Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µά ζας, έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο, και το άλλο της άκρο στο σηµείο L,. Tην χρονική στιγµή t= ένα σφαι ρίδιο πλαστελίνης µάζας m προσπίπτει στο ελεύθερο άκρο της ράβ δου µε ταχύτητα v κατά την θετική κατεύθυνση του άξονα Οy και προσκολλάται στην ράβδο. i Nα µελετηθεί η κίνηση του συστήµατος. ii Να επαληθεύσετε ότι, η στροφορµή L O του συστήµατος περί το Ο και η στροφορµή του L περί το κέντρο µάζας του ικανοποιούν την σχέση: L O = L +m R v όπου R το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας ως προς το Ο και η ταχύτητα του κέντρου µάζας στο σύστηµα αναφοράς Οxy. O ΛΥΣΗ: i Η στροφορµή L "# περί το σηµείο Ο του συστήµατος των µαζών m, m και της ράβδου, πριν προσκοληθεί η πλαστελίνη στο ελευθερο άκρο της ράβδου, υπολογίζεται από την σχέση: O L "# = ml i v j = mlv i j = mlv k 1 όπου i, j, k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L O µ"# του συστήµατος µετά την πλαστική κρούση της πλαστελίνης µε την ράβδο δίνεται από την σχέση: O L µ"# = I O = ml όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος περί το Ο µετά την κρούση. Όµως το σύστηµα είναι ελευθερο εξωτερικών ροπών, οπότε ισχύει: L 1, O O "# = L µ mlv k = ml = v k /L v
Eξάλλου η ταχύτητα v του κέντρου µάζας του συστήµατος µετά την κρούση θα υπολογιστεί µε εφαρµογή της αρχής διατηρήσεως της ορµής για το σύστηµα, οπότε θα έχουµε: m v = m v + m v = v / Σχήµα 1 Eίναι προφανές ότι η ταχύτητα του κέντρου µάζας θα διατηρείται σταθε ρή, αφού το σύστηµα είναι ελευθερο δυνάµεων και ίση µε v /, δηλαδή το κέντρο µάζας θα κινείται ευθύγραµµα και οµαλά κατά την θετική κατεύθυνση του άξονα Ο επί της ευθείας x=l/. Ταυτόχρονα το σύστη µα θα στρέφεται περί νοητό άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο Οxy, µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα ίση µε. Πράγµατι αν είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήµατος περί το κέντρο µάζας µετά την κρούση θα έχουµε µε βάση το θεώρηµα διατηρήσεως της στροφορµής, την σχέση: L "# = L µ " m L i v j # = m " L # " + m L # + -., - v i j " = L 9 + L 9 = v k /L = # v k = # L + L " ii Eξετάζοντας το σύσηµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t έχουµε για την στροφορµή του L O περί το Ο και για την στροφορµή του L περί το κέντρο µάζας του τις σχέσεις: L O = mlv k και L = ml/v k 5 Εξάλλου, εάν την ίδια στιγµή R είναι το διάνυσµα θέσεως του κέντρου
µάζας ως προς το Ο και x, y oι αντίστοιχες συντεταγµένες του θα έχουµε: m R v = m[x i + y j v /] m R v " = m L # i + v t " j v # + j -, m R v " = m Lv # 9 m R v = Lmv k i j + v 9 t j j 6 Παρατηρούµε ότι: L + m R v = Lmv k + Lmv k = Lmv k L + m R v = L O 7 P.M. fysikos Οµογενής τροχός ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί οριζοντίου εδάφους και το κέντρο µάζας του έχει στα θερή ταχύτητα v. Σε σηµείο Α του τροχού που απέχει από το κέντρο του απόσταση R αρθρώνεται το ένα άκρο Α λεπτής ράβδου µήκους R, της οποίας το άλλο άκρο Β ολισθαίνει επί οριζόντιας τροχιάς, που η προεκτασή της διέρχεται από το κέντρο του τροχού, όπως φαίνεται στο σχήµα. i Nα βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου ΑΒ σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα του Α ως προς το κέν τρο του τροχού, µε την οριζόντια διεύθυνση. ii Nα βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του άκρου Α, σε συνάρτη ση µε την γωνία φ. ΛΥΣΗ: i Eπειδή ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση η ταχύτητα του εκάστοτε σηµείου επαφής Ν µε το οριζόντιο έδαφος είναι µηδενική, οπότε ισχύει η σχέ ση: v - R = = v /R 1 όπου η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του τροχού περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του και v η σταθερή ταχύτη τα του κέντρου του τροχού, ίση µε v. Η ράβδος ΑΒ εκτελεί επίπεδη κίνηση
στο επίπεδο του τροχού και κάθε στιγµή η γωνιακή της ταχύτητα δίνεται από την σχέση: = k d" / Σχήµα όπου k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στο επίπεδο της κίνησης, που συµβατικά λαµβανεται οµόρροπο της, ενώ το πηλίκο dθ/ εκφράζει τον ρυθµό µεταβο λής της γωνίας θ κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Εφαρµόζοντας στο τρίγωνο ΑΒ τον νόµο των ηµιτόνων παίρνουµε την σχέση: µ" = µ# R µ" = R µ# µ" = µ# Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο t την παίρνουµε την σχέση: "# d = "# d 1 - µ " d" = # 1 - µ " d# = " - µ " d# = " d = " # - µ 1 d = v R "# - µ Συνδυάζοντας τις σχέσεις και έχουµε: = v "# R - µ k 5 ii Η ταχύτητα v του άκρου Α της ράβδου ΑΒ, δίνεται από την σχέση: v = v + " = v + " 6 Όµως από το σχήµα για το διάνυσµα προκύπτει η σχέση:
= -R"# i + Rµ j " = [ k " R-# i + µ j ] " = R[ k " i -#+ k " j µ] " = R# j + i µ 7 όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx και Οy αντιστοίχως. Η 6 µε βάση την 7 γράφεται: v = v + R"# j + i µ = v i + R"# j + i µ v = v i + v "# j + i µ = v + µ i + v "# j H επιτάχυνση του άκρου Α δίνεται από την σχέση: a = a - + " a = - + " = - a = - -R"# i + Rµ 1 j a = - v R R -"# i + µ j a = v R R "# i - µ j P.M. fysikos Oι δύο ράβδοι ΟΑ και ΑΒ του σχήµατος έχουν το ίδιο µήκος L και την ίδια µάζα m. H ράβδος ΟΑ µπορεί να στρέφε ται σε κατακόρυφο επίπεδο περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο, ενώ η ράβδος ΑΒ κινείται στο ίδιο επίπεδο µε το άκρο της Β να ολισθαίνει ευθύγραµµα επί οριζόντιου υποστηρίγµατος, στο δε κοινό άκρο Α των δύο ράβδων υπάρχει άρθρωση. i Nα βρεθεί η µορφή της τροχιάς που διαγράφει το κέντρο µάζας της ράβδου ΑΒ κατά την κίνηση του συστήµατος. ii Κάποια στιγµή που η ράβδος ΟΑ σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύ θυνση γωνία φ, η ταχύτητα του άκρου Β είναι v. Να βρεθεί την στιγ µή αυτή η κινητική ενέργεια του συστήµατος. Δίνεται η ροπή αδρά νειας Ι=mL / κάθε µιας εκ των δύο ράβδων ως προς άξονα που διέρ χεται από το ένα άκρο και είναι κάθετος στην ράβδο.
ΛΥΣΗ: i Eάν x, y είναι οι συντεταγµένες του κέντρου µάζας της ράβδου ΑΒ κατά µια τυχαία στιγµή που η γωνία των δύο ράβδων µε τον οριζόντιο άξονα είναι φ, τότε θα έχουµε τις σχέσεις: x = O - L/"# = L"# - L/"# x = L/"# και y = L/µ" Σχήµα Από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει: "# = x / L µ = y / L "# = x / L µ = y / L + 1 = x # " L + y # " L x L/ + y L/ = 1 1 H 1 εξασφαλίζει ότι, η τροχιά του κέντρου µάζας είναι τόξο ελλείψεως µε κέντρο το Ο και µε µήκη ηµιαξόνων L/ και L/. ii Κατά την κίνηση του συστήµατος η ράβδος ΟΑ εκτελεί στροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο, η δε ράβδος ΑΒ εκτελεί επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορικής κίνη σης και µιας στροφικής περί το κέντρο µάζας της. Επειδή κάθε στιγµή οι δύο ράβδοι σχηµατίζουν την ίδια γωνία µε τον άξονα Οx και περιστρέφονται αντίρ ροπα οι γωνιακές τους ταχύτητες είναι αντίθετες. Eάν ω είναι το κοινό µέτρο των δύο γωνιακών ταχυτήτων και v η ταχύτητα του άκρου Α, τότε θα ισχύει v =ωl. Όµως η κίνηση της ράβδου ΑΒ µπορεί κάθε στιγµή να θεωρηθεί και ως καθαρή περιστροφη περί το εκάστοτε στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Κ που προκύπτει ως τοµή των καθέτων επί τα διανύσµατα των ταχυτήτων v και v στα σηµεία Α και Β σχ., οπότε θα έχουµε:
v = K = O"# =L "# v =L"µ# =v /L"µ# H κινητική ενέργεια Κ ΟΑ της ράβδου ΟΑ την στιγµή που αυτή σχηµατίζει γωνία φ µε τον άξονα Οx, δίνεται από την σχέση: K O = I O = ml 6 K O = ml 6 # v Lµ" = mv µ " Την ίδια στιγµή η κινητική ενέργεια Κ ΑΒ της ράβδου ΑΒ είναι: K = mv + I = mv + ml όπου v η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας. Για τις συνιστώσες v x, v y της v ισχύουν οι σχέσεις: και v x = dx v y = dy = d = d # L"# Lµ" = - L+µ = L+" d" d = - L, +µ = L, +" οπότε θα έχουµε: v = v x + v y v = - L "µ# + L +,# v = L 9"µ # + # 5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις και 5 παίρνουµε: K = ml 8 9"µ # + # + ml K = ml K = ml K = mv 7"µ # + # + 1 # v Lµ" µ " + # 6µ " + 1 µ 6 "
H κινητική ενέργεια Κ ολ του συστήµατος κατά την θεωρούµενη χρονική στιγ µή είναι:,6 K " = K O + K K " = mv 1 #µ + 1 #µ K " = mv #µ +mv 6#µ + 1 #µ P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος η διπλή τροχαλία έχει µάζα m και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος στην επιφάνειά της. Στην περιφέρεια της εξωτερικής τροχαλίας ακτίνας R, έχει στερε ωθεί µικρό σφαιρίδιο µάζας m, ένω στο αυλάκι της εσωτερικής τροχα λίας ακτίνας r έχει τυλιχθεί αβαρές και µη εκτατό νήµα, στο ελεύ θερο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανι κού ελατηρίου σταθεράς k, ενώ το άλλο του άκρο είναι στερεωµένο. Αρχικά η γωνία φ που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου µε την κατακόρυφη διεύθυνση είναι µηδενική και το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος. Δίνουµε στο σφαιρίδιο ελαφρά ώθηση και το σύ στηµα αρχίζει να περιστρέφεται δεξιόστροφα. i Να δείξετε ότι αν kr <mgr, υπάρχει τιµή της γωνίας φ για την οποία η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος γίνεται µέγιστη και να βρεθεί η µέγιστη αυτή τιµή. ii Nα βρείτε ποια σχέση συνδέει την µέγιστη γωνιακή εκτροπή του συστήµατος και την γωνιακή εκτροπή που αντιστοιχεί στην µέγιστη γωνιακή του ταχύτητα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η ροπή άδράνειας Ι Τ =mr της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. ΛΥΣΗ: i Eάν είναι η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την στιγµή που η γωνία της επιβατικής ακτίνας του σφαιριδίου µε την κατακόρυφη διέυθυνση είναι φ, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας θα ισχύει η σχέση: I O / + mgr"# + ky / = + mgr mr + mgr"# + ky = mgr Όµως η επιµήκυνση y του ελατηρίου την στιγµή αυτή είναι ίση µε rφ, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται:
mr + mgr"# + kr = mgr 1 Διαφορίζοντας την 1 παίρνουµε: mr d - mgr"µ#d# + kr #d# = mr d - mgr"µ# d# + kr # d# = mr d - mgr"µ# + kr # = Σχήµα H γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας γίνεται µέγιστη την στιγµή που dω/= και αυτό θα συµβεί στην θέση φ=φ για την οποία ισχύει: -mgrµ" + kr " = µ" " = kr mgr Όµως η φ είναι αποδεκτή εφ όσον ηµφ /φ <1, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει: kr mgr < 1 kr < mgr H µέγιστη γωνιακή ταχύτητα max θα προκύψει από την 1 εάν σ αυτή θέσου µε ω=ω max και φ=φ, οπότε θα έχουµε: mr max + mgr"# + kr = mgr mr max mgrµ + mgr"# + kr kr, + = mgr R max + mg R"µ # kr = g1 - #
R max = g"µ # / - mg R"µ # kr max = g R "µ # - mg "µ # kr max = g R "µ # - mg "µ # 5 kr Παρατήρηση: H σχέση είναι µια µη αλγεβρική εξίσωση ως προς την γωνία φ, δηλαδή από την εξίσωση αυτή δεν µπορεί να υπολογισθεί η γωνία φ µε αναλυτικό αλγεβ ρικό τροπο. Η εξίσωση µπορεί να λυθεί κατά προσέγγιση µε γραφικό τροπο καταφεύγοντας στις γραφικές παραστάσεις την συναρτήσεων f 1 φ=φ και f φ= ηµφ ή ακόµη µε την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή που χρησιµοποιεί κα τάλληλο µαθηµατικό πρόγραµµα. ii Την στιγµή που η γωνιακή εκτροπή του συστήµατος παίρνει την µέγιστη τιµή της φ max η γωνιακή του ταχύτητα µηδενίζεται και τότε η 1 γράφεται: + mgr"# max + kr max = mgr kr max kr max = mgr1 - "# max = mgr"µ max / kr max / = mgr"µ max / µ " max / " max / = kr mgr µ " / max " max / = µ" " P.M. fysikos Όµογενής λεπτή ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m αναρτάται από δύο σηµεία Ο 1, Ο που βρίσκονται σε απόσταση L και στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Το Ο 1 συνδέεται µε το άκρο Α µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος µήκους L, το δε Ο συνδέεται µε το άκρο Β µέσω ράβδου µήκους L και µάζας m αρθρωµένης στα σηµεία Ο 1 και Β, όπως φαίνεται στο σχήµα 5. Αρχικά η ράβδος ΑΒ ισορροπεί σε οριζόντια θέση και το σύστηµα εκτρέπεται, ώστε η ράβδος Ο Β να σχηµατίσει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ και στην συνέχεια αφήνεται ελέυθερο. i Nα βρείτε την διαφορική εξίσωση που επιτρέπει τον καθορισµό της κίνησης του συστήµατος.
ii Nα εκφράσετε την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου Ο Β σε συνάρτη ση µε την γωνία φ που σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση. Δί νεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Κατά την κίνηση του συστήµατος η ράβδος ΑΒ παραµένει συνεχώς παράλληλη προς την σταθερή ευθεία Ο 1 Ο, διότι το τετράπλευρο ΑΒΟ 1 Ο απο τελεί κάθε στιγµή παραλληλλόγραµο αφού οι απέναντι πλευρές του είναι ίσες. Αυτό σηµαίνει ότι η ράβδος ΑΒ εκτελεί µεταφορική κίνηση στην διάρκεια της οποίας το κεντρο µάζας της να διαγράφει κυκλικό τόξο µε κέντρο το µέσον Ο της ευθείας Ο 1 Ο και ακτίνας L. Eξάλλου η ράβδος Ο Β εκτελεί περιστροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα κάθετο στην ράβδο που διέρχεται απο το άκρο της Ο, υπό την επίδραση του βάρους της w, της δύναµης επαφής από την ράβδο ΑΒ που αναλύεται στην συνιστώσα F r κατά την διεύθυνση της Ο Β και στην Σχήµα 5 Σχήµα 6 συνιστώσα F k που είναι κάθετη στην Ο Β και τέλος της αντίδρασης του άξονα περιστροφής. Εφαρµόζοντας για την Ο Β τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κί νησης παίρνουµε την σχέση: " d I O # = -w L µ - F k L ml " d # = -mg L µ - F L k ml " d # = - mg µ - F k 1 όπου φ η γωνία που σχηµατίζει η ράβδος Ο Β την στιγµή που την εξετάζουµε. Εστιάζοντας στην ράβδο ΑΒ διαπιστώνουµε ότι δέχεται το βάρος της w, την τάση T του νήµατος και την δύναµη επαφής από την ράβδο Ο Β που αναλύεται στις συνιστώσες F r, F k οι οποίες είναι αντίθετες των F r και F k αντιστοίχως. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου ΑΒ τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά την ακτινική κατεύθυνση e r και κατά την εφαπτοµενική κατευθυνση e k της κυκλικής τροχιάς του παίρνουµε τις σχέσεις: και -T - F r +w"# = - ml d T+F r -mg"# = ml d
# -wµ" + F k = ml d " # -mgµ" + F k = ml d " Επειδή η ράβδος ΑΒ δεν περιστρέφεται η συνολική ροπή περί το κέντρο µάζας της των δυνάµεων που δέχεται είναι µηδενική, δηλαδή ισχύει: -T L "# + F k L µ + F L r "# = F r - T"# + F k µ = Προσθέτοντας κατά µέλη τις 1 και παλιρνουµε την σχέση: - mg µ" -mgµ" = ml # d " # k + ml d " - 5g µ"= 7L # d " d + 15g "µ = 5 1L H 5 αποτελεί την διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του συστή µατος. ii Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της 5 µε την ποσότητα dφ/ παίρ νουµε την σχέση: d d " d + 15g # 7L d µ = d " d # + -, - + 15g 7L d.µ = " d d # + -, - = - 15g.µd = 6 7L Ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση έχουµε: " d # = 15g + K 7 7L H σταθερά ολοκληρώσεως Κ θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη: d / = = όπου φ η τιµή της γωνίας φ την στιγµή t= που το σύστηµα αφήνεται ελεύ θερο να κινηθεί. Έτσι από την 7 θα έχουµε: = 15g 7L "# + K K = - 15g 7L "#
οπότε η 7 γράφεται: " d # = 15g 15g - 7L 7L " d # = 15g 7L - d = 15g 7L "# - "# 8 P.M. fysikos Στο άκρο Α οµογενούς ράβδου µήκους L και µάζας m, έχει στερεωθεί αβαρές δακτυλίδι, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή κατα µήκος κατακόρυφου σταθερού οδηγού, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο οριζόντιο έδαφος, όπως φαίνεται στο σχήµα 7. Αρχικά η ράβδος κρατείται ακίνητη, ώστε να σχηµατίζει µε τον οδηγό γωνία θ <π/ και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη. i Eάν την τυχαία χρονική στιγµή είναι θ η γωνία της ράβδου µε το οριζόντιο έδαφος και η αντίστοιχη γώνιακή της ταχύτητα περί το κέντρο µάζας της, να δείξετε τις σχέσεις: = g L "µ# - "µ# και d + g L "# = ii Να δείξετε ότι η δύναµη που δέχεται η ράβδος από τον οδηγό, σε κάποια θέση µηδενίζεται και στην συνέχεια αλλάζει φορά. Πόση είναι η δύναµη από το έδαφος την στιγµή που µηδενίζεται η δύναµη από τον οδηγό; iii Να εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία θ τις ταχύτητες των άκ ρων της. Tι συµβαίνει µε τις ταχύτητες αυτές λίγο πριν η ράβδος βρε θεί στο έδαφος; Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι =ml / της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος στην ράβδο και διέρχεται από το κέντρο µάζας της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i Εφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας µεταξύ της αρχικής της θέσεως και της θέσεώς της κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, που η γωνία µεταξύ της ράβδου και του οριζόντιου εδάφους είναι θ, παίρνουµε την σχέση: K "# + U "# = K t + U t +mg L µ" = 1 mv + 1 I # +mg L µ"
mv + I = mgl"µ# - "µ# 1 όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Εξάλλου οι αντίστοιχες συντεταγµένες του κέντρου µάζας εί ναι: x = L"# / dx / = -Lµ" / d" / y = Lµ / dy / = L#" / d" / v x = -L"µ# / v y = L# / όπου v x, v y η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα αντίστοιχα της τα χύτητας v. Όµως έχουµε την σχέση: v = v x + v y v = L "µ # + #/ = L / Σχήµα 7 Συνδυάζοντας τις σχέσεις 1 και έχουµε: ml + ml 1 = mgl"µ# - "µ# L = g"µ# - "µ# = g L "µ# - "µ# Διαφορίζοντας την παίρνουµε: d = - g L "#d d = - g L "# d d " = - g#" L d + g "# = 5 L ii Η ράβδος κατά την κίνησή της δέχεται το βάρος της w, την οριζόντια δύνα µη επαφής R από τον κατακόρυφο οδηγό και την δύναµη επαφής R από το
λείο οριζόντιο έδαφος µε κατακόρυφη προς τα άνω κατεύθυνση. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά την διεύθυνση του οριζόντιου άξονα Οx παίρνουµε την σχέση: m dv x = R 6 Διαφορίζοντας την πρώτη εκ των εξισώσεων έχουµε: dv x = - L "#d - L µd dv x = - L d "# - L d µ m dv x = - ml "# + d µ 6, + R = - ml "# + d µ, +,5 R R R = - ml g L µ" g - µ"#" - L µ"#" = - mg "#µ - µ - µ + = mg µ" - µ" #" 7 Από την 7 προκύπτει ότι στην θέση της ράβδου για την οποία ισχύει: µ" - µ" = ή = "#µ µ / 8 η δύναµη R µήδενίζεται, ενώ στις θέσεις που ισχύει θ<τοξηµηµθ / εί ναι R <, που σηµαίνει ότι στις θέσεις αυτές η δύναµη R έχει φορά αντίθετη εκείνης που αντιστοιχεί στις θέσεις θ<τοξηµηµθ /. Εφαρµόζοντας εξάλλου για το κέντρο µάζας της ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα κατά την διεύθυνση του κατακόρυφου άξονα Οy παίρνουµε την σχέση: m dv y = R - mg 9 Διαφορίζοντας την δεύτερη εκ των εξισώσεων έχουµε: dv y = d L "# + dv y = L d d "# - µ, +
m dv y = ml d "# - µ, +,5 m dv y = ml - g L "# - g L µ - µµ + m dv y = mg 9 -"# - 6µ µ+ 6µ R - mg= mg -"# - 6µ µ+ 6µ R = mg 1-6µ" µ"+ 9µ " 1 Την στιγµή που µηδενίζεται η δύναµη R είναι ηµθ=ηµθ /, οπότε: R = mg # 1-6µ" µ" + 9 µ " 9 R = mg 1 - µ " + µ " = mg > 11 iii Εάν v, v είναι οι ταχύτητες των άκρων Α και Β αντιστοίχως της ράβδου κατά την τυχαία στιγµή t και Κ το αντίστοιχο στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της ράβδου, τότε για τα µέτρα των ταχύτήτων αυτών ισχύουν οι σχέσεις: v = K = L "# v = K = L µ v = L"# g/lµ - µ = "# glµ - µ v = Lµ g/lµ - µ = µ glµ - µ Από την πρώτη εκ των 1 προκύπτει ότι το µέτρο της v αυξάνεται µονότονα µε τον χρόνο, διότι η γωνία θ µικραίνει συνεχώς από την τιµή θ στην τιµή µηδέν κατα την στιγµή που η ράβδος κτυπά στο έδαφος. Συγκεκριµένα κατά την εκκίνηση της ράβδου θ=θ το µέτρο της v είναι µηδέν, ενώ την στιγµή που η ράβδος φθάνει στο έδαφος θ= το µέτρο αυτό παίρνει την τιµή glµ". Εξάλλου από την την δεύτερη εκ των σχέσεων 1 προκύπτει ότι κατα την εκκίνηση της ράβδου ηµθ=ηµθ είναι v = και την στιγµή που η ράβδος κτυπά στο έδαφος θ= είναι πάλι v =. Αυτό σηµαίνει ότι στην διάρκεια της κίνησης της ράβδου η ταχύτητα του άκρου Β αυξάνεται µέχρι µιας µέγιστης τιµής και στην συνέχεια ελατώνεται µεχρι µηδενισµού της. Η µέγιστη τιµή της v επιβεβαιώνεται αν παρατηρήσουµε ότι κάθε στιγµή το µέτ ρο της v είναι διπλάσιο από το µέτρο της συνιστώσας v x, που όµως το µέτρο 1
αυτό γίνεται µέγιστο στην θέση ηµθ=ηµθ /, διότι στην θέση αυτή ισχύει dv x /= αφού η R µηδενίζεται. H µέγιστη τιµή του µέτρου της v είναι: v max = µ" # gl µ" - µ" = glµ " Παρατήρηση: Kατά την κίνηση της ράβδου µπορούµε κάθε στιγµή, µε εξαι ρεση την στιγµή που η ράβδος κτυπά στο έδαφος να εφαρµόζουµε το Πυθα γόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΟΒ, από το οποίο προκύπτει: x + y = x dx + y dy = x dx / + y dy / = x v + y v = 1 πό την τελευταία προκύπτει ότι την στιγµή που η ράβδος κτυπά στο έδαφος y η ταχύτητα v απειρίζεται, ενώ προηγούµενως βρέθηκε ότι η ταχύτητα αυτή είναι µηδενική. Η αντίφαση αυτή είναι φαινοµενική, διότι η σχέση 1 ουσιαστικά δεν ίσχύει για y. P.M. fysikos Στερεό σώµα αποτελείται από κυκλική στεφάνη µάζας m και ακτίνας R και από λεπτή ράβδο µήκους R και µάζας m, της οποίας το ένα άκρο είναι στερεωµένο κατάλληλα στο κέντρο της στεφάνης το δε άλλο άκρο της είναι στερεωµένο στην περιφέρεια της στεφάνης. Το στερεό µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της στεφάνης και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Εκτρέπουµε το σύστηµα κατά µικρή γωνία φ από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του και το αφήνουµε ελευθερο. Να προσδιορίσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την οριζόντια και την κατα κόρυφη συνιστώσα της αντίδρασης του άξονα περιστροφής. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι ρ =mr / της ράβ δου ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος σ αυτήν. ΛΥΣΗ: Το σύστηµα κατά την κίνησή του δέχεται το βάρος του m g, µε ση µείο εφαρµογής το κέντρο µάζας του που βρίσκεται επί της ράβδου ΟΑ σε απόστσση R/ από το Ο και την αντίδραση του άξονα περιστροφής που αναλύε ται στην οριζόντια συνιστώσα Q x και στην κατακόρυφη συνιστώσα Q y. Εφαρµό ζοντας για το σύστηµα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t που η ράβδος σχήµατίζει γωνία φ µε τον κατακόρυφο άξονα Οy, παίρνουµε την σχέση: " O = I O d # -mgoµ" = mr + mr / d "
-g R # µ = " # " R d - gµ" # = R d " d + g"µ 8R = 1 Eπειδή η γωνία φ είναι πολύ µικρή µπορούµε να θεωρήσουµε ότι ηµφ φ, οπό τε η 1 γράφεται: Σχήµα 8 d + g 8R = d + " = µε = g 8R Η είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: = "µ #t + όπου Α, θ σταθερές ποσότητες που θα προκύψουν από τις αρχικές συνθήκες φ t= =φ και dφ/ t= =. Oι αρχικές αυτές συνθήκες µε βάση την δίνουν Α=φ και θ=π/, οπότε η παίρνει την µορφή: = "µ #t + / = #t Εξάλλου ο δεύτερος νόµος του Νευτωνα δίνει για την κίνηση το κέντρου µάζας τις σχέσεις: md x / = Q x " md y / = mg - Q y # Oι συντεταγµένες του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t είναι: x = Rµ" / y = R#" / dx dy = R"# = - R,µ d + R d d + - R d - /. / /
dx - R"# µ"t dy R"# "tµ"t + dx - R"# µ"t dy R"# µ"t 8 5 Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο τις σχέσεις 5 παίρνουµε: d x - R" # "t d y R" # "t 6 Συνδυάζοντας τις σχέσεις και 6 παίρνουµε: και # Q x = -m R " +t = - mr " + Q y = mg - m R # " +t Q y = m g - R " #t + P.M. fysikos