Μέθοδοι Εξομάλυνσης Οι διαδικασίες της εξομάλυνσης (smoohig και της παρεμβολής (ierpolaio αποτελούν ένα περίπλοκο πεδίο έρευνας και γνώσης και έχουν άμεση πρακτική εφαρμογή στις οικονομικές επιστήμες.. Εξομάλυνση Η εξομάλυνση αποτελεί μία εργασία με την οποία προσπαθούμε να απαλείψουμε τις ακραίες τιμές που πιθανόν να παρατηρούνται σε μία χρονοσειρά με σκοπό να φανούν σε πρώτη φάση οι επιμέρους κινήσεις της και να αναγνωριστεί καλύτερα ο τρόπος συμπεριφοράς της. Εκτός από την αφαίρεση των ακραίων τιμών (κυρίως για τον προσδιορισμό της τάσης, μπορούν επίσης να αφαιρεθούν από μία χρονοσειρά περιοδικές ή κυκλικές κινήσεις αρκεί να είναι γνωστό το μέγεθός τους (έτσι ώστε να οριστούν οι κατάλληλοι κινητοί μέσοι.. Απλός Κινητός Μέσος (Simple -equally-weighed- Movig Average Το απλούστερο μοντέλο εξομάλυνσης είναι ο απλός κινητός μέσος. Η βασική παραδοχή πίσω αυτό το μοντέλο είναι ότι η χρονοσειρά είναι στάσιμη τοπικά με ένα αργά μεταβαλλόμενο μέσο όρο. Ως εκ τούτου, παίρνουμε ένα κινούμενο (τοπικό μέσο όρο για να εκτιμηθεί η τρέχουσα τιμή του μέσου όρου και στη συνέχεια να χρησιμοποιηθεί η τιμή αυτή ως πρόβλεψη για το εγγύς μέλλον. Ένας κινητός μέσος όρος οδηγεί σε μία "εξομαλυμένη" εκδοχή της αρχικής χρονοσειράς επειδή έχει ως αποτέλεσμα την απαλοιφή των ανωμαλιών της. Με την κατάλληλη ρύθμιση του βαθμού της εξομάλυνσης (πλάτος ή «παράθυρο» του κινητού μέσου, μπορούμε να πετύχουμε τη βέλτιστη ισορροπία μεταξύ της αρχικής χρονοσειράς και μίας υπερβολικά εξομαλυμένης χρονοσειράς από την οποία έχουν χαθεί σημαντικά χαρακτηριστικά. Στην συνέχεια θα θεωρήσουμε ότι η διαδικασία εξομάλυνση αποτελεί ουσιαστικά μια διαδικασία πρόβλεψης όπου η προβλεπόμενη τιμή αντιστοιχεί με την αντίστοιχη τιμή εξομάλυνσης... Κριτήρια αξιολόγησης μιας μεθόδου πρόβλεψης Σφάλμα πρόβλεψης(error: e Y Y: πραγματική τιμή : προβλεπόμενη τιμή Μέσο απόλυτο σφάλμα(mea Absolue Error: MAE e MAE Y Η μονάδα μέτρησης του ΜΑΕ είναι ίδια με αυτή των τιμών της χρονοσειράς. Στον υπολογισμό του ΜΑΕ λαμβάνονται υπόψη μόνο οι απόλυτες τιμές και όχι οι πραγματικές τους τιμές. Αυτό σημαίνει ότι το ΜΑΕ από θετικές ή αρνητικές τιμές του σφάλματος, είναι
ανεξάρτητο δηλαδή από το αν οι τιμές των προβλέψεων είναι μικρότερες (υποεκτίμηση ή μεγαλύτερες (υπερεκτίμηση των πραγματικών τιμών. Μέσο τετράγωνο σφάλματος (mea square error: Μέσο τετραγωνικό σφάλμα (roo mea square error: MSE RMSE e Y e Ποσοστιαίο σφάλμα (perceage error: PE 00 00 Y Y Y Μέσο ποσοστιαίο σφάλμα: MPE PE 00 Y MSE Μέσο απόλυτο ποσοστιαίο σφάλμα (mea absolue perceage error: Άθροισμα των τετραγώνων των σφαλμάτων: SSE e e MAPE Παράδειγμα Στον παρακάτω πίνακα δίδονται οι πωλούμενες μονάδες ενός νέου προϊόντος για τους πρώτους έξι μήνες κυκλοφορίας του. Επίσης δίδονται οι προβλέψεις του επόμενου μήνα, οι οποίες ορίστηκαν ίσες με τις πωλήσεις του επόμενου μήνα. Να βρεθούν τα MAE, MSE, RMSE, MPE, MAPE. Μήνας Πωλήσεις Πρόβλεψη Σφάλμα Y e e e e /Y E/Y 0 0 - - - - - - 00 0-0 0 00 0,0-0,0 0 00 0 0 400 0,7 0,7 0 0-0 0 00 0,09-0,09 4 0 0 0 0 00 0,08 0,08 40 0 0 0 400 0,4 0,4 ΑΘΡΟΙΣΜΑ 0 70 00 0,8 0,0 Πίνακας.: Δεδομένα του παραδείγματος. MAE MSE RMSE MAPE e e 70 4 00 MSE 4,8 Y Y 0 Y e MPE Y Y SSE e e Y 0,0 0,04 0,8 0,6 PE
.. Απλός Μέσος Σύμφωνα με τη μέθοδο του απλού μέσου η πρόβλεψη δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Y i i : η πρόβλεψη που γίνεται στο τέλος της χρονικής περιόδου και αφορά τη χρονική περίοδο + ενώ Y Y,..., Y είναι οι παρατηρήσεις / τιμές της τυχαίας μεταβλητής. Δηλαδή η πρόβλεψη τη χρονική στιγμή + είναι ο μέσος όρος όλων των προηγούμενων διαθέσιμων τιμών. Y Y,..., Y.. Απλός Κινητός Μέσος Κ- Περιόδων Με τη μέθοδο του απλού μέσου, όλες οι τιμές της χρονοσειράς από τις πιο παλιές μέχρι και τις πιο πρόσφατες συμμετέχουν με την ίδια βαρύτητα στη διαμόρφωση της πρόβλεψης. Για να το αποφύγουμε αυτό χρησιμοποιούμε τον κινητό μέσο k περιόδων: Y i k ik ( Y Y... Y k ( Y Y... Y k k k Σύμφωνα με τη μέθοδο του κινητού μέσου k περιόδων, η πρόβλεψη για τη χρονική στιγμή + υπολογίζεται ως ο μέσος όρων των k προηγούμενων χρονικών περιόδων. Παράδειγμα.4 Στο πίνακα που ακολουθεί δίδονται οι εβδομαδιαίες πωλήσεις δίσκων, cd, ενός καταστήματος για τις τελευταίες δέκα εβδομάδες. Υπολογίζονται οι προβλέψεις χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του κινητού μέσου για k= και k= αντίστοιχα. Εβδομάδα Πωλήσεις k= k= Y e e e e 0 - - - - - - 40 - - - - - - 0 - - - - - - 4 4 40 - - - 6 4 0 400 - - - 6 0, -,, 46 4 6 7,,07,78 0 8 0 6,7-6,07 44,4-9 9 60,67 8, 69,44 7 49 0 70 6 4 96 60 7 Πίνακας.4: Παράδειγμα εφαρμογής του απλού κινητού μέσου 0 e 4 SSE 777,78 (k=
4 7 0 e 6 SSE (k= Για τη περίπτωση του κινητού μέσου εβδομάδων k= η πρόβλεψη την τέταρτη εβδομάδα υπολογίζεται ως εξής: 4 ( Y Y Y 40 Για τη η εβδομάδα ( Y Y Y 0 9 8 60 0 4 Για την περίπτωση του κινητού μέσου περιόδων MSE e ( SSE, 7 7 0 6 9 Για την περίπτωση του κινητού μέσου περιόδων (k= MSE e 9 Σχήμα.: Εξομάλυνση με τη μέθοδο του απλού κινητού μέσου -περιόδων για τα δεδομένα του παραπάνω πίνακα Επειδή η τιμή του MSE για k= είναι μικρότερη από την τιμή για k= Η μέθοδος του κινητού μέσου περιόδων είναι καλύτερη από αυτή των περιόδων και την συγκεκριμένη χρονοσειρά. Αν θέλουμε να προβλέψουμε τις πωλήσεις για την η εβδομάδα? Το πρόβλημα είναι ότι μας λείπουν τα δεδομένα για την 0 η εβδομάδα. Έστω k= ( Y Y0 Y9 Y οπότε Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ( Y Y0 Y9 6,
..4. Απλή Εκθετική Εξομάλυνση Η βαρύτητα των προγενέστερων τιμών της υπο πρόβλεψη μεταβλητής στην διαμόρφωση της τιμής της πρόβλεψης μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Η μέθοδος της εκθετικής εξομάλυνσης χρησιμοποιείται στον βραχυπρόθεσμο προγραμματισμό και έλεγχο της παραγωγής. a( Y ( α σταθερά εξομάλυνσης 0 α Από την ( ay a ay ( a Η τιμή της πρόβλεψης για την χρονική στιγμή (+ προκύπτει σταθμίζοντας την πιο πρόσφατη παρατηρηθείσα τιμή της μεταβλητής Y με βαρύτητα α και την πιο πρόσφατη πρόβλεψη με βαρύτητα (-α. Αν στην παραπάνω σχέση αντικαταστήσουμε τις προγενέστερες προβλέψεις έχουμε: ay a( a Y a( a Y... a( a Y ( a Άρα η πρόβλεψη με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης διαμορφώνεται στην πραγματικότητα από όλες τις προγενέστερες τιμές της υπό πρόβλεψης μεταβλητής, η βαρύτητα όμως των παλαιότερων τιμών μειώνεται εκθετικά. Παράδειγμα. Οι πωλήσεις υποδημάτων (σε χρηματικές μονάδες των τελευταίων εβδομάδων της επιχείρησης «ΥΠΟΔΗΜΑ Α.Ε» δίνονται στον Πίνακα.. Στον πίνακα αυτό δίνονται επίσης προβλέψεις της χρονοσειράς με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης, καθώς και αντίστοιχες τιμές των σφαλμάτων της πρόβλεψης για α=0, και α=0,7. Εβδομ άδα Πωλήσεις Y α=0, e e α=0,7 6,00 - - - - - - 7,0 6,00 9,0 68,64 6,00 9,0 68,64 84,0 9,84 4,66 608, 69,44,06 6,80 4,0 64,77 -,7,9 79,98-6,78 77,8 68,90 6,46 6,44 4,0 6, 7,67 8,76 6 9,0 6,7-4,4 9,77 66,60-7,0,0 7 7,40 6,86 8,4 7,99 6,49 9,9 98, 8 67,40 64,7,8 8,0 68,4 -,0,0 9 60,0 6, -,0, 67,7-7,6 7,88 0 4,80 64, -9, 86,97 6,8-7,8 7,49 7,0 6,6,4 6, 7,07 6,4 69,79 74,0 64, 9,69 9,9 68,7,6,67 7,00 66,4 8, 7,6 7,,49 6,9 4 74,0 68,6,94, 74, -0, 0,0 7,0 69,,8 4,8 74, -0,9 0,90 6 70,.708,8 SSE 7,48 e e.947,9 8 =SSE Πίνακας.: Δεδομένα Παραδείγματος. και προβλέψεις με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνσης για α=0, και α=0,7
Ενδεικτικά η πρόβλεψη και υπολογίζεται ως ακολούθως: 0,Y ( 0, ( 0,(7,0 (0,8(6,00 9,84 των πωλήσεων της τρίτης εβδομάδας, για α=0,, είναι ίση με 9,84 Ενώ η αντίστοιχη τιμή του σφάλματος της πρόβλεψης είναι: e Y 84,0 9,84 4,66 Με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζονται και οι υπόλοιπες τιμές του πίνακα. που αφορούν τις προβλέψεις και τα σφάλματα των άλλων εβδομάδων για α=0,. Η πρόβλεψη των αναμενόμενων πωλήσεων για τη δέκατη έκτη εβδομάδα που προκύπτει από τη μέθοδο αυτή, για α=0, είναι ίση με 70, δηλαδή: 0,Y ( 0, 6 ( 0,(7,0 (0,8(69, 70, Η τιμή αυτή μπορεί να βρεθεί και από τη σχέση (, ως εξής: 0, e 6 69, (0,(,8 70, Η μέθοδος της απλής εκθετική εξομάλυνσης εφαρμόζεται ανάλογα και για τον προσδιορισμό των προβλέψεων και των τιμών των σφαλμάτων της πρόβλεψης που αφορούν τα δεδομένα του παραδείγματος για α= 0,7, ενώ τα αποτελέσματα που προκύπτουν παρουσιάζονται και αυτά στον πίνακα.. Επιπρόσθετα, στα σχήματα. και. απεικονίζεται η εξομάλυνση της χρονοσειράς για α=0, και α=0,7 αντίστοιχα για τις εβδομάδες μέχρι, καθώς και η πρόβλεψη για τη δέκατη έκτη εβδομάδα. Το μέσο σφάλμα τετραγώνου της χρονοσειράς, για α=0,, είναι: 6 MSE 4 e.708,8,06 4 Ενώ για α=0,7 είναι: MSE 4 e.947,98 9,4 4 Επειδή η τιμή του MSE για α=0, είναι μικρότερη από την αντίστοιχη τιμή για α=0,7, η μέθοδος της απλής εκθετικής εξομάλυνσης αναμένεται να δώσει καλύτερες προβλέψεις για α=0,, με την προϋπόθεση ότι θα ισχύουν στο μέλλον οι ίδιες συνθήκες που ίσχυαν και στο παρελθόν. Σημειώνουμε ότι η «άριστη» τιμή της παραμέτρου α που ελαχιστοποιεί την τιμή του κριτηρίου MSE για τα δεδομένα της χρονοσειράς του παραδείγματος αυτού είναι ίση με 0,8
(MSE=9,64 και δίνει πρόβλεψη πωλήσεων για τη δέκατη έκτη εβδομάδα ίση με 7,6 χρηματικές μονάδες. 7 Σχήμα.: Εξομάλυνση με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνση για α=0, για τα δεδομένα του παραδείγματος.. Σχήμα.: Εξομάλυνση με τη μέθοδο της απλής εκθετικής εξομάλυνση για α=0,7 για τα δεδομένα του παραδείγματος... Διπλός Κινητός Μέσος Η μέθοδος του διπλού κινητού μέσου (double movig average μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη των τιμών μιας χρονοσειράς οι παρατηρήσεις της οποίας παρουσιάζουν ανοδική ή πτωτική πορεία που εκφράζεται από γραμμική τάση. Μεθοδολογία α Υπολογίζεται ο απλός κινητός μέσος m-περιόδων M ως εξής:
8 M m Y j m j β Υπολογίζεται ο διπλός κινητός μέσος m-περιόδων Μ M ' m M j m j γ Υπολογίζεται η διαφορά α ως εξής: a M M ' δ Υπολογίζεται ο παράγοντας προσαρμογή της τάσης b b ( M M ' m ε Υπολογίζεται η πρόβλεψη +h για την h μελλοντική περίοδο ως: a hb h Η μέθοδος αυτή για h> μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διενέργεια προβλέψεων για περισσότερες από μια μελλοντικές περιόδους, ενώ για h= δίνει την πρόβλεψη για την επόμενη περίοδο. Παράδειγμα.6 Στον πίνακα.6 παρουσιάζονται οι προβλέψεις των δεδομένων της χρονοσειράς του παραδείγματος.4 που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου του διπλού κινητού μέσου - περιόδων. Y M M 0 - - - - - - 40 - - - - - - 0 - - - - - - 4 4 40,00 - - - - - 6 4,00 - - - - - 6 0, - - - - - 7, 46, 60,6 7, - - 8 0 6,67 0,6 6,78 6, 67,78-7,78 9 60,67 4,44 48,89 -,78 68,89-8,89 0 70,00,89 6,, 46,,89 Πίνακας.6: Προβλέψεις με τη μέθοδο του διπλού κινητού μέσου -περιόδων a b 7, 8, Ενδεικτικά, ο απλός κινητός μέσος -περιόδων της περιόδου 0 υπολογίζεται ως εξής: M0 ( Y9 Y8 Y7 60 0 Ενώ ο διπλός κινητός μέσος της ίδιας περιόδου είναι: e
9 M0 ( M 9 M 8 M 7,67 6,67,,89 Έτσι η διαφορά a 0 ισούται με: a 0 M0 M0 ((,89 6, Και η τάση b 0 με: b0 ( M0 M0 m (,89, Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να υπολογίσουμε και τις υπόλοιπες τιμές του πίνακα.6. Η πρόβλεψη για την ενδέκατη εβδομάδα, δηλαδή για h=, υπολογίζεται ως ακολούθως: a hb 6, ((, 0 0 7, Ενώ για δωδέκατη εβδομάδα, δηλαδή για h=, ως: a hb 6, ((, 0 0 8, κ.ο.κ Σημειώνουμε ότι οι δυο παραπάνω προβλέψεις διαμορφώνονται στο τέλος της δέκατης εβδομάδας με βάση τις τιμές των και. Όταν στο τέλος της ενδέκατης εβδομάδας γίνει a 0 b 0 γνωστή η νέα τιμή της χρονοσειράς, δηλαδή η Y, τότε μπορούμε να αναθεωρήσουμε την πρόβλεψη της δωδέκατης εβδομάδας, λαμβάνοντας υπ όψιν τις τιμές των a και προκύπτουν. b που
0