m d P = f ( υ) dυ = 4π -mυ / kt υ e dυ πkt N u 3/
Η συνάρτηση f(υ) είναι ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 3/ m f ( υ) = 4π υ e πkt -mυ / kt Είναι θετική Για υ0 τείνει στο μηδέν Για υ τείνει στο μηδέν Επομένως έχει τουλάχιστον ένα μέγιστο Η γραφική της παράσταση Το εμβαδόν μεταξύ της καμπύλης και του οριζόντιου άξονα ισούται με τη μονάδα (ΣΥΝΘΗΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗΣ)
Χαρακτηριστικό μέγεθος είναι η ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Η ταχύτητα για την οποία η συνάρτηση έχει μέγιστο. df(υ) / dυ=0 < υ υ Π = kt m Από τον τύπο, αλλά και λογικά προκύπτει, ότι η αύξηση της θερμοκρασίας οδηγεί στη μετατόπιση του μεγίστου προς τα μεγάλα υ και τη μείωση του ύψους του (B1 Εργ. Φ) Άλλες χαρακτηριστικές ταχύτητες < υ > = 8kT πm < u = 3kT m
Το εμβαδόν αυτό μας δείχνει την πιθανότητα ένα σωματίδιο (το ποσοστό των σωματιδίων) να έχει ταχύτητες μεταξύ υ Α και υ Β Το εμβαδόν αυτό μας δείχνει την πιθανότητα ένα σωματίδιο (το ποσοστό των σωματιδίων) να έχει ταχύτητες μεταξύ υ και υ+dυ Στην ερώτηση, τι πιθανότητα έχουμε να βρούμε ταχύτητα υ (π.χ. 10 m/s) η απάντηση είναι: ΜΗΔΕΝ
ΔΝ υ η υ υ Δ υ υ ( 1, ) P( 1, ) f ( υ) dυ Ν υ1 υ υ 1 < υ η(0.5υ Π, 1.5υ Π ) = 0.7053 70.5% η(υ Π, ) = 0.574 57.4% η(υ Π, ) = 0.0460 4.6% η(3υ Π, ) = 0.00044 0.044%
Για άτομα υδρογόνου με θερμοκρασία 600 000 Κ (!!!) βρίσκουμε υ Π 55 km/s. Σ αυτή την περίπτωση c φως 5500 υ Π. Δηλαδή, σε κάθε περίπτωση, η πιθανότητα να βρούμε μόρια με τα-χύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός είναι πρακτικά αμελητέα. Η ολοκλήρωση ως το ΑΠΕΙΡΟ δεν φέρνει ουσιαστικές αλλαγές, αλλά διευκολύνει τα πράγματα.
Ολοκλήρωση ως προς τις γωνίες sinθdθdφ 3/ m -mυ / kt d ( υ ) = 4π υ e dυ P πkt Δηλαδή μπορούμε, αν γυρίσουμε πίσω, να γράψουμε: 3/ m -mυ / kt d = e υ sinθdθdφdυ P πkt 3/ m -mυ / kt d P = e dυxdυydυz πkt Αν τώρα, από τις σφαιρικές συντεταγμένες επανέλθουμε στις καρτεσιανές θα έχουμε: υ = υ x + υ y + υz
Επειδή δεν είναι δυνατόν να θεωρήσουμε, ότι κάποια συνιστώσα διαφέρει από τις άλλες, γιατί το σύστημα το έχουμε επιλέξει τυχαία, μπορούμε τώρα να γράψουμε: 1/ 1/ 1/ m - - mυ x/ kt m mυ y/ kt m -mυ z / kt d P = e dυ x e dυ y e dυ z πkt πkt πkt Τώρα λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι η πιθανότητα 1 μόριο (το ποσοστό των μορίων) να έχει x συνιστώσα της ταχύτητας μεταξύ υ x και υ x +dυ x δίνεται από τη σχέση: 1/ m - mυ x / kt dp ( υ x ) = e dυx πkt Ανάλογα αποτελέσματα παίρνουμε για τις y και z συνιστώσες
Τ 1 <Τ Προφανώς, όπως φαίνεται και από το σχήμα, θα ισχύει: Τ Τ 1 1/ m -mυ x / kt x x x - < υ > = υ e dυ = 0 πkt ΠΡΟΣΟΧΗ!!! < υ x > υx < > Δεν ισχύει το ίδιο για το ή το. + < υ x Συμβολίζουμε τώρα με τη μέση τιμή του υ x για 0 υ x. Τότε θα έχουμε: 1/ + m - + m υ x / kt x x x - < υ > = υ e dυ πkt 1/ 1/ m - m υ x / kt kt υ xe dυ x 0 = = πkt πm =
Να υπολογισθεί ο αριθμός των μορίων ιδανικού αερίου, που συγκρούονται με μοναδιαία επιφάνεια στη μονάδα του χρόνου. Εξετάζουμε το επίπεδο S. Τα μόρια κοντά του κινούνται χαοτικά. Για εμάς σημασία έχει η οριζόντια συνιστώσα της ταχύτητας.
Κατανοούμε ότι μπορούν να προσπέσουν στην S όσα σωματίδια κινούνται προς αυτήν Φέρουμε τον άξονα x κάθετα στην S και με φορά προς αυτήν x
Στην S σε χρόνο Δt θα χτυπήσουν όσα μόρια βρίσκονται σε κύλινδρο βάσης S και ύψους υδt (αν υποθέσουμε ότι η ταχύτητα ΚΑΘΕ μορίου είναι υ). υδt x Μπορεί να πει κανείς: Μα κάποια θα φεύγουν!... Ναι, αλλά όσα φεύγουν άλλα τόσα θα μπαίνουν υδt x
Βρήκαμε λοιπόν, πως σε χρόνο Δt θα χτυπήσουν στην S τα μόρια που κινούνται προς τα θετικά x και περιέχονται σε κύλινδρο, ο όγκος του οποίου είναι SυΔt. Ο Αριθμός τους θα είναι: ΌγκοςΣυγκέντρωση=[SυΔt]n υδt x Ας υποθέσουμε τώρα, πως οι οριζόντιες θετικές συνιστώσες των ταχυτήτων των μορίων είναι όλες ίδιες και ίσες με v. Τότε σε χρόνο Δt θα φτάνουν στην S (δηλαδή θα συγκρούονται με αυτή) n[svδt] μόρια.
Η ταχύτητα προς τα θετικά x Όλα την ίδια ταχύτητα Αυτό όμως το έχουμε ήδη υπολογίσει. + υ x + < υ x Για να βρούμε τον αριθμό των μορίων στη μονάδα του χρόνου και στη μονάδα της επιφάνειας, πρέπει να διαιρέσουμε το ΔΝ με S και Δt. ΔΝ ν = = SΔt + ns < υx SΔt Δt ν = n < υ + x kt = n πm 1/
1/ kt 1 ν = n = n < υ πm 4 Η επιλογή του S είχε τα εξής χαρακτηριστικά: Ήταν τυχαία όσον αφορά τη θέση και τον προσανατολισμό Ήταν τυχαία όσον αφορά το μέγεθος, δηλαδή αν το S είναι απειροστά μικρό θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε ότι δεν αναφερόμαστε σε επίπεδο, αλλά σε ΚΑΘΕ ΕΙΔΟΥΣ επιφάνεια. Επομένως το αποτέλεσμά μας ισχύει για κάθε επιφάνεια στο εσωτερικό ενός ιδανικού αερίου, ή για κάθε επιφάνεια του τοιχώματος ενός δοχείου που περιέχει ιδανικό αέριο. ΒΑΣΙΚΗ ΠΡΟ.Υ.ΠΟΘΕΣΗ ΓΙΑ ΝΑ ΙΣΧΥΕΙ ΤΟ ΑΠΟ- ΤΕΛΕΣΜΑ ΜΑΣ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΓΚΕ- ΝΤΡΩΣΗ, ΔΗΛΑΔΗ ΤΟ ΑΕΡΙΟ ΝΑ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΕ ΚΑΤΑ- ΣΤΑΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ
βαρύτητα φ, L, ω, n-περιστρ. u=l/δt u=lω/φ u n =Lω/(φ+ +πn)
Η κατανομή Maxwell δίνει τη νομοτέλεια της χαοτικής κίνησης των μορίων, το πλήθος των οποίων είναι ΠΟΛΥ ΜΕΓΑΛΟ. Όταν μιλούσαμε για ταχύτητες κ.τ.λ. θεωρούσαμε πάντα το σύστημα αναφοράς ακίνητο. Τέτοιο σύστημα αναφοράς είναι το σύστημα του Κ.Μ. Επομένως η ΔΙΑΤΕΤΑΓΜΕΝΗ κίνηση (κίνηση του Κ.Μ.) δεν μεταβάλλει τα μεγέθη αυτά, π.χ. τη «θερμοκρασία». Τα διάφορα μεγέθη που προέκυψαν από την κατανομή Maxwel (μέσες ταχύτητες, πιθανότερη ταχύτητα, «θερμοκρασία» κ.τ.λ) αναφέρονται σε μεγάλο πλήθος σωματιδίων. Επομένως ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΚΑΝΕΝΑ ΝΟΗΜΑ η φράση «θερμοκρασία ενός σωματιδίου» Η κατανομή Maxwell ισχύει στα ιδανικά αέρια, αλλά όχι μόνο σ αυτά. Γενικά ισχύει σε κάθε περίπτωση της κλασικής φυσικής που ασχολείται με την κατανομή των ταχυτήτων μεγάλου πλήθους αντικειμένων που κινούνται χαοτικά.
Υποθέτουμε, πως η ατμόσφαιρα των πλανητών (και της Γης) έχει σταθερή και την ίδια θερμοκρασία π.χ. 0 ο C. Για μόριο μάζας ίση με τη μέση μάζα των μορίων του ατμοσφαιρικού αέρα βρίσκουμε: υ Π 3.9410 m/s Η ταχύτητα διαφυγής είναι: υ Δ 1.110 4 m/s Επομένως βρίσκουμε: υ Δ / υ Π 8 Το ποσοστό των μορίων με ταχύτητες μεγαλύτερες της ταχύτητας διαφυγής [δηλ. Το P(υ Δ 8υ Π,)] είναι πρακτικά αμελητέο, όχι όμως μηδενικό. Επειδή τα μόρια της ατμόσφαιρας είναι πολλά, κάποια από αυτά (λίγα) θα έχουν ταχύτητες μεγαλύτερες από τη υ Δ, άρα θα χάνονται στο διάστημα.
Για τη Σελήνη υπό τις ίδιες προϋποθέσεις και αν υποθέσουμε ότι η σύνθεση της ατμόσφαιράς της ήταν ίδια με αυτή της Γης, ισχύει: υ Π 3.9410 m/s Η ταχύτητα διαφυγής είναι μόλις: υ Δ.410 3 m/s Επομένως βρίσκουμε: υ Δ / υ Π 6 Αυτό σημαίνει ότι το ποσοστό των μορίων που έφευγαν στο διάστημα ήταν πολύ μεγαλύτερο. Παίρνοντας υπόψη το γεγονός, ότι μετά τη διαφυγή των μορίων τα υπόλοιπα «επαναδιατάσσονται», έτσι ώστε να ισχύει η κατανομή Maxwell, καταλαβαίνουμε γιατί η Σελήνη έχασε τόσο «γρήγορα» την ατμόσφαιρά της
4. Υπολογίστε το ποσοστό των μορίων ιδανικού αερίου, οι ταχύτητες των οποίων διαφέρουν όχι περισσότερο από δη=1% από την τιμή της πιθανότερης ταχύτητας. Εξηγείστε ποιοτικά σε τι θα διαφέρουν οι υπολογισμοί σας αν π.χ. δη=30%. Επειδή το ποσοστό των μορίων συμπίπτει με την πιθανότητα, θα έχουμε: f(υ Π ) Όπου f(υ) η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας από την κατανομή Maxwell υ Π -δηυ Π υ Π δν υ Π +δηυ Π + N = f ( ) d -
δν f(υ Π ) Από το σχήμα καταλαβαίνουμε πως μπορούμε να θεωρήσουμε το δν ίσο με το εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου βάσης δηυ Π και ύψους f(υ Π ). υ Π υ Π -δηυ Π υ Π +δηυ Π 3/ m - Π / 4 m e kt Π ( Π ) N = f ( Π ) ( Π ) = kt 8 e -1 = 1,66% υπ = kt m Στην περίπτωση που δη=30% δεν μπορούμε να κάνουμε την προσέγγιση και πρέπει να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Αυτό όμως δεν μπορεί να γίνει αναλυτικά και πρέπει να χρησιμοποιήσουμε είτε πίνακες, είτε υπολογιστή.
5. Υπολογίστε το ποσοστό των μορίων ιδανικού αερίου, οι προβολές των ταχυτήτων των οποίων στον άξονα x βρίσκονται στην περιοχή υ x έως υ x +dυ x, ενώ τα μέτρα της κάθετης στην υ x συνιστώσας της ταχύτητας στην περιοχή από υ έως υ +dυ. Η μάζα κάθε μορίου είναι m και η θερμοκρασία του αερίου Τ. x υ x υ Από το σχήμα γίνεται κατανοητό, πως οι συνιστώσες που μας ενδιαφέρουν είναι οι από τις 3 συνιστώσες των ταχυτήτων στο κυλινδρικό σύστημα (δεν υπάρχει η γωνία φ). y υ z Επομένως πρέπει α) να χρησιμοποιήσουμε την κατανομή Maxwell για το Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων: dn N m = kt 3/ -m / kt e dxd ydz
y x υ x υ υ z β) Στη συνέχεια πρέπει να περάσουμε στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων σύμφωνα με το σχήμα, πράγμα που θα γίνει μόνο με τη χρήση της σχέσης: dυ x dυ y dυ z =υ dυ dυ x dφ γ) Το επόμενο βήμα είναι να ολοκληρώσουμε ως προς φ, γιατί οι γωνίες δεν μας ενδιαφέρουν. Το αποτέλεσμα της ολοκλήρωσης είναι π Άρα τελικά βρίσκουμε dn N 3/ m -m / kt e dd x = kt
Επιστρέφουμε στο αποτέλεσμα που πήραμε από την κατανομή Gibbs πριν θεωρήσουμε ότι δεν υπάρχει δυναμική ενέργεια. ε - p / kt - k / kt 1 x y z P d = A e dxdydz A d d d e Αυτή τη σχέση τώρα τη χωρίζουμε σε όρους P P P d = d ( x, y, z) d ( υ, υ, υ ) 1 x y z ε Το ο όρο τον ξέρουμε Ο 1 ος όρος γράφεται 3/ dn m -mυ / kt d P = = e dυxdυydυz N υ πkt dn -U/kT dp 1 ( x, y, z) = = A 1 e dxdydz N V
1 = dn N Η σταθερά Α1 υπολογίζεται από τη συνθήκη κανονικοποίησης V dn N = V -U/kT = A e dxdydz A = 1 1 V 1 V e -U/kT dn A1e dxdydz = A1 e dv = n = NA1 e dv dn = n 0 = NA1e dv n = n e Από τις παραπάνω σχέσεις εύκολα βρίσκουμε dxdydz -U/kT -U/kT -U ( x, y,z ) /kt Για κάποιο άλλο σημείο, το x 0, y 0, z 0, έχουμε: Και τελικά 0 -U ( x,y,z )/ kt 0 0 0 - [ U ( x, y,z )- U ( x 0, y 0,z 0 )]/ kt = n e -ΔU/kT 0 0
Ξέρουμε ότι η δυναμική ενέργεια ενός μορίου μάζας m στο πεδίο βαρύτητας ενός πλανήτη μάζας Μ, π.χ. της Γης είναι: Mm 1 1 n( r ) = n( r0 ) exp -G - kt r 0 r U( r ) = -G Mm r Θεωρούμε ότι η ατμόσφαιρα βρίσκεται σε ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ, δηλ. ότι η θερμοκρασία είναι παντού σταθερή και ίση με Τ. Τότε για την συγκέντρωση θα ισχύει Από εδώ, Για r παίρνουμε Mm 1 n( r ) = n( r0 ) exp - G = const kt r 0 Βρήκαμε ότι ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΣ αριθμός μορίων πρέπει να κατανεμηθεί με σταθερή συγκέντρωση σε ΑΠΕΙΡΟ χώρο. Η μοναδική συγκέντρωση θα είναι η ΜΗΔΕΝΙΚΗ
Η πίεση των αερίων στα τοιχώματα είναι αποτέλεσμα των κρούσεων των μορίων με αυτά. ΠΙΕΣΗ=ΔΥΝΑΜΗ ΔΥΝΑΜΗ/ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΔΥΝΑΜΗ=dp dp/dtdt Δεχόμαστε ότι οι κρούσεις των μορίων με τα τοιχώματα είναι ελαστικές υ x =υcosθ, Δp=mΔυ=mυcosθ=mυ x Ξέρουμε, ότι σε επιφάνεια S σε χρόνο Δt «προσπίπτουν» n SΔt σωματίδια. Επομένως η μεταβολή της ορμής όλων θα είναι m n SΔt + υ x + υ x + υ x
+ Δηλαδή για τη δύναμη θα έχουμε mn( υ ) x S. + Ενώ για την πίεση mn( υ ) x. Βέβαια για το μακροσκοπικό αποτέλεσμα θα πρέπει να βρούμε τη μέση τιμή της παραπάνω ποσότητας. 1/ m - x mυ / kt x x = 0 p( x ) = mn υ e dυ nkt πkt Επειδή στο αέριο δεν υπάρχει καμιά προνομιακή διεύθυνση θα είναι: p( x ) = p( y ) = p( z ) = p = nkt mυ p = n = nkt 3 ΒΑΣΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ
P d == A e pdxdydz A dυ dυ dυ e 3/ m -mυ / kt d = f ( υ) dυ 4π υ e dυ P ε - β - β 1 x y z = πkt t < t = t 1 ( t) f ( t) dt ε k υ Π = kt m < υ > = 8kT πm < u = 3kT m k T 1 ν = n = n < υ π m 4 n=ne 1 / - [ U ( x,y,z )- U ( x 0,y 0,z 0)]/ kt = ne -ΔU/kT 0 0 mυ p = n = nkt 3
Αν έχουμε αέριο, στο οποίο ΔΕΝ ΕΠΙΔΡΟΥΝ εξωτερικές δυνάμεις και βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας (ομογενώς κατανεμημένο) τότε θα ισχύει: n=n/v p=(n/v)kt mυ p = n = nkt 3 pv =NkT Αν έχουμε 1 γραμμομόριο ιδανικού αερίου Ν=Ν Α. Τότε ο όρος Ν Α k=8.31441 J/(mole molek) είναι σταθερός. Τον συμβολίζουμε με R και τον ονομάζουμε ΠΑΓΚΟΣΜΙΑ ΣΤΑΘΕΡΑ ΤΩΝ ΑΕΡΙΩΝ.
pv =RT Η εξίσωση αυτή ιστορικά προέκυψε από πειράματα και απετέλεσε τη βάση του ορισμού της θερμοκρασίας Kelvin. Επομένως τώρα μπορούμε να πούμε, πως το Τ, που είχαμε συμβατικά θεωρήσει θερμοκρασία, είναι πράγματι η θερμοκρασία Kelvin
Από τη σχέση p=nkt προέκυψε, ότι η πίεση εξαρτάται μόνο από τη συγκέντρωση και τη θερμοκρασία. Αν υποθέσουμε, πως η θερμοκρασία είναι σταθερή, ενώ, λόγω ύπαρξης εξωτερικού πεδίου, η συγκέντρωση μεταβάλλεται ακολουθώντας την κατανομή Boltzmann, τότε προκύπτει μια απλή σχέση που μας δίνει την εξάρτηση της πίεσης από τη δυναμική ενέργεια του εξωτερικού πεδίου: - ΔU/kT p = p e 0 Όπου ΔU η μεταβολή της δυναμικής ενέργειας από το σημείο στο οποίο η πίεση είναι p 0 έως το σημείο που η πίεση είναι p. Στην περίπτωση του ατμοσφαιρικού αέρα, αν θεωρήσουμε ότι η θερμοκρασία δεν μεταβάλλεται με το ύψος (μικρές μεταβολές ύψους) και ότι τα μόρια έχουν μια μέση μάζα <m> θα ισχύει: p( h ) = p e 0 -<m> gh/kt
6. Κενό αρχικά δοχείο όγκου V με λεπτά τοιχώματα βρίσκεται σε χώρο πολύ μεγάλων διαστάσεων που είναι γεμάτος με αέριο τα μόρια του οποίου έχουν μάζα m το καθένα. Η πίεση του αερίου είναι p 0 και η θερμοκρασία σταθερή και ίση με Τ. Στα τοιχώματα του δοχείου ανοίγουν μικρή οπή εμβαδού S. Υπολογίστε την πίεση στο εσωτερικό του δοχείου σαν συνάρτηση του χρόνου. Επειδή ο χώρος εκτός του δοχείου είναι μεγάλος η συγκέντρωση των μορίων σ αυτόν μπορεί να θεωρηθεί διαρκώς σταθερή και ίση με n 0 =p/( /(kt).
Τη χρονική στιγμή t η συγκέντρωση στο εσωτερικό του δοχείου θα είναι n=n(t). Τότε στην οπή σε χρόνο dt θα προσπίπτουν απ έξω (και κατά συνέπεια θα εισέρχονται) n 0 <υ>sdt/4 μόρια, ενώ από μέσα (και κατά συνέπεια θα εξέρχονται) n<υ>sdt/4 μόρια. Επομένως η μεταβολή του αριθμού των μορίων στο εσωτερικό του δοχείου θα είναι: dn= n 0 <υ>sdt/4 - n<υ>sdt/4=( =(n 0 -n) <υ>sdt/4. Ισχύει όμως dn=d(nv)=vdn Έτσι καταλήγουμε στη διαφορική εξίσωση dn 1 S < = ( n - n) 4 V 0 dt
Έχουμε λοιπόν το ολοκλήρωμα n dn 1 S = ( n - n) 4 V < 0 0 0 t dt n = n - e - t / 0 (1 ) ln n0 - n 1 S < = - n 4 V 0 όπου τ = 4V S < t Χρησιμοποιώντας τη βασική εξίσωση των ιδανικών αερίων p=nkt βρίσκουμε p = p - e (1 - t / ) 0 Για t=0 p=0 Για t pp 0
Μικροσκοπικά ξέρουμε ότι είναι ανάλογη της μέσης κινητικής ενέργειας του μορίου ΜΑΚΡΟΣΚΟΠΙΚΑ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΜΕΓΕΘΟΣ ΠΟΥ ΜΑΣ ΔΕΙΧΝΕΙ ΠΟΣΟ «ΖΕΣΤΟ» ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΩΜΑ Αυτό μπορούμε να το μετρήσουμε, χρησιμοποιώντας το γεγονός, ότι κάποιες ιδιότητες των σωμάτων (π.χ. διαστάσεις) μεταβάλλονται με τη μεταβολή της θερμοκρασίας. Για να μετρήσουμε λοιπόν τη θερμοκρασία μας χρειάζεται ένα σώμα (θερμομετρικό σώμα ΘΣ), ένα μέγεθος του οποίου (θερμομετρικό μέγεθος ΘΜ) μεταβάλλεται με τη μεταβολή της θερμοκρασίας. Έστω λ το ΘΜ. Διαλέγουμε σημεία αναφοράς και ορίζουμε (αυθαί-ρετα) τις θερμοκρασίες τους θ 1 και θ. ΒΑΘΜΟΣ της θερμομετρικής μας κλίμακας είναι το μέγεθος ΒΑΘΜΟΣ = λ θ - λ - θ 1 1
Οι πιο διαδεδομένες θερμομετρικές κλίμακες είναι: Θερμοκρασία τήξης του πάγου: θ 1 =0 Θερμοκρασία βρασμού του νερού: θ =100 Θερμοκρασία τήξης του πάγου: θ 1 =3 Θερμοκρασία βρασμού του νερού: θ =1 Πρέπει να έχουμε τέτοιο ΘΣ και τέτοιο ΘΜ ώστε: Α) Να έχουμε ευκολία και ακρίβεια μετρήσεων. Β) Και το ΘΣ και το ΘΜ να παραμένουν αναλλοίωτα. Γ) Να έχουμε τη δυνατότητα αναπαραγωγής ΘΣ και μετρήσεων Δ) Να μπορούμε να δουλεύουμε σε ευρεία κλίμακα θερμοκρασιών.
Όλα αυτά μας οδηγούν μονοσήμαντα στο να επιλέξουμε σαν ΘΣ το ΙΔΑΝΙΚΟ ΑΕΡΙΟ και σαν ΘΜ είτε το p, είτε το V και να χρησιμοποιήσουμε για τον προσδιορισμό του Τ την ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ. Ορίζουμε ως θερμοκρασίες αναφοράς και πάλι τη θερμοκρασία τήξης του πάγου (p 1, V 1, T 1 ) και τη θερμοκρασία βρασμού του νερού (p, V, T ) Έστω ότι επιλέγουμε να έχουμε V 1 =V =V
Απαιτούμε να ισχύει Τ -Τ 1 =100 Από τις μετρήσεις μας βρίσκουμε p /p 1 =1.3661 Με πράξεις παίρνουμε Τ =373.15, Τ 1 =73.15.
Ορίσαμε την θερμοκρασία Τ από τη μέση κινητική ενέργεια mυ 3 = kt Από τον ορισμό αυτό φαίνεται ότι ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ αρνητικές θερμοκρασίες, όμως δεν αποκλείεται να έχουμε μηδενική μέση κινητική ενέργεια, δηλαδή μηδενική θερμοκρασία ΤΟΣΟ Ο ΤΡΙΤΟΣ ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ, ΟΣΟ ΚΑΙ ΟΙ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΝ ΟΤΙ Η ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑ ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΓΙΝΕΙ ΜΗΔΕΝΙΚΗ
Ξέρουμε από τη Φυσική Ι (Δυναμική Συστήματος Σωματιδίων) ότι η εσωτερική ενέργεια ενός συστήματος σωματιδίων είναι η κινητική ενέργεια των σωματιδίων στο σύστημα του ΚΜ και η ενέργεια αλληλεπίδρασης των σωματιδίων. Στο ιδανικό αέριο δεν έχουμε αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μορίων. Επομένως στην περίπτωση αυτή θα έχουμε να κάνουμε μόνο με κινητική ενέργεια στο σύστημα του ΚΜ Αυτό βέβαια στην περίπτωση των σχετικά απλών σωματιδίων (μονοατομικό αέριο) Τι γίνεται όμως στην περίπτωση που τα μόρια ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΛΑ (μονοατομικά;) ΜΗΠΩΣ ΥΠΑΡΧΕΙ ΚΑΠΟΙΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ;
ΑΡΙΘΜΟΣ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ: Ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών που μας δίνουν τη δυνατότητα να προσδιορίσουμε πλήρως την κατάσταση ενός συστήματος 1 σημειακό σωματίδιο x, y, z υ x, υ y, υ z σημειακά σωματίδια x 1, y 1, z 1, x, y, z υ x1, υ y1, υ z1, υ x, υ y, υ z N σημειακά σωματίδια x 1, y 1, z 1, x N, y N, z N υ x1, υ y1, υ z1, υ xn, υ yn, υ zn 6 1=6 N6
x z z y Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση ενός διατομικού μορίου. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αποτελείται από άτομα τα οποία αλληλεπιδρούν (εδώ δεν μπορούμε να αγνοήσουμε τις δυνάμεις). z x y Ενέργεια περιστροφής Περιστροφή γύρω από τον άξονα x 1 I ω x x x y Ενέργεια περιστροφής Περιστροφή γύρω από τον άξονα z 1 I ω z z Κινητική ενέργεια 1 mυ Δυναμική ενέργεια 1 kx
Μόριο Περιστροφικοί Μεταφορικοί Ταλαντωτικοί. ΜΕΓΙΣΤΗ ΜΕΣΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Μονοατομικό 3 0 0 3kT/ Διατομικό 3 7kT/ Τριατομικό 3 3 6 1kT/
Για παράδειγμα ένα γραμμομόριο (mole) μονοατομικού αερίου. Υπάρχουν N A μόρια. Κάθε μόριο έχει 3 βαθμούς ελευθερίας Επομένως η εσωτερική του ενέργεια είναι: U=N A 3kT / =(3/)N A kt= (3/)RT Δεν διεγείρονται πάντα ΟΛΟΙ οι βαθμοί ελευθερίας. Στις συνηθισμένες θερμοκρασίες, κατά κανόνα, οι ταλαντωτικοί βαθμοί ελευθερίας ΔΕΝ είναι διηγερμένοι.
8. Με τι ισούται η ολική μέση κινητική ενέργεια μορίων (σκληρού) δυατομικού αερίου που περιέχεται σε όγκο 4 l, αν η πίεσή του είναι ίση με p=1,4710 5 Pa Διευκρινίζουμε ότι όταν λέμε σκληρό, εννοούμε ότι ΔΕΝ είναι διηγερμένοι οι ταλαντωτικοί βαθμοί ελευθερίας των μορίων. Αυτό είναι συνηθισμένο φαινόμενο στις συνθήκες του περιβάλλοντός μας. Από τη βασική εξίσωση της κινητικής θεωρίας των αερίων p m = n < 3 3 = n kt = nkt 3 Επειδή n=n/v kt = p N V kt = p n
Για την μεταφορική κίνηση των Ν μορίων παίρνουμε 3 EMET = N kt = 3 N p n = 3 Vp Για την περιστροφική κίνηση των Ν μορίων παίρνουμε Επομένως EΠΕΡ = N kt = N p = n Vp EΟΛ = EΜΕΤ + EΠΕΡ = 3 Vp Vp + = 5 = 1470 J Vp Συνέχεια Θεωρίας
Θεωρία Πείραμα C V /R (C P -C V )/R=1 He: 1.519 1.001 A: 1.5 1.008 N :.45 1.005 O :.50 1.004 Cl : 3.0 1.009 CO : 3.4 1.0 NH 3 : 3.4 1.06 Μονατομικά 3 (Καλή συμφωνία) Διατομικά 0=C=O 5 Πολυατομικά (>)
A 4 A q q 5 A 1 q 1 A 5 q 4 r n q O 7 q 3 q n A n A 7 A 3 q 6 A 6 Παρατηρούμε για χρόνο t (κατά διαστήματα Δt) το σωματίδιο Brown. Για την τελική μετατόπιση έχουμε: r n = n i= 1 q Επαναλαμβάνουμε πολλές φορές το ίδιο. Θα έχουμε: < r n = 0 < r n =? n n n i i i j i = 1 i= 1 i j < r = q = < q + < q q i
Επειδή όλες οι σειρές των πειραμάτων είναι ισοδύναμες: n i i i= 1 < q = a < q = na Το α είναι σταθερά που εξαρτάται από το χρόνο Δt. Κάθε παρατήρηση σε κάθε πείραμα είναι ανεξάρτητη από τις άλλες. Επομένως τα μεγέθη q i και q j είναι ανεξάρτητα. Έτσι: < qiq j = < q i >< q j = 0 Ο ολικός χρόνος ενός πειράματος είναι t, επομένως ο αριθμός των βημάτων σε κάθε παρατήρηση θα είναι n=t/δt t < rn = na = a = λt Δt Όπου το λ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τις συνθήκες του πειράματος (διάρκεια βήματος, είδος ρευστού κ.τ.λ.) ΕΠΟΜΕΝΩΣ Η ΜΕΣΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟ ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ ΕΚΚΙΝΗΣΗΣ ΑΥΞΑΝΕΙ ΜΕ ΤΗΝ ΠΑΡΟΔΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ
7. Σε κυλινδρικό δοχείο ύψους H περιέχεται 1 mole ιδανικού αερίου. Βρείτε τη θέση του ΚΜ του αερίου, θεωρώντας το πεδίο βαρύτητας ομογενές. Κάθε μόριο του αερίου έχει μάζα m, ενώ η θερμοκρασία είναι παντού σταθερή και ίση με Τ. z Έστω S το εμβαδόν της βάσης του κυλίνδρου. dz Το ΚΜ του αερίου θα βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας του κυλίνδρου z (τον z). Τότε θα ισχύει: z C zdm /( mn A) M Πρέπει να βρούμε το dm. Σε ύψος z επιλέγουμε στοιχειώδη κύλινδρο S ύψους dz. Τότε θα ισχύει: dm=mndv=mnsdz Από την κατανομή Boltzmann έχουμε: -U / kt -mgz / kt n = n e = n e Για να λύσουμε το πρόβλημα πρέπει να υπολογίσουμε το n 0 Από την κατανομή Boltzmann έχουμε: n = n e 0 -mgz / kt dn dv = n e Επομένως θα πρέπει να ισχύει: 0 -mgz / kt H -mgz / kt N A Sn0 e dz 0 0 0 dn = n e dv = Sn e dz -mgz / kt -mgz / kt 0 0 = Ν Α - ο αριθμός Avogadro Η άσκηση συνεχίζεται
kt mg -mgh / kt Από αυτό βρίσκουμε: N A = Sn0 (1 - e ) n0 = N A mgh / kt mg SkT (1 e - - ) Έτσι τώρα παίρνουμε: H -mgz / kt 0 /( ) 0 A zc = msn ze dz mn Sn N 0 = A kt mg mgh / kt 0 -x xe dx Sn / / 0 kt - x mgh kt -x mgh kt = - xe + e N 0 0 A mg [ ] 0 kt -mgh / kt -mgh / kt [ ( mgh / kt ) e (1 e )] Sn = - + - N A mg Αντικαθιστώντας το n 0 που έχουμε υπολογίσει παίρνουμε τελικά: Συνέχεια Θεωρίας z c kt - mgh kt e + -e = mg - -mgh / kt -mgh / kt [ ( / ) (1 )] -mgh / kt (1 e )
1.Τέσσερα (4) μόρια έχουν στη διάθεσή τους δεκαέξι (16) θέσεις. Ποια από τις δυο μικροκαταστάσεις του σχήματος έχει μεγαλύτερη πιθανότητα να υλοποιηθεί; Δικαιολογήστε την απάντησή σας..δίνεται η συνάρτηση κατανομής των ταχυτήτων που παριστάνεται στο σχήμα (γνωστό θεωρείται μόνο το u m ). Γι' αυτή την περίπτωση υπολογίστε το <υ> το <υ > την <Ε κιν > και τη σχετική διακύμανση της κινητικής ενέργειας (γνωστή θεωρείται η μάζα m κάθε μορίου).
3.Σε δοχείο περιέχεται ιδανικό αέριο θερμοκρασίας Τ. Κάθε μόριο έχει μάζα m. Υπολογίστε το άθροισμα: N A i= 1 όπου υ x η συνιστώσα της ταχύτητας και Ν Α ο αριθμός του Avogadro xi 4. Σε θερμικά μονωμένο κυβικό δοχείο, η ακμή του οποίου είναι α, περιέχεται διατομικό ιδανικό αέριο υπό πίεση p και θερμοκρασία Τ. Κάθε μόριο του αερίου έχει μάζα m. Υπολογίστε α) τη μέση απόσταση των μορίων, β) τη σχετική διακύμανση του αριθμού των μορίων που προσκρούουν στη μονάδα του χρόνου στη μονάδα της επιφάνειας, γ) το συνολικό αριθμό των κρούσεων των μορίων με τα τοιχώματα του δοχείου στη μονάδα του χρόνου.
5. Ξέρουμε την κατανομή Maxwell ως προς το μέτρο της ταχύτητας α) i) Βρείτε σε πρώτη προσέγγιση το ποσοστό των σωματιδίων οι ενέργειες των οποίων δεν διαφέρουν περισσότερο από ΔΕ από την πιθανότερη ενέργεια Ε Π (ΔΕ/Ε Π =0,01). ii) Βρείτε σε πρώτη προσέγγιση το ποσοστό των μορίων, η ενέργεια των οποίων είναι μικρότερη από 0,01kT. 6. Για κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να σχεδιάσετε ποιοτικά στο ίδιο διάγραμμα τις κατανομές Maxwell για δυο ιδανικά αέρια αιτιολογώντας τες (ν 1 και ν ο αριθμός των γραμμομορίων των αερίων, m 1 και m η μάζα κάθε μορίου τους και Τ 1 και Τ οι θερμοκρασίες τους): i) Ισχύει ν 1 = ν, m 1 = m, Τ 1 > Τ. ii) Ισχύει ν 1 = ν, m 1 > m, Τ 1 = Τ. iii) Ισχύει ν 1 > ν, m 1 = m, Τ 1 = Τ.
7. Σε σφαιρικό δοχείο ακτίνας R σε θερμοκρασία Τ περιέχονται ν γραμμομόρια ιδανικού αερίου που αποτελείται από μόρια, το καθένα από τα οποία έχει μάζα m. α) Υπολογίστε τη σχετική διακύμανση του αριθμού των μορίων που συγκρούονται με τη μονάδα της επιφάνειας των τοιχωμάτων στη μονάδα του χρόνου. β) Υπολογίστε τη σχετική διακύμανση του αριθμού των μορίων που συγκρούονται σε χρόνο Δt με ολόκληρη την επιφάνεια του δοχείου. γ) Υπολογίστε τη συχνότητα κρούσεων κάθε μορίου με τα τοιχώματα του δοχείου. δ) Αν ο όγκος του δοχείου μειωθεί αδιαβατικά, έτσι, ώστε η ακτίνα του να γίνει R/, πόσες φορές θα μεταβληθεί η συχνότητα κρούσεων κάθε μορίου; 8. Κενό αρχικά δοχείο με λεπτά τοιχώματα έχει όγκο V και βρίσκεται ανάμεσα στους χώρους Ι και ΙΙ (βλ. σχ.} Στους χώρους αυτούς περιέχονται μόρια του ίδιου αερίου με σταθερές πυκνότητες n1 και n αντίστοιχα. Κάθε μόριο έχει μάζα m. To σύστημα διατηρείται σε σταθερή θερμοκρασία Τ. Στα τοιχώματα του δοχείου ανοίγουμε μικρές οπές εμβαδού S η κάθε μία. α) Υπολογίστε την πίεση στο εσωτερικό του δοχείου σαν συνάρτηση του χρόνου, β) εξηγήστε γιατί το δοχείο πρέπει να έχει λεπτά τοιχώματα και η οπή να είναι μικρή.
9. Θερμικά μονωμένο δοχείο περιέχει μονοατομικό ιδανικό αέριο θερμοκρασίας Τ και κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Το δοχείο σταματά απότομα. Πόσο τοις εκατό θα μεταβληθεί η πίεση στο εσωτερικό του δοχείου μετά την πάροδο αρκετού χρόνου; Θεωρείστε ότι ο όγκος του δοχείου παραμένει σταθερός. Κάθε μόριο του αερίου έχει μάζα m.
Πείραμα: η C=C(T) dq c = όμως Διατομικό C V = 5 7 R R (Τ ) dt