ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Transcript

1 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα σύνολο Α. Ένα από τα βασικότερα προβλήματα της Μαθηματικής Ανάλυσης είναι ο προσδιορισμός μιας συνάρτησης F/ A με F = f για κάθε Α. Στην περίπτωση αυτή, η συνάρτηση F ονομάζεται παράγουσα ή αντιπαράγωγος ή αρχική συνάρτηση της συνάρτησης f. Το σύνολο όλων των παραγουσών συναρτήσεων μιας συνάρτησης f ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της f και σημειώνεται με f d. Αν F είναι μια παράγουσα της f τότε κάθε συνάρτηση της μορφής F+ c, όπου c, θα είναι επίσης παράγουσα της f. Από την άλλη, αν F είναι μια άλλη παράγουσα της f τότε ισχύει ότι F =F =f για κάθε A, οπότε θα υπάρχει c με F = F + c. Το αόριστο ολοκλήρωμα αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις της μορφής F+ c, c. Για το λόγο αυτό, το αόριστο ολοκλήρωμα μπορεί να θεωρηθεί σαν μια συνάρτηση, ο τύπος της οποίας περιέχει όλες τις παράγουσες της f, δηλαδή f d = F + c όπου Fείναι μια παράγουσα της f και c. Η διαδικασία που ακολουθείται για την εύρεση του αόριστου ολοκληρώματος ονομάζεται ολοκλήρωση. Από τα προηγούμενα προκύπτει ότι η ολοκλήρωση και η παραγώγιση μπορούν να θεωρηθούν σαν αντίστροφες πράξεις, δηλαδή ισχύει ότι f d = f + c και f d = f.... Βασικά αόριστα ολοκληρώματα α+ α d= + c, όπου α \{ }. α + d= ln + c. α α d = + c, όπου α 0,, +. lnα Ειδικά, ed= e + c.. sin d = cos + c. 5. cos d = sin + c. 6. d = g + c. cos 7. d = cg + c. sin 8. d = arcsin + c.

2 9. d = arcg + c. + Πρέπει να σημειωθεί ότι οι προηγούμενοι τύποι ισχύουν για τα όπου ορίζονται οι υπό ολοκλήρωση συναρτήσεις. Ειδικά ο πρώτος τύπος ισχύει για κάθε όταν α, * για κάθε όταν α = n με n \{ } 0, + όταν α \. και τέλος για κάθε Γραμμική ιδιότητα αορίστου ολοκληρώματος Αν f,g είναι δύο συναρτήσεις που έχουν παράγουσα και κ,λ με κ + λ > 0, τότε και η συνάρτηση κf + λg θα έχει παράγουσα και ισχύει ότι κf + λg d = κ f d+ λ g d. Στις επόμενες δύο παραγράφους αναπτύσσονται δύο βασικές μέθοδοι ολοκλήρωσης, η ολοκλήρωση με αντικατάσταση και η παραγοντική ολοκλήρωση.. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Η μέθοδος της αντικατάστασης ή αλλαγής μεταβλητής στηρίζεται στον επόμενο τύπο: f φ φ d = f y dy όπου f είναι μία συνάρτηση με παράγουσα και y = φ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με R φ Df. Παραδείγματα. Αν εφαρμοσθεί ο τύπος για y = φ = α + β, όπου α,β με α 0 προκύπτει ότι dy = φ d = αd και f α + β d = f y dy α. 00 Για παράδειγμα, αν f = και α =, β = 5 προκύπτει ότι d = y dy 0 y = + c = + c. 0. Αν εφαρμοσθεί ο τύπος για f = προκύπτει ότι φ dy d = + c = ln y + c φ, y οπότε φ d = ln φ + c. φ Για παράδειγμα, αν φ = cos τότε φ = sin, οπότε

3 g d = cos d = ln cos cos c Ανάλογα αποδεικνύεται ότι cg d = ln sin + c. +.. Αν εφαρμοσθεί ο τύπος για y = φ = e προκύπτει ότι dy = e d οπότε f e e d = f y dy. Για παράδειγμα, αν f = cos τότε cos e e d = cos ydy + cosy = dy = dy + cos yd y = y+ siny + c = e + sine + c. ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Η μέθοδος της παραγοντικής ολοκλήρωσης ή ολοκλήρωση κατά παράγοντες στηρίζεται στον επόμενο τύπο f g d = f g f g d και εφαρμόζεται για αόριστα ολοκληρώματα γινομένων. Έτσι, για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος I= f h d επιλέγεται μια εκ των συναρτήσεων f, h η οποία αντικαθίσταται από την παράγωγο μιας παράγουσάς της και στη συνέχεια εφαρμόζεται ο τύπος. Πιο συγκεκριμένα, αν τεθεί h = g τότε σύμφωνα με τον τύπο θα είναι I= f g d = f g f g d. Η μέθοδος αυτή έχει αξία όταν το τελευταίο ολοκλήρωμα της προηγούμενης σχέσης είναι απλούστερο του αρχικού. Τούτο εξαρτάται από την αρχική επιλογή μιας εκ των συναρτήσεων f, h προκειμένου να εφαρμοσθεί ο τύπος.. Οι μορφές α + p e β d, p sin α + β d p cos α + β d p sinh α + β d, p cosh α +,, όπου α,β, α 0 και p πολυώνυμο. β d Στις περιπτώσεις αυτές, τίθεται e = e α, α+ β α+ β

4 και αντίστοιχα. sin α β cos α β + = + α, cos α + β = sin α + β α sinh α β cosh α β + = + α, cosh α + β = sinh α + β α Παραδείγματα e d = + e d = + e e d = + e e d = + e e d = + e e + c e + = + + c sin5d = cos5 d 5 = cos5 + 6 cos5d = cos5 + cos5d = cos5 + + sin 5 d 5 5 = cos5 + + sin5 sin5d = cos5 + + sin5 sin 5d = cos5 + + sin5 + cos5 + c Πρέπει να τονισθεί ότι στην περίπτωση αυτή ο τύπος της παραγοντικής ολοκλήρωσης εφαρμόζεται n φορές, όπου n είναι ο βαθμός του πολυωνύμου p. α+ β α β. Οι μορφές e sin γ + δ d, e + α+ β cos γ + δ d, e sinh γ + δ d, + α+ β e cosh γ δ d όπου α,β,γ,δ και α 0. Στις περιπτώσεις αυτές, τίθεται παραγοντικής ολοκλήρωσης δύο φορές. e = e και εφαρμόζεται ο τύπος της α α+ β α+ β

5 Παράδειγμα Για εύρεση του ολοκληρώματος e cosd I = e cos d τίθεται οπότε είναι I = e cosd = e cos e cos d = e cos + e sind = e cos + e sin d 9 = e cos + e sin e sin d 9 9 = e cos + e sin I. 9 9 Από το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει ότι I = e cos+ e sin+ c 9 9 και τελικά, I = cos+ sin e + c.. Οι μορφές f lng d, f arcgg d, f arcsin g d, f arcco sg d όπου f και g είναι ρητές συναρτήσεις του. Στις περιπτώσεις αυτές, τίθεται f = F. Παράδειγμα 8 ln d + + = + + ln d = + + ln + + ln d + = + + ln + + d = + + ln d 8+ 6 = + + ln d 7 = + + ln + d + = + + ln 7 ln ln + + c.

6 . ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Έστω P R = μια ρητή συνάρτηση, όπου δηλαδή τα P, Q είναι Q πολυώνυμα του. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος R d γίνεται σε πέντε βήματα: ο βήμα Αν ο βαθμός του πολυωνύμου P αριθμητή είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το βαθμό του Q παρονομαστή, τότε εκτελείται η διαίρεση P :Q οπότε προκύπτουν δύο πολυώνυμα Π και U με P = Π Q + U, όπου ο βαθμός του πολυωνύμου U είναι μικρότερος από τον βαθμό του πολυωνύμου Q. Τότε είναι R = Π + R όπου U R = είναι μια ρητή συνάρτηση με βαθμό του U αριθμητή μικρότερο Q από τον βαθμό του Q παρονομαστή και R d = Π d + R d. Το ολοκλήρωμα Π d υπολογίζεται εύκολα με τη βοήθεια της γραμμικής ιδιότητας, ενώ το R d υπολογίζεται στα επόμενα βήματα. Στη συνέχεια της διαδικασίας υποτίθεται ότι ο βαθμός του P είναι μικρότερος από το βαθμό του Q. ο βήμα Αναλύουμε το πολυώνυμο Q σε γινόμενο παραγόντων της μορφής μ ρ και + β + γ * όπου ρ,β,γ, μ, ν και β < γ, δηλαδή το ρ είναι πραγματική ρίζα του πολυωνύμου Q πολλαπλότητας μ και οι δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες του τριωνύμου + β + γ είναι ρίζες του Q πολλαπλότητας ν. Αν και η ανάλυση αυτή είναι πάντα θεωρητικά εφικτή σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της Άλγεβρας, στις εφαρμογές είναι δύσκολο να επιτευχθεί διότι δεν υπάρχει στερεότυπος τρόπος, αλλά εξαρτάται από τη μορφή του Q. Για το λόγο αυτό, στις περισσότερες εφαρμογές ο παρονομαστής της ρητής συνάρτησης θα δίδεται σε αναλυμένη μορφή. ο βήμα Αναλύουμε τη ρητή συνάρτηση R σε ένα άθροισμα απλούστερων ρητών συναρτήσεων. Τούτο, όπως αποδεικνύεται, είναι εφικτό για κάθε ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό του παρανομαστή. Η μορφή των όρων του αθροίσματος αυτού εξαρτάται από τους παρά-γοντες στην ανάλυση του Q σε γινόμενο παραγόντων. ν

7 Συγκεκριμένα, για κάθε παράγοντα της μορφής ρ μ θεωρείται η έκφραση Α Α μ ρ ρ ρ Α i [ μ] β γ ν όπου i,, ενώ για κάθε παράγοντα της μορφής + + θεωρείται η έκφραση Β + Γ Β + Γ Βν + Γν ν + β + γ + β + γ + β + γ όπου Β i,γi, i [ ν]. Κατόπιν τούτων, η ρητή συνάρτηση R θα είναι το άθροισμα όλων αυτών των εκφράσεων. Η έκφραση αυτή της ρητής συνάρτησης ονομάζεται ανάλυση σε μερικά ή απλά κλάσματα. Παράδειγμα P A B Γ = Δ K + Λ M + N E + Z ο βήμα Υπολογίζουμε τους συντελεστές στην ανάλυση της ρητής συνάρτησης σε μερικά κλάσματα, όπως φαίνεται στα παρακάτω παραδείγματα. Παραδείγματα. Αν R =, τότε είναι A B Γ = + +, οπότε προκύπτουν οι σχέσεις = A B + + Γ = A + B + Γ + A+ B + A B Γ Α μ και τελικά, το σύστημα Α+ Β+ Γ= Α = Α+ Β= 5 Β =. Α Β Γ= 6 Γ = Άρα, = Σημειώνεται ότι ο υπολογισμός των συντελεστών στην περίπτωση όπου η συνάρτηση Q έχει μόνο απλές πραγματικές ρίζες γίνεται απλούστερα, χωρίς την επίλυση συστήματος.

8 Πιο συγκεκριμένα, στο προηγούμενο παράδειγμα αν στη σχέση θέ-σουμε =, και αντίστοιχα προκύπτουν αντίστοιχα: = 8= 6A A= = 8= B B= = 6= Γ Γ=.. Αν R =, τότε είναι A B Γ = οπότε προκύπτουν οι σχέσεις = A + + B + + Γ = Α+ Γ + Α+ Β Γ + 6A+ B+ Γ και τελικά, το σύστημα Α+ Γ= 7 Α = Α+ Β Γ = 9 Β = 6Α Β Γ = Γ = 5 Άρα, = Αν R =, τότε είναι A B Γ + Δ = + +, οπότε προκύπτουν οι σχέσεις = A B Γ + Δ = Α+ Γ + A+ B Γ+ Δ + A+ B+ Γ Δ + A+ B+ Δ και τελικά, το σύστημα Α+ Γ= Α = 0 Α+ Β Γ+ Δ= Β =. Α + Β+ Γ Δ = 5 Γ = Α + Β+ Δ= 8 Δ = Άρα, = ο βήμα Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη της έκφρασης της R σε μερικά κλάσματα, οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα προκύπτει ως άθροισμα ολοκληρωμάτων μερικών κλασμάτων τα οποία ανάγονται στις μορφές d An = n ρ, Bn = d, Γ = d, n + β + γ n + β + γ n

9 * όπου n, ρ,β, γ και β < γ. Τα τελευταία ολοκληρώματα υπολογίζονται ως εξής: n + ρ, αν n i Αn = n+ ln ρ, αν n =. ii Bn = d. n β β + + γ Αν τεθεί β y= + κ όπου β κ = γ, τότε είναι dy = d, οπότε κ Bn = d n n κ y. y + d Το ολοκλήρωμα Jn =, n υπολογίζεται με τη βοήθεια του αναγωγικού n + τύπου n Jn = + J n n. n + n iii Αν τεθεί z= + βχ + γ, τότε dz = + β d, οπότε είναι + β β Γn = d d n n + β + γ + β + γ dz β = B n n z n+ z n βb, αν n n+ = ln z βb, αν n = n+ + β + γ ββ n, αν n = n+ ln + β + γ ββ, αν n =. Παραδείγματα d d d d = + + = ln ln + ln + + c. = ln c d d d d = = ln + + ln c.

10 d + + = d d d = ln + + arcg + + c 7 7 αφού d = d = dy 7 y + = arcg y + c 7 = arcg + + c 7 7 και + d = d d dz = d z + + = ln + + arcg + + c ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Το ολοκλήρωμα των μη ρητών συναρτήσεων δεν υπολογίζεται με ένα στερεότυπο τρόπο. Σε πολλές όμως περιπτώσεις ανάγεται σε ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης με τη βοήθεια κατάλληλου μετασχηματισμού. Παρακάτω, αναλύονται ορισμένες κλασικές μορφές ολοκληρωμάτων μη ρητών συναρτήσεων. = R sin,cos d όπου R είναι μία ρητή συνάρτηση δύο μεταβλητών. Τα ολοκληρώματα αυτής της μορφής ονομάζονται τριγωνομετρικά ολοκληρώματα και υπολογίζονται με τη βοήθεια της αντικατάστασης = g. Τότε προκύπτει ότι sin = και cos = + + Επιπλέον, επειδή = arcg θα είναι d = d + Από τις σχέσεις και προκύπτει ότι Ι.α Η μορφή I

11 I= R, d το οποίο είναι ένα ολοκλήρωμα μιας ρητής ως προς συνάρτησης. Παρατήρηση Για ειδικές μορφές της συνάρτησης R sin,cos χρησιμοποιούνται άλλες αντικαταστάσεις, οι οποίες οδηγούν εν γένει σε απλούστερα ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων. Παρακάτω, δίνονται ορισμένες από αυτές:. Αν η συνάρτηση R είναι περιττή ως προς ημίτονο, δηλαδή R sin,cos = R sin,cos τότε εφαρμόζεται η αντικατάσταση y = cos.. Αν η συνάρτηση R είναι περιττή ως προς συνημίτονο, δηλαδή R sin, cos = R sin,cos τότε εφαρμόζεται η αντικατάσταση y = sin.. Αν η συνάρτηση R είναι άρτια ως προς ημίτονο και συνημίτονο ταυτόχρονα, δηλαδή R sin, cos = R sin,cos τότε εφαρμόζεται η αντικατάσταση y = g. Στην περίπτωση αυτή, χρησιμοποιούνται οι τύποι y sin =, cos = + y + y και d = dy. + y β Η μορφή I= R sinh,cosh d όπου R είναι μια ρητή συνάρτηση δύο μεταβλητών αντιμετωπίζεται ανάλογα με τη μορφή Ι.α: Για τη γενική περίπτωση, τίθεται = gh. οπότε + sinh =, cosh = και d = d, οπότε προκύπτει ότι + I= R, d, το οποίο είναι ένα ολοκλήρωμα μιας ρητής ως προς συνάρτησης. Για ειδικές περιπτώσεις, μπορούν να χρησιμοποιηθούν αντικαταστάσεις ανάλογες με αυτές της παρατήρησης του Ι.α.

12 ΙΙ.αΗ μορφή = I R, r d όπου R είναι ρητή συνάρτηση δύο μεταβλητών και r> 0. Εδώ, χρησιμοποιείται η αντικατάσταση π π = rsin, όπου, οπότε προκύπτει ότι και επομένως, r r r sin r sin r cos rcos = = = =, d το οποίο είναι της μορφής Ι.α. = r cos d I = r R rsin,r cos cos d β Η μορφή = I R, r d όπου R είναι μια ρητή συνάρτηση δύο μεταβλητών και r> 0. Εδώ, χρησιμοποιείται η αντικατάσταση rcosh,αν r, + = όπου > 0 rcosh,αν, r οπότε, για r, + είναι 5 r = r cosh = r sinh = rsinh, d = rsinh d και επομένως, I = r R r cosh,rsinh sinh d το οποίο είναι της μορφής Ι.β. Παρατήρηση Τα ολοκληρώματα της μορφής αυτής μπορούν να αναχθούν σε ρητή μορφή και με τη βοήθεια της αντικατάστασης r π π =, όπου 0,,π cos. γ Η μορφή = + I R, r d όπου R είναι ρητή συνάρτηση δύο μεταβλητών και r> 0. Εδώ, χρησιμοποιείται η αντικατάσταση = rsinh, οπότε προκύπτει ότι + r = r sinh + = rcosh d = r cosh d και επομένως, I = r R rsinh,r cosh cosh d το οποίο είναι της μορφής Ι.β.

13 Παρατήρηση Τα ολοκληρώματα της μορφής ΙΙ.γ μπορούν να αναχθούν σε ρητή μορφή και με τη βοήθεια της αντικατάστασης π π = rg,,.

14 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ α Να βρεθούν τα ολοκληρώματα: + e d, β + + d d, γ ΛΥΣΗ α Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται + e e d = d + d = d+ e d = + e + c. β Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται d = d + d = d + d + = + arcg +c. γ Το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται d d = d = + + ΑΣΚΗΣΗ d + = + +. > 0. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα + d, με τη βοήθεια του μετασχηματισμού =, ΛΥΣΗ Επειδή + d = d = d = d

15 και = + = = = + =, προκύπτει ότι + d = d d = + + = ln + c ΑΣΚΗΣΗ = ln c. Να βρεθεί το ολοκλήρωμα e e e + e d, με τη βοήθεια του μετασχηματισμού e =. ΛΥΣΗ Επειδή = ln, και προκύπτει ότι d d = ln d = e e = = e e e e d = d e + e +, Για τον υπολογισμό του τελευταίου ολοκληρώματος θέτουμε A B+ Γ = +, + + οπότε = A+ B + Γ+ A και επομένως, προκύπτει το σύστημα A+ B= A= Γ = 0 B=. A= Γ = 0 Άρα το ολοκλήρωμα γράφεται d = d d d d + = + +

16 = ln + ln + + c + = ln c + Από τις σχέσεις και και το μετασχηματισμό = e, προκύπτει ότι e e e + d = ln c +. e + e e ΑΣΚΗΣΗ Να βρεθούν τα ολοκληρώματα: + α e d, β cos d, γ + sind. ΛΥΣΗ α Είναι + + e d e = d + + = e e d + + = e e d + + = e e d = e e + e d = e e + e d = e e + e + c e + = + + c. β Είναι cos d sin = d = sin sin d = sin sin d 9 = sin + cos + c. 9 γ Είναι + sind = + cos d = + cos+ + cosd = + cos + cos d = + cos+ sin d

17 = + cos+ sin sind = + cos + sin sin d = + cos+ sin+ cos+ c = + cos+ sin+c. ΑΣΚΗΣΗ 5 Να βρεθούν τα ολοκληρώματα: α e cos + d, β e sin + d. ΛΥΣΗ α Είναι I= e cos + d = e cos + d = e cos + e cos + d = e cos + e sin + d = e cos + + e sin d + = e cos + + e sin + e sin + d = e cos + + e sin + e cos d + e = cos + + sin + I + c. Τελικά, έχουμε ότι I= e cos + + sin + + c. β Είναι I= e sin + d = e sin + d = e sin + e sin + d = e sin + e cos + d 6 = e sin + e cos + + e cos + d = e sin + e cos + e sin + d 6 6 e 9 = sin + cos + I+ c. 6 6 Άρα,

18 5 e I = sin + cos + + c, 6 6 οπότε τελικά, έχουμε ότι e I = sin + cos + + c. 5 ΑΣΚΗΣΗ 6 Να βρεθούν τα ολοκληρώματα: α arcsin d, β + ln d, γ arcg d. ΛΥΣΗ α Είναι arcsin d = arcsin d arcsin arcsin d = = arcsin d. Για την εύρεση του τελευταίου ολοκληρώματος τίθεται επομένως y d = y dy = + c y = + c. Έτσι, τελικά, arcsin d arcsin = + + c. β Είναι ln d + = + ln d = + ln + ln d = + ln + d + = + ln + d + = + ln + d + = + ln d d =, οπότε dy = d και

19 + = + ln 5 d Για τον υπολογισμό του τελευταίου ολοκληρώματος, θέτουμε + A B = +, + οπότε + = A + + B + = A+ B + A B και επομένως, προκύπτει το σύστημα + A+ B= A =. A B= B = Επομένως, + + d d d = = ln + ln + + c Από τις σχέσεις και προκύπτει ότι + ln d = + ln ln 6 ln + + c. γ Είναι arcg d = arcgd = arcg arcg d + arcg = + d + arcg = + d + arcg d d + = + + arcg = + ln + c. + ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρεθούν τα αόριστα ολοκληρώματα: α d, β + + d, + +

20 + + 5 γ d. + + ΛΥΣΗ α Θέτουμε 6 + A B Γ = , οπότε 6 + = A B + + Γ + = A + A + A + B + B B + Γ Γ = A+ B+ Γ + A+ B + A B Γ. Από την παραπάνω ταυτότητα, προκύπτει το σύστημα A = Α+ Β+ Γ= 0 A + B = 6 B =. A B Γ = 0 Γ = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται 6 + d d 0 d d = = ln + ln+ ln+ + c + = ln c β Θέτουμε A B Γ = , οπότε = A + + B Γ + = A B Γ + = A+ B + 6A+ 7B+ Γ + 9A+ Β + Γ. Από την παραπάνω ταυτότητα, προκύπτει το σύστημα Α+ Β= A= 6A + 7B + Γ = B =. 9A + B + Γ = 9 Γ = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται d d d d = = ln + + ln c + γ Θέτουμε + = ln + c

21 + + 5 A B Γ Δ+ E = + + +, οπότε + + 5= A + + B Γ Δ+ E + = A B + + Γ Δ + + E + = A+ B+ Δ + A+ Γ Δ+ E + A + B + Γ Δ E + A+ Γ+ Δ Ε + A B + Γ + E. Από την παραπάνω ταυτότητα, προκύπτει το σύστημα Α+ Β+ Δ= Α = Α+ Γ Δ+ Ε= 0 Β = 0 Α + Β + Γ Δ Ε = Γ =. Α + Γ+ Δ Ε= Δ = 0 Α Β + Γ+ Ε= 5 Ε = Άρα το δοσμένο ολοκλήρωμα γράφεται d d d d = = ln + + arcg + c. ΑΣΚΗΣΗ 8 Να βρεθούν τα ολοκληρώματα: α d, β d sin + cos +. + cos ΛΥΣΗ Αν τεθεί = g τότε είναι g sin = = + + g g cos = = + g και = arcg, οπότε d = arcg d = d. +

22 Κατόπιν τούτου, είναι: α = sin + cos = +, οπότε + d = d sin+ cos+ + + = ln + + c = ln + g + c. β Ανάλογα έχουμε ότι = + cos = + οπότε + d = d + cos + + = d + = arcg + c = arcg g + c. ΑΣΚΗΣΗ 9 α Να βρεθούν τα ολοκληρώματα: cos sin d, β d sin, γ cos sin 6 d. cos ΛΥΣΗ α Αν τεθεί y= cos προκύπτει ότι dy = sin d και επομένως το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται cos y d = dy sin y Θέτουμε y A B Γ Δ = y y y + y + y,

23 οπότε προκύπτουν οι ισοδύναμες σχέσεις y = A y + y + B + y + Γ + y y + Δ y y = A y y + y+ + B y + y+ + Γ y y y+ + Δ y y+ y = A+ Γ y + A+ B Γ+ Δ y + A+ B Γ Δ y+ A+ B+ Γ+ Δ και τελικά το σύστημα Α = A + Γ = 0 Β = Α + Β Γ + Δ =. Α + Β Γ Δ = 0 Γ = Α+ Β+ Γ+ Δ= 0 Δ = Άρα από την σχέση προκύπτει ότι cos dy dy dy dy d = sin + y y + y + y = ln y ln y c y + y + cos cos = ln + c. cos sin β Αν τεθεί y= sin τότε προκύπτει ότι dy = cos d και επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα γράφεται sin y d = dy cos y = + d y y dy = dy + y dy dy = y + + y + y = y+ ln y + ln+ y + c + y = y+ ln + c y + sin = sin + ln + c. sin γ Αν τεθεί y= g προκύπτει ότι και Άρα, = arcgy, οπότε cos y =, sin = + y + y dy d = arcgy dy =. + y

24 y sin + y dy cos + y d = + y = + 6 y y dy 5 y y = + + c 5 5 g g = + + c. 5 ΑΣΚΗΣΗ 0 Να βρεθεί το ολοκλήρωμα d, 9 ΛΥΣΗ Αν τεθεί = sin, π π,, τότε είναι 9 = 9 9sin = cos και d = cos d οπότε sin + 9sin+ 5 = cosd 9 cos δηλαδή = sin d 9 sin d 5 d 9 = cos d 9cos = cosd 9cos+ 5, = sin 9cos + + c 9 9 Επειδή sin =, cos = και 9 = = =, sin sin cos 9 9 από τη σχέση προκύπτει ότι d = 9 + arcsin + c. 9