ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι. ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Κανόνες παραγώγισης - διαφόρισης ) (c) = dc = ) () = ) (cf) = cf 4) (f g) = f g d(f g) = df dg 5) (fg) = f g + fg d(fg) = gdf + fdg 6) d(f / g) = 7) [f(g())] = f (g)g () Διαφορικά df df dg 8) dg dy dy dy = f (), d y = f () Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων ) ( n ) = n n- ) (sin) = cos ) (cos) = - sin 4) (tan) = /cos 5) (cot) = -/sin 6) (e ) = e 7) (ln) = /, > ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να υπολογιστούν οι παράγωγοι dy/ των συναρτήσεων: ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) ) ) ) ) 4) 5)
Να υπολογιστούν τα παρακάτω διαφορικά: 6) dy =?, d y =?, dy() =?, d y() =? 7) y = cos - d y? 8) y = sinln d y? 9) + y = r dy?, d y? ) Να υπολογιστεί η πρώτη και δεύτερη παράγωγος των πεπλεγμένων συναρτήσεων: α) = tan - t, y = ln(t +) δ) = e -t, y = e t β) = acos t, y = bsin t ε) = lnt, y = t - γ) = t + 5, y = t + ) Να υπολογιστεί η πρώτη παράγωγος των συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης: y = sin -, y = cos - y = tan -, y = cot - ) Να υπολογιστεί η πρώτη παράγωγος (dy/) των συναρτήσεων που ορίζονται από τις σχέσεις: +y =ay, y = tan - ( -+), y = y, y = e y, y, y e ) Να αποδειχθεί η σχέση d y d χ dy dy 4) Να προσδιοριστεί η σχέση 5) Να προσεγγιστεί με πολυώνυμο 5 ου βαθμού η y = sin και να ελεγχθεί η ακρίβεια της προσέγγισης. Να γίνει το ίδιο για τη συνάρτηση στο διάστημα [,].
6) Να αναπτυχθεί σε δυναμοσειρά η y = e. 7) Να εξετασθούν για τοπικά ακρότατα η πεπλεγμένες συναρτήσεις: α) = te t, y = te -t, β) = tan - t, y = ln(t +) 8) Να εξετασθούν για τοπικά ακρότατα οι y = 4, y = 5, y = e /, y = 5-5 4, y = tan - χωρίς να εξετάσετε τη μονοτονία τους. Εφαρμογές ) Τρεις ελαστικές σφαίρες, Α, Β, Γ, με μάζες m A, m B, m Γ κινούνται σε μία ευθεία. Αρχικά η Β και Γ είναι ακίνητες και η Α με ταχύτητα υ Α προσκρούει στη Β, η οποία ακολούθως συγκρούεται με τη Γ. Ποια πρέπει να είναι η μάζα της Β ώστε η Γ να κινηθεί με τη μεγαλύτερη δυνατή ταχύτητα; (απάντηση. Ισχύει ) ) Σώμα βάρους Β κινείται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο από δύναμη F που σχηματίζει γωνία θ με το επίπεδο. Αν κ είναι ο συντελεστής τριβής, ποια πρέπει να είναι η θ για να κινηθεί το σώμα με τη μικρότερη δύναμη F; F θ Β (απάντηση θ = tan - κ. H δύναμη τριβής είναι ανάλογη της κάθετης δύναμης) ) Η θερμότητα που εκπέμπεται από ένα σώμα ελαττώνεται αντιστρόφως ανάλογα της απόστασης. Δύο θερμικές πηγές, Α και Β, βρίσκονται σε απόσταση L m και η θερμότητα που εκπέμπουν σε απόσταση m είναι Q A και Q B, αντίστοιχα. Σε ποιά θέση ανάμεσά τους η θερμότητα θα είναι ελάχιστη; (απάντηση = )
4 4) Σε ποια απόσταση από ένα στρογγυλό τραπέζι ακτίνας R και κάθετα στο κέντρο του πρέπει να τοποθετήσουμε μια λάμπα, έτσι ώστε στα άκρα του τραπεζιού να έχουμε τη μέγιστη φωτεινότητα; Ισχύει ότι η ένταση, Ι, μιας φωτεινής δέσμης που προσπίπτει σ ένα επίπεδο δίνεται από τη σχέση: I = kcosθ/r, όπου k συντελεστής αναλογίας, r η απόσταση της πηγής από το σημείο που προσπίπτει η δέσμη και θ η γωνία που σχηματίζει η δέσμη με την κάθετη στο επίπεδο. (απάντηση = R/ ) 5) Στην κινητική θεωρία των αερίων αποδεικνύεται ότι η πιθανότητα ένα μόριο να έχει ταχύτητα μεταξύ v και v+dv είναι Όπου m η μάζα ενός μορίου. Υπολογίστε την πιθανότατη ταχύτητα, δηλαδή την ταχύτητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο της Ρ. (απάντηση ) 6) H τροχαία καταγράφει την ταχύτητα των οχημάτων όταν είναι σε απόσταση 5 m από αυτήν, ενώ η θέση της είναι m από το δρόμο. Αν ένα αυτοκίνητο καταγράφεται να κινείται με ταχύτητα -8 km/h, ποια είναι η πραγματική του ταχύτητα; Τροχαία m 5 m 7) Κωνική δεξαμενή (αντεστραμμένη) ύψους m και ακτίνας βάσης 4 m γεμίζει με νερό με σταθερή παροχή m /min. Με ποια ταχύτητα ανεβαίνει το νερό στο μέσο της δεξαμενής; 8) Να εξετάσετε το ίδιο πρόβλημα με δεξαμενή σχήματος κόλουρου κώνου με βάσεις ακτίνας 4 m και m, αντίστοιχα.
5. ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ) Να προσδιοριστούν οι μερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης των συναρτήσεων: f(,y) = y + +y-, f(,y) = ln(y + ), f(,y) = tan - (/y) ) Να προσδιοριστεί το ολικό διαφορικό των συναρτήσεων f(,y,z) = (+y+z) z, f(,y) = /y, στο σημείο (,) ) Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις είναι τέλεια διαφορικά; (y+/) + (+/y)dy, y + zdy + yzdz
6. ΑΟΡΙΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: Στοιχειώδη ) 5 4) 7) 5 ) 5 ) a b ) e 5) 8) 5 6) 9) ln ) ) tan ) sin 4) sin( ) / e 6) 7) 4 5) 5 8) 6 9) cos ) cos( ) ) tan ) ( ) ) sin cos 4) cos(sin)cos Ρητές συναρτήσεις ) 4) ( )( ) ( ) 7) ( 4 5) ( ) ) ( 4 5) ) ( ) 5) ( ) ( ) 8) 4 ) ( ) ) 6) 5 4 9) 4 ( ) ) 4 5
7 Παραγοντική ολοκλήρωση ) ( )ln ) ( )tan ) ( )cos ln ) sin 4) sin()e 5) ln( ) Ολοκλήρωση με αντικατάσταση sin ) 4) 7) ) 5) ln 8) cos ) e 6) 9) sin (ln ) ) f'() ) f() ) 4 5 e ) 4 e 5 4) sin 5) 4 5 7) 6) 8) ( )
8 4. ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: e ) e ).5 ) - 4 π / 4) sin cos π 5) e sin 6) 4 5 7) 5 4 8) y y 6 dy 4 9) ) 5 4 ) ) 4 e ) (γενικευμένο) ln 4) ( )( ) Ασκήσεις 5.6, 5.7, 5.8, 5., 5., 5.4, 5.5
9 5. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: ) e ) ln ) 4) 5) tan 6) ( ) 7) 8) 9)