ΕΚΔΟΧΗ ΠΡΩΤΗ (ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΛΥΣΗ)

Ένα πρωτόνιο εκτοξεύεται κάποια στιγµή µε ταχύτητα v 0 στο σύ στηµα αναφοράς Κ του εργαστηρίου, σε χώρο όπου συνυπάρχουν οµογενές µαγνητικό και οµογενές ηλεκτρικό πεδίο, των οποίων τα χαρακτηριστικά διανύσµατα B και E είναι κάθετα µεταξύ τους αλλά και κάθετα προς την διεύθυνση της ταχύτητας v 0. Να µελετη θεί ποιοτικά η κίνηση του σωµατιδίου, δηλαδή να καθορισθεί κατά προσέγγιση η µορφή της τροχιάς του. Θέµα εισαγωγικών εξετάσεων στο Φυσικό τµήµα του Πανεπιστηµίου Αθηνών το έτος 1961 ΕΚΔΟΧΗ ΠΡΩΤΗ (ΠΟΙΟΤΙΚΗ ΛΥΣΗ) Θα εξετάσουµε την κίνηση του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς Οxyz, του οποίου ο άξονας Οx έχει την κατεύθυνση του πεδίου B, ο άξονας Οz την κατεύθυνση του πεδίου E και ο άξονας Οy την κατεύθυνση της ταχύτητας v 0. Στο σηµείο εκτόξευσης Ο το πρωτόνιο δέχεται ηλεκτρική δύναµη F µε κατεύθυνση προς τον θετικό ηµιάξονα Οz και µαγνητική δύναµη F L (δύναµη Laplace) µε κατεύθυνση προς τον αρνητικό ηµιάξονα Οz (σχ. 1). Αν δεχθούµε ότι Βv 0 q<eq, δηλαδή v 0 <E/Β, τότε η συνισταµένη των δύο αυτών δυνάµεων έχει φορέα κάθετο στον φορέα της ταχύτητας εκτόξευσης v 0 και κατευθύνεται προς τον θετικό ηµιάξονα Οz, που σηµαίνει ότι την χρονική στιγµή t=0 το πρωτόνιο δέχεται συνισταµένη δύναµη που ενεργεί ως κεντρο µόλος δύναµη, µε αποτέλεσµα να µεταβάλλει την διεύθυνση της ταχύτητάς Σχήµα 1 Σχήµα 2 του, δηλαδή το πρωτόνιο αρχίζει να διαγράφει καµπύλη τροχιά στο επίπεδο Οyz, η οποία σε πρώτο στάδιο στρέφει το κοίλο µέρος της προς τα πάνω, λόγω της παραδοχής v 0 <E/Β. Εξετάζοντας το πρωτόνιο σε τυχαίο σηµείο Μ της τροχιάς του (σχ. 2) µπορούµε να αναλύσουµε την ηλεκτρική δύναµη F σε δύο συνιστώσες, την F 1 συγγραµµική της ταχύτητάς του v και την F 2

κάθετη στην ταχύτητά του. Η συνιστώσα F 1 είναι οµόρροπη της v, το δε µέτρο της είναι: F 1 = F $& = Eq$& δηλαδή η F 1 ενεργεί επί του πρωτονίου ως επιτρόχια δύναµη που του προσ δίνει επιτρόχιο επιτάχυνση οµόρροπη της v και µε χρονικά αυξανόµενο µέτρο, διότι η γωνία φ µειώνεται. Αυτό σηµαίνει ότι το µέτρο της ταχύτητας του πρωτονίου αυξάνεται µε ανοδικό ρυθµό (δηλαδή µη γραµµικά µε τον χρόνο) από την τιµή v 0. Εξάλλου η συνισταµένη της δύναµης Laplace F L και της συνιστώσας F 2 της ηλεκτρικής δύναµης ενεργεί επί του πρωτονίου ως κεντροµόλος δύναµη, µε φορά προς το κοίλο µέρος της τροχιάς του το δε µέτρο της είναι: F $ = F 2 - F L = Eq&µ' - Bvq = q(e&µ' - Bv) Επειδή ο όρος Εηµφ µειώνεται χρονικά και ο όρος Βv αυξάνεται, κάποια στιγµή θα εξισωθούν οι όροι αυτοί, δηλαδή την στιγµή αυτή θα µηδενιστεί η κεντροµόλος δύναµη, που σηµαίνει ότι εκείνη την στιγµή η ακτίνα καµπυ λότητας της τροχιάς τείνει στο άπειρο, δηλαδή η τροχιά παρουσιάζει σηµείο καµπής Μ 0, µε αποτέλεσµα µετά από την στιγµή αυτή να στρέφει το κυρτό της µέρος προς τα πάνω. Κατά το στάδιο αυτό της κίνησης το πρωτόνιο εξα κολουθεί να έχει επιτρόχιο επιτάχυνση οµόρροπη της v µε µέτρο που όµως τώρα µειώνεται, αφού κατά το στάδιο αυτό η γωνία φ αυξάνεται, δηλαδή το πρωτόνιο εξακολουθεί να επιταχύνεται µε µειούµενο όµως ρυθµό. Την στιγ µή που θα συµβεί φ=π/2 θα µηδενιστεί η επιτρόχια επιτάχυνση του πρωτο νίου, δήλαδή η ταχύτητά του θα γίνει παράλληλη προς τον άξονα Οy (σηµείο Α) και το µέτρο της θα λάβει µέγιστη τίµη v max. Eξάλλου την στιγµή αυτή το πρωτόνιο θα δέχεται κεντροµόλο δύναµη µε κατεύθυνση τον αρνητικό ηµιάξονα Οz, δηλαδή η τροχιά συνεχίζει να καµπυλώνεται στρέφοντας και πάλι το κυρτό της µέρος προς τα πάνω. Ακολουθώντας παρόµοιους συλλογισ µούς καταλήγουµε ότι, µετά το σηµείο Α η τροχιά του πρωτόνιου θα είναι συµµετρική της ΟΜ 0 Α ως προς την διεύθυνση του πεδίου E και αφού ολοκ Σχήµα 3 ληρωθεί το τµήµα αυτό η κίνηση θα επαναληφθεί εξ αρχής µε τον ίδιο ακρι βώς τρόπο. (σχ. 2). Στην περίπτωση που συµβαίνει v 0 >E/Β, το πρωτόνιο θα διαγράψει στο επίπεδο Οyz καµπύλη τροχιά συµµετρική της προηγούµενης ως προς τον άξονα Οy, η οποία φαίνεται στο σχήµα (3). Τέλος αν v 0 =E/Β η

τροχία του πρωτονίου θα είναι ο άξονας Οy, δηλαδή η κίνησή του θα είναι ευθύγραµµη οµαλή, διότι κάθε στιγµή η συνισταµένη δύναµη επί του πρωτο νίου θα είναι µηδενική, αφού οι δύναµεις F και F L θα είναι διαρκώς αντί θετες. P.M. fysikos ΕΚΔΟΧΗ ΔΕΥΤΕΡΗ (ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Eξετάζουµε την κίνηση του πρωτονίου ως προς το τρισορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxyz, όπου ο άξονας Oz έχει την κατεύθυνση του πεδίου E ο άξονας Ox κατευθύνεται προς το πεδίο B και ο άξονας Οy έχει την κατέυθυνση της ταχύτητας v 0 (σχ. 4). Kατά τον άξονα Ox το πρωτόνιο δεν δέχεται ούτε ηλεκτρική ούτε µαγνητική δύναµη και επειδή η αρχική του ταχύτητα κατά την διεύθυνση αυτή είναι µηδενική το πρωτόνιο δεν µετατοπίζεται κατά την διεύθυνση Ox, δηλαδή κάθε στιγµή η x-συντεταγµένη του πρωτονίου ικανοποιεί την σχέση x=0. Aυτό σηµαίνει ότι, το πρωτόνιο κινείται στο επίπε δο Oyz. Eάν v y, είναι οι συνιστώσες της ταχύτητας v του πρωτονίου κα τά µια τυχαία χρονική στιγµή t, η διαφορική εξίσωση της κίνησης τoυ πρω τονίου σε διανυσµατική µορφή, σύµφωνα µε το δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, είναι: Σχήµα 4 m a = q E + q( v B ) m(0 i + a y j + az k ) = qe k + q m(a y j + az k ) = qe k + q(b j - Bvy k ) i j k 0 B 0 0 ma y = qb ma z = q(e - B ) m(d/dt)= qb m(d /dt)= q(e - B ) d /dt = (q/m)b (1) d /dt= (q/m)(e - B ) όπου i j k τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ox Oy και Oz αντιστοί χως. Η δεύτερη εξίσωση παίρνει την µορφή:

d dt = qe m - qb m (2) Παραγωγίζοντας την σχέση (2) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε: d 2 dt 2 = - qb m d dt $ & η οποία λόγω της πρώτης εκ των σχέσεων (1) γράφεται: d 2 dt 2 = - qb 2 $ & v m z d2 dt + qb 2 m 2 $ & v z = 0 d 2 dt 2 + 2 = 0 (3) µε ω=qb/m. H (3) αποτελεί µια οµογενή γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτε ρης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: = C 1 µt + C 2 $t (4) όπου οι σταθερές C 1 καί C 2 θα προσδιορισθούν από τις αρχικές συνθήκες κίνησης του πρωτονίου. Όµως γιά t=0 ισχύει =0 και η (4) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=0 δίνει C 2 =0, οπότε η (4) γράφεται: = C 1 ηµωt (5) Παραγωγίζοντας την (5) ως προς τον χρόνο έχουµε: d dt = C 1 $t (6) H (2) εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t=0 δίνει: d dt $ & t= 0 = Eq m - qbv 0 m (6) Eq m - qbv 0 m = C 1 q ( m E - Bv 0) = C qb 1 m C 1 = E - Bv 0 m = E B - v 0 Έτσι η σχέση (5) γράφεται: = E B - v $ 0& µt dz dt = E B - v $ 0& µt dz = E B - v $ 0& µtdt z = - 1 E B - v $ 0& '()t + C (7)

H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t=0 είναι z=0, οπότε η (7) δίνει: 0 = - 1 E B - v $ 0& + C C = 1 E B - v $ 0& µε αποτέλεσµα η (7) να παίρνει την µορφή: z = 1 E B - v $ 0& 1 -$t ( ) (8) Eπανερχόµενοι στην πρώτη διαφορική εξίσωση των (1), παίρνουµε: d dt = E B - v $ 0 & µt dv = E y B - v $ 0 & µtdt E = - B - v $ 0& '()*t + C' (9) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, για t=0 είναι =v 0, οπότε η (9) δίνει: E v 0 = - B - v $ 0 & + C' C'= v + E 0 B - v $ 0 & µε αποτέλεσµα η (9) τελικώς να γράφεται: = E B - v $ 0& ( 1 - '()*t) + v 0 dy dy= E B - v $ 0& ( 1 - '()*t)dt + v 0 dt dt = E B - v $ 0& ( 1 - '()*t) + v 0 y= E B - v $ 0& t + v 0 t - 1 E ' B - v $ 0& (µ't + C'' H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από την αρχική συνθήκη ότι, γιά t=0 είναι y=0, οπότε η προηγούµενη σχέση δίνει C =0 µε αποτέλεσµα να γράφεται: y = 1 E B - v $ 0& (t -µt) + v 0 t (10) Oι σχέσεις (8) και (10) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου.

Παρατήρηση 1η: Έστω v0<e/b i) Kατα τις χρονικές στιγµές που ικανοποιούν την σχέση: συνωt=-1 ωt=2kπ+π t=π(2k+1)/ω µε k=0,1,2, δηλαδή κατά τις χρονικές στιγµές πm/qb, 3πm/qB, 5πm/qB, η συντεταγ µένη z παίρνει µέγιστη τιµή z max =2(E/B-v 0 )/ω οι δε αντίστοιχες τιµές της συντεταγµένης y είναι y 0, 3y 0, 5y 0, µε y 0 =πe/bω. Oι αντίστοιχες τιµές της ταχύτητας είναι µηδενικές της δε ταχύτητας v y είναι (2E/B-v 0 ) j όπως προκύπτει από την συνάρτηση = (t). ii) Kατά τις χρονικές στιγµές που ικανοποιούν την σχέση: συνωt=1 ωt=2kπ t=2kπ/ω µε k=0,1,2, δηλαδή κατά τις χρονικές στιγµές 0, 2πm/qB, 4πm/qB, 6πm/qB, η συντε ταγµένη z παίρνει ελαχιστη τιµή z min =0 οι δε αντίστοιχες τιµές της συντε ταγµένης y είναι 0, 2y 0, 4y 0, 6y 0, µε y 0 =πe/bω. Oι αντίστοιχες τιµές της ταχύτητας είναι µηδενικές της δε ταχύτητας v y είναι v 0 j όπως προκύπ τει από την συνάρτηση = (t). iii) Kατα τις χρονικές στιγµές που η αλγεβρική τιµή της ταχύτητας γί νεται µέγιστη ή ελάχιστη (ηµωt=1 ή ηµωt=-1) ισχύει (d /dt)=0 δηλαδή (d 2 z/dt 2 )=0, ενώ τις στιγµές αυτές είναι (d 2 y/dt 2 ) 0, δηλαδή τις στιγµές αυτές η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης y=f(x) µηδενίζεται, που σηµαί νει ότι η συνάρτηση αυτή παρουσιάζει σηµεία καµπής, όπως φαίνεται στο σχήµα (4). Παρατήρηση 2η: Έστω v0>e/b Eργαζόµενοι όπως στην περίπτωση A βρίσκουµε ότι οι παραµετρικές εξισώ σεις της τροχιάς έχουν την µορφή: z = - 1 v - E $ 0 & 1 - $t B ( ) και y = - 1 v - E 0 B $ & (t -µt) + v 0 t Σχήµα 5 H µορφή της τροχιάς αυτής φαίνεται στο σχήµα (5) είναι δε συµµετρική εκείνης του σχήµατος (4), ως προς τον άξονα Oy.

Παρατήρηση 3η: Έστω v0=e/b Tότε οι εξισώσεις κίνησης του πρωτονίου παίρνουν τη µορφή z=0 και y=v 0 t δηλαδή το πρωτόνιο κιννείται µε σταθερή ταχύτητα v 0 πάνω στον άξονα Oy. Παρατήρηση 4η: Έστω v 0 j Στην περίπτωση αυτή οι εξισώσεις της ταχύτητας και οι εξισώσεις της τρο χιάς του πρωτονίου προκύπτουν από τις αντίστοιχες εξισώσεις, όταν η v 0 έχει την θετική κατεύθυνση του άξονα Oy, θέτοντας όπου v 0 το v 0. Έτσι θα έχουµε τις σχέσεις: = E B - E B + v $ ' 0& $t) ) ( = E B + v $ ) 0& µ$t *) και y = 1 E B + v $ ' 0& (t -µt) - v 0 t ) ) ( z = 1 E B + v $ ) 0& ( 1 -$t) *) Έστω t * η χρονική στιγµή που η µηδενίζεται για πρώτη φορά. [H t * είναι η µικρότερη θετική ρίζα της εξίσωσης E/B=(E/B+v 0 )συνωt * ] Eπειδή για 0 t<t * είναι dy/dt<0, η συντεταγµένη y ελαττώνεται στο χρονικό αυτό διά στηµα εκ της αρχικής της τιµής, η οποία είναι µηδενική, που σηµαίνει ότι στο χρονικό αυτό διάστηµα είναι y<0. Eξάλλου από την z=z(t) προκύπτει ότι Σχήµα 6 z>0 για κάθε 0 t<+ και µάλιστα κατά τις χρονικές στιγµές που ισχύει συνωt=-1 είναι z=z max =2(E/B+v 0 )/ω, ενώ όταν ισχύει συνωt=1 είναι z=z min =0. Oι αντίστοιχες τιµές της συντεταγµένης y είναι y=πe/bω και y=2πe/bω. Oι πιο πάνω παρατηρήσεις απεικονίζονται στην γραφική παράσταση του σχή µατος (6), η οποία ονοµάζεται τροχοειδής καµπύλη. Tέλος πρέπει να παρατηρήσουµε ότι οι λύσεις της ανισότητας E/B-(E/B+v 0 )συνωt>0 καθορί ζουν τα χρονικά διαστήµατα στα οποία η συντεταγµενη y αυξάνεται. P.M. fysikos ΕΚΔΟΧΗ ΤΡΙΤΗ (ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΧΩΡΙΣ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Το θέµα που εξετάστηκε προηγουµένως µπορεί να αντιµετωπιστεί παρακάµ

τοντας την λύση των δύο διαφορικών εξισώσεων, αρκεί να εξεταστεί η κίνη ση του πρωτονίου από ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς (K Ο x y z ) που κινείται ως προς το (K Οxyz) µε ταχύτητα V οµόρροπη της v 0, της οποίας το µέτρο είναι V=E/B και του οποίου οι άξονες την χρονική στιγµή t=0 συµ πίπτουν µε τους αντίστοιχους άξονες του K, οπότε η ταχύτητα V θα κατευ θύνεται προς τον άξονα Οy. Εάν v, v ' είναι οι ταχύτητες του πρωτονίου στα συστήµατα αναφοράς K και K αντιστοίχως κατα µια τυχαία στιγµή t, θα ισχύει η σχέση: v = v '+ V * (1) Επειδή κατά την µετάβαση από το σύστηµα αναφοράς Κ στο σύστηµα ανα φοράς Κ η δύναµη Lorentz επί του πρωτονίου παραµένει αναλλοίωτη, µπο ρούµε να γράψουµε την σχέση: F = F F = q E + q( v $ B (1) ) F = q E + q ( v + V ) $ B [ ] F = q E + q( v $ B ) + q(v $ B ) (2) Η σχέση (2) γράφεται: F ' = qe k + q( v ' B ) - qvb$µ ( / 2) k F = qe k + q( v $ B ) - q(e / B)B k = q( v $ B ) (3) Σχήµα 7 Σχήµα 8 Από την (3) προκύπτει ότι στο σύστηµα αναφοράς Κ η δύναµη Lorentz F επί του πρωτονίου είναι µόνο µαγνητική δύναµη, δηλαδή στο σύστηµα αυτό το ηλεκτρικό πεδιο έχει εξαφανιστεί. Επειδή την χρονική στιγµή t=0 η ταχύτητα v ' 0 του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς Κ είναι κάθετη στο πε δίο B, το πρωτόνιο στο σύστηµα αυτό θα εκτελέσει οµαλή κυκλική κίνηση ----------------------------------- * H σχέση (1) αποτελεί τον µετασχηµατισµό ταχυτήτων του Γαλιλαίου και ισχύει µε την προυπόθεση ότι το µέτρρο της ταχύτητας V είναι πολύ µικρότερο της τα χύτητας διάδοσης C του φωτός στο κενό (V<<C). Στην αντίθετη περίπτωση η µε τάβαση από το σύστηµα Κ στο Κ γίνεται µέσω του µετασχηµατισµού Lorentz.

διαγράφοντας επί του επιπέδου Ο y z περιφέρεια, της οποίας το κέντρο βρί σκεται στον άξονα Ο z και η ακτίνα της R δίνεται από την σχέση: R = mv' 0 / Bq (4) Eξάλλου το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του πρωτονίου εί ναι: (4) = v' 0 / R = v' 0 Bq/mv' 0 = Bq/m (5) Διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: Περίπτωση 1η: Ισχύει v 0 <Ε/B Tότε η κυκλική τροχιά βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ο y (σχ. 8) και θα είναι v 0 =E/R-v 0, οπότε η σχέση (4) γράφεται: R = m (5) E Bq B - v $ 0& R = 1 E B - v $ 0' (6) & Eάν Μ είναι η θέση του πρωτονίου την χρονική στιγµή t, οι συντεταγµένες του y, z θα είναι: και (6) y'= -Rµt (6) z'= R - R$t = R(1 - $t) y'= - 1 E B - v $ 0' (µt (7) & z'= 1 E B - v $ 0' 1 - ()*t & ( ) (8 H αντίστοιχη θέση Μ του πρωτόνιου επί της τροχιάς που διαγράφει στο συ στηµα αναφοράς Κ (σχ. 7) έχει συντεταγµένες y, z που δίνονται από τις σχέ σεις: (7) y = y'+vt y = - 1 E B - v $ 0' (µt + E & B t και y = 1 E B - v $ 0' t - (µt & (8) z = z' ( ) + v 0 t (9) z = 1 E B - v $ 0' 1 - ()*t & ( ) (10) Οι σχέσεις (9) και (10) αποτελούν τις παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς Κ και είναι ακριβώς ίδιες µε εκείνες που προέκυψαν από την λύση των διαφορικών εξισώσεων κίνησης του πρω τονίου. Παραγωγίζοντας τις σχέσεις αυτές ως προς τον χρόνο t παίρνουµε τις αλγεβρικές τιµές των συνιστωσών v y και v z της ταχύτητας v του πρω τονίου στο σύστηµα αναφοράς Κ, δηλαδή θα έχουµε:

και = dy dt = dz dt (9) (10) = E B - v $ 0& 1 - '()*t = E B - v $ 0& 'µ(t ( ) + v 0 Περίπτωση 2η: Ισχύει E/B<v 0 Tότε η κυκλική τροχιά βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ο y (σχ. 10) και θα είναι v 0 = v 0 -E/R, οπότε η σχέση (4) γράφεται: R = m Bq v - E (5) $ 0 & B R = 1 v - E $ 0 ' B& Εργαζόµενοι επί του σχήµατος (10) µε τον ίδιο τρόπο, καταλήγουµε στις ακό λουθες παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου στο σύστηµα ανα φοράς Κ, η µορφή της οποίας φαίνεται στο σχήµα (9): y = 1 v - E $ 0 ' (µt - t B& ' 1 - ()*t & ( ) + v 0 t και z = - 1 $ v - E 0 ( ) B Σχήµα 9 Σχήµα 10 Παραγωγίζοντας τις παραπάνω εξισώσεις ως προς τον χρόνο παίρνουµε τις αντίστοιχες εξισώσεις των αλγεβρικών τιµών των συνιστωσών v y και v z της ταχύτητας v του πρωτονίου, δηλαδή θα έχουµε:. = - v 0 - E $ & 1 - '()*t B ( ) + v 0 και = - v 0 - E B $ & 'µ(t Περίπτωση 3η: Ισχύει v 0 =E/B Tότε το πρωτόνιο στο σύστηµα αναφοράς Κ ηρεµεί, ενώ στο σύστηµα ανα φοράς Κ κινείται πάνω στον άξονα y µε σταθερή ταχύτητα, µέτρου Ε/Β. Περίπτωση 4η: Ισχύει v 0 =0 Eάν η αρχική ταχύτητα του πρωτονίου στο σύστηµα αναφοράς Κ είναι µηδε νική, τότε χρησιµοποιώντας και πάλι το σύστηµα αναφοράς Κ καταλήγου

µε ότι η τροχιά του στο σύστηµα Κ είναι µια κυκλοειδής καµπύλη µε πα ραµετρικές εξισώσεις που προκύπτουν από τις (9) και (10) θέτοντας v 0 =0, δη λαδή οι εξισώσεις αυτές έχουν την µορφή: y = 1 E $ ' t - (µt B& Σχήµα 11 ( ) και z = 1 E $ ' 1 - ()*t B& ( ) Η µορφή της τροχιάς αυτής φαίνεται στο σχήµα (11). Περίπτωση 4η: Ισχύει v 0 j Αν η ταχύτητα εκτόξευσης v 0 του πρωτονίου κατευθύνεται προς τον αρνη τικό ηµιάξονα Οy, ακολουθώντας την ίδια διαδικασία βρίσκουµε τελικώς ότι οι παραµετρικές εξισώσεις της τροχιάς του πρωτονίου στο σύστηµα αναφο ράς Κ έχουν την µορφή: και y = 1 E B + v $ 0' t - (µt & ( ) - v 0 t z = 1 E B + v $ 0' 1 - ()*t & ( ) Η τροχιά αυτή ονοµάζεται τροχοειδής καµπύλη και η µορφή της φαίνεται στο σχήµα (6). P.M. fysikos