i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε η ράβδος ΑΒ να είναι συνεχώς οριζόντια.

Στην διάταξη του σχήµατος (1) η ράβδος ΑΒ έχει αµε λητέο βάρος, µήκος L και στο άκρο της Β έχει στερεωθεί σφαίρα µάζας m. Το σηµείο στήριξης Ο της ράβδου απέχει από το άκρο της Β απόσταση x. H ελεύθερη τροχαλία έχει µάζα M και ακτίνα R το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της είναι αβαρές και δεν µπορεί να ολισθαίνει πάνω σ αυτό. Αρχικά το σύστηµα κρατείται ακίνητο µε την ράβδο σε οριζόντια θέση και το νήµα ΒΜ τεντωµένο, κάποια δε στιγµή αφήνεται ελεύθερο. i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε η ράβδος ΑΒ να είναι συνεχώς οριζόντια. ii) Πόση είναι η µετατόπιση του κέντρου της τροχαλίας ύστερα από χρόνο t * αφότου αυτή αφέθηκε ελεύθερη; Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr / της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C και είναι κάθε τος στο επίπεδό της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το σύστηµα ράβδος-σφαίρα ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους m g σφαίρας, της δύναµης επαφής Q που δέχεται η ράβδος από το σηµείο στήριξης Ο καθώς και της τάσεως F του νήµατος που είναι δεµένο στο άκρο της Α. Λόγω της ισορροπίας του συστήµατος ισχύει η σχέση: "(O) = 0 Fx + Q 0 - (L - x)=0 F = mg(l - x)/x (1) Σχήµα 1 Eξάλλου η τροχαλία δέχεται το βάρος της M g, και την τάση T από το νήµα ΜΒ, η

οποία είναι αντίθετη της δύναµης F. Είναι λογικό να δεχθούµε ότι η τροχαλία εκτελεί υπό την επίδραση των δύο αυτών δυνάµεων επίπεδη κίνηση που θεωρείται ως επαλ ληλία µιας κατακόρυφης µεταφορικής κίνησης και µιας αριστερόστροφης περιστροφι κής κίνησης περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της C και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της τροχαλίας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: Mg - T = Ma C () όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας. Eφαρµόζοντας στην συνέχεια για την περιστροφική κίνηση της τροχαλίας τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρ νουµε την σχέση: TR = I C ' TR = MR '/ T = MR'/ (3) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Αν αναφερθούµε το σηµείο επαφής Ν του νήµατος µε την τροχαλία, αυτό θεωρούµενο ως σηµείο του νήµατος έχει κάθε στιγµή µηδενική ταχύτητα, διότι το νήµα ΝΒ είναι ακίνητο, θεωρούµενο όµως και ως σηµείο της τροχαλίας έχει ταχύτητα µέτρου v C -ωr, όπου v C η ταχύτητα του κέντρου C της τροχαλίας και η γωνιακή της ταχύτητα. Έτσι κάθε στιγµή ισχύει η σχέση: v C - r = 0 v C = r (4) Έστω ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το µέτρο της ταχύτητας v C µεταβάλλεται κατά dv C και το µέτρο της κατά dω, τοτε από την (4) προκύπτει: dv C = Rd dv C /dt = Rd / dt a C= R' οπότε η (3) γράφεται: T = Ma C / (5) Συνδυάζοντας την (5) µε την () παίρνουµε: Mg - Ma C / = Ma C g = 3a C / a C = g / 3 (6) οπότε η (5) παίρνει την µορφή: T = Mg 3 F = Mg 3 (1) mg Mg (L - x) = x 3 3m(L - x) = xm 3mL= x( M + 3m) x = 3mL M + 3m ii) Από την σχέση (6) προκύπτει ότι η επιτάχυνση του κέντρου C της τροχαλίας είναι σταθερή δηλαδή η κίνησή του είναι οµαλά επιταχυνόµενη και εποµένως η κατακόρυφη προς τα κάτω µετατόπισή του y * σε χρόνο t * δίνεται από την σχέση:

(6) y * = a C t * / y * = gt * / 6 P.M. fysikos Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές και οµογενείς ράβδοι βάρους αρθρώνονται διά του ενός άκρου τους στο σηµείο Ο, ενώ τα ελευθερα άκρα τους Α και Β εφάπτονται σε τραχύ οριζόντιο δάπεδο το δε επίπεδό τους είναι κατακόρυφο. i) Εάν ασκείται στην άρθρωση Ο οριζόντια δύναµη F, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς την ευθεία ΑΒ, να βρεθεί η συνθήκη που εξασφαλίζει την ισορροπία του συστήµατος, όταν η γωνία των δύο ράβδων είναι φ<π. ii) Να εξετάσετε το ίδιο πρόβληµα στην περίπτωση που η δύναµη F είναι κατακόρυφη µε φορά προς τα κάτω. Δίνεται ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ των ράβδων και του οριζόντιου δαπέδου. ΛΥΣΗ: i) H δύναµη F είναι οριζόντια και το σύστηµα ισορροπεί. Στο σύστηµα ενεργούν τα βάρη των δύο ράβδων, η οριζόντια δύναµη F και οι δυνά µεις επαφής στις άκρες τους Α και Β από το δάπεδο, που αναλύονται στις στατικές τρι βές T 1, T και στις κάθετες αντιδράσεις N 1, N (σχ. ). Εξετάζοντας την ισορροπία µό νο της ράβδου ΟΑ θα έχουµε την σχέση: "(O) = 0 -T 1 L"#$ + N 1 L%µ$ - L%µ$ / = 0 -T 1 "#$ + N 1 %µ$ - %µ$ = 0 N 1 = T 1 "# + / (1) Σχήµα Με τον ίδιο τρόπο από την ισορροπία της ράβδου ΟΒ καταλήγουµε στην σχέση: N = T "# + / ()

Εξάλλου από την ισορροπία του συστήµατος θα έχουµε: και F(y) = 0 N 1 + N - = 0 N 1 + N = (3) F(x) = 0 T 1 + F - T = 0 T - T 1 = F (4) Η (3) λόγω των (1) και () δίνει: T 1 "# + T "# + = (T 1 + T )"# = T 1 + T = "# (5) Προσθέτοντας κατά µέλη τις (4) και (5) παίρνουµε την σχέση: T = F + "# T = F/ + "# / (6) Συνδυάζοντας την (4) µε την (6) παίρνουµε: F/ + "# / - T 1 = F T 1 = "# / - F/ (7) Η (1) λόγω της (7) δίνει: N 1 = ( "# / - F/)$"# + / N 1 = / - F"#/ + / = - F"#/ (8) Η () λόγω της (6) δίνει: N = ( "# / + F/)$"# + / N = / + F"#/ + / = + F"#/ (9) Όµως η ισορροπία του συστήµατος επιβάλλει την σχέση Ν 1 0, η οποία λόγω της (8) δί νει: - F"#/ $ 0 F"#$/ F/ "#$ (10) Εξάλλου επειδή οι τριβές είναι στατικές θα έχουµε τις σχέσεις: T 1 nn 1 " # T nn $ (+ ) T 1 + T n( N 1 + N ) η οποία λόγω των (6), (7), (8) και (9) γράφεται: "# / - F/ + F/ + "# / $ n( - F%"#/ + + F%"#/) "# $ n n "#$ / (10) Oι σχέσεις (10) και (11) αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες για την ισορροπία του συστήµατος.

ii) H δύναµη F είναι κατακόρυφη µε φορά προς τα κάτω και το σύστηµα ισορροπεί. Εξετάζοντας πάλι µόνο την ισορροπία της ράβδου ΟΑ θα έχουµε την σχέση: "(O) = 0 - T 1 L"#$ + N 1 L%µ$ - L%µ$ / = 0 -T 1 "#$ + N 1 %µ$ - %µ$ = 0 N 1 = T 1 "# + / (11) Με τον ίδιο τρόπο από την ισορροπία της ράβδου ΟΒ καταλήγουµε στην σχέση: N = T "# + / (1) Σχήµα 3 Εξάλλου από την ισορροπία του σύστήµατος θα έχουµε: και F(y) = 0 N 1 + N - - F N 1 + N = + F (13) F(x) = 0 T 1 - T = 0 T 1 = T (14) Συνδυάζοντας την σχέσεις (11), (1) µε την (14) παίρνουµε Ν 1 =Ν και η (13) δίνει: N 1 = N = + F/ (15) Η (11) λόγω της (15) δίνει: + F/ = T 1 "# + / / + F/ = T 1 "# T 1 = ( + F)"# / (16) Εξάλλου επειδή οι τριβές ειναι στατικές θα έχουµε τις σχέσεις: T 1 nn 1 " # T nn $ (+ ) T 1 + T n( N 1 + N ) T 1 nn 1 η οποία λόγω των (15) και (18) γράφεται:

( + F)"# / $ n( + F/) "# + F"# $ n + nf (n - "#)F $ ("# - n) (17) Aπό την (17) προκύπτει, ότι για n>εφφ θα πρέπει: F "#$ - n n - "#$ ενώ για n<εφφ θα πρέπει: F n - "#$ "#$ - n P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m εφάπτεται µε το άκρο της Α σε λείο κατακόρυφο τοίxo και µε το άκρο της Β σε τραχύ οριζόντιο έδαφος, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n και κλίση φ ως προς αυτό. Επί της ράβδου εφαρµόζεται οριζόντια δύναµη F, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο µάζας της C, η φορά της είναι όπως στο σχήµα (4) το δε µέτρο της µπορεί να αυξάνεται από πολύ µικρές τιµές. Να δείξετε τα έξης: i) όταν σφφ>n, τότε µε την αύξηση του µέτρου της F θα προηγηθεί ολίσθηση του άκρου Β της ράβδου στο έδαφος και να βρεθεί η τιµή του µέτρου που αντιστοιχεί στην έναρξη της ολίσθησης και ii) όταν σφφ<n, τότε µε την αύξηση του µέτρου της F θα προηγηθεί η ανατ ροπή της ράβδου περί το άκρο της Β και να βρεθεί η αντίστοιχη τιµή του µέτρου της F. iii) Όταν n=1, F=mg και φ=π/3, να δείξετε ότι η ράβδος ανατρέπεται και να βρείτε την γωνιακή της επιτάχυνση κατά την έναρξή της ανατροπής της. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι Β =ml /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της Β και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι το µέτρο της δύναµης F έχει τιµή που εξασφαλίζει την ισορροπία της ράβδου ΑΒ. Επί της ράβδου εκτός από την δύναµη F ενεργεί το βάρος της = m g, η δυναµη επαφής Q από τον τοίχο της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος, διότι ο τοίχος είναι λείος και τέλος η δύναµη επαφής από το τραχύ οριζόντιο έδαφος, η οποία αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N (σχ. ). Λόγω της ισορροπίας της ράβδου ισχύουν οι σχέσεις: F(x) = 0 Q + F - T = 0 T = Q + F (1)

και F(y) = 0 N - = 0 N = mg () "(B) = 0 F(B ) + Q(B") - (C ) = 0 F L µ" + QLµ" - mg L #$%" = 0 Qµ" = mg#$%" - Fµ" Q = mg"#$ - F%µ$ %µ$ = mg&$ - F (3) Σχήµα 4 Για να µη χάνει την επαφή της η ράβδος µε τον τοίχο, οπότε δεν θα συµβαίνει ανατ ροπή αυτής περί το άκρο της Β, πρέπει Q 0 και λόγω της (3) πρέπει: mg"# - F $ 0 F mg"#$ (4) Για να µη ολισθαίνει το άκρο Β της ράβδου πάνω στο οριζόντιο έδαφος πρέπει Τ nn, η οποία λόγω των (1) και () δίνει: (3) Q + F nmg mg"# - F + F $ nmg F nmg - mg"#$ F nmg - mg"#$ F mg ( n - "#$ ) (5) Οι σχέσεις (4) και (5) αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες για να ισορροπεί η ράβδος ΑΒ µε βάση δε τις σχέσεις αυτές διακρίνουµε τις εξής δύο περιπτώσεις: i) Ισχύει mgσφφ>mg(n-σφφ) ή σφφ>n.

Τότε µε την αύξηση του µέτρου της F θα προηγηθεί η ολίσθηση της ράβδου επί του εδάφους, η δε αντίστοιχη οριακή τιµή του µέτρου της θα είναι F 1 =mg(n-σφφ). ii) Ισχύει mgσφφ<mg(n-σφφ) ή σφφ<n. Τότε µε την αύξηση του µέτρου της F θα προηγηθεί η ανατροπή της ράβδου περί το άκρο της Β η δε αντίστοιχη οριακή τιµή του µέτρου της θα είναι F =mgσφφ. Στην περίπτωση που έχουµε φ=π/3, n=1 και F=mg, τότε θα είναι σφφ= 3 /3<1, δηλαδή σφφ<n, που σηµαίνει σύµφωνα µε τα προηγούµενα ότι µε την αύξηση του µέτρου της F η ράβδος θα ανατραπεί περί το άκρο της Β εφ όσον βέβαια το µέτρο της υπερβαίνει την οριακή τιµή mgσφφ, πράγµα που συµβαίνει διότι mg>mgσφ(π/3). Για να υπολογίσουµε την γωνιακή επιτάχυνση ' της ράβδου κατά την έναρξή της ανατροπής της εφαρµόζουµε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, οπότε θα έχουµε την σχέση: "(B) = I B #' F L µ" + 0 - mg L #$%" = ml &' 3 mg µ" - mg #$%" = ml&' 3 g (µ" - #$%" ) = L&' 3 '= 3g ("µ# - $%&# ) L P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος (5) η οµογενής λεπτή ράβδος έχει µήκος L και βάρος P. Το ένα άκρο της ράβδου έχει αρθρωθεί σε σώµα µικρών διαστάσεων, το οποίο εφάπτεται σε τραχύ οριζόντιο έδαφος, µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής n. Η ράβδος εφάπτεται σε στα θερό λείο κύλιστρο Ο το οποίο απέχει από το σώµα απόσταση L/3, όταν η κλίση της ράβδου ως προς το έδαφος είναι φ=π/6. Να βρεθεί για ποιές τιµές του βάρους του σώµατος αποφεύγεται η ολίσθησή του επί του εδάφους. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι το σύστηµα ισορροπεί. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος P της ράβδου το βάρος του σώµατος, η δύναµη Q που εξασκει το κύλιστρο Ο επί της ράβδου, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην ράβδο και τέλος η δύναµη επαφής που δέχεται το σώµα από το οριζόντιο έδαφος που αναλύεται στην τριβή T και στην κάθετη αντίδραση. N. Λόγω της ισορροπίας του συστήµατος θα ισχύουν οι σχέσεις: F(x) = 0 T - Q x = 0 T = Qµ" (1) F(y) = 0 N + Q y - P - = 0 N = -Q"#$ + P + () "(A) = 0 PL LQ "#$ - 3 = 0 Q = 3P 4 "#$ (3)

Aπό (1) και (3) παίρνουµε: T = 3P"#$%µ$ / 4 (4) Επίσης από () και (3) έχουµε: N = -3P"# $ / 4 + P + (5) Eπειδή η τριβή είναι στατική θα ισχύει και η σχέση: Σχήµα 5 (4),(5) T nn 3P 4 "#$%µ$ & n ' - 3P * ) 4 "# $ + P +, ( + 3P 3Pn "#$%µ$ + 4 4 "# $ - np & n P ( 4n 3"#$%&µ% + 3n"#$ % - 4n) (6) To πρόβληµα έχει λύση εφ όσον ισχύει: 3"#$%µ$ + 3n"# $ - 4n > 0 3"#$%µ$ > -3n"# $ + 4n 3"#$%µ$ > n(4-3"# $) n < 3"#$%µ$ 4-3"# $ P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος µήκους L και µάζας m µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της Ο παραµένουσα σε κατακόρυφο επίπεδο. Αρχικά η ράβδος βρίσκεται στην κατώτερη θέση της όπου και ισορροπεί και κάποια στιγµή ενεργεί στο ελεύθερο άκρο της Α δύναµη σταθερού µέτρου, της οποίας ο φορέας παρα µένει συνεχώς κάθετος στην ράβδο. Όταν η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία φ=π/6 η δύναµη αποσύρεται µε αποτέλεσµα η ράβδος µόλις να φθάνει στην ορίζόντια θέση και στην συνέχεια επανακάµπτει προς την αρχική της θέση.

i) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση και η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου λίγο πρίν αποσυρθεί η δύναµη. ii) Nα εκφράσετε τον αντίστοιχο ρυθµό µεταβολής της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας της ράβδου. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι Ο =ml /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος στην ράβδο. ΛΥΣΗ: i) Εφαρµόζοντας για την ράβδο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο κίνησής της από την κατακόρυφη θέση ΟΑ 1 στην οριζόντια θέση ΟΑ παίρ νουµε την σχέση: K "# - K $%& = W F + W 0-0 = W F + W W F = -W (1) Όµως για το έργο W F έργο W της δύναµης F που ενεργεί στο άκρο Β της ράβδου και για το του βάρους της, ισχύουν οι σχέσεις: W F = FL/6 " # W = -mgl/ $ Σχήµα 6 οπότε η (1) γράφεται: FL/6 = mgl/ F = 3mg/ () όπου F το σταθερό µέτρο της δύναµης F. Εξάλλου εφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης λίγο πριν αποσυρθεί η δύναµη F στην θέση φ=π/6, παίρνουµε την σχέση: "(O) = I O #' mg L µ" - FL = ml #' 3 () mg µ (" / 6) - 3mg " = ml#' 3 g 4-3g = L"' 3 '= 3g # L 1-3 & % ( > 0 (3) $ "'

όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου στην θέση φ=π/6. Εάν είναι η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειαςέργου θα έχουµε την σχέση: K ( / 6) - K (0) = W F + W I O - 0 = FL" 6 - mgl 1 - #$% " () & ) ( + ' 6* ml 6 = 3mgL" 6" - mgl # % 1 - $ 3 & ( L = g ' - g " 1-3% $ # ' & L 6 = 3g 4 = 3 3 g L (4) Σχήµα 7 ii) Aς εξετάσουµε την ράβδο σε µια τυχαία θέση φ, όπου η y-συντεταγµένη του κέν τρου µάζας της C είναι y C και η ταχύτητά του v C (σχ. 7). Η βαρυτική δυναµική ενέρ γεια U της ράββου µε επίπεδο αναφοράς το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το άκρο της Ο είναι: U = -mgy C (5) Eάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η y-συντεταγµένη y C µεταβληθεί κατά dy C, τότε η αντίστοιχη µεταβολή du της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας της ράβδου θα είναι: du = -mgdy C du dt = -mg dy C dt = -mgv Cy (6) όπου v Cy η αλγεβρική τιµή της y-συνιστώσας της ταχύτητας v C του κέντρου µάζας, ενώ το διαφορικό πηλίκο du/dt εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της βαρυτικής δυνα µικής ενέργειας της ράβδου στην θέση φ που την εξετάζουµε. Όµως από το σχήµα (7) προκύπτει ότι: v Cy = -v C µ" = -# " Lµ" (7) όπου " η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου στην θέση φ. Με βάση την (7) η (6) γράφεται:

du dt = mg " L#µ" (8) Η (8) εφαρµοζόµενη στην θέση φ=π/6 δίνει: du$ # & " dt % ' =(/6 = mgl () ' =( / 6 )*µ ( (4) $ # & " 6% du$ # & " dt % ' =(/6 = mgl 3 3 g L = mg 3 3 gl P.M. fysikos Σφαίρα µαζας m και ακτίνας R, τοποθετείται πάνω σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, η οποία εµποδίζεται να κινηθεί από σταθερό εµπόδιο, όπως φαίνεται στο σχήµα (8). i) Ποιό πρέπει να είναι το οριακό ύψος του εµποδίου, ώστε η σφαίρα να µη ανατρέπεται; ii) Επί της σφαίρας εφαρµόζεται στο ανώτατο σηµείο της οριζόντια σταθερή δύναµη F µέτρου mg/, µε αποτέλεσµα αυτή να περιστρέφεται περί την ακ µή του εµποδίου, χωρίς να ολισθαίνει. Να βρείτε την γωνιακή ταχύτητα και την γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας, την στιγµή που αυτή υπερπηδά το εµπόδιο. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr /5 της σφαίρας ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο της C και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: i) Eάν το ύψος του εµποδίου Σ που τοποθετείται κάτω από την σφαίρα, είναι το ελάχιστο δυνατό, ώστε αυτή να συγκρατείται στο κεκλιµένο επίπεδο, τότε η σφαίρα είναι έτοιµη να εγκαταλείψει το κεκλιµένο επίπεδο, οπότε στην περίπτωση αυτή µπο ρούµε να θεωρήσουµε την σφαίρα σε οριακή ισορροπία υπό την επίδραση του βάρους Σχήµα (8) της και της δύνάµης Q που δέχεται από το εµπόδιο Σ (σχ. 8). Tότε όµως πρέπει οι δύο αυτές δυνάµεις να έχουν τον ίδιο φορέα, αντίθετες φορές και ίσα µέτρα, δηλαδή ο

φορέας του βάρους πρέπει να διέρχεται από το σηµείο επαφής ε σφαίρας και εµποδίου. Eάν Ο είναι η προβολή του κέντρου C 0 της σφαίρας πάνω στην προέκταση της άνω επφάνειας του εµποδίου, θα έχουµε από το ορθογώνιο τρίγωνο C 0 εο την σχέση: C 0 O = (C 0 ε)συνφ R h0 = Rσυνφ h0 = R - Rσυνφ h0 = Rηµ (φ/) όπου h 0 το ζητούµενο οριακό ύψος του εµποδίου για το οποίο επίκειται η ανατροπή της σφαίρας. ii) Eάν στο ανώτατο σηµείο Α 0 της σφαίρας επιδράσει οριζόντια σταθερή δύναµη F θα προκαλέσει περιστροφή αυτής περί την ακµή επαφής του εµποδίου µε την σφαίρα και Σχήµα 9 όταν η ευθεία που συνδέει το σηµείο επαφής ε σφαιρας-εµποδίου µε το κέντρο C της σφαίρας γίνει κάθετη στην άνω επιφάνεια του εµποδίου η σφαίρα θα έχει υπερπήδησει το εµπόδιο (σχ. 9). Τότε όµως η σφαίρα θα έχει περιστραφεί από την αρχική θέση κατα γωνία φ και θα έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα που θα βρεθεί εάν εφαρµόσουµε για την σφαίρα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, οπότε θα λάβουµε την σχέση: I " / - 0 = W F + W + W T + W N I " / = W F + W (1) όπου Ι ε η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί την ακµή επαφής της ε µε το εµπόδιο, ενώ τα έργα W T, W της τριβής T και της κάθετης αντίδρασης N που δέχεται η σφαίρα N από το εµπόδιο είναι µηδενικά. Εξάλλου σύµφωνα µε το θεώρηµα Steiner ισχύει για την ροπή αδράνειας Ι ε η σχέση: I = I C + mr = mr /5 + mr = 7mR /5 οπότε η (1) γραφεται: 7mR /10 = W F + W () Για τα έργα W F, W της δύναµης F και του βάρους της σφαίρας ισχύουν οι σχέσεις: W F W = F(AA') = mg(rµ")/ ' ( = (C 0 C') = mg(r - R#$%&) ) W = mgrµ" ' F ( W = mgr(1 - #$%&)) (3)

H () λόγω των (3) γράφεται: 7mR /10 = mgr"µ# + mgr(1 - $%&') 7R /10 = g"µ# + g( 1 - $%&' ) = 10g( 1 + "µ# - $%&' ) / 7R = 10g( 1 + "µ# - $%&' ) / 7R (4) Tέλος εφαρµόζοντας για την σφαίρα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης την στιγµή που αυτή υπερπηδά το εµπόδιο παίρνουµε την σχέση: "(#) = I # $' F(A') + (CC') = 7mR "'/5 mg(r"#$)/ + mg(%µ$) = 7mR &'/5 g"#$ + g%µ$ = 7R&'/5 '= 5g ("#$% + &µ% ) / 7R όπου ' η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας την στιγµή που υπερπηδά το εµπόδιο. P.M. fysikos Οµογενής κύβος ακµής α και µάζας m, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που ταυτίζεται µε µια ακµή του και είναι στερεω µένος σε οριζόντιο έδαφος. Ο κύβος αρχικά εδράζεται επί του εδά φους και κάποια στιγµή ενερ γεί σ αυτόν οριζόντια δύναµη F, της οποίας ο φορέας είναι συνεχώς κάθε τος σε µια ακµή της άνω βάσεώς του και διέρχεται από το µέσον της. i) Εάν το µέτρο της F είναι 3mg/4, θα ανατραπεί ο κύβος και αν αυτό συµβεί ποια θα είναι η γωνιακή του επιτάχυνση και η γωνιακή του ταχύτητα την στιγµή που ολοκληρώνεται η ανατροπή του; ii) Να δείξετε ότι σε κάποια θέση της περιστροφικής κίνησης του κύβου που τον οδηγεί σε ανατροπή, η γωνιακή του ταχύτητα γίνε ται µέγιστη και να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της κινητικής του ενέργειας στην θέση αυτή. iii) Ποια είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κύβου κατά την έναρξη της ανατροπής του; Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας mα /3 του κύβου ως προς µία ακµή του. ΛΥΣΗ: i) Έστω ότι µε την εφαρµογή της οριζόντιας δύναµης F ο κύβος αρχίζει να περιστρέφεται περί την ακµή του Α και τελικά ανατρέπεται, που σηµαίνει ότι την στιγµή της ανατροπής του η διαγώνιος ΑΒ 0 γίνεται κατακό ρυφη (σχ. ). Εφαρµόζοντας για τον κύβο το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου απο την στιγµή της έναρξης της ανατροπής του µέχρις ότου αυτή ολοκληρωθεί παίρνουµε την σχέση:

I A * / - 0 = W F + W + W Q I A * / = W F + W (1) όπου * η γωνιακή ταχύτητα του κύβου την στιγµή της ανατροπής του, Ι A η ροπή αδράνειας του κύβου περί την ακµή του Α, ενώ το έργο W Q άξονα περιστροφής είναι µηδενικό. Για τα έργα W F, W του κύβου ισχύουν οι σχέσεις: της δύναµης Q από τον της δύναµης F και του βάρους Σχήµα 10 Σχήµα 11 W F = F(B y ) = F(B A)µ" / 4 # 0 1 0 $ W = -(C 1 y ) = -mg(ac 1 - Ay )% ( ) W F = F / ( ) W = -mg / 1 - "#$%/4 & ( ' )( W F = F ( ) " $ # $ W = -mg/ - 1 % () Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: I A * / = F" -mg"/( - 1) (3) Όµως πρέπει ω * 0, η οποία λόγω της (3) κάνει απαιτητή την σχέση: F -mg/( - 1) " 0 F mg ( - 1) (4) Η (4) ικανοποιείται στην περίπτωση που το µέτρο της F είναι ίσο µε 3mg/4 που σηµαί νει ότι η αρχική παραδοχή ότι ο κύβος ανατρέπεται είναι σωστή. Θέτοντας στην σχέση (3) όπου Ι Α =mα /3 και F=3mg/4, παίρνουµε: m 6 " * = 3mg 4 - mg ( - 1)

4" * = 9g - 6g ( - 1) * = g ( 15-6 ) / 4" (5) Εξάλλου εάν ' * είναι η γωνιακή επιτάχυνση του κύβου την στιγµή της ανατροπής του, συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε την σχέση: "(A) = I A #' * F(AB 1 ) + 0 + Q0 = m" #' * / 3 3mg 4 = m "' * 3 ' * = 9 g " (6) ii) Eάν υπάρχει στην διάρκεια της ανατροπής του κύβου θέση, όπου η γωνιακή ταχύ τητα περιστροφής του γίνεται µέγιστη, πρέπει στην θέση αυτή η γωνιακή του επιτά χυνση να είναι µηδενική και συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης πρέπει η συνισταµένη ροπή όλων των δυνάµεων που δέχεται ο κύβος, περί την ακµή περιστροφής του Α, να είναι µηδενική, δηλαδή στην θέση αυτή θα ισχύει: "(A) = 0 F(AB"#$) - % (AC&µ$)+ Q% 0 = 0 3mg 4 ( "#$%) - mg& 'µ% = 0 3 4 "#$ - 1 %µ$ = 0 "# = 3 όπου φ η γωνία της διαγωνίου ΑΒ του κύβου µε την κατακόρυφη διεύθυν ση, η οποία καθορίζει την θέση του κύβου στην οποία η γωνιακή του ταχύ τητα µεγιστοποιείται. Για τον υπολογισµό του ρυθµού µεταβολής της κινητικής ενέργειας του κύβου την οποιαδήποτε χρονική στιγµή t φανταζόµαστε ότι µεταξύ την χρονικών στιγµών t και t+dt η κινητική του ενέργεια µεταβάλλεται κατά dk. Σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητι κής ενέργειας-έργου θα έχουµε την σχέση: dk = "(A)d# dk dt = "(A) d# dt dk dt = "(A)# (7) όπου dφ η γωνία στροφής του κύβου στον χρόνο dt. Στην σχέση (7) το διαφορικό πηλί κο dk/dt αναφέρεται στην χρονική στιγµή t και αποτελεί τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του κύβου την στιγµή αυτή, το ω είναι η αλγεβρική τιµή της γωνιακής ταχύτητας του κύβου την στιγµή t και τέλος το άθροισµα "(A) αποτελεί την αντίστοιχη αλγεβρική τιµή της συνισταµένης ροπής των δυνάµεων που ενεργούν στον κύβο, περί τον άξονα περιστροφής του. Όµως στην θέση της µέγιστης γωνιακής ταχύτητας το άθροισµα "(A) είναι µηδενικό, οπότε και ο αντίστοιχος ρυθµός µεταβο λής της κινητικής ενέργειας θα είναι µηδέν. iii) Εφαρµόζοντας για τον κύβο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης κατά την έναρξη της ανατροπής του (t=0) παίρνουµε την σχέση: "(A)= I A # ' 0 F - / + Q" 0 = m # ' 0 / 3

3mg 4 - mg =m"' 0 3 ' 0 = 3g 8" όπου ' 0 η ζητούµενη γωνιακή επιτάχυνση του κύβου κατά την έναρξη της ανατροπής του. P.M. fysikos Μια οµογενής σφαίρα µαζας Μ και ακτίνας R, ηρεµεί επί οριζοντίου δαπέ δου εφαπτόµενη στην άκρη Α ενός σκαλοπατιού ύψους h, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Βλήµα µάζας m κινούµενο µε οριζόντια ταχύτητα v 0 σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο της σφαίρας. Με την προυπό θεση ότι η σφαίρα δεν αναπηδά ούτε ολισθαίνει πάνω στο εµπόδιο να βρεθεί η ελάχιστη τιµή της v 0, ώστε η σφαίρα να υπερπηδήσει το εµπόδιο. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι C =mr /5 της σφαίρας ως προς άξονα διερχόµενο από το κέντρο της C και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που διαρκεί η ενσφήνωση του βλήµα τος στην σφαίρα η ροπή του βάρους του συστήµατος βλήµα-σφαίρα περί το άκρο επα φής Α του σκαλοπατιού ελάχιστα µεταβάλλει την στροφορµή του περί το Α, δηλαδή µπορούµε να ισχυριστούµε ότι η εν λόγω στροφορµή του συστήµατος λίγο πριν την εισ χώρηση του βλήµατος είναι ίση µε την στροφορµή του αµέσως µετά την ενφήνωση. Μπορούµε εποµένως να γράψουµε την σχέση: L "#$ %&'( = L )µ*+,- µ./0 L "#$ %&'( = L )µ*+,- µ./0 mv 0 ( R - h) + 0 = I A 0 + mv 0 R mv 0 R - h ( ) = I A 0 + m 0 R (1) Σχήµα 1 Σχήµα 13 όπου Ι Α η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα διερχόµενο από το Α και κάθετο στο επίπεδο κίνησής, V 0 η ταχύτητα του κέντρου µάζας της σφαίρας και 0 η γωνιακή της ταχύτητα αµέσως µετά την ενφήνωση του βλήµατος, των οποίων τα µέτρα συνδέον ται µε την σχέση V 0 =Rω 0. Όµως σύµφωνα µε το θεώρηµα Steiner ισχύει: I A = I C + MR = MR /5 + MR = 7MR /5 οπότε η σχέση (1) γράφεται:

mv 0 ( R - h) = 7MR 0 /5+ m 0 R 5mv 0 ( R - h) = ( 7M + 5m)R 0 ( ) 0 = 5mv 0 R - h ( 7M + 5m)R () Eφαρµόζοντας το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργειας για το συσσωµάτωµα βλήµα-σφαίρα κατά τον χρόνο που περιστρέφεται περί το Α, µέχρις ότου υπερπηδήσει το εµπόδιο, παίρνουµε την σχέση: K "# + U "# = K $%& + U $%& I A 0 + mv 0 + ( M + m )g R - h ( ) = = I A + mv + ( M + m )gr 7MR 5 0 + m 0 R - ( M + m)gh = = 7MR 5 + m R ( 7M + 5mR ) 0 R - 10( M + m)gh = = ( 7M + 5mR ) R = 0-10( M + m)gh 7M + 5mR ( ) R (3) όπου V η ταχύτητα του κέντρου της σφαίρας και η γωνιακή της ταχύτητα την στιγµή που υπερπηδά το σκαλοπάτι. Όµως πρέπει η να δεσµεύεται µε την σχέση ω 0, η οποία λόγω της (3) δίνει: 0 " 10( M + m)gh 7M + 5mR ( ) R ( ) ( 7M + 5m) R 4 () 5m v 0 R - h 10( M + m)gh 7M + 5mR ( ) R ( ) 5m v 0 R - h ( ( M + m)gh v 7M + 5m)R 0 ( 7M + 5m) ( M + m)ghr 5m ( R - h) v 0 R ( ) m R - h ( 7M + 5m) ( M + m)gh 5 (v 0 ) min = R ( ) m R - h ( 7M + 5m) ( M + m)gh 5 P.M. fysikos H τροχαλία του σχήµατος (14) έχει µάζα m και ακτίνα R, το επίπεδό της είναι κατακόρυφο παρουσιάζει δε µε το οριζόντιο δάπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης n.

i) Nα βρεθεί γωνία φ, ώστε η τροχαλία να περιστρέφεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο, όταν η δύναµη F που εφαρµόζεται στο άκρο A του νήµατος που περιβάλλει τον λαιµό της τροχαλίας παρουσιάζει το µικρότερο δυνατό µέτρο της. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR / της τροχαλίας, ως προς τον γεωµετρικό της άξονα, που αποτελεί και τον άξονα περιστροφής της. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι η τροχαλία έχει γνήσια περιστροφή περί τον γεωµετ ρικό της άξονα. Τότε η τριβή T που δέχεται από το δάπεδο είναι τριβή ολισθή σεως και πρέπει να έχει φορά προς τα αριστερά, ώστε να είναι δυνατή η αποφυ γή της µεταφορικής κίνησης της τροχαλίας. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: F x = T Fµ" = nn (1) Σχήµα 14 όπου F x η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης F και N η κάθετη αντίδραση του δαπέ δου. Όµως η τροχαλία κατα τον κατακόρυφη διεύθυνση δεν κινείται, οπότε θα ισχύει: N + F y - = 0 N = mg - F"#$ () όπου F y η κατακόρυφη συνιστώσα της F και το βάρος της τροχαλίας. Συνδυάζον τας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: Fµ" = n( mg - F#$%" ) F (µ" + n#$%" ) = nmg nmg F= µ" + n#$%" (3) Θέτοντας n=εφθ η (3) γράφεται: nmg F= µ" + #$%&'(" = nmg µ" + µ%&'(" /&'(%

nmg"#$ F= %µ&"#$ + %µ$"#& = nmg"#$ %µ(& + $) Aπό την (4) προκύπτει ότι το µέτρο της F γίνεται ελάχιστο όταν ηµ(φ+θ) =1, δηλαδή όταν φ+θ=π/, οπότε θα έχουµε εφφ=σφθ=1/εφθ=1/n και η (1) δίνει: (4) F min = nmg"#$ = nmg 1 + %& $ = nmg (5) 1 + n H () για F=F min δίνει: N = mg - F min "#$ = mg - F min 1 + %& $ (5) N = mg - ( ) nmg 1 1 + n 1 + n = mg 1 - n $ # " 1 + n & = mg % 1 + n 1 + n - n Όµως το τριώνυµο f(n)=n -n+1 έχει ρίζες συζυγείς µιγαδικές και εποµένως είναι για κάθε n οµόσηµο του συντελεστή του όρου n, δηλαδή είναι θετικό που σηµαίνει ότι Ν>0, δηλαδή η τροχαλία δεν χάνει την επαφή της µε το οριζόντιο δάπεδο. Aς δούµε όµως ποια είναι η αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση ' του καρουλιού. Εφαρµόζοντας για το καρούλι τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κινήσεως παίρνουµε την σχέση: () F min R+TR = I' F min R+nNR = mr '/ F min +n( mg - F min "#$) = mr%'/ " =#/-$ F min ( 1 - n"#$ ) +nmg = mr%'/ F min ( 1 - nµ" ) +nmg = mr#'/ $ F min & 1 - % " # ' (5) ) +nmg = mr*'/ 1 + " # ( nmg # 1-1 + n " n $ & +nmg = mr''/ 1 + n % ng ( 1 + n - n ) +ng = R'/ 1 + n '= ng R " $ # 1 + n - n % 1 + n ' + ng & R

'= ng R " $ # 1 + n - n % + 1 1 + n ' = ng " $ & R # 1 + n - n + 1 + n % 1 + n ' & '= ng R " $ # 1 + n + 1% 1 + n ' > 0 (6) & δηλαδή η ελάχιστη τιµή του µέτρου της F είναι συµβατή µε την γνήσια περιστροφή της τροχαλίας. P.M. fysikos Στο καρούλι του σχήµατος (15) ενεργεί η δύναµη F, η οποία εφαρµόζεται στο άκρο A του νήµατος που περιβάλλει το κυλινδρικό σώµα του καρουλιού, του οποίου νήµατος η κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση µπορεί να µεταβάλλεται. i) Nα βρείτε για ποιές τιµές της γωνίας φ το καρούλι κυλίεται στο οριζόντιο έδαφος µετατοπιζόµενο προς τα αριστερά. ii) Tι συµβαίνει µε την κίνηση του καρουλιού, όταν ο φορέας της δύναµης F προεκτεινόµενος τέµνει την ευθεία επαφής του καρουλιού µε το οριζόντιο έδαφος; iii) Κάτω από ποιες συνθήκες το καρούλι µπορεί να έχει γνήσια περιστρο φική κίνηση περί τον γεωµετρικό του άξονα, εφαπτόµενο του οριζόντιου εδάφους. vi) Eάν F=mg και φ=0 για ποιές τιµές του συντελεστή οριακής τριβής µεταξύ του καρουλιού και οριζόντιου επιπέδου είναι δυνατή η κύλισή του στο ορι ζόντιο επίπεδο; Δίνονται οι ακτίνες r και R του κυλινδρικού σώµατος και των κυκλικών βάσεων αντιστοίχως του καρουλιού (R>r) και η ροπή αδρά νειας I αυτού ως προς τον γεωµετρικό του άξονα. ΛΥΣΗ: i) Επειδή θέλουµε το καρούλι να κυλίεται και ο γεωµετρικός του άξονας να µετατοπίζεται προς τα αριστερά, θα πρέπει η περιστροφική του κίνηση περί τον άξονά του να είναι αριστερόστροφη, ώστε να είναι δυνατός ο µηδενισµός της ταχύτητας των σηµείων επαφής Μ του καρουλιού µε το έδαφος. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας C του καρουλιού τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: T - F x = ma C T = F"#$ + ma C (1) όπου F x η οριζόντια συνιστώσα της F και T η στατική τριβή από το έδαφος, η οποία πρέπει να έχει την φορά που φαίνεται στο σχήµα (15), ώστε η επιτάχυνση a C του κέν τρου µάζας C να έχει φορά προς τα αριστερά. Εξάλλου για την περιστροφή του καρου λιού περί τον άξονά του ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δίνει την σχέση:

Fr - TR = I' Fr - TR = Ia C / R () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του καρουλιού, της οποίας το µέτρο είναι a C /R λόγω της κυλίσεως. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: Fr - FR"#$ - mra C = Ia C /R F(r - R"#$) = a C (mr + I/R a C = F(r - R"#$) mr + I/R (3) Σχήµα 15 Οµως πρέπει a C >0, δηλαδή: r - R"#$ > 0 "#$ < r / R Eπειδή η T είναι στατική τριβή πρέπει να ισχύει: T nn T n(mg - F y ) T n(mg - F"µ#) (4) Εξάλλου διαιρώντας κατά µέλη τις (1) και () παίρνουµε: T - F"#$ Fr - TR = mr I TI - FI"#$ = FmRr - TmR T(I + mr ) = F(I + mrr) T = F(I + mrr) I + mr T < F (5) H (4) λόγω της (5) γράφεται: F(I + mrr) # n(mg - F"µ#) F I + mrr I + mr % $ I + mr + nµ" & ( ) nmg ' F nmg (I + mrr)/(i + mr ) + n"µ# (6) H σχέση (6) µαζί και µε την συνφ<r/r εξασφαλίζουν την κύλιση του καρουλιού προς τα αριστερά.

ii) Εάν ο φορέας της δύναµης F προεκτεινόµενος διέρχεται από την ευθεία επαφής Μ του καρουλιού µε το έδαφος, τότε συνφ=r/r και η σχέση (3) δίνει a C =0. Tότε για την γωνιακή επιτάχυνση του καρουλιου υπάρχουν δύο ενδεχόνενα. α) Να είναι ω =0, οπότε θα πρέπει να ισχύει: Fr - TR = 0 T = Fr / R T = F"#$ (7) η οποία είναι συµβιβαστή µε την a C =0. β) Να είναι ω 0, οπότε θα πρέπει να ισχύει: Fr - TR 0 T Fr / R T F"#$% η οποία είναι ασυµβίβαστη µε την a C =0 και εποµένως απορρίπτεται. Άρα, όταν συνφ=r/r το καρούλι θα ισορροπεί. Τότε η τριβή T θα είναι στατική και εποµένως θα ισχύει: (7) T nn Fr / R n(mg - F"µ#) Fr / R + nfµ" # nmg F(r / R + nµ") # nmg F nmg r / R + n"µ# F nmg r / R + n 1 - "#$ % F nmg r / R + n 1 - r / R F nrmg r + n R - r (8) Άρα όταν ο φορέας της F διέρχεται από την ευθεία Μ και το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση (8) το καρούλι θα ισορροπεί τείνοντας να ολισθήσει προς τα δεξιά. iii) Για να έχει το καρούλι γνήσια περιστροφή περί τον γεωµετρικό του άξονα πρέπει ω >0 και a C =0, ενώ η τριβή θα είναι τριβή ολισθήσεως. Τότε θα έχουµε: F x = T = nn F"#$ = n(mg - F%µ$) και F("#$ + n%µ$) = nmg (9) Fr - TR > 0 F > nnr/r F > nr(mg - Fµ")/r (9) F(1 + nrµ" / r) > nmgr/r nmg(1 + nrµ" / r) #$%" + nµ" > nmgr/r 1 + nrµ" r > R r (#$%" + nµ" ) 1 + nrµ" r > R#$%" r + nrµ" r 1 > R"#$ r "#$ < r R (10)

Αν λοιπόν ισχύουν οι σχέσεις (9) και (10) το καρούλι θα έχει γνήσια περιστροφική κί νηση. Παρατήρηση: Θέτοντας n=εφθ η σχέση (9) γράφεται: F = F = nmg "#$ + %&'(µ$ = nmg "#$ + (µ'(µ$ /"#' nmg"#$ "#%"#$ + &µ$&µ% = nmg"#$ "#(% - $) Παρατηρούµε από την (11) ότι για φ=θ το µέτρο της F παίρνει την µικρότερη τιµή του F min, που είναι: (11) F min = nmg"#$ = Aν λοιπόν ισχύει: nmg 1 + %& $ "#$ < r R ή 1 1 + n < r R τότε η γνήσια περιστροφή του καρουλιού µπορεί να εξασφαλιστεί µε την ελάχιστη τιµή του µέτρου της F. iv) Ας δεχθούµε ότι το καρούλι υπό την επίδραση της οριζόντιας δύναµης F κυλίεται. Η κυλισή του ισοδυναµεί µε γνήσια περιστροφή αυτού περί στιγµιαίο άξονα που είναι η ευθεία επαφής Μ µε το έδαφος, η οποία προφανώς είναι δεξιόστροφη και ωφείλεται µό Σχήµα 16 νο στην F, διότι οι ροπές των τριών άλλων δυνάµεων T, N και περί τον άξονα αυτόν είναι µηδενικές. Αυτό σηµαίνει ότι η κίνηση του άξονα του καρουλιού είναι προς δεξιά, ώστε να είναι δυνατός ο µηδενισµός της ταχύτητας των σηµείων επαφής του µε το έδαφος Με βάση τα παραπάνω θα έχουµε τις σχέσεις: F - T = ma C " # TR - Fr = I' $ F - T = ma C " TR - Fr = Ia C /R # (:) F - T TR - Fr = mr I

mg - T TR - mgr = mr I mgi - ITR = TmR - m grr mg( I + mrr) = T( I + mr ) T = mg( I + mrr) (1) I + mr Όµως η κύλιση του καρουλιού επιβάλλει την σχέση: (1) mg( I + mrr) T nn T nmg nmg I + mr n I + mrr I + mr P.M. Fysikos