ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i ) = 64 + 8i β) ( )( )( )( ) + z + z + z + z = 46 γ) z = 3 κι z = 7 ΘΕΜΑ ο : Δίνετι η πράστση f(z) = ( 3 + i) z z + i z i. Ν ποδείξετε ότι: ) Το ευρύτερο υποσύνολο του C στο οποίο ορίζετι η πράστση f(z) είνι το C β) z + i z i z γ) f(z) δ) Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών z, γι τους οποίους ισχύει f(z) = z, είνι υπερβολή, της οποίς ν βρείτε την εξίσωση. 6 ΘΕΜΑ 3ο : Δίνοντι τρεις μιγδικοί ριθμοί z,w,u με z = 3, w = 4, u = 5 κι z + w + u =, οι οποίοι έχουν εικόνες τ σημεί Α, Β, Γ ντίστοιχ. ) Ν ποδείξετε ότι 6z + 9w = β) Ν ποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ορθογώνιο, όπου Ο είνι η ρχή των ξόνων. γ) Ν βρείτε τ μήκη των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές τις εικόνες των μιγδικών z,w,u ΘΕΜΑ 4ο : Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z, w, οι οποίοι ικνοποιούν τις σχέσεις: z i = z i () w(z i) zi = (), όπου κι < ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z β) Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών ριθμών w νήκουν σε κύκλο, του οποίου ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν. z w γ) Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός v = με w z, είνι φντστικός z + w δ) Αν z,z είνι δυο μιγδικοί ριθμοί με εικόνες ντίστοιχ στο επίπεδο τ σημεί Α, Β, οι οποίοι ικνοποιούν τη σχέση () κι w είνι ένς μιγδικός ριθμός με εικόν στο επίπεδο το σημείο Γ, ο οποίος ικνοποιεί τη σχέση (), τότε ν ποδείξετε ότι: (ΓΑ) 3 3 (ΓΒ)
ΘΕΜΑ 5ο : Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς w κι z, γι τους οποίους ισχύει ότι: 5 w = 8 + 5w 6 i Οι εικόνες Κ(z) των μιγδικών ριθμών z στο μιγδικό επίπεδο είνι τ κέντρ των κύκλων εκείνων που εφάπτοντι εσωτερικά του κύκλου C :( Ε,4 ), όπου ( ) διέρχοντι πό το σημείο Ε (,) Ε, κι Ν βρείτε: ) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών w στο μιγδικό επίπεδο. β) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z στο μιγδικό επίπεδο. γ) Την ελάχιστη τιμή του μέτρου z w δ) Τους μιγδικούς z, z, z 3, z 4 πό τους μιγδικούς ριθμούς z, που οι εικόνες τους είνι κορυφές τετργώνου με πλευρές πράλληλες προς τους άξονες κι y y ΘΕΜΑ 6ο : Έστω οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f,g:, οι οποίες ικνοποιούν τη σχέση: ( ) f () + g () = f () + g (), γι κάθε () κι οι μιγδικοί ριθμοί z = f()+g()i ) Αν f() = 4 κι g() = 3, τότε: i) Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών z κινούντι σε κύκλο του οποίου ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν. ii) Ν βρείτε την ελάχιστη κι τη μέγιστη τιμή του θροίσμτος f () + g () στην περίπτωση που ο γεωμετρικός τόπος την εικόνων των μιγδικών z είνι ο κύκλος του προηγούμενου ερωτήμτος. β) Αν υπάρχει ώστε z = + i, τότε: i) Ν υπολογίσετε την τιμή της πράστσης ii) Ν βρείτε τις συνρτήσεις f,g Α = z z ΘΕΜΑ 7ο : 4 Έστω f(z)= z+, όπου z μιγδικός ριθμός με z z ) Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z κι z, γι τους οποίους ισχύει f(z) = κι στη 4 4 z z + z z συνέχει ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών z, z κι z = στο 3 3 μιγδικό επίπεδο είνι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγρμμένου σε κύκλο με κέντρο Ο(, ) κι κτίν ρ = β) Αν f(z) κι z C, τότε: ( + ) i) Ν βρείτε το όριο ( h ) h + lim ln z h ii) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( + ) f(z) 4 ( 4 f(z) ) ρίζ ως προς στο διάστημ (, ) + = έχει μί κριβώς γ) Αν f(z) = z, z C, τότε: i) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z στο μιγδικό επίπεδο.
ii) Ν βρείτε την ελάχιστη τιμή του z z όπου z, z δύο πό τους μιγδικούς z του 5 5 (γ. i) ερωτήμτος με Im(z ) Im(z ) < 5 4 4 4 ΘΕΜΑ 8ο : Έστω η συνάρτηση f:, η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: f(), γι κάθε () f()f( ) =, γι κάθε () ) Ν βρείτε το f() κι ν ποδείξετε ότι f() =, f() β) Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g() =, (, + ) i) N μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. ii) N βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g iii) Aν γι τους θετικούς ριθμούς, β, γ ισχύει ln + lnβ + lnγ =, ν ποδείξετε ότι β+γ +γ +β 3 + β + γ 3 ΘΕΜΑ 9ο : Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f : με f() =, οποί ικνοποιεί τη σχέση: συν f() + 4f() = γι κάθε () ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν βρείτε την ντίστροφή της. β) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί. f() γ) Ν υπολογίσετε το όριο lim π δ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f () = ημ έχει μονδική λύση στο διάστημ, 4 ΘΕΜΑ ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [,+ ) με f() =, η οποί είνι πργωγίσιμη στο με > κι ικνοποιεί τις σχέσεις: f(y)= f()f(y) γι κάθε, y > () f() γι κάθε > () Α) Ν ποδείξετε ότι: ) f() f = γι κάθε > f() = κι ( ) β) f() γι κάθε γ) η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο (,+ ) με f () f () = γι κάθε > f() f() Β) Αν η ευθεί ε : y+ = είνι η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Μ,f ( ( ) ),ν βρείτε τον τύπο της f.
ΘΕΜΑ ο : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f:, η οποί γι κάθε ικνοποιεί τη σχέση f()<f ()<f(β) (), όπου, β με = β > (). Ν ποδείξετε ότι: ) Η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ. β) Η συνάρτηση g() = f() f() είνι γνησίως ύξουσ κι ότι f() < f(β) γ) Η εξίσωση f() = έχει μι κριβώς λύση στο ( β, ) δ) Υπάρχουν,,3 τέτοι, ώστε ν ισχύει f(β) f( ) f( β) + = 4β f() f() f() 3 ΘΕΜΑ o : Έστω η συνεχής συνάρτηση f:,+, η οποί είνι πργωγίσιμη στο, +, π π έχει σύνολο τιμών f( A ) =, κι ικνοποιεί τη σχέση ημ( f() ) =, () + ) Ν ποδείξετε ότι f() =,, + + + ( ) β) Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν βρείτε την ντίστροφή της. γ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τις σύμπτωτες. ΘΕΜΑ 3o : Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f:, που έχει σημείο κμπής το O(,) κι της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο διπλνό σχήμ. ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g() = f() β) Με δεδομένο ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης g έχει σύμπτωτες, ν τις βρείτε. γ) Ν μελετήσετε τη συνάρτησης g ως προς τη μονοτονί, τ κρόττ κι ν χράξετε τη γρφική της πράστση δ) Αν η συνάρτηση f είνι πολυωνυμική 3 ου βθμού, τότε: i) Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κ, λ κι τον τύπο της συνάρτησης f ii) Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f κι τον άξον ΘΕΜΑ 4ο : n Δίνετι η συνάρτηση f με f() =, > ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. β) Αν η τετμημένη του σημείου Μ (,f() ) μετβάλλετι με ρυθμό μ /sc, ν βρείτε το ρυθμό μετβολής του εμβδού Ε() του τριγώνου ΑΟΒ, όπου A(,), Ο(, ), Β(,f() ), τη χρονική στιγμή κτά την οποί είνι ( ) = 4 γ) Αν τη χρονική στιγμή = το σημείο Μ βρίσκετι στη θέση (,), τότε ν ποδείξετε ότι: i) () = + ii) Η συνάρτηση Ε() είνι κοίλη στο διάστημ [, + )
ΘΕΜΑ 5ο : Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g: (, ) +, με ( ] ( ) ln,, f() =,, + κι g() = f()d ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο o = με f ()= β) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g γ) Ν υπολογίσετε τ όρι: i) lim g() + κι δ) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g ii) lim g() + ε) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει δύο κριβώς ρίζες στο διάστημ (,+ ) στ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι κοίλη στο (, κι κυρτή στο, ) + ΘΕΜΑ 6ο : Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: με συνεχή πράγωγο, που ικνοποιεί τις σχέσεις: ( f () ) f () + =, γι κάθε + () f ( ) < < f () () f() = (3) ) Ν ποδείξετε ότι f() = + +, β) Ν ποδείξετε ότι f() > γι κάθε γ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί κι την κυρτότητ. δ) Αν h() = lnf(),, τότε : i) N ποδείξετε ότι h() = +, ii) N βρείτε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι = iii) Ν ποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 7ο : f() h() > γι κάθε (,+ ). Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [, + ), η οποί είνι δυο φορές πργωγίσιμη στο (,+ ) κι ικνοποιεί τις σχέσεις: 4f () ( f ()) 3 = γι κάθε (,+ ) f () γι κάθε (,+ ) () () f () = f () = (3) ) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε (,+ ) β) Ν ποδείξετε ότι ( f ()f () ) = γι κάθε (,+ ) γ) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.
δ) Αν f() =,, τότε: i) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης (ε) της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f Μ,f( ), με >. στο σημείο της ( ) ii) Ν βρείτε το εμβδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, την εφπτομένη (ε) κι τον άξον. iii) Αν έν σημείο Μ κινείτι στη γρφική πράστση της f έτσι, ώστε ν πομκρύνετι πό τον άξον y y με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο, ν βρείτε το ρυθμό μετβολής του εμβδού Ε του χωρίου Ω τη χρονική στιγμή κτά την οποί η τετμημένη του είνι ίση με 4 μονάδες. iv) Ν βρείτε λ (, ) τέτοιο, ώστε η ευθεί με εξίσωση = λ ν χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισοεμβδικά χωρί. ΘΕΜΑ 8ο : Έστω οι πργωγίσιμες συνρτήσεις f,g: (, ) f() g() f () =, γι κάθε (, ) g () = >, γι κάθε (, ) g () g () f() = g() = ) Ν βρείτε τις συνρτήσεις f κι g + () + () +, οι οποίες ικνοποιούν τις σχέσεις: β) Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που ορίζετι πό τις C f,cg κι τις ευθείες με = κι = γ) Ν υπολογίσετε το όριο lim(f()) + δ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση g() ln+ 3 + = έχει κριβώς μι ρίζ στο διάστημ (, ) f() g() + ΘΕΜΑ 9o : Δίνετι η δυο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f:, η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: ) Ν ποδείξετε ότι f () f () = (4 + ), γι κάθε () f ( ) = f( ) = () f()=, β) Ν βρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f γ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. δ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ (,) ε) Ν υπολογίσετε το όριο lim f()d τέτοι, ώστε f (ξ )f (ξ )=3
ΘΕΜΑ ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f :(, + ), η οποί ικνοποιεί τη σχέση: f() f()d+ ln + + ln= d du, > 4 + u () f() + + ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη με ( ) =, β) Αν συνέχει τον τύπο της f + f() = (+)ln, >, τότε: i) Ν μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονί, ν βρείτε τις σύμπτωτες της βρείτε το σύνολο τιμών της f ii) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση iii) Ν ποδείξετε ότι + > κι ν βρείτε στη + =, > έχει μί κριβώς θετική ρίζ + f() + ln f, > iv) Ν ποδείξετε ότι f ( )d > f ( )d, (, ) C κι ν f ΘΕΜΑ ο : Έστω η δυο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ), η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: + =, γι κάθε (, + ) () f ( f ()) f() f() >, γι κάθε (, + ) () f() = (3) ) i) Ν βρείτε το f () ii) Ν ποδείξετε ότι f ( f ()) =, (, + ) β) Ν ποδείξετε ότι f() = ln, (, + ) γ) Ν βρείτε γι ποιες τιμές του κ η ευθεί ε:y= + κ έχει δυο κοινά σημεί με τη γρφική πράστση της συνάρτησης f δ) Αν κ Α,f(), Ββ,f(β) με < κι ( ) ( ) < β, τ κοινά σημεί της ευθείς (ε) με τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, β) τέτοιο, ώστε β(lnξ ) = κξ
ΘΕΜΑ o : Δίνοντι οι συνρτήσεις f,g:, με: f() = + g() = + + β,, β Αν οι γρφικές πρστάσεις C, C g των συνρτήσεων f, g ντίστοιχ δέχοντι, σε κοινό τους f σημείο, κοινή εφπτομένη (ε), που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι: 3 =, β = κι η κοινή εφπτομένη (ε) είνι η ευθεί με εξίσωση y = β) Ν βρείτε το εμβδόν Ε του χωρίου, που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, την ευθεί (ε) κι την ευθεί με εξίσωση =, > γ) Ν βρείτε το εμβδόν Ε του χωρίου, που περικλείετι πό τη γρφική πράστση C g της συνάρτησης g, την ευθεί (ε) κι την ευθεί με εξίσωση =, > δ) Ν ποδείξετε ότι Ε () < Ε () + γι κάθε > ΘΕΜΑ 3ο : ) Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [, ], > με f( )+f () γι κάθε [, ] Ν ποδείξετε ότι f() f( ) d = d f( ) + f() f( ) + f() π β) Αν f() = συν,, τότε: συν i) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι = d ημ+ συν π π ii) Αν επιπλέον g είνι μι πργωγίσιμη συνάρτηση με g() > γι κάθε, κι π ισχύει η σχέση ( f()g() ) = f ()g () γι κάθε, (), τότε ν ποδείξετε π ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε g (ξ) = g(ξ) ΘΕΜΑ 4ο : Έστω η δυο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ), η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: f () + f () =, γι κάθε (, + ) () f() = () f() = (3) ) Ν ποδείξετε ότι f() = ln + ln, (, + ) β) Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου, που περικλείετι πό τη γρφική πράστση C f της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι = γ) Ν υπολογίσετε το όριο lim + ημ + f()d ln + () C f
ΘΕΜΑ 5o : Δίνετι η συνάρτηση f() = d. Ν ποδείξετε ότι: ) Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο β) Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης γ) δ) είνι ο άξονς 3 9 f() γι κάθε 3 6 f()d d = ΘΕΜΑ 6ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f:, η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: u ( ) C της συνάρτησης f, στο σημείο της Ο(, ) f συν + f()d = f()d du ημ +, γι κάθε () f() = () f() = (3) ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο κι ν βρείτε τον πργμτικό ριθμό β) Ν ποδείξετε ότι f() = συν, γ) Ν βρείτε: i) Την εξίσωση της εφπτομένης (ε) της γρφικής πράστσης C f της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη π 3 ii) Το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση συνάρτησης f, πό την εφπτομένη (ε) της 4π κι = 3 ΘΕΜΑ 7 ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f:, η οποί ικνοποιεί τη σχέση: f() C f κι τις ευθείες με εξισώσεις f() + n d= + n( + ), γι κάθε ) Ν ποδείξετε ότι f() >, γι κάθε β) Ν ποδείξετε ότι = ( + ) f(), γ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό (,) δ) Αν γι τη συνεχή συνάρτηση h: ισχύει: τέτοιο, ώστε f( ) = 3 h( f() + 3) = f ( h() ) + h() 3, γι κάθε C f της π = 3 τότε, ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της συνάρτησης h έχει με την ευθεί y = έν τουλάχιστον κοινό σημείο. ξ, τέτοιο, ώστε f (ξ) = ε) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ( )
ΘΕΜΑ 8 ο : Δίνετι η συνάρτηση f:, με f() = + + ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιμη στο με d f() = +, β) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f, ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής. 3 γ) Αν h() = f()d,, ν ποδείξετε ότι: i) 3 h()d+ f()d = ii) Υπάρχει μονδικό (,) ΘΕΜΑ 9ο : h( ) τέτοιο, ώστε f( ) = 3 Δίνετι η συνάρτηση f:, η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις f ( y) = f() f (y), γι κάθε,y () f() + lim = () z i ( f() + ) ημ, γι κάθε κι z C (3) ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z β) Αν z, z είνι δύο μιγδικοί του προηγούμενου γεωμετρικού τόπου με z z =, τότε ν ποδείξετε ότι z+ z = γ) Ν ποδείξετε ότι: i) Η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο ii) f() =, δ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ ε) Ν υπολογίσετε τ όρι: f() i) lim d + στ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() d, f() κι ii) lim d f() d = έχει δύο κριβώς ρίζες ρ, ρ με ρ+ ρ>
ΘΕΜΑ 3ο : Έστω η δύο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f ( + h) f ( h) ln lim = 4 + κ, > h h f:(, + ), η οποί ικνοποιεί τη σχέση: όπου κ είνι η ελάχιστη τιμή του μέτρου των μιγδικών ριθμών z γι τους οποίους ισχύει: ( ) () z 3 + z+ 3 = 8 + z 9 () ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z β) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f είνι κυρτή. 3 γ) Ν ποδείξετε ότι f(4 ) + f() f(), γι κάθε > κι ότι f()d δ) Αν επιπλέον είνι f () = κι f() =, τότε ν ποδείξετε ότι > f() f() = ln +, > ΘΕΜΑ 3ο : Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z με z, κι η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (,+ ), που ικνοποιεί τις σχέσεις: f ( ) = + ( z + ), γι κάθε () f() = () ln z + ln, < < ) Ν ποδείξετε ότι f() = ln + z + ln, β) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί κι ν βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) N ποδείξετε ότι υπάρχουν δύο κριβώς ξ, ξ (, + ) τέτοι, ώστε ν ισχύει: ξ ξ ξ = ή z = + ξ δ) Έστω Ε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτή- σεων f, g, όπου g() = ln, > κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι =. Αν Ε = ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών ριθμών z νήκουν σε κύκλο, του οποίου ν βρείτε το κέντρο κι την κτίν. ΘΕΜΑ 3ο : Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z γι τους οποίους ισχύει: z + 3 i > 3z + i () ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z β) Ν υπολογίσετε το όριο: lim ( z + ) + γ) Αν f είνι μι πργωγίσιμη συνάρτηση, που είνι γνησίως ύξουσ κι κυρτή στο κι κι z,z είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, που ικνοποιούν την (), τότε ν ποδείξετε ότι, γι οποιοδήποτε πργμτικό ριθμό, με, ισχύει: 3z +7z f < f(- )+f(+) 5
ΘΕΜΑ 33ο : Έστω η συνεχής συνάρτηση f: (, + ), η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: f(y) lim f() =+ + + y = f()f(y) y, γι κάθε,y (, + ) () ) Ν ποδείξετε ότι f(), γι κάθε (, + ) β) Ν βρείτε το f() γ) Ν ποδείξετε ότι f() = +, (, + ) δ) Ν υπολογίσετε το όριο lim f () + π ε) Ν λύσετε την εξίσωση ( + συν ) = στο διάστημ (, + ) εφ σφ π π στ) Ν ποδείξετε ότι d + d =, γι κάθε, f) ( 6 3 f ζ) Αν g είνι μι συνεχής συνάρτηση στο κι >, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ ln Ι = g( f() ) d ΘΕΜΑ 34ο : Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ), η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: f ()lnf () + f () =, γι κάθε (, + ) () f() f() >, γι κάθε (, ) + () = (3) ) Ν ποδείξετε ότι f() =, (, + ) β) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν ορίσετε τη συνάρτηση γ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί, την κυρτότητ κι ν ποδείξετε ότι 3 δ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωμ 7 5 ε) Ν ποδείξετε ότι + > Ι = f () d ln f
ΘΕΜΑ 35ο : Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f :, η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: f ( )f () =, γι κάθε () f () = () Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση ) Ν ποδείξετε ότι f () = f( ) g() =, f() β) Ν ποδείξετε ότι η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο, το οποίο κι ν προσδιορίσετε. γ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή. δ) Ν ποδείξετε ότι f() = +, ε) Ν μελετήσετε ως προς το πρόσημο τη συνάρτηση h() = f() d στ) Ν βρείτε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C h τις ευθείες με εξισώσεις =, = κι τον άξον ΘΕΜΑ 36ο : Δίνετι η συνάρτηση ln G() = d, + > ) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης G β) Αν G() = ln, >, τότε: + i) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση G ως προς τη μονοτονί. ii) Ν βρείτε το πρόσημο της G, γι τις διάφορες τιμές του iii) Ν βρείτε το εμβδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης G, τον άξον κι την ευθεί με εξίσωση = λ, < λ < iv) Ν ποδείξετε ότι lim E(λ) = ln λ + v) Ν ποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 37ο : >, γι κάθε > G() d G() Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση f: [, + ), η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: f() > γι κάθε [, + ) () f() = () Αν το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση u C g της συνάρτησης g () = f()d, τους άξονες κι y y κι την ευθεί με εξίσωση = u, με u> είνι Ε (u) = u f()d+ f(u) (3), τότε: ) Ν ποδείξετε ότι f() =,
β) Ν βρείτε τ όρι: i) lim + + ii) lim + g()d ν f()d γι τις διάφορες τιμές του ν N με ν γ) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητ κι τ σημεί κμπής δ) Ν ποδείξετε ότι ΘΕΜΑ 38ο : f()d > 4 Δίνετι η συνάρτηση f() = d, ) Ν ποδείξετε ότι f() =, + β) Ν μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονί κι τ κρόττ. γ) Ν βρείτε τις σύμπτωτες της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f δ) Ν ποδείξετε ότι: i) f()> γι κάθε (, ) (, + ) ii) f() γι κάθε [, ] ε) Ν υπολογίσετε τ όρι: f() i) lim ημ ( ) + ημ ii) lim f() + στ) Ν υπολογίσετε το εμβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης g() = ( ) f(), τον άξον κι τις ευθείες με εξισώσεις = κι = ΘΕΜΑ 39o : π π Δίνετι η δυο φορές πργωγίσιμη συνάρτηση f:,, η οποί ικνοποιεί τις σχέσεις: ) Ν ποδείξετε ότι συνu π π f () + συν f () du =, u, () + ( ) f ( )+= f ( ) = f( ) = () β) Ν ποδείξετε ότι ( ) συνu π π du = ημ, u, + π π f() = ln συν,, γ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι κοίλη στο διάστημ π π, + β π π δ) Ν ποδείξετε ότι συν συν συνβ γι κάθε, β, f() ε) Ν βρείτε το όριο lim ημ