Ένα ξυλουργείο παράγει θρανία, τραπέζια και καρέκλες : Προϊόν Πρώτη Ύλη Θρανίο Τραπέζι Καρέκλα Διαθεσιμότητα Ξυλεία (m) 8 6 1 48 Κατασκευή (ώρες) 2 1.5 0.5 8 Φινίρισμα (ώρες) 4 2 1.5 20 Τιμή Πώλησης 60,000 30,000 20,000 Η αγορά μπορεί να απορροφήσει οποιονδήποτε αριθμό σε θρανία και καρέκλες, αλλά το πολύ πέντε τραπέζια. Έχουμε το εξής π.γ.π. κάτω από τους περιορισμούς maximize (60x 1 + 30x 2 + 20x 3 ) 8x 1 + 6x 2 + x 3 48 2x 1 + 1.5x 2 + 0.5x 3 8 4x 1 + 2x 2 + 1.5x 3 20 x 2 5 x 1, x 2, x 3 0 του οποίου τυπική μορφή είναι η κάτω από τους περιορισμούς maximize (60x 1 + 30x 2 + 20x 3 ) 8x 1 + 6x 2 + x 3 + x 4 = 48 2x 1 + 1.5x 2 + 0.5x 3 + x 5 = 8 4x 1 + 2x 2 + 1.5x 3 + x 6 = 20 x 2 + x 7 = 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 0 Τι εκφράζουν οι ποσότητες (περιθώριες μεταβλητές) x 4, x 5, x 6 και x 7 ; 1/12
60 30 20 0 0 0 0 P 4 0 48 8 6 1 1 0 0 0 48/8 P 5 0 8 2 1.5 0.5 0 1 0 0 8/2 P 6 0 20 4 2 1.5 0 0 1 0 20/4 P 7 0 5 0 1 0 0 0 0 1 - z 0-60 -30-20 0 0 0 0 x = (0, 0, 0, 48, 8, 20, 5) με z = 0 60 30 20 0 0 0 0 P 4 0 16 0 0-1 1-4 0 0 - P 1 60 4 1 0.75 0.25 0 0.5 0 0 4/0.25 P 6 0 4 0-1 0.5 0-2 1 0 4/0.5 P 7 0 5 0 1 0 0 0 0 1 - z 240 0 15-5 0 30 0 0 x = (4, 0, 0, 16, 0, 4, 5) με z = 240 60 30 20 0 0 0 0 P 4 0 24 0-2 0 1-8 2 0 P 1 60 2 1 1.25 0 0 1.5-0.5 0 P 3 20 8 0-2 1 0-4 2 0 P 7 0 5 0 1 0 0 0 0 1 z 280 0 5 0 0 10 10 0 x = (2, 0, 8, 24, 0, 0, 5) με z = 280 2/12
Η σκιώδης (δυική) τιμή του i-πόρου ορίζεται να είναι το ποσό κατά το οποίο βελτιώνεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z αν η διαθέσιμη ποσότητα του πόρου αυτού αυξηθεί κατά μία μονάδα. Η Simplex αντιστοιχεί τη σκιώδη τιμή w i του i-πόρου στην τιμή z i c i της άριστης λύσης για την x i περιθώρια μεταβλητή. Η σκιώδης τιμή ενός πόρου που χρησιμοποιήθηκε πλήρως (δεσμευτικός περιορισμός) είναι μη μηδενική. Η σκιώδης τιμή ενός πόρου που δε χρησιμοποιήθηκε πλήρως (χαλαρός περιορισμός) είναι μηδενική. Το ευκαιριακό κόστος (κόστος ευκαιρίας) της j μη βασικής δραστηριότητας ορίζεται να είναι το ποσό κατά το οποίο ελαττώνεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης z αν η ποσότητα της δραστηριότητας αυτής αυξηθεί κατά μία μονάδα. Ισοδύναμα, το ευκαιριακό κόστος εκφράζει το ποσό κατά το οποίο πρέπει να βελτιωθεί ο αντικειμενικός συντελεστής της μεταβλητής για να συμφέρει να μπει στην άριστη λύση. Η Simplex αντιστοιχεί το ευκαιριακό κόστος της j μη βασικής μεταβλητής απόφασης στην τιμή z j c j της άριστης λύσης για αυτή τη μεταβλητή. Το ευκαιριακό κόστος μιας βασικής μεταβλητής είναι μηδέν. Αν μια μη βασική μεταβλητή έχει ευκαιριακό κόστος μηδέν, το πρόβλημα έχει εναλλακτική άριστη λύση. 3/12
60 35 20 0 0 0 0 P 4 0 48 8 6 1 1 0 0 0 48/8 P 5 0 8 2 1.5 0.5 0 1 0 0 8/2 P 6 0 20 4 2 1.5 0 0 1 0 20/4 P 7 0 5 0 1 0 0 0 0 1 - z 0-60 -35-20 0 0 0 0 P 4 0 16 0 0-1 1-4 0 0 - P 1 60 4 1 0.75 0.25 0 0.5 0 0 4/0.25 P 6 0 4 0-1 0.5 0-2 1 0 4/0.5 P 7 0 5 0 1 0 0 0 0 1 - z 240 0 10-5 0 30 0 0 P 4 0 24 0-2 0 1-8 2 0 - P 1 60 2 1 1.25 0 0 1.5-0.5 0 2/1.25 P 3 20 8 0-2 1 0-4 2 0 - P 7 0 5 0 1 0 0 0 0 1 5/1 z 280 0 0 0 0 10 10 0 x (1) = (2, 0, 8, 24, 0, 0, 5) με z = 280 60 35 20 0 0 0 0 P 4 0 27.2 1.6 0 0 1-5.6 1.2 0 P 2 35 1.6 0.8 1 0 0 1.2-0.4 0 P 3 20 11.2 1.6 0 1 0-1.6 1.2 0 P 7 0 3.4-0.8 0 0 0-1.2 0.4 1 z 280 0 0 0 0 10 10 0 x (2) = (0, 1.6, 11.2, 27.2, 0, 0, 3.4) με z = 280 4/12
5/12
6/12
Αμφιβολίες γύρω από τους κανόνες επιλογής εξερχόμενης ή/και εισερχόμενης μεταβλητής εισερχόμενη μεταβλητή αυθαίρετα κανένα πρόβλημα εξερχόμενη μεταβλητή αυθαίρετα εκφυλισμένες λύσεις π.χ. Να λυθεί το π.γ.π. κάτω από τους περιορισμούς maximize (5x 1 + 3x 2 ) 4x 1 + 2x 2 12 4x 1 + x 2 10 x 1 + x 2 4 x 1, x 2 0 Αρχικά πρέπει να φέρουμε το πρόβλημα στην τυπική του μορφή : κάτω από τους περιορισμούς maximize (5x 1 + 3x 2 ) 4x 1 + 2x 2 + x 3 = 12 4x 1 + x 2 + x 4 = 10 x 1 + x 2 + x 5 = 4 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μέθοδο Simplex : 7/12
5 3 0 0 0 β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 θ P 3 0 12 4 2 1 0 0 12/4 P 4 0 10 4 1 0 1 0 10/4 P 5 0 4 1 1 0 0 1 4/1 z 0-5 -3 0 0 0 P 3 0 2 0 1 1-1 0 2 P 1 5 10/4 1 1/4 0 1/4 0 10 P 5 0 6/4 0 3/4 0-1/4 1 2 z 12.5 0-7/4 0 5/4 0 P 2 3 2 0 1 1-1 0 P 1 5 2 1 0-1/4 2/4 0 P 5 0 0 0 0-3/4 2/4 1 z 16 0 0 7/4-2/4 0 5 3 0 0 0 β P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 θ P 2 3 2 0 1 1-1 0 - P 1 5 2 1 0-1/4 2/4 0 4 P 5 0 ε 0 0-3/4 2/4 1 2ε z 16 0 0 7/4-2/4 0 P 2 3 2+2ε 0 1-2/4 0 0 P 1 5 2-ε 1 0 8/16 0-1 P 4 0 2ε 0 0-6/4 1 2 z 16+ε 0 0 1 0 1 8/12
Α(x 3, x 4, x 5 ) B(x 3, x 1, x 5 ) Γ(x 2, x 1, x 5 ) Γ(x 2, x 1, x 4 ) 9/12
Κύκλωση και τεχνικές αντικύκλωσης δεν υπάρχουν εκφυλισμένες λύσεις σύγκλιση σε πεπερασμένα βήματα υπάρχουν εκφυλισμένες λύσεις εγγύηση από τις τεχνικές αντικύκλωσης Λέμε ότι η μέθοδος Simplex κυκλώνει, αν το ίδιο Simplex tableau κατασκευάζεται σε δύο διαφορετικές επαναλήψεις της μεθόδου. Η κύκλωση είναι σπάνιο φαινόμενο, σε βαθμό που ακόμη και παραδείγματα π.γ.π. που μπορεί να κυκλώνουν είναι δύσκολο να κατασκευαστούν. (Beale). Να λυθεί το π.γ.π. κάτω από τους περιορισμούς 3 maximize x 4 1 150x2 + x3 x4 50 1 6 9x 0 1 x - 60x 1 2-1 x + 3 4 4 25 1 x - 90x 2-1 1 x + 3x4 0 3 2 50 x 1 x, 1 x, x 2 3 4 3 x 0 10/12
Αρχικό tableau 3 4-150 1 50-6 0 0 0 P 5 0 0 4 P 6 0 0 2 1-60 1 25 1-90 1 50 9 1 0 0 0 3 0 1 0 0 P 7 0 1 0 0 1 0 0 0 1 - P 1 4 z 0 3 4 150 1 50 6 0 0 0 3 0 1-240 4 25 36 4 0 0 - P 6 0 0 0 30 3 50-15 -2 1 0 0 P 7 0 1 0 0 1 0 0 0 1 - z 0 0-30 7 50 33 3 0 0 tableau 6ης επανλ 3 4-150 1 50-6 0 0 0... P 5 0 0 4 P 6 0 0 2 1-60 1 25 1-90 1 50 9 1 0 0 0 3 0 1 0 0 P 7 0 1 0 0 1 0 0 0 1 - z 0 3 4 150 1 50 6 0 0 0 Το tableau της 6η επανάληψης συμπίπτει με το αρχικό Simplex tableau. 11/12
Κανόνας του Bland. Η μέθοδος Simplex τερματίζεται ύστερα από ένα πεπερασμένο αριθμό βημάτων, αν σε κάθε επανάληψη ως εισερχόμενη και εξερχόμενη μεταβλητή επιλεγούν εκείνες που εμφανίζονται πρώτες (με τον μικρότερο δείκτη) στους αντίστοιχους καταλόγους των υποψηφίων εισερχομένων και εξερχόμενων μεταβλητών. tableau 4ης επανλ 3 4-150 1 50-6 0 0 0 P 3 1 50 0 125 2 10500 1 0 50-150 0 0 P 4 6 0 1 4 40 0 1 1 3 2 3 0 0 P 7 0 1 125 2-10500 0 0-50 150 1 - z 0 1 2 120 0 0-1 1 0 Bland s rule 3 4-150 1 50-6 0 0 0 P 3 1 50 0 125 2 10500 1 0 50-150 0 - P 4 6 0 1 4 40 0 1 1 3 2 3 0 - P 7 0 1 125 2-10500 0 0-50 150 1 2/125 z 0 1 2 120 0 0-1 1 0 Προσοχή. Επειδή ο κανόνας του Bland μπορεί να επιλέξει ως εισερχόμενη μεταβλητή κάποια η οποία δε θα βελτιώσει σημαντικά την τιμή z, η εφαρμογή του σε κάθε επανάληψη της μεθόδου Simplex αποδεικνύεται ανεπαρκής. Η χρήση του συνιστάται μόνο με την εμφάνιση εκφυλισμένων λύσεων, ώστε να αποκλειστεί το φαινόμενο της κύκλωσης. Υπάρχουν κι άλλες τεχνικές διαταραχής του Charnes λεξικογραφική μέθοδος (τροποποιεί τον κανόνα του ελάχιστου πηλίκου) 12/12