ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ & ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΤΑΣ Θύρα (port) > ΓΜ ή Κ/Ο που υποστηρίζει ένα & µόνο ρυθµό (Wheeler, 950). Φυσικές Θύρες Ηλεκτρικές Θύρες t Τερµατικά επίπεδα (αυθαίρετα) n + + ( n, n) ( n, n) + n n n + n n n Προσπίπτουσα τάση & ρεύµα Ανακλώµενη τάση & ρεύµα + Συνολική τάση Συνολικό ρεύµα Μικροκυµατικό δίκτυο Ν-θυρών. Ο πίνακας συνθέτων αντιστάσεων συσχετίζει συνολικές τάσεις και ρεύµατα. Z Z... ZN Z [ ] [ Z][ ] N ZN...... Z NN N Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 7
Ο πίνακας συνθέτων αγωγιµοτήτων συσχετίζει συνολικές τάσεις και ρεύµατα. N Y Y... Y Y YN...... Y NN N N Πως ορίζονται τα στοιχεία των πινάκων? [ ] [ Y][ ] [ Y] [ Z] Z ij i j 0 fork j k Η Z ij βρίσκεται οδηγώντας τη θύρα j µε το ρεύµα j, ανοικτοκυκλώνοντας όλες τις υπόλοιπες θύρες ( k 0, k j) και µετρώντας την τάση ανοικτού κυκλώµατος στη θύρα i. Σύνθετες αντιστάσεις/αγωγιµότητες εισόδου και µεταφοράς Θυµίζουν «Κυκλώµατα Ι»!!! Y ij i j 0 fork j k Η Y ij βρίσκεται οδηγώντας τη θύρα j µε την τάση j, βραχυκυκλώνοντας όλες τις υπόλοιπες θύρες ( k 0, k j) και µετρώντας το ρεύµα βραχυκυκλώµατος στη θύρα i. Τα στοιχεία των πινάκων [Z], [Y] είναι γενικά µιγαδικοί αριθµοί. Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 8
Ιδιότητες πινάκων [Z], [Y]: (α) Αµοιβαία δίκτυα (όχι ενεργές διατάξεις & φερρίτες) Zij Zji Yij Yji (β) ίκτυα χωρίς απώλειες Zij Yij Συµµετρικοί πίνακες Καθαροί φανταστικοί αριθµοί Παράδειγµα Προσδιορίστε τον πίνακα συνθέτων αντιστάσεων του δίθυρου Τ δικτύου που σηµειώνεται στο σχήµα. Z Z Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 9 Z + Z 0 0 A C Z + Z C 0 B C B C Z Z Z C ( Z + Z ) Z Z + Z Z + Z C 0 A C B C B C C Z Z Z C ( Z + Z ) Z Z + Z Z + Z A C A C C
Παράδειγµα Προσδιορίστε τον πίνακα συνθέτων αγωγιµοτήτων του δίθυρου Π δικτύου που σηµειώνεται στο σχήµα. Y Y Y Y Y + Y 0 0 A C Y + Y Y 0 Y 0 B C C C υαδική περίπτωση αλλά προσοχή στο πρόσηµο «-» λόγω της σύµβασης του ρεύµατος! Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 0
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΚΕ ΑΣΗΣ Μικροκυµατικό δίκτυο Ν-θυρών. Τρίθυρο µικροκυµατικό δίκτυο (υλοποίηση σε microstrip). Οι συνολικές τάσεις & ρεύµατα δενµπορούν τα µετρηθούν εύκολα στις υψηλές συχνότητες. Για περιγραφή στα πλαίσια προσπιπτόντων και ανακλώµενων (σκεδαζόµενων) κυµάτων φαίνεται ορθότερη από φυσική σκοπιά. Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων
Ο πίνακας σκέδασης [S] συσχετίζει κύµατα που προσπίπτουνστο δίκτυο µε αυτά που ανακλώνται > Τα στοιχεία του είναι άµεσα µετρήσιµα. +... SN S + S S SN...... S + N NN N + [ ] [ S][ ] Πως ορίζονται τα στοιχεία του [S]? ιανυσµατικός αναλυτής δικτύου (ector Network Analyzer) S ij i + j + k 0fork j Το στοιχείο S ij βρίσκεται οδηγώντας τη θύρα j µε την προσπίπτουσα τάση + j και µετρώντας το ανακλώµενο κύµα i που εξέρχεται από τη θύρα i. Το προσπίπτον κύµα σε όλες τις άλλες θύρες (k j) έχει τεθεί ίσο µε το µηδέν πράγµα το οποίο σηµαίνει ότι όλες οι θύρες τερµατίζονται σε προσαρµοσµένα φορτία. S ii :Συντελεστής ανάκλασηςστη θύρα iόταν όλες οι άλλες είναι προσαρµοσµένες. S ij :Συντελεστής µετάδοσηςαπό θύρα jστη θύρα iόταν όλες οι άλλες είναι προσαρµοσµένες. Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων
Τερµατισµός προσαρµοσµένο φορτίο 50Ω 3 Μέτρηση στοιχείων S, S Ο πίνακας σκέδασης είναι µια άλλη αναπαράσταση (περιγραφή) του δικτύου > εν είναι ασύνδετοςµε τον [Z]ή [Y]. Υποθέτω για ευκολία: Z 0n + + + n n + n n n n n n + + [ Z][ ] [ Z][ ] [ Z][ ] [ ] [ ] + [ ] ( + ) ( ) + [ Z] [ U][ ] [ Z] [ U][ ] ( + ) ( ) [ ] ([ ] + [ ])([ ] [ ]) [ S] [ Z] [ U] [ Z] [ U] Πίνακας «Μονάδα» Z U S U S Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 3
Στο σχήµα φαίνεται ένα απλό κύκλωµα απόσβεσης 3 db για γραµµή χαρακτηριστικής αντίστασης 50 Ω. είξτε ότι ο πίνακας σκέδασης είναι ίσος µε: 0 / [ S ] / 0 8.56 8.56 8.56 8.56 Z 0 50 4.8 Z 0 50 Z 0 50 () 4.8 50 Παράδειγµα (α) (β) (α) Κύκλωµα α όσβεσης 3 db για γραµµή 50 Ω. (β)συντελεστής ανάκλασης ου φαίνεται στη θύρα µε τη θύρα ροσαρµοσµένη. Θεωρούµε ότι η θύρα τερµατίζεται σε ένα προσαρµοσµένο φορτίο 50 Ω, όπως φαίνεται στο σχήµα (β). Το στοιχείο S µπορεί να υπολογισθεί µε εφαρµογή της εξίσωσης ορισµού και προφανώς συµπίπτει µε το συντελεστή ανάκλασης που φαίνεται στη θύρα. S () () in + Γ () () in Z Z + + 0 0 Zin + Z0 Z 8.56+ 4.8//(8.56+ 50) 8.56+ 4. 50Ω 0 Άρα S 0. Προφανώς λόγω της συµµετρίας που έχει το κύκλωµα αυτό και S 0. Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 4
Συνέχεια Σύµφωνα µε την ορισµό S + 0 + Η τάση + συµπίπτει µε τη συνολική τάση καθώς ο συντελεστής ανάκλασης στην είσοδο είναι µηδέν. Επιπλέον η τάση συµπίπτει µε την συνολική τάση, καθώς η θύρα είναι προσαρµοσµένη. Οι συνολικές τάσεις και συνδέονται µεταξύ τους µέσω µίας διπλής διαίρεσης τάσης: 4.8// 58.56 50 0.707 4.8// 58.56+ 8.56 50+ 8.56 Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 5
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΠΙΝΑΚΑ ΣΚΕ ΑΣΗΣ Ο πίνακας σκέδασης ενός αµοιβαίου δικτύου είναι συµµετρικός. Υποθέτω: Z 0n + n n + n + + n n n n n Απαλείφοντας το [] Παίρνουµε τον ανάστροφο του [S]: { ( ) } ( ) [ S] [ Z] + [ U] [ Z] [ U] Αµοιβαίο δίκτυο: Sij Sji [ Z] [ Z] + [ ] ([ Z] + [ U][ ) ] [ ] ([ Z] [ U][ ) ] [ S] [ Z] [ U] [ Z] + [ U] ( )( ) ( ) ( ) [ S] [ Z] + [ U] [ Z] [ U] [ S] (Λόγω της γενικής σχέσης που συνδέει τον [S] &[Z], slide #) Αµοιβαία δίκτυα > [S] συµµετρικός, µε την προϋπόθεση κοινής ΧΑ Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 6
ίκτυα χωρίς απώλειες. Εάν δεν υπάρχουν απώλειες > Η ισχύς που αποδίδεται στο δίκτυο είµαι µηδέν. { *} {( + )( + * * P Re[ ] [ ] Re [ ] [ ] [ ] [ ] )} av + Re { [ + ] [ + ] * [ + ] [ ] * [ ] [ + ] * [ ] [ ] * + } Της µορφής v - v*, άρα καθαρός φανταστικός αριθµός Ισχύς που αποδίδεται Προσπίπτουσα - Ανακλώµενη Εάν οι απώλειες είναι µηδέν: [ ] [ ] [ ] [ ] + + * * [ ] [ ] [ ] [ ] + + * * Χρήση του ορισµού πίνακα σκέδασης + [ ] [ S][ ] * * [ S] [ S] [ U] [ S] [ S] { } Ένας τέτοιος πίνακας ονοµάζεται µοναδιαίος πίνακας (unitary matrix). Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 7
Τι ακριβώς σηµαίνει η σχέση? N k N k * ki ki S S * ki kj S S 0; i j * * [ S] [ S] [ U] [ S] [ S] N k * ki kj ij S S δ { } Το εσωτερικό γινόµενο κάθε στήλης του [S]µε τη συζυγή της ίδιας στήληςδίνει µονάδαενώ το εσωτερικό γινόµενο κάθε στήλης µε τη συζυγή µίας διαφορετικής στήληςδίνει µηδέν. ηλαδή οι στήλες του πίνακα [S] είναι ορθογώνιες. Εάν το δίκτυο είναι αµοιβαίο, ότι ισχύει για τις στήλες ισχύει και για τις γραµµές. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Συντελεστής ανάκλασης στη θύρα n: ενείναι S nn εκτός εάν όλεςοι θύρες είναι προσαρµοσµένες. Συντελεστής µετάδοσης µεταξύ των θυρών mκαι n: ενείναι S nm εκτός εάν όλεςοι άλλες θύρες είναι προσαρµοσµένες. Οι παράµετροι σκέδασης αποτελούν ιδιότητα του δικτύουκαι δεν συνδέονται µε την κατάσταση τερµατισµού των θυρών! Αλλάζοντας τους τερµατισµούςτων θυρών αλλάζουν οι συντελεστές ανάκλασης / µετάδοσης που φαίνονται. Περιγραφή Μικροκυµατικών Κυκλωµάτων 8