Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΝΙΚΟΣ ΙΑΚΩΒΙ ΗΣ

Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΝΙΚΟΣ ΙΑΚΩΒΙ ΗΣ

Περιεχόµενα Καθαρές (pure) και Μεικτές (mixed) καταστάσεις συστήµατος 3. Καθαρές καταστάσεις σε σύστηµα µε σπιν........... 3. Μεικτές καταστάσεις σε σύστηµα µε σπιν........... 5 Θεωρητική περιγραφή του Πίνακα Πυκνότητας 8. Καθαρές και Μεικτές καταστάσεις σε κβαντικά συστήµατα µε περισσότερους ϐαθµούς ελευθερίας....... 8. Ο Πίνακας Πυκνότητας και οι ϐασικές ιδιότητές του.......3 Χρονική Εξέλιξη του Πίνακα Πυκνότητας............ 5 3 Εφαρµογές του Πίνακα Πυκνότητας 8 3. Ο Πίνακας Πυκνότητας για σύστηµα µε σπιν......... 8 3. Κβαντικά Beats......................... 0

Καθαρές (pure) και Μεικτές (mixed) καταστάσεις συστήµατος. Καθαρές καταστάσεις σε σύστηµα µε σπιν Ενα σύστηµα σωµατιδίων µε σπιν έχει δύο ϐαθµούς ελευθερίας και αυτό ϑα µας διευκολύνει στην διατύπωση των εννοιών που συσχετίζονται µε τον πίνακα πυκνότητας. Θα ξεκινήσουµε µε µια απλή περιγραφή του πειράµατος των Stern-Gerlach µέσω του οποίου ϑα διατυπώσουµε την έννοια της Καθαρής κατάστασης. Εστω µία δέσµη σωµατιδίων µε σπιν (για παράδειγµα άτοµα υδρογόνου) η οποία διέρχεται µέσα από ένα µαγνήτη, το µαγνητικό πεδίο του οποίου ε- ίναι παράλληλο µε τον άξονα z (ως προς ένα σταθερό σύστηµα αναφοράς x, y, z). Οπως έχει αποδειχθεί πειραµατικά, η δέσµη ϑα διαχωριστεί σε δύο µέρη και το κάθε µέρος ϑα αντιστοιχεί σε µία από τις δύο πιθανές ιδιοτι- µές της z-συνιστώσας του τελεστή του σπιν Ŝ, (m S = ±/). Εστω τώρα µία τροποποιηµένη διάταξη στην οποία έχουµε τοποθετήσει ένα ϕίλτρο που αποκόπτει το µέρος της δέσµης που αντιστοιχεί σε m S = /. Αν µέσα από αυτή τη διάταξη διέλθει µία δέσµη µε σωµατίδια τα οποία έχουν όλα m S = +/, αυτή ϑα περάσει χωρίς να µειωθεί η έντασή της. Αντίστοιχα, αν µία δέσµη σωµατιδίων έχει σπιν προσανατολισµένο προς έναν άξονα z και εµείς περιστρέψουµε την πειραµατική διάταξη παράλληλα προς αυτόν, αυτή ϑα διέλθει χωρίς απώλειες. Ετσι, µπορούµε να ορίσουµε την Καθαρή κατάσταση : Αν µπορούµε να ϐρούµε µία διεύθυνση για την πειραµατική διάταξη Stern-Gerlach, για την οποία µία δέσµη σωµατιδίων διέρχεται χωρίς απώλειες, τότε λέµε ότι αυτή η δέσµη ϐρίσκεται σε Καθαρή κατάσταση σπιν. Με ηµικλασικούς όρους ϑα µπορούσαµε να πούµε ότι µία κατάσταση σπιν είναι Καθαρή, αν το διάνυσµα του σπιν όλων των σωµατιδίων περιστρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα και η προβολή του σε αυτόν είναι +/ (αντίστοιχα και για -/). Αν γνωρίζουµε ότι µία δέσµη σωµατιδίων ϐρίσκεται σε Καθαρή κατάσταση σπιν, τότε η ολική κατάσταση που ϐρίσκονται τα σωµατίδια µπορεί να πα- ϱασταθεί µε ένα και µοναδικό καταστατικό διάνυσµα χ. Μία δέσµη της οποίας όλα τα σωµατίδια έχουν σπιν m S = +/ ως προς τον άξονα z µπο- ϱέι να παρασταθεί ως χ = +/ και αντίστοιχα αν τα σωµατίδια έχουν m S = / τότε είναι χ = /. Αυτό το διάνυσµα το ορίζουµε για ο- λόκληρη τη δέσµη. Τα προηγούµενα ket µπορούν να παρασταθούν και µε 3

πίνακες-στήλες δύο διαστάσεων ως εξής ( ) + = και 0 = ( 0 ) Τα αντίστοιχα bra ϑα είναι οι πίνακες-γραµµές ( ) ( ) + = 0 και = 0 Αν ϑεωρήσουµε τις δύο παραπάνω καταστάσεις σπιν ως ϐάση στον χώρο των σπιν, τότε µία οποιαδήποτε κατάσταση σπιν ϑα µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός αυτών των καταστάσεων ως εξής χ = α + + α Στην αναπαράσταση µε πίνακες, η προηγούµενη έκφραση και η συζυγής της γράφονται ( ) α χ = και χ = ( ) α α α όπου α και α οι συζυγείς µιγαδικοί των α και α. Η κατάσταση χ είναι κανονικοποιηµένη όταν ισχύει χ χ = α + α = Καταλήγουµε, λοιπόν, στο συµπέρασµα ότι µία κατάσταση σπιν είναι Καθαρή όταν γνωρίζουµε τα στοιχεία πίνακα α και α. ηλαδή, όταν το σπιν έχει καθορισµένη διεύθυνση στον χώρο. Τα α και α µπορούν να παραµετροποιηθούν χρησιµοποιώντας τις γωνίες θ και δ, όπου θ η πολική γωνία (ορίζεται από τον άξονα z και ένα τυχόν διάνυσµα) και δ η αζιµουθιακή γωνία (στο επίπεδο xy). Η γωνία δ εκφράζει τη ϕάση µεταξύ των συνιστωσών α και α, και ϑεωρώντας το α πραγµατικό και το α µιγαδικό, µπορούµε να ορίσουµε α = cos θ και α = e iδ sin θ Μία γενική κατάσταση σπιν µπορεί να γραφεί µε ϐάση τα προηγούµενα ( ) cos θ χ = e iδ sin θ 4

Αν µία δέσµη σωµατιδίων ϐρίσκεται σε Καθαρή κατάσταση σπιν, και το σπιν τους είναι παράλληλο µε τον ϑετικό άξονα x, ϑα έχει θ = 90 και δ = 0. Συνεπώς, η κατάσταση αυτή γράφεται +, x = ( ) Μία δέσµη µε σπιν-κάτω ως προς τον άξονα x ϑα έχει θ = 90 και δ = 80. Το διάνυσµα της κατάστασης ϑα έιναι, x = ( ) Αντίστοιχα, οι καταστάσεις µε σπιν-πάνω και σπιν-κάτω ως προς τον άξονα y ϑα είναι +, y = ( ) και i, y = ( ) i Οι τέσσερεις παραπάνω καταστάσεις είναι γραµµικοί συνδυασµοί των καταστάσεων + και µε το ίδιο πλάτος α = α = / αλλά διαφορετικές σχετικές ϕάσεις (δ).. Μεικτές καταστάσεις σε σύστηµα µε σπιν Εστω µία δέσµη µε N σωµατίδια τα οποία έχουν σπιν + και µία άλλη δέσµη µε N σωµατίδια (που δηµιουργήθηκε ανεξάρτητα από την πρώτη) µε σπιν. Αν ενώσουµε τις δύο δέσµες και στείλουµε τη συνδυασµένη δέσµη µέσα από ένα ϕίλτρο Stern-Gerlach (δηλαδή τη γνωστή διάταξη αλλά µε προσθήκη ενός ϕίλτρου που αποκόπτει τη µία από τις δύο εξερχόµενες δέσµες), τότε ϑα διαπιστώσουµε ότι δεν υπάρχει δυνατός προσανατολισµός της διάταξης που να επιτρέπει ολόκληρη τη δέσµη να εξέλθει χωρίς απώλειες. Συνεπώς, εξ ορισµού η κατάσταση της δέσµης δεν είναι Καθαρή. Ορίζουµε ως Μεικτές καταστάσεις, τις καταστάσεις εκείνες που δεν είναι Καθαρές. Η συνδυασµένη δέσµη δεν µπορεί να περιγραφεί από ένα καταστατικό διάνυσµα (ιδιοσυνάρτηση του σπιν) χ διότι σε µία τέτοια κατάσταση όλα τα σπιν είναι παράλληλα προς µία διεύθυνση. ηλαδή, αυτή η Μεικτή κατάσταση δεν µπορεί να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός των καταστάσεων 5

+ και όπου αυτές ϑα αντιπροσωπεύουν τις δύο αρχικές δέσµες. Για να είναι δυνατό αυτό πρέπει να γνωρίζουµε τα πλάτη α και α και τη σχετική τους ϕάση δ. Στην Μεικτή κατάσταση, αυτό που γνωρίζουµε είναι οι πιθανότητες W και W να ϐρούµε ένα σωµατίδιο στις καταστάσεις + και αντίστοιχα, όπου W = N /N και W = N /N. Επίσης, η πιθανότητα να ϐρόυµε ένα σωµατίδιο σε µία από τις δύο ιδιοκαταστάσεις είναι α και α. ηλαδή W = α και W = α Συνεπώς, σε µία Μεικτή κατάσταση, γνωρίζουµε τα τετράγωνα των πλατών αλλά όχι τη µεταξύ τους ϕάση. Οµως χωρίς τη γωνία δ δεν µπορούµε να κατασκευάσουµε µία ιδιοσυνάρτηση του σπιν s η οποία να περιγράφει τη συνδυασµένη δέσµη. Η διαφορά της Καθαρής από τη Μεικτή κατάσταση µπορεί να γίνει σα- ϕέστερη µε το επόµενο παράδειγµα. Εστω µία δέσµη σωµατιδίων όπου όλα τα σωµατίδια έχουν σπιν παράλληλο µε τον άξονα y (Καθαρή κατάσταση). Αυτή η ιδιοσυνάρτηση του σπιν γράφεται +, y = ( ) = ( + i + i ) Αν αυτή η δέσµη διέλθει µέσω ενός ϕίλτρου Stern-Gerlach (το οποίο επιτρέπει µόνο σε σωµατίδια µε σπιν παράλληλο στον άξονα z να διέλθουν) είναι αδύνατο να γνωρίζουµε για ένα συγκεκριµένο σωµατίδιο αν ϑα περάσει ή ϑα αποκοπεί. Αυτό συµβαίνει διότι η ίδια η µέτρηση διαταράσει το σύστη- µα µας. Στη συγκεκριµένη περίπτωση, η πειραµατική διάταξη αλλάζει την και µε τυχαίο τρόπο. Το µόνο κατάσταση σπιν των σωµατιδίων σε + που µπορούµε να πούµε είναι ότι κάθε σωµατίδιο έχει πιθανότητα ίση µε / µετά τη µέτρηση να έχει σπιν παράλληλο ή αντιπαράλληλο προς τον άξονα z. ηλαδή, τα µισά σωµατίδια ϑα εξέλθουν από τη διάταξη και τα άλλα µισά ϑα αποκοπούν. Η µόνη περίπτωση όπου ϑα µπορούσαµε να προβλέψουµε την κατάσταση σπιν των σωµατιδίων µετά τη µέτρηση, είναι αυτή κατά την οποία το ϕίλτρο είναι προσανατολισµένο παράλληλα µε τον άξονα y. Τότε ϑα γνωρίζαµε την τελική κατάσταση σπιν όλων των σωµατιδίων από πριν. Η προηγούµενη κατάσταση µπορεί να περιγραφεί κβαντικά ως εξής : πριν εισελθουν στη διάταξη, όλα τα σωµατίδια της δέσµης έχουν κβαντικό αριθµό σπιν m y = +/ (δηλαδή έχουν σπιν παράλληλο προς τον y άξονα). Ο κβαντικός τους αριθµός σπιν ως προς τον άξονα z είναι ακαθόριστος, δηλαδή 6

τα σωµατίδια δεν γνωρίζουν το m τους. Η ίδια η µέτρηση είναι αυτή που αναγκάζει τελικά τα σωµατίδια να αποκτήσουν έναν από τους δύο πιθανούς κβαντικούς αριθµούς σπιν ως προς τον z άξονα. Η πιθανότητα να αποκτήσουν σπιν παράλληλο ή αντιπαράλληλο ως προς τον z είναι /. Εστω τώρα η Μεικτή κατάσταση N σωµατιδίων όπου N = N/ σωµατίδια ϐρίσκονται στην κατάσταση + N = N/ σωµατίδια ϐρίσκονται στην κατάσταση µε τις δύο δέσµες να έχουν προετοιµαστεί ανεξάρτητα. Αν η συνισταµένη δέσµη περάσει µέσα από το ϕίλτρο Stern-Gerlach, η εξερχόµενη δέσµη ϑα έχει τη µισή ένταση. ηλαδή, τα σωµατίδια που ϐρισκονταν στην κατάσταση + ϑα περάσουν ενώ τα υπόλοιπα ϑα αποκοπούν. Παρατηρούµε ότι και στις δύο περιπτώσεις το αποτέλεσµα του πειράµατος είναι το ίδιο. Οµως, ενώ στην Καθαρή κατάσταση έχουµε ακριβή γνώση για την κατάσταση των σωµατιδίων πριν το πείραµα, στην περίπτωση της Μεικτής γνωρίζουµε µόνο το ότι κάθε σωµατίδιο έχει την ίδια πιθανότητα να ϐρίσκεται στην κατάσταση + ή στην. ηλαδή, η Μεικτή κατάσταση δεν είναι πλήρως καθορισµένη (δεν µπορούµε να περιγράψουµε όλη τη δέσµη µε ένα καταστατικό διάνυσµα Κετ). Αυτή η ελλιπής γνώση για το σύστηµα µας οδηγεί στη χρήση στατιστικής για την περιγραφή της αρχικής του κατάστασης. 7

Θεωρητική περιγραφή του Πίνακα Πυκνότητας. Καθαρές και Μεικτές καταστάσεις σε κβαντικά συστήµατα µε περισσότερους ϐαθµούς ελευθερίας Σε αυτό το σηµείο ϑα γενικεύσουµε τα προηγούµενα, για την περίπτωση που έχουµε ένα σύστηµα µε οποιονδήποτε αριθµό ϐαθµών ελευθερίας. Στην κλασική µηχανική, η δυναµική κατάσταση ενός συστήµατος είναι πλήρως καθορισµένη όταν γνωρίζουµε τις ϑέσεις και τις ορµές όλων των σωµατιδίων από τα οποία αποτελείται το σύστηµα. Στην κβαντική µηχανική όµως δεν είναι πάντα δυνατό να γνωρίζουµε µε ακρίβεια και ταυτόχρονα τις τιµές όλων των µεταβλητών ενός συστήµατος, παρά µόνο τις µέσες τιµές τους. Γι αυτό, πρέπει να ορίσουµε ποιά είναι η Μεγιστη υνατή Πληροφορία για ένα σύστηµα στην κβαντοµηχανική. Για να µπορέσουµε να µετρήσουµε δύο µεγέθη ταυτόχρονα, πρέπει οι τελεστές που αντιστοιχούν σε αυτά τα µεγέθη να αντιµετατίθενται. Ετσι, αν δύο τελεστές Q και Q αντιµετατίθενται, είναι δυνατό να ϐρούµε το σύστηµα σε καταστάσεις στις οποίες οι τελεστές έχουν συγκεκριµένες ιδιοτιµές q και q. Αν ϐρούµε κι άλλους τελεστές που αντιµετατίθενται (µεταξύ τους και µε τους προηγούµενους) αυξάνουµε τη γνώση µας για την κατάσταση του συστήµατος, αφού ϑα γνωρίζουµε µε ακρίβεια την τιµή περισσότερων µεγεθών. Ο µέγιστος αριθµός τελεστών που µπορούν να ϐρεθούν Q, Q, Q 3,... µε ι- διοτιµές q, q, q 3,... και για τους οποίους ισχύει [Q i, Q j ] = 0, ϑα µας δώσει τη µέγιστη πληροφορία για το σύστηµα. Η µέτρηση ενός άλλου µεγέθους, ο τελεστής του οποίου δεν αντιµετατίθενται µε κάποιον από τους προηγούµενους, εισάγει αβεβαιότητα σε τουλάχιστον ένα από τα µεγέθη που έχουν ήδη µετρηθεί. ηλαδή, δεν µπορούµε να χαρακτηρίσουµε το σύστηµα αναλυτικότερα. Συνεπώς, η µέγιστη πληροφορία που µπορούµε να αποκτήσουµε για ένα σύστηµα, αποτελείται από τις ιδιοτιµές q, q, q 3,... των µεγεθών που µετρήθηκαν, στα οποία αντιστοιχούν τελεστές που αντιµετατίθενται. Ενα τέτοιο σύστηµα µπορεί να αναπαρασταθεί από την ιδιοκατάσταση ψ = q, q,... Αν ξαναµετρήσουµε τα µεγέθη Q, Q,... σε σύστηµα που ϐρίσκεται στην προηγούµενη κατάσταση, τότε είναι σίγουρο ότι οι τιµές που ϑα ϐρούµε ϑα 8

είναι οι ιδιοτιµές q, q,.... Μία τέτοια κατάσταση Μέγιστης Πληροφορίας για το σύστηµα (όπου µπο- ϱούµε να προβλέψουµε τα αποτελέσµατα πειραµατικών µετρήσεων για τον µέγιστο αριθµό µεγεθών) ονοµάζεται Καθαρή Κατάσταση. Οι Καθαρές καταστάσεις αντιπροσωπεύουν το ανώτατο όριο ακριβούς παρατήρησης που επιτρέπει η Αρχή της Αβεβαιότητας, και είναι για την κβαντοµηχανική ότι είναι για την κλασική µηχανική η γνώση των ϑέσεων και των ορµών όλων των σω- µατιδίων. Το πότε ένα σύστηµα τελεστών που αντιµετατίθενται είναι πλήρες, µπορεί να απαντηθεί µόνο µε τη διεξαγωγή πειράµατος. Η επιλογή µίας οµάδας τελεστών που αντιµετατίθενται δεν είναι µοναδική. Εστω µία οµάδα τελεστών και µία άλλη οµάδα Q, Q,... µε ιδιοσυναρτήσεις ψ = q, q,... Q, Q,... µε ιδιοσυναρτήσεις φ = q, q,... όπου τουλάχιστον ένας τελεστής από τη δεύτερη οµάδα δεν αντιµετατίθεται µε την πρώτη οµάδα. Αν ένα σύστηµα ϐρίσκεται στην κατάσταση ψ µπορεί πάντα να γραφεί ως γραµµικός συνδυασµός όλων των ιδιοκαταστάσεων των τελεστών Q, Q,... ως εξής : ψ = n α n φ n () όπου ο δείκτης n διαχωρίζει τις διαφορετικές ιδιοκαταστάσεις. Τα ιδιοκέτ φ n τα χρησιµοποιήσαµε ως ϐάση στον χώρο των ιδιοσυναρτήσεων και µπορούµε να πούµε ότι έχουµε γράψει την κατάσταση ψ στην { φ n } αναπαράσταση. Πάντοτε ϑα ϑεωρούµε ότι οι ιδιοκαταστάσεις της ϐάσης είναι ορθοκανονικές : και πλήρεις φ n φ m = δ nm () φ n φ n = (3) Λόγω της σχέσης (), τα πλάτη α n µπορούν να γραφούν n α n = φ n ψ (4) 9

Θεωρώντας την ψ κανονικοποιηµένη έχουµε ψ ψ = n α n = (5) Τα α n µας δίνουν την πιθανότητα το σύστηµα να ϐρίσκεται στην ιδιοκατάσταση n. Από τη σχέση () συµπεραίνουµε ότι για να χαρακτηρίσου- µε πλήρως µία Καθαρή κατάσταση, πρέπει είτε να γνωρίζουµε τις ιδιοτιµές q, q,... ενός πλήρους συνόλου τελεστών, είτε να γνωρίζουµε τα πλάτη α n µε τα οποία γράφουµε την κατάσταση ψ ως γραµµικό συνδυασµό των ιδιοκαταστάσεων φ n ενός άλλου πλήρους συνόλου τελεστών. Η δεύτερη µέθοδος συνήθως µας διευκολύνει περισσότερο. Στην πραγµατικότητα, σχεδόν ποτέ δεν µπορούµε να προετοιµάσουµε ένα σύστηµα µε τέτοιον τρόπο ώστε να ϐρεθεί σε Καθαρή κατάσταση, και συνεπώς οι τελεστές των µεγεθών που µετρούµε δεν αποτελούν πλήρες σύνολο. Το αποτέλεσµα είναι να έχουµε ένα σύστηµα που δεν είναι σε Καθαρή κατάσταση και άρα δεν µπορεί να αναπαρασταθεί µε ένα ιδιοκέτ. Μπορεί όµως να περιγραφεί, αν πούµε ότι έχει συγκεκριµένες πιθανότητες W, W,... να ϐρεθεί στις Καθαρές καταστάσεις φ, φ,... αντιστοίχως. Οταν δηλαδή έχουµε ένα σύστηµα, το οποίο ϐρίσκεται σε µία µίξη καταστάσεων, πρέπει να χρησιµοποιήσουµε στατιστική για την περιγραφή του όπως και στην κλασική στατιστική µηχανική. Εστω ένα σύνολο σωµατιδίων στην Καθαρή κατάσταση ψ. Αν αυτή η κατάσταση δεν είναι µία από τις ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Q, τότε η µέτρηση του µεγέθους που αντιστοιχεί σ αυτόν τον τελεστή ϑα µας δώσει διάφορα αποτελέσµατα, το καθένα από τα οποία ϑα είναι ιδιοτιµή του Q. Αν κάνουµε αυτές τις µετρήσεις σε ένα µεγάλο αριθµό σωµατιδίων (όπου όλα τα σωµατίδια ϐρίσκονται στην κατάσταση ψ ) τότε, γενικά, ϑα πάρουµε όλες τις δυνατές ιδιοτιµές του Q. Η µέση τιµή αυτών των αποτελεσµάτων είναι η αναµενόµενη τιµή Q του τελεστή Q, η οποία δίνεται από το στοιχείο πίνακα Q = ψ Q ψ (6) Αν ϑέλουµε να υπολογίσουµε την αναµενόµενη τιµή Q για ένα σύστηµα που ϐρίσκεται σε µία µίξη καταστάσεων ψ, ψ,..., πρέπει να ϐρούµε τις αναµενόµενες τιµές Q n = ψ n Q ψ n για κάθε µία από τις Καθαρές καταστάσεις, και στη συνέχεια να υπολογίσουµε τη µέση τιµή τους αθροίζοντας για όλες τις καταστάσεις, αφού πρώτα τις πολλαπλασιάσουµε µε το στατιστικό τους ϐάρος W 0

Q = n W n ψ n Q ψ n (7) Η παραπάνω σχέση περιέχει δύο στατιστικά µεγέθη. Το πρώτο είναι η µέση τιµή του τελεστή Q, αλλά επειδή προέρχεται από τη διατάραξη του συστήµατος εξαιτίας της µέτρησης, είναι καθαρά κβαντικό µεγεθός. Το δεύτερο όµως, που είναι το στατιστικό ϐάρος W, µας χρησιµεύει διότι δεν γνωρίζουµε σε ποιά από τις πιθανές Καθαρές καταστάσεις ϐρίσκεται το σύστηµα. ηλαδή το χρησιµοποιούµε λόγω της ελλιπούς γνώσης µας για την κατάσταση του συστήµατος και γι αυτό είναι καθαρά στατιστικό µέγεθος.. Ο Πίνακας Πυκνότητας και οι ϐασικές ιδιότητές του Εστω ένα σύστηµα το οποίο ϐρίσκεται σε µία µίξη (ανεξάρτητα προετοιµασµένων) καταστάσεων ψ n µε αντίστοιχα στατιστικά ϐάρη W n. Αυτές οι καταστάσεις δεν είναι απαραίτητο να είναι ορθοκανονικές µεταξύ τους. Ο τελεστής πυκνότητας που περιγράφει αυτή τη µίξη ορίζεται ως ρ = n W n ψ n ψ n (8) Για να γράψουµε τον παραπάνω τελεστή σε µορφή πίνακα πρέπει πρώτα να διαλέξουµε µία κατάλληλη ϐάση ιδιοκαταστάσεων. Εστω οι ιδιοκαταστάσεις φ, φ,... για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις () και (3). Γράφοντας τις καταστάσεις ψ n ως γραµµικό συνδυασµό των φ παίρνουµε και ψ n = αm n φ m (9) m ψ n = m α n m φ m (0) Αντικαθιστώντας στη σχέση (8) παίρνουµε ρ = nm m W n α n m αn m φ m φ m () Για να πάρουµε τα στοιχεία πίνακα των µεταξύ των καταστάσεων φ j και φ i από τη σχέση (), πολλαπλασιάζουµε αριστερά και δεξιά τον τελεστή

πυκνότητας µε αυτές τις καταστάσεις. Λαµβάνοντας υπόψη τη σχέση ορθογωνιότητας τελικά παίρνουµε φ i ρ φ j = n W n α n i α n j () Το σύνολο όλων των στοιχείων της παραπάνω σχέσης, όπου τα i και j παίρνουν όλες τις δυνατές τιµές τους (οι οποίες είναι για το καθένα ίσες µε τη διάσταση του χώρου των ιδιοσυναρτήσεων φ ), δίνουν την αναπαράσταση του τελεστή ρ σε µορφή πίνακα. Αυτός ο πίνακας είναι ο Πίνακας Πυκνότητας. Επειδή η ϐάση που χρησιµοποιήσαµε είναι η φ n, λέµε ότι η σχέση () δίνει τα στοιχεία του Πίνακα Πυκνότητας στην { φ n } αναπαράσταση. Με ϐάση τις προηγούµενες σχέσεις µπορούµε να αποδείξουµε κάποιες ιδιότητες του Πίνακα Πυκνότητας. ) Από τη σχέση () ϕαίνεται ότι ο ρ είναι ερµιτιανός διότι για τα στοιχεία του πίνακα ισχύει Άρα φ i ρ φ j = φ j ρ φ i (3) ρ = ρ (4) ) Αφού η πιθανότητα το σύστηµα να ϐρεθεί στην κατάσταση ψ n είναι W n, και η πιθανότητα η ψ n να ϐρεθεί στην κατάσταση φ m είναι α n m, η πιθανότητα το σύστηµα να ϐρεθεί στην κατάσταση φ m δίνεται από τα διαγώνια στοιχεία φ m ρ φ m ρ mm = n W n α n m (5) Η παραπάνω σχέση δίνει µία ϕυσική ερµηνεία στα διαγώνια στοιχεία του Πίνακα Πυκνότητας. Επειδή οι πιθανότητες W n είναι ϑετικοί αριθµοί συµπεραίνουµε ότι ρ mm 0 (6) 3) Η πιθανότητα W (ψ) το σύστηµα να ϐρεθεί σε µία τυχαία κατάσταση ψ δίνεται από τη σχέση W (ψ) = ψ ρ ψ (7) Αντικαθιστώντας το ρ από τη σχέση (8) έχουµε W (ψ) = n W n ψ n ψ (8)

4) Το ίχνος ρ είναι ανεξάρτητο της αναπαράστασης. Λαµβάνοντας υπόψη ότι W n = n και ότι οι φ m είναι κανονικοποιηµένες έχουµε tr(ρ) = ρ ii = W n αi n = (9) i n 5) Η αναµενόµενη τιµή ενός τελεστή Q δίνεται απο το ίχνος του γινοµένου ρq. Χρησιµοποιώντας τις σχέσεις (7), (9), (0) και () παίρνουµε Q = W n αmα n m n φ m Q φ m mm n = mm φ m ρ φ m φ m Q φ m = m φ m ρq φ m = tr(ρq) i (0) Για να περιγράψουµε σύστηµα στην κβαντοµηχανική πρέπει να γνωρίζου- µε τις αναµενόµενες τιµές κατάλληλα επιλεγµένων τελεστών. ηλαδή, το ϐασικό µας πρόβληµα είναι να υπολογίσουµε αυτές τις αναµενόµενες τιµές. Επειδή η αναµενόµενη τιµή κάθε τελεστή µπορεί να προκύψει από τη σχέση (0), συµπεραίνουµε ότι ο Πίνακας Πυκνότητας περιέχει όλες τις απαραίτητες πληροφορίες για την περιγραφή ενός συστήµατος. Η σχέση (0) είναι συνήθως πιο κατάλληλη από την () για τον ορισµό του Πίνακα Πυκνότητας (όπως ϑα ϕανεί και στη συνέχεια). Εστω ότι επιλέγουµε µια οµάδα τελεστών Q, Q,... οι οποίοι είναι τόσοι, όσες και οι ανεξάρτητες παράµετροι του ρ. Εστω επίσης ότι µας δίνονται οι αναµενόµενες τιµές τους Q, Q,... ως αρχική πληροφορία για το σύστηµα. Ο Πίνακας Πυκνότητας του συστήµατος µπορεί να ϐρεθεί αν λύσουµε τις εξισώσεις tr(ρq i ) = Q i () Οταν ο ρ υπολογιστεί µε αυτόν τον τρόπο, κάθε επόµενη αναµενόµενη τιµή ενός τελεστή µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση (0). Συνήθως, οι αρχικές µας πληροφορίες για ένα σύστηµα είναι αναµενόµενες τιµές οµάδας τελεστών και όχι καθορισµένες Καθαρές καταστάσεις στις οποίες µπορεί να 3

ϐρίσκεται το σύστηµα (µε αντίστοιχα στατιστικά ϐάρη). Γι αυτό, η µέθοδος που περιγράψαµε είναι τις περισσότερες ϕορές καταλληλότερη για την περιγραφή ενός συστήµατος. 6) Θα υπολογίσουµε τον αριθµό των ανεξάρτητων παραµέτρων που χρεια- Ϲόµαστε για να προσδιορίσουµε τον Πίνακα Πυκνότητας. Γενικά, η ϐάση που χρησιµοποιούµε { φ n } εχει άπειρη διάσταση. Αν όµως µας ενδιαφέρει µία συγκεκριµένη ιδιότητα του συστήµατος (π.χ. το σπιν) τότε η διάσταση του χώρου είναι πεπερασµένη. Αν η ϐάση που χρησιµοποιούµε έχει διάσταση N, τότε ο ρ ϑα ειναι ένας Ν-διάσταστος τετραγωνικός πίνακας. Τα στοιχεία του πίνακα ϑα είναι N και επειδή είναι εν γένει µιγαδικοί αριθµοί ο αριθµός των ανεξάρτητων παραµέτρων ϑα είναι N πραγµατικοί αριθµοί. Οµως, επειδή ο πίνακας είναι ερµιτιανός, ο αριθµός των ανεξάρτητων παραµέτρων ϑα είναι τελικά N. Αν λάβουµε υπόψη και το γεγονός ότι το ίχνος του πίνακα είναι ίσο µε τη µονάδα, τότε ο αριθµός των ανεξάρτητων παραµέτρων γίνεται N πραγµατικοί αριθµοι Ο αριθµός αυτός µπορεί να µειωθεί αν υπάρχουν συµµετρίες στο σύστηµά µας και να µειωθεί περαιτέρω, αν είναι γνωστό ότι το σύστηµα ϐρίσκεται σε Καθαρή κατάσταση. 7) Θα αποδείξουµε τώρα µία ιδιότητα του Πίνακα Πυκνότητας, µε ϐάση την οποία µπορούµε να ξεχωρίσουµε πότε ένα σύστηµα ϐρίσκεται σε καθαρή κατάσταση και πότε όχι. Αν ένα σύστηµα ϐρίσκεται σε Καθαρή κατάσταση, τότε ο τελεστής πυκνότητάς του γράφεται ρ = ψ ψ () Ο Πίνακας Πυκνότητας µπορεί να κατακευαστεί σε µια αναπαράσταση στην οποία η ψ είναι µία από τις ιδιοκαταστάσεις που συνθέτουν τη ϐάση του χώρου. Εστω η ϐάση ψ = ψ, ψ, ψ 3,... για την οποία προφανώς όλα τα στοιχεία του Πίνακα Πυκνότητας ϑα είναι µηδέν εκτός από το στοιχείο της πρώτης γραµµής και στήλης. Για µία Καθαρή κατάσταση, λοιπόν, συµπεραίνουµε ότι ισχύει tr ( ρ ) = (tr(ρ)) (3) Εστω τώρα ένα σύστηµα το οποίο δεν γνωρίζουµε αν ϐρίσκεται σε Καθαρή κατάσταση, αλλά µας έχει δοθεί ο Πίνακας Πυκνότητάς του. Αν διαγωνιοποιήσουµε αυτόν τον πίνακα και διαπιστώσουµε ότι επιβιώνει µόνο ένα στοιχείο 4

του (έστω το α ii ) τότε το σύστηµα ϑα ϐρίσκεται σε Καθαρή κατάσταση. Οµως η διαγωνιοποίηση είναι συνήθως πολύ δύσκολη και γι αυτό ϑα δείξουµε ότι υπάρχει µία συνθήκη που είναι ευκολότερο να χρησιµοποιούµε. Θα αποδείξουµε ότι η σχέση tr ( ρ ) (tr(ρ)) (4) ισχύει γενικά. Εστω ένας τυχαίος Πίνακας Πυκνότητας ο οποίος έχει διαγωνιοποιηθεί και τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι W n. Τότε ισχύει tr ( ρ ) = n W n (5) και ( ) (tr(ρ)) = W n (6) Επειδή οι αριθµοί W n είναι ϑετικοί, είναι προφανές ότι για πίνακα που έχει διαγωνιοποιηθεί η σχέση (4) ισχύει. Επειδή η τιµή του ίχνους ενός πίνακα παραµένει αµετάβλητη όταν αλλάζει η αναπαράσταση, συµπεραίνου- µε ότι η σχέση (4) ισχύει γενικά. Αποδείξαµε δηλαδή ότι η εξίσωση (3) είναι ικανή και αναγαία συνθήκη ώστε ένας Πίνακας Πυκνότητας να αναπαριστά σύστηµα σε Καθαρή κατάσταση. n.3 Χρονική Εξέλιξη του Πίνακα Πυκνότητας Οταν ο τελεστής του Hamilton Schrödinger γράφεται εξαρτάται από τον χρόνο, η εξίσωση του i ψ(t) t Ορίζουµε τον τελεστή χρονικής εξέλιξης U(t) ως εξής = H(t) ψ(t) (7) ψ(t) = U(t) ψ(0) (8) ηλαδή, είναι ο τελεστής που µας δίνει την κυµατοσυνάρτηση τη χρονική στιγµή t, αν γνωρίζουµε την κυµατοσυνάρτηση τη χρονική στιγµή t = 0. Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην εξίσωση του Schrödinger παίρνουµε i U(t) ψ(0) = H(t)U(t) ψ(0) (9) t 5

Επειδή η παραπάνω σχέση ισχύει για οποιάδήποτε κατάσταση ψ(0) µπο- ϱούµε να γράψουµε i U(t) = H(t)U(t) (30) t Οταν ο τελεστής του Χάµιλτον είναι ανεξάρτητος από το χρόνο, ο τελεστής της χρονικής εξέλιξης προκύπτει ότι είναι U(t) = e ( i/ )Ht (3) Εστω ένα σύστηµα το οποίο ϐρίσκεται σε µία µίξη καταστάσεων και τη χρονική στιγµή t = 0 σε αυτό αντιστοιχεί ο τελεστής πυκνότητας ρ(0) = n W n ψ(0) n ψ(0) n (3) Ο τελεστής πυκνότητας τη στιγµή t προκύπτει αν αντικαταστήσουµε τις καταστάσεις ψ(0) n µε τις ψ(t) n. ηλαδή ρ(t) = n = n W n ψ(t) n ψ(t) n W n U(t) ψ(0) n ψ(0) n U(t) (33) Αντικαθιστώντας τη σχέση (3) στην (33) παίρνουµε ρ(t) = U(t)ρ(0)U(t) (34) Αν ο τελεστής του Hamilton είναι ανεξάρτητος του χρόνου τότε ρ(t) = e ( i/ )Ht ρ(0)e (i/ )Ht (35) Αν παραγωγίσουµε τη σχέση (34) ϑα πάρουµε i ρ(t) t = i U(t) ρ(0)u(t) + i U(t)ρ(0) U(t) t t (36) Αντικαθιστώντας την παράγωγο του U(t) από τη σχέση (30) και υπολογίζοντας την παράγωγο του U(t) από την ίδια σχέση i ρ(t) t = H(t)U(t)ρ(0)U(t) U(t)ρ(0)U(t) H(t) (37) 6

Τέλος, κάνοντας χρήση της σχέσης (34) καταλήγουµε i ρ(t) t = [H(t), ρ(t)] (38) Η χρονική εξέλιξη του τελεστή πυκνότητας ρ µπορεί να προκύψει είτε από τη σχέση (34) είτε από τη σχέση (38). Η διαφορική εξίσωση (38) καλείται συχνά εξίσωση Liouville γιατί έχει την ίδια µορφή µε την οµόνυµη εξίσωση στην κλασική µηχανική. Οι εξισώσεις (8) και (38) είναι οι ϐασικές εξισώσεις αυτής της ϑεωρίας, διότι η ταυτόχρονη λύση τους οδηγεί στις εξισώσεις µεταβολής των παρατηρούµενων µεγεθών. 7

3 Εφαρµογές του Πίνακα Πυκνότητας 3. Ο Πίνακας Πυκνότητας για σύστηµα µε σπιν Θεωρούµε ένα σύστηµα το οποίο αποτελείται από N a σωµατίδια στην κατάσταση σπιν χ a και N b σωµατίδια στην κατάσταση σπιν χ b (προετοιµασµένα ανεξάρτητα από τα πρώτα). Για να περιγράψουµε τη δέσµη ϑα χρησιµοποιήσουµε τον τελεστή πυκνότητας ρ όπου ρ = n W n χ n χ n = W a χ a χ a + W b χ b χ b (39) Για τα στατιστικά ϐάρη W προφανώς ισχύει W a = N a /N και W b = N b /N µε N = N a + N b. Για να γράψουµε τον ρ σε µορφή πίνακα πρέπει πρώτα να επιλέξουµε µία ϐάση στον χώρο των σπιν ώστε να εκφράσουµε τα χ a και χ b ως γραµµικό συνδυασµό τους. Συνήθως επιλέγουµε τις καταστάσεις όπου το σπιν είναι παράλληλο και αντιπαράλληλο στον άξονα z. Τις καταστάσεις αυτές ϑα τις συµβολίσουµε χ = + και χ =. Με ϐάση τα παραπάνω, τα χ a και χ b γράφονται χ a = α a + + αa χ b = α b + + αb (40) Στην αναπαράσταση µε πίνακες-στήλες έχουµε ) χ a = ( α a α a και χ b = ( α b α b ) (4) Οι αντίστοιχοι πίνακες-γραµµές είναι χ a = ( ) α a α a και χ b = ( α b α b ) (4) Με ϐάση τους κανόνες πολλαπλασιασµού πινάκων µπορούµε να υπολογίσου- µε το εξωτερικό γινόµενο χ a χ a ( ) α a χ a χ a = ( ) α α a a α a ( ) α a = αα a a (43) α a α a α a 8

και αντίστοιχα υπολογίζουµε το χ b χ b. Αντικαθιστώντας αυτές τις εκ- ϕράσεις στον τελεστή πυκνότητας (σχέση 39) παίρνουµε ρ = W a α a + W b α b W a αα a a + W b αα b b (44) W a α a α a + W b α b α b W a α a + W b α b Επειδή επιλέξαµε ως ϐάση { τις καταστάσεις ±, λέµε ότι έχουµε γράψει τον Πίνακα Πυκνότητας στην ± } αναπαράσταση. Το στοιχείο του πίνακα που ϐρίσκεται στην σειρά i και γραµµή j εκφράζεται ως εξής χ i ρ χ j = W a α a i α a j + W b α b iα b j (45) όπου i, j =, Ο Πίνακας Πυκνότητας ϑα έχει διαφορετική µορφή σε κάθε αναπαράσταση, ενώ ο τελεστής πυκνότητητας (σχέση 39) είναι ανεξάρτητος από την ε- πιλογή ϐάσης. Πάντα ϑα υποθέτουµε ότι οι καταστάσεις της ϐάσης είναι ορθοκανονικές, δηλαδή χ i χ j = δ ij (46) Το ίχνος του Πίνακα Πυκνότητας είναι ανεξάρτητο της αναπαράστασης και λόγω του ότι οι καταστάσεις χ a και χ b είναι κανονικοποιηµένες ϑα ισχύει Τα διαγώνια στοιχεία του Πίνακα Πυκνότητας tr(ρ) = W a + W b = (47) χ i ρ χ i = W a α a i + W b α b i (48) µας δίνουν την ολική πιθανότητα για ένα σύστηµα που ϐρίσκεται σε µίξη καταστάσεων να ϐρεθεί σε µία από τις καταστάσεις της ϐάσης χ i. Αυτό το συµπέρασµα µπορεί να γενικευθεί για οποιαδήποτε Καθαρή κατάσταση (δηλαδή όχι µόνο για κατάσταση της ϐάσης). Επιδρούµε αριστερά και δεξιά από τον Πίνακα Πυκνότητας (σχ. 39) µε την κατάσταση χ χ ρ χ = W a χ χ a χ a χ + W b χ χ b χ b χ = W a α a + W b α b (49) όπου α a = χ a χ και α b = χ b χ. Συγκρίνοντας την εξίσωση (49) µε την (48) ϐλέπουµε ότι το στοιχείο πίνακα χ ρ χ δίνει την ολική πιθανότητα να 9

ϐρούµε ένα σωµατίδιο στην Καθαρή κατάσταση χ, όταν αυτό ανήκει σε ένα σύστηµα το οποίο ϐρίσκεται σε µία µίξη καταστάσεων η οποία αντιπροσωπεύεται από τον πίνακα πυκνότητας ρ. ηλαδή, αν µια δέσµη σωµατιδίων µε πίνακα πυκνότητας ρ περάσει µέσα από ένα ϕίλτρο Stern-Gerlach το οποίο επιτρέπει τη διέλευση σωµατιδίων µε σπιν χ, η σχέση (49) µας δίνει την πιθανότητα που έχει κάθε σωµατίδιο να περάσει µέσα από το ϕίλτρο. Για παράδειγµα, έστω ένα σύστηµα σωµατιδίων που αποτελείται από N σωµατίδια στην κατάσταση χ = + και N στην κατάσταση χ =. Η συνισταµένη δέσµη έχει τελεστή πυκνότητας ρ = W + + + W (50) Ο Πίνακας Πυκνότητας στην { ± } αναπαράσταση είναι διαγώνιος χ i ρ χ j = W i δ ij (5) Η πιθανότητα για κάθε σωµατίδιο αυτής της δέσµης να περάσει από ένα ϕίλτρο που επιτρέπει τη διέλευση µόνο σωµατιδίων µε σπιν παράλληλο στον y άξονα δίνεται από το στοιχείο πίνακα +, y ρ, y (5) Αν γράψουµε το +, y στην { ± } αναπαράσταση ϑα πάρουµε +, y ρ +, y = ( i ) ( W 0 0 W = (W + W ) ) ( i ) (53) 3. Κβαντικά Beats Η µελέτη των κβαντικών Beats ϑα γίνει µε υπεραπλουστευµένο τρόπο, µε µοναδικό σκοπό να κατανοήσουµε τη χρησιµότητα των µη διαγώνιων στοιχείων του Πίνακα Πυκνότητας. Εστω ένα σύνολο ατόµων τα οποία ϐρίσκονται όλα στη ϐασική τους κατάσταση 0 µε ενέργεια καλά καθορισµένη και ίση µε E 0. Τα άτοµα µπορούν να µεταβούν σε διεγερµένη κατάσταση µε την απορρόφηση ϕωτονίων. Αν η διέγερση των ατόµων προκαλείται από παλµούς ϕωτός πολύ µικρής χρονικής διάρκειας t (µικρότερης από το χρόνο Ϲωής των διεγερµένων καταστάσεων) 0

τότε µπορούµε να πούµε ότι οι διεγέρσεις εγίναν στιγµιαία, ας πούµε τη χρονική στιγµή t = 0. Η συχνότητα του κάθε απορροφούµενου ϕωτονίου έχει ένα εύρος ω / t και η αβεβαιότητα στην ενέργειά τους είναι E = ω. Οι δύο πρώτες διεγερµένες στάθµες των ατόµων φ και φ έχουν ενέργειες E και E αντίστοιχα. Υποθέτουµε ότι η αβεβαιότητα στην ενέργεια των ϕωτονίων είναι µεγάλυτερη της διαφοράς ενέργειας αυτών των δύο ενεργειακών σταθµών, δηλαδή E > E E. Τότε, η ενέργεια των διεγερµένων ατόµων δεν ϑα είναι καλά καθορισµένη και η κατάστασή αµέσως µετά τη διέγερση ϑα είναι ένας γραµµικός συνδυασµός των δύο διεγερµένων καταστάσεων ψ(0) = α φ(0) + α φ(0) (54) Αν η αποδιέγερση των ατόµων περιγράφεται ϕαινοµενολογικά από τον παράγοντα e /γ it, τότε η χρονική εξέλιξη της σχέσης (54) ϑα είναι ψ(t) = α e (i )E t e (γ /)t φ(0) + α e (i )E t e (γ /)t φ(0) (55) όπου γ, γ οι σταθερές αποδιέγερσης των καταστάσεων φ και φ και φ(t) i = e (i )E it φ(0) i (56) η χρονική εξέλιξή τους. Η ένταση του εκπεµπόµενου ϕωτός των ατόµων που αποδιεγείρονται αποδεικνύεται ότι δίνεται από τη σχέση I(t) 0 er ψ(t) = α 0 er φ(t) + α 0 er φ(t) (57) όπου e το διάνυσµα πόλωσης των εκπεµπόµενων ϕωτονίων και r ο διπολικός τελεστής. Αν ϑέσουµε 0 er φ(0) i = A i και (γ + γ ) = γ και αντικαταστήσουµε από τη σχέση (55) ϑα πάρουµε I(t) α A e γt + α A e γt + α α A A e (i/ )(E E )t e γt + α α A A e +(i/ )(E E )t e γt (58) Η σχέση (58) δείχνει ότι η ένταση I(t) µεταβάλλεται περιοδικά µε το χρόνο µε συχνότητα (/ )(E E ). Αυτό το ϕαινόµενο είναι γνωστό ως Κβαντικά Beats. Η εξίσωση (58) δείχνει ότι είναι δυνατό να µετρήσουµε µικρές ενεργειακές διαφορές αν υπολογίσουµε τη συχνότητα των beats. Αυτή η µέθοδος χρησιµοποιείται πλέον ευρύτατα στην ατοµική ϕασµατοσκοπία.

Τη σχέση (58) µπορούµε να την γενικεύσουµε ως εξής : Ο τελεστής πυκνότητας των διεγερµένων ατόµων (αµέσως µετά τη διέγερσή τους) είναι ρ(0) = ψ(0) ψ(0) Χρησιµοποιώντας ως ϐάση τις ενεργειακές καταστάσεις φ και φ, τα στοιχεία του Πίνακα Πυκνότητας σε αυτή την αναπαράσταση δίνονται από τη σχέση φ i ρ φ j = ρ ij = α i α j (59) όπου i, j =,. Είναι, λοιπόν, δυνατό να κάνουµε την ακόλουθη γενίκευση της σχέσης (58). Εστω ότι τη στιγµή t = 0 µία διεγερµένη ατοµική κατάσταση δεν είναι Καθαρή, αλλά περιγράφεται από έναν Πίνακα Πυκνότητας ρ(0) ο οποίος είναι γραµµένος στην { φ } αναπαράσταση. Σε αυτή την περίπτωση η σχέση (58) συνεχίζει να ισχύει αν αντικαταστήσουµε τα στοιχεία ρ ij του Πίνακα Πυκνότητας µε τις αντίστοιχες ποσότητες α i αj. Συµπεραίνουµε, λοιπόν, ότι τα κβαντικά beats σχετίζονται µε τη χρονική εξέλιξη των µη-διαγώνιων στοιχείων του Πίνακα Πυκνότητας ρ(0). Αν ο Πίνακας Πυκνότητας είναι διαγώνιος (στην ενεργειακή αναπαράσταση) τότε η ένταση I(t) της ακτινοβολίας δεν ϑα µεταβάλλεται περιοδικά και δεν ϑα παρατηρείται το ϕαινόµενο των κβαντικών beats.