Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Κβαντομηχανική Ι Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζειρ V: Σςνεσέρ Φάζμα, Χώπορ ηυν Οπμών και Ελεύθεπο ζυμάηιο Θέινπκε λα βξνύκε ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο ησλ δπν βαζηθώλ κεγεζώλ, ηεο ζέζεο, x, θαη ηεο νξκήο, βάζεη ησλ νπνίσλ κπνξνύκε λα ππνινγίζνπκε νπνηαδήπνηε θπζηθή πνζόηεηα, Ax,. Σν λέν ραξαθηεξηζηηθό πνπ εηζάγνπλ νη δπν απηέο θπζηθέο πνζόηεηεο είλαη όηη νη ηηκέο πνπ κπνξνύλ λα πάξνπλ (ε ζέζε θαη ε νξκή) είλαη ζπλερείο, ελώ έσο ηώξα έρνπκε αλαθεξζεί ζε θπζηθέο πνζόηεηεο πνπ παίξλνπλ δηαθξηηέο, αξηζκήζηκεο ηηκέο (π.ρ. ε ελέξγεηα ζσκαηηδίνπ ζε απεηξόβαζν πεγάδη). ηελ πεξίπησζε ηεο νξκήο πξέπεη λα ιύζνπκε ηελ εμίζσζε δει. πξέπεη λα βξνύκε ηηο f κνξθή ηνπ ˆ ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ, ε (5.) γίλεηαη: ˆ f x f x (5.) x θαη ηηο αληίζηνηρεο ηηκέο ηεο νξκήο. Αληηθαζηζηώληαο ηε Η ιύζε ηεο δηαθνξηθήο εμίζσζεο είλαη i x f x f x f x A ix (5.) όπνπ A κηα ζηαζεξά θαλνληθνπνίεζεο. Παξαηεξνύκε όηη ε (5.) πιεξνί ηελ (5.) θαη δελ ππάξρεη θάπνηνο πεξηνξηζκόο ζηελ παξάκεηξν.. Θεώπημα πληπόηηηαρ για ηιρ f x Η έθθξαζε (5.) παξνπζηάδεη δπν λέα ραξαθηεξηζηηθά, ζε ζρέζε κε ό,ηη έρνπκε θάλεη σο ηώξα: α) δελ θαλνληθνπνηείηαη! β) ε ηδηνηηκή, δελ παίξλεη δηαθξηηέο ηηκέο, δει. αξηζκήζηκεο κέζσ θάπνηνπ δείθηε, έζησ. Αλη απηνύ, ε κπνξεί λα πάξεη νπνηαδήπνηε ηηκή. Λέκε όηη ην «θάζκα» ηεο νξκήο είλαη «ζπλερέο». [Δλ αληηζέζεη, π.ρ. κε ην θάζκα ηεο ελέξγεηαο ζην απεηξόβαζν πεγάδη, πνπ έρεη κόλν ηηο ηηκέο E, E, E 3,... ]. α) Η αδπλακία θαλνληθνπνίεζεο είλαη πξνθαλήο αθνύ ην αληίζηνηρν νινθιήξσκα δελ ζπγθιίλεη: f x dx A dx β) Σν ζπλερέο ηνπ θάζκαηνο έρεη σο απνηέιεζκα όηη δελ μέξνπκε πσο λα εθθξάζνπκε ηελ θαζεηόηεηα δπν ηδηνζπλαξηήζεσλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζε δηαθνξεηηθέο ηδηνηηκέο, έζησ θαη, αθνύ ην Krockr δέιηα,, νξίδεηαη κόλν γηα αθέξαηα θαη, θαη όρη γηα ζπλερή,. ειίδα από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
Υξεηαδόκαζηε ηε γελίθεπζε ηνπ ζηελ πεξίπησζε ζπλερώλ «δεηθηώλ». Η απάληεζε, όπσο ζα δείμνπκε, είλαη ε ζπλάξηεζε ηνπ Dirac,. Γηα λα δείμνπκε ην σο άλσ, ζεσξνύκε ηε κέηξεζε κηαο ζπλερνύο πνζόηεηαο, έζησ ηεο νξκήο. Έζησ όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε ελόο ζσκαηηδίνπ x είλαη γλσζηή, θαη ζέινπκε λα ππνινγίζνπκε ηελ πηζαλόηεηα εκθάληζεο κηαο ζπγθεθξηκέλεο ηηκήο ηεο νξκήο, έζησ. Γηα λα γίλεη απηό, πξέπεη λα εθθξάζνπκε ηελ x σο γξακκηθό ζπλδπαζκό ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηνπ ˆ, δει. ησλ Υξεηαδόκαζηε ην αλάινγν ηεο έθθξαζεο f x. x c x (5.3) πνπ είρακε ζηελ πεξίπησζε πνπ ζέιακε λα κεηξήζνπκε ηελ ελέξγεηα ελόο ζσκαηηδίνπ κε θπκαηνζπλάξηεζε x ζε απεηξόβαζν πεγάδη. Μόλν πνπ ηώξα, ν δείθηεο ζηε x δελ είλαη αξηζκήζηκνο. Έζησ ινηπόλ όηη ν δείθηεο είλαη κηα ζπλερήο πνζόηεηα. ε απηή ηελ πεξίπησζε, d και c c Οπόηε, όηαλ ην δελ είλαη αθέξαηνο, ε (5.3) γξάθεηαη x d c x Σν κόλν πνπ απνκέλεη είλαη λα βξνύκε ηε ζπλάξηεζε ζηελ (5.3) ε πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο ηηκήο ζα είλαη (5.4) c d c. ε αλαινγία κε ηνπο ζπληειεζηέο c Δπαλαιακβάλνληαο ηα βήκαηα ππνινγηζκνύ ησλ c ζην δηαθξηηό θάζκα, ζα έρνπκε: x c f x x da ca f x a Σν θιεηδί ζηνλ ππνινγηζκό ησλ c (5.3) είλαη ε θαζεηόηεηα ησλ f γηα δηαθνξεηηθέο ηηκέο ηνπ : f f f x f x dx (5.5) Η αληίζηνηρε ζπλζήθε όηαλ θαη είλαη ζπλερείο αξηζκνί, έζησ a θαη b, ζα είλαη a b a b f f f x f x dx a b (5.6) Σν ζθεπηηθό πνπ νδεγεί ζηε (5.6) είλαη: όηη γηα λα είλαη εθηθηόο ν ππνινγηζκόο ηνπ λα ηζρύεη κηα εμίζσζε ηεο κνξθήο f x f x dx " " a b a, b ca, πξέπεη όπνπ '' '' ab, είλαη κηα πνζόηεηα ίζε κε κεδέλ όηαλ a b θαη επηπιένλ πξέπεη λα έρεη ηελ εμήο ηδηόηεηα: ειίδα από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
f c f f f da c a f f b b a c c da c a '' '' ba c b (5.7) Η (5.7) είλαη ν νξηζκόο ηεο θαηαλνκήο Dirac: ε '' '' ba, είλαη απιώο ε ζπλάξηεζε ηνπ Dirac, b a. Πεξηζζόηεξα γηα ηελ Dirac θαη ηηο ηδηόηεηέο ηεο ζην καζεκαηηθό ζπκπιήξσκα. Δθαξκόδνληαο ηελ (5.6) ζηελ πεξίπησζε ηεο νξκήο, βιέπνπκε όηη ηώξα κπνξνύκε λα θαλνληθνπνηήζνπκε ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο νξκήο. Έζησ δπν ηδηνζπλαξηήζεηο κε ηδηνηηκέο θαη αληίζηνηρα: ix i x f x A f x A Η (5.6) δίλεη f f Αληηθαζηζηώληαο ηηο f θαη f : A A dx A A ix ix θαη άξα, ε ηδηνζπλάξηεζε ηεο νξκήο ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ, γηα ηηκή ηεο νξκήο, δει. ε δίδεηαη σο: f x ix πρλά δνπιεύνπκε κε ηνλ θπκαηαξηζκό k, fk x ζπκόκαζηε ηε δηαθνξά ζηελ θαλνληθνπνίεζε: Πεπίλητη: ην δηαθξηηό θάζκα, έρνπκε f x fk x ikx ην ζπλερέο έρνπκε f x,. Δδώ απιώο πξέπεη λα c f x, q c, a Αλ έρνπκε ηελ θπκαηνζπλάξηεζε ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ, θπκαηνζπλάξηεζε ζην ρώξν ησλ νξκώλ: ix x c f xd c d c a f x dx a c a da x, κπνξνύκε λα βξνύκε ηελ (5.8) ειίδα 3 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
Η (5.8) δείρλεη όηη ε c ή θαη, c είλαη απιώο ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourir ηεο x! Γξάθνληαο ix x dx ειίδα 4 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ (5.9) ikx k x dx (5.) Άξα ηώξα μέξνπκε πσο λα ππνινγίζνπκε ηελ πηζαλόηεηα εκθάληζεο κηαο ηηκήο ηεο νξκήο: ππνινγίδνπκε ηελ γηα ηελ νξκή! k θαη ην k. Παπαδείγμαηα ςπολογιζμού ηηρ πιθανόηηηαρ ηηρ. Επίπεδο κύμα Έζησ επίπεδν θύκα κε κόλν έλα θπκαηαξηζκό, k : Η θπκαηνζπλάξηεζε ζην ρώξν ησλ νξκώλ, dk καο δίλεη ηελ πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ηηκήο k x ikox k δίδεηαη σο: ikx ikk x k x dx dx k k o Όπσο θαη αλακέλνπκε, κόλν κηα ηηκή ηεο νξκήο είλαη δπλαηή, ε k. (Η νξκή,, είλαη k ).. Επίπεδο κύμα ζηο x Έζησ ην ίδην επίπεδν θύκα κε έλα θπκαηαξηζκό, k, πνπ έρεη ηώξα θνπεί γηα ηηκέο x. Η θπκαηνζπλάξηεζε ζην ρώξν δίδεηαη σο: ikx x, x Γηα λα βξνύκε ηελ πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο ηηκήο k (ή ηελ ). Υξεζηκνπνηνύκε ηελ (5.): ikx k dx i k k k ηεο νξκήο, πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ηελ si k i k x i k k x k k k Καη επνκέλσο ε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ηηκήο k δίδεηαη σο:
k k k dk si dk (5.) k k ΓΙΑΓΡΑΜΜΑ ΥΟΛΙΑ ΓΙΑΓΡΑΜΜΑΣΟ Η (5.) παίξλεη ζεκαληηθέο ηηκέο όζν k. Οη ξίδεο ηεο είλαη: ην ρώξν, ην εύξνο ηεο x, k k k k είλαη x. Παξαηεξνύκε, δε, όηη xk :.3 Βήμα ζηο σώπο ηυν οπμών Έζησ ε θπκαηνζπλάξηεζε k γηα k k ησλ ζέζεσλ: θαη k ikx ikx k ix ix x, dk k k ix ix ik x ikx ix ix ix si x x k γηα kk. ην ρώξν ik x si x x Όηαλ x x θαη ην εύξνο ζην ρώξν δίδεηαη σο, x x.4 Εκθεηική ζςνάπηηζη ζηο σώπο x xx Έζησ όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε ελόο ζσκαηηδίνπ δίδεηαη σο ζπλαληάηαη ζε κπνδόλην κάδαο M πνπ αληηζηνηρεί ζε δύλακε κε εύξνο R : Ο κεηαζρεκαηηζκόο Fourir είλαη Δπνκέλσο MR με M R x ikx x x k dx ik x ik ik x x. Η κνξθή απηή ειίδα 5 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
k k M x k Αλαγλσξίδνπκε ηε κνξθή ηνπ δηαδόηε (από ηελ «Δηζαγσγή ζηελ Ππξεληθή θαη ηνηρεηώδε σκάηηα»)..5 Gaussia ζηο σώπο ηυν θέζευν Έζησ έλα παθέην κε θαηαλνκή θαηά Gauss (Gaussia): όπνπ 4 x x. Δίλαη εύθνιν λα επηβεβαηώζνπκε όηη ε x είλαη θαλνληθνπνηεκέλε: (5.) / / / x x dx dx Θέινπκε λα βξνύκε ηηο πηζαλέο ηηκέο ηεο νξκήο θαη ηελ πηζαλόηεηα εκθάληζεο ηεο θάζε ηηκήο. Θπκόκαζηε όηη ε γεληθή κνξθή ηεο Gaussia ;, G x x, γξάθεηαη Η (5.3) έρεη σο ηδηόηεηεο: Gx; x, x x x (5.3) Η ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο ζην ρώξν δίδεηαη σο πγθξίλνληαο κε ηηο (5.3) θαη (5.4) έρνπκε: Γηα λα βξνύκε ηελ νξκή, πξέπεη λα βξνύκε ηελ Με ηελ x x x (5.4) dp x x x x (5.5) dx x x x (5.6) x k ζην αλάπηπγκα ikx k dk (5.7) k γλσζηή, ε πηζαλόηεηα εύξεζεο ηεο k είλαη k dk. Γηα λα βξνύκε ηελ k ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ αληίζηξνθν κεηαζρεκαηηζκό Fourir, δει. ηελ αληίζηξνθε ηεο (5.7): 4 ειίδα 6 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ x ikx, ikx k x dx dx (5.8) Σν νινθιήξσκα ζηελ (5.8) είλαη ηεο κνξθήο:
Δπνκέλσο ε a x x ax a 4a 4a ax x a 4a 4a I a, b dx dx dx a k γξάθεηαη ην ζπγθεθξηκέλν νινθιήξσκα (5.9) 4 4 4a k I, ik a θαη άξα: k ik και a 4a 4 4 k k k Η δε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο ηεο νξκήο k, k δίδεηαη από ηελ έθθξαζε k k (5.) Βιέπνπκε όηη όπσο ε ζέζε ηνπ ζσκαηηδίνπ ζην ρώξν δελ έρεη κόλν κηα δπλαηή ηηκή, (έρνπκε κόλν ηελ θαηαλνκή ηεο πηζαλόηεηαο λα βξεζεί ζε νπνηνδήπνηε ζεκείν, έζησ x ) θαη ε νξκή ηνπ δελ έρεη κηα ζπγθεθξηκέλε ηηκή, έζησ k, αιιά έλα εύξνο ηηκώλ. Η δε θαηαλνκή ηεο πηζαλόηεηαο ζην ρώξν ησλ νξκώλ είλαη επίζεο κηα Gaussia. Η κέζε ζέζε, x, θαη ην ίδην ηζρύεη γηα ηε κέζε νξκή. Αο ππνινγίζνπκε ηε δηαζπνξά ησλ x θαη, x θαη k. Εύρος της x : Από τις (5.5) και (5.4) : x x x xk k x Εύρος της : Από τις (5.8) και (5.4) : k k k Καη επεηδή k ζπκπεξαίλνπκε: Δλ νιίγνηο, όζν πην ζηελή ε Gaussia ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ, ηόζν πην θαξδηά ζην ρώξν ησλ νξκώλ. Απηό είλαη γεληθή ηδηόηεηα ηνπ κεηαζρεκαηηζκνύ Fourir: xk. Δπξηζηηθά, κπνξνύκε λα δνύκε όηη απηό ηζρύεη σο εμήο: έζησ όηη ε k ikx f x f k dk (5.) f έρεη θάπνην αθξόηαην ζην k. Αλαπηύζζσ γύξσ από απηό: ειίδα 7 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
Έζησ k f k f k kf k k f k! f ζπκκεηξηθή γύξσ από ην k, δει. k k u. Η (5.) γξάθεηαη ikx iux f x f k u du Βιέπνπκε όηη ε ζπλάξηεζε ζην νινθιήξσκα ζα έρεη κεγάιεο ηαιαληώζεηο (θαη άξα ζα «ζβήλεη») εθηόο από ηελ πεξηνρή ux. 3. Ελεύθεπο ζυμάηιο και σπονική εξέλιξη Έζησ όηη γηα t, ε θπκαηνζπλάξηεζε ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ δίδεηαη από ηελ (5.). Πσο ζα εμειηρζεί ε x, ζην ρξόλν; Η ηαρύηεηα θάζεο ηνπ θύκαηνο είλαη,, /, ikx ikx x A k x t A it E k k Δπνκέλσο δελ κπνξεί λα έρνπκε σταθ k. Γηα λα «δηαδνζεί» ε x, / θάηη πξέπεη λα πεξηνξηζζεί ρσξηθά, δειαδή δελ κπνξεί λα απνηειείηαη από κόλν έλα επίπεδν θύκα (δει. κηα νξκή, έζησ k ) αιιά από άζξνηζκα νξκώλ: x, ˆ ith, / ikx x t dk k ikx k dk dk k dk k ˆ ith ikx ikxt (5.) 3. Πακέηο Gaussia Αο πάξνπκε ηελ πεξίπησζε ηνπ Gaussia παθέηνπ: γηα ην νπνίν βξήθακε Από ηελ (5.) παίξλνπκε: /4 x, x / ή k / k /4 4 ειίδα 8 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
όπνπ ζέζακε N k / ikx ik t x, t dk /4, it x k / /4 xak kdk a / /4 /4a i t a θαη ix. ixk dk Γηα λα εθαξκόζνπκε ηελ (5.9), ππνινγίδνπκε ηνλ εθζεηηθό όξν: όπνπ νξίζακε ην t : x x x t x it 4 4a t Δπνκέλσο, κε ρξήζε ηεο (5.9), έρνπκε: Η ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο είλαη t it it, tx / x t t (5.3) t x / t x / t x, t t. N t t t t x / R it t i it t t t x Δπνκέλσο θαη άξα όπνπ R t x, t t t / t x (5.4) ειίδα 9 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
Οξίδνληαο κηα λέα παξάκεηξν, c, Σν εύξνο ζην x, δίδεηαη σο: it it / c it t c t x, t, ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο ζην ρώξν είλαη c cx (5.5) t t R t R x t xt t θαη εθόζνλ x, αληηθαζηζηώληαο ην βξίζθνπκε ηε δηαζπνξά ζην x ζε ρξόλν t, xt, σο ζπλάξηεζε ηεο δηαζπνξάο ζε ρξόλν, x, σο: xt x 4 t 4 x Βιέπνπκε όηη όζν πεξλάεη ν ρξόλνο, ε αβεβαηόηεηα ζην x απμάλεηαη: ην θπκαηνπαθέην «απιώλεηαη» ζην ρώξν. Μπνξνύκε λα εθαξκόζνπκε ην απνηέιεζκα απηό ζηελ πεξίπησζε ελόο ειεθηξνλίνπ ζε άηνκν πδξνγόλνπ. Θεσξνύκε όηη κε θάπνην ηξόπν πεξηνξίδνπκε ην ειεθηξόλην ζην / ηεο a c, 3 7 kg g t x 7, t 7 t Πεξίνδνο ηνπ ειεθηξνλίνπ: x x t x t (έλαο ηξνκαθηηθόο αξηζκόο!) t 4 T a a v c 6 s ε κηα πεξίνδν, 4 x x a δει. ην θπκαηνπαθέην ηνπ ειεθηξνλίνπ έρεη απισζεί ηόζν t πνιύ πνπ ε αβεβαηόηεηα ζηε ζέζε είλαη x t αθηίλεο! Θεσξείζηε ηώξα έλα θόθθν ζθόλεο κε κάδα g θαη αθξίβεηα ζέζεο θαη έζησ όηη ζέινπκε λα δνύκε ηνλ θόθθν λα απνθηά αβεβαηόηεηα % κεγαιύηεξε. Ο ρξόλνο πνπ ζα απαηηεζεί γη απηό δίδεηαη σο: ειίδα από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
3 g, x t, t 7 t 3 44 4 9 x t, t sc έηε 44 xt x t, x 3. Γενικόηεπη θεώπηζη ηηρ σπονικήρ εξέλιξηρ Η ζπκπεξηθνξά ηνπ θπκαηνπαθέηνπ ζηηο (5.3) θαη (5.4) νθείιεηαη ζηε κε γξακκηθή εμάξηεζε ηνπ από ην k. πγθεθξηκέλα, γηα έλα θσηόλην κε κόλν έλα κήθνο θύκαηνο, πνπ αληηζηνηρεί ζε θπκαηαξηζκό k, ε ρξνληθή εμάξηεζε είλαη πνιύ δηαθνξεηηθή. Από ηελ (5.), θαη κε ck, έρνπκε: ikx ckt ikx ct x, t dk k dk k x ct, (5.6) Δλ νιίγνηο, ε ζπλάξηεζε έρεη απιώο κεηαθηλεζεί πξνο ηα δεμηά, θαηά κηα απόζηαζε x ct. Αληίζεηα, γηα k όπνπ k, κηα γξακκηθή ζπλάξηεζε, ε (5.6) ζα είλαη k ik x t ikxk t k k x t dk k dk k x t (5.7) k Η ηαρύηεηα κεηάδνζεο ηνπ θπκαηνπαθέηνπ βξίζθεηαη αλαπηύζζνληαο ην Taylor, γύξσ από έλα κέγηζην, έζησ k : d d... k k k k k k dk k! dk k Με ηελ αιιαγή κεηαβιεηήο k k k k ζηελ (5.7), έρνπκε: θαη βιέπνπκε όηη ε ηαρύηεηα κεηάδνζεο ηεο d ikx t ikx i k dk, t k x t dk k k είλαη g d dk Ο όξνο έμσ από ην νινθιήξσκα, δίλεη ηε θάζε ηνπ θύκαηνο: k i kox k t αθνύ ην k o είλαη έλαο ζπγθεθξηκέλνο αξηζκόο. Αλ ηώξα θξαηήζνπκε ηνλ όξν δεύηεξνπ βαζκνύ, k ζε ζεηξά θαηά ειίδα από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
θαη έρνπκε κηα Gaussia γηα ηελ d dk k k, βγάδνπκε ην απνηέιεζκα ηεο (5.3). 4. Χώπορ οπμών Θεώξεκα Parsval: ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourir δηαηεξεί ην κέηξν, δειαδή Η (5.8) ζα πξέπεη λα ηζρύεη αλ, όλησο, ε Απόδεημε ηεο (5.8): Δπίζεο, εθόζνλ ε x x dx k k dk (5.8) k είλαη ε θπκαηνζπλάξηεζε ζηνλ ρώξν ησλ νξκώλ. ik x ikx x x dx dx k dk k dk i kk x dk k dk k dx dk k dk k k k dk k k k είλαη ε θπκαηνζπλάξηεζε ζην ρώξν ηεο νξκήο, ζα πξέπεη λα ηζρύεη: ˆ d d Απηό απνδεηθλύεηαη μεθηλώληαο από ηνλ ππνινγηζκό ηεο ζην ρώξν ησλ ζέζεσλ: x i x dx ik x ikx dx k dk i k dk ikx ikx dk k dk k dx i x x dk k dk k k k k dk k k k d Καη ν ηειεζηήο ηεο ζέζεο ζηνλ ρώξν ησλ νξκώλ; Απηόο βξίζθεηαη από ην ζεώξεκα κέζεο ηηκήο ηνπ ˆx : x ik x x xx xdx dx dk k dk x k ikx ειίδα από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
ikx ikx Γξάθνληαο x, ην νινθιήξσκα σο πξνο k κπνξεί λα γξαθεί σο: i k dkx k dk k i k ikx ikx i i k ikx ikx k dk Ο πξώηνο όξνο κεδελίδεηαη (ε θπκαηνζπλάξηεζε πξέπεη λα ηείλεη ζην όηαλ k ηείλεη ζην άπεηξν). Αληηθαζηζηώληαο ζηελ εμίζσζε γηα ην x έρνπκε: x dk k dk i dx k dk k dk i k k k k i kk x dk k i dk k i k k Αιιάδνληαο ηε κεηαβιεηή k ζε k, ζπκπεξαίλνπκε όηη ζην ρώξν ησλ νξκώλ, ˆx i ˆ Να ζπκεζνύκε όηη ζηνλ ρώξν ησλ ζέζεσλ ηζρύεη ˆx x ˆ i x Ση παξακέλεη αλαιινίσην; Η ζρέζε κεηάζεζεο: ˆx, ˆ Όλησο, είλαη εύθνιν λα επηβεβαηώζνπκε όηη ηζρύεη ζηνλ ρώξν ησλ νξκώλ. Έζησ κηα ζπλάξηεζε ηεο νξκήο, g : Καη εθόζνλ ε (5.9) ηζρύεη γηα ˆ i ˆx, g i g i g i g (5.9) g ζπκπεξαίλνπκε όηη ˆx, ˆ 5. Εναλλακηική θεώπηζη ηος ελεύθεπος ζυμαηιδίος i. Μπνξνύκε λα αληηκεησπίζνπκε ην πξόβιεκα ηεο εύξεζεο ησλ θαηαζηάζεσλ ελόο ειεύζεξνπ ζσκαηηδίνπ ζεσξώληαο όηη, θαηαξρήλ, ην ζσκάηην είλαη δεζκεπκέλν ζηελ πεξηνρή [ /, / ] κέζσ ελόο απεηξόβαζνπ δπλακηθνύ, δειαδή κέζσ ελόο δπλακηθνύ πνπ παίξλεη ηηκέο γηα x / θαη λα πάξνπκε (ζην ηέινο ηνπ νπνηνπδήπνηε ππνινγηζκνύ καο ελδηαθέξεη) ην όξην. Έρνπκε δεη όηη νη ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο Hailtoia δίδνληαη σο ειίδα 3 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
x ( x) si (5.3) Γηα, κε,,3,..., θαη αθνύ si( ) θαη cos( ) ( ), ε ζρέζε (5.3) δίλεη ( ) si x x (5.3) Γηα, κε,,3..., έρνπκε si ( ) θαη cos. Δπνκέλσο, x x ( x) cos (5.3) Η θξίζηκε παξαηήξεζε εδώ είλαη όηη ζην όξην κόλν πνιύ κεγάινη αξηζκνί ζα έρνπλ ζεκαζία αθνύ κόλν γη' απηνύο ν ιόγνο x / κπνξεί λα κελ είλαη κεδέλ θαη γηα πεπεξαζκέλεο ηηκέο ηνπ x. Έηζη ν όξνο x/ ζηελ ζρ. (5.3) θαίλεηαη λα κελ έρεη ζεκαζία γηα ηα ηειηθά απνηειέζκαηα (γηα x / ε ζρ. (5.3) γίλεηαη ( ) / θαη επνκέλσο κεδελίδεηαη ζην όξην ). Από ηελ αλάιπζε απηή θαίλεηαη όηη νη θπκαηνζπλαξηήζεηο (5.3) θαη (5.3) δελ είλαη παξά γξακκηθνί ζπλδπαζκνί ησλ i x/ / θαη i x/ Η πην γεληθή ζπλάξηεζε ε νπνία πεξηγξάθεη έλα ζσκάηην ζην δπλακηθό ηνπ πξνεγνπκέλνπ πξνβιήκαηνο είλαη (ιόγσ ηεο πιεξόηεηαο θαη νξζνθαλνληθόηεηαο ησλ ηδηνζπλαξηήζεσλ ηεο Hailtoia) /. όπνπ x ( x) c ( x) c si (5.33) x c dx ( x)si (5.34) Με ιίγε άιγεβξα θαη ρξεζηκνπνηώληαο ηηο πξνζεγγίζεηο ηεο αλάιπζεο πνπ πξνεγήζεθε είλαη εύθνιν λα δείμνπκε όηη όπνπ ( x) i x/ b (5.35) / i x/ b dx x / ( ) (5.36) πλνςίδνληαο ηηο ηειεπηαίεο ζρέζεηο ζα ιέγακε (έρνληαο πάληα ζην κπαιό καο όηη καο ελδηαθέξεη ην όξην ) όηη κπνξνύκε λα πεξηγξάςνπκε έλα ειεύζεξν ζσκάηην αλ ζηείινπκε ηα όξηα ηνπ ειίδα 4 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
απεηξόβαζνπ πεγαδηνύ ζην άπεηξν θαη ρξεζηκνπνηήζνπκε σο ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο Hailtoia ηηο / ( x i x ) νη νπνίεο απνηεινύλ έλα πιήξεο θαη νξζνθαλνληθό ζύλνιν ζπλαξηήζεσλ. Δίλαη θαλεξό όηη ζην όξην ε κεηαβιεηή k είλαη ζρεδόλ ζπλερήο όηαλ, k k θαη επνκέλσο ε κεηαβνιή ηεο είλαη k. Ξαλαγξάθνληαο ηώξα ηηο (5.35) θαη (5.36) : ( x) ( kb ) kf ( k) i( k ) x i( k ) x (5.37) όπνπ ζέηνπκε Η αληίζηξνθε ζρέζε, δίδεηαη σο kb kf k / k i( k ) x kb dx x kf k / ( ) ( ) (5.38) Σν όξην είλαη ηώξα εύθνιν, θαη παίξλνληαο k k : ikx (5.39) ikx ( x) dk f ( k), f ( k) dx( x) Αλαγλσξίδνπκε θαη πάιη, ζηηο ζρέζεηο (5.39) δπν ζπλαξηήζεηο, x θαη f k : ε κηα είλαη ν κεηαζρεκαηηζκόο Fourir ηεο άιιεο. Δίλαη βνιηθό λα αιιάμνπκε κεηαβιεηέο k / θαη λα γξάςνπκε: ix/ dx ix/ d ( x) g( ), g( ) ( x) Να παξαηεξήζνπκε εδώ όηη ε θαλνληθνπνίεζε ησλ g θαη g f f k είλαη ηέηνηα ώζηε (5.4) 6. Πεπίλητη πλνςίδνπκε αθόκα κηα θνξά: Γηα λα πεξηγξάςνπκε κηα θαηάζηαζε ζπγθεθξηκέλεο νξκήο,, ρξεζηκνπνηνύκε ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο ( x ) όπνπ ε κεηαβιεηή είλαη ζπλερήο. Οη (5.4), σο ηδηνζπλαξηήζεηο εξκηηηαλνύ ηειεζηή (ηνπ ˆ ), είλαη θάζεηεο κεηαμύ ηνπο: ix/ x xdx ειίδα 5 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ (5.4)
εκεηώλεηαη όηη ε ελέξγεηα πνπ αληηζηνηρεί ζηελ x είλαη επίζεο ζπλερήο: E (5.4) Όπνπ, δε, πξνθύπηνπλ πξνβιήκαηα εξκελείαο, (π.ρ. ε (5.4) δελ είλαη θαλνληθνπνηήζηκε: ( ) dx x dx ), ζα ζθεπηόκαζηε ηελ θαηάζηαζε σο νξηαθή ζπκπεξηθνξά ελόο ζσκαηηδίνπ ζε έλα απεηξόβαζν πεγάδη ηνπ νπνίνπ ηα "ηνηρώκαηα" έρνπλ ηξαβερηεί έσο ην άπεηξν ειίδα 6 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
7. Μαθημαηικό ζςμπλήπυμα. Σειπέρ Fourir, μεηαζσημαηιζμόρ Fourir και ζςνάπηηζη δέληα. 7. Σςναπηήζειρ ζε πεπαηό διάζηημα Έζησ κηα ζπλερήο (θαη ζρεηηθά νκαιή) ζπλάξηεζε ηέηνηα ζπλάξηεζε κπνξεί πάληα λα γξαθεί σο άπεηξε ζεηξά εκηηόλσλ: f x, x, κε f f. Μηα όπνπ x f x A si (5.43) x A dxf xsi (5.44) Γηα λα ειέγμνπκε ηνλ ηζρπξηζκό απηό αο μεθηλήζνπκε από ηελ (5.43), ηελ νπνία πνιιαπιαζηάδνπκε κε si x θαη νινθιεξώλνπκε: x x x dxf x si A dxsi si (5.45) Υξεζηκνπνηώληαο si asi b cos a b cos a b δύν κέξε:, ην ηειεπηαίν νινθιήξσκα ρσξίδεηαη ζε x x dxsi si dxcos x dxcos x si x si x si si (5.46) Ο ηειεπηαίνο όξνο ηεο (5.46) είλαη πάληα κεδέλ αθνύ ην άζξνηζκα είλαη πάληα έλαο ζεηηθόο αθέξαηνο. Ο πξώηνο όξνο είλαη θη απηόο κεδέλ αλ. Γηα ην απνηέιεζκα είλαη /. πλνςίδνληαο: x x αν dxsi si (5.47) αν H ζρέζε (5.47) δείρλεη όηη νη ζπλαξηήζεηο x x si, dx x x είλαη νξζνθαλνληθέο: ειίδα 7 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
Σέινο, αληηθαζηζηώληαο ζηελ (5.45), έρνπκε ηε ζρέζε πνπ απνδεηθλύεη ηελ (5.44). ειίδα 8 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ x dxf xsi A A, Γηα ηελ πιήξε απόδεημε ηεο αλάιπζεο (5.43)-(5.44) πξέπεη λα πάκε θαη αληίζηξνθα: Από ηε ζρέζε (5.44) λα θαηαιήμνπκε ζηελ (5.43). Δπεηδή απηό είλαη πην πνιύπινθν ην αθήλνπκε γηα ηελ ώξα θαη, νπιηζκέλνη κε ην ζάξξνο ηνπ ππνινγηζκνύ πνπ ήδε θάλακε, ζεσξνύκε ην δεπγάξη ησλ ζρέζεσλ (5.43)-(5.44) δεδνκέλν. 7. Πεπιοδικέρ ζςναπηήζειρ Σελ πξνεγνύκελε ινγηθή κπνξνύκε λα ηελ εθαξκόζνπκε θαη ζε άιιεο πεξηπηώζεηο όπσο, αο πνύκε, ζε ζπλερείο ζπλαξηήζεηο f x, x, γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη όηη f f. Δδώ ν ηζρπξηζκόο είλαη όηη νπνηαδήπνηε ηέηνηα ζπλάξηεζε κπνξνύκε λα ηε γξάςνπκε όπνπ x x f x Asi Bcos (5.48) x x,,...: A dxf xsi, B dxf xcos : B dxf x (5.49) Μπνξεί θαλείο λα ειέγμεη ηε δηαδξνκή (5.48) (5.49) αθνινπζώληαο ηε ινγηζηηθή ηνπ πξνεγνπκέλνπ παξαδείγκαηνο αιιά, γηα ιόγνπο πνπ ζα θαλνύλ ζηε ζπλέρεηα, ζα πξνρσξήζνπκε ιίγν δηαθνξεηηθά. Γξάθνληαο x x si, cos i ε ζρέζε (5.48) ζα πάξεη ηε κνξθή: i x/ i x/ i x/ i x/ ix f x B B ia B ia / ix / B B ia B ia ix / ix / (5.5) Από ηηο ζρέζεηο (5.49) βιέπνπκε όηη A A, A θαη B B. Δπνκέλσο, όπνπ f x B B ia B ia a i x/ i x/ i x/ (5.5) i x (5.5) x x a B ia dxf x i dxf x / cos si
Ξαλαγξάςακε, επνκέλσο, ηηο ζρέζεηο (5.48) θαη (5.49) κε ηε κνξθή f x a a dxf x ix / ix, / (5.53) Αλ ζεσξήζνπκε δεδνκέλε ηελ πξώηε απ απηέο είλαη εύθνιν λα απνδείμνπκε ηε δεύηεξε: i x/ i x/ i x/ dx f x a dx a i ειίδα 9 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ i i si a a a a, i Δίλαη ζπλεζηζκέλν (αιιά όρη απαξαίηεην) λα ρξεζηκνπνηνύκε κηα πην «ζπκκεηξηθή» γξαθή, ζηελ νπνία ν παξάγνληαο ζηελ (5.53) κνηξάδεηαη ζε δπν ίζνπο παξάγνληεο : f x b b dxf x ix / ix, / (5.54) Με ηε γλσζηή νξνινγία, νη ζπλαξηήζεηο x / i x απνηεινύλ έλα οπθοκανονικό ζύλνιν ζπλαξηήζεσλ: dx x x, Καη εδώ, όπσο θαη ζην πξώην παξάδεηγκα, ε αληίζηξνθε δηαδξνκή είλαη πην απαηηεηηθή θαη ηελ αθήλνπκε γηα ηελ ώξα. 7.3 Σςναπηήζειρ ζε άπειπο διάζηημα Οη ζρέζεηο (5.54) κπνξνύλ λα επεθηαζνύλ θαη ζηελ πεξίπησζε πνπ. Απηό γίλεηαη κέζσ κηαο νξηαθήο δηαδηθαζίαο ηελ νπνία μεθηλάκε γξάθνληαο / k θαη επνκέλσο δίλνληαο ζηηο (5.54) ηε κνξθή: ik x k ik x f x kb, kb dxf x kf k (5.55) Μπνξνύκε ηώξα λα πάξνπκε ην όξην k : Η δε αληίζηξνθε εμίζσζε είλαη: i k x dk ikx f x kf k f k (5.56) k dx ikx f k f x (5.57) Σν δεπγάξη ησλ ζρέζεσλ (5.56)-(5.57) νξίδεη ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourir θαη ηνλ αληίζηξνθό ηνπ. Παξόιν πνπ ε πνξεία πνπ αθνινπζήζακε είλαη, ίζσο, ηθαλή λα καο πείζεη γηα ηελ ηζρύ ησλ ζρέζεσλ απηώλ ε άκεζε απόδεημή ηνπο είλαη ιίγν πην πνιύπινθε εξγαζία.
7.4 Σςνάπηηζη δέληα Θέινπκε ε '' '' ba, λα πιεξνί ηε ζρέζε γηα θάζε ζπλάξηεζε '' γξάθνπκε '' ab, da c a '' '' ba, c b ca. Απηόο είλαη ν νξηζκόο ηεο «ζπλάξηεζεο δέιηα» ηνπ Dirac. Αληί ηνπ a b Η Dirac είλαη θαηαλνκή πνπ νξίδεηαη από ηηο εμήο δπν ηδηόηεηεο: a) a b a b b) f a bda f b f a ηελ εηδηθή πεξίπησζε f a, ε b δίλεη: a bda Δπνκέλσο, ε Dirac-δ αλαπαξηζηά κηα ζπλάξηεζε πνπ είλαη κεδέλ παληνύ εθηόο από έλα ζεκείν (ζην ζεκείν όπνπ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή είλαη κεδέλ). Σν δε νινθιήξσκα ηεο Dirac-δ είλαη. Δίλαη πξνθαλέο όηη ε Dirac-δ δελ είλαη κηα «θαλνληθή ζπλάξηεζε», αιιά κηα θαηαλνκή. Τπάξρνπλ άπεηξεο αλαπαξαζηάζεηο ηεο Dirac-δ: ) Η γλσζηή θακπύιε ελόο ζπληνληζκνύ: x x li x x Όζν κηθξόηεξν ην, ηόζν πην κηθξή είλαη θαη ε πεξηνρή ηνπ x ζηελ νπνία ε x x έρεη κεγάιεο ηηκέο. Ωζηόζν, όζν κηθξό θαη λα πάξνπκε ην, ην νινθιήξσκα ηεο x x είλαη : dx dx x x li dx li x x x x x x li d x dy y y Άιιεο αλαπαξαζηάζεηο ηεο : li x x x x d x x x x dx x x x x li x ik xx x x dk Ιδηόηεηεο ηεο Dirac-δ: α) Η εμίζσζε x li ta ειίδα από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
x x f x f x (5.58) ζα πξέπεη λα ηζρύεη θαη γηα κηθξόηεξν εύξνο νινθιήξσζεο, αθνύ γηα x x Άξα αξθεί λα νινθιεξώζνπκε γύξσ από ην ζεκείν x ώζηε λα ηζρύεη ε (5.58) θαη θπζηθά x x x x f x f x x x xx xx., ε Η "ζπλάξηεζε" δέιηα είλαη απηό πνπ νλνκάδεηαη γενικεςμένη ζςνάπηηζη ή καηανομή: Οξίδεηαη κόλν κέζσ ηεο νινθιήξσζεο ηεο κε νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε f dxf x x y f y (5.59) x (ε νπνία ζηε γεηηνληά ηνπ y είλαη νκαιή). Δίλαη πξνθαλέο από ηνλ νξηζκό απηό όηη ε δ-ζπλάξηεζε έρεη κε κεδεληθή ζπλεηζθνξά κόλν ζηε γεηηνληά ηνπ ζεκείνπ y. Γηα λα απνθηήζνπκε κηα αίζζεζε ηεο ζπλάξηεζεο απηήο αο ζεσξήζνπκε ηε δηαθξηηή έθδνζε ηνπ νινθιεξώκαηνο (5.59): f f (5.6) (Γηα λα θαηαιάβνπκε ηελ ηειεπηαία κπνξνύκε λα ζθεθηνύκε όηη δηαθξηηνπνηήζακε κηα πεξηνρή γύξσ από ην y κε βήκα ). Αλ ζπγθξίλνπκε ηελ (5.6) κε ηελ ηαπηόηεηα (όπνπ βιέπνπκε όηη αν αν f f (5.6) ην ζύκβνιν ηνπ Krockr) (5.6) Η ηειεπηαία ζρέζε καο καζαίλεη αξθεηά πξάγκαηα γηα ηε δ-ζπλάξηεζε (ηελ νπνία πξέπεη λα αλαθηήζνπκε ζην όξην ) ) Όηαλ κπνξνύκε ζηελ (5.6) λα πάξνπκε ην όξην θαη επνκέλσο λα βγάινπκε ην ζπκπέξαζκα όηη x y όηαλ x y. ) Όηαλ ην όξην νδεγεί ηελ (5.6) ζε απεηξηζκό θαη επνκέλσο δελ κπνξνύκε λα νξίζνπκε ηε ζπλάξηεζε x y όηαλ x y. ειίδα από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
είλαη ππαξθηό θαη απηόο είλαη ν ιόγνο Δληνύηνηο ην όξην li f li f f y γηα ηνλ νπνίν ιεηηνπξγεί ν νξηζκόο (5.59). Μεηά από απηά θαηαιαβαίλνπκε όηη γηα ηνλ νξηζκό ηεο δ-ζπλάξηεζεο ρξεηαδόκαζηε κηα νξηαθή δηαδηθαζία (ε νπνία δελ είλαη θαη' αλάγθε ε δηαθξηηνπνίεζε ηνπ νινθιεξώκαηνο). Σν κόλν πνπ ρξεηάδεηαη είλαη λα βξνύκε κηα (ζπλεζηζκέλε) ζπλάξηεζε x y, είλαη ηέηνηα ώζηε ε νπνία λα li x y, για x y και li dxf x y, f y (5.63) Οπνηαδήπνηε ηέηνηα ζπλάξηεζε νξίδεη ηε δ-ζπλάξηεζε: li dxf x x y, dxf x x y (5.64) Δίλαη πξνθαλέο όηη κπνξνύκε λα βξνύκε πνιιέο ζπλαξηήζεηο πνπ λα "αληηπξνζσπεύνπλ" ηε δ- ζπλάξηεζε (κε ηελ έλλνηα ηεο (5.63)). αλ έλα παξάδεηγκα κπνξνύκε λα αλαθέξνπκε ηε ζπλάξηεζε x y, x x y (5.65) πνπ έρεη ηε κνξθή θαηαλνκήο Gauss ηόζν πην ζπγθεληξσκέλεο γύξσ από ην y όζν πην κηθξό γίλεηαη ην. Ο ζπληειεζηήο κπξνζηά από ην εθζεηηθό θξνληίδεη γηα ηελ θαλνληθνπνίεζε: Δίλαη θαλεξό από ηνλ νξηζκό (5.59) όηη θαη επνκέλσο ζα πξέπεη Θεσξείζηε γλσζηό ην νινθιήξσκα dx x y (5.66) dx x y ην ζπληειεζηή ζηελ (5.65) ώζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε (5.67). li, (5.67) x dx γηα λα πηζηνπνηήζεηε ακέζσο όηη δηαιέμακε Αο δνύκε ηώξα ην νινθιήξσκα ηεο (5.65) κε θάπνηα ηπραία ζπλάξηεζε x y f x : I y dxf xx (5.68) Μπνξνύκε λα αιιάμνπκε κεηαβιεηέο ζην νινθιήξσκα: x y w θαη λα γξάςνπκε ειίδα από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
w I y dwf y w αθνύ ε ζπλάξηεζε f δελ έρεη πξόβιεκα ζηε ζέζε y κπνξνύκε λα πάξνπκε ην όξην ζηελ πξνεγνύκελε ζρέζε li I y li dxf x x y, f y dw f y w (5.69) θαη επνκέλσο πξάγκαηη ε ζπλάξηεζε (5.65) αληηπξνζσπεύεη (κε ηελ έλλνηα ηεο (5.64)) ηε δ- ζπλάξηεζε. Ιδιόηηηερ ηηρ Dirac x ) x ) ax ax a ikx 3) x dx 4) x x x Απόδειξη: x ) x x f x dx x xf x dx xf x f x dx x x ) ax d ax y ax f x dx ax f y f dy f x f xdx a a a a a a ax x a 3) Μεηαζρεκαηηζκόο Fourir: f x δει. ππάξρεη κπνξεί λα γξαθηεί ikx f x f k dk f x f k dk νξζή f k πνπ λα θάλεη ηελ ikx Παίξλνληαο f x x x : Άξα ζα πξέπεη λα ηζρύεη ikx f k f xdx ikx ikx f k x x dx ikx ikx ik xx x x dk dk dac a a b c b ειίδα 3 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ
γηα ζπλάξηεζε a b γηα a b είλαη " " 7.5 Αναπηύγμαηα Fourir b ca. Ιδηόηεηα ρξεηάδεηαη ca da a b da a b b. Σέηνην ώζηε ειίδα 4 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ da a b. b Αο μαλαγπξίζνπκε ζηα αλαπηύγκαηα Fourir γηα νξηζκέλεο επηπιένλ παξαηεξήζεηο. Θα μεθηλήζνπκε, θαηαξρήλ, από ηε ζρέζε (5.44) θαη ζα πξνζπαζήζνπκε λα θζάζνπκε ζηελ (5.43). Πνιιαπιαζηάδνπκε ηελ (5.44) κε si y θαη αζξνίδνπκε: y x y A si dxf x si si (5.7) Θα πξέπεη ηώξα λα απνδείμνπκε όηη ην απνηέιεζκα είλαη ε ζπλάξηεζε γηα λα ζπκβαίλεη απηό ζα πξέπεη x y f b y. Δίλαη πξνθαλέο όηη si si x y (5.7) Η απόδεημε ηεο ηειεπηαίαο έρεη ην δηθό ηεο ελδηαθέξνλ αιιά γηα ηώξα αο ηε ζεσξήζνπκε δεδνκέλε. Η (5.7) ιέεη όηη νη νξζνθαλνληθέο ζπλαξηήζεηο ζρέζε πληπόηηηαρ x θαη απνηεινύλ έλα οπθοκανονικό θαη πλήπερ ζύλνιν ζπλαξηήζεσλ. x si ηθαλνπνηνύλ ηε x y x y (5.7) Σν ζεκαληηθό εδώ είλαη ην εμήο: νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε, ζην δηάζηεκα, είλαη ηέηνηα ώζηε f f, κπνξεί λα γξαθηεί σο: x f x dyf y x y x dyf y y A si 6.48 (5.73) Με ηελ ίδηα ινγηθή γηα λα απνδείμνπκε ηελ (5.65) αξθεί λα δείμνπκε όηη ην νξζνθαλνληθό ζύλνιν i x/ ζπλαξηήζεσλ x είλαη πιήξεο: i x y / x y x y (5.74) Καη εδώ δελ ζα αζρνιεζνύκε κε ηελ απόδεημε ηεο (5.74). Η ηζρύο ηεο, σζηόζν, είλαη ζεκαληηθή γηαηί ράξηο ζ απηήλ, νπνηαδήπνηε ζπλάξηεζε ζην δηάζηεκα x, απαηηήζεηο f f, κπνξεί λα γξαθηεί σο εμήο: f x dyf y x y x dyf y y a / ηθαλνπνηεί ηηο ζπλνξηαθέο i x 6.35 6.48 (5.75)
Σειεηώλνπκε κε ηνλ κεηαζρεκαηηζκό Fourir. Με δεδνκέλεο ηηο ζρέζεηο (5.56) θαη (5.57), δηαπηζηώλνπκε όηη θαη επνκέλσο dk ikx dk ikx dy iky dk ikxy f x f k f y dy f y[ ] dk ikxy x y (5.76) Λίγε ζθέςε ζα καο πείζεη όηη ε ζρέζε απηή δελ είλαη παξά ε επέθηαζε ηεο (5.74) ζην όξην ikx θαη επνκέλσο εθθξάδεη ηελ πληπόηηηα ηυν ζπλαξηήζεσλ k x ζην δηάζηεκα,. Σν αληίζηξνθν είλαη θαη εδώ ζεκαληηθό: Αλ ζεσξήζνπκε δεδνκέλε ηελ πιεξόηεηα, νπνηαδήπνηε ηεηξαγσληθά νινθιεξώζηκε ζπλάξηεζε, γξάθεηαη dk dy dk f x dyf y x y f ( y) f k Ο αληίζηξνθνο κεηαζρεκαηηζκόο Fourir iky ikx ikx dx ikx dx ikx dk ik x dx ik kx f k f x f k dkf k καο νδεγεί ζε ζπκπέξαζκα αλάινγν κε απηό ηεο ζρέζεο (5.76) dx ikk x k k dx k x k x (5.77) ην νπνίν εθθξάδεη ηελ νξζνθαλνληθόηεηα ησλ ζπλαξηήζεσλ k. ειίδα 5 από ζύλνιν 5 ζειίδσλ