ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς
Το ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης
Tο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο κεηπραίνο παξάγνληαο ηπραίνο παξάγνληαο :Τηκή ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο ηπραία κεηαβιεηή όηαλ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή έρεη πάξεη ηελ ηηκή β ν β : Άγλσζηεο παξάκεηξνη : Τηκή ηεο αλεμάξηεηεο κεηαβιεηήο γλσζηή-κε ηπραία κεηαβιεηή ε ε...ε ν : Τπραία ζθάικαηα ηπραίεο κεηαβιεηέο πνπ θαηαλέκνληαη 6/3/ ζύκθσλα κε δεδνκέλε θαηαλνκή Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 3
Οι σποθέζεις ηοσ ζηαηιζηικού γραμμικού μονηέλοσ Σ. Οη πνζόηεηεο θαη είλαη άγλσζηεο παξάκεηξνη. Σ. Τν είλαη γλσζηόο αξηζκόο πην ζπγθεθξηκέλα είλαη ε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο ή ειεγρόκελεο ή πξνβιέπνπζαο κεηαβιεηήο θαηά ηελ επαλάιεςε ηνπ πεηξάκαηνο. Σ3. Τν είλαη ε ηηκή ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο ή κεηαβιεηήο απόθξηζεο θαηά ηελ επαλάιεςε ηνπ πεηξάκαηνο. Τν είλαη ηπραία κεηαβιεηή θαη ζα ζπκβνιίδνπκε κε y ηελ ηηκή πνπ ιακβάλεη απηή αλ εθηειεζηεί ην πείξακα θαη θαηαγξαθεί ην απνηέιεζκα πνπ παξαηεξείηαη γηα ηε κεηαβιεηή απόθξηζεο Υ παξαηεξνύκελε ηηκή ηεο Υ γηα. Σ4. Τα... είλαη ηπραία ζθάικαηα κε κέζε ηηκή θαη δηαζπνξά ζ δειαδή V E. Σ5. Τα ζθάικαηα θαη j j πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δηαθνξεηηθέο επαλαιήςεηο ηνπ πεηξάκαηνο ζεσξνύληαη αζπζρέηηζηα δειαδή ηζρύεη Cov 6/3/... Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης γηα j. j 4
Άμεζες ζσνέπειες από ηις σποθέζεις ηοσ ζηαηιζηικού γραμμικού μονηέλοσ E V Cov Cov j j 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 5
Ένα ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο Καηανομή ηων Υ E 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 6
Ένα ζηαηιζηικό μη γραμμικό μονηέλο 6/3/ 7
Οι εεη ζηο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 8
Μια βαζική ιδιόηηηα ηων εεη ζηο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 9
Απόδειξη: ] [ y θαη αθνύ βξίζθνπκε ηειηθά y νπόηε y Επίζεο Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 6/3/
Μια βαζική ιδιόηηηα ηων εεη ζηο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο Γηα ηνπο ζπληειεζηέο θαη... ηζρύνπλ νη επόκελεο ηαπηόηεηεο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης
Απόδειξη: v v v v. Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 6/3/
Άζκηζη /Σελίδα 67 Να δνζνύλ νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ θαη σο ζπλαξηήζεηο ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ ζηαηηζηηθό γξακκηθό κνληέιν E... ζηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο: α. ν=5 θαη 3... β. ν=6 θαη. γ. ν=5 θαη... 3 4 5 6... γηα ην 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 3
Άζκηζη /Σελίδα 66 Έζησ ην ζηαηηζηηθό γξακκηθό κνληέιν... γηα ην νπνίν ππνζέηνπκε όηη α. Να δεηρζεί όηη E β. Αλ j λα δεηρζεί όηη E E V.. j 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 4
Άζκηζη /Σελίδα 66 Γηα ηηο αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο 34 5 δίλεηαη όηη ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 5 3 3 3 4 3 4 θαη 5 5 5 όπνπ α θαη β είλαη άγλσζηεο παξάκεηξνη θαη κεηαβιεηέο κε E θαη V 34 5. 34 5 αζπζρέηηζηεο ηπραίεο α. Να βξεζνύλ νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ θαη ησλ παξακέηξσλ α θαη β. β. Να δεηρζεί όηη E θαη E γ. Να ππνινγηζηνύλ νη δηαζπνξέο ησλ θαη ζπλαξηήζεη ηνπ ζ. 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 5
Παράδειγμα.4./ /Σελίδα 65 Έζησ ην ζηαηηζηηθό γξακκηθό κνληέιν... Να απνδεηρζεί όηη νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ θαη κπνξνύλ λα γξαθνύλ ζηε κνξθή όπνπ θαη Πξόηαζε.4.... νη πνζόηεηεο πνπ ρξεζηκνπνηήζεθαλ ζηελ 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 6
Σύνουη τρήζιμφν ηύπφν 7 6/3/
6/3/ Μ. Κούτρας - Ανάλσση Παλινδρόμησης 8
Πρόηαζη.5. Οη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ θαη είλαη ακεξόιεπηεο εθηηκήηξηεο ησλ παξακέηξσλ β θαη β αληίζηνηρα δειαδή E E 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 9
Απόδειξη: E E E E E E θαη αληηθαζηζηώληαο ηηο κέζεο ηηκέο E ζα έρνπκε E E. Από ηηο ηειεπηαίεο πξνθύπηεη E θαη E. Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 6/3/
Λήμμα Ένα τρήζιμο αποηέλεζμα από ηις πιθανόηηηες Αν για... είναι ν αζςζσέηιζηερ ανά δύο ηςσαίερ μεηαβληηέρ Cov s s με V... ηόηε α. η διακύμανζη ηος γπαμμικού ζςνδςαζμού a όπος a... γνωζηέρ ζηαθεπέρ δίνεηαι από ηον ηύπο V a a.5. β. η ζςνδιακύμανζη μεηαξύ ηων γπαμμικών ζςνδςαζμών... και 6/3/ a και όπος a... είναι γνωζηέρ ζηαθεπέρ δίνεηαι από ηον ηύπο Cov a a..5. Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης
Πρόηαζη.5. Γηα ηηο εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ θαη ηζρύνπλ ηα επόκελα απνηειέζκαηα V V Cov Συμβολισμός: V και n V 6/3/
3 Απόδειξη: Αθνύ ζα έρνπκε V V θαη ην απνηέιεζκα πξνθύπηεη άκεζα. Επίζεο Cov ην άζξνηζκα πνπ εκθαλίζηεθε ζην δεμί κέινο ππνινγίδεηαη σο εμήο Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 6/3/
Πρόηαζη.5.3 Θεώρημα Gauss-Maov Οη εεη ησλ β β έρνπλ ηε κηθξόηεξε δπλαηή δηαθύκαλζε αλάκεζα ζε όιεο ηηο ακεξόιεπηεο εθηηκήηξηεο πνπ είλαη γξακκηθέο ζπλαξηήζεηο ησλ Υ. 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 4
5 Απόδειξη Έζησ κηα ακεξόιεπηε εθηηκήηξηα ηνπ. Τόηε έρνπκε: Γηα ηε δηαθύκαλζε πξνθύπηεη όηη Ελώ γηα ηελ ε.ε.η έρνπκε όηη E E V V V V Σύγκριση? Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης 6/3/
6 Αιιά Δειαδή V V Άξα 6/3/
Άζκηζη 4/Σελίδα 79 Έζησ νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ησλ παξακέηξσλ ηνπ ζηαηηζηηθνύ γξακκηθνύ κνληέινπ E... α. Να δεηρζεί όηη ν κέζνο όξνο ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ... είλαη αζπζρέηηζηνο κε ηελ εθηηκήηξηα ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ δειαδή Cov. β. Να δεηρζεί όηη Cov όπνπ είλαη ε δηαθύκαλζε ησλ. γ. Γηα θάζε... λα δεηρζεί όηη ε δηαθνξά είλαη αζπζρέηηζηε κε ην κέζν ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηώλ Cov.... δειαδή 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 7
Άζκηζη /Σελίδα 8 Γηα ηηο ηπραίεο κεηαβιεηέο 3 4 5 δίλεηαη όηη ηζρύνπλ νη ζρέζεηο a 5 a 3 3 a 3 4 a 3 4 5 a 5 5 όπνπ είλαη άγλσζηεο παξάκεηξνη θαη 3 4 5 είλαη ηπραίεο κεηαβιεηέο κε κέζε ηηκή δηαθύκαλζε. Επίζεο αλ j ππνζέηνπκε όηη ε κέζε ηηκή ηνπ γηλνκέλνπ j είλαη ίζε κε κεδέλ j 3 4 5. Έζησ â νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ησλ α θαη β θαη a ' ' νη εθηηκήηξηεο ' 3 4 5 4 5. 6 α. Να δεηρζεί όηη νη ' ' είλαη ακεξόιεπηεο εθηηκήηξηεο ησλ α β αληίζηνηρα. β. Να ππνινγηζηνύλ νη δηαθπκάλζεηο ησλ ' ' ζπλαξηήζεη ηνπ. γ. Να ππνινγηζηνύλ νη δηαθπκάλζεηο ησλ εθηηκεηξηώλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ â θαη λα ζπγθξηζνύλ κε ηηο αληίζηνηρεο δηαθπκάλζεηο ησλ ' '. δ. Να δεηρζεί όηη ηόζν νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ â όζν θαη νη ακεξόιεπηεο εθηηκήηξηεο ' ' είλαη αζπζρέηηζηεο. 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 8
Άζκηζη /Σελίδα 77 Έζησ νη εθηηκήηξηεο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ησλ παξακέηξσλ ζην ζηαηηζηηθό γξακκηθό κνληέιν όπνπ... E είλαη αζπζρέηηζηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο κε δηαθύκαλζε V.... Θεσξνύκε ηελ παξακεηξηθή ζπλάξηεζε όπνπ είλαη γλσζηέο ζηαζεξέο εθ ησλ νπνίσλ κία ηνπιάρηζηνλ δελ ηζνύηαη κε κεδέλ θαη ηελ εθηηκήηξηά ηεο. 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 9
Άζκηζη /Σελίδα 77ζσμέτεια Να δεηρζεί όηη α. ε είλαη ακεξόιεπηε εθηηκήηξηα ηεο παξακεηξηθήο ζπλάξηεζεο. β. ε είλαη γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ. γ. ε έρεη ηε κηθξόηεξε δηαθύκαλζε αλάκεζα ζε όιεο ηηο ακεξόιεπηεο εθηηκήηξηεο ηεο νη νπνίεο είλαη γξακκηθνί ζπλδπαζκνί ησλ.... Επίζεο ρξεζηκνπνηώληαο ηνπο ηύπνπο πνπ δίλνληαη ζηελ Πξόηαζε.5. λα δεηρζεί όηη ε δηαθύκαλζε ηεο δίλεηαη από ηνλ ηύπν V 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 3
Άζκηζη 4/Σελίδα 78 Δίλεηαη ην ζηαηηζηηθό γξακκηθό κνληέιν... όπνπ... είλαη αζπζρέηηζηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο πνπ θαζεκηά έρεη κέζε ηηκή θαη δηαθύκαλζε. Έζησ Z w u όπνπ. α. Να απνδεηρζεί όηη E u V u γηα... θαη όηη n Cov u u j γηα j θαη j.... β. Να απνδεηρζεί όηη Z w u.... γ. Με βάζε ην ακέζσο πξνεγνύκελν εξώηεκα λα βξεζεί ε εθηηκήηξηα ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ γηα ηελ παξάκεηξν ρξεζηκνπνηώληαο ην απνηέιεζκα ηνπ Παξαδείγκαηνο..3. Σηε ζπλέρεηα λα ιάβεηε ηνλ ηύπν ηεο εθηηκήηξηαο ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ηνπ πνπ δίλεηαη ζηελ Πξόηαζε.4.. 6/3/ Μ. Κούηρας - Αμάλσζη Παλιμδρόμηζης 3