Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 1-1. -175663 Βασικές Τριγωνομετρικές ταυτότητες Αν 0<x< και (συνx+1)(5συνx-)=0 τότε: a) Να αοδείξετε ότι συνx= 5 b) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. - 178 x y 1 a) Να λύσετε το σύστημα: x y 1 b) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) και του τριγωνομετρικού κύκλου, να βρείτε όλες τις γωνίες ω με 0 < ω <, ου ικανοοιούν τη σχέση συνω + ημω = -1 και να τις αεικονίσετε άνω στον τριγωνομετρικό κύκλο. 3. - 17699 Δίνεται ημφ = 3 5 Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο, όου φ η οξεία γωνία ου σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας (ε) του αρακάτω σχήματος. a) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. b) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος.. - 17656 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 1 συνx, x R a) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η ερίοδος της f; b) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε διάστημα λάτους μιας εριόδου. c) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μορεί να άρει την τιμή 1. Να αιτιολογήσετε την αάντηση σας. 5. -1770 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = -3συνx, x R a) Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. b) Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα και να αραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας εριόδου. 1 Ο ΓΕΛ Ναυάκτου Ειμέλεια: Ηρ. Μεζαΐτης

ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - - x 0 3 x συνx f(x)=-3συνx 6. - 1775 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ημ(- 3x) + συν( -3x), x R. a) Να δείξετε ότι f(x) = ημ3x. b) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f 7. - 19913 Έστω η συνάρτηση f(x)=(+συνx) a) Να αοδείξετε ότι : f(x)=1+, για κάθε x R. b) Να βρείτε την ερίοδο καθώς και τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της f. 8. - 1781 Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα αρκ. Η αόσταση, σε μέτρα, του καθίσματος τους αό το έδαφος τη χρονική στιγμή t sec δίνεται αό τη συνάρτηση h(t)=8+6ημ t 30, 0 t 180 a) Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οοίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις στιγμές κατά τις οοίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος. b) Να υολογίσετε την ακτίνα της ρόδας. c) Να βρείτε την ερίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οοίο η ρόδα ολοκληρώνει μια εριστροφή. Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα αό 0 έως 180 sec; d) Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον ίνακα τιμών και το σύστημα συντεταγμένων ου δίνονται αρακάτω και: i. να συμληρώσετε τον ίνακα τιμών της συνάρτησης του ύψους h(t). ii. να σχεδιάσετε στο σύστημα συντεταγμένων το τμήμα της γραφικής αράστασης της συνάρτησης h(t) με 0 < t< 90. 1 Ο ΓΕΛ Ναυάκτου Ειμέλεια: Ηρ. Μεζαΐτης

ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 3-9. - 17855 Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώματος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση: f(t)=1ημ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. a) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης. b) Να βρείτε την αόσταση του σώματος αό το έδαφος τις χρονικές στιγμές t = 5 και t = 8. c) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα αό t= 0 έως t = 8, οια χρονική στιγμή η αόσταση του σώματος αό το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η αόσταση αυτή; 10. 0331 Η θερμοκρασία μιας εριοχής σε βαθμούς Κελσίου ( ο C) κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετράωρου δίνεται κατά ροσέγγιση αό τη συνάρτηση: f(t)=-8συν t, με 0 t 1 (t ο χρόνος σε ώρες). a) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία κατά τη διάρκεια του εικοσιτετράωρου. 1 Ο ΓΕΛ Ναυάκτου Ειμέλεια: Ηρ. Μεζαΐτης

ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - - b) Να βρείτε τις χρονικές στιγμές ου η θερμοκρασία είναι ίση με 0 ο C. c) Να αραστήσετε γραφικά την f για t [0,] d) Να βρείτε, με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης, ότε η θερμοκρασία είναι άνω αό 0 ο C 11. - 16968 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις a) Είναι η τιμή x= λύση της εξίσωσης 3συνx + 3 = 0; Να αιτιολογήσετε την αάντηση σας. b) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) = συνx με την ευθεία y = -1. 1. - 1765 Δίνεται γωνία ω ου ικανοοιεί τη σχέση: (ημω + συνω) = 1 a) Να αοδείξετε ότι είτε ημω = 0 είτε συνω = 0. b) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας ω. 13. - 17681 Δίνεται η συνάρτηση f(χ) = ημχ+1, χ R a) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f b) Για οια τιμή του χ [0, ] η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστη τιμή; 1. - 1769 a) Να αοδείξετε ότι: ημ( +x)+συν(+x)=0 b) Να βρείτε τις τιμές του x [0,) για τις οοίες ισχύει: συνx = - ημ( +x) 15. - 17693 a) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αρακάτω αριθμούς: συν, συν 6, συν 17 10. b) Αν < χ1 < χ < 3, να συγκρίνετε τους αριθμούς: ημ ( -x1) και ημ ( -x) 16. - 17736 Δίνεται η αράσταση: Α = ημ x 1 συνx a) Να αοδείξετε ότι Α = 1+συνx b) Να λύσετε την εξίσωση ημ x 1 συνx, με x κ, κ Z. = 1 στο διάστημα (0, ) 1 Ο ΓΕΛ Ναυάκτου Ειμέλεια: Ηρ. Μεζαΐτης

ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 5-17. - 17739 Έστω γωνία x για την οοία ισχύουν: < x < και ημ( - χ)- ημ( + χ) = 1. a) Να αοδείξετε ότι ημχ = 1 b) Να βρείτε την γωνία χ. 18. - 1771 a) Να αοδείξετε ότι : b) Να λύσετε την εξίσωση: 19. - 17837 1 συνx 1 συνx + 1 συνx = + = 1 συνx 3, όου χ κ, κ Z. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = α +1 ημ(βχ) με α R και β>0, η οοία έχει μέγιστη τιμή 3 και ερίοδο. a) Να δείξετε ότι α = ή α = - και β =. b) Για α = και β = -, 0. - 1780 i. να λυθεί η εξίσωση f(x)=3. ii. να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [0, 8]. Δίνεται το σύστημα: x y 1, με αράμετρο λ R. x λy λ a) Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του λ R. b) Αν λ = -1 και (xο, yο) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να βρείτε γωνία θ [0, ) τέτοια ώστε x0 = συνθ και y0 = ημθ. c) Αν λ = 1 και (x1, y1) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να δείξετε ότι δεν υάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε x1 = συνω και y1= ημω. 1. - 1783 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f η οοία είναι της μορφής f(x) = ρημ(ωx) +k, με ρ, ω, k ραγματικές σταθερές. a) Με βάση τη γραφική αράσταση, να βρείτε: 1 Ο ΓΕΛ Ναυάκτου Ειμέλεια: Ηρ. Μεζαΐτης

ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 6 - i. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f ii. την ερίοδο Τ της συνάρτησης f iii. Να ροσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών ρ, ω και k. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. b) Θεωρώντας γνωστό ότι ρ = 3, ω = 1 και k =, να ροσδιορίσετε αλγεβρικά την. 1786 τετμημένη x0 του σημείου Α της γραφικής αράστασης, ου δίνεται στο σχήμα. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = συνx και g(x) = συνx. a) Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα τιμών των συναρτήσεων f και g. Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και g (x), για x [0, ]. x 0 3 5 3 7 f(x) g(x) b) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης, να ροσδιορίσετε το λήθος των λύσεων της εξίσωσης συνx = συνx (1) στο διάστημα [0, ]. c) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση (1) στο διάστημα [0, ] και να σημειώσετε άνω στο σχήμα του ερωτήματος (α) τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f και g. 3. - 1785 Ένα αιγνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο αό το ταβάνι. Το ύψος του αό το άτωμα σε cm συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται αό τη σχέση: h(t)=α-συν(ωt) +β, όου α, ω, β ραγματικές σταθερές. Όταν το ελατήριο ταλαντώνεται, το ελάχιστο ύψος του αιχνιδιού αό το άτωμα είναι 0cm και το μέγιστο 100cm. Τη χρονική στιγμή t=0 το ύψος αίρνει την ελάχιστη τιμή του και ο χρόνος μιας λήρους ταλάντωσης (θέσεις: ελάχιστο-ηρεμία-μέγιστο-ηρεμία-ελάχιστο) είναι 6 cm. a) Να δείξετε ότι ω= 3 b) Να ροσδιορίσετε τις τιμές των α και β αιτιολογώντας την αάντησή σας. c) Να υολογίσετε το ύψος του αιγνιδιού αό το άτωμα 1 sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης. 1 Ο ΓΕΛ Ναυάκτου Ειμέλεια: Ηρ. Μεζαΐτης

ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 7 - d) Να χαράξετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης h(t), για 0 t 1.. 0338 Στο διλανό σχήμα, δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f, ου είναι της μορφής f (x)=α +βσυνx, όου α, β ραγματικοί αριθμοί. a) Mε βάση τη γραφική αράσταση της f, να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. b) Ποια είναι η ερίοδος Τ της συνάρτησης f; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. c) Mε βάση τα δεδομένα του σχήματος, να αοδείξετε ότι: α =- και β = 6 d) Να ροσδιορίσετε αλγεβρικά τα κοινά σημεία της γραφικής αράστασης της f με την ευθεία y = 1 στο διάστημα [0,]. 5. - 1766 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών Δίνονται οι γωνίες ω, θ με συνω 0 και συνθ 0 για τις οοίες ισχύει: ω + θ = 135. Να αοδείξετε ότι: a) εφ(ω + θ) = - 1 b) εφω + εφθ + 1= εφω εφθ 6. - 19911 a) Να αοδείξετε ότι: ημ x 3 = 3 συνx+ 1 b) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α), να λύσετε στο διάστημα (0, ) την εξίσωση: 3 συνx+ 1 =0 7. 1991 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας α Δίνεται γωνία ω για την οοία ισχύει ότι: -συνω+5ημω-=0 a) Να αοδείξετε ότι ισχύει: ημ ω+5ημω-3=0 b) Να αοδείξετε ότι ημω= 1 8. - 17838 Για τη γωνία ω ισχύει ότι 5συνω + 8συνω + 1 = 0. a) Να δείξετε ότι συνω = - 5 b) Αν για τη γωνία ω ειλέον ισχύει < ω <, τότε: 1 Ο ΓΕΛ Ναυάκτου Ειμέλεια: Ηρ. Μεζαΐτης

ΑΛΓΕΒΡΑ ΒΛ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 8 - i. να δείξετε ότι συνω = 7 5 και ημω =- 5 ii. να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: 13 ημ ω συν ω 1 18εφωσφω 5(ημω συνω) 1 Ο ΓΕΛ Ναυάκτου Ειμέλεια: Ηρ. Μεζαΐτης