ + ) t= s, κ Z 0 ) Συγκρίνοντας την εξίσωση ταλάντωσης του σηµείου Ο µε τη γενική rad σχέση: y= Aηµω t, βρίσκουµε ότι: ω= 0 f = 5Hz T = 0,s. s Αφού η ηγή έχει εκτελέσει ταλαντώσεις θα ισχύει: t = T = 0,4s. χ Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος υολογίζεται: 0,5 m Γ υ = = και το µήκος t s υ κύµατος: λ= = 0,m. Η εξίσωση του κύµατος δίνεται αό τη σχέση: f y= 0,ηµ (5t 0 x)( S. I) () 3) Η φάση του κύµατος είναι: ϕ = (5t 0 x). Για τη φάση του σηµείου Κ έχουµε:,5 = (5 0, 4 0 x ) x = 0,5m.
x Άρα αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγµή: t = = 0, 5s. Η αοµάκρυνση του Κ τη υ 3 στιγµή t = 0, 4s είναι: y = 0, ηµϕκ = 0,ηµ = 0, m, δηλαδή βρίσκεται στην αρνητική ακρότατη θέση, οότε αµέσως µετά θα κινηθεί κατά τη θετική φορά. 4) Τη στιγµή t = 0,7s η φάση του Κ είναι: ϕ = (5 0,7 0 0,5) = 4,5. Το σηµείο Η ου αρχίζει να ταλαντώνεται την ίδια στιγµή έχει: ϕ Η = 0. Άρα ϕ = 4,5 Κ 5) Το σηµείο Η βρίσκεται στη θέση: χ = υ t = Η 0,35m. Τα σηµεία του µέσου ου έχουν την ίδια αοµάκρυνση και την ίδια ταχύτητα µε την ηγή κάθε στιγµή, βρίσκονται σε συµφωνία φάσης µε αυτή. Συνεώς: χ = χ 0= χ = κλ = 0,κ,κ Ζ Όµως: χ < χ < χ 0,5< x< 0, 35 0,5< 0,κ < 0,35, 5< κ < 3,5 κ =,3 Κ Η Άρα υάρχουν σηµεία. 6) Μέγιστη κινητική ενέργεια έχουν τα σηµεία ου διέρχονται αό τη θέση ισορροίας, ενώ δυναµική ίση µε το 4 της µέγιστης, όσα βρίσκονται στη θέση: A y=±. Τη στιγµή t = 0,7s το κύµα έχει φθάσει στη θέση: χη υ t 0,35m = =, όου: xh 0,35 λ 4 xh 4 3,5λ λ = 0, 05 = = 4 =. 4 y (m) 0, 0, -0, 0, 0, 0,3 0,35 x (m) Σχεδιάζοντας το στιγµιότυο βλέουµε ότι υάρχουν 8 σηµεία µέγιστης κινητικής U ενέργειας και 4 σηµεία µε. max 4 7) Για να σχηµατισθεί στάσιµο ρέει να συµβάλλουν δύο κύµατα, µε ίδιο λάτος, ίδια συχνότητα, τα οοία διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση, κατά αντίθετη φορά. Η εξίσωση του κύµατος ου συµβάλλοντας µε το ρώτο δηµιουργεί στάσιµο είναι:
y = 0, ηµ (5t+ 0 x)( S. I). (3) Η εξίσωση του στάσιµου είναι: χ y= 0,4 συν ηµ (0 t) = 0, 4 συν (0 χ ) ηµ (0 t)( S. I) (4) 0, 8) Το λάτος ταλάντωσης των σηµείων του µέσου µετά το σχηµατισµό του στάσιµου δίνεται αό τη σχέση: A' = 0,4συν 0 χ ( S. I) Για τα σηµεία Κ, Η έχουµε: A' = 0, 4συν 0 0,5 = 0, 4συν, 5 = 0, 4συν = 0 A' = 0, 4συν 0 0,35 = 0, 4συν 7 = 0, 4m H Συνεώς το Κ είναι δεσµός και το Η κοιλία του στάσιµου. λ 9) Οι κοιλίες του στάσιµου βρίσκονται στις θέσεις: x= κ = 0,05 κ, κ Ζ Άρα: x < x< x 0,5< x< 0, 35 0,5< 0, 05κ < 0,35,5< κ < 7 κ = 3, 4, 5, 6 H Συνεώς υάρχουν 4 κοιλίες στις θέσεις: 0,5 m, 0, m, 0, 5 m, 0,3m λ Οι δεσµοί του στάσιµου βρίσκονται στις θέσεις: x δ = (κ + ) = (κ + ) 0,05, κ Ζ 4 Άρα: x < xδ < x 0,5< 0, 05κ + 0, 05< 0,35 0,< 0, 05κ < 0,35 < κ < 6,5 κ = 3, 4, 5, 6 H Συνεώς υάρχουν 4 δεσµοί στις θέσεις: 0,75 m, 0, 5 m, 0, 75 m, 0,35m 0) Όως και ριν έχουµε: x < xδ < x 0, < 0, 05κ + 0, 05< 0,33 0,85< 0, 05κ < 0, 305 3, 7< κ < 6, κ = 4,5, 6 Z M Εειδή υάρχουν 3 δεσµοί µεταξύ των Ζ, Μ τα σηµεία αυτά έχουν διαφορά φάσης ϕ =, δηλαδή ταλαντώνονται σε αντίθεση φάσης. Όταν λοιόν το Ζ διέρχεται αό τη θέση ισορροίας του µε θετική ταχύτητα, το Μ διέρχεται είσης αό τη δική του θέση ισορροίας µε αρνητική ταχύτητα:
3 m υm = ω A' 0 0, 4 0 0, 33 4 6, 6 4, 4 max M = συν = συν = συν = 5 s Θοδωρής Παασγουρίδης papasgou@gmail.com