Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Page 2 Μέθοδος της Επίλυσης στην Σχεσιακή Λογική ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Προτασιακή Μορφή Page 3 Η μέθοδος της επίλυσης «δουλεύει» μόνο για εκφράσεις που βρίσκονται σε προτασιακή μορφή. Ευτυχώς, είναι δυνατόν να μετατρέψουμε οποιαδήποτε πρόταση της Σχεσιακής Λογικής στην ισοδύναμή της προτασιακή μορφή. Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Προτασιακή Μορφή Ατομικός τύπος είναι είτε μια ατομική πρόταση ή η άρνηση μιας ατομικής πρότασης. Page 4 Ένας προτασιακός τύπος είναι είτε ένας ατομικός τύπος ή η διάζευξη ατομικών τύπων. Μια πρόταση (προτασιακή μορφή) είναι ένα σύνολο από ατομικούς τύπους. {π(α)} { π(α)} {π(α), ρ(β)} Το κενό σύνολο ειναι μη-ικανοποιήσιμο. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 ΣΑΠΥΚΕΤ Συνεπαγωγές απαλοιφή φ ψ φ ψ φ ψ ( φ ψ) ( ψ φ) Page 5 Άρνηση φ φ (φ ψ) φ ψ (φ ψ) φ ψ Χ. φ Χ. φ Χ. φ Χ. φ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων ΣΑΠΥΚΕΤ Προτυποποίηση μεταβλητών Χ. π(χ) Χ. τ(χ) Χ. π(χ) Υ. τ(υ) Page 6 Υπαρξιακοί ποσοδείκτες απαλοιφή (Skolemization) X. π(χ) π(α) Χ. (π(χ) Ζ. τ(χ,υ,ζ)) Χ. (π(χ) τ(χ,υ,f(x,y))) Καθολικοί ποσοδείκτες απαλοιφή Χ. (π(χ) τ(χ,υ,f(x,y))) π(χ) τ(χ,υ,f(x,y)) Επιμερισμός φ (ψ τ) (φ ψ) (φ τ) (ψ τ) φ (φ ψ) (φ τ) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 ΣΑΠΥΚΕΤ Page 7 Τελεστές φ1... φν { φ1,..,φν } φ1... φν { φ1 },.., {φν } Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Υ. (π(υ) Ζ. (ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Σ. Υ. (π(υ) Ζ. ( ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Α. Υ. (π(υ) Ζ. ( ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Π. Υ. (π(υ) Ζ. ( ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Υ. π(γιωργος) Ζ. ( ρ(ζ) φ(γιώργος,ζ))) Κ. π(γιωργος) ( ρ(ζ) φ(γιώργος,ζ))) Ε. π(γιωργος) ( ρ(ζ) φ(γιώργος,ζ))) Τ. { π(γιωργος)) { ρ(ζ), φ(γιώργος,ζ)} Page 8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Υ. (π(υ) Ζ. (ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Σ. Υ. (π(υ) Ζ. ( ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Α. Υ. ( π(υ) Ζ. ( ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Υ. ( π(υ) Ζ. (ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Π. Υ. ( π(υ) Ζ. (ρ(ζ) φ(υ,ζ))) Υ. Υ. ( π(υ) (ρ(f(y)) φ(υ, f(y)))) Κ. π(υ) (ρ(f(y)) φ(υ, f(y))) Ε. ( π(υ) ρ(f(y))) ( π(υ) φ(υ, f(y))) Τ. { π(y), ρ(f(y))) { π(υ), φ(υ, f(y))} Page 9 Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Μέθοδος της Επίλυσης για την Προτασιακή Λογική Page 10 {φ1, φ2,...φ,..., φν} {ψ1, ψ2,... φ,..., ψμ} {φ1, φ2,... φν, ψ1, ψ2,... ψμ} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Μέθοδος της Επίλυσης για την Σχεσιακή Λογική Page 11 {φ1, φ2,...φ,..., φν} {ψ1, ψ2,... ψ,..., ψμ} {φ1, φ2,... φν, ψ1, ψ2,... ψμ}σ Όπου σ είναι ο γενικός ενοποιητής των (φ,ψ) σ = mgu (φ,ψ) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Page 12 {π(α,υ), ρ(υ)} { π(χ,β)} mgu (π(α,υ), π(χ,β)) = {Χ α, Υ β} { ρ(υ)} {Χ α, Υ β} {ρ(β)} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Page 13 {π(α,υ), ρ(υ)} { π(χ,, f(x)), τ(g(x))} mgu (π(α,υ), π(χ,β)) = {Χ α, Υ f(a)} { ρ(υ), τ(g(x))} {Χ α, Υ f(a)} { ρ(f(a)), τ(g(a))} Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πρόβλημα Page 14 {π(α,χ), ρ(χ)} { π(χ,β)} Αποτυχία ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Μέθοδος της Επίλυσης για την Σχεσιακή Λογική Page 15 {φ1, φ2,...φ,..., φν} {ψ1, ψ2,... ψ,..., ψμ} {φ1τ, φ2 τ,... φντ, ψ1, ψ2,... ψμ}σ Όπου σ είναι ο γενικός ενοποιητής των (φτ,ψ) σ = mgu (φτ,ψ) και τ είναι η μετονομασία μεταβλητών στο φ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πaράδειγμα Page 16 {π(α,χ), ρ(χ)} { π(χ,β)} Μετονομασία μεταβλητών (τ={χ Υ}) {π(α,χ), ρ(χ)}τ= {π(α,υ), ρ(υ)} { π(χ,β)} {ρ(υ)} {Χ α, Υ β}= {ρ(β)} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Αποδειξιμότητα Η απόδειξη ότι μια προταση φ είναι συνέπεια ενός συνόλου προτάσεων Δ, με τη μέθοδο της επίλυσης, είναι μια ακολουθία προτάσεων που τερματίζει στη φ. Κάθε στοιχείο της ακολουθίας αυτής είναι είτε - ένα στοιχείο του Δ - το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα της επίλυσης σε προηγούμενα στοιχεία της ακολουθίας. Page 17 Μια πρόταση φ καλείται αποδείξιμη από ένα σύνολο Δ με βάση τη μέθοδο της επίλυσης, αν και μόνο αν μπορεί να αποδειχθεί το {} από το σύνολο Δ { φ}. Μια απόδειξη με βάση τη μέθοδο της επίλυσης είναι η κατάλληξη στην κενή πρόταση {} από τις προτασιακές μορφές των υποθέσεων και της άρνησης του συμπεράσματος. Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Παράδειγμα Ο καθένας αγαπάει κάποιον. Ο καθένας αγαπάει κάποιον που αγαπάει τους πάντες. Να δειχθεί ότι ο καθένας αγαπάει τον καθένα. Χ. Υ. αγαπαει(χ,υ) Χ. Υ Ζ. (αγαπαει(υ,ζ) αγαπαει(χ,υ)) Χ. Υ. αγαπαει(χ,υ) (άρνηση συμπεράσματος) Page 18 Μετατροπή σε προτασιακή μορφή των παραπάνω εκφράσεων (εφαρμογή διαδικασίας ΣΑΠΥΚΕΤ) και μετονομασία των μεταβλητων ώστε να μην υπάρχουν κοινές μεταβλητές μεταξύ των εκφράσεων {αγαπαει(χ,f(x)} { αγαπαει(υ,ζ), αγαπαει(κ,υ)} { αγαπαει(γιωργος, μαρια)} ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Page 19 1. {αγαπαει(χ,f(x)} Υπόθεση 2. { αγαπαει(υ,ζ), αγαπαει(κ,υ)} Υπόθεση 3. { αγαπαει(γιωργος, μαρια)} Υπόθεση 4. {αγαπαει(κ,χ)} 1,2 5. {} 4,3 Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Χάρυ και Ράλφ Page 20 Κάθε άλογο μπορεί να περάσει κάθε σκύλο. Κάποια λαγωνικά μπορούν να περάσουν κάθε λαγό. Να δειχθεί ότι κάθε άλογο μπορεί να περάσει κάθε λαγό. Χ. Υ. (α(χ) σ(υ) γ(χ,υ)) Υ. (λ(υ) Ζ. (λγ(ζ) γ(υ,ζ))) Υ. (λ(υ) σ(υ)) Χ. Υ. Ζ. (γ(χ,υ) γ(υ,ζ) γ(χ,ζ)) Χ. Υ. (α(χ) λγ(υ) γ(χ,υ)) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Χάρυ και Ράλφ Χ. Υ. (α(χ) σ(υ) γ(χ,υ)) Υ. (λ(υ) Ζ. (λγ(ζ) γ(υ,ζ))) Υ. (λ(υ) σ(υ)) Χ. Υ. Ζ. (γ(χ,υ) γ(υ,ζ) γ(χ,ζ)) Χ. Υ. (α(χ) λγ(υ) γ(χ,υ)) Page 21 { a(x), σ(υ), γ(χ,υ)} {λ(μαξ)} { λγ(ζ), γ(μαξ, Ζ)} { λ(υ), σ(υ)} { γ(χ,υ), γ(υ,ζ), γ(χ,ζ)}... (το συνεχίζετε εσείς) Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πρόβλημα Page 22 {π(χ), π(y)} { π(κ), π(λ)} { π(χ), π(λ) } { π(υ), π(κ) } { π(χ), π(κ) } { π(υ), π(λ) } ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράγοντες Αν ένα υποσύνολο προτασιακών τύπων σε μια πρόταση Φ έχει γενικό ενοποιητή τον γ, τότε η πρόταση Φ που προκύπτει από την εφαρμογή του γ στο Φ καλείται παράγοντας της Φ. Page 23 Παράδειγμα Πρόταση {π(χ), π(f(y)), ρ(χ,υ)} Παράγοντες { π(f(y)), ρ(f(y),υ)} για γ={χ f(y)} {π(χ), π(f(y)), ρ(χ,υ)} Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Μέθοδος της Επίλυσης για την Σχεσιακή Λογική (τελική μορφή) Φ Ψ Page 24 ((Φ -{φ})τ (Ψ { ψ}))σ Όπου φ Φ, παράγοντας της Φ ψ Ψ, παράγοντας της Ψ σ είναι ο ποιό γενικός ενοποιητής των (φτ,ψ) σ = mgu (φ,ψ) και τ είναι η μετονομασία μεταβλητών στο φ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων 2007 Παράδειγμα Page 25 {π(χ), π(y)} { π(κ), π(λ)} Παραγοντες {π(χ)} { π(κ)} {} Γεώργιος Βούρος
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Πληρότητα και Ορθότητα Page 26 Η απόδειξιμότητα με χρήση του πλήρους κανόνα της επίλυσης είναι ορθή και πλήρης για τη σχεσιακή λογική (δίχως ισότητα) ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γεώργιος Βούρος