Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά Πολλά φυσικά μεγέθη είναι διανυσματικά (π.χ. δύναμη, ταχύτητα, επιτάχυνση, γωνιακή ταχύτητα, ροπή, στροφορμή ) Συμβολισμός του διανύσματος: Συμβολισμός του μέτρου του διανύσματος:
Στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων (όπως θα μάθουμε και σε όλα τα συστήματα συντεταγμένων) μπορούμε να ορίσουμε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων: i uˆ, j uˆ, k uˆ z х i (u unir) z k j Τότε ένα διάνυσμα μπορούμε να το γράψουμε με τη βοήθειά τους Όπου i j k {,, },, z z z οι συνιστώσες του διανύσματος.
b θ b,b b b θ ( ) cos Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος (π.χ. έργο W) ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ b b ( b c) b c ( ) ( ) ( ) ( m b m b mb b ) m ii jj kk, ij jk ki 0 i j zk, b bi b j bzk b b b b Άν z z θ0 ο και 90 ο х 0,b b 0 θ 90, b. και i z k j
Άσκηση Δύο σωματίδια κινούνται στο πεδίο βαρύτητας της γης. Την 0 s βρίσκονται στο ίδιο σημείο και έχουν οριζόντιες ταχύτητες με φορές αντίθετες u u. Πότε και πόσο θα απέχουν μεταξύ τους όταν τα διανύσματα των ταχυτήτων τους είναι κάθετα (σχήμα) j i r r r u u
Έστω ότι αυτό συμβαίνει την χρονική στιγμή «Κάθετα» σημαίνει εσωτερικό γινόμενο 0 u u iˆ gj ˆ u u iˆ gj ˆ u u 0 uu g r r r u iˆ r r με g ( u u ) i r ( u u ) ˆj r u ˆ iˆ g ˆj u g u u u g μόνο i συνιστώσα δηλ. δεν έχει συνιστώσα // στον άξονα μονάδες: (m/s)[(m/s)/m/s ] (m /s )/[m/s ]m
Άσκηση Άσκηση Δείξτε ότι αν αν το άθροισμα άθροισμα και η διαφορά διαφορά δύο ανυσμάτων έχουν το αυτό μέτρο τότε τα ανύσματα είναι κάθετα (και αντιστρόφως) B A B A B A B AB A B AB A B A AB AB 0 0 4
Βρείτε τη γωνία που σχηματίζουν δύο διαδοχικές διαγώνιοι ενός κύβου (πλευράς) z (0,0,) b iˆ 0 ˆj kˆ b 0 iˆ ˆj kˆ O Θ (0,,0) (,0,0) b (,, ) ( b, b, b ) (,0, ) ( 0,, ) z 0 0 ( αριθμός) z
b b cos cos cos z cos 60 o (0,0,) b Β z 0 Α Θ (0,,0) O (,0,0) Ισόπλευρο το ΑΟΒ 60 ο!!! ( ) ( ) 0 0,5 0,5 60 0 cos 60 0,5 rccos
Άσκηση Αποδείξτε διανυσματικά ότι η εγγεγραμμένη γωνία σε ημιπεριφέρεια είναι ορθή. R η ακτίνα του κύκλου AB AO BO 0 cos 0 90 ΒΓ ΒΟ ΟΓ Β AB ΒΓ ΑΒ ΒΓ cosθ θ ΑΒ ΒΓ ( AO BO) ( BO OΓ) φ ΑΟ ΒΟ ΑΟ ΟΓ ( ΒΟ) ΒΟ ΟΓ Α A B B Γ Ο R R ΑΒ cos ΒΓ Γ R ΑΟ ΒΟ ΑΟ ΟΓ ΒΟ ΟΓ R R R R cosφ ( ΒΟ) cosφ 0 θ π/ R cos ΑΒ R ΒΓ
b [,b] b b [,b ] nb ˆ sin φ α είναι το μέτρο του b μέτρο του. και b το ˆn φ φ είναι η μικρότερη γωνία b μεταξύ των και. ˆn Το είναι μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο προκύπτει ως εξής: Στρέφουμε το πρώτο διάνυσμα του γινομένου (στην προκειμένη περίπτωση το b ) προς το δεύτερο (εδώ το ), ακολουθώντας τη γωνία φ. Τότε το έχει τη φορά δεξιόστροφης βίδας. Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι διάνυσμα, κάθετο και στα δύο διανύσματα (επίπεδο) ˆn
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ b? ˆn φ b b [ b,] b
( b c ) b c m( b) ( m b) ( mb) ( b) m b c b c b ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ( ) ( ) ( ) c i i j j k k 0 0 i j k, j k i,,b b 0 0, // b. k i j Άν και i j k, b b i b j b k z z i j k b z b b b z х i z k j
i j k b b z b b b ( b z z ( b z ( b z z b b b ) i ) j ) k
Παράδειγμα: έστω δύο διανύσματα : «κλασσικά» ( ) ( ) ˆ, i 5ĵ, kˆ ˆ, i 4ĵ, ˆ k 6ˆ i iˆ ˆ i ˆj 9ˆ i kˆ, 0ˆ jiˆ 0ˆj ˆj 5ˆj kˆ, 4kˆ iˆ 8kˆ ˆj 6kˆ kˆ ( kˆ 9 ˆj ), ( 0kˆ 5ˆ i ), ( 4 ˆj 8i )] [ ˆ i ( k, j,7i) k j ( 7i, j, k)
i j k b z b b b z iˆ ˆj 5 4 kˆ b ( b b )ˆ i ( b b ) ˆj ( b b ) kˆ z z z z ( 5 8) iˆ, ( 9 4) ˆ, j ( 0) kˆ 7iˆ, ˆ, j kˆ δηλ. ίδιο με πριν
b S b S b S b S b S φ h h S S S S εμβαδόν παραλληλογράμμου b S sin b b φ b h b S b
Άσκηση Αποδείξτε ότι η επιφάνεια ενός παραλληλογράμμου με πλευρές A και B είναι A XB S ί Ah A B sin S S ( sin ) / S AXB B θ h A
Δίνεται η δύναμη F ˆj u που ασκείται πάνω σε σωμάτιο μάζας m, όπου ĵ είναι το μοναδιαίο διάνυσμα με κατεύθυνση στη θετική διεύθυνση του άξονα των και η ταχύτητα του σωματιδίου u dr d. (α) Δείξτε ότι η κινητική ενέργεια του σωματιδίου παραμένει σταθερή (β) Ποιο είναι το έργο που παράγει η δύναμη; (γ) Ποια η επίδραση της δύναμης πάνω στο διάνυσμα της ταχύτητας; ˆ dr F j u dk F dr F d d dk F ud ( ) ( ) b c b c ( ) ˆj u ud dk dk είδαμε ιδιότητα ( u u) ˆjd 0 ( u u) ˆjd 0
Ροπή τ F r r F
Μήπως θα ήταν σκόπιμο να παριστάνουμε ΚΑΘΕ επίπεδο με διάνυσμα; z S S θ S και S S θ S S Ας υποθέσουμε ότι έχουμε το επίπεδο S στο χώρο. Βρίσκουμε την προβολή του S στο επίπεδο. Ξέρουμε ότι S S cos Αν σύμφωνα με όσα είπαμε προηγουμένως παριστάναμε τα επίπεδα με διανύσματα, τότε είναι κατανοητό, πως το θα ήταν η προβολή του στον άξονα z (ΒΟΛΙΚΟ). S ΕΠΟΜΕΝΩΣ: ΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΠΟΡΟΎΜΕ ΝΑ ΤΟ ΠΑΡΑΣΤΗΣΟΥΜΕ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
Διανύσματα είναι μόνο τα επίπεδα; S ΤΙ ΓΙΝΕΤΑΙ ΜΕ ΤΙΣ ΑΛΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ; ΔS i ΔS i Έστω τυχαία επιφάνεια S στο χώρο. όμως Τη χωρίζουμε σε πολύ μικρές επιφάνειες ΔS i. Επειδή είναι μικρές κάθε μια τη θεωρούμε επίπεδο και σ αυτό αντιστοιχούμε διάνυσμα ΔS S i ΔS i i S ΔS i i
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ n n Δ Δ d d ΦΥΣΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ f() φ Δ φ Δ Δ Δ Δх Δх Ο στιγμιαίος «ρυθμός» μεταβολής ενός μεγέθους σε σχέση με κάποιο άλλο (όχι απαραίτητα το χρόνο). Ταχύτητα Συμβολισμοί: d d Θερμοχωρητικότητα d d Επιτάχυνση C V d d d d du d d d d d d d
Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Έστω Δх μια μεταβολή της. Αν Δх 0 χρησιμοποιούμε το συμβολισμό d και ονομάζουμε το d διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής. ΕΡΩΤΗΜΑ Εάν έχω συνάρτηση f() και η ανεξάρτητη μεταβλητή μεταβληθεί κατά d, πόσο θα μεταβληθεί η ; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Βλέπουμε ότι αν το μεταβληθεί κατά Δ, τότε θα έχουμε: Δ n Δ f( ) φ Δ Δ Και για Δх 0 Δ d n d d d d Δ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ Έστω συνάρτηση f() ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( Δ) Τότε f(δ) (αν Δ) Με τι ισούται η διαφορά Δ f(δ) f(); Αποδεικνύεται ότι ΔΑΔΟ(Δ) όπου Α Α() (δεν εξαρτάται από το ) και Ο(Δ) συνάρτηση του Δ δύναμης μεγαλύτερης της ης Δ ( Δ) ; ( ) Δ Δ ( Δ) ( Δ) Δ [ ( Δ) ( Δ) ] Για Δ 0 Για Δ 0 0 A(d/d) και Ο(Δ) d d d d d d d d d d
ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ο γενικός τύπος d την παράγωγο ως πηλίκο. d d d μας επιτρέπει να θεωρούμε Έστω κύκλος ακτίνας r. dr Πόσο θα αυξηθεί το εμβαδόν του, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; Συμβατική απάντηση: S r ds r dr r ( ) r rdr dr r 0 rdr ds ds dr rdr dr Διαφορικό: r είναι η παρά γωγος του πr Σφαίρα?
Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να απαντήσουμε στο ερώτημα, πόσο θα αυξηθεί ο όγκος σφαίρας, αν η ακτίνα του αυξηθεί κατά dr ; V 4 dv dv dr 4 r dr dr r ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό του διαφορικού για μερικές ΠΟΛΥ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ προσεγγίσεις. Από τον γενικό τύπο του διαφορικού μπορούμε να περάσουμε στον προσεγγιστικό d d d d Δ ( Δ) ( ) Δ d d d ( Δ) ( ) Δ d
ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ d ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ( Δ) ( ) Δ d Τον τύπο αυτό μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε με μεγάλη επιτυχία, υπό την προϋπόθεση ότι Δ<<,0 ; 0,97,04 ;,0 ( ). Τότε ( Δ). Δ d( ) ( Δ) ( ) Δ Δ d Παραδείγματα: Έστω, Δ 0,0 0,0 0,97 0,0
ΜΕΡΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΜΕΡΙΚΟΙ ΓΕΝΙΚΟΙ ΚΑΙ ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ ( а) [ ( ) ] ln( а) e sin 0 << ν ρητός αριθμός cos 0 Αυτοί οι τύποι είναι μερικές περιπτώσεις της σειράς lor f f f f f!!! ( ) (0) (0) (0) (0)...
Η παράγωγος που ξέρουμε αναφέρεται σε συνάρτηση μιας μεταβλητής. Τι γίνεται αν έχουμε συνάρτηση πολλών μεταβλητών; Π.χ. s Και θέλουμε να δούμε πως μεταβάλλεται το υ όταν μεταβληθεί είτε το s είτε το. Για συνάρτηση f(,, z, ) χρησιμοποιούμε την έννοια της μερικής παραγώγου. Η υυ(s,) f f Παραγωγίζουμε ως προς, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές. Παραγωγίζουμε ως προς, θεωρώντας τις άλλες μεταβλητές σταθερές. s s
Όσον αφορά τη δεύτερη παράγωγο, έχουμε μερικών ειδών: f f f f 0 s s Διαφορικό συνάρτησης πολλών μεταβλητών f(,, z). f f f df d d dz z s s ), ( f f παραδείγματα s s s s s s SOS! SOS!
Cvendish (B) I C I m / C m / C C(, l, m)
4 4 m l l lm m l C m m C l l C C C δ/ / σχετικό σχετικό σφάλμα σφάλμα C C(, l, m) 4 4 4 4 m m l l C C m m l l C C m m l l m l C f f f df d d dz z
Άλλο παράδειγμα Mm C d C F G d G Mm G d Y ML G G( Y, M, L, )
L L M M Y Y G G L L M M Y Y ML ld Y G ML ld Y M ML ld Y M M L ld Y Y ML ld G G L L G M M G Y Y G G d Y G ML 4 L L M M Y Y G G
rccos rcsin s cos sin cos cos sin ln d df ) ( in cg g n f n n ) ( ) ( ) ( )] ( [ ) ( Επίσης : 0 consn ln d df ) ( ' ' ' f f e e rcg f τα τα συνήθη συνήθη
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 5 0 5 0 0?0 ' d d f() Άσκηση
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ακρότατο όχι 0 4 0 4 5 4 0 4 4 5 ''' ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 m 0 5 44 5 5 5 4 6 5 min 0 6 5 4 5 4 4 8 0 5 5 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 '' < ( )( ) ( ) 5
Έστω διάνυσμα ( ) ( ) i ( ) j ( ) k z ( Δ) ( Δ) i ( Δ) j ( Δ) k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δ το διάνυσμα θα γίνει z Εξετάζουμε την παράσταση ( Δ) ( ) Δ ( Δ) ( ) lim lim lim[ i Δ0 Δ Δ0 Δ Δ0 Δ ( Δ) ( ) z ( Δ) z ( ) j k ] Δ Δ d d d z d i j k d d d d Η παράγωγος διανύσματος είναι διάνυσμα, οι συνιστώσες του οποίου είναι οι παράγωγοι των συνιστωσών του αρχικού διανύσματος
Εάν ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ d d σταθερό (κατά μέτρο και διεύθυνση) 0 d( m) d m d d d( b) d db d d d d( b) d db b ( ) d b d db b d d d d d d εσωτερικό εξωτερικό