Εργαστηριακές Σημειώσεις Κάμψη Ξυλινης Δοκού Δρ. Σωτήρης Δέμης Πανεπιστημιακός Υπότροφος Τσιμεντοπολτός Περιλαμβάνονται διαγράμματα από τα βιβλία «Μηχανική των Υλικών» και «Δομικά Υλικά» του Αθανάσιου Χ. Τριανταφύλλου 1
Κάμψη στις κατασκευές Εισαγωγή - Κάμψη Μελέτη δομικών στοιχείων (δοκών) με δυνάμεις κάθετα στον άξονα τους ή ροπές κάμψης στα άκρα τους Δοκός: Δομικό στοιχείο όπου μία διάσταση (μήκος) >>> από άλλες δύο διαστάσεις (ύψος πλάτος) ύψος μήκος πλάτος Μεταφορά εγκάρσιων φορτίων στα άκρα της 2
Εισαγωγή - Κάμψη Μεταφορά εγκάρσιων φορτίων στα άκρα δοκών + Εισαγωγή - Κάμψη Μελέτη δομικών στοιχείων (δοκών) με δυνάμεις κάθετα στον άξονα τους ή ροπές κάμψης στα άκρα τους Εντατική κατάσταση δοκού εξαρτάται από εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία και είδος στήριξης. Επιτρέπει στροφή Επιτρέπει στροφή, μία μετατόπιση Δεν Επιτρέπει στροφή/μετατόπιση Σε κάθε εγκάρσια τομή δοκού αναπτύσσονται τάσεις ανομοιόμορφα κατανεμημένες (σε αντίθεση με αξονικά καταπονούμενη ράβδο) θλίψη Mz Mz εφελκυσμός 3
Εισαγωγή - Κάμψη Εξωτερική Καταπόνηση Ανάπτυξη τάσεων P Φορέας καταπονείται από εξωτερικά φορτία (π.χ. συγκεντρωμένο φορτίο στο μέσο, ή καμπτικές ροπές στα άκρα του) L Ανάπτυξη εσωτερικών εντατικών μεγεθών (από Δ.Ε.Σ. υπολογισμός Μ,Q,N) Μz PL/4 Φορέας εντείνεται στο εσωτερικό του, άρα ανάπτυξη τάσεων σε κάθε διατομή (π.χ. εφελκυστικών/θλιπτικών, λόγω καμπτικών ροπών) h - σx Η ορθή τάση που αναπτύσσεται συνδέεται με το εσωτερικό εντατικό μέγεθος που την προκαλεί: σ x = M z /I z y b + σx Φορέας αποκρίνεται δ Βασικές υποθέσεις για την θεωρία της Κάμψης Θεμελιώδεις Υποθέσεις Τρόπος που παραμορφώνεται η δοκός λόγω κάμψης (κινηματική υπόθεση) Τρόπος που σχετίζονται οι παραμορφώσεις με τις τάσεις (καταστατικός νόμος) Ισορροπία μεταξύ εξωτερικών φορτίων και εσωτερικών δυνάμεων (συνθήκη στατικής ισορροπίας) Θεωρούμε οριζόντια ευθύγραμμη δοκό σταθερής διατομής x: διαμήκης, y: άξονας συμμετρίας z: κάθετος στο x-y y x z Καμπτικές ροπές Mz, απουσία τέμνουσας (καθαρή κάμψη) 4
Παραδοχές Διατομές δοκού επίπεδες και κάθετες στον διαμήκη άξονα πριν τη φόρτιση, παραμένουν επίπεδες και κάθετες και μετά την φόρτιση (υπόθεση Bernoulli) Υλικό ομογενές (δεν μεταβάλεται η δομή του) ισότροπο (ιδιότητες του δεν εξαρτώνται από την διέυθυνση φόρτισης) Ισχύει ο νόμος του Hooke (ίδιο Ε σε εφελκυσμό/θλίψη) Δοκός κάμπτεται με μικρή γωνία στροφής (μικρές μετατοπίσεις και στροφές άξονα δοκού ) Τι συμβαίνει στην δοκό? Βράχυνση ανωτέρων ινών (θλίψη) Επιμήκυνση κατωτέρων ινών (εφελκυσμός) Βαθμιαία μετάβαση από θλίψη σε εφελκυσμό (λόγω συνεχής παραμόρφωσης ράβδου, ομογενούς υλικού) Mz θλίψη Mz Σε ενδιάμεσες θέσεις της διατομής θα υπάρχουν ίνες που δεν παρουσιάζουν μεταβολή στο αρχικό τους μήκος (ουδέτερες) εφελκυσμός Στόχος Προσδιορισμός προφίλ (κατανομή) τάσεων Ποσοτικός προσδιορισμός τάσεων (σε σχέση με εξωτερικά επιβαλλόμενα φορτία) 5
Κινηματική υπόθεση ef: ds = r dθ Καμπυλότητα gh: (r-y) dθ Δd = (r-y) dθ r dθ = -y dθ Δd/ds = -y dθ/ds Λόγω μικρών παραμορφώσεων και γωνιών στροφής y Κινηματική υπόθεση Βασική κινηματική υπόθεση τεχνικής θεωρίας κάμψης Ορθές παραμορφώσεις, σ σε δοκό που κάμπτεται μεταβάλονται γραμικά με την απόσταση πάνω στον άξονα y (αρχή του είναι ακόμα απροσδιόριστη) 6
Συνθήκη Στατικής Ισορροπίας 1. Απο ισορροπία δυνάμεων στην διατομή: ΣFx = 0 (λόγω καθαρής κάμψης) y A (απόσταση κ.β. Διατομής από άξονα y) y 0 Άξονας z: διέρχεται από κέντρο βάρους Για y=0, σx, εx = 0 => z: ουδέτερος άξονας Συνθήκη Στατικής Ισορροπίας 2. Απο ισορροπία ροπών: ΣMz = 0 Δευτεροβάθμια ροπή αδράνειας επιφάνειας Α ως προς άξονα z. Μεγάλη προσοχή στον υπολογισμό Iz, Iy σύνθετων διατομών Σωστή εύρεση κ.β. Χρήση θεωρήματος Steiner Μετασχηματίζονται όπως και οι τάσεις Υπολογισμός επιπέδων (κύριων) όπου δρουν οι (κύριες) max/min δευτεροβάθμιες ροπές αδράνειας Άξονας στον οποίο δρα η μέγιστη Ισχυρός Άξονας στον οποίο δρα η ελάχιστη Ασθενής Σε διατομή με 2 άξονες συμμετρίας οι κεντροβαρικές Iz, Iy είναι και κύριες 7
Συνθήκη Στατικής Ισορροπίας 2. Απο ισορροπία ροπών: ΣMz = 0 Θετική Mz -> θετική κ Ακτίνα καμπυλότητας Ροπή κάμψης Μέτρο ελαστικότητας υλικού Γεωμετρικά χαρακτηριστικά διατομής Στις ακραίες θλιβόμενες/εφελκυόμενες ίνες c: μέγιστη απόσταση από ουδέτερο άξονα I/c: ροπή αντίστασης (ή ελαστικό μέτρο διατομής) Εν περιλήψει Με βάση τις Θεμελιώδεις Υποθέσεις Τρόπος που παραμορφώνεται η δοκός λόγω κάμψης (κινηματική υπόθεση) Τρόπος που σχετίζονται οι παραμορφώσεις με τις τάσεις (καταστατικός νόμος) Ισορροπία μεταξύ εξωτερικών φορτίων και εσωτερικών δυνάμεων (συνθήκη στατικής ισορροπίας) 8
Κάμψη στις κατασκευές Εργαστηριακή Άσκηση 9
Ξύλο ως δομικό υλικό (εν συντομία) Ένα από τα παλαιότερα υλικά δόμησης (με ιστορία χιλιετηρίδων) Οργανικό υλικό (πυρήνας, κύτταρα) Aποτελείται από κύτταρα σωληνωτής μορφής (κυψέλες) με προσανατολισμό παράλληλα στην αξονική διεύθυνση Μηχανική συμπεριφορά Ξύλου (εν συντομία) Ως υλικό είναι ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΟ και ΑΝΟΜΟΙΟΓΕΝΕΣ Mηχανική συμπεριφορά ξύλου σε μονοαξονική θλίψη/εφελκυσμό εξαρτάται από διεύθυνση φόρτισης σε σχέση με διεύθυνση των ινών (σωληνωτών κυττάρων). 10
Μηχανική συμπεριφορά Ξύλου (εν συντομία) Μεγάλη διασπορά τιμών στον υπολογισμό αντοχής ξύλου λόγω ανομοιομορφία στην δομή του υλικού (π.χ. ύπαρξη ρόζων, μεγάλων πόρων κ.τ.λ.). Οι ρόζοι στο ξύλο είναι γενικά ανεπιθύμητοι και αποτελούν σημεία αδυναμίας επειδή διακόπτουν τη συνέχεια των ινών Υγρασία: Πυκνότητα : Θερµοκρασία: Σφάλµατα δοµής: Μείωση υγρασίας ξύλου αύξηση µηχανικής αντοχής (όσο πιο ξερό είναι ένα ξύλο, τόσο πιο γερό είναι). Σχετίζεται άμεσα σε μηχανικές ιδιότητες (δείκτης ποιότητας) (Ξύλο µε µεγάλη πυκνότητα πάντοτε έχει µεγάλη µηχανική αντοχή). Μηχανική αντοχή ελαττώνεται µε αύξηση θερµοκρασίας. Παρουσία σφαλµάτων (ρόζοι, ραγάδες) µείωση µηχανικής αντοχής. Μηχανική συμπεριφορά Ξύλου (εν συντομία) Μέτρο ελαστικότητας και θλιπτική αντοχή στην αξονική διεύθυνση είναι μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερα απ' ότι στις άλλες διευθύνσεις Επίδραση πυκνότητας στην αντοχή Για φόρτιση στην ίδια διεύθυνση 11
Μηχανική συμπεριφορά Ξύλου (εν συντομία) Μηχανική συμπεριφορά Ξύλου (εν συντομία) Αντοχή σε κάμψη, πολύ σημαντική μηχανική ιδιότητά του. 12
Μηχανική συμπεριφορά Ξύλου (εν συντομία) Φορτίζεται κυρίως με δυνάμεις που προκαλούν κάμψη Καθορίζεται κυρίως από αντοχή εφελκυόμενων ινών (εμφανίζεται «πλαστικοποίηση»/τοπική αστοχία θλιβόμενης ζώνης της καμπτόμενης διατομής) Κατηγοριοποίηση Ευρωκώδικα 5, βάση αντοχής Διαχωρισμός ειδών επειδή ξύλο φυλλοβόλων έχει διαφορετική δομή από κωνοφόρων, με συνέπεια τα φυλλοβόλα να έχουν μεγαλύτερη πυκνότητα από τα κωνοφόρα, χωρίς όμως να έχουν αναλόγως μεγαλύτερες αντοχές. Με άλλα λόγια, τα κωνοφόρα έχουν διαφορετική συσχέτιση πυκνότητας-αντοχών από τα φυλλοβόλα. 13
Ενδεικτική δοκιμή κάμψης ξύλινης δοκού & μορφή αστοχίας (video???) Εργαστηριακή Άσκηση 14
Φορτίο (kn) 20/10/2016 Εργαστηριακή Άσκηση 12 Iz 1 = bh 3 / 12 P 10 P 1 h L 8 P 2 b PL/4 6 P 4 h b Iz 2 = hb 3 / 12 δ 2 0 ΕΙ 1 ΕΙ 2 δ δ 2 1 0 5 10 15 20 25 30 Μετατόπιση (mm) Μέτρο ελαστικότητας και εφελκυστική αντοχή σε κάμψη είναι εγγενής ιδιότητες του υλικού και θεωρητικά ανεξάρτητες του άξονα κάμψης, εφόσον πρόκειται για ισότροπο υλικό Εργαστηριακή Άσκηση 15