ÂéâëéïìÜèçìá Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç êëáóìüôùí Ðïëëáðëáóéáóìüò êëáóìüôùí Áíôßóôñïöïé áñéèìïß Πως προσθέτουµε οµώνυµα και πως ετερώνυµα κλάσµατα ; Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων Το άθροισµα δύο οµώνυµων κλασµάτων ισούται µε το κλάσµα που έχει αριθµητή το άθροισµα των αριθµητών και παρονοµαστή τον ίδιο. Η διαφορά δύο οµώνυµων κλασµάτων ισούται µε το κλάσµα που έχει αριθµητή την διαφορά των δύο αριθµητών και παρονοµαστή τον ίδιο. Για να προσθέσουµε ή να αφαιρέσουµε δύο ετερώνυµα κλάσµατα τα µετατρέπουµε σε οµώνυµα και µετά τα προσθέτουµε ή τα αφαιρούµε. Όταν έχουµε άθροισµα ενός φυσικού αριθµού και ενός κλάσµατος παραλείπουµε το σύµβολο (+) και γράφουµε: 5+ = 5 + = Οι αριθµοί αυτοί λέγονται µικτοί. Κάθε φυσικός αριθµός θεωρείται κλάσµα µε παρονοµαστή την µονάδα.
46. Τα κλάσµατα Να βρείτε τα παρακάτω αθροίσµατα: α. + 6 5 5 δ. + 5 β. + 4 + 5 ε. + 6 6 + 6 7 α. + = = β. 5 5 5 5 γ. + στ. 4 + 7 4 4 5 + 4+ 5 + + = = γ. δ. ε. στ. Οµοίως τις διαφορές: α. 5-4 4 β. 7-5 5 γ. 8-0 5 δ. - α. 5 5 = = β. 7 = 7 = 5 = 4 4 4 4 5 5 5 5 γ. δ. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
Τα κλάσµατα 47. Να γίνουν οι πράξεις: α. + + 6 β. + - 4 6 α. β. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. x+ = β. 5 +x= 7 γ. 5 x = 6 α. β. γ. Να γίνουν οι πράξεις: α. β. 5 γ. 6 7 α. = + = + = + = β. + 8 γ. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
48. Τα κλάσµατα Ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε 5 ηµέρες ενώ ένας άλλος το τελειώνει σε 6 ηµέρες. Τι µέρος του έργου τελειώνουν σε µέρα και οι δύο εργάτες; Σε µία µέρα ο ένας εργάτης τελειώνει το 5 του έργου ενώ ο άλλος το 6 του έργου. Αν εργαστούν και οι δύο µαζί τελειώνουν το + 5 6 του έργου, δηλαδή του έργου. Ένας πολιτικός µηχανικός σχεδιάζει ένα πάρκο. Τα 5 του χώρου γίνονται παιδικές χαρές, στο γίνεται δενδροφύτευση και ο υπόλοιπος χώρος γήπεδο µπάσκετ. Τι µέρος του χώρου είναι το γήπεδο; Προσθέτουµε τα µέρη που γίνονται: παιδική χαρά και χώρος πρασίνου και στη συνέχεια αφαιρούµε από την. Τα 4 5 του πάρκου είναι το γήπεδο του µπάσκετ. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο 5 ώστε να βρούµε άθροισµα. Έστω ότι θα προσθέσουµε τον αριθµό x τότε: x 5 + = ή Από ποιον αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε το 4 και να βρούµε 8. Έστω ο x ζητούµενος αριθµός τότε: x = ή 4 8 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
Τα κλάσµατα 49. Άρα ο ζητούµενος αριθµός είναι 5 8. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης: + + + + + 4 4 5. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. + 4 β. + 4 + 6 γ. 5 5 δ. 4 + ε. 4 5 + στ. 8 4 7 + + 0 0 0 +. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. + + β. 4 8 4 γ. + + + 5 0 + + + 4 δ. + + + + + 4. Να υπολογίσετε τις διαφορές: Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
50. Τα κλάσµατα α. 5 β. γ. 8 6 6 5 5 9 9 δ. 5 ε. 6 στ. 7 0 5 9 4. Να εκτελέσετε τις πράξεις: α. 4 + 5 0 0 5 δ. + + 6 β. + ε. 4 + 5. Nα γράψετε του µικτούς κλάσµατα: 4, 5, 7, γ. 4 5 5 6 6. Nα γράψετε του µικτούς κλάσµατα: 54 7, 8 5, 00 7, 4 9, 75 4, 89 7. Σηµειώστε την ένδειξη σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) δίπλα στις παρακάτω σχέσεις. 8 = (...) 4 5 = (...) 5 5 + = 5 (...) 5 4 4 = (...) 7 7 8. Να λυθούν οι εξισώσεις: 7 α. x + = β. 4 8 δ. 4 x = ε. 5 5 7 x+ = γ. x = 0 x = στ. x+ = 9. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο 5 ώστε να βρούµε άθροισµα 5. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
Τα κλάσµατα 5. 0. Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε από το 6 5 ώστε να βρούµε διαφορά 0.. Ένας αγρότης έχει 5 στρέµµατα λεµονιές, στρέµµατα σιτάρι. Πόσα στρέµµατα έχει συνολικά; 7 στρέµµατα ελιές και 0 6. Ο δήµος µιας πόλης διαθέτει το 5 των εσόδων του για την καθαριότητα, τα 7 για τη διαµόρφωση χώρων. Τι µέρος των εσόδων διαθέτει για τις υπόλοιπες ανάγκες του δήµου;. Ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε 8 ηµέρες ενώ ένας άλλος το ίδιο έργο σε 0 ηµέρες. Να βρείτε το µέρος του έργου που τελειώνουν οι δύο εργάτες όταν εργάζονται µαζί σε µία µέρα. 4. Αν x =, y = και z =, να βρείτε την τιµή της παράστασης K = x+ y+ z. 5. Αν α = +, Μ = α+ β γ. β = + και γ =, να βρείτε την τιµή της παράστασης 6 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
5. Τα κλάσµατα Πως πολλαπλασιάζουµε κλάσµατα ; Το γινόµενο δύο κλασµάτων ισούται µε το κλάσµα το οποίο έχει αριθµητή το γινόµενο των αριθµητών και παρανοµαστή το γινόµενο των παρανοµαστών Πολλαπλασιασµός κλασµάτων Αντίστροφοι αριθµοί α γ α γ = β δ β δ. Αντίστροφοι λέγονται δύο αριθµοί που το γινόµενο τους ισούται µε τη µονάδα α αντίστροφος β α β β α = β α = α α αντίστροφος α α Προσοχή στον πολλαπλασιασµό κλασµάτων δεν κάνουµε οµώνυµα. Το µηδέν δεν έχει αντίστροφο. Ο αντίστροφος του είναι το. Όταν πολλαπλασιάζουµε ένα φυσικό αριθµό µε ένα κλάσµα, πολλαπλασιάζουµε τον φυσικό µε τον αριθµητή του κλάσµατος ( είναι σαν να βάζουµε ως παρανοµαστή την µονάδα και µετά να κάνουµε τον πολλαπλασιασµό των κλασµάτων ). µ Για να βρούµε τα ( διαβάζουµε : µ νιοστά ) ενός αριθµού x εκτελούµε τον ν πολλαπλασιασµό µ µ x µ x x = =. ν ν ν Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
Τα κλάσµατα 5. Να βρείτε τα γινόµενα: α. 4 β. 5 γ. 5 7 8 ε. 4 9 στ. 7 7 ζ. 0 6 α. = = β. 5 = 5 = 0 4 4 8 7 7 δ. 4 γ. 5 = 5 = 5 8 8 4 6 δ. = = = 4 4 4 4 στ. 7 = 7 = 4 = 7 7 4 ε. 4 4 4 = = = = 4 9 9 9 9 ζ. 0 = 0 6 Να βρείτε τα γινόµενα: α. α β β γ β. 8 6 7 5 γ. 7 9 i. α β = α ii. 8 = 8 = iii. β γ γ 6 6 Στον πολλαπλασιασµό κλασµάτων πριν κάνω την πράξη µπορώ να απλοποιώ αριθµητή µε παρανοµαστή ιδιαίτερα τους ί- διους αριθµούς, κ λ = κ λ µ µ 7 5 7 5 5 0 = = = 7 9 7 9 9 9 Να γίνουν οι πράξεις: α. + 4 6 β. + + 5 0 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
54. Τα κλάσµατα α. β. Ένας µαθητής είχε 0. Από αυτά ξόδεψε το 6 για να αγοράσει βιβλία, τα 5 των υπόλοιπων στην καντίνα του σχολείου. Του περίσεψαν χρήµατα και πόσα; Για βιβλία ξόδεψε: 0 0 0 = = = 5 6 6 6 Το υπόλοιπο είναι: 0 5 = 5 Στην καντίνα ξόδεψε: 5 50 5 = = = 0 5 5 5 Άρα του περίσεψαν: 5 0 = 5 Ένας αγρότης παράγει.000 κιλά ντοµάτας. Την πρώτη ηµέρα πουλάει το 4 της παραγωγής, την δεύτερη ηµέρα το της υπόλοιπης. Πόσα κιλά ντοµάτα περίσεψαν; 000 Την πρώτη ηµέρα πούλησε: 000 = = 50 κιλά 4 4 του έµειναν: 000 50 = 750 κιλά Την δεύτερη ηµέρα πούλησε: 750 750 = = 50 κιλά του έµειναν: 750 50 = 500 κιλά Το σιτάρι δίνει τα 8 9 του βάρους του σε αλεύρι και αυτό µε τη σειρά του δίνει τα 7 8 του βάρους του σε ψωµί. Αν σ ένα φούρνο υπήρχαν.800 κιλά σιτάρι, πόσα κιλά ψωµί θα παρασκευαστεί; 8 800 8 00 8 Τα 800 κιλά σιτάρι δίνουν: 800 = = = 600 κιλά αλεύρι 9 9 9 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
Τα κλάσµατα 55. Τα 600 κιλά αλεύρι δίνουν: 7 600 7 8 00 7 600 = = = 00 7 = 400 κιλά ψωµι 8 8 8 Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθµών: α. 5 β. 8 γ. δ. ε. 0 αντίστροφος 5 αντίστροφος 8 αντίστροφος α. β. γ. 5 8 αντίστροφος δ. ε. 0, δεν υπάρχει αντίστροφος Να λυθούν οι εξισώσεις: 8 α. x = β. x = γ. x = δ. x 0= ε. x = 8 7 α. x =, άρα x = β. x =, άρα x = γ. x =, άρα x = 8 8 8 7 δ. x 0=, αδύνατο ε. x = άρα x = 7 8 Σε µια τάξη της Α Γυµνασίου µε 4 µαθητές σ ένα τεστ τα παίρνουν βαθµό 8 κάτω από τη βάση και το αυτών παίρνει άριστα. Ποιοι είναι οι µαθητές αυτοί; Παίρνουν κάτω από την βάση: Παίρνουν άριστα: 4 8 8 4 = = = = 9 µαθητές 8 8 8 8 4 4 4 = = = µαθητές Να βρείτε τον αντίστροφο του αριθµού: Α = + +. 4 άρα Α =. Ο αντίστροφος του Α είναι ο. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
56. Τα κλάσµατα 6. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: α. 4 β. 7 γ. 5 δ. 7 40 0 ε. 8 στ. 4 7 ζ. 8 9 4 9 6 4 η. 4 7 7. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: α. 5 β. 4 5 γ. 8 5 6 0 4 5 8 5 8. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: α. + β. 8 + 5 γ. + 4 6 9. Να υπολογίσετε τα γινόµενα: 4 α. + 4 5 0 β. 4 + 0. Να βρείτε τους αντίστροφους των αριθµών και να τους γράψετε στα τετράγωνα. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
Τα κλάσµατα 57. Αριθµός Αντίστροφος Αριθµός Αντίστροφος 5 5 7 4 8 7 4 6 0 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: α. x = β. 4 x 7 9 = γ. α x β = δ. x = ε. x = στ. 4 x 5 =. Για την εξόφληση ενός χρέους 000 προς την τράπεζα πλήρωσε κάποιος το 5 ως προκαταβολή και το να πληρώσει ακόµα; 0 του υπόλοιπου ποσού τον επόµενο µήνα. Τι ποσό οφείλει. Ένας παραγωγός πορτοκαλιών πούλησε 5 της παραγωγής του και στη συνέχεια το 6 των υπόλοιπων. Αν είχε 00 κιλά πορτοκάλια πόσα του µένουν ακόµα για πούληµα; 4. Ρώτησαν ένα φοιτητή της Μαθηµατικής Σχολής του Πανεπιστηµίου της Ζιµπά- Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
58. Τα κλάσµατα µπουε πόσων χρονών είναι και αυτός απάντησε: Πέρυσι ήµουν τα 9 των 9 0 του 00. Πόσων χρονών είναι σήµερα; 5. Ένας εργάτης υπολογίζει ότι για να τελειώσει το έργο που του έχουν αναθέσει θα χρειαστεί το 6 µιας ηµέρας. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο; 6. Σε ένα σούπερ µάρκετ το βαρέλι µε την φέτα περιέχει 48 κιλά. Κάποιος πελάτης παραγγέλνει τα του περιεχοµένου. Πόσα κιλά φέτα θα πάρει; 96 7. Ένα ορθογώνιο έχει µήκος 40 cm και πλάτος τα εµβαδόν και την περίµετρο του ορθογωνίου. 0 του µήκους του. Να βρείτε το 8. Να βρείτε την περίµετρο και το εµβαδόν ενός τετραγώνου µε πλευρά τα 5 4 m. 9. Από την Α Γυµνασίου ενός σχολείου το 5 γράφει κάτω από τη βάση και είναι 4. Το 6 των υπόλοιπων γράφει άριστα. Πόσοι µαθητές έγραψαν άριστα; 0. Η απόσταση δύο πόλεων είναι 500 km. Ένας ποδηλάτης την η µέρα διανύει το 4 της απόστασης, την η ηµέρα το 5 της υπόλοιπης απόστασης και την η ηµέρα το της υπόλοιπης απόστασης. Πόσα km πρέπει να διανύσει την 4η και τελευταία ηµέρα. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
Τα κλάσµατα 59. Ερώτηση Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίστροφοί; ώστε 4 παραδείγµατα. Ποιός αριθµός δεν έχει αντίστροφο; Ερώτηση Ποιοι αριθµοί λέγονται µικτοί. ώστε παραδείγµατα. Σε ποιες από της παρακάτω πράξεις κάνουµε οµώνυµα και σε ποιές όχι. α. + β. γ. 4 5 4 δ. Άσκηση Να γράψετε στον παρακάτω πίνακα τους αντίστροφους αριθµούς. Άσκηση Ποιες από τις παρακάτω πράξεις είναι σωστές (Σ) και ποιές λάθος (Λ). α. κ µ κ + + = µ λ ν λ + ν Σ Λ κµ κ µ β. = λν λ ν Σ Λ γ. κ µ κν λµ = Σ Λ λ ν λν Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
60. Τα κλάσµατα δ. κλ 0 λκ = Σ Λ ε. κλ λκ = Σ Λ Άσκηση α. Ποιόν αριθµοί πρέπει να προσθέσουµε στο για να βρούµε άθροισµα. β. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. 5x = ii. x = 0 iii. iv. 5+ x = 0 v. x = vi. x 8 = x 4 = Πρόσθεση και αφαίρεση κλασµάτων - Πολλαπλασιασµός κλασµάτων - Αντίστροφοι αριθµοί
Äéáßñåóç êëáóìüôùí ÄåêáäéêÜ êëüóìáôá - äåêáäéêïß áñéèìïß ÔñïðÞ êëüóìáôïò óå äåêáäéêü ÂéâëéïìÜèçìá Mε τι ισούται το πηλίκο της διαίρεσης δύο κλασµάτων; ιαίρεση κλασµάτων Το πηλίκο της διαίρεσης δύο κλασµάτων ισούται µε τον πολλαπλασιασµό του πρώτου κλάσµατος (διαιρετέο) µε τον αντίστροφο του δευτέρου κλάσµατος (διαιρέτη). α γ αδ : = β δ β γ Σύνθετο λέγεται το κλάσµα που ένας τουλάχιστον από τους όρους του είναι κλάσµα. ηλαδή: κ λ µ ν ή κ λ µ ή µ κ λ α β γ δ Η διαίρεση α : γ γράφεται και ως σύνθετο κλάσµα β δ á Η µετατροπή ενός σύνθετου κλάσµατος σε απλό γίνεται ως εξής â á ä ã â ã (α, δ: άκροι όροι, β, γ: µέσοι όροι) ä Προσοχή στα σύνθετα κλάσµατα να διατηρείται η γραµµή του κλάσµατος. Γιατί: 5 0 = = 0 Σωστό, 5 5 5 = = Λάθος.
6. Τα κλάσµατα Να υπολογίσετε τα πηλίκά: α. : 4 4 5 β. 4 : γ. 7 : 6 4 5 5 0 5 α. : = = = = β. 5 4 4 6 δ. 4: 4 4 4 4 : = = = = γ. 7 : 7 : 7 7 7 = = = = δ. 4: 4 6 6 6 6 = = Nα υπολογίσετε τα πηλίκα (µε χρήση σύνθετων κλασµάτων): α. : 4 5 β. : 5 γ. 5: δ. 6 : 5 α. 4 : 5 5 4 6 = = = β. 4 5 0 0 : 5 5 5 5 = = 6 γ. 5 5 5: 5 0 = = δ. 6 6 6 : 5 5 5 6 6 = = = 5 0 5 Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α. : 7 β. 4 : γ. 5 : ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
Τα κλάσµατα 6. 7 7 7 49 α. : : 7 = 7 = = 4 β. 4 : = 4 : 7 = 4 = 4 7 7 7 γ. 5 : = : = = 7 7 Να γίνουν οι διαιρέσεις: 5 α. : : β. 7 : : 5 5 α. 5 5 : : = : = 5 : 4 = 5 = 5 4 4 7 7 4 4 5 β. : : = : = : = = 4 5 5 5 5 5 5 5 γ. 4 + : 9 γ. 9 4 0 4 0 9 0 5 + : = : = = = 9 9 4 4 Να λυθούν οι εξισώσεις: α. x = 4 8 ε. 5 :x= 8 β. στ. 4 x = 5 5 x: =4 α. x = ή x = : ή x = 4 ή x = 4 ή x = 4 8 8 4 8 4 6 4 4 5 β. x = ή x = : ή x = ή x = 5 5 5 5 5 4 4 γ. x: =8 8 γ. 8 8 8 x: = 8 ή x = 8 ή x = 8: ή x = ή x = 8 8 δ. α τρόπος: 5 :x= ή 5 = ή = ή = ή = ή = 6 ή x = 5 x x 5 x 5 x 5 x 5 6 β τρόπος: 5 :x= ή 5 = ή 5 = x ή 5 = x ή 5 : = x ή 5 = x ή 5 = x x 6 7 9 9 9 9 7 6 ε. x: = 4 ή x: = ή x = ή x = : ή x = ή x = ή x = 7 7 6 ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
64. Τα κλάσµατα Να βρείτε έναν αριθµό που αν πολ/σθεί µε το να δώσει γινόµενο 4 5. Έστω x ο ζητούµενος αριθµός τότε x = 4 οπότε: 5 4 4 6 x = : ή x = ή x = = 5 5 0 5 Να βρείτε έναν αριθµό που αν διαιρεθεί µε το 4 7 να δώσει πηλίκο 8. Έστω x ο ζητούµενος αριθµός τότε: 4 7 7 4 4 x: = ή x = ή x = : ή x = ή x = ή x = 7 8 4 8 8 4 8 7 56 4 Πρέπει να συσκευαστούν 4400 κιλά πορτοκάλια σε κιβώτια των 5 κιλών. Να βρείτε πόσα κιβώτια χρειαζόµαστε. Το κάθε κιβώτιο περιέχει: 5 = κιλά πορτοκάλια. 4400 8800 4400 : = 4400 = = = 800 κιβώτια. Μια πλατεία 500m πρέπει να πλακοστρωθεί µε πλακάκια εµβαδού m. Πόσα πλακάκια χρειάζονται. 4500 500 : = 500 = = 50 πλακάκια. Ένας εργάτης σε µια ώρα κάνει τα ενός έργου. Σε πόσες ώρες θα τελειώσει το έργο; 5 Έστω ότι θα τελειώσει το έργο σε x ώρες. Τότε: x = δηλαδή 5 5 5 5 x = : ή x = ή x = ή x = ή x = 7,5 ώρες 5 ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
Τα κλάσµατα 65.. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: α. ε. 5 : 7 4 : στ. β. : 5 5 :5 γ. 8 : 7 ζ. 8 : 8 5 δ. :5 η. 4 : 9. Να υπολογίσετε τα πηλίκα: 5 α. 4 :7 β. + : 4 6 δ. 7 + : 4 8 ε. 5 : 4 γ. 4 : + 5 5 0 στ. 0 : 0. Να υπολογίσετε τα εξαγόµενα: α. : + 5 : β. 9 5 5 + : + : : 6 4 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α. :x= β. 8 4 γ. x: 4 5 = x 4 = δ. x = 4 5. Nα αντιστοιχίσετε στις διαιρέσεις της στήλης Α τα πηλίκα της Β. ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
66. Τα κλάσµατα 6. Nα βρείτε µε ποιον αριθµό πρέπει να πολ/µε το 4 5 α. β. γ. για να πάρουµε γινόµενο: δ. 4 ε. 0 7. Να βρείτε µε ποιον αριθµό πρέπει να διαιρέσουµε το για να πάρουµε πηλίκο: α. β. γ. 4 5 δ. 8. Ένας εργάτης τελειώνει ένα έργο σε 4 ηµέρες. Ένας δεύτερος το τελειώνει σε 6 ηµέρες και ένας τρίτος το τελειώνει σε ηµέρες. Σε πόσες ηµέρες τελειώνουν το έργο αν εργάζονται και οι τρείς µαζί; 9. Ένας µελισσοκόµος παράγει 0 κιλά µέλι και θέλει να το συσκευάσει σε κουτιά του ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
Τα κλάσµατα 67. κιλού. Πόσα κουτιά θα χρειαστεί; 0. Ένας εργάτης τελειώνει τα 5 τελειώσει όλο το έργο; ενός έργου σε µια µέρα. Σε πόσες ηµέρες θα. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα µε τα αποτελέσµατα των διαιρέσεων. ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â 4: 5 : 8 8 : 5 4 :5 5 : 7 : 5 : 8 8 5 : : 6 4: ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
68. Τα κλάσµατα. Σηµειώστε µε x την στήλη Σ (Σωστό) ή την στήλη Λ (Λάθος) για τις πράξεις του παρακάτω πίνακα. ÐñÜîåéò 4 : 5 : 4 : 5 8 : : 6 : : 5 5 5 5 7 : 6 4 : : 5 7 Ó Ë ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
Τα κλάσµατα 69. Ερώτηση Με τι ισούται το πηλίκο της διαίρεσης δύο κλασµάτων; Ερώτηση Ποιο κλάσµα ονοµάζεται σύνθετο; ώστε 4 παραδείγµατα. Άσκηση Να µετατρέψετε σε απλά τα σύνθετα: α. 5 β. γ. 7 4 δ. 5 ε. στ. 8 5 Άσκηση Να λυθούν οι εξισώσεις: α. x x = γ. x = δ. 4 = β. 4 8 x 9 = ε. 4 = στ. x 7 7 5 7 x = 4 Άσκηση Να γίνουν οι πράξεις: : + : + : 4 4 5 5 ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
70. Τα κλάσµατα Ποια κλάσµατα ονοµάζονται δεκαδικά; εκαδικά κλάσµατα Μετατροπή κλάσµατος σε δεκαδικό Τα κλάσµατα που έχουν παρονοµαστή µια δύναµη του 0 ονοµάζονται δεκαδικά κλάσµατα. π.χ. 5 4,, 0 00 000 Κάθε δεκαδικό κλάσµα γράφεται ως δεκαδικός αριθµός µε τόσα δεκαδικά ψηφία όσα µηδενκά έχει ο παρονοµαστής. Αντίστροφα: Κάθε δεκαδικός αριθµός γράφεται ως κλάσµα µε αριθµητή τον αριθµό χωρίς υποδιαστολή και παρονοµαστή το 0 σε δύναµη ίση µε τον αριθµό των δεκαδικών ψηφίων. πχ. =,, 0 7 0,7, 0 5 = 0,5 00 4 4 = = 0 00 =,4 Σε κλάσµα (όχι δεκαδικό) αν εκτελέσουµε την διαίρεση και δεν µπορούµε να βρούµε ακριβές πηλίκο (ατελής διαίρεση) τότε υπολογίζουµε το πηλίκο µε προσέγγιση. ηλαδή:,666... = Προσοχή! =, 6 µε προσέγγιση δέκατου (ένα δεκαδικό ψηφίο) =, 66 µε προσέγγιση εκατοστού (δύο δεκαδικά ψηφία) =, 666 µε προσέγγιση χιλιοστού (τρία δεκαδικά ψηφία) ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
Τα κλάσµατα 7. Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσµατα: α. 0 β. 5 0 γ. 8 00 δ. 0 00 45 ε. 000 στ. 45 000 ζ. 70 0000 α., 0 = β. 5 5, 0 = 8 γ. 0,08 00 = δ. 0, 0 00 = 45 ε. 0,045 000 = στ. 45 4,5 000 = 70 ζ. 0000 = 0,070 Να γράψετε ως κλάσµα τους αριθµούς: α. 4,9 β. 7,4 γ. 0, δ.5,70 ε. 0,7 στ. 0,0006 49 74 0 α. 4,9 = β. 7,4 = γ. 0, = 0 0 00 570 7 6 δ. 5,70= ε. 0,7 = στ. 0,0006 = 000 00 0000 Να γράψετε ως δεκαδικούς τα κλάσµατα: α. 48 5 β. 9 4 γ. 49 5 δ. 50 8 ε. 78 8 α. 48 9,6 5 = β. 9 4,75 4 = γ. 49 9,8 5 = δ. 50 6, 5 8 = ε. 78 9,75 8 = ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
7. Τα κλάσµατα Να γράψετε τα κλάσµατα ως δεκαδικούς µε προσέγγιση: α. δεκάτου β. εκατοστού γ. χιλιοστού 7, 4,7 (ìå ðñïóýããéóç äåêüôïõ) 7,7 (ìå ðñïóýããéóç åêáôïóôïý),74 (ìå ðñïóýããéóç éëéïóôïý),5 (ìå ðñïóýããéóç äåêüôïõ) 4,58 (ìå ðñïóýããéóç åêáôïóôïý),58 (ìå ðñïóýããéóç éëéïóôïý) 6,4 (ìå ðñïóýããéóç äåêüôïõ) 9 6,47 (ìå ðñïóýããéóç åêáôïóôïý) 6,47 (ìå ðñïóýããéóç éëéïóôïý) Nα κάνετε τις παρακάτω πράξεις και να εκφράσετε το αποτέλεσµα ως δεκαδικό αριθµό µε προσέγγιση δεκάτου. 7 7 A = : + : + : 5 4 7 7 A = : + : + : 5 4 7 A = + + 5 4 7 6 4 A = + + 5 4 7 A =,+,5+ 0,4 A = 4,84, 9 ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
Τα κλάσµατα 7.. Να γράψετε τα κλάσµατα ως δεκαδικούς αριθµούς α. 0 β. 5 00 γ. 4 000 δ. 8 00 ε. 4 0000 στ. 75 000 ζ. 8 000 η. 00000 4. Να γράψετε ως κλάσµατα τους παρακάτω δεκαδικούς. α. 6,5 β. 7, γ. 0,8 δ. 7,6 ε. 0,09 στ.,006 5. Να γράψετε τα παρακάτω κλάσµατα ως δεκαδικούς αριθµούς. α. 5 β. γ. 70 5 δ. 9 4 ε. 5 8 στ. 6 50 6. Να γράψετε µε προσέγγιση εκατοστού, χιλιοστού τα παρακάτω κλάσµατα: α. 6 9 β. 5 8 γ. 4 4 δ. 75 7. Να κάνετε τις παρακάτω πράξεις. α. 5 7 : : β. 8 7 9 4 7 +,6 γ. 50 4 5 5 5 + + 000 00 0 8. Να γίνουν οι διαιρέσεις (µε προσέγγιση δεκάτου) και τα αποτελέσµατα να γραφούν ως δεκαδικοί αριθµοί. ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
74. Τα κλάσµατα α. 8:6 β. : 4 γ. 5 : δ. 44 :0 ε. 85 : στ. 7 4 ζ. 8 : 4 5 9. Συγκρίνετε τα κλάσµατα: α. δ. 4 75, 5 80 47 6, 5 β. ε. 9, 8 6 5 49, 00 400 στ. γ. 4, 4 7 4 4, 00 000 0. Να τοποθετήσετε από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τα παρακάτω κλάσµατα. α. β. 8 5 γ. 7 δ. 6 9 ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
Τα κλάσµατα 75. Ερώτηση Ποια κλάσµατα ονοµάζονται δεκαδικά; Ερώτηση Τι ονοµάζουµε ως προσέγγιση δεκάτου, εκατοστού ή χιλιοστού; Άσκηση Να γράψετε τα παρακάτω κλάσµατα ως ισοδύναµα κλάσµατα µε παρονοµαστή 0 ή 00. α. β. 5 γ. 0 6 δ. 5 Άσκηση Να γίνουν οι διαιρέσεις µε προσέγγιση δεκάτου και εκατοστού. α. 7 β. 6 7 γ. δ. 4 Άσκηση Να τοποθετήσετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο τους παρακάτω αριθµούς. α. 0 β. 8 0 γ. 5 δ. 4 7 ε. 0 στ. 50 ιαίρεση κλασµάτων - εκαδικά κλάσµατα - δεκαδικοί αριθµοί - Tροπή κλάσµατος σε δεκαδικό
4 ÂéâëéïìÜèçìá Ç Ýííïéá ôïõ ðïóïóôïý ÅöáñìïãÝò ðïóïóôþí ÐáñÜóôáóç ðïóïóôþí ìå äéáãñüììáôá Τί ονοµάζουµε ποσοστά ; Τα ποσοστά Ποσοστά (ή ποσοστά επι τοις εκατό) ονοµάζονται α τα κλάσµατα της µορφής, όπου α φυσικός ή δεκαδικός 00 αριθµός. Συµβολικά γράφουµε : α % Την έννοια του ποσοστού τη συναντούµε συχνά στην καθηµερινή ζωή. Για παράδειγµα,στις επιτυχίες µαθητών σε Ανώτατες σχολές, στα επιτόκια τραπεζών, στο Φ.Π.Α (φόρος προστιθέµενης αξίας),κ.λ.π. Τα ποσοστά είναι ένας τρόπος για να εκφράζει κανείς κλάσµατα.για να γραφεί ένα µ κλάσµα σε ποσοστό, πρώτα κάνουµε τη διαίρεση µ :ν και στη συνέχεια αν το ν πηλίκο είναι δεκαδικός για να το γράψουµε ως ποσοστό µετακινούµε την υποδιαστολή δυο θέσεις προς τα δεξιά. π.χ. 0,75 4 = ή 75% Για να βρούµε το ποσοστό α% κάποιου αριθµού (ή µεγέθους),έστω µ, κάνουµε τον α πολλαπλασιασµό µ. 00 Αν ένα µέγεθος χωριστεί σε ν ίσα µέρη και πάρουµε µ από αυτά τότε το αντίστοιχο ποσοστό εκφράζεται από το κλάσµα µ ν όπως αναφέραµε προηγούµενως. Πολλές φορές τα ποσοστά εκφράζονται και επι τοις χιλίοις,δηλαδή α 000 á o /oo
78. Τα κλάσµατα Να γράψετε σε µορφή ποσοστών (%) τα παρακάτω. α. α. β. 5 γ. 0 50 δ. : 0,5 = = ή 50% β. 4 00 ε. 45 000 :5 0,6 5 = = ή 60% γ. 0 0 : 50 0,4 50 = = ή 40% δ. 4 0,04 00 = ή 4% δ. 45 0, 5 000 = ή,5% Να γράψετε ως κλάσµατα τα ποσοστά: α. 0% β. 8% γ. 5% δ. 75% ε. 405% στ. 85% α. δ. 0 0% = β. 00 0 8 4 8% = γ. 00 5 7,5 7,5 0 75 75% = = = ε. 00 00 0 000 40 στ. 85 o 85 7 /oo = 000 40 5 5 5% = 00 4 405 8 405% = 00 4 Να υπολογίσετε τα ποσοστά: α. το % του 50 β. το 0% του 5 γ. το o /oo του 000 γ. το 0% της ώρας 50 050 0 0 5 50 α. 50 = = = 0, 5 β. 5 = = =, 5 00 00 00 00 00 00 Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
Τα κλάσµατα 79. 000 6000 0 00 γ. 000 = = = 6 δ. 60 = = min 000 000 000 00 00 Σ ένα χωριό 50 κατοίκων το 0% είναι γέροι. Να βρείτε το πλήθος τους. 0 0 50 500 Είναι το 0% του 50 δηλαδή είναι 50 = = = 5 άτοµα. 00 00 00 Σ ένα Γυµνάσιο το 5% του αριθµού των µαθητών είναι κορίτσια. Αν το γυµνάσιο έχει 400 µαθητές, ποιός είναι ο αριθµός των κοριτσιών; 5 0800 Είναι το 5% του 400 δηλαδή είναι 400 = = 08 κορίτσια. 00 00 Ένα εργοστάσιο παράγει γάλα. Η παραγωγή ανέρχεται σε 5.000m. Aν η παραγωγή αυξηθεί κατά 8% πόσα m γάλα θα παραχθούν. Η αύξηση είναι ίση µε το 8 % του 5000, δηλαδή είναι : 8 5.000 8.40.000 5.000 = = = 4.00m 00 00 00 Άρα θα παραχθούν: ( 5.000 + 4.00) m = 59.00 m γάλα. Ένας παραγωγός απο 500 κιλά σταφύλια έβγαλε 900 κιλά µούστο. Πόσο επι τοις % ήταν η παραγωγή; Η παραγωγή ήταν: 900 0,88 500 = ή 8,8% Ο πληθυσµός µιας πόλης είναι 5.000 άτοµα. Σ ένα χρόνο οι γεννήσεις ήταν 50 και οι θανάτοι 470. Πόσο επι τοις % αυξήθηκε ο πληθυσµός; Γεννήσεις : 50 άυξηση: 50 470 = 60 άτοµα. Θανάτοι : 470 60 Το ποσό της αύξησης είναι: 0,004 5.000 = ή 0,4% Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
80. Τα κλάσµατα 00.000t ζαχαρότευτλων βγάζουν 65.000t ζάχαρης. Να βρείτε το ποσοστό της εξαγωγής ζάχαρης. Ζαχαρότευτλα : 00.000 Ζάχαρη : 65.000 τότε ποσοστό: 65.000 = 0,85 δηλαδή 8,5% 00.000 άρα το ποσοστό είναι 8,5% Σ ένα φούρνο από 500 κιλά ζυµάρι παρασκευάζονται 45 κιλά ψωµί. Πόσο επι τοις % είναι η απώλεια βάρους; Ζυµάρι : 500 Ψωµί : 45 η απώλεια βάρους είναι 500 45 = 75 κιλά 75 άρα το ποσοστό ειναι: 0,5 500 = ή 5% Σ ένα φούρνο από 500 κιλά ζυµάρι παρασκευάζονται 45 κιλά ψωµί. Πόσο επι τοις % είναι η απώλεια βάρους; Ζυµάρι : 500 Ψωµί : 45 η απώλεια βάρους είναι 500 45 = 75 κιλά 75 άρα το ποσοστό ειναι: 0,5 500 = ή 5% Σ ένα φούρνο από 500 κιλά ζυµάρι παρασκευάζονται 45 κιλά ψωµί. Πόσο επι τοις % είναι η απώλεια βάρους; Ζυµάρι : 500 Ψωµί : 45 η απώλεια βάρους είναι 500 45 = 75 κιλά 75 άρα το ποσοστό ειναι: 0,5 500 = ή 5% Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
Τα κλάσµατα 8. Το ζυµάρι όταν γίνεται ψωµί χάνει το % του βάρους. Αν θέλουµε να παρασκευάσουµε 00 κιλά ψωµί ποσό ζυµάρι πρέπει να έχουµε; Έστω ότι πρέπει να έχουµε x κιλά ζυµάρι. Αν % του βάρους χάνεται τότε το ( 00 )% = 88% του βάρους µετατρέπεται σε ψωµί. Άρα έχουµε: 88 x 00 00 = 88 x = 00 : 00 00 x = 00 88 0.000 x = 88 x = 40,9 Άρα χρειαζόµαστε 40,9 κιλά ζάχαρη. Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
8. Τα κλάσµατα. Να γράψετε µε µορφή ποσοστών τα κλάσµατα: α. ε. 5 8 0 β. 5 0 στ. 0 600 γ. 7 50 ζ. 495 000 δ. 4. Να γράψετε µε µορφή ποσοστών (επί της o /oo) τα κλάσµατα: α. β. 8 5 γ. 75 δ. 48 05 ε. 0 450. Να γράψετε µε µορφή ποσοστών (επί τοις %) τα κλάσµατα: α., 7 8 β., 5 4,5 γ. 7,,85 δ. 4 08,4 ε.,,5 4. Να γράψετε µε µορφή κλασµάτων τα ποσοστά: α. 5% β. % γ. % δ.,5% ε. 48,7% στ. 70% ζ. 405% 5. Να γράψετε µε µορφή κλασµάτων τα ποσοστά: α. 5 o /oo β. 4 o /oo γ. 8,5% δ.,85% ε. 49,5 o /oo 6. Να υπολογίσετε: α. το % του 50 β. το o /oo του 500 γ. το,5% του 0 δ. το 4,7% του 47 ε. το 5% του 70 Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
Τα κλάσµατα 8. 7. Να υπολογίσετε: α. το 9% του m (σε cm) β. το 0% του l (σε cm ) γ. το 5% του στρέµµατος (σε m ) δ. το 60% των 00 (σε gr) ε. το 40% των 5km (σε dm) 8. Σ ένα σχολείο 400 µαθητών είχαµε 5 επιτυχόντες στα Α.Ε.Ι. την χρονιά που πέρασε ενώ σ ένα άλλο σχολείο 50 µαθητών είχαµε επιτυχόντες. Σε ποιο σχολείο είχαµε το µεγαλύτερο ποσοστό επιτυχίας; 9. Σ ένα ινστιτούτο αδυνατίσµατος µια γυναίκα από 7 κιλά αδυνάτισε 4 κιλά. Να βρείτε το ποσοστό της µείωσης βάρους. 0. Σε µια αλυκή εξατµίζεται το 7% του θαλασσινού νερού και το υπόλοιπο είναι αλάτι. Αν στις δεξαµενές της αλυκής υπάρχουν 4000t θαλασσινού νερού πόσο αλάτι θα πάρουµε;. Στο σχολείο ενός νησιού της άγονης γραµµής ήταν 50 µαθητές. Μετά ένα χρόνο ο αριθµός των µαθητών µειώθηκε 0%. Πόσοι µαθητές έµειναν στο σχολείο;. Η παραγωγή λαδιού σ ένα χωριό της Κρήτης αυξήθηκε από,6t σε,9t. Ποιο είναι το ποσοστό της αύξησης;. Ένας αγρότης καλλιεργεί 50 στρέµµατα. Από αυτά στρέµµατα είναι βαµβάκι και από τα υπόλοιπα το 0% είναι ελιές. Πόσα στρέµµατα µένουν ακαλλιέργητα; 4. Ρωτήθηκαν 0000 κάτοικοι των Αθηνών για τον τρόπο που µετακινούνται καθηµερινά. Από αυτούς 000 χρησιµοποιούν το µετρό, 9500 χρησιµοποιούν το αυτοκίνητο τους και 5000 χρησιµοποιούν µηχανή. Να βρείτε τα αντίστοιχα ποσοστά τους. 5. Σε έρευνα τις τροχαίας στα 40 αυτοκίνητα οι 0 οδηγοί δεν φορούσαν ζώνη, και στις 80 µηχανές το 5% των οδηγών δεν φορούσε κράνος. Να βρείτε το ποσοστό των οδηγών που δεν φορούσε ζώνη και τον αριθµό των οδηγών που δεν φορούσαν κράνος. Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
84. Τα κλάσµατα Πως παριστάνουµε τα ποσοστά ; Παράσταση των ποσοστών Τα ποσοστά τα παριστάνουµε : µε πίνακες µε ορθογώνια διαγράµµατα µε ραβδογράµµατα µε κυκλικά διαγράµµατα Τι ποσοστό παριστάνει το κόκκινο, το κίτρινο, το µπλέ και το λευτό στα διαγράµµατα που ακολουθούν; Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
Τα κλάσµατα 85. 6. Σε σύνολο 00 µαθητών υποψηφίων για Α.Ε.Ι, Τ.Ε.Ι. είχαµε τον παρακάτω πίνακα επιτυχιών. ÌáèçôÝò Eðéôõ üíôåò óå Á.Å.É. Åðéôõ üíôåò óå Ô.Å.É. Áðïôõ üíôåò Áñéèìüò ìáèçôþí 400 550 Ðïóïóôü (%) Óýíïëï 00 00 Να συµπληρωθεί ο πίνακας και µετά να γίνει: α. ραβδόγραµµα β. κυκλικό διάγραµµα γ. ορθογώνιο διάγραµµα 7. Ένας αργότης καλλιεργεί 80 στρέµµατα. Από τα είναι µε καπνό, τα 5 είναι µε βαµβάκι και τα υπόλοιπα µε οποροκηπευτικά. Να βρείτε τα αντίστοιχα ποσοστά των καλλιεργειών και να γίνει ραβδόγραµµα και κυκλικό διάγραµµα. 8. Ρωτήθηκαν 000 άτοµα που χρησιµοποιούν το µετρό για την καθαριότητα των µέσων, την εξυπηρέτηση και την ταχύτητα µεταφοράς και τα αντίστοιχα ποσοστά ήταν 50%, 0%, 0%. Να γίνει ραβδόγραµµα και κυκλικό διάγραµµα των απαντήσεων. 9. Σ ένα νοσοκοµείο νοσηλεύονται 800 ασθενείς. Από αυτούς το 5% είναι στο ΟΓΑ, 5% στο ΙΚΑ και οι υπόλοιποι στο ΤΕΒΕ. α. Να βρείτε τον αριθµό των αντίστοιχων ασφαλισµένων β. Να γίνει ραβδόγραµµα του αριθµού των ασφαλισµένων. 0. Στο ταχυδροµίο µιας πόλης από 4000 φακέλους το 55% αποστέλεται στην ίδια πόλη, το 0% στην επαρχία και το υπόλοιπο στο εξωτερικό. α. Να βρείτε τον αριθµό των φακέλων της κάθε περίπτωσης. β. Να γίνει ραβδόγραµµα και κυκλικό διάγραµµα. Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
86. Τα κλάσµατα Μια οικογένεια χρεώνεται σ ένα ξενοδοχείο για τις καλοκαιρινές διακοπές της 50. Το ποσόν αυτό επιβαρύνεται µε Φ.Π.Α. 8%. Πόσο θα πληρώσει τελικά. 8 50 8 500 Για Φ.Π.Α. θα πληρώσει: 50 = = = 5 00 00 00 Τελικό ποσόν: 50 + 5 = 475 Αγόρασε κάποιος έναν υπολογιστή αξίας.. Αν η αξία του χωρίς το Φ.Π.Α. είναι 950. Να βρείτε τον συντελεστή του Φ.Π.Α. Η αξία σε του Φ.Π.Α. ειναι: 950 = 7 άρα ο συντελεστής είναι: 7 0,8 950 = ή 8% Για την αγορά εξοπλισµού ενός γραφείου πληρώνει κάποιος 80. Αν ο συντελεστής Φ.Π.Α. είναι 8% ποια είναι η αρχική τιµή των αντικειµένων που αγοράστηκαν; Από την αρχική τιµή για να βρω το ποσόν του Φ.Π.Α. πολ/ζω µε 8 00. Για να βρω όµως την τελική τιµή πολ/ζω µε 8 00. ηλαδή: 8 Έστω x η αρχική τιµή, τότε: x 80 00 = οπότε 8 x = 80 : 00 00 8000 x = 80 = = 649,9 8 8 Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
Τα κλάσµατα 87. Στην περίοδο των εκπτώσεων σ ένα κουστούµι αξίας 0 γίνεται έκπτωση 0%. Πόσο θα είναι η τελική τιµή του κουστουµιού; 0 400 Το ποσόν της έκπτωσης είναι: 0 = = 4 00 00 άρα τελική τιµή θα είναι: 0 4 = 96 Σ ένα παντελόνι αξίας 5 γίνεται έκπτωση 5% και η τελική τιµή είναι 0. Έχει κάνει λάθος ή όχι ο έµπορος; 5 55 Η έκπτωση είναι 5 = = 5,5 00 0 άρα η τελική τιµή είναι: 5 5,5 = 9,75 Άρα έκανε λάθος ο έµπορος. Η τιµή ενός αυτοκινήτου είναι 4.00. Γίνεται µια πρώτη αύξηση 0% και µια δεύτερη 8% λόγω µεγάλης αύξησης. Ποια είναι η τελική τιµή του αυτοκινήτου; 0 Η πρώτη αύξηση είναι: 400 40 00 = άρα η τιµή του αυτοκινήτου µετά την πρώτη αύξηση είναι: 400 + 40 = 570 άρα η τελική τιµή είναι: 570 + 58,4 = 6988,4 Ο Παναγιώτης κατέθεσε στην τράπεζα 4050 µε επιτόκιο,5% για ένα χρόνο. Πόσα χρήµατα θα πάρει στο τέλος του χρόνου; (τόκοι + κεφάλαιο µαζί).,5 475 Οι τόκοι για τον χρόνο είναι: 4050 = = 4,75 00 00 άρα το τελικό ποσόν είναι αρχικό κεφάλαιο + τόκοι, δηλαδή 4050 + 4,75 = 4.9,75. Ένας έµπορος είχε στην τράπεζα 0.800 µε επιτόκιο %. Στο τέλος της χρονιάς για επαγγελµατικούς λόγους έκανε ανάληψη του 5% των χρηµάτων. Ποιο είναι το ποσόν που έµεινε στην τράπεζα. 400 Οι τόκοι µετά χρόνο είναι: 0.800 = = 4 άρα στο τέλος του ου χρόνου τα 00 00 Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
88. Τα κλάσµατα χρήµατα στην τράπεζα αυξήθηκαν σε 0.800 + 4 =.4 5 78.00 από αυτά παίρνει το 5% δηλαδή.4 = =.78 00 00 άρα µένουν.4 78 = 84 Ένα προϊόν πωλείται προς 400 αφού του έχει γίνει έκπτωση 0%. Ποια είναι η αρχική τιµή του; Αφού 0% είναι το ποσοστό της έκπτωσης το 80% είναι το ποσοστό που αφορά την τελική 80 τιµή. Αν λοιπόν x είναι η αρχική τιµή: x 400 00 = οπότε 80 00 40000 x = 400 : = 400 = = 500 00 80 80 άρα η αρχική τιµή είναι 500. Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα το ποσόν των.00 και µετά χρόνο έκανε ανάληψη των χρηµάτων και πήρε 470. Ποιο είναι το επιτόκιο; Οι τόκοι του χρόνου είναι σε 470 00 = 70. 70 Τότε το επιτόκιο είναι: 0,07 00 = ή 7,%. Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
Τα κλάσµατα 89.. Να βρείτε το Φ.Π.Α. για εµπορεύµατα αξίας α. 000 β. 800 γ. 5.000 αν ο συντελεστής είναι 8%. Αν ο συντελεστής Φ.Π.Α. είναι 8% και οι τελικές τιµές κάποιων ειδών είναι: α. 400 β. 500 γ. 8900 να βρείτε τις αρχικές τιµές τους.. Ο πατέρας του Νίκου αγόρασε για τον γιο του µια εγκυκλοπαίδεια αξίας 650. Ο συντελεστής Φ.Π.Α. για τα βιβλία είναι 8%. Πόσο τελικά θα στοιχίσει η εγκυκλοπαίδεια; 4. Στον λογαριασµό της.ε.η. ενός σπιτιού γίνονται οι εξής χρεώσεις: α. 780 µονάδες (kw) προς 0,5 η κάθε µονάδα β. 00 µονάδες (kw) προς 0,68 η κάθε µια γ. βασικά τέλη (Ε.Τ., δήµος) δ. Φ.Π.Α. 8% Ποιος είναι ο τελικός λογαριασµός; 5. Η τιµή ενός αυτοκινήτου είναι.400. Στην τιµή αυτή γίνεται αύξηση 0%. Σ ένα συγκεκριµένο αυτοκίνητο λόγω µιας ζηµιάς που παρουσίασε γίνεται µείωση %. Ποια είναι η τελική του τιµή; 6. Ένας έµπορος πουλάει ένα ελαττωµατικό µηχάνηµα µε ζηµιά 6%. Αν το πουλούσε µε κέρδος 4% θα κέρδιζε 480. Να βρείτε: α. Πόσο αγόρασε το µηχάνηµα β. Πόσο το πούλησε το µηχάνηµα γ. Ποια ήταν η ζηµιά του Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
90. Τα κλάσµατα 7. Αγόρασε κάποιος ένα διαµέρισµα 0.000. Πλήρωσε το 40% των χρηµάτων µετρητοίς και τα υπόλοιπα µετά από ένα χρόνο µε επιτόκιο 9%. Αν στην τιµή αυτή προστεθούν τα συµβολαιογραφικά έξοδα της τάξης του 0,5% επί της αρχικής τιµής, πόσο τελικά θα στοιχίσει το διαµέρισµα; 8. Ένας κρεοπώλης πουλάει το κιλό το αρνί 7,. Αν γνωρίζουµε ότι το κέρδος του είναι 0% πόσο αγοράζει το κιλό; 9. Η αγορά ενός στερεοφωνικού συγκροτήµατος στοιχίζει 080 αφού προηγείται έκπτωση 5%. Πόσο είναι η αρχική τιµή του; 0. Αγοράζει κάποιος ένα µεταχειρισµένο αυτοκίνητο αντί του ποσού.500. ίνει προκαταβολή 500 και τα υπόλοιπα σε δύο δόσεις ισόποσες. Η η δόση µετα µήνα µε επιτόκιο 4% και η η δόση µετα µήνες µε επιτόκιο 8%. Πόσο στοίχισε το αυτοκίνητο; Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
Τα κλάσµατα 9. Ερώτηση Τι ονοµάζουµε ποσοστά; Ερώτηση Πώς παριστάνουµε τα ποσοστά; Άσκηση Ένα σχολείο έχει 60 µαθητές. Από αυτούς οι 90 µαθητές είναι αγόρια. Να βρείτε το ποσοστό των κοριτσιών επί του συνόλου των µαθητών. Άσκηση Να γράψετε µε µορφή ποσοστών (%) τα κλάσµατα: α. 5 00 β. 4 0 γ. 5 000 δ. 4 8 ε. 7 60 στ. 85 00 Άσκηση Μια ηλεκτρονική ζυγαριά έχει σφάλµα ανάγνωσης %. Αν το βάρος µια γυναίκας είναι 6 κιλά, ποιό είναι το πραγµατικό της βάρος; Άσκηση 4 Κατέθεσε κάποιος στην τράπεζα 500 µε επιτόκιο 4%. Αν οι τόκοι στο τέλος του χρόνου φορολογούνται µε ποσοστό 0% πόσα χρώµατα θα πάρει µετά χρόνο; Η έννοια του ποσοστού - Εφαρµογές ποσοστών - Παράσταση ποσοστών µε διαγράµµατα
ÊåöÜëáéï 4 ï ÁíÜëïãá ðïóü âéâëéïììüèçìá 5: -Ç Ýííïéá ôùí áíüëïãùí ðïóþí âéâëéïììüèçìá 6: -ÅöáñìïãÝò ôùí áíüëïãùí ðïóþí -Êëßìáêåò -Ìåñéóìüò óå ìýñç áíüëïãá
5 ÂéâëéïìÜèçìá Ç Ýííïéá ôùí áíáëüãùí ðïóþí Τι ονοµάζουµε λόγο δύο αριθµών; Τι ονοµάζουµε αναλογία; Πότε δύο ποσά λέγονται ανάλογα; Κάθε κλάσµα λέγεται λόγος του αριθµητή του προς του παρονοµαστή του. ηλαδή ο λόγος του 5 προς το 7 είναι το κλάσµα 5 7 ή µε άλλα λόγια το πηλίκο της διαίρεσης: 5:7 Ο παρονοµαστής ενός κλάσµατος είναι αριθµός διαφορετικός από το µηδέν. Να θυµόµαστε ότι σε κάθε αναλογία ισχύει η χιαστή ιδιότητα. ηλαδή: αν τότε ισχύει Αναλογία ονοµάζουµε την ισότητα δύο λόγων. Για παράδειγµα, οι ισότητες: = 4, = 0 είναι αναλογίες. 6 0 00 ύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν πολ/ζοντας τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό πολ/ζονται και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου ποσού µε τον ίδιο αριθµό. Οµοίως αν διαιρέσουµε τις τιµές του ενός ποσού µε έναν αριθµό, διαιρούνται και οι αντίστοιχες τιµές του άλλου ποσού µε τον ίδιο αριθµό. αδ = βγ ( β 0 & δ 0)
96. Ανάλογα ποσά.ο λόγος των τιµών δύο αναλόγων ποσών παραµένει σταθερός.. Αν σε ένα σύστηµα ορθογωνίων αξόνων παραστήσουµε τα ζεύγη τιµών (x, y) δύο αναλόγων ποσών µε σηµεία του επιπέδου και τα ενώσουµε διαδοχικά τότε τα σηµεία βρίσκονται πάνω σε µια ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ιαπιστώνουµε ότι τα ποσά είναι ανάλογα. (ελέγχοντας αν ο λόγος των αντίστοιχων τιµών τους είναι σταθερός). Σχηµατίζουµε έναν πίνακα µε τις τιµές που δίνονται και βάζουµε στη θέση της άγνωστης τιµής τη µεταβλητή x. Εφαρµόζουµε χιαστί ιδιότητα και λύνουµε ως προς τον άγνωστο x. ίνεται ο παρακάτω πίνακας τιµών. Να εξετάσετε αν τα ποσά είναι ανάλογα και να γράψετε τη σχέση που συνδέει τo y µε το x. Παρατηρούµε ότι:, 5 =, 7,5 5 0,5,,5 5 σταθερός άρα είναι ανάλογα οπότε x y 5 το y µε το x είναι y= 5x. = 4 =, 4 = δηλαδή ο λόγος τους παραµένει 0 5 70 5 = ή ισοδύναµα y = 5. Η σχέση που συνδέει x Η έννοια των αναλόγων ποσών
Ανάλογα ποσά 97. Ένα κατάστηµα πουλάει τα είδη του µε έκπτωση %. Να βρεθεί πόσο πουλήθηκε ένα µπουφάν αξίας 50. Επειδή τα ποσά αξία - έκπτωση είναι ανάλογα, αν x η έκπτωση του µπουφάν ισχύει: 00 50 = ή 00x = 50 ή x είναι ( 50, 5) = 7, 5 50 x = ή x =,5. Εποµένως η τιµή πώλησης 00 Μια µοτοσυκλέτα για να καλύψει τα 4 µιας διαδροµής χρειάζεται,5 ώρες. Να 5 βρεθεί σε πόσες ώρες θα καλύψει την υπόλοιπη διαδροµή. Επειδή τα ποσά απόσταση - χρόνος είναι ανάλογα (όταν η ταχύτητα παραµένει σταθερή) τότε αν x οι ώρες που θα καλύψει η µοτοσυκλέτα την υπόλοιπη διαδροµή, έχουµε: 4 5 = 5 ή 4 x =,5 ή,5 x 5 5,5 5,5 x = = = 0,875 ώρες. 4 4 5 Μια µηχανή συσκευασίας σοκολάτας λειτουργεί 8 ώρες την ηµέρα και συσκευάζει 000 σοκολάτες των 50 γραµµαρίων. Να βρεθεί πόσα κιλά σοκολάτας θα συσκευάσει η µηχανή την ηµέρα αν λειτουργεί 0 ώρες το εικοσιτετράωρο. Τα ποσά χρόνος λειτουργίας - ποσότητα συσκευασίας είναι ανάλογα. Αν x τα τεµάχια 8 0 της σοκολάτας που θα συσκευάσει η µηχανή τότε: = ή 8x = 40.000 ή 000 x 40.000 x = = 5.000 σοκολάτες. 8 Οπότε 5.000 50γραµ. = 5.000 γραµµάρια σοκολάτας. ή (.50.000 :.000) κιλά = 50κιλά Με κιλά αλεύρι φτιάχνουµε 8 κιλά ψωµί. Πόσα κιλά αλεύρι χρειάζονται για 60 κιλά ψωµί; Επειδή τα ποσά βάρος πρώτης ύλης - βάρος παραγώµενου προϊόντος είναι ανάλογα, αν x το βάρος του αλευριού που απαιτείται για τη παραγωγή 60 κιλών ψωµιού τότε: = x 60 ή 8x = 60 ή x = ή x = 70κιλά αλεύρι. 8 60 8 Η έννοια των αναλόγων ποσών
98. Ανάλογα ποσά Να υπολογίσετε την αύξηση σε (% )ποσοστό του εισιτηρίου αν η τιµή του ήταν,0 και τώρα είναι,80. Τα ποσά αρχική αξία προϊόντος - αύξηση τιµής προϊόντος είναι ανάλογα. Αφού η αρχική τιµή του εισιτηρίου είναι,0 και η τελική,80 έχουµε αύξηση (,80, 0) = 0, 60. Οπότε: Στην τιµή,0 έχουµε αύξηση 0,60 Στην τιµή 00 έχουµε αύξηση x ηλαδή,0 0,60 = ή,0x = 00 0,60 ή 00 x 00 0, 60 60 x = = = 50%, 0, 0 Ένα καλοριφέρ όταν ανάβει ώρες το πρωί, ώρα το µεσηµέρι και ώρες το βράδυ καταναλώνει σε 6 ηµέρες 000 λίτρα πετρέλαιο. Αν αυξηθούν οι ώρες λειτουργίας κατά ώρα το πρωί και ώρα το βράδυ, πόσο πετρέλαιο θα καταναλωθεί σε 0 ηµέρες; Τα ποσά καταναλώση πετρελαίου - χρόνος λειτουργίας είναι ανάλογα. Αν το καλοριφέρ λειτουργεί ( + + ) ώρες = 5 ώρες την ηµέρα, σε 6 ηµέρες λειτουργεί: 6 5 = 80 ώρες και καταναλώνει 000 λίτρα πετρελαίου. Αν λειτουργεί ώρες περισσότερες την ηµέρα δηλαδή ( 5+ ) ώρες = 7 ώρες, σε 0 ηµέρες λειτουργεί 0 7 = 0 ώρες. Έστω x η νέα κατανάλωση τότε έχουµε: 80 000 = ή 80x = 0 000 ή 0 x 0 000 0000 x = = = 65 λίτρα πετρελαίου. 80 80 Η έννοια των αναλόγων ποσών
Ανάλογα ποσά 99.. ίνεται ο παρακάτω πίνακας τιµών δύο ποσών. Να εξεταστεί αν τα ποσά είναι ανάλογα, και αν είναι να γραφτεί η σχέση που συνδέει το y µε το x. Επίσης να παραστήσετε τα ζεύγη (x, y) σε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων. Τι παρατηρείτε;. Αν για 5kg πορτοκάλια πληρώνουµε 8,5 να βρεθεί πόσο θα πληρώναµε για 7kg πορτοκάλια. Πόσα κιλά θα αγοράσουµε µε 89 ;. Ένα κατάστηµα ηλεκρικών συσκευών πουλάει τα είδη του µε έκπτωση %. Να βρεθεί πόσο πουλήθηκε ένα κασσετόφωνο αξίας 500. 4. Ένας έµπορος αγόρασε 6 ψυγεία προς 5 το καθένα. Θέλει να τα πουλήσει µε 5% κέρδος το καθένα. Πόσο θα πουλήσει το καθένα; Πόσο είναι το κέρδος του από όλα µαζί; 5. Οι αποδοχές ενός εργάτη σε µια µέρα είναι 46. α. Ποιές οι αποδοχές του σε µήνες; β. Σε πόσους µήνες θα έχει αποδοχές 9660 ; 6. Το εισιτήριο του ΟΣΕ για µια συγκεκριµένη διαδροµή αυξήθηκε κατά 40% µέσα σε ένα χρόνο. Αν σήµερα κοστίζει 7,5, πόσο κόστιζε πριν από ένα χρόνο; 7. Μια βιοµηχανία λειτουργεί 6 ώρες την ηµέρα και παράγει 4000 πακέτα βούτυρο των 50 γραµµαρίων. Να βρεθεί πόσα κιλά βούτυρο θα παρασκευαστεί την ηµέρα αν λειτουργεί 4 ώρες το εικοσιτετράωρο; Η έννοια των αναλόγων ποσών
00. Ανάλογα ποσά 8. Ένα αυτοκίνητο όταν λειτουργεί,5 ώρες το πρωί, ώρα το µεσηµέρι και,5 ώρες το βράδυ καταναλώνει σε ηµέρες 00 λίτρα βενζίνης. Αν ελαττώσει τη λειτουργία του κατά µισή ώρα το πρωί και,5 ώρα το βράδυ πόσο θα κοστίζει η βενζίνη που κατανάλωσε, αν η αξία του ενός λίτρου είναι 0,9, σε διάρκεια 5 ηµερών; 9. Να υπολογίσετε το ποσοστό αύξησης της αξίας της βενζίνης αν η αξία του λίτρου ήταν 0,75 και σήµερα είναι 0,9 το λίτρο. 0. Μια µοτοσυκλέτα για να καλύψει τα µιας διαδροµής χρειάζεται 4, ώρες. Να βρείτε σε πόσες ώρες θα καλύψει όλη τη διαδροµή και αν η κατανάλωση σε βενζίνη της µοτοσυκλέτας είναι λίτρα την ώρα να βρείτε πόσο θα κοστίσει το υπόλοιπο της διαδροµής αν η αξία του ενός λίτρου είναι 0,8. Η έννοια των αναλόγων ποσών
Ανάλογα ποσά 0. Ερώτηση ίνεται ότι α = γ = ε β δ ζ (ισότητα τριών λόγων) α. Να γράψετε τις αναλογίες που διακρίνετε. β. Οι αριθµοί α και β είναι ανάλογοι προς τους αριθµούς γ και δ; γ. Να σχηµατίσετε την αναλογία που προκύπτει αν γνωρίζετε ότι οι αριθµοί και 6 είναι ανάλογοι προς τους αριθµούς 5 και 0. Ερώτηση α. Να αναφέρετε τις προϋποθέσεις ώστε τα µεγέθη αριθµός εργατών και αριθµός ηµερών για την αποπεράτωση ενός έργου είναι ποσά ανάλογα. β. Για δύο µεγέθη x, y προκύπτουν οι τιµές που δίνονται στον πίνακα: x 0 0 0 0 4 y 0 0 0 0 4 0 5 Να εξετάσετε αν τα µεγέθη x, y είναι ανάλογα και να υπολογίσετε τον λόγο x y. γ. Μπορούµε από την τιµή του παραπάνω λόγου να προσδιορίσετε την τιµή του x όταν y= 0. Άσκηση Για να φτιάξουµε ψωµί, βάζουµε 0gr µαγιά σε Kg αλεύρι. Πόση µαγιά θα χρειαστούµε, αν έχουµε,5kg αλεύρι; Η έννοια των αναλόγων ποσών
0. Ανάλογα ποσά Άσκηση Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα ώστε να εκφράζει τις τιµές των ανάλογων ποσών x, y. x,5,5,5 y 4 Στη συνέχεια να παραστήσετε τις τιµές σε σύστηµα ορθογωνίων αξόνων. Άσκηση Ένα πουκάµισο πουλήθηκε µε έκπτωση 0%. Αν η αρχική τιµή του ήταν 5 να βρείτε την τιµή πώλησης. Η έννοια των αναλόγων ποσών
6 ÂéâëéïìÜèçìá EöáñìïãÝò ôùí áíüëïãùí ðïóþí Êëßìáêåò Ìåñéóìüò óå ìýñç áíüëïãá Τι ονοµάζουµε κλίµακα χάρτη ή σχεδίου; Πότε έχουµε σµίκρυνση και πότε µεγένθυση ενός σχεδίου; Τι εννοούµε όταν λέµε να µεριστεί ένας αριθµός σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς x, y, ω; Κλίµακα του χάρτη ή του σχεδίου λέγεται ο σταθερός λόγος της απόστασης δύο σηµείων του χάρτη ή του σχεδίου προς τη πραγµατική απόσταση των δύο σηµείων, όταν οι αποστάσεις αυτές µετρηθούν µε την ίδια µονάδα µέτρησης.η κλίµακα συµβολίζεται µε ένα κλάσµα α όπου : απόσταση σχεδίου = α πραγµατική απόσταση ή απλά Όταν η κλίµακα είναι µικρότερη από τη µονάδα τότε λέµε ότι έχουµε σµίκρυνση του σχεδίου ενώ όταν είναι µεγαλύτερη από τη µονάδα λέµε ότι έχουµε µεγέθυνση. ηλαδή αν κ< σµίκρυνση κ > µεγέθυνση
04. Ανάλογα Ποσά Όταν λέµε να µεριστεί ένα αριθµός β σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς x, y, ω εννοούµε ότι πρέπει να υπολογίσουµε αριθµούς κ, λ, µ ώστε να ισχύει: κ λ µ = = µε κ+ λ + µ = β x y ω Στη επίλυση προβλήµατος µερισµού χρησιµοποιούµε την ιδιότητα : κ λ µ κ+ λ + µ β = = = = x y ω x+ y + ω x+ y + ω Η κλίµακα ενός χάρτη είναι :00.000. Να βρεθεί η απόσταση δύο πόλεων στο χάρτη αν η πραγµατική απόσταση είναι 50Κm. Αν x σε cm η απόσταση των πόλεων στο χάρτη τότε ή x = ή 50Km 00.000 5.000.000 x = = 50. Άρα η απόσταση είναι 50 cm. 00.000 x = ή x 00.000 = 5.000.000 50 000 00cm 00000 Η κλίµακα ενός χάρτη είναι :500.000. Να βρεθεί η πραγµατική απόσταση δύο πόλεων αν η απόσταση στο χάρτη είναι 4cm. Αν x σε cm είναι η πραγµατική απόσταση των δύο πόλεων τότε έχουµε: 4 = ή x = 4.500.000 x 500.000 x = 000000 cm ή x = ( 00000 :00000) Κm ή x = 0Km Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα
Ανάλογα Ποσά 05. Να βρεθεί η κλίµακα ενός χάρτη αν η πραγµατική απόσταση δύο πόλεων είναι 85Κm και η απόσταση στό χάρτη είναι 0cm. 0cm 0 Αν κ η κλίµακα του χάρτη τότε έχουµε: κ = = = 85 000 00cm 8500000 45000 Οι διαστάσεις ενός οικοπέδου που έχει σχήµα ορθογωνίου είναι 48m και m. Να βρεθούν οι διαστάσεις του σχεδίου αν ο µηχανικός θέλει να το σχεδιάσει έτσι ώστε cm του σχεδίου να αντιπροσωπεύει 0m πραγµατικής απόστασης. cm Η κλίµακα του σχεδίου θα είναι: κ = =. 0m 000 Αν x το µήκος και y το πλάτος του σχεδίου σε cm έχουµε: x 48m 4800cm = ή x = = = 4,8cm. 48m 000 000 000 και y = ή m 000 m 00cm y = = =,cm. 000 000 Σε τρία παιδιά ηλικίας 7, 9, 4 ετών µοιράστηκαν 960. Να βρείτε πόσα ευρώ πήρε το καθένα παιδί. Αν x, y, ω είναι τα ευρώ που πήρε το κάθε παιδί τότε x+ y+ ω= 960 και ισχύει: x y ω x + y + ω 960 = = = = =. 7 9 4 0 0 Άρα: x ή x 7 4 7 = = = y, ή y 9 8 9 = = = και ω ή ω 4 448 4 = = = Τρεις συνέταιροι ίδρυσαν µια επιχείρηση και ο α έβαλε 6000, ο β 9000 και ο γ 5000. Αν η επιχείρηση είχε κέρδη 70.000 να βρεθεί το µερίδιο του καθενός από τα κέρδη της επιχείρησης. Αν x, y, ω το µερίδιο των α, β, γ αντίστοιχα τότε x+ y+ ω = 70000. Άρα: Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα
06. Ανάλογα Ποσά x y ω x + y + ω 70000 = = = = =,5 6000 9000 5000 0000 0000 Τότε x,5 ή x,5 6000 000 6000 = = = y,5 ή x,5 9000 000 9000 = = = ω,5 ή x,5 5000 7600 5000 = = = Να µεριστεί ο αριθµός 800 σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς 5, 6, 8. x y ω x + y + ω 800 Αν x, y, ω τα µέρη έχουµε = = = = = 00. 5 6 8 9 9 Άρα: x 00 ή x 000 5 = =, y 00 ή y 00 6 = = και ω 00 ή ω 600 8 = =. Το οξυγόνο και το άζωτο βρίσκονται σε αναλογία βαρών 6:9. Να βρεθεί πόσο βάρος από κάθε αέριο περιέχεται σε Kg αέρα. Αν x, y είναι οι ποσότητες του κάθε αερίου στα Kg αέρα τότε x+ y= και ισχύει: x y x+ y = = = = 0, 48 6 9 5 5 άρα x 0, 48 ή x 0, 48 6,88Kg 6 = = = οξυγόνο. y 0, 48 ή y 0,48 9 9,Kg 9 = = = άζωτο. ύο φίλοι είχαν µαζί 680. Αν δώσουν σε τρίτο φίλο τους ο ένας τα 5 του µεριδίου του και ο άλλος τα από το δικό του θα αποµείνουν µε το ίδιο χρηµατικό ποσό. Να 7 βρεθεί το µερίδιο του καθένα. 5 Αν x το µερίδιο του πρώτου και y του δεύτερου τότε: x x = x και y y = y. 5 5 7 7 Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα
Ανάλογα Ποσά 07. Επειδή έµειναν µε το ίδιο χρηµατικό ποσό είναι : x = 5 y ή x = 5 5 7 y ηλαδή x = y = 680 = 80.Άρα: x 80 ή x 5 80 000 5 46 5 = = = το µερίδιο του πρώτου και y = 80 ή y = 80 = 680 το µερίδιο του δεύτερου.. Τρεις φίλοι παίζουν ένα δελτίο Προπό και συµµετέχουν µε ποσά 0, 0 και 50. Κέρδισαν συνολικά 600. Τι ποσό θα πάρει ο καθένας τους;. Τρεις τεχνίτες πήραν από µια εργασία 40. Ο πρώτος ως εργοδηγός πήρε το 0% του ποσού για επίβλεψη και τα υπόλοιπα µοιράστηκαν ανάλογα προς τις ηµέρες εργασίας αυτών. Αν ο πρώτος εργάστηκε 5 ηµέρες ο δεύτερος ηµέρες και ο τρίτος 8 ηµέρες. πόσα χρήµατα πήρε ο καθένας;. Μια περιουσία 65.600 µοιράστηκε σε τρεις κληρονόµους ανάλογα προς τους αριθ- µούς,, 4. Να βρεθεί πόσα πήρε ο καθένας τους. 4 5 4. Ένας παπούς µοίρασε 8960 στους δύο εγγονούς του και την εγγονή του. Αν οι εγγονοί του πήραν ίσο µερίδιο και η εγγονή τα 5 όσων πήραν και οι δύο εγγονοί µαζί να βρείτε πόσα πήρε ο καθένας. 5. ύο εργάτες τελειώνουν ένα έργο και πήραν 0 και οι δύο µαζί. Αν το ηµεροµί - Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα
08. Ανάλογα Ποσά σθιο του πρώτου είναι 55 και του δεύτερου 65 και εργάστικαν τις ίδιες µέρες να βρείτε πόσα χρήµατα πήρε ο καθένας. 6. Ένα δοχείο περιέχει µίγµα από δύο ουσίες σε αναλογία βάρων 4 προς 5. Αν το βάρος και των δύο ουσιών είναι 4Kgr να βρεθεί το βάρος κάθε ουσίας. 7. Τρεις έµποροι α,β,γ έβαλαν σε µια επιχείρηση ο α 6000, ο β 4000 και ο γ τα 5 8 του αθροίσµατος των χρηµάτων των δύο άλλων. Αν το κέρδος της επιχείρησης είναι 0000 να βρείτε το κέρδος του καθενός. 8. Να µεριστεί ο αριθµός 9000 ως προς τους αριθµούς 4,,,. Τι παρατηρείτε; Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα
Ανάλογα Ποσά 09. Ερώτηση α. Τι ονοµάζουµε κλίµακα ενός χάρτη ή ενός σχεδίου; β. Ο λόγος ( ) α α 0 µπορεί να αποτελεί κλίµακα; α γ. Αν η κλίµακα ενός σχεδίου είναι 7 έχουµε σµίκρυνση ή µεγέθυνση; δ. Η παράσταση στο σχέδιο µιας γέφυρας γίνεται µε σµίκρυνση ή µεγέθυνση; Ερώτηση x y z Ένας αριθµός Α µερίζεται σε µέρη ανάλογα των αριθµών 0, 0, 0, δηλαδή = =. 0 0 0 α. Να υπολογίσετε τους x, y, z συναρτήσει του αριθµού Α. β. Αν ο αριθµός Α = 0 να βρείτε τους x, y, z. Άσκηση Η περίµετρος ενός τετραγώνου είναι 40cm. Πόση θα γίνει αυτή αν η πλευρά του αυξηθεί κατά 5%; Άσκηση α. Η απόσταση δύο σηµείων στο χάρτη είναι 7cm. Η πραγµατική απόσταση των δύο αυτών σηµείων είναι 5Km. Ποιά είναι η κλίµακα του χάρτη; β. Ποιές είναι οι πραγµατικές διαστάσεις του διπλανού σχήµατος αν έχει σχεδιασθεί µε κλίµακα : 500; Άσκηση Να µερίσετε τον αριθµό 600 σε µέρη ανάλογα προς τους αριθµούς, 5 και 0. B cm,5cm à A cm cm E cm Ä Εφαρµογές των ανάλογων ποσών - Κλίµακες - Μερισµός σε µέρη ανάλογα