Στο γραμμικό υπόδειγμα y = β + u, =,,, ο εκτιμητής LS είναι = β = = y Οι βαικές ιδιότητες του εκτιμητή είναι: E ( β ) = β, αμεροληψία, Var ( β ) = = Αν έχουμε =, τότε y = β =, ο δειγματικός μέος του y E ( β ) Τότε, θα έχουμε Var ( ) Επομένως καθώς ( ) β =, έχουμε Var ( β ) 0 = β και Var β 0 ημαίνουν ότι ε μεγάλα δείγματα η κατανομή Πιο γενικά Var ( β ) (δειγματοληψίας) του = = ( ) Var β 0 = = β υγκλίνει το β (Συνέπεια) και έχουμε υνέπεια του Αν έχουμε C, τότε β Η υνέπεια και η αμεροληψία είναι βαικές ιδιότητες ενός «αξιόπιτου» εκτιμητή =
Απόδειξη της αμεροληψίας ( β + ) β + y u u u β = = = = + = = = = = β = = = = Αυτή είναι μια βαική χέη Γραμμένη πιο απλά λέει ότι u β = β + + u + = E ( ) Λαμβάνοντας αναμενόμενες τιμές έχουμε ( ) E( u ) u + u + E u + + β = β + E = β + = = Υπόθεη E( u ) = 0 Επομένως αν ( ) 0 E u = τότε E ( β ) = β Η ημαία του αποτελέματος αυτού είναι ότι ο εκτιμητής LS είναι αμερόληπτος με την μοναδική υπόθεη ότι κάθε φάλμα έχει αναμενόμενη τιμή μηδέν
Η διακύμανη του εκτιμητή LS u + u + Εφόον β = β + = και E ( β ) = β έχουμε ( u + u + ) u + u + = Var ( ) = E = = β β β ( ) ( = ) ( ) ( ) ( ) E u + E u + E uu + + + + = u u uu E ( ) = = Εδώ, E( u ) Var( u ) = και E ( uu ) Cov( u, u ) =
Μπορούμε να κάνουμε δυο απλοποιητικές υποθέεις Υπόθεη Var ( u ) = για κάθε, Ομοκεδατικότητα Υπόθεη 3 Cov( u, u ) = = 0, Έλλειψη Αυτουχέτιης ( ) ( ) ( ) ( = ) Τότε έχουμε Var ( β ) = ( ) Eu + Eu + Euu + + E uu + = ( = ) + = =
Φυικά, υπάρχουν πολλοί εκτιμητές του β Ένας άλλος είναι b y = Ο εκτιμητής αυτός είναι αμερόληπτος και έχει Var ( b) = Για τον εκτιμητή LS, έχουμε Var ( ) β = < + + Θεώρημα Gauss-Markov Με τις υποθέεις, και 3 ο γραμμικός αμερόληπτος εκτιμητής του β με την ελάχιτη δυνατή διακύμανη είναι ο εκτιμητής LS
Τα θεώρημα είναι ημαντικό την πράξη διότι μας δίνει τις υνθήκες κάτω από τις οποίες μπορούμε να εκτιμήουμε μια εξίωη με τη μέθοδο LS και να ξέρουμε ότι έχει καλές ιδιότητες Αν οι ιδιότητες αυτές δεν ικανοποιούνται τη πράξη, τότε η εκτίμηη με τη μέθοδο LS δεν μπορεί πλέον να δικαιολογηθεί
Τα οικονομετρικά προβλήματα, που ανακύπτουν, είναι φανερά: Πως ελέγχουμε αν οι υποθέεις ικανοποιούνται; Ποιες είναι οι υνέπειες από την παραβίαη των υποθέεων; 3 Τι κάνουμε αν δεν ικανοποιούνται, δηλαδή ποιοι εναλλακτικοί εκτιμητές υπάρχουν; Εναλλακτικά, ποιος εκτιμητής είναι BLUE όταν κάποιες απ τις υποθέεις δεν ιχύουν;
Ένα ημαντικό υμπέραμα είναι το εξής: Αν υπάρχει ετεροκεδατικότητα ή αυτουχέτιη ο εκτιμητής LS εξακολουθεί να είναι αμερόληπτος αλλά προφανώς δεν μπορεί να είναι BLUE, με την έννοια ότι δεν έχει πια ελάχιτη διακύμανη Αυτό πρέπει να είναι φανερό από τον τρόπο με τον οποίο αποδείξαμε την Var β έκφραη για το ( ) Αυτό με τη ειρά του, ωτόο, ημαίνει ότι αν έχουμε ετεροκεδατικότητα ή αυτουχέτιη, η διακύμανη δεν μπορεί πλέον να είναι ( Var β ) = Πρέπει να είναι μια διαφορετική έκφραη + + Ο μοναδικός λόγος για τον οποίο μας ενδιαφέρει η διακύμανη του β είναι γιατί χωρίς αυτή, δεν μπορούμε να κάνουμε ελέγχους υποθέεων και να κατακευάουμε διατήματα εμπιτούνης
Επομένως, λογικά, υπάρχουν δυο δυνατότητες: Να βρούμε ποιος είναι ο BLUE εκτιμητής όταν οι υποθέεις παραβιάζονται Αυτό είναι γενικά εύκολο και μας οδηγεί τους εκτιμητές της γενικευμένης μεθόδου ελαχίτων τετραγώνων (geeralized leas squares) Να διορθώουμε τη διακύμανη ( ) Var β Αυτό είναι ακόμα πιο απλό και είναι γνωτό αν διαδικαία των Whie-Newey-Wes
3 Λανθαμένη εξειδίκευη Ας υποθέουμε ότι το πραγματικό υπόδειγμα είναι y = β + γ z + u, y είναι η κατανάλωη, είναι το ειόδημα και z είναι τα επιτόκια Τι θα γίνει αν εκτιμήουμε το λανθαμένο υπόδειγμα y = α + v; ( β + γ + ) y z u z u α = = = β + γ + = = = = = = = = Αν υποθέουμε ότι E( u ) = 0, τότε E( α ) = β + γr, το «βοηθητικό υπόδειγμα» z = r + e Επομένως, γενικά το α είναι μεροληπτικός εκτιμητής του β Το β, δεν είναι παρά η αληθινή επίδραη του το y Το α είναι η εκτιμημένη επίδραη από το λανθαμένο υπόδειγμα