Σ ΣΤΑ ΘΕΜΑ. f x0. x x. x x. lim. lim f. lim x. lim f x. lim. lim f x f x 0. lim. σχήμα. 7 μ Α1. ,οπότε. 4 μ. f x0 0 0 αφού η f είναι.

Transcript

1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Σ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥΥ 8 7 μ Α ΘΕΜΑ Α Α η λύση Γι έχουμε lim πργωγίσιμη στο lim lim,οπότε μ lim φού η είνι μ Επομένως, lim η λύση, δηλδή η είνι συνεχής στο lim lim μ lim lim φού η είνι πργωγίσιμη στο Επομένως, lim, δηλδή η είνι συνεχής στο Α Ψ,, β Η συνάρτησηη, δεν είνι γνησίως μονότονη είνιι - κι Αν ο μθητής κάνει οποιοδήποτε ντιπροσωπευτικό σχήμ δίνουμε όλες τις μονάδες Αν τοο σχήμ δεν είνι στο R κόβουμε Α Έστω μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ,β Αν G είνι μι πράγουσ της στο,β, τότε: β t d dt G β G η συνέχει + πράγουσ +μμ ο τύπος Α ) Λ β) Λ γ) ) Σ δ) Σ ε) Σ 5 μονάδες

2 8 μ Β Β Η είνι πργωγίσιμη στο με ΘΕΜΑ Β 8 8 μ μ κρόττο μ Β 6 μ Β μ κτκόρυφη +μ Γι κάθε είνι κι επειδή η είνι συνεχής στο -, είνι γνησίως ύξουσ στο, είνι άρ η είνι γνησίως φθίνουσ στο, Γι κάθε είνι άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο, Η έχει τοπικό μέγιστο το Γι κάθε, Αν δοθεί κρόττο στο = φιρούμε τη μονάδ του κρότάτου B Η είνι πργωγίσιμη στο με Είνι γι κάθε, οπότε η είνι κοίλη σε κθέν πό τ διστήμτ, κι, Επειδή η είνι κοίλη στ, κι, δεν έχει σημεί κμπής B Η είνι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, οπότε ν έχει κτκόρυφη σύμπτωτη θ είνι στο Είνι lim lim άρ η (y y) είνι κτκόρυφη σύμπτωτη της C Είνι lim lim κι lim lim, η ευθεί y είνι πλάγι σύμπτωτη της C στο Είνι lim lim,άρ η ευθεί y ΤΜ το πρόσημο μ η κυρτότητ είνι πλάγι σύμπτωτη της C στο 7μ Β Β Ν φίνοντι: Μονοτονί Ακρόττο Κυρτότητ Ασύμπτωτες ψ=χ =

3 5μ Γ τετράγωνο κύκλος ΘΕΜΑ Γ Γ Επειδή με το τμήμ μήκους κτσκευάζουμε τετράγωνο, η πλευρά του τετργώνου έχει μήκος m κι εμβδόν m, 8 6 Με το υπόλοιπο σύρμ μήκους 8 mκτσκευάζουμε κύκλο κτίνς ρ, οπότε πρ 8 ρ Το εμβδόν του κύκλου είνι πρ π π π π Γ Μονοτονί Ακρόττο Το άθροισμ των εμβδών των δύο σχημάτων είνι: 8 π 6 6 π 6 56 Ε,,8 6 π π 6π Γ Η συνάρτηση Ε είνι πργωγίσιμη στο,8 με Ε π 6 π 6π 8π π Είνι Ε 8π π Γι κάθε είνι Ε άρ η Ε είνι γνησίως φθίνουσ στο, π π κι γι κάθε είνι Ε άρ η Ε είνι γνησίως ύξουσ στο,8 π π Η Ε προυσιάζει ελάχιστο γι π 8 Τότε η πλευρά του τετργώνου είνι κι η διάμετρος του κύκλου είνι ρ π ος τρόπος π Η Ε είνι πρβολή με οπότε προυσιάζει ελάχιστο γι 6π 8 π β τ άλλ όμοι π μ Γ Γ Είνι π lim Ε lim 5γιτί 6, π 6π π 5, 6 Ε κι lim Ε π π 8 Στο διάστημ Δ, π η Ε είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ, 6 οπότε έχει σύνολο τιμών το EΔ, π π E Δ υπάρχει μονδικό στο εσωτερικό του Δ τέτοιο, Επειδή το 5 βρίσκετι στο εσωτερικό του ώστε E 5 Στο διάστημ Δ,8 η Ε είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ, οπότε έχει σύνολο τιμών το π EΔ, π E Δ η εξίσωση E 5 είνι δύντη στο Δ Επειδή το 5 δεν νήκει στο μ κάθε όριο κι η κορυφή Σύνολο:6μ ος τρόπος: Αν ορίσει ο μθητής την E5,,8κι εφρμόσει σωστά το θεώρημ Bolzano δίνουμε 5μ

4 ος τρόπος π 656 Ε5 5π π 6π 5μ π 6665π () Δ 6 5π π κι ρίζες Η () έχει δικρίνουσ Το τριώνυμο () έχει S, P άρ, 6 8 5π π π 6 8 5π π π ος τρόπος Ε 5π π, 8 5π π 6π 6 ισχύει 8 5π π 6π π π π π π ισχύει 5 μ μέχρι εδώ Έστω π π, Είνι 568π, 8 6π κι π 6 άρ το τριώνυμο έχει δύο ρίζες (επειδή λλάζει πρόσημο), μι στο,8 κι μι 8, ΘΕΜΑ Δ Δ 7μ Δ μ μ Δ Η είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο με e κι e Είνι e e e Γι κάθε είνι, κι γι κάθε είνι άρ η είνι κοίλη στο άρ η είνι κυρτή στο, Η έχει σημείο κμπής το,, είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ υτό lim lim e κι επειδή η είνι συνεχής κι γνησίως Δ Επειδή η είνι κοίλη στο,, η Είνι φθίνουσ στο Δ,, έχει ντίστοιχο σύνολο τιμών το Δ, Επειδή είνι οπότε το μηδέν βρίσκετι στο εσωτερικό του Δ επομένως υπάρχει μονδικό στο εσωτερικό του Δ τέτοιο, ώστε Αφού η είνι γνησίως φθίνουσ γι κάθε είνι γνησίως ύξουσ στο, κι γι κάθε είνι είνι γνησίως φθίνουσ στο, Η προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο Επειδή η είνι κυρτή στο Δ, κι άρ η είνι άρ η, η είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ υτό e lim lim e lim φού Είνι e lim e lim DLH κι επειδή η επιπλέον είνι συνεχής έχει ντίστοιχο σύνολο τιμών το Το μηδέν βρίσκετι στο εσωτερικό του Δ Δ τέτοιο, ώστε Δ, μονδικό στο εσωτερικό του μ ΣΚ κι επομένως υπάρχει μ Πράγωγοι μ κυρτότητ μ Μονοτονί

5 6μ Δ μ Αφού η είνι γνησίως ύξουσ γι κάθε είνι γνησίως φθίνουσ στο είνι είνι άρ η, κι γι κάθε άρ η είνι γνησίως ύξουσ στο, Η προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο Δ Είνι e e, Όμως άρ, ος τρόπος Έστω ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε (), τότε επειδή η είνι γνησίως φθίνουσ στο, είνι κι -, οπότε πό την () προκύπτει που είνι άτοπο άρ μ μ 9μ Δ ος τρόπος Έστω ότι υπάρχει, τέτοιο, ώστε,, υπάρχει τέτοιο, ώστε, ος τρόπος,, ξ, > (, ) (, άρ Δ Γι Από το ΘRolle γι την στο ξ που είνι άτοπο φού οι ρίζες της είνι τ δύντη είνι e Είνι κι Η εφπτομένη της C στο έχει εξίσωση: y y Επειδή η είνι κυρτή στο, δηλδή στο, βρίσκετι πάνω πό κάθε εφπτομένη της στο διάστημ υτό, εκτός πό το σημείο επφής, άρ με την ισότητ ν ισχύει μόνο γι Επειδή, είνι οπότε κι d d () Θέτουμε u u d du Γι είνι u κι γι είνι u, οπότε u udu uu u du u u du 5 u u Από τις σχέσεις (),() προκύπτει ότι d 5 () Υπενθυμίσεις: Στο βθμολόγιο, στ κελιά όπου δεν ντιστοιχούν ερωτήσεις θεμάτων το φήνουμε κενό ή βάζουμε πύλ Μόνο ο Β βθμολογητής σημειώνει στο γρπτό τ σύμβολ: + (στυρός ένς ή περισσότεροι: έλλειψη - πράλειψη), (υπογράμμιση, πλή ή διπλή : σφάλμ), /; (μικρή γρμμή με ερωτημτικό στο περιθώριο: δυνμί, τέλει, σάφει οριστολογί κλπ), ( ) (πρένθεση: περιττό, φιρετέο ως μη ζητηθέν, εκτός θέμτος) 5