Θεωρια Μετρου και Ολοκληρωσης σε Τοπικα Συµπαγεις Οµαδες

Θεωρια Μετρου και Ολοκληρωσης σε Τοπικα Συµπαγεις Οµαδες ιπλωµατικη Εργασια Σακελαρόπουλος Αλέξιος Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αθηνων Αθηνα 2016

Επιβλεπων Καθηγητης : Α. Κατάβολος Τριµελης Επιτροπη : Μ. Ανούσης Α. Κατάβολος Γ. Κουµουλλής

Περιεχόµενα Εισαγωγή v 1 Εισαγωγικά 1 1.1 Τοπικά Συµπαγείς Χώροι.................... 1 1.2 Κανονικά Μέτρα......................... 3 1.3 Στοιχεία ϑεωρίας χώρων Hilbert................. 7 1.3.1 Χώροι Hilbert....................... 7 1.3.2 Τελεστές σε χώρους Hilbert................ 8 1.3.3 Ειδικές κατηγορίες τελεστών σε χώρους Hilbert..... 10 2 Το µέτρο Haar σε Τοπολογικές Οµάδες 15 2.1 Τοπολογικές Οµάδες....................... 15 2.2 Το µέτρο Haar.......................... 19 2.3 Κάποια τεχνικά Ϲητήµατα.................... 27 2.4 The modular function...................... 30 2.5 Η άλγεβρα L 1 (G)......................... 33 3 Αναπαραστάσεις Τοπικά Συµπαγών Οµάδων 37 3.1 Unitary Αναπαραστάσεις..................... 37 3.2 Αναπαραστάσεις και άλγεβρα της οµάδας............ 42 3.3 Συναρτήσεις ϑετικού τύπου................... 48 3.4 Το ϑεώρηµα Gelfand-Raikov................... 54 4 Ανάλυση σε συµπαγείς οµάδες 61 4.1 Αναπαραστάσεις συµπαγών οµάδων............... 61 4.2 Το ϑεώρηµα Peter-Weyl..................... 64 Αʹ ιάσπαση των L x, R x 69 Βʹ Αναπαραστάσεις της Οµάδας S 3 73 iii

Εισαγωγή Ο όρος Αρµονική Ανάλυση είναι αρκετά ευέλικτος και έχει χρησιµοποιηθεί για αρκετά διαφορετικά πράγµατα. Σίγουρα η σύγχρονη µορφή της ξεκινά µε την ανάλυση Fourier στον R και κατ επέκταση στον R n, αλλά κάποιος ϑα µπορούσε να ϑεωρήσει ότι οι απαρχές της ϐρίσκονται στην αρχαιότητα, καθώς οι µουσικές ϑεωρίες του Πυθαγόρα έχουν στοιχεία τριγωνοµετρικής ϕύσης. Ο όρος αρµονικός άλλωστε σηµαίνει µουσικά ικανός. Για περισσότερες λεπτοµέρειες στην ιστορία και εξέλιξη της ανάλυσης Fourier και της αρµονικής ανάλυσης παραπέµπουµε στο [11]. Η ανάλυση Fourier µελετά το πώς και ποιών ειδών συναρτήσεις στον R n µπορούν να αναπαρασταθούν ή να προσεγγιστούν µε, απλούστερες, τριγωνοµετρικές συναρτήσεις, µέσω µετασχηµατισµών Fourier, ϑεωρία που έχει εφαρµογές σε πολλές περιοχές των Μαθηµατικών και της Φυσικής, όπως για παράδειγµα, Μ..Ε., ϑεωρία αριθµών, combinatorics, ανάλυση σήµατος, ο- πτική, ακουστική κ.ά. Η αφηρηµένη αρµονική ανάλυση µε τη σειρά της αναπτύχθηκε παίρνοντας την ιδέα της προσέγγισης πραγµατικών συναρτήσεων και γενικεύοντας τη για συναρτήσεις που ορίζονται σε τυχαίες τοπικά συµπαγείς Hausdorff τοπολογικές οµάδες, όπως είναι οι πραγµατικοί. Ιδιαίτερα για µη αβελιανές οµάδες, η αρµονική ανάλυση συνδέεται µε τη ϑεωρία των unitary αναπαραστάσεων οµάδων και ειδικότερα για συµπαγείς οµάδες η Ϲητούµενη προσέγγιση των συναρτήσεων και κατ επέκταση η διάσπαση του L 2 (G) µε χρήση αυτών των αναπαραστάσεων γίνεται πολύ συγκεκριµένα, όπως διαφαίνεται το ϑεώρηµα των Peter και Weyl, καταληκτικό ϑεώρηµα αυτής της εργασίας. Ειδικότερα σε αυτή την εργασία ασχολούµαστε µε τα ϐασικά ϑεωρητικά αναγκαία για να κανουµε αρµονική ανάλυση σε τοπικά συµπαγείς οµάδες. Πιο συγκεκριµένα, στο κεφάλαιο 1 αναφέρονται οι προαπαιτούµενες για τη συνέχεια γνώσεις απο τη Θεωρία Μέτρου και τη Θεωρία Τελεστών. Στο κε- ϕάλαιο 2 ασχολούµαστε µε τις τοπολογικές οµάδες και αποδεικνύουµε την ύπαρξη του µέτρου Haar, η οπία είναι κοµβικής σηµασίας. Στο κεφάλαιο 3 αναφέρονται τα ϐασικά της Θεωρίας (unitary) Αναπαραστάσεων, ενω στο 4ο v

vi ΕΙΣΑΓΩΓΗ και τελευταίο κεφάλαιο περιοριζόµαστε στην ανάλυση σε συµπαγείς οµάδες και αποδεικνύουµε το προαναφερθέν ϑεώρηµα Peter-Weyl. Τέλος, στο Παράρτηµα παρατίθεται η διάσπαση της δεξιάς και της αριστε- ϱάς κανονικής αναπαράστασης µιας τοπικά συµπαγούς οµάδας (λεπτεοµε- ϱέστερα) καθώς και ένα παράδειγµα αυτής για την S 3. (Ευχαριστώ ϑερµά τον. Γατζούρα για την προσθήκη αυτή.)

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1 Τοπικά Συµπαγείς Χώροι Ορισµός 1.1.1. Ενας τοπολογικός χώρος X λέγεται τοπικά συµπαγής εάν για κάθε x X, υπάρχει U X συµπαγές, µε x U. Παρατήρηση 1.1.2. Για λόγους απλότητας, ένα ως άνω U ϑα το ονοµάζουµε συµπαγή περιοχή του x. Υπενθυµίζουµε ότι µε τον όρο περιοχή ενός x X εννοούµε ένα U X, ανοικτό, µε x U. Παράδειγµα 1.1.3. 1. Ο χώρος R των πραγµατικών αριθµών (µε τη συνήθη τοπολογία) είναι τοπικά συµπαγής, αφού, για κάθε x R έχουµε x [x r, x + r], για οποιοδήποτε r > 0. Ο Q, ως υπόχωρος του R δεν είναι τοπικά συµπαγής. 2. Κάθε συµπαγής χώρος είναι τοπικά συµπαγής. 3. Κάθε διακριτός χώρος είναι τοπικά συµπαγής. 4. Οι κλειστοί υπόχωροι τοπικά συµπαγών χώρων είναι επίσης τοπικά συµπαγείς. Πρόταση 1.1.4. Εστω X χώρος Hausdorff. Τα επόµενα είναι ισοδύναµα : 1. Ο X είναι τοπικά συµπαγής. 2. Για κάθε x X υπάρχει U περιοχή του x, µε U συµπαγές. 3. Για κάθε x X και U ανοικτό µε x U, υπάρχει V ανοιχτό, σχετικά συµπαγές σύνολο µε x V V U. 4. Για κάθε F X, συµπαγές και U X, ανοικτό, µε F U, υπάρχει V ανοικτό, σχετικά συµπαγές µε F V V U. 1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Απόδειξη (1) (2) : Άµεσο από τον ορισµό. (2) (3) : Εστω x X, U X, ανοιχτό, µε x U. Εφόσον ο X είναι τοπικά συµπαγής, υπάρχει F συµπαγής περιοχή του x. Το F είναι κανονικός χώρος στη σχετική του τοπολογία και το σύνολο F U είναι µία περιοχή του x στο F. Εποµένως υπάρχει G ανοικτό στο F µε x G cl F G F U. Για το G τώρα, υπάρχει E X, ανοικτό, τέτοιο ώστε G = F E. Θέτουµε V = E F και έχουµε x V V U και V συµπαγές. (3) (4) : Εστω F X, συµπαγές, και U X, ανοιχτό, µε F U. Για κάθε x F έχουµε x U, οπότε υπάρχει V (x) ανοιχτό, σχετικά συµπαγές, µε x V (x) V (x) U. Η οικογένεια {V (x) : x F } αποτελεί ανοιχτό κάλυµµα του συµπαγούς F, οπότε υπάρχουν x 1,..., x k F τέτοια ώστε F V (x 1 ) V (x k ). Θέτουµε V = V (x 1 ) V (x k ) και έχουµε F V V U µε V σχετικά συµπαγές. (4) (1) : Άµεσο από τον ορισµό. Πρόταση 1.1.5. Ενας τοπικά συµπαγής χώρος Hausdorff είναι τελείως κανονικός. Απόδειξη Εστω X τοπικά συµπαγής χώρος Hausdorff. Αν x X και F X, κλειστό, µε x / F, τότε υπάρχει U X, ανοιχτό, µε x U U X F, µε το U να είναι συµπαγές και επίσης υπάρχει V ανοιχτό στο X, τέτοιο ώστε x V V U. Οµως το U είναι συµπαγής χώρος Hausdorff, οπότε είναι ϕυσιολογικός και άρα, απο το λήµµα του Urysohn, υπάρχει µία συνεχής συνάρτηση f : U [0, 1], µε f(x) = 1 και f(y) = 0 για κάθε y U V. Θέτουµε τώρα : g : X [0, 1] µε F U = f και g(y) = 0, για κάθε y X U. Εφόσον οι περιορισµοί g U, g X V είναι συνεχείς και ταυτίζονται στο σύνολο U (X V ), έχουµε ότι g συνεχής, οπότε X τελείως κανονικός. Ορισµός 1.1.6. 1. Αν X τοπικά συµπαγής χώρος και f : X R µια πραγµατική ή µιγαδική συνάρτηση, οναµάζουµε ϕορέα της f το σύνολο : supp(f) := {x X : f(x) 0}

1.2. ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 3 2. Συµβολίζουµε µε C c (X) σύνολο όλων των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων, που ο ϕορέας τους είναι συµπαγές σύνολο και µε C c (X, C) το σύνολο των συνεχών µιγαδικών συναρτήσεων, που ο ϕορέας τους είναι συµπαγές σύνολο. Πρόταση 1.1.7. Εστω X τοπικά συµπαγής χώρος Hausdorff, K X, συµπαγές και U X, ανοιχτό µε K U. Τότε υπάρχει f C c (X) τέτοια ώστε χ K f χ U και supp(f) U. Απόδειξη Από την πρόταση 1.1.4 (4) έχουµε ότι υπάρχει ένα ανοικτό σύνολο V τέτοιο ώστε το V να είναι συµπαγές και K V V U. Ο χώρος V είναι ϕυσιολογικός, ως συµπαγής Hausdorff. Από το λήµµα του Urysohn έπεται ότι υπάρχει g : V [0, 1] συνεχής, µε g(x) = 1, x K και g(x) = 0, x V V. Ορίζουµε τώρα : f : X [0, 1], µε { g(x), αν x V 0, αν x X V Αφού τα V, X V είναι κλειστά, καλύπτουν τον X και η f περιορισµένη στο καθένα είναι συνεχής, έπεται ότι η g είναι συνεχής, ενώ είναι ϕανερό ότι χ K f χ U. Παρατήρηση 1.1.8 (συµβολισµός). Θα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό f U εννοώντας ότι f C c (X), U ανοιχτό υποσύνολο του X, 0 f χ U και supp(f) U. Αντίστοιχα, µε K f εννοούµε ότι K συµπαγές, f C c (X), 0 f 1 και f(x) = 1 για x K. Για παράδειγµα, µε το συµβολισµό αυτό, το συµπέρασµα της προηγούµενης πρότασης γράφεται : K f U. 1.2 Κανονικά µέτρα σε τοπικά συµπαγείς χώ- ϱους - Το ϑεώρηµα αναπαράστασης του Riesz Ορισµός 1.2.1. Εστω X χώρος Hausdorff, A σ-άλγεβρα στον X, µε Bo(X) A, (όπου µε Bo(X) συµβολίζουµε τη σ-άλγεβρα των Borel συνόλων) και µ ένα µέτρο στον (X, A). Το µ λέγεται κανονικό, εάν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες : 1. µ(k) <, για κάθε K X συµπαγές. 2. µ(a) = inf{µ(u) : U ανοικτό στον X, A U}, για κάθε A A (εξωτε- ϱική κανονικότητα).

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 3. µ(a) = sup{µ(k) : K συµπαγές στον X, K A}, για κάθε A A (εσωτερική κανονικότητα). Το µ ϑα λέγεται ασθενώς κανονικό, εάν η εσωτερική κανονικότητα ισχύει για τα ανοικτά σύνολα του Χ, δηλαδή εάν η ως άνω ιδιότητα (3) αντικατασταθεί από την ασθενέστερη : (3) µ(u) = sup{µ(k) : K συµπαγές στον X, K U}, για κάθε U X, ανοιχτό. Εάν A = Bo(X) και το µ είναι ασθενώς κανονικό και τοπικά πεπερασµένο, δηλαδή αν για κάθε x X υπάρχει µια περιοχή του x µε πεπερασµένο µέτρο, τότε το µ ϑα λέγεται µέτρο Radon. Αξίζει να σηµειωθεί ότι αν ο Χ είναι τοπικά συµπαγής, ένα ασθενώς κανονικό µέτρο είναι αυτόµατα και τοπικά πεπερασµένο. Παρατήρηση 1.2.2. Πρέπει να σηµειωθεί ότι η ως άνω ορολογία δεν είναι ενιαία και ότι πολλοί συγγραφείς µε τον όρο κανονικότητα εννοούν αυτό που εµείς οριζουµε ως ασθενή κανονικότητα. Αυτό µάλλον οφείλεται στο γεγονός ότι αν το µ είναι σ-πεπερασµένο, παραδείγµατος χάριν αν ο Χ είναι σ-συµπαγής, τότε η (3) συνεπάγεται από την (3). Ενδεικτικά παραπέµπουµε στα [2, Πρόταση 12.4], [4, p.47, Regularity Properties of Borel measures]. Παράδειγµα 1.2.3. 1. Το µέτρο Lebesgue στους ευκλειδείους χώρους είναι κανονικό. Περιορισµένο δε στις αντίστοιχες Borel σ-άλγεβρες είναι µέτρο Radon. 2. Κάθε µέτρο Dirac είναι µέτρο Radon. 3. Το αριθµητικο µέτρο στο R δεν είναι Radon, αφού δεν είναι τοπικά πεπερασµένο. Στα παρακάτω ϑεωρούµε ότι ο Χ είναι τοπικά συµπαγής και το µ είναι ασθενώς κανονικό µέτρο. Πρόταση 1.2.4. Το σύνολο των απλών συναρτήσεων στον L p (µ) είναι πυκνό υποσύνολο του L p (µ), 1 p. Απόδειξη Εστω f L p (µ). Αρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει {s n } ακολουθία απλών συναρτήσεων στον L p (µ) ώστε s n f στον L p (µ). Υποθέτουµε πρώτα ότι 1 p <. Εστω f 0.Γνωρίζουµε ότι υπάρχει {s n } ακολουθία απλών µετρησίµων ώστε 0 s n f και lim n s n = f. Επεται ότι s n p f p και αφού f L p (µ) έχουµε και ότι κάθε s n L p (µ). Επίσης έχουµε ότι f p L 1 (µ) και f s n p f p (αφού 0 f s n f.) Από το ϑεωρηµα κυριαρχηµένης συγκλισης έπεται ότι :

1.2. ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΜΕΤΡΑ 5 f sn p 0, οπότε f s n p = ( f s n p ) 1 p 0, δηλαδή s n f, στον L p (µ). (Η γενική περίπτωση όπου η f είναι µιγαδική µετρήσιµη έπεται εύκολα απο τα παραπάνω, αφού η f = u + iv γράφεται f = u + u + i(v + v ), όπου οι u +, u, v +, v είναι ϑετικές, µετρήσιµες και ανήκουν στον L p (µ) εάν f L p (µ), όπως προκύπτει εύκολα. Για παράδειγµα για την u + έχουµε u + p f p.) Εστω τώρα p =. Οπως πριν, αρκεί να δείξουµε το Ϲητούµενο όταν η f είναι πραγµατική. Για κάθε n N ϑεωρούµε µια διαµέριση του διαστήµατος [ f, f +1] µε λεπτότητα µικρότερη του 1 n, έστω {tn 0 < t n 1 < < t n k n }. Θέτουµε τώρα : s n = k n i=1 t n i χ [t n i 1 f<t n i ], n = 1, 2,... Τότε οι s n είναι απλές µε s n L (µ) και f s n 1, µ σχεδόν παντού. n Εποµένως f s n 1, n οπότε s n f, στον L (µ). Πρόταση 1.2.5. Εστω (X, A, µ) χώρος (ασθενώς) κανονικού µέτρου, όπου X τοπικά συµπαγής χώρος Hausdorff. Τότε ο C c (X) είναι πυκνός υπόχωρος του L p R (µ), για 1 p <. Απόδειξη Αρχικά παρατηρούµε ότι ο C c (X) αποτελεί υπόχωρο του L p (µ). Πράγµατι, αν f C c (X), τότε η f είναι, ως συνεχής, Borel µετρήσιµη και άρα A µετρήσιµη. (Υπενθυµίζουµε την απαίτηση στον ορισµό του κανονικού µέτρου, Bo(X) A.) Επίσης έχουµε : f p dµ = f p dµ ( sup f(x) p )µ(supp(f)) <, supp(f) x supp(f) αφού supp(f) συµπαγές. Τώρα προκειµένου να αποδείξουµε το Ϲητούµενο, αρκεί να το δείξουµε για χαρακτηριστικές, αφού η περίπτωση των απλών έπεται άµεσα και µετά µπορούµε να κάνουµε χρήση της αµέσως προηγούµενης πρότασης. Εστω λοιπόν f = χ A L p R (µ), δηλαδή A A και µ(a) < και ɛ > 0. Από την κανονικότητα του µ, υπάρχουν K, U X µε K συµπαγές και U ανοιχτό, τέτοια ώστε K A U και µ(u K) < ɛ p. Από την πρόταση 1.1.7 έχουµε ότι υπάρχει g C c (X) µε χ K g χ U. Τότε έχουµε f g = χ A g χ U K και άρα : f g p (µ(u K)) 1 p < ɛ.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ είξαµε ότι αν το µ είναι ένα (ασθενώς) κανονικό µέτρο στον τοπικά συµπαγή X, τότε ο C c (X) είναι διανυσµατικός υπόχωρος του L p R (µ). Περιοριζό- µαστε τώρα στα µέτρα Radon. Αφού ο C c (X) είναι διανυσµατικός υπόχωρος του L p R (µ), ορίζεται η απεικόνιση : I : C c (X) R, µε I(f) = fdµ. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι αυτή αποτελεί γραµµικό συναρτησοειδές του C c (X) και µάλιστα ϑετικό, δηλαδή ισχύει I(f) 0, για κάθε f C c (X), f 0. Στην πραγµατικότητα ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή κάθε ϑετικό γραµ- µικό συναρτησοειδές είναι αυτής της µορφής και µάλιστα το αντίστοιχο µ που το αναπαριστά ως ολοκλήρωµα είναι µοναδικό. Συγκεκριµένα έχουµε τα παρακάτω : Λήµµα 1.2.6. Αν µ είναι ένα µέτρο Radon σε έναν τοπικά συµπαγή χώρο Hausdorff Χ, τότε : µ(u) = sup{ fdµ : f C c (X), f U} = sup{ fdµ : f C c (X), 0 f χ u }, για κάθε U X, ανοιχτό. Απόδειξη Προφανώς fdµ µ(u) για κάθε f C c (X) µε 0 f χ U. Αρκεί λοιπόν να δειχθεί ότι : µ(u) sup{ fdµ : f C c (X), f U.} Εστω λοιπόν β R, µε 0 β < µ(u). Αν µ(u) = 0, τότε η ανισότητα είναι προφανής. Εστω µ(u) > 0. Από την εσωτερική κανονικότητα του µ, υπάρχει K U, συµπαγές, µε µ(k) > β. Από την πρόταση 1.1.7, υπάρχει f C c (X), µε K f U. Τότε fdµ µ(k) > β και άρα sup{ fdµ : f f U} > β. Αφού αυτό ισχύει για κάθε β µε 0 β < µ(u), η απόδειξη είναι πλήρης. Θεώρηµα 1.2.7 (αναπαράστασης Riesz). Εστω X τοπικά συµπαγής χώρος Hausdorff και I έναι ϑετικό γραµµικό συναρτησοειδές του C c (X). Τότε υπάρχει ένα µέτρο Radon στον X, τέτοιο ώστε : I(f) = fdµ, για κάθε f C c (X). Μάλιστα, από το λήµµα 1.2.6, το µέτρο αυτό είναι µοναδικό. Για την απόδειξη παραπέµπουµε :[2, Θεώρηµα 12.25],[4, Theorem 2.14]

1.3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΧΩΡΩΝ HILBERT 7 1.3 Στοιχεία ϑεωρίας χώρων Hilbert Στα παρακάτω αναφέρουµε ϐασικά στοιχεία ϑεωρίας χώρων Hilbert που ϑα χρησιµοποιοηθούν στη συνέχεια. Για αναλυτικές αποδείξεις των προτάσεων καθώς και για πληρέστερη ϑεωρία παραπέµπουµε στα [9] και [10]. 1.3.1 Χώροι Hilbert Ορισµός 1.3.1. Εστω H µιγαδικός γραµµικός χώρος. Ενα εσωτερικό γινό- µενο στον H είναι µια απεικόνιση µε τις ιδιότητες : 1. x, x 0 2. x, x = 0 x = 0 3. x, y = y, x, : H H C 4. x 1 + λx 2, y = x 1, y + λ x 2, y για κάθε x, x 1, x 2, y H, λ C. Τότε η απεικόνιση : H R + : x x = x, x είναι νόρµα στον H. Ενας χώρος µε εσωτερικο γινόµενο ονοµάζεται χώρος Hilbert εφόσον είναι πλήρης ως προς τη νόρµα που ορίζει το εσωτερικό γινόµενο. ύο στοιχεία x, y H σ εναν χώρο µε εσωτερικό γινόµενο ονοµάζονται κάθετα, εάν x, y = 0. Αν A H, το σύνολο A = {x H : x, y = 0, για κάθε y A} είναι πάντα κλειστός υπόχωρος του H. Θεώρηµα 1.3.2. Εστω H χώρος Hilbert και M κλειστός γνήσιος υπόχωρός του. Τότε M {0} και ισχύει M M = H. Εποµένως κάθε x H γράφεται κατά µοναδικό τρόπο x = P M (x) + P M (x)

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ όπου P M (x) M και P M (x) M και ισχύει x 2 = P M (x) 2 + P M 2 λόγω του Πυθαγορείου Θεωρήµατος. Εποµένως P M (x) 2 x 2. Η απεικόνιση P M : H H λέγεται ορθή προβολή επί του M. Είναι καλά ορισµένη, γραµµική και συνεχής. Μάλιστα P M = 1, όταν M {0}. 1.3.2 Τελεστές σε χώρους Hilbert Θεώρηµα 1.3.3. Αν H, K χώροι Hilbert και T : H K είναι γραµµική απεικόνιση, τα εξής είναι ισοδύναµα : 1. Η T είναι συνεχής. 2. Η T είναι συνεχής στο 0 H. 3. Η T είναι συνεχής σε κάποιο x 0 H. 4. Υπάρχει M < ώστε T x K M x H για κάθε x H. 5. Ο περιορισµός της T στη µοναδιαία µπάλα του H είναι ϕραγµένη συνάρτηση, δηλαδή το σύνολο T x K : x H 1} είναι ϕραγµένο. 6. Η T είναι οµοιόµορφα συνεχής. Ορισµός 1.3.4. Μια γραµµική απεικόνιση T : H K λέγεται ϕραγµένη, ή ϕραγµένος γραµµικός τελεστής, αν ο περιορισµός της T στη µοναδιαία σφαίρα του H είναι ϕραγµένη συνάρτηση. Ο αριθµός T = sup{ T x K : x H 1} ονοµάζεται νόρµα του T. Πρόταση 1.3.5. Εστω T : H K ϕραγµένος τελεστής. Τότε : T = sup{ T x : x H, x 1} = T x sup{ : x H, x 0} x = inf{m > 0 : T x M x για κάθε x H και ισχύει T x T x, για κάθε x H.

1.3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΧΩΡΩΝ HILBERT 9 Ορισµός 1.3.6. Το σύνολο των ϕραγµένων γραµµικών τελεστών T : H K συµβολίζεται µε B(H, K). Γράφουµε B(H), αντί για B(H, H). Αν εφοδιάσουµε το σύνολο B(H, K) µε τις κατά σηµείο πράξεις, δηλαδή αν ορίσουµε, για T, S B(H, K) και λ C, (T + S)(x) = T (x) + S(x)και (λt )(x) = λt (x) τότε ο B(H, K) γίνεται γραµµικός χώρος. Επιπλέον η απεικόνιση : B(H, K) R + : T T είναι νόρµα στον B(H, K), ως προς την οποία µάλιστα είναι πλήρης, δηλαδή χώρος Banach. Οταν H = K ορίζεται η σύνθεση απεικονίσεων : A B = A B, A, B B(H). Ο τελεστής AB είναι ϕραγµένος και µάλιστε ισχύει η ανισότητα AB A B, για κάθε A, B. Με πολλαπλασιασµό τη σύνθεση τελεστών, ο B(H) παίρνει τη δοµή άλγεβρας Banach. Θεώρηµα 1.3.7 (Riesz). Εστω H χώρος Hilbert. Για κάθε συνεχή γραµµική µορφή f : H C υπάρχει µοναδικό y H, ώστε f(x) = x, y, για κάθε x H. Επιπλέον ισχύει ότι f = y. Εποµένως ο τοπολογικός δυικός ενός χώρου Hilbert H είναι αντιγραµµικά ισόµορφος µε τον H. Ορισµός 1.3.8 (ευθύ άθροισµα). 1. Αν {H i } είναι µια οικογένεια χώρων Hilbert, ονοµάζουµε το (εξωτερικό) ευθύ άθροισµα i H i το σύνολο H όλων των οικογενειών (x i ), µε x i H i, για κάθε i, που είναι τετραγωνικά αθροίσιµες, δηλαδή : i x i 2 H i <. Συµβολίζουµε ένα x H µε x i και ϑέτουµε x, y H = x i, y i Hi i 2. Αν T i : H i K i είναι ϕραγµένοι τελεστές για κάθε i και sup i T i <, τότε για κάθε x i H η οικογένεια (T i (x i )) είναι τετραγωνικά αθροίσιµη, οπότε ορίζουµε το ευθύ άθροισµα των T i να είναι ο τελεστής T : H i K i x i i T i (x i ) Ο T είναι ϕραγµένος και µάλιστα έχουµε : T = sup T i. 3. Αν H n, n N είναι κάθετοι ανά δύο υπόχωροι ενός χώρου Hilbert H, τότε το εσωτερικό ευθύ τους άθροισµα H n, δηλαδή ο µικρότερος κλειστός υπόχωρος του H που περιέχει κάθε H n, είναι ίσο µε το σύνολο H 0 = { n x n : x n H n, x n 2 < }

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ και η απεικόνιση W : n H n H 0 : x n n x n είναι ισοµετρικός ισοµορφισµός. Εποµένως ταυτίζουµε το εξωτερικό ευθύ άθροισµα κάθετων ανά δύο υποχώρων ενός χώρου Hilbert µε το εξωτερικό ευθύ τους άθροισµα. Τονίζουµε ότι, από τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου στο εξωτερικό ευθύ άθροισµα, οι προσθετέοι του εµφυτεύονται σε αυτό ως κάθετοι ανά δύο υπόχωροί του. 1.3.3 Ειδικές κατηγορίες τελεστών σε χώρους Hilbert Ορισµός 1.3.9. Εστω H, K χώροι Hilbert. Μια sesquilinear µορφή φ είναι µια απεικόνιση φ : H K C που είναι γραµµική ως προς την πρώτη µεταβλητή και αντιγραµµική ως προς την δεύτερη. Η φ λέγεται ϕραγµένη αν ο αριθµός φ = sup{ φ(x, y) : x H, y K, x = y = 1} είναι πεπερασµένος. Αν H = K ορίζεται η αντίστοιχη τετραγωνική µορφή : φ(x) = φ(x, x). Οταν H = K, η ταυτότητα πολικότητας 4φ(x, y) = φ(x + y) φ(x y) + i φ(x + iy) i φ(x iy) (1.1) δείχνει ότι η φ καθορίζεται από την φ. Αν T B(H) ϑέτουµε φ T : H K C : (x, y) T x, y. Η φ T είναι sesquilinear και ϕραγµένη, µε φ T = T. Είναι ϕανερό ότι δύο ϕραγµένοι τελεστές S, T στον H συµπίπτουν αν και µόνο αν οι αντίστοιχες sesquilinear µορφές φ T, phi S συµπίπτουν. Από την ταυτότητα πολικότητας προκύπτει ότι S = T T x, x = Sx, x, για κάθε x H. Εχουµε λοιπόν κάθε T B(H, K) ορίζει µία µοναδική ϕραγµένη sesquilinear µορφή φ T. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή : Πρόταση 1.3.10. Κάθε ϕραγµένη sesquilinear µορφή φ : H K C ορίζει έναν µοναδικό T B(H, K) από τη σχέση : Μάλιστα έχουµε : T = φ. T x, y = φ(x, y), για κάθε x H, y K.

1.3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΧΩΡΩΝ HILBERT 11 Πρόταση 1.3.11. Για κάθε T B(H, K) υπάρχει µοναδικός T B(K, H) ώστε T x, y K = x, T y H Μάλιστα ισχύει T = T. Ορισµός 1.3.12. Ο T λέγεται ο συζυγής τελεστής του T. Παρατήρηση 1.3.13. Στην περίπτωση που H = K η απεικόνιση : B(H) B(H) : T T είναι µία ενέλιξη στον B(H), η οποία ικανοπειεί την C ιδιότητα ( T T = T 2 ), οπότε ο B(H) παίρνει τη δοµή µιας C -άλγεβρας. Ορισµός 1.3.14 (Κατηγορίες Τελεστών). Ενας τελεστής T B(H) ονοµάζεται : 1. ϕυσιολογικός εάν : T T = T T 2. αυτοσυζυγής εάν : T = T 3. ορθοµοναδιαίος (unitary) εάν : T = T 1 4. ϑετικός εάν : T x, x 0, για κάθε x H 5. συµπαγής εάν η εικόνα της µοναδιαίας µπάλας του H µέσω του T είναι σχετικά συµπαγές σύνολο 6. πεπερασµένης τάξης εάν η διάσταση του συνόλου τιµών του T είναι πεπερασµένη 7. αντιστρέψιµος εάν υπάρχει B B(H), ώστε AB = BA = I, οπότε και ορίζουµε B = A 1. Πρόταση 1.3.15. Εστω H χώρος Hilbert. Ενας T B(H) είναι συµπαγής, αν και µόνο αν είναι ( norm) όριο µιας ακολουθίας τελεστών πεπερασµένης τάξης. Πρόταση 1.3.16. Εστω H απειροδιάστατος χώρος Hilbert. Τότε ένας αντιστρέψιµος τελεστής δεν µπορεί να είναι συµπαγής. Ορισµός 1.3.17. Εστω H χώρος Hilbert και T B(H). Ενα µη µηδενικό u H λέγεται ιδιοδιάνυσµα του T, εάν υπάρχει µη µηδενικό λ C, τέτοιο ώστε T u = λu. Το δε λ C ονοµάζεται ιδιοτιµή του T. Αν λ 0 ιδιοτιµή του T, ϑέτουµε M λ = ker(t λi). Ο M λ ονοµάζεται ο ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ Πρόταση 1.3.18. Εστω H απειροδιάστατος χώρος Hilbert και K ϕραγµένος, συµπαγής, αυτοσυζυγής τελεστής. Τότε : 1. Ο K έχει µη µηδενική ιδιοτιµή, οπότε υπάρχει λ C, µε M λ {0}. Μάλιστα, τουλάχιστον ένας από τους αριθµούς K, K είναι ιδιοτιµή του K. 2. Για κάθε ιδιοτιµή λ έχουµε dim M λ < και P Mλ K = KP Mλ. Ορισµός 1.3.19. Εστω (X, A) µετρήσιµος χώρος. Μια οικογένεια {E(Ω) : Ω A τελεστών σε έναν χώρο Hilbert H λέγεται ϕασµατικό µέτρο αν ικανοποιεί τις ιδιότητες : 1.. E(Ω) = E(Ω) 2.. E(Ω 1 Ω 2 ) = E(Ω 1 )E(Ω 2 ) 3.. E( ) = 0 και E(X) = I 4.. Για κάθε x, y H, η απεικόνιση : µ x,y : Ω E(Ω)x, y είναι µιγαδικό µέτρο ορισµένο στην A. Παρατήρηση 1.3.20. Από τις (1), (2) προκύπτει ότι κάθε E(Ω) είναι ορθή προβολή. Ορισµός 1.3.21. Εστω (X, A) µετρήσιµος χώρος και {E(Ω) : Ω A} ϕασµατικό µέτρο µε τιµές σε έναν χώρο Hilbert H. Αν f απλή, µετρήσιµη µε κανονική µορφή f = λ i χ Ωi ορίζουµε X f(λ)de λ = i λ i E(Ω i ) B(H). Πρόταση 1.3.22. Η απεικόνιση : f X f(λ)de λ είναι συνεχής, ως προς την τοπολογία της οµοιόµορφης σύγκλισης, από τον χώρο των απλών συναρτήσεων στον B(H) και επεκτείνεται µοναδικά στον χώρο L (X). Ορισµός 1.3.23. Εστω H χώρος Hilbert και T B(H). Το ϕάσµα του T είναι το σύνολο : σ(t ) = {λ C : ο T λi δεν έχει αντίστροφο }. Πρόταση 1.3.24. Το ϕάσµα ενός ϕραγµένου τελεστή είναι µη κενό, συµπαγές υποσύνολο του C. Ειδικότερα, για T αυτοσυζυγή έχουµε ότι σ(t ) R.

1.3. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΧΩΡΩΝ HILBERT 13 Θεώρηµα 1.3.25 (Φασµατικό ϑεώρηµα για ϕυσιολογικούς τελεστές). Αν T B(H) είναι ϕυσιολογικός τελεστής, τότε υπάρχει µοναδικό κανονικό ϕασµατικό µέτρο {E(Ω) : Ω C Borel} που ϕέρεται από το σ(t ), ώστε T = λde λ. Επιπλέον, ένας A B(H) µετατίθεται µε τον T αν και µόνο αν µετατίθεται µε καθε E(Ω).

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

Κεφάλαιο 2 Το µέτρο Haar σε Τοπολογικές Οµάδες 2.1 Τοπολογικές Οµάδες Μια τοπολογική οµάδα είναι µια οµάδα G εφοδιασµένη µε µια τοπολογία ως προς την οποία οι πράξεις της οµάδας είναι συνεχείς. ηλαδή, ο πολλαπλασιασµός : (x, y) xy G G G και η αντιστροφή : x x 1 G G είναι συνεχείς. Παράδειγµα 2.1.1. 1. Οποιαδήποτε οµάδα G δύναται να γίνει τοπολογική οµάδα µε τη διακριτή τοπολογία, δηλαδή την τοπολογία στην οποία κάθε σύνολο είναι ανοιχτό. Μια οµάδα ϑεωρούµενη µε τη διακριτή τοπολογία ονοµάζεται διακριτή. 2. Η προσθετική οµάδα των πραγµατικών (R, +) και η πολλαλασιαστική οµάδα των πραγµατικών (R {0}, ) αποτελούν τοπολογικές οµάδες µε τη συνήθη τοπολογία. 3. Οι παρακάτω οµάδες πινάκων, µε τη σχετική τοπολογία από τον M n (R) R 2n ή τον M n (C) C 2n αποτελούν τοπολογικές οµάδες. GL(n, R) = {A M n (R) : deta 0} 15

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR ΣΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ SL(n, R) = {A GL(n, R) : deta = 1} O(n, R) = {A GL(n, R) : A A = 1} GL(n, C) = {A M n (C) : deta 0} U(n) = {A GL(n, C) : A A = I} SU(n) = {A U(n) : deta = 1} Ορισµός 2.1.2. Αν G τοπολογική οµάδα και A, B G, x G τότε ορίζουµε : Ax = {yx, y A}, xa = {xy, y A}, A 1 = {y 1, y A}, AB = {xy, x A, y B}. Ενα σύνολο A ϑα ονοµάζεται συµµετρικό, εάν A = A 1 Παρατήρηση 2.1.3. εν ϑα συµβολίζουµε µε A 2 το AA. Με A 2 ϑα εννοούµε το σύνολο {x 2, x A}. Επίσης είναι χρήσιµη η εξής παρατήρηση : A B = 1 / A 1 B. Η επόµενη πρόταση αφορά ϐασικές ιδιότητες τοπολογικών οµάδων. Πρόταση 2.1.4. 1. Η τοπολογία είναι αναλλοίωτη στις πράξεις, δηλαδή αν U G, ανοιχτό, τότε τα σύνολα xu, Ux, U 1 είναι ανοιχτά για κάθε x G. Επίσης, για κάθε A G τα σύνολα AU, UA είναι ανοιχτά. 2. Για κάθε U περιοχή της µονάδας, υπάρχει V συµµετρική περιοχή της µονάδας µε V V U. 3. Αν H υποοµάδα της G, τότε και η H υποοµάδα της G. 4. Αν η H είναι κανονική υποοµάδα, τότε και η H είναι κανονική. 5. Κάθε ανοιχτή υποοµάδα είναι κλειστή. 6. Αν A, B συµπαγή, τότε και το AB είναι συµπαγές. Απόδειξη 1. Οτι τα xu, Ux, U 1 είναι ανοιχτά, εφόσον U ανοιχτό, έπεται άµεσα απο τη συνέχεια των πράξεων στην G. Για παράδειγµα, για x G, η απεικόνιση π x 1 : y x 1 y είναι συνεχής και προφανώς έχουµε xu = (π x 1) 1 (U). Επεται ότι AU ανοιχτό,για το τυχαίο A G γράφοντας AU = x A xu και οµοίως για το UA. 2. Απο τη συνέχεια του πολλαπλασιασµού στη µονάδα, έπεται ότι, αν U περιοχή της µονάδας, τότε υπάρχουν W 1, W 2 περιοχές της µονάδας µε W 1 W 2 U. Τότε για V = W 1 W 2 W1 1 W2 1 ισχύει το Ϲητούµενο.

2.1. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ 17 3. Εστω H υποοµάδα της G. Αρκεί να δείξουµε ότι, αν x, y H, τότε xy 1 H. Θεωρούµε την απεικόνιση π : (H H) H, µε π(x, y) = xy 1, η οποία είναι συνεχής. Πρέπει λοιπόν π 1 (H) να είναι κλειστή. Οµως H H π 1 (H),οπότε H H = H H π 1 (H). 4. Εστω H κανονική υποοµάδα της G. Παρατηρούµε ότι, για κάθε g G, το σύνολο ghg 1 είναι κλειστό και περιέχει το ghg 1 = H. Επεται ότι H ghg 1, άρα g 1 Hg H, για κάθε g G. 5. Αν H ανοιχτή υποοµάδα της G, από το 1 έχουµε ότι κάθε σύµπλοκο xh είναι επίσης ανοιχτό. Οµως G H = yh, οπότε είναι ανοιχτό, άρα και H κλειστή. 6. Πάλι ϑεωρώντας τη συνεχή απεικόνιση π : (G G G) του πολλαπλασιασµού στην G έχουµε AB = π(a B), συµπαγές, ως συνεχής εικόνα συµπαγούς. Παρατήρηση 2.1.5. Είναι προφανές πως, για x G, οι απεικονίσεις g xg, g gx g g 1 είναι οµοιοµορφισµοί καθώς και ότι V περιοχή του x G x 1 V περιοχή της µονάδας V x 1 περιοχή της µονάδας καθώς και ότι αν U περιοχή της µονάδας, τότε xu περιοχή του x, για κάθε x G. Αν H υποοµάδα της G, τότε µπορούµε να ϑεωρήσουµε τον αντιστοιχο χώ- ϱο πηλίκο G / H, δηλαδή το χώρο όλων των αριστερών συµπλόκων xh, x G της H.Θεωρούµε την απεικόνιση πηλίκο q : G G / H. Τότε το G / H γίνεται τοπολογικός χώρος µε την τοπολογία πηλίκο, δηλαδή ένα σύνολο U G / H είναι ανοιχτό, αν και µόνο αν q 1 (U) είναι ανοιχτό στην G.Παρατηρούµε ε- πίσης ότι η q είναι ανοικτή απεικόνιση, δηλαδή αν V G ανοικτό, έχουµε q(v ) G / H ανοικτό. Πράγµατι, παρατηρούµε ότι, αν V G, ανοικτό, τότε το q(v ) G / H ανοικτό, αφού q 1 (q(v )) = V H ανοικτό απο την προηγού- µενη πρόταση. Για το G / H έχουµε τα παρακάτω. Πρόταση 2.1.6. Εστω H υποοµάδα της τοπολογικής οµάδας G.Τότε 1. Αν η H είναι κλειστή, τότε ο G / H είναι χώρος Hausdorff. 2. Αν η G είναι τοπικά συµπαγής, τότε και ο χώρος G / H είναι τοπικά συµπαγής. 3. Αν η H είναι κανονική, τότε η G / H είναι τοπολογική οµάδα. y 1

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR ΣΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ Απόδειξη 1. Εστω x = q(x), y = q(y) µε x y και έστω H κλειστή. Τότε, το xhy 1 είναι κλειστό και δεν περιέχει τη µονάδα (άρα και το συµπλήρωµα του έιναι περιοχή της µονάδας), οπότε, (από το 2 της προηγούµενης πρότασης) υπάρχει V συµµετρική περιοχή της µονάδας, µε V V xhy 1 =. Εχουµε : V V xhy 1 = V xhy 1 V 1 =. Εφόσον V = V 1 και H = HH, έχουµε : V xhy 1 V 1 = 1 / V 1 xh(v y) 1 1 / V xh(v y) 1 = V xh(v yh) 1, άρα V xh V yh =, δηλαδή οι q(v x) = V xh και q(v y) = V yh είναι ξένες περιοχές των x, y. 2. Αν U συµπαγής περιοχή της µονάδας, τότε q(u x) έιναι συµπαγής πε- ϱιοχή του q(x) στην G / H (αφού η q συνεχής και ανοικτή). 3. (Αν η H είναι κανονική,τότε το G / H είναι οµάδα). Εστω x, y G και U µια περιοχή του q(xy) G / H. Από τη συνέχεια του πολλαπλασιασµού, υπάρχουν V, W περιοχές των x, y αντίστοιχα, ώστε V W q 1 (xy).τότε οι q(u), q(w ) είναι περιοχές των q(x), q(y) αντίστοιχα (q ανοιχτή), µε q(v )q(w ) U, άρα ο πολλαπλασιασµός είναι συνεχής στην G / H. Οµοίως δουλεύουµε και για την αντιστροφή. Πόρισµα 2.1.7. Αν η G είναι T 1, τότε είναι Hausdorff. Αν η G δεν είναι T 1,τότε η {1} είναι κλειστή, κανονική υποοµάδα, οπότε η G / {1} είναι Hausdorff τοπολογική οµάδα. Απόδειξη Το πρώτο έπεται άµεσα από την προηγούµενη πρόταση για H = {1}. Τώρα, αν η G δεν είναι T 1 χρησιµοποιούµε πάλι την προηγούµενη πρόταση, για H = {1}, λαµβάνοντας υπόψη ότι η {1} είναι κανονική υποοµάδα αφού η {1} είναι κανονική. Η επόµενες παρατηρήσεις ϑα µας ϕανούν χρήσιµες στη συνέχεια. Λήµµα 2.1.8. Εστω G, H τοπολογικές οµάδες και φ : G H ένας οµοµορ- ϕισµός. Τότε ο φ είναι συνεχής, αν και µόνο αν είναι συνεχής στη 1 G. Απόδειξη Εστω φ συνεχής στη 1 G και έστω x G. Αν x i δικτυο στην G, µε x i x, τότε x 1 x i x 1 x = 1 G, οπότε φ(x) 1 φ(x i ) = φ(x 1 x) φ(1 H ), άρα φ(x i ) φ(x). Ορισµός 2.1.9. Εστω f µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού µια τοπολογική οµάδα G και έστω y G. Ορίζουµε την αριστερή και τη δεξιά µεταφορά της f κατά y ως εξής : L y f(x) = f(y 1 x), R y f(x) = f(yx) (2.1)

2.2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR 19 Χρησιµοποιούµε y 1 στην L y και y στην R y ούτως ώστε οι απεικονίσεις y L y και y R y να είναι οµοµορφισµοί οµάδων : L yz = L y L z, R yz = R y R z. Ορισµός 2.1.10. Λέµε ότι η f είναι αριστερά (αντ. δεξιά) οµοιόµορφα συνεχής εάν ισχύει : L y f f sup 0 (αντ. R y f f sup 0) καθώς y 1 G. Πρόταση 2.1.11. Εστω G τοπολογική οµάδα και f C c (G). Τότε η f είναι αριστερά και δεξιά οµοιόµορφα συνεχής. Απόδειξη Θα δείξουµε την αριστερή οµοιόµορφη συνέχεια, καθώς η δεξιά έπεται αναλόγως. Αρκεί να δείξουµε ότι, για κάθε ɛ > 0 υπάρχει U περιοχή της µονάδας, τέτοια ώστε, αν x 1 y U, τότε f(x) f(y) < ɛ. Εστω f C c (G) και ɛ > 0. Θέτουµε K = supp(f). Εστω επίσης V µια συµπαγής περιοχή της 1 G. Από τη συνέχεια της f έπεται ότι για κάθε x G υπάρχει (ανοιχτή) περιοχή της 1 G V x µε V X V, ώστε για κάθε y xv x να ισχύει f(x) f(y) < ɛ. 2 Εστω τώρα U x ανοιχτή συµµετρική περιοχή της 1 G µε U x U x V x. (Πρόταση 2.1.4). Εχουµε ότι τα σύνολα xu x, x KV καλύπτουν το συµπαγές KV, οπότε υπάρχουν x 1,, x k KV ώστε KV k 1x i U xi. Θέτουµε τώρα U = k 1U xi. Η U είναι ανοιχτή, συµµετρική περιοχή της 1 G. Εστω τώρα x, y G µε x 1 y U. Αν x / KV τότε αναγκαστικά y / K, αφού x 1 y U x 1 Uy 1 x yu 1 = yu yv και τότε έχουµε f(x) = f(y) = 0. Εστω τώρα x KV. Τότε υπάρχει j ώστε x x j U xj, άρα y x j U xj U 1 = x j U xj U x j V xj, οπότε έχουµε f(x) f(y) f(x) f(x j ) + f(x j ) f(y) < ɛ + ɛ = ɛ. 2 2 Παρατήρηση 2.1.12. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, µπορούµε να υποθέτουµε ότι κάθε τοπολογική οµάδα είναι Hausdorff, (ειδάλλως δουλεύουµε µε την G / {1}). Εφεξής µε τον όρο τοπικά συµπαγής οµάδα, ϑα εννοούµε µια τοπολογική οµάδα, που η τοπολογία της είναι τοπικά συµπαγής και Hausdorff. 2.2 Το µέτρο Haar Εστω G µια τοπικά συµπαγής οµάδα.υπενθυµίζουµε ότι µε C c (G) συµβολί- Ϲουµε το χώρο των συνεχών πραγµατικών συναρτήσεων µε συµπαγή ϕορέα στη G και ϑέτουµε C c + (G) = {f C c (G) : f 0, f 0}. Προφανώς η γραµµική ϑήκη αυτού είναι όλος ο C c (G). Επίσης, υπενθυµίζουµε τον παρακάτω : Ορισµός 2.2.1. Εστω X τοπικά συµπαγής και Hausdorff τοπολογικός χώ- ϱος. Ενα µέτρο Radon στον X είναι ένα µέτρο Borel που είναι πεπερασµένο

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR ΣΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ στα συµπαγή, εξωτερικά κανονικό σε όλα τα Borel και εσωτερικά κανονικό στα ανοιχτά υποσύνολα του X. Πιο συγκεκριµένα ένα µέτρο Borel µ ϑα είναι µέτρο Radon εάν : 1. µ(k) <, για κάθε K X συµπαγές. 2. µ(a) = inf{µ(u) : A U, U ανοιχτό στον X}, για κάθε A Bo(X). 3. µ(u) = sup{µ(k) : K U, K συµπαγές στον X}, για κάθε U ανοιχτό στον X. Παρατήρηση 2.2.2. Αποδεικνύεται ότι ένα σ-πεπερασµένο µέτρο Radon είναι και εσωτερικά κανονικό, δηλαδή η παραπάνω σχέση (3) ισχύει για κάθε U Bo(X). Ορισµός 2.2.3. Ενα αριστερό (αντ, δεξί) µέτρο Haar σε µια τοπικά συµπαγή οµάδα G είναι ένα µη µηδενικό µετρο Radon µ στην G που ικανοποιεί την µ(xe) = µ(e) (αντ. µ(ex) = µ(e)), για κάθε E G, Borel και κάθε x G. Πρόταση 2.2.4. Εστω µ ένα (µη µηδενικό) µέτρο Radon στην τοπικά συπµαγή G και έστω µ(e) = µ(e 1 ). Τότε : 1. Το µ είναι αριστερό µέτρο Haar στην G αν και µόνο αν το µ είναι δεξί µέτρο Haar. 2. Το µ είναι αριστερό µέτρο Haar στην G αν και µόνο αν L y fdµ = fdµ, για κάθε f C + c (G) και y G. Απόδειξη 1. Εστω x G και E Bo(G). Εχουµε : µ(ex) = µ(x 1 E 1 ) = µ(e) και µ(xe) = µ(e 1 x 1 ) = µ(e 1 ) = µ(e). 2. Εστω µ µέτρο Radon στην G. Ορίζουµε µ y (E) = µ(ye) για κάθε y G, E Bo(G). Εστω τώρα s = k i=1 a iχ Ai µία απλή συνάρτηση. Τότε, παρατηρώντας ότι, για κάθε A Bo(X), y G ισχύει L y χ A = χ ya, έχουµε ότι αν y G ισχύει : L y sdµ = k i=1 a iµ(ya i ) = k i=1 a iµ y (A i ) = sdµ y. Εστω τώρα µια f C c + (G). Εχουµε : Ly fdµ = sup{ L y sdµ : s απλή,0 s f} = sup{ sdµ y, s απλη, 0 s f} = fdµ y. Επεται ότι, αν µ µέτρο Haar στην G, τότε µ = µ y, οπότε L y fdµ = fdµ, για κάθε f C c + (G). Αντίστροφα, αν Ly fdµ = fdµ για κάθε f C c + (G), δηλαδή αν fdµ = dµ y για κάθε f C c + (G) (άρα και για κάθε f C c (G) λόγω γραµµικότητας), τότε το Ϲητούµενο έπεται απο τη µοναδικότητα του µέτρου στο ϑεώρηµα αναπαράστασης του Riesz.

2.2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR 21 Παρατήρηση 2.2.5. Από τα παραπάνω ϕαίνεται ότι δεν έχει µεγάλη σηµασία το αν ϑα επιλέξουµε να µελετήσουµε αριστερά ή δεξιά µέτρα Haar, είναι συνηθέστερο όµως να µελετάµε αριστερά. Η µελέτη του µέτρου Haar δεν είναι κενή περιεχοµένου, όπως ϕαίνεται απο το παρακάτω : Θεώρηµα 2.2.6. Κάθε τοπικά συµπαγής οµάδα διαθέτει ένα (αριστερό) µέτρο Haar. Για την απόδειξη αυτού χρειάζονται τα εξής : Παρατήρηση 2.2.7. Για κάθε f, φ C c + (G) υπάρχουν πεπερασµένα στο πλήθος c j 0 και x j G τέτοια ώστε : f(x) n j=1 φ(x 1 j x), δηλαδή έτσι ώστε f n j=1 c jl xj φ και µπορούµε να ορίσουµε n n (f : φ) = inf{ c j : f L xj φ}. j=1 Πράγµατι, έστω f, φ C c + (G). Θεωρούµε U = [φ > 1 φ 2 ]. Το U είναι ανοιχτό και προφανώς G = xu. Αφού s(f) συµπαγές, έπεται ότι x G υπάρχουν n N, x 1, x 2,...x n G, µε s(f) n x j U. Εποµένως, αν x s(f) έχω x x j U για κάποιο 1 j n άρα x 1 j x U, οπότε L xj φ(x) > 1 φ 2. Κατά συνέπεια, για κάθε c > 0 έχουµε cl xj φ(x) > c φ 2. Επιλέγοντας λοιπόν c j > 0, µε f c j φ 2 έχουµε, για κάθε x s(f) αν x x j U ότι f(x) f c j 2 φ λοιπόν c 1 = c 2 =... = c n = 2 f φ (f : φ) n j=1 c j 2n f. φ j=1 j=1 έχουµε f n j=1 c jl xj φ και. Αν ϑεωρήσουµε Ορισµός 2.2.8. Για κάθε f, φ C + c (G) το (f : φ) είναι καλά ορισµένο και ονοµάζεται δείκτης της f ως προς την φ. Λήµµα 2.2.9. Ιδιότητες του δείκτη Για κάθε f, f 1, f 2, φ, ψ C + c (G), y G και c > 0 ισχύουν : 1. (f : φ) = (L y f : φ) 2. (f 1 + f 2 : φ) (f 1 : φ) + (f 2 : φ) 3. (cf : φ) c(f : φ)

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR ΣΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ 4. (f 1 : φ) (f 2 : φ), όταν f 1 f 2 5. (f : φ) f φ 6. (f : φ) (f : ψ)(ψ : φ) Απόδειξη 1. Αν f c j L xj φ και y G τότε L y f c j L y L xj φ = c j L yxj φ και αν L y f c j L xj φ τότε f c j L y 1 x j φ 2. Αφού f 1, f 2 0 έχουµε f i f 1 + f 2 c j L xj φ, i = 1, 2 3. Αν f c j L xj φ τότε cf cc j L xj φ και αν cf c j L xj φ, τότε f c 1 c j L xj φ, αφού c > 0. 4. Άµεσο. 5. Εστω x 0 G µε f(x 0 ) = max f. Τότε max f = f(x 0 ) c j φ(x 1 j x 0 ) c j max φ. 6. Αν f c j L xj ψ και ψ b i L yi φ τότε f j i c jb i Lx j y j φ. Σταθεροποιώντας τώρα µία f 0 C + c (G) ορίζουµε I φ (f) = (f : φ) (f 0 : φ), f, φ C+ c (G). Από το προηγούµενο Λήµµα έπεται ότι το I φ είναι ϑετικό, L y -αναλλοίωτο, υπογραµµικό, ϑετικά οµογενές και µονότονο ενώ επίσης ισχύει : (f 0 : φ) 1 I φ (f) (f : f 0 ). (2.2) Εάν δε ήταν και γραµµικό, ϑα ήταν ο περιορισµός στον C + c (G) ενός L y -αναλλοίωτου ϑετικού γραµµικού συναρτησοειδούς στον C c (G),οπότε και ϑα προέκυπτε το αντίστοιχο µέτρο Radon στην G, από το ϑεώρηµα αναπαράστασης του Riesz. Για να ϐρούµε ένα όµως ένα I φ που να είναι όντως και γραµµικό χρειαζό- µαστε το παρακάτω : Λήµµα 2.2.10. Εστω f 1, f 2 C + C (G). Τότε, για κάθε ɛ > 0 υπάρχει V περιοχή της 1 G, τέτοια ώστε : I φ (f 1 ) + I φ (f 2 ) I φ (f 1 + f 2 ) + ɛ, όταν s(φ) V, φ C + c (G), φ 0.

2.2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR 23 Απόδειξη Σταθεροποιούµε µία g C c + (G) µε g = 1 στο s(f 1 + f 2 ). Εστω ɛ > 0 και δ > 0 (η τιµή του οποίου ϑα προσδιορισθεί παρακάτω). Θέτουµε h = f 1 + f 2 + δg και h i = f i, i = 1, h 2, όπου ϐέβαια ϑέτουµε h i(x) = 0, όταν h(x) = 0. Τότε έχουµε ότι κάθε h i C c + (G), οπότε κάθε h i είναι οµοιόµορφα συνεχής, εποµένως, για το δ > 0, υπάρχει V περιοχή της 1 G τέτοια ώστε h i (x) h i (y) < δ, i = 1, 2 όταν y 1 x V. Εστω τώρα φ C c + (G) µε s(φ) V. Αν c j > 0, µε h c j L xj φ, τότε f i (x) = h(x)h i (x) c j φ(x 1 j x)h i (x) c j φ(x 1 j x)[h i (x j ) + δ], αφού h i (x) h i (x j ) < δ, όταν x 1 j x s(φ) V. Επειδή h 1 + h 2 1 έχουµε : (f 1 : φ) + (f 2 : φ) c j [h 1 + δ] + c j [h 2 + δ] c j [1 + 2δ]. Παίρνοντας infimum για όλα τα αθροίσµατα c j έχουµε : I φ (f 1 ) + I φ (f 2 ) (1 + 2δ)I φ (h) (1 + 2δ)[I φ (f 1 + f 2 ) + δi φ (g))] = = I φ (f 1 + f 2 ) + 2δI φ (f 1 + f 2 ) + δ(1 + 2δ)I φ (g). Επιλέγοντας τώρα δ τέτοιο ώστε 2δ(f 1 + f 2 : f 0 ) + δ(1 + 2δ)(g : f 0 ) < ɛ τότε, σύµφωνα µε την 2.2 έχουµε : 2δI φ (f 1 + f 2 ) + δ(1 + 2δ)I φ (g) < ɛ, οπότε I φ (f 1 ) + I φ (f 2 ) < I φ (f 1 + f 2 ) + ɛ. Μπορούµε πλέον να ολοκληρώσουµε την απόδειξη του ϑεωρήµατος ύπαρξης. Για κάθε f C + c (G) ϑεωρούµε το διάστηµα X f = [(f 0 : f) 1, (f : f 0 )] R και ϑεωρούµε ως χώρο X το καρτεσιανό γινόµενο των X f. Ο X είναι ο συµπαγής Hausdorff, που αποτελείται από όλες τις απεικονίσεις απο τον C + c (G) στο (0, + ), που οι τιµές τους σε κάθε f ϐρίσκονται στο αντίστοιχο X f. Πάλι από την 2.2 έχουµε ότι I φ X, για κάθε φ C + c (G). Θεωρούµε τώρα για κάθε V περιοχή της 1 G το K(V ) = cl X {I φ : s(φ) V }. Ε- πειδή n 1K(V j ) K( n 1(V j )) και προφανώς n 1(V j ) (περιέχουν τη 1 G ) για κάθε πεπερασµένη επιλογή περιοχών της 1 G, έπεται ότι η οικογένεια {K(V ), V περιοχή της 1 G } έχει την ιδιότητα των πεπερασµένων τοµών, οπότε, από τη συµπάγεια του X έχουµε ότι υπάρχει I X µε I {K(V ), V περιοχή της 1 G }. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε περιοχή του I περιέχει I φ µε s(φ) αυθαίρετα µικρό. Με άλλα λόγια, για κάθε περιοχή της 1 G, κάθε ɛ > 0 και και κάθε πεπερασµένη επιλογή f 1, f 2,..., f n C + c (G), υπάρχει φ C + C (G), µε s(φ) V και I(f j ) I φ (f j ) < ɛ, για όλα τα j = 1, 2...n. Το επαγόµενο I έχει τις επόµενες τρεις ιδιότητες. Από αυτές, οι (1), (3) έπονται άµεσα από το 2.2.9, ενώ η (2) αποδεικνύεται παρακάτω. 1. I(L y f) = I(f), για κάθε y G και για κάθε f C + c (G). 2. I(f 1 + f 2 ) = I(f 1 ) + I(f 2 ), για κάθε f 1, f 2 C + c (G).

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR ΣΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ 3. I(cf) = ci(f), για κάθε c > 0 και f C + c (G). Αποδεικνύουµε την (2): Εστω f 1, f 2 C + c (G) και ɛ > 0. Από το λήµµα 2.2.10, υπάρχει V περιοχή της 1 G τέτοια ώστε Iφ(f 1 ) + I φ (f 2 ) I φ (f 1 + f 2 ) + ɛ, οποτεδήποτε s(φ) V. Από τα παραπάνω, υπάρχει µία φ µε s(f) V ώστε : I(f 1 ) I φ (f 1 ) < ɛ I(f 2 ) I φ (f 2 ) < ɛ I(f 1 + f 2 ) I φ (f 1 + f 2 ) < ɛ, οπότε έχουµε I(f 1 ) + I(f 2 ) I φ (f 1 ) + I φ (f 2 ) + 2ɛ I φ (f 1 + f 2 ) + 3ɛ I(f 1 + f 2 ) + 5ɛ. Αφού το ɛ > 0 ήταν τυχόν, έπεται ότι : I(f 1 ) + I(f 2 ) I(f 1 + f 2 ), οπότε από το λήµµα 2.2.9 έπεται I(f 1 + f 2 ) = I(f 1 ) + I(f 2 ). Επεκτείνουµε τώρα το I στον C c (G) ϑέτοντας : I(f) = I(f + ) I(f ). Αν g, h C + c (G), ώστε f = g h, έχουµε f + + h = f + g, οπότε I(f + ) + I(h) = I(f ) + I(g) I(f + ) I(f ) = I(g) I(h). Επεται ότι το I είναι ένα καλά ορισµένο ϑετικό γραµµικό συναρτησοειδές στην C c (G), οπότε απο το ϑεώρηµα αναπαράστασης του Riesz, υπάρχει µοναδικό µέτρο Radon µ στην G, ώστε I(f) = fdµ, f C c (G). Επειδή έχουµε I(L y f) = I(f), δηλαδή L y fdµ = fdµ, για κάθε y G, f C c (G), έπεται ότι το µ είναι (αριστερό) µέτρο Haar στην G, από την πρόταση 2.2.4. Για να συνεχίσουµε στο ϑεώρηµα της µοναδικότητας του µέτρου Haar, χρειαζόµαστε την παρακάτω : Πρόταση 2.2.11. Εάν το λ είναι αριστερό µέτρο Haar στην G, τότε λ(u) > 0 για κάθε U G ανοιχτό, µη κενό και fdλ > 0 για κάθε f C + c (G). Απόδειξη Εστω U G ανοιχτό, µη κενό, µε λ(u) = 0. Τότε λ(xu) = 0, για κάθε x G. Αν τώρα K G, συµπαγές, υπάρχουν n N, x 1, x 2,...x n G τέτοια ώστε K n i=1x i U. Επεται ότι λ(k) = 0. Άρα λ(g) = 0, από την εσωτερική κανονικότητα του λ, άτοπο, αφού λ 0. Τώρα, έστω f C c + (G). Θεωρούµε U = [f > 1 f 2 ]. Τότε fdλ > 1 f 2 λ(u) > 0.

2.2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR 25 Θεώρηµα 2.2.12. Αν λ, µ αριστερά µέτρα Haar στην G, τότε υπάρχει c > 0 ώστε µ = cλ. Απόδειξη Θα δείξουµε ότι ο λόγος fdλ fdµ είναι ο ίδιος, για κάθε f C + c (G), f 0. Εστω λοιπόν f, g C + c (G) και V 0 µία συµµετρική συµπαγής περιοχή της 1 G. Θέτουµε : A = s(f)v 0 V 0 s(f) και B = s(g)v 0 V 0 s(g). Τότε τα A, B είναι συµπαγή και αν y V 0, τότε οι συναρτήσεις f(xy) f(yx), g(xy) g(yx) ϕέρονται, ως συναρτήσεις του x στα A και B αντίστοιχα. Εστω ɛ > 0, τότε, από την οµοιόµορφη συνέχεια των f, g, υπάρχει µία V V 0, συµµετρική περιοχή της 1 G τέτοια ώστε : f(xy) f(yx) < ɛ και g(xy) g(yx) < ɛ, για όλα τα x όταν y V. Επιλέγουµε µια h C c + (G) µε h(x) = h(x 1 ) και s(h) V. (Αυτό είναι όντως εφικτό. Ηδη γνωρίζουµε πως, για κάθε U G, ανοιχτό, υπάρχει h C c (G) µε h U, δηλαδή 0 h χ U και s(h) U. Αν λοιπόν V συµµετρική περιοχή της 1 G ϑεωρώντας ως U την V λαµβάνουµε µια ως άνω h και ϑεωρούµε h (x) = h(x) + h(x 1 ) ή h (x) = h(x) + h(x 1 ) αν 2 επιθυµούµε h V ). Τότε έχουµε : hdµ fdλ = h(y)f(x)dλ(x)dµ(y) = h(y)f(yx)dλ(x)dµ(y). Επίσης : hdλ fdµ = = = = = h(x)f(y)dλ(x)dµ(y) h(y 1 x)f(y)dλ(x)dµ(y) h(x 1 y)f(y)dµ(y)dλ(x) h(y)f(xy)dµ(y)dλ(x) h(y)f(xy)dλ(x)dµ(y), όπου στα παραπάνω χρησιµοποιήσαµε ότι τα λ, µ είναι αριστερά αναλλοίωτα, ότι h(x) = h(x 1 ) καθώς και το ϑεώρηµα Fubini, αφού τα παραπάνω ολοκληρώµατα λαµβάνονται ουσιαστικά επί συµπαγών και άρα πεπερασµένου

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR ΣΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ µέτρου συνόλων. Εποµένως έχουµε : hdλ fdµ hdµ fdλ = h(y)[f(xy) f(yx)]dλ(x)dµ(y) ɛλ(a) hdµ. Οµοίως λαµβάνουµε : hdλ gdµ hdµ gdλ ɛλ(b) hdµ. ιαιρώντας την 1η απο τις παραπάνω µε hdµ fdµ και τη 2η µε hdµ gdµ λαµβάνουµε : hdλ fdλ ɛλ(a) και hdλ gdλ hdµ fdµ fdµ ɛλ(b). hdµ gdµ gdµ Εποµένως : hdλ gdλ fdµ gdµ hdλ fdλ + hdµ fdµ [ λ(a) ɛ + λ(b) ]. fdµ gdµ hdλ hdµ gdλ gdµ Αφού το ɛ ήταν τυχόν, έπεται ότι : fdλ fdµ = gdλ gdµ. Εποµένως, υπάρχει c > 0, τέτοιο ώστε fdλ = c fdµ, για κάθε f C c + (G). Επεται ότι λ(u) = cµ(u), για κάθε U G ανοιχτό και άρα λ = cµ, από την εξωτερική κανονικότητα των λ και µ. Παραδείγµατα µέτρων Haar 1. Στην προσθετική οµάδα των πραγµατικών, το µέτρο Lebesgue είναι α- ϱιστερό και δεξί µέτρο Haar. 2. Στην πολλαπλασιαστική οµάδα των πραγµατικών G = (R\{0}, ), το µέτρο Haar παύει να είναι αριστερά αναλλοίωτο. Η παρακάτω απεικόνιση : µ : C c + (G) C, f f(x) dλ(x) x ορίζει ένα αναλλοίωτο (δεξιά και αριστερά) συναρτησοειδές και εποµένως ένα αριστερό και δεξί µέτρο Haar στην G. G

2.3. ΚΑΠΟΙΑ ΤΕΧΝΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ 27 3. Αν G = T, τότε µπορούµε να ορίσουµε ένα µέτρο Haar ως εξής : Θεω- ϱούµε f : [0, 2π] T, f(t) = (cos t, sin t). Τότε ορίζουµε µ(s) = 1 2π λ(f 1 (S)). Κλείνουµε το κεφάλαιο µε την παρακάτω χρήσιµη Πρόταση 2.2.13. Για κάθε g L p, 1 p < οι απεικονίσεις y R y g, y L y g είναι συνεχείς απο την G στον L p. Πιο συγκεκριµένα, για κάθε ɛ > 0 υπάρχει U περιοχή της 1 G ώστε για κάθε y U να ισχύει L y g g p < ɛ και R y g g p < ɛ. Απόδειξη Αρχικά έστω g C c (G) και ɛ > 0. Θέτουµε K = supp(g). Για κάθε y G έχουµε supp(l y g) yk. Εστω τώρα U 0 συµπαγής συµµετρική περιοχή της 1 G, µε U 0 U, οπότε για κάθε y U 0 έχουµε supp(l y g) ɛ U 0 K. Εστω τώρα δ =. Από την πρόταση 2.1.11 έπεται ότι υπάρχει U λ(u 0 K) 1 p περιοχή της 1 G ώστε για κάθε y U να έχουµε L y g g sup < δ. Εποµένως για κάθε y U έχουµε : L y g g p = ( G g(y 1 x) g(x) p dx ) 1 p < δλ(u 0 K) 1 p = ɛ. Εστω τώρα g L p και ɛ > 0. Επιλέγουµε f C c (G) µε f g p < ɛ 3 και από τα παραπάνω υπάρχει U περιοχή της 1 G ώστε για κάθε y U να έχουµε L y f f p < ɛ. Εποµένως, για κάθε y U έχουµε : 3 g L y g p g f p + f L y f p + L y f L y g p < ɛ + ɛ + ɛ = ɛ, αφού 3 3 3 L y f L y g p = f g p. Εργαζόµαστε ανάλογα για την R y. 2.3 Κάποια τεχνικά Ϲητήµατα Προκειµένου να µην περιοριστούν τα αποτελέσµατά µας, δεν έχουµε υποθέσει ότι η οµάδα G είναι σ-συµπαγής, οπότε το µέτρο Haar δεν είναι (κατάνάγκη) σ-πεπερασµένο, γεγονός που προκαλεί κάποια τεχνικά προβλήµατα στη χρησιµοποιούµενη ϑεωρία µέτρου. Πιο συγκεκριµένα µας απασχολεί ότι οταν το µέτρο δεν είναι σ-πεπερασµένο, δεν ισχύουν δύο ϐασικά και αναγκαία για τη µελέτη µας ϑεωρήµατα και συγκεκριµένα δεν ισχύει το ϑεώρηµα Fubini, το οποίο χρειαζόµαστε κυρίως για να ορίσουµε συνέλιξη, καθώς και η δυικότητα των L 1 (µ), L (µ). Καµία από τις δύο ελλείψεις όµως δεν αποτελεί σοβαρό πρόβληµα, όπως ϑα δείξουµε στα παρακάτω. Αν κάποιος ϐέβαια δουλεύει σε σ-συµπαγείς οµάδες µπορεί να παραλείψει την ανάγνωση των εποµένων. Πρόταση 2.3.1. Αν G τοπικά συµπαγής οµάδα, τότε υπάρχει H υποοµάδα της, η οποία είναι ανοιχτή, κλειστή και σ-συµπαγής.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR ΣΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ Απόδειξη Ας είναι V µία συµµετρική, σχετικά συµπαγής περιοχή της 1 G. Θέτουµε V n = V V V (n παράγοντες) και H = n=1v n. Τότε η H είναι υποοµάδα της G, η οποία είναι ανοιχτή. Πράγµατι, αν x V n, y V m, τότε xy V n+m και αφού V συµµετρική έχω κάθε V n συµµετρική, οπότε x 1 V n. Επίσης H ανοιχτή, άρα και κλειστή, από την πρόταση 2.1.4. Για κάθε n N έχουµε V n = V n V V n = V n+1. (όπου V n = V V V (n παράγοντες.) Από την ίδια πρόταση έχουµε ότι κάθε V n είναι συµπαγές, οπότε η H είναι σ-συµπαγής. Εχοντας τωρα µία σ-συµπαγή υποοµάδα H ϑεωρούµε το σύνολο Y, που περιέχει ακριβώς έναν αντιπρόσωπο από κάθε σύµπλοκο xh, οπότε η G είναι η ξένη ένωση των yh, y Y. Τότε ισχύει η παρακάτω : Πρόταση 2.3.2. Εστω E B(G). Αν E i=1y i H, για κάποιο αριθµήσι- µο υποσύνολο του Y, τότε λ(e) = i=1 λ(e y ih). Αν E yh για υπεραριθµήσιµο πλήθος απο y Y, τότε λ(e) =. Απόδειξη Το πρώτο έπεται άµεσα από την σ-προσθετικότητα του µέτρου λ. Για το δεύτερο, αρκεί, λόγω εξωτερικής κανονικότητας να το δείξουµε για ανοιχτά σύνολα. Εστω λοιπόν E G, ανοιχτό. Αφού H ανοιχτή, έχουµε yh ανοιχτό, για κάθε y Y, οπότε κάθε E yh ανοιχτό. Ιδιαίτερα δε αν E yh τότε λ(e yh) > 0, από την πρόταση 2.2.11. Επεται ότι υπάρχει ɛ > 0, τέτοιο ώστε λ(e yh) > ɛ Πόρισµα 2.3.3. Αν f L 1 (G) τότε s(f) H, όπου H κάποια σ-συµπαγής, ανοιχτή υποοµάδα της G. Απόδειξη Αρκεί να δείξουµε ότι το σύνολο A = {x G : f(x) 0} περιέχεται σε µια τέτοια H, αφού τότε και ο s(f) = A ϑα περιέχεται στην H, γιατι H κλειστή, αφού είναι ανοιχτή. (πρόταση 2.1.4) Εχουµε A = n=1a n, όπου A n = {x G : f(x) > 1 n, n N} και κάθε A n είναι πεπερασµένου µέτρου, αφού f ολοκληρώσιµη. Αρκεί να δείξουµε ότι κάθε ένα απο αυτά περιέχεται σε µια σ-συµπαγή υποοµάδα H n, αφού τότε το A ϑα ανήκει στην υποοµάδα H που παράγεται απο τις H n, η οποία ϑα είναι επίσης σ-συµπαγής. Αρκεί να δείξουµε εποµένως ότι κάθε σύνολο πεπερασµένου µέτρου, περιέχεται σε µια τέτοια υποοµάδα και από την εξωτερική κανονικότητα του λ, αρκεί αυτό να το κάνουµε για ανοιχτά σύνολα. Εστω λοιπόν U G, ανοιχτό,µε λ(u) <. Από την προηγούµενη πρόταση, αν H, Y, όπως πρίν, έχουµε ότι U yh για αριθµήσιµο πλήθος απο y Y, οπότε η Ϲητούµενη υποοµάδα ϑα είναι αυτή που παράγεται από την H και ακριβώς αυτά τα yh.

2.3. ΚΑΠΟΙΑ ΤΕΧΝΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ 29 Θα χρειαστούµε το ϑεώρηµα Fubini για να αλλάζουµε τη σειρά ολοκλή- ϱωσης σε διπλά ολοκληρώµατα της µορφής : f(x, y)dλ(x)dλ(y). G G εν έχουµε κανένα πρόβληµα εφόσον η f µηδενίζεται εκτός ενός σ- συµπαγούς συνόλου E G G. Πράγµατι, σε αυτήν την περίπτωση οι προβολές E 1, E 2 του E στον πρώτο και στον δεύτερο παράγοντα αντίστοιχα είναι επίσης σ- συµπαγείς, ενώ έχουµε ότι E E 1 E 2, οπότε µπορούµε να αντικαταστήσουµε την G G µε το (σ-συµπαγές) E 1 E 2, στο οποίο όµως το ϑεώρηµα Fubini είναι εφαρµόσιµο. Ειδικότερα για συνελίξεις στον L 1 (G) (ακριβής ορισµός στην επόµενη πα- ϱάγραφο), µας ενδιαφέρουν συναρτήσεις της µορφής f(x, y) = g(x)h(y 1 x). Αν η g µηδενίζεται εκτός ενός συνόλου Α και η h εκτός ενός συνόλου Β, τότε η f µηδενίζεται εκτός ενός συνόλου A AB και ϐεβαίως το ΑΒ είναι σ- συµπαγές, όποτε τα Α και Β είναι. Τα προηγούµενα ισχύουν για g, h L 1 (G), από την προηγούµενη πρόταση, οπότε στα παρακάτω µπορούµε να χρησιµοποιούµε το ϑεώρηµα Fubini δίχως περαιτέρω σχόλια. Οσων αφορά στη δυικοτητα του L 1 (µ) µε τον L (µ), όταν το µ δεν είναι σ-πεπερασµένο δεν είναι γενικά αληθές ότι L (µ) = L 1 (µ), έχοντας το συνήθη ορισµό για τον L. Οταν όµως πρόκειται για µέτρα Radon σε τποικά συµπαγείς χώρους Hausdorff, τότε µπορεί να διασωθεί το αποτέλεσµα, διαφοροποιώντας λίγο τον ορισµό του L. Πιο συγκεκριµένα έχουµε : Εστω X τοπικά συµπαγής Hausdorff και µ µέτρο Radon στον Χ. Ενα σύνολο E X ϑα λέγεται τοπικά Borel, αν E F είναι Borel για κάθε F X Borel, µε µ(f ) <. Ενα τοπικά Borel σύνολο Ε ϑα λέγεται τοπικά µηδενικό, αν µ(e F ), για κάθε F Borel µε µ(f ) <. Μια πρόταση για σηµεία του Χ ϑα είναι αληθής τοπικά σχεδόν παντού, αν είναι αληθής εκτός ενός τοπικά µηδενικού συνόλου. Μια συνάρτηση f : X C ϑα λέγεται τοπικά µετρήσιµη, αν f 1 (A) είναι τοπικά Borel, για κάθε A C, Borel. Ορίζουµε λοιπόν ως L το σύνολο όλων των τοπικά µετρησίµων συναρτήσεων, οι οποίες είναι ϕραγµένες εκτός ενός τοπικά µηδενικού συνόλου, modulo τις συναρτήσεις που έιναι τοπικά σχεδόν παντού µηδενικές. Ο L (µ) είναι χώρος Banach µε τη νόρµα : f = inf{c : f(x) c,τοπικά σχεδον παντού}. Τότε έχουµε L (µ) = L 1 (µ). Πράγµατι, αν f L, g L 1, τότε η fg είναι µετρήσιµη, αφού το σύνολο {x : g(x) 0} είναι σ-πεπερασµένο και είναι ολοκληρώσιµη, αφού το {x : f(x) > f } {x : g(x) 0} είναι µηδενικό. Εποµένως, η απεικόνιση g fgdµ είναι ένα καλά ορισµένο γραµµικό συναρτησοειδές, νόρµας f. Για περισσότερες λεπτοµέρειες, καθώς και

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΟ ΜΕΤΡΟ HAAR ΣΕ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΟΜΑ ΕΣ για το ότι κάθε ϕραµµικό συναρτησοειδές του L 1 είναι αυτής της µορφής, παραπέµπουµε στο [5, Theorem 12.18]. Στην περίπτωση του µέτρου Haar λ σε µια τοπικά συµπαγή οµάδα G, τα παραπάνω επιτυγχάνονται ως εξής : Με την ορολογία της πρότασης 2.3.2 έχουµε ότι ένα E G είναι τοπικά Borel E yh είναι Borel, για κάθε y Y και ότι ένα E G είναι τοπικά µηδενικό λ(e yh) = 0, για κάθε y Y, ενώ µια f : G C είναι τοπικά µετρήσιµη, f yh είναι µετρήσιµη, για κάθε y Y. Τότε, αν Φ L 1 (G, λ) έχουµε ότι η Φ yh δίνεται από µία ϕραγµένη µετρήσιµη συνάρτηση f y στον yh, αφού το λ είναι σ-πεπερασµένο στο yh. Ορίζοντας f : G C, µε f = f y στον yh, τότε η f είναι τοπικά µετρήσιµη µε f = sup f y = Φ και Φ(g) = fg, για κάθε f L 1. y Y 2.4 The modular function Εστω µια τοπικά συµπαγής οµάδα G και λ αριστερό µέτρο Haar στην G. Για x G ορίζουµε λ x (E) = λ(ex), για κάθε E B(G). Εχουµε ότι το λ x είναι επίσης αριστερό µέτρο Haar στην G. Πράγµατι, για y G, έχουµε : λ x (ye) = λ((ye)x) = λ(y(ex)) = λ(ex) = λ x (E). Από τη µοναδικότητα του µέτρου Haar έπεται ότι, για κάθε x G υπάρχει (x) > 0 ώστε λ x = (x)λ. Μάλιστα αυτό το (x) είναι ανεξάρτητο της αρχικής επιλογής του λ. Πράγµατι, έστω µ ένα άλλο αριστερό Haar στην G, οπότε, πάλι απο τη µοναδικότητα του Haar, υπάρχει c > 0 ώστε µ = cλ. Τότε, επαναλαµβάνοντας τους παραπάνω συλλογισµούς, για κάθε x G, υπάρχει (x) > 0, έτσι ώστε µ x = (x) µ. Τότε, για x G και E B(G) έχουµε : µ x (E) = µ(ex) = cλ(ex) = cλ x (E) = c (x)λ(e) = c (x) 1 c µ(e) = (x)µ(e), οπότε έχουµε όντως ότι (x) = (x). Εποµένως, ορίζεται καλά, σύµφωνα µε τα παραπάνω µία απεικόνιση : G (0, ), x (x), η οποία ονοµάζεται modular function της G. Παρακάτω δείχνουµε κάποιες ιδιότητες αυτής της απεικόνισης, που είναι χρήσιµες για τον ορισµό της συνέλιξης αλλά και για αντικαταστάσεις σε ολοκληρώµατα. Πιο συγκεκριµένα έχουµε : Πρόταση 2.4.1. Η είναι συνεχής οµοµορφισµός από την G στην πολλαπλασιαστική οµαδα των πραγµατικών (R {0}, ). Περαιτέρω έχουµε ότι ισχύει R y fdλ = (y 1 ) fdλ, (2.3) για κάθε f L 1 (G).