ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αντικείμενο Σκοπός Τεχνικής Μηχανικής ΙΙ: Η Τεχνική Μηχανική ΙΙ ακολουθεί αμέσως μετά από την Τεχνική Μηχανική Ι, η οποία με την εφαρμογή των στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας του φορέα έχει απαντήσει στο πρόβλημα της ισορροπίας ενός φορέα (προσδιορισμός αντιδράσεων) και στο πρόβλημα προσδιορισμού των εσωτερικών δυνάμεων ενός φορέα (αξονικές Ν και τέμνουσες Q, δυνάμεις, και καμπτικές ροπές Μ). Η Τεχνική Μηχανική ΙΙ (Μηχανική των Παραμορφώσιμων Στερεών Σωμάτων) χρησιμοποιεί πέραν των εξισώσεων ισορροπίας, δύο επιπλέον κατηγορίες εξισώσεων, τις εξισώσεις συμβιβαστού των παραμορφώσεων (υπολογισμός παραμορφώσεων) και τις καταστατικές εξισώσεις (μαθηματικές εκφράσεις) που συνδέουν την ένταση με την παραμόρφωση. Με τη χρήση όλων των παραπάνω είναι δυνατός ο προσδιορισμός των τάσεων και των παραμορφώσεων που καταπονούν ένα φορέα. Επιπλέον μπορούν να προσδιοριστούν οι συνθήκες αστοχίας του, δηλαδή είτε να ελεγχθεί η επάρκειά του (αντοχή συγκεκριμένου φορέα υπό συγκεκριμένη φόρτιση) είτε να προσδιοριστεί η μέγιστη φόρτιση που μπορεί να αναλάβει (με ασφάλεια) ο φορέας. Και για τις δύο περιπτώσεις, ο τελικός στόχος είναι ο σχεδιασμός του φορέα, δηλαδή ο προσδιορισμός κατάλληλων διατομών έτσι ώστε να αντέχει την επιβληθείσα φόρτιση.
ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΘΗΣ ΙΑΤΜΗΤΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Θεωρείται μια ευθύγραμμη ράβδος ΑΒ και με εμβαδό διατομής Α, στα άκρα της οποίας ασκούνται δύο, ίσες κατά μέτρο και με αντίθετη φορά, αξονικές εφελκυστικές δυνάμεις F. Είναι γνωστό από την Τεχνική Μηχανική Ι ότι οι εξωτερικά επιβαλλόμενες δυνάμεις θα προκαλέσουν εσωτερική ένταση στη ράβδο. Για την εύρεση της εσωτερικής έντασης της ράβδου, αρκεί να θεωρηθεί ιδεατή τομή Τ-Τ σε τυχαίο σημείο της ράβδου. Κατά την εκτέλεση της τομής στην τυχαία θέση Τ-Τ, αποκαλύπτονται η εσωτερική αξονική δύναμη Ν στη διατομή (θεωρητικά αποκαλύπτεται επίσης τέμνουσα δύναμη και ροπή, οι οποίες όμως προκύπτουν μηδενικές κατά την εφαρμογή της εξίσωσης ισορροπίας δυνάμεων κατά y και ισορροπίας ροπών ως προς τυχαίο σημείο της ράβδου). Από την ισορροπία του αριστερού αποκοπτώμενου τμήματος (θα μπορούσε να είχε ληφθεί και ισορροπία του δεξιού αποκοπτώμενου τμήματος στο οποίο λόγω δράσης-αντίδρασης ασκείται και μια δύναμη Ν ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς) κατά τον άξονα x, προκύπτει N = F. Πρακτικά η δύναμη F, αποτελείται από πλήθος απειροστών δυνάμεων dn που ασκούνται η καθεμία σε επιφάνεια da απειροστών διαστάσεων. Ως ένταση ή τάση μιας απειροστής δύναμης dn, καλείται το πηλίκο από την οποία προκύπτει ότι dn = σda. dn σ =, σχέση da
Αν ολοκληρωθεί η παραπάνω σχέση για όλη την επιφάνεια της διατομής, τότε προκύπτει ότι ò dn = ò σda και αν θεωρηθεί ότι η τάση σ παραμένει σταθερή σε όλη την έκταση της διατομής τότε θα έχουμε N N = σò da N = σa σ =. A Πρακτικά λοιπόν η εσωτερική αξονική δύναμη Ν είναι η συνισταμένη πολλών στοιχειωδών δυνάμεων που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες σε όλη την επιφάνεια Α. Η μέση ένταση όλων αυτών των κατανεμημένων δυνάμεων είναι ίση με το πηλίκο συνισταμένης δύναμης προς επιφάνεια διατομής και καλείται τάση, και συμβολίζεται με το σ. Επειδή η αξονικά εφαρμοζόμενη δύναμη είναι κάθετη προς τη διατομή, η αντίστοιχη τάση ονομάζεται ορθή τάση. Όπως φαίνεται και στα επόμενα σχήματα, η δύναμη F BC εφαρμοζόμενη σε μια ράβδο με κυκλική διατομή εμβαδού A και προκύπτει ορθή τάση F BC σ =. A
Αντίστοιχα, στην δοκό τετραγωνικής διατομής εμβαδού Α εφαρμόζεται δύναμη P και P προκύπτει ορθή τάση σ =. A Σύμβαση Προσήμου Ορθής Τάσης εφελκυστική αξονική δύναμη, θεωρείται ότι η αντίστοιχη ορθή τάση θα είναι θετική. Αντίστοιχα, για την περίπτωση θλιπτικής αξονικής δύναμης, προκύπτει αρνητική ορθή τάση. Μονάδες Μέτρησης Τάσης: Η τάση (ορθή αλλά και διατμητική όπως θα δούμε στη συνέχεια) μετράται στο SI σε μονάδες δύναμης (Ν)/επιφάνεια (m 2 ), δηλαδή σε μονάδες Pascal (Pa). Συνήθως για τις εφαρμογές του Πολιτικού Μηχανικού, χρησιμοποιούνται τα πολλαπλάσια του Pa, δηλαδή το 1kPa = 10 3 Pa, 1MPa = 10 6 Pa και 1GPa = 10 6 Pa. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό να γίνει κατανοητό, πως η επάρκεια ενός μέλους ενός φορέα (π.χ. μια κυκλική ράβδος) δεν εξαρτάται μόνο από την επιβαλλόμενη σε αυτό δύναμη. Εξαρτάται επίσης τόσο από το εμβαδό της διατομής του μέλους όσο και από
το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένο το μέλος (π.χ. ξύλο, αλουμίνιο, χάλυβας, σκυρόδεμα). Συνήθως για τα διάφορα δομικά υλικά, η επάρκειά τους δίνεται με τον όρο της επιτρεπόμενης τάσης.. που ορίζει τη μέγιστη τάση που μπορεί να αναλάβει το υλικό, χωρίς να αστοχήσει. Στη συνέχεια δίνονται δύο ενδεικτικά παραδείγματα για την κατανόηση των παραπάνω. Για τη χαλύβδινη κυκλική ράβδο BC διαμέτρου 20mm, που φέρει φορτίο F BC = 50kN, η επιτρεπόμενη τάση είναι. = 165MPa. Να βρεθεί αν η διατομή επαρκεί για να φέρει το φορτίο αυτό. Το εμβαδό της κυκλικής διατομής υπολογίζεται από τον τύπο πd 3,14x0, 02 A m 3,14x10 m 4 4 2 2 2-4 2 = = =. FBC 50kN Συνεπώς η επιβαλλόμενη ορθή τάση είναι σ = = = 159,2kPa, η -4 2 A 3,14x10 m οποία είναι μικρότερη από την επιτρεπόμενη ορθή τάση και κατά συνέπεια μπορεί να λεχθεί πως η συγκεκριμένη διατομή επαρκεί για την ανάληψη του φορτίου αυτού. Το πρόβλημα θα μπορούσε να τεθεί και αντίστροφα. Να υπολογιστεί η διάμετρος κυκλικής ράβδου αλουμινίου BC, υπό αξονικό φορτίο επιτρεπόμενη τάση είναι. = 100MPa. F BC = 50kN, με δεδομένο ότι η Σε αυτή την περίπτωση το ζητούμενο είναι το εμβαδό της κυκλικής διατομής και κατ επέκταση η διάμετρος.
Από τη σχέση F F 50kN σ A 510 x m BC BC -4 2 επ. = = = =. Στη συνέχεια 5 A σεπ. 10 kpa υπολογίζεται η απαιτούμενη διάμετρος. ηλαδή είναι 2 πd A= d = 4 4A π -4 4x5x10-2 d = m d = 2,52x10 m d = 25,2mm. Η διάμετρος που προκύπτει 3,14 είναι η ελάχιστη απαιτούμενη. Συνήθως στρογγυλοποιείται προς τα πάνω. Τελικά η προτεινόμενη διάμετρος είναι d = 26mm. Σε αυτή την περίπτωση θα έχουμε μικρότερη επιβαλλόμενη τάση απ ότι υπολογίστηκε για διάμετρο d = 25,2mmκαι αυτό διότι αυξήθηκε ο παρανομαστής του κλάσματος σ =. Συνεπώς η A στρογγυλοποίηση προς τα πάνω της διαμέτρου μιας διατομής είναι σε αυτή την περίπτωση υπέρ της ασφαλείας. ιατμητική Τάση: Για τον ορισμό της διατμητικής τάσης θα πρέπει να θεωρηθεί πάλι μια δοκός που φέρει φορτίο Ν και μια λοξή τομή (όχι κατακόρυφη όπως στην προηγούμενη περίπτωση) στη δοκό, που η κάθετος σε αυτή (μοναδιαίο διάνυσμα n), σχηματίζει γνωστή γωνία φ ως προς το οριζόντιο επίπεδο. F BC Αν θεωρηθεί πως η ορθή (κατακόρυφη) διατομή έχει εμβαδό Α, τότε η λοξή επιφάνεια A n που «αποκαλύπτεται» από την τομή Τ-Τ, έχει εμβαδό A An =. cos φ
Είναι προφανές ότι η αναπτυσσόμενη εσωτερική δύναμη θα πρέπει να ισορροπεί την δύναμη Ν. ηλαδή, θεωρώντας ισορροπία δυνάμεων κατά τον οριζόντιο άξονα χ προκύπτει : N σnan = N σn = και αντικαθιστώντας την τιμή του εμβαδού της επιφάνειας A n, A n N σn = cosφ= σcosφ (όπου σ η ορθή τάση στην κατακόρυφη διατομή). A Η τάση n αναλύεται σε μια ορθή τάση nn, κάθετη στην επιφάνεια An και σε μια διατμητική τάση παράλληλη - εφαπτομενική με την επιφάνεια A n. Με την εφαρμογή απλών τριγωνομετρικών σχέσεων στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται ανάμεσα στις n, nn, nn προκύπτουν οι τελικές εκφράσεις για την ορθή και τη διατμητική τάση επί της λοξής επιφανείας. 2 σnn σcos φ = και τ = σcos φsin φ. nn
Ο ορισμός της ορθής και της διατμητικής τάσης γίνεται αντιληπτός και από το επόμενο εποπτικό παράδειγμα. Στο προηγούμενο σχήμα θεωρείται πως μια δύναμη P ασκείται στην επιφάνεια εμβαδού Α. Ο προσανατολισμός της επιφάνειας στο χώρο καθορίζεται από το κάθετο μοναδιαίο διάνυσμα, σε αυτή, n. Το διάνυσμα τάσης στην επιφάνεια ορίζεται από τη σχέση P. Για τις εφαρμογές του Πολιτικού Μηχανικού είναι προτιμότερο να A αναλυθεί η δύναμη P, σε δύο συνιστώσες, μια κάθετη στην επιφάνεια παράλληλη - εφαπτομενική σε αυτή P. P n και μια Στη συνέχεια ορίζεται ως ορθή τάση το μέγεθος P n σ = και ως διατμητική τάση το A μέγεθος P τ τ =. A
ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΘΗΣ ΙΑΤΜΗΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Θεωρείται και πάλι το παράδειγμα μιας ευθύγραμμης ράβδου ΑΒ με αρχικό μήκος l, η οποία επιμηκύνεται κατά μήκος Δl. Δl Ως ορθή παραμόρφωση (ή ορθή τροπή) ορίζεται το αδιάστατο μέγεθος ε =. Η l ορθή παραμόρφωση είναι τις περισσότερες φορές πολύ μικρός αριθμός και δεν παίζει ρόλο αν η αναγωγή γίνεται στο αρχικό μήκος l ή στο τελικό μήκος ράβδου. l+ Δl της Σύμβαση Προσήμου Ορθής Παραμόρφωσης: Όταν η ράβδος επιμηκύνεται (Δl > 0 ), τότε η ορθή παραμόρφωση θα λαμβάνεται θετική, ενώ όταν η ράβδος βραχύνεται θα λαμβάνεται αρνητική.
Για τον ορισμό της διατμητικής παραμόρφωσης θα γίνει αναφορά στα επόμενα σχήματα. Στο στοιχειώδη κύβο του προηγούμενου σχήματος ασκούνται διατμητικές τάσεις τ, σε τέσσερεις ακμές του. Οι διατμητικές τάσεις δεν έχουν την προδιάθεση να επιμηκύνουν ή να βραχύνουν τις πλευρές του κύβου και κατά συνέπεια τα μήκη των πλευρών δεν μεταβάλλονται. Οι διατμητικές τάσεις προκαλούν αλλαγή στο σχήμα του κύβου. Η ουσιαστική τους επιρροή είναι η μεταβολή των γωνιών του κύβου (όλες αρχικά είναι ορθές γωνίες) είτε πρόκειται για άμβλυνση γωνίας είτε πρόκειται για όξυνση γωνίας. Υπό την επιρροή των διατμητικών τάσεων, οι γωνίες q και s π ελαττώνονται και γίνονται - γ, ενώ οι γωνίες p και r αυξάνονται και γίνονται 2 π + γ. 2 Ως διάτμηση xy ορίζεται η μεταβολή σε ακτίνια της γωνίας s (που οι άξονες που τη δημιουργούν είναι παράλληλοι στους άξονες x y. Ως διατμητική παραμόρφωση xy ορίζεται το πηλίκο γxy ε xy =. 2 Για να δοθούν οι συμβάσεις προσήμων για την διατμητική τάση και παραμόρφωση ορίζονται οι θετικές όψεις για τον παραπάνω κύβο. Ως θετική όψη για τον κύβο ορίζεται η όψη που είναι κάθετη σε ένα από τους άξονες και είναι τοποθετημένη ως προς τη θετική διεύθυνση του άξονα αυτού. Στον παραπάνω κύβο, ως θετικές όψεις
ορίζονται η μπροστινή, η πάνω και η δεξιά όψη του. Ως αρνητικές όψεις, ορίζονται οι άλλες τρεις όψεις του κύβου. Σύμβαση Προσήμου ιατμητικής Τάσης: Μια διατμητική τάση που ασκείται επί μιας θετικής όψης του κύβου θα είναι θετική αν η διεύθυνσή της είναι προς τη θετική διεύθυνση ενός εκ των άλλων δύο αξόνων. Για παράδειγμα στον παραπάνω κύβο η διατμητική τάση που ασκείται στην πάνω θετική όψη του κύβου και έχει φορά προς τη θετική διεύθυνση του άξονα x, είναι θετική. Επί της ιδίας θετικής όψης θα μπορούσε να υπάρξει και θετική διατμητική τάση με διεύθυνση προς τη θετική διεύθυνση του άξονα z, απλά δεν έχει σημειωθεί στο σχήμα. Το ακριβός αντίστροφο ισχύει για τις αρνητικές όψεις του κύβου. ηλαδή μια διατμητική τάση που ασκείται σε αρνητική όψη του κύβου, για να είναι θετική θα πρέπει να έχει φορά προς την αρνητική διεύθυνση των άλλων δύο αξόνων. Σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση (θετική όψη και φορά προς τα αρνητικά ή αρνητική όψη και φορά προς τα θετικά), η διατμητική τάση θα είναι αρνητική. Σύμβαση Προσήμου ιατμητικής Παραμόρφωσης: Η διατμητική παραμόρφωση που προκαλείται από ελάττωση γωνίας είναι θετική, ενώ όταν προκαλείται άμβλυνση γωνίας η προκύπτουσα διατμητική παραμόρφωση είναι αρνητική. Στο σχήμα η γωνία psr ˆ ελαττώνεται από 2 σε 2 π - γ, και κατά συνέπεια η διατμητική παραμόρφωση θα είναι θετική. Τα ακριβώς αντίστροφα ισχύουν για την αύξηση της γωνίας srq ˆ.
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΟΚΙΜΗ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ Αποτελεί μια από τις σημαντικότερες δοκιμές της Πειραματικής Αντοχής των Υλικών και με τα δεδομένα που προκύπτουν από αυτή, κατασκευάζεται το διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων για το εκάστοτε υλικό ενώ παράλληλα μπορούν να προσδιοριστούν τόσο το μέτρο Ελαστικότητας όσο διάφορα τάσικά όρια (αναλογίας, ελαστικότητας, διαρροής, θραύσεως, και η μέγιστη αντοχή) και διάφορα ενεργειακά μεγέθη (ελαστική ανάπαλση). Χρησιμοποιούνται κυλινδρικά ή πρισματικά δοκίμια, τα οποία καταπονούνται με μονοαξονικά εφελκυστικά φορτία, ενώ παράλληλα και καταγράφεται η μεταβολή των διαστάσεών τους σε συνάρτηση με τα επιβαλλόμενα φορτία. Το τελευταίο γίνεται με συσκευές που ονομάζονται μηκυνσιόμετρα. Κατά τη διάρκεια του πειράματος εφελκυσμού καταγράφονται οι τιμές του εξωτερικώς επιβαλλόμενου φορτίου καθώς και οι ενδείξεις του μηκυνσιομέτρου (που προφανώς σχετίζονται με την αύξηση μήκους) του μήκους μετρήσεως l o. Καταρχήν λοιπόν, μπορεί να κατασκευαστεί το διάγραμμα του φορτίου σε συνάρτηση με την επιμήκυνση του δοκιμίου l.
Επιπρόσθετα, υπό τη θεώρηση ομοιόμορφης κατανομής ορθής τάσης και παραμόρφωσης καθ όλο το μήκος μέτρησης l o του δοκιμίου, μπορούν να υπολογιστούν τα ακόλουθα μεγέθη : P c S 0, συμβατική ορθή τάση που προκύπτει από το πηλίκο του φορτίου P ως προς το εμβαδό της αρχικής διατομής του δοκιμίου S 0 P, πραγματική ορθή τάση που προκύπτει από το πηλίκο του φορτίου S P ως προς το εμβαδό της τρέχουσας διατομής του δοκιμίου S e l l l l l o, συμβατική ή ονομαστική ορθή παραμόρφωση που προκύπτει o o από το πηλίκο της μεταβολής μήκους ως προς το αρχικό μήκος του δοκιμίου Ο ορισμός για την συμβατική ή ονομαστική ορθή παραμόρφωση είναι ικανοποιητικός για σχετικά μικρές παραμορφώσεις. Για μεγάλες τιμές των παραμορφώσεων, είναι σκόπιμο η αλλαγή μήκους να ανάγεται στο τρέχον μήκος του δοκιμίου και συνιστάται ο υπολογισμός της πραγματικής ή φυσικής ή λογαριθμικής ορθής παραμόρφωσης που προκύπτει από τη σχέση : ln(1 e). Είναι προφανές ότι για μικρές τιμές των παραμορφώσεων ισχύει : e. Μετά τους υπολογισμούς των παραπάνω μεγεθών μπορεί να σχεδιαστεί για το πείραμα του μονοαξονικού εφελκυσμού, το διάγραμμα συμβατικών ορθών τάσεων συμβατικών ορθών παραμορφώσεων. Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται ένα αντίστοιχο διάγραμμα για τυπικό όλκιμό υλικό (π.χ. μέταλλαδομικοί χάλυβες).
Χαρακτηριστικά σημεία περιοχές του διαγράμματος Περιοχή ΟΑ : Πρόκειται για ευθύγραμμο τμήμα του διαγράμματος και στο οποίο υπάρχει γραμμική σχέση μεταξύ των τάσεων και των παραμορφώσεων. Ισχύει δηλαδή η απλοποιημένη σχέση του νόμου του Hooke c E e για μονοαξονικό εφελκυσμό σε ομογενές και ισότροπο υλικό. Ο συντελεστής αναλογίας ανάμεσα στις ορθές τάσεις και τις ορθές παραμορφώσεις ονομάζεται μέτρο Ελαστικότητας ή μέτρο Young και είναι χαρακτηριστική πειραματική σταθερά για κάθε υλικό. Το μέτρο Ελαστικότητας λαμβάνει θετικές τιμές και έχει μονάδες τάσης (καθώς η ορθή παραμόρφωση είναι αδιάστατο μέγεθος). Από την επισκόπηση του διαγράμματος μπορεί κανείς να παρατηρήσει πως η τιμή του μέτρου Ελαστικότητας ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης φ του τμήματος ΟΑ ως προς τον άξονα της ορθής παραμόρφωσης. Ορθή τάση A : Ονομάζεται όριο αναλογίας και ισούται με τη μέγιστη τιμή της τάσης για την οποία ισχύει ακόμα η γραμμική σχέση ανάμεσα στην τάση και την παραμόρφωση e ( c E e). Λαμβάνοντας υπόψη το παραπάνω c πρέπει να σημειωθεί πως η περιοχή ΟΑ του διαγράμματος ονομάζεται περιοχή της γραμμικής ελαστικότητας του υλικού. Περιοχή ΑΕ : Στο συγκεκριμένο τμήμα, η κλίση του διαγράμματος αρχίζει να μεταβάλλεται (καμπυλώνεται σταδιακά ως προς τον οριζόντιο άξονα της ορθής παραμόρφωσης) μέχρι το σημείο Ε. Πλέον η σχέση που συνδέει τις τάσεις και τις παραμορφώσεις παύει να είναι γραμμική και η περιοχή ονομάζεται περιοχή της μη γραμμικής ελαστικότητας, δηλαδή το υλικό συμπεριφέρεται ελαστικά και λαμβάνουν χώρα μόνο ελαστικές παραμορφώσεις. Ορθή τάση E : Ονομάζεται όριο ελαστικότητας και ισούται με τη μέγιστη τιμή της τάσης για την οποία το υλικό μπορεί να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση μετά την αποφόρτισή του (καταδεικνύει το όριο εμφανίσεως πλαστικών παραμορφώσεων). Όταν η φόρτιση του υλικού δεν έχει υπερβεί
την τιμή της E, η αποφόρτιση δίνει ακριβώς το ίδιο διάγραμμα με τη φόρτιση, απλά με αντίθετη φορά διαγραφής (όταν δηλαδή μηδενίζεται το φορτίο, το δοκίμιο επανέρχεται στο αρχικό του μήκος). Συμπερασματικά, το όριο ελαστικότητας είναι η ανώτερη τιμή της τάσης που μπορεί να φέρει το υλικό όταν αυτό βρίσκεται στην ελαστική περιοχή. Περιοχή Ε : Στην περιοχή αυτή παρατηρούνται μόνιμες πλαστικές παραμορφώσεις στο υλικό και πλέον τα διαγράμματα φόρτισης και επαναφόρτισης παύουν να συμπίπτουν. Το υλικό εισέρχεται στη φάση διαρροής-αστοχίας. Συνεχίζεται η καμπύλωση του διαγράμματος προς τον άξονα της ορθής παραμόρφωσης μέχρι το σημείο Α (ανώτερο όριο διαρροής) και στο σημείο αυτό παρατηρείται συνήθως απότομή πτώση στο σημείο Κ (κατώτερο όριο διαρροής). Θα πρέπει να τονιστεί πως η εμφάνιση των δύο ορίων διαρροής δεν παρατηρείται σε όλα τα υλικά και είναι συνηθέστερη στα όλκιμα υλικά. Περιοχή Α Κ : Στην περιοχή αυτή παρατηρούνται στο υλικό ζώνες ολίσθησης κατά επίπεδα κεκλιμένα (περί τις 45 ο ως προς τη διεύθυνση της φόρτισης), οι οποίες ονομάζονται «ζώνες Luders». Οι ζώνες διακρίνονται ακόμα και με γυμνό μάτι υπό τη μορφή λοξών γραμμών τεμνόμενων μεταξύ τους. Η εμφάνιση των πρώτων ζωνών ολισθήσεως συμπίπτει με το ανώτερο όριο διαρροής ενώ ολοκληρώνεται στο κατώτερο όριο διαρροής του υλικού. Το φαινόμενο λαμβάνει χώρα σε μια μικρή περιοχή του δοκιμίου (στο σημείο αυτό θα επέλθει στη συνέχεια του πειράματος η θραύση του), η οποία εμφανίζει έντονη πλαστικοποίηση, η οποία με τη σειρά της οδηγεί σε έντονη χαλάρωση του υλικού. Αποτέλεσμα του παραπάνω φαινομένου είναι η απότομη πτώση του διαγράμματος από το σημείο Α στο σημείο Κ. Στο επόμενο σχήμα σημειώνονται οι ζώνες Luders σε ένα εφελκυόμενο δοκίμιο καθώς και ο μηχανισμός επιμηκύνσεως.
Περιοχή Κ Κ: Παρατηρείται μια μικρή άνοδος του διαγράμματος, το οποίο τείνει να γίνει οριζόντιο (παράλληλο με τον άξονα των ορθών παραμορφώσεων) και η περιοχή χαρακτηρίζεται ως περιοχή διαρροής. Περιοχή ΚB: Χαρακτηρίζεται από αύξηση της τάσης για την επιπλέον παραμόρφωση του υλικού και ονομάζεται φάση κρατύνσεως. Ορθή τάση B : Ονομάζεται μέγιστη τάση του υλικού ( max ) και προκύπτει από το λόγο του μέγιστου εξωτερικώς επιβαλλόμενου φορτίου Pmax ως προς την αρχική διατομή του δοκιμίου, max. S 0 Ορθή τάση : Ονομάζεται τάση θραύσης του υλικού και έχει μικρότερη τιμή σε σύγκριση με τη μέγιστη τάση του υλικού. Περιοχή ΒΘ: Πρόκειται για την περιοχή του διαγράμματος ανάμεσα στη μέγιστη τάση και την τάση θραύσης. Επιπρόσθετα, η περιοχή ΒΘ ονομάζεται και φάση μαλακύνσεως-χαλάρωσης. Στο διάγραμμα συμβατικής ορθής τάσης συμβατικής ορθής παραμόρφωσης η τάση μειώνεται από το σημείο Β στο σημείο Θ. Το γεγονός αυτό οφείλεται στη μείωση του επιβαλλόμενου φορτίου, ενώ παράλληλα (αναφερόμενοι στη συμβατική ορθή τάση) το εμβαδό διατομής του δοκιμίου παραμένει σταθερό. Στην πράξη, και κατ επέκταση σε διάγραμμα πραγματικών ορθών τάσεων πραγματικών ορθών παραμορφώσεων, η περιοχή ΒΘ αντιστοιχεί σε ένα μικρό τμήμα του δοκιμίου στο οποίο δημιουργείται
τοπική στένωση (φαινόμενο «λαιμού») και στην οποία επέρχεται τελικώς και η θραύση του δοκιμίου. Είναι προφανές ότι στην περιοχή αυτή η συμβατική ορθή τάση θα είναι πάντα μικρότερη από την πραγματική ορθή τάση καθώς η τελευταία αναφέρεται στο τρέχον εμβαδό της διατομής (μικρότερο σε σχέση με το αρχικό), υπό το ίδιο επιβαλλόμενο φορτίο. Στη συνέχεια παρατίθεται ένα διάγραμμα πραγματικών ορθών τάσεων πραγματικών ορθών παραμορφώσεων για τυπικό όλκιμό υλικό.
Εύρεση παραμορφώσεων από το διάγραμμα ορθών τάσεων ορθών παραμορφώσεων : Μέχρι το όριο ελαστικότητας παρατηρείται αντιστρεψιμότητα ανάμεσα σε τάσεις και παραμορφώσεις. Αφαίρεση της επιβαλλόμενης τάσης προκαλεί αφαίρεση της προκαλούμενης παραμόρφωσης (ελαστική παραμόρφωση και ταύτιση διαδρομής φόρτισης-αποφόρτισης). Επιβολή μεγαλύτερης τάσης από το όριο ελαστικότητας προκαλεί παραμόρφωση με δύο συνιστώσες, μια ελαστική και μια παραμένουσαπλαστική. Για κάθε θέση-τάση του διαγράμματος πέραν της E ισχύει : eee ep, με e e : ελαστική παραμόρφωση και e p : πλαστική παραμόρφωση. Για την εύρεση, από το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων, της πλαστικής παραμόρφωσης θα πρέπει να χαράξουμε, από το σημείο που μας ενδιαφέρει, παράλληλη ευθεία προς το γραμμικό τμήμα του διαγράμματος (γραμμική ελαστική περιοχή). Με αυτό τον τρόπο αφαιρείται η ελαστική παραμόρφωση από τη συνολική παραμόρφωση και απομένει η πλαστική συνιστώσα της. Η διαδικασία φαίνεται στο διάγραμμα συμβατικών τάσεων συμβατικών παραμορφώσεων. Ολκιμότητα : Αποτυπώνει την ικανότητα των υλικών να παραμορφώνονται στην πλαστική περιοχή. Με βάση την ολκιμότητά τους, τα υλικά χωρίζονται σε όλκιμα (μεγάλη ολκιμότητα μέταλλα) και ψαθυρά (μικρή ολκιμότητα σκυρόδεμα). Η ολκιμότητα υπολογίζεται από τη σχέση : D 100%, όπου e e : παραμόρφωση κατά τη στιγμή της θραύσης. Το διάγραμμα τάσεων - παραμορφώσεων για ψαθυρά υλικά εμφανίζει διαφοροποίηση σε σχέση με το αντίστοιχο διάγραμμα για τα όλκιμα υλικά. Στα ψαθυρά υλικά (σκυρόδεμα) είναι αρκετά συνηθισμένο να είναι δύσκολος ο προσδιορισμός του ορίου διαρροής του υλικού καθώς αυτό είναι σχεδόν ίσο με το όριο θραύσεως.
Στο επόμενο σχήμα παρουσιάζεται διάγραμμα συμβατικών τάσεων συμβατικών παραμορφώσεων για τυπικό όλκιμο υλικό. Για υλικά με ψαθυρή συμπεριφορά ορίζεται ως συμβατικό όριο διαρροής, εκείνη η τιμή της τάσης που αφήνει παραμένουσα παραμόρφωση 0,2%. Ο τρόπος υπολογισμού του συμβατικού ορίου διαρροής παρουσιάζεται στο επόμενο ενδεικτικό σχήμα. Χαρακτηριστικά ενεργειακά μεγέθη : Το εμβαδό υπό την καμπύλη πραγματικής τάσης πραγματικής παραμόρφωσης αντιστοιχεί στην πυκνότητα της ενέργειας παραμόρφωσης (ενέργεια / μονάδα όγκου). Κατά
συνέπεια εφόσον είναι γνωστός ο όγκος του δοκιμίου οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι δυνατόν να υπολογιστεί το ποσό της ενέργειας που δαπανήθηκε για να παραμορφωθεί το δοκίμιο. Από την επισκόπηση του επόμενου σχήματος φαίνονται δύο διαγραμμισμένες τριγωνικές περιοχές. Η περιοχή 1 αντιστοιχεί στην ελαστική ανάπαλση που χαρακτηρίζει την πυκνότητα της ενέργειας που απορροφά το σώμα για τη φόρτισή του στην ελαστική περιοχή (έως το όριο αναλογίας του). Η ελαστική ανάπαλση 2 υπολογίζεται από τη σχέση 2 2. Η περιοχή 2 (τρίγωνο ΚΛΙ) αντιστοιχεί στην υπερελαστική ανάπαλση που χαρακτηρίζει την πυκνότητα της ενέργειας που αποδίδεται στο περιβάλλον από το παραμορφωμένο σώμα μετά την αποφόρτισή του. Όλο το εμβαδό που οριοθετείται από την καμπύλη τάσης παραμόρφωσης και τον άξονα των παραμορφώσεων εκφράζει την πυκνότητα της ενέργειας που απορροφάται από το υλικό μέχρι τη θραύση του και ονομάζεται στερρότητα.
Εξιδανίκευση Συμπεριφοράς Υλικών Είναι αρκετές φορές απαραίτητο να λαμβάνει χώρα μια εξιδανίκευση της συμπεριφοράς των υλικών προκειμένου να είναι ευχερέστερη η επίλυση ορισμένων συνθετότερων προβλημάτων. Οι βασικές παραδοχές υπό τις οποίες μπορεί να πραγματοποιηθεί η εξιδανίκευση της συμπεριφοράς είναι οι εξής : Η ελαστική και η πλαστική περιοχή για το υλικό διαχωρίζονται απόλυτα μεταξύ τους στο όριο διαρροής (ταύτιση ορίων αναλογίας ελαστικότητας διαρροής). Η σχέση τάσεων παραμορφώσεων υποτίθεται γραμμική ακόμα και στην πλαστική περιοχή. Με βάση τις παραπάνω παραδοχές μπορούν να οριστούν οι ακόλουθες συμπεριφορές υλικών. Γραμμικώς ελαστικό υλικό : Οι τιμές των τάσεων και κατ επέκταση των παραμορφώσεων είναι πολύ μικρές και δεν υπάρχουν πλαστικές παραμορφώσεις. Η συμπεριφορά του υλικού καθορίζεται πλήρως από τις ελαστικές σταθερές (μέτρο Ελαστικότητας Ε, λόγος Poisson ν). Παρατηρείται αντιστρεψιμότητα κατά τον κύκλο φόρτισης αποφόρτισης.
Γραμμικώς ελαστικό απολύτως πλαστικό υλικό : Το διάγραμμα τάσεων παραμορφώσεων αποτελείται από δύο ευθείες, μια έως την τάση διαρροής (τμήμα ΟΑ) που αντιπροσωπεύει γραμμικώς ελαστική συμπεριφορά και μια οριζόντια (τμήμα ΑΒ) παράλληλη με τον άξονα των παραμορφώσεων (αυξανόμενη ορθή παραμόρφωση υπό σταθερή ορθή τάση). Είναι προφανές ότι η συμπεριφορά τέτοιων υλικών δεν είναι εξ ολοκλήρου αντιστρεπτή. Γραμμικώς ελαστικό γραμμικώς κρατυνόμενο υλικό : Το υλικό αυτής της κατηγορίας επιδεικνύει γραμμική κράτυνση σε μεγαλύτερες τάσεις από τη. Στη φάση της κράτυνσης ισχύει αναλογία ανάμεσα στις μεταβολές των τάσεων και των παραμορφώσεων. Επιπρόσθετα στην ίδια φάση δεν επέρχεται μόνο πλαστική παραμόρφωση αρά παρατηρείται και αύξηση της ελαστικής παραμόρφωσης. Κατά την αποφόρτιση (μετά το σημείο διαρροής ) δεν ακολουθείται αντίστροφη πορεία προς την αρχική ΟΑ της φόρτισης αλλά μια ευθεία από το σημείο αποφόρτισης
(σημείο Β στο παράδειγμα), η οποία είναι παράλληλή στην ΟΑ (γραμμικώς ελαστική αποφόρτιση). Στερεό απολύτως πλαστικό (αριστερό σχήμα) και Στερεό γραμμικώς κρατυνόμενο (δεξιό σχήμα) υλικό : Στις παραπάνω κατηγορίες υπάγονται υλικά των οποίων η ελαστική παραμόρφωση είναι πολύ μικρή και αγνοείται σε σχέση με την πλαστική παραμόρφωση (είτα αυτή προέρχεται από απολύτως πλαστική συμπεριφορά είτε από γραμμικώς κρατυνόμενη συμπεριφορά). Φαινόμενο Bauschinger Όπως έχει αναφερθεί στα προηγούμενα, για φόρτιση πέραν του ορίου ελαστικότητας δημιουργούνται παραμένουσες πλαστικές παραμορφώσεις στα υλικά. Το γεγονός αυτό έχει ως άμεση συνέπεια τη μεταβολή τόσο των μηχανικών ιδιοτήτων όσο και της μηχανικής συμπεριφοράς του υλικού. Είναι προφανές πως ένα υλικό που έχει καταπονηθεί πέραν του ορίου ελαστικότητας και, ακόμα περισσότερο, πέραν του ορίου διαρροής δεν μπορεί να εξακολουθεί να περιγράφεται με βάση τις τιμές των χαρακτηριστικών ορίων του πριν από τη διαρροή. Χαρακτηριστικό είναι το φαινόμενο μετατοπίσεως του ορίου διαρροής και του σχηματισμού βρόχου υστερήσεως για κρυσταλλικά μεταλλικά υλικά τα οποία καταπονούνται επαναληπτικά πέραν του ορίου διαρροής τους. Πρόκειται για το φαινόμενο Bauschinger το οποίο διατυπώνεται ως εξής : Αν ένα μέταλλο καταπονηθεί πέραν του ορίου διαρροής του, τότε η αντοχή του αυξάνει με κάθε επανάληψη της
φόρτισης προς την ίδια φορά (επανάληψη εφελκυστικής καταπόνησης πέραν του ορίου διαρροής) ενώ αντίθετα η αντοχή του μειώνεται με κάθε επανάληψη της φόρτισης κατά την αντίθετη φορά (περίπτωση εφελκυστικής φόρτισης πέραν του ορίου διαρροής που διαδέχεται θλιπτική φόρτιση). Στα επόμενα σχήματα παρουσιάζεται το φαινόμενο Bauschinger για δύο περιπτώσεις : α) Εφελκυστική φόρτιση που διαδέχεται εφελκυστική φόρτιση πέραν του ορίου διαρροής (αριστερό σχήμα) και β) Θλιπτική φόρτιση που διαδέχεται εφελκυστική φόρτιση πέραν του ορίου διαρροής (δεξιό σχήμα).
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗ ΟΚΙΜΗ ΘΛΙΨΗΣ Στην απλή θλίψη, τα φορτία που επιβάλλονται στα υλικά είναι αντίθετης φοράς από τα αντίστοιχα φορτία του εφελκυσμού και προκαλούν ελάττωση (βράχυνση) της διάστασης του σώματος κατά τη διεύθυνση που επενεργούν. Επιπρόσθετα, κατά τη θλίψη έχουμε αύξηση της εγκάρσιας διάστασης του υλικού (πάντα σε συμφωνία με το λόγο Poisson του υλικού). Όπως και στην περίπτωση του εφελκυσμού, έτσι και για τη θλίψη κατασκευάζεται το διάγραμμα συμβατικών τάσεων συμβατικών παραμορφώσεων. Συμπεριφορά όλκιμων υλικών υπό θλιπτικά φορτία Το διάγραμμα συμβατικών τάσεων συμβατικών παραμορφώσεων για την περίπτωση της θλίψης παρουσιάζει μεγάλη ομοιότητα με το αντίστοιχο διάγραμμα του εφελκυσμού μόνο μέχρι το όριο διαρροής (το οποίο θεωρείται ίδιο για θλίψη και εφελκυσμό). Το μέτρο ελαστικότητας (κλίση γραμμικού τμήματος διαγράμματος) έχει την ίδια τιμή ενώ παράλληλη οι απόλυτες τιμές των ορίων αναλογίας, ελαστικότητας και διαρροής σε θλίψη προσεγγίζουν τις τιμές των αντίστοιχων ορίων σε εφελκυσμό. Σημαντική διαφοροποίηση ανάμεσα στις δύο περιπτώσεις φόρτισης παρατηρείται για μεγαλύτερες τιμές της τάσης, πέραν του ορίου διαρροής. Στην περίπτωση της θλίψης παρατηρείται απότομη αύξηση της τιμής της που οφείλεται στο ότι το εμβαδό της διατομής του θλιβόμενου δοκιμίου αυξάνει. Τα παραπάνω παρουσιάζονται στο επόμενο ενδεικτικό σχήμα.
Συμπεριφορά ψαθυρών υλικών υπό θλιπτικά φορτία Τα ψαθυρά υλικά συμπεριφέρονται εντελώς διαφορετικά από τα όλκιμα σε θλιπτικές καταπονήσεις. Από την επισκόπηση του διαγράμματος συμβατικών τάσεων συμβατικών παραμορφώσεων ψαθυρού υλικού, υπό εφελκυστική και θλιπτική καταπόνηση, που παρουσιάζεται στην επόμενη σελίδα μπορούν να παρατηρηθούν τα ακόλουθα :
Η κλίση του ευθύγραμμου τμήματος (όταν αυτό υπάρχει) και κατ επέκταση το μέτρο ελαστικότητας είναι ίδια για εφελκυσμό και θλίψη. Το παραπάνω δεν ισχύει για τα εδάφη, στα οποία πρακτικώς αμελούμε την εφελκυστική τους αντοχή. Ο γραμμικός νόμος του Hooke, ισχύει για ένα πολύ μικρό τμήμα του διαγράμματος. Στο υλικό επέρχεται αστοχία αμέσως μετά την είσοδο του υλικού στη διαρροή και καθίσταται αδύνατη η διάκριση ανάμεσα στο όριο διαρροής και στο όριο θραύσεως. Παρατηρείται διαφορά ανάμεσα στην απόλυτη τιμή του ορίου διαρροής σε θλίψη και της αντίστοιχης τιμής σε εφελκυσμό, με το θλιπτικό όριο διαρροής να είναι συχνά πολλαπλάσιο του αντίστοιχου εφελκυστικού ορίου διαρροής.