Εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών

Κεφάλαιο 2 Εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών 2.1 Μερικά συμπεράσματα για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα Ας είναι Γ : u i = u i (s), s J, μια προσανατολισμένη καμπύλη της επιφάνειας, όπου s είναι φυσική παράμετρός της. Για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα της Γ έχουμε βρει τους τύπους (2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) κ g = x, n g = x, n g, κ g n g = Ä u k + Γ k ij u i u j ä x k κ g = κ sinϑ, και όπου ϑ [0, 2π) είναι η προσανατολισμένη γωνία των διανυσμάτων h, n (εφόσον η Γ δεν είναι ευθεία). Από την (2.1.1) προκύπτει (2.1.4) κ g = (x, x, n). Όταν η καμπύλη Γ δίνεται από τις συναρτήσεις u i = u i (t), t J, όπου η παράμετρος t είναι τυχαία, λόγω των (2.1.5) x = ẋ dt ds, βρίσκουμε (2.1.6) κ g = Αποδεικνύουμε την επόμενη x = ẍ Äẋ, ẍ, n ä Ç å dt 2 + ẋ d2 t ds ds, 2 ẋ 3. 12

Πρόταση 2.1.1. Έστω Γ η ορθή προβολή μιας επιφανειακής καμπύλης Γ στο εφαπτόμενο επίπεδο ενός σημείου P αυτής και κ η καμπυλότητα της. Τότε είναι κ g (P ) = ±κ (P ). Απόδειξη. Παίρνουμε την αρχή A 0 πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο της στο P. Αν Γ : x = x(s) είναι μια παραμετρική παράσταση της Γ ως προς φυσική παράμετρο, τότε x (s) = x(s) + λ(s) N, όπου N := n(p ), είναι μια παραμετρική παράσταση της Γ. Θα βρούμε πρώτα τη γεωδαισιακή καμπυλότητα κ g της Γ (με εφαρμογή της (2.1.6)). Επειδή x (s), N = 0, είναι x(s), N + λ(s) = 0, άρα x (s) = x(s) x(s), N N, οπότε x (s) = x (s) x (s), N N, x (s) 2 = 1 x (s), N 2, x (s) = x (s) x (s), N N, άρα κ g(p ) = Ä x (s), x (s), N ä P x (s) 3 P = Ä x (s), x (s), N ä P 1 x (s), N 2 3/2 P = Ä x (s), x (s), N ä P = κ g(p ), αφού 1 x (s), N P = 1 x (P ), N 2 = 1. Τέλος, επειδή η Γ είναι επίπεδη καμπύλη, είναι ϑ = προσ. Ä h, n ä = π/2 ή 3π/2, οπότε κ g = κ sinϑ = ±κ, άρα κ g (P ) = ±κ (P ). 13

Για να βρούμε και άλλους τύπους για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα, θεωρούμε τον τανυστή διακρίνουσας (2.1.7) ϵ ij := Ä n, x i, x j ä, i, j = 1, 2. Προφανώς για τις συνιστώσες του είναι (2.1.8) ϵ 11 = 0, ϵ 12 = ϵ 21 = g, ϵ 22 = 0. Εξάλλου (2.1.9) n g, x k = Ä n, x, x k ä = Ä n, x m u m, x k ä = ϵmk u m, επομένως από την (2.1.2), με εσωτερικό πολλαπλασιασμό με το διάνυσμα n g, παίρνουμε (2.1.10) κ g = ϵ mk u m Ä u k + Γ k ij u i u j ä, η οποία, λαμβάνοντας υπόψη τις (2.1.8), γράφεται και ως εξής (2.1.11) κ g = u 1 u 1 + Γ g ij 1 u i u j u 2 u 2 + Γij 2 u i u j. Θα δούμε τώρα ποιά μορφή παίρνει ο τύπος (2.1.10) όταν η παράμετρος είναι τυχαία: Αρχικά έχουμε (2.1.12) u m = u m dt ds, άρα κ g = ϵ mk u m dt ds = ϵ mk u m Ç dt ds Λόγω των (2.1.8) όμως είναι Τέλος, επειδή um = ü m Ç å dt 2 + u m d2 t ds ds 2 [ Ç å dt 2 ü k + u k d2 t ds ds + Γ k 2 ij u i dt ] dt uj ds ds å 3 Å ã ü k + Γij k u i u j + ϵ mk u m u k dt d 2 t ds ds. 2 ϵ mk u m u k = ϵ 11 u 1 u 1 + ϵ 12 u 1 u 2 + ϵ 21 u 2 u 1 + ϵ 22 u 2 u 2 = 0. Ç å ds 2 = (ds)2 dt (dt) 2 = I (dt) 2 = g du i ij dt du j dt = g ij u i u j, βρίσκουμε τον παρακάτω τύπο για τη γεωδαισιακή καμπυλότητα ως προς τυχαία παράμετρο (2.1.13) κ g = ϵ mk u m Äük Ä + Γ k gij u i u jä 3/2 ij u i u jä. 14

Ανάλογα προς την (2.1.11), η (2.1.13) παίρνει τη μορφή (2.1.14) κ g = Από την τελευταία έχουμε την g Ä gij u i u jä 3/2 u 1 ü 1 + Γ ij 1 u i u j u 2 ü 2 + Γij 2 u i u j. Πρόταση 2.1.2. (E. F. Minding 1, 1830) Η γεωδαισιακή καμπυλότητα είναι μέγεθος της εσωτερικής γεωμετρίας της επιφάνειας. Παράδειγμα 2.1.1. Αναφερόμαστε στην επιφάνεια (1.2.3) και την καμπύλη της (1.2.4) του Παραδείγματος 1.2.1 (Ενότητα 1.2 του Κεφαλαίου 1). Για να βρούμε τη γεωδαισιακή καμπυλότητα κατά μήκος της Γ θα εφαρμόσουμε την (2.1.6). Επειδή ẋ = e 1 e 2 3t 2 e 3, ẋ 2 = 9t 4 + 2 ẍ = 6t e 3, βρίσκουμε κ g = 6t 3 (9t 4 + 2) 3/2 5t 4 + 1. 2.2 Γεωδαισιακές γραμμές Μια επιφανειακή καμπύλη Γ ονομάζεται γεωδαισιακή γραμμή 2 της (ή απλώς γεωδαισιακή), όταν η γεωδαισιακή καμπυλότητα κατά μήκος της Γ είναι μηδέν. Πρόταση 2.2.1. (α) Μια επιφανειακή καμπύλη Γ είναι τότε και μόνον τότε γεωδαισιακή γραμμή, όταν (2.2.1) (x, x, n) Γ 0 ή Äẋ, ẍ, n ä Γ 0. (β) Όλες οι κάθετες τομές της είναι γεωδαισιακές. Απόδειξη. Η (α) είναι άμεση συνέπεια των (2.1.4) και (2.1.6). Για την απόδειξη της (β) παρατηρούμε, ότι για κάθε κάθετη τομή της είναι ϑ = 0 ή π (βλ. απόδειξη της Πρότασης 1.2.3), οπότε από την (2.1.3) προκύπτει κ g = 0. 1 Ernst Ferdinand Adolph Minding 1806-1885. Γερμανορώσσος Μαθηματικός, Καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Dorpat. Διδακτορική Διατριβή: De valore intergralium duplicium quam proxime inveniendo 2 Ο όρος χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Joseph Liouville to 1844 15

Πρόταση 2.2.2. Μια καμπύλη Γ της είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακή, όταν ή είναι ευθεία ή το εγγύτατο επίπεδό της είναι κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της σε κάθε σημείο P Γ (ισοδύναμα: το ευθειοποιούν επίπεδo της ταυτίζεται με το εφαπτόμενο επίπεδο της ). Απόδειξη. Αν η Γ είναι ευθεία, είναι γεωδαισιακή (βλ. Πρόταση 1.1.1). Έστω λοιπόν, ότι η Γ δεν είναι ευθεία. Τότε έχουμε (βλ. (2.1.3)) κ g 0 sinϑ 0 ϑ = 0 ή ϑ = π n = h ή n = h. Επειδή το διάνυσμα n είναι καθετικό του εφαπτομένου επιπέδου και το h καθετικό του ευθειοποιούντος επιπέδου της Γ, η απόδειξη της πρότασης προκύπτει άμεσα. Πόρισμα 2.2.1. Για μια γεωδαισιακή γραμμή Γ μη μηδενικής καμπυλότητας είναι κ n = ±κ, σ g = σ. Πρόταση 2.2.3. Έστω επιφανειακή καμπύλη Γ : u i = u i (s), s J ή Γ : u i = u i (t), t J. α) Η Γ είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακή γραμμή, όταν ικανοποιείται η διαφορική εξίσωση (2.2.2) ϵ mk u m Ä u k + Γ k ij u i u j ä = 0 ή ϵ mk u m Ä ü k + Γ k ij u i u j ä = 0. β) Η Γ είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακή γραμμή, όταν ικανοποιείται το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (2.2.3) u k + Γ k ij u i u j = 0, k = 1, 2, ή (2.2.4) ü k + Γ k ij u i u j = f u k, k = 1, 2, όπου f = d2 t ds 2 Ç å ds 2. dt Απόδειξη. Η απόδειξη της (α) είναι άμεση συνέπεια των (2.1.10) και (2.1.13). Η απόδειξη της (β), όταν η παράμετρος της Γ είναι φυσική, είναι άμεση συνέπεια της (2.1.2), ενώ, όταν η παράμετρος της Γ είναι τυχαία, προκύπτει από την (2.2.3) και τις (2.1.12). 16

Παρατήρηση 2.2.1. Θέτοντας u 1 = u και u 2 = v, η (2.2.2) γράφεται και ως εξής (2.2.5) u v u v +Γ11 2 u 3 + Ä 2Γ12 2 Γ11ä 1 u 2 v Ä 2Γ12 1 Γ22ä 2 u v 2 Γ22 1 v 3 = 0, ή (2.2.6) u v ü v + Γ11 2 u 3 + Ä 2Γ12 2 Γ11ä 1 u2 v Ä 2Γ12 1 Γ22ä 2 u v 2 Γ22 1 v 3 = 0. Παράδειγμα 2.2.1. α) Οι ευθείες του επιπέδου είναι γεωδαισιακές. β) Οι γενέτειρες κάθε ευθειογενούς επιφάνειας (π.χ. του μονόχωνου υπερβολοειδούς, του υπερβολικού παραβολοειδούς, των κυλίνδρων, των κώνων κ.λπ.) είναι γεωδαισιακές. γ) Οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας είναι γεωδαισιακές. Πρόταση 2.2.4. Δίνεται σημείο P 0 (u 1 0, u 2 0) της και μοναδιαίο διάνυσμα w V P0 (). Υπάρχει μοναδική γεωδαισιακή γραμμή, που διέρχεται από το P 0 και έχει σ αυτό εφαπτομενικό διάνυσμα το w. Παρατήρηση 2.2.2. 1. Η έννοια των γεωδαισιακών γραμμών ανήκει στην εσωτερική γεωμετρία των επιφανειών. Όταν γνωρίζουμε μόνο τη μετρική της I = g ij du i du j της επιφάνειας, βρίσκουμε τα σύμβολα του Christoffel και εργαζόμαστε με το σύστημα (2.2.3) ή τη διαφορική εξίσωση (2.2.5) (ή την (2.2.6)). 2. Μια ισομετρική απεικόνιση μεταξύ δυο επιφανειών απεικονίζει τις γεωδαισιακές της μιας στις γεωδαισιακές της άλλης. 3. Όταν η επιφάνεια δίνεται με μια παραμετρική παράστασή της, τότε γνωρίζουμε και το καθετικό διάνυσμά της n. Για να βρούμε τις γεωδαισιακές της, βρίσκουμε τη μετρική και εργαζόμαστε όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Επιπρόσθετα λαμβάνουμε υπόψη τα εξής: α) Κάθε ευθεία πάνω στην είναι γεωδαισιακή γραμμή. β) Μια καμπύλη Γ είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακή γραμμή της, όταν οι πρώτες κάθετοι της Γ συμπίπτουν με τις κάθετες της κατά μήκος της Γ. γ) Οι κάθετες τομές της επιφάνειας είναι γεωδαισιακές γραμμές. δ) Από κάθε σημείο P της διέρχεται μοναδική γεωδαισιακή γραμμή, που έχει σ αυτό ένα δοσμένο μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα w. 2.3 Γεωδαισιακές συντεταγμένες Παρατήρηση 2.3.1. 1. Από τη διαφορική εξίσωση (2.2.6) των γεωδαισιακών γραμμών έχουμε: 17

α) Οι u-καμπύλες είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακές, όταν Γ 2 11 = 0. β) Οι v-καμπύλες είναι ακριβώς τότε γεωδαισιακές, όταν Γ 1 22 = 0. 2. Όταν το παραμετρικό δίκτυο είναι ορθογώνιο (g 12 = 0) τα σύμβολα του Christoffel είναι τα επόμενα: (2.3.1) (2.3.2) Γ 1 11 = g 11 1 2g 11, Γ 1 12 = g 11 2 2g 11, Γ 1 22 = g 22 1 2g 11, Γ 2 11 = g 11 2 2g 22, Γ 2 12 = g 22 1 2g 22, Γ 2 22 = g 22 2 2g 22. Για όσα θα αναφέρουμε στην παράγραφο αυτή αφορμή θα πάρουμε από τις παρακάτω δυο προτάσεις: Πρόταση 2.3.1. Όταν το παραμετρικό δίκτυο μιας επιφάνειας είναι ορθογώνιο και δυο τυχούσες v-καμπύλες αποκόπτουν από τις u-καμπύλες ισομήκη τμήματα, τότε οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές. Απόδειξη. Έστω μια u-καμπύλη και Γ : v = α Γ i : u = u i, i = 1, 2, δυο v-καμπύλες με u 1 < u 2. Τότε ds 2 Γ = g 11 (u, α) du 2. Αν P και Q είναι τα σημεία τομής της Γ με τις Γ 1 και Γ 2 αντίστοιχα, το μήκος που αποκόπτουν τούτες από τη Γ είναι P Q = u2 u 1» g11 (u, α) du, το οποίο είναι ακριβώς τότε ανεξάρτητο του α, όταν (2.3.3) g 11 (u, α) = g 11 (u) Τότε όμως g 11 2 = 0, άρα, λόγω των (2.3.2), Γ11 2 = 0, οπότε οι u-καμπύλες είναι πράγματι γεωδαισιακές. Πρόταση 2.3.2. Όταν η μετρική της επιφάνειας έχει τη μορφή (2.3.4) I = du 2 + g 22 (u, v) dv 2, τότε α) οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές και β) η παράμετρος u είναι φυσική παράμετρος των γεωδαισιακών. 18

Απόδειξη. Προφανώς, το παραμετρικό δίκτυο είναι ορθογώνιο (g 12 = 0) και η παράμετρος u είναι φυσική των u-καμπυλών (g 11 = 1). Μένει να δείξουμε, ότι οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές. Πράγματι, επειδή g 11 = 1, g 12 = 0, από τις (2.3.2) παίρνουμε Γ11 2 = 0, οπότε u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές. Ένα παραμετρικό δίκτυο, που είναι ορθογώνιο και έχει τις ιδιότητες (α) και (β) της προηγούμενης πρότασης, ονομάζεται γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων και οι παράμετροι u, v γεωδαισιακές παράμετροι. Η (2.3.4) ονομάζεται γεωδαισιακή μορφή της μετρικής και οι v-καμπύλες ονομάζονται γεωδαισιακές παράλληλοι. Ο τελευταίος ορισμός δικαιολογείται από την επόμενη πρόταση, που είναι το αντίστροφο της Πρότασης 2.3.1. Πρόταση 2.3.3. Δυο τυχούσες ορθογώνιες τροχιές των γεωδαισιακών γραμμών ενός γεωδαισιακού συστήματος συντεταγμένων αποκόπτουν από τις γεωδαισιακές ισομήκη τμήματα. Απόδειξη. Έστω Γ τυχούσα γεωδαισιακή, Γ i : u = u i, i = 1, 2, τυχούσες ορθογώνιες τροχιές της με u 1 < u 2 και P, Q τα σημεία τομής της Γ με τις Γ 1 και Γ 2 αντίστοιχα. Τότε I Γ = du 2 ds 2 Γ = du 2 P Q = που είναι ανεξάρτητο του v! u2 u 1 du = u 2 u 1, Ο αριθμός P Q, δηλαδή η απόσταση των σημείων P και Q μετρούμενη επί της γεωδαισιακής, ονομάζεται γεωδαισιακή απόσταση των σημείων P και Q. Παρατηρούμε, ότι όταν η μετρική έχει γεωδαισιακή μορφή, από κάθε σημείο της διέρχεται ακριβώς μια γεωδαισιακή γραμμή της οικογένειας των u-καμπυλών. Πεδίο γεωδαισιακών γραμμών ή γεωδαισιακό πεδίο ονομάζεται κάθε μονοπαραμετρική οικογένεια γεωδαισιακών γραμμών F μιας επιφάνειας, που έχει την ιδιότητα: Από κάθε σημείο P διέρχεται ακριβώς μια γεωδαισιακή της οικογένειας. Μπορούμε να εισάγουμε σε κάθε επιφάνεια γεωδαισιακές παραμέτρους ακολουθώντας την παρακάτω διαδικασία: Θεωρούμε μια καμπύλη Γ της και εισάγουμε το γεωδαισιακό πεδίο των ορθογωνίων καμπυλών της Γ ως u-καμπύλες και 19

τις ορθογώνιες τροχιές των καμπυλών του γεωδαισιακού πεδίου ως v-καμπύλες της. Επειδή οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές, έχουμε Γ11 2 = 0 (βλ. Παρατήρηση 2.3.1). Εξάλλου g 12 = 0. Από τις (2.3.2) τότε προκύπτει g 11 2 = 0 g 11 = g 11 (u). Θεωρούμε το μετασχηματισμό των παραμέτρων, που ορίζεται με χρήση των u (u, v) = u 0» g11 (x) dx, v (u, v) = v. Ο μετασχηματισμός αυτός είναι, λόγω των u u = g 11, u v = 0, vu = 0, vv = 1, επιτρεπτός, αφού Η μετρική παίρνει τότε τη μορφή (u, v ) (u, v) =» g 11 (u) 0. (2.3.5) I = du 2 + g22(u, v ) dv 2, δηλαδή τη μορφή (2.3.4). Εξάλλου, αφού du =» g 11 (u) du, dv = dv, έχουμε: (2.3.6) (2.3.7) v = const. v = const., u = const. u = const. Σημειώνουμε, ότι το παραμετρικό δίκτυο αποτελείται από τις γεωδαισιακές του γεωδαισιακού πεδίου (λόγω της (2.3.6)) και τις ορθογώνιες τροχιές τους (λόγω της (2.3.7)), και η παράμετρος u είναι φυσική παράμετρος των γεωδαισιακών του γεωδαισιακού πεδίου (λόγω της (2.3.5)). Ώστε 20

Πρόταση 2.3.4. Σε κάθε επιφάνεια μπορούμε να εισάγουμε γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων. Όταν το παραμετρικό δίκτυο της είναι ορθογώνιο, η γεωδαισιακή καμπυλότητα των παραμετρικών γραμμών είναι (βλ. άσκηση 18) (2.3.8) (κ g ) u=const = g 22 1 2g 22 g11, (κ g ) v=const = g 11 2 2g 11 g22. Εξάλλου η καμπυλότητα του Gauss δίνεται από την (2.3.9) K = ñç å Ç å ô 1 2 g22 1 g11 2 +. g 11 g 22 g11 g 22 1 g11 g 22 2 Επομένως σε ένα γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων, του οποίου οι u καμπύλες είναι γεωδαισιακές γραμμές και το u είναι φυσική παράμετρός τους (g 11 = 1), είναι (2.3.10) (κ g ) u=const = g 22 1 2g 22, K = 1 g22 2 g 22 u 2. Παρατήρηση 2.3.2. Έστω, ότι η μετρική μιας επιφάνειας έχει γεωδαισιακή μορφή και ότι οι u-καμπύλες είναι γεωδαισιακές. Αν και οι γεωδαισιακές παράλληλοι (δηλαδή οι v- καμπύλες) είναι γεωδαισιακές γραμμές, θα είναι (κ g ) u=const. = 0, οπότε από τις (2.3.10) παίρνουμε g 22 1 = 0 g 22 = g 22 (v) και επομένως από την (2.3.9) παίρνουμε για την καμπυλότητα του Gauss K = 0. Συνεπώς, πάνω σε μια επιφάνεια με καμπυλότητα του Gauss διάφορη του μηδενός, δεν υπάρχει ορθογώνιο δίκτυο, του οποίου και οι δυο οικογένειες των παραμετρικών γραμμών να είναι γεωδαισιακές γραμμές. Μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα ειδική περίπτωση γεωδαισιακών συντεταγμένων είναι οι πολικές γεωδαισιακές συντεταγμένες. Αυτές εισάγονται ως εξής: Θεωρούμε ένα σημείο P επιφάνειας και το σύνολο των γεωδαισιακών της που διέρχονται από το P ως u-καμπύλες. Περιοριζόμαστε σε μια περιοχή U του P, τέτοια ώστε στο σύνολο U {P } οι γεωδαισιακές γραμμές που θεωρήσαμε, να αποτελούν γεωδαισιακό πεδίο. Τέλος θεωρούμε ως v-καμπύλες τις ορθογώνιες τροχιές των γεωδαισιακών, οι οποίες είναι γεωδαισιακές παράλληλοι, και επομένως είναι κλειστές καμπύλες. Στο σημείο P αντιστοιχίζουμε την τιμή u = 0 (v τυχόν). 21

Ένα παραμετρικό δίκτυο πάνω στην με τις παραπάνω ιδιότητες ονομάζεται πολικό γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων, το σημείο P πόλος ή γεωδαισιακό κέντρο και οι παράμετροι u και v πολικές γεωδαισιακές συντεταγμένες. Σε ένα πολικό γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων αποδεικνύεται, ότι εκτός των (2.3.8) ισχύουν και οι σχέσεις» lim g22 u (u, v) = 0,» g22 (u, v) lim u u = 1. Η παράμετρος u 0 είναι η γεωδαισιακή απόσταση ενός σημείου Q(u 0, v 0 ) από το P, δηλαδή η απόσταση του Q από τον πόλο P μετρούμενη επί της γεωδαισιακής, πάνω στην οποία κείται το σημείο Q. Η παράμετρος v 0 είναι η γωνία μεταξύ της γεωδαισιακής v = 0, η οποία μπορεί να εκλεγεί αυθαίρετα, και της γεωδαισιακής v = v 0. Οι γεωδαισιακές παράλληλοι, δηλαδή οι v-καμπύλες, ονομάζονται γεωδαισιακοί κύκλοι με κέντρο P και ακτίνα u και είναι οι καμπύλες, που έχουν σταθερή γεωδαισιακή απόσταση από τον πόλο. Αλλά ενώ στο επίπεδο οι αντίστοιχες καμπύλες είναι κύκλοι και έχουν επομένως όχι μόνο σταθερή (γεωδαισιακή) απόσταση από τον πόλο αλλά και σταθερή καμπυλότητα, οι γεωδαισιακοί κύκλοι πάνω σε τυχούσα επιφάνεια δεν έχουν, γενικά, την αντίστοιχη ιδιότητα (δηλαδή δεν έχουν και σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα). Πράγματι, λόγω της πρώτης των (2.3.8), η γεωδαισιακή καμπυλότητα μιας v-καμπύλης δεν είναι ανεξάρτητη του v, άρα οι γεωδαισιακοί κύκλοι δεν έχουν, γενικά, σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα. Για διάκριση, οι καμπύλες, που έχουν σταθερή γεωδαισιακή καμπυλότητα, ονομάζονται κύκλοι καμπυλότητας και δεν είναι, γενικά, κλειστές καμπύλες. Οι γεωδαισιακοί κύκλοι είναι δυνατό να χαραχθούν πάνω σε μια δοθείσα επιφάνεια κατά τρόπο μηχανικό (όπως και οι κύκλοι του επιπέδου). Τέλος, αν L(ρ) και (ρ) είναι το μήκος της περιμέτρου και το εμβαδόν ενός γεωδαισιακού κύκλου με ακτίνα u 0 = ρ, αποδεικνύονται οι τύπο των Bertrand 3 - Puiseux 4 - Diguet (1848) K(P ) = 3 π lim 2πρ L(ρ) = 12 ρ 0 ρ 3 π lim πρ 2 (ρ), ρ 0 ρ 4 με τη βοήθεια των οποίων είναι δυνατόν, δια τοπικών μετρήσεων των περιμέτρων και των εμβαδών μικρών γεωδαισιακών κύκλων, να προσδιοριστεί η καμπυλότητα του Gauss σε 3 Joseph Louis François Bertrand (1822 1900). Γάλλος Μαθηματικός, οικονομολόγος και ιστορικός των επιστημών, καθηγητής στο Collège de France. Διδακτορική διατριβή: ur la théorie des phénomènes thermo-mécaniques 4 Victor Alexandre Puiseux (1820 1883). Γάλλος Μαθηματικός και Αστρονόμος. Καθηγητής στην έδρα της Μαθηματικής Αστρονομίας της École polytechnique, όπου διαδέχθηκε τον Augustin Louis Cauchy. Διδακτορική διατριβή: ur l invariabilité des grands axes des orbites des planètes. Μαθητής του υπήρξε ο Camille Ennemond Jordan 22

ένα σημείο της επιφάνειας. Έστω τώρα μια γεωδαισιακή γραμμή Γ 0 και P, Q τυχόντα σημεία της. Ισχύει η Πρόταση 2.3.5. Αν υπάρχει γεωδαισιακό πεδίο στην περιοχή της καμπύλης Γ 0, μια καμπύλη του οποίου είναι η Γ 0, τότε η Γ 0 από το P μέχρι το Q έχει το μικρότερο μήκος από κάθε άλλη καμπύλη Γ της περιοχής, που διέρχεται από τα P και Q. Απόδειξη. Εισάγουμε γεωδαισιακό σύστημα συντεταγμένων στην περιοχή της Γ 0, του οποίου οι u-καμπύλες είναι οι καμπύλες του γεωδαισιακού πεδίου, στο οποίο ανήκει η Γ 0 και έστω, ότι η Γ 0 είναι η καμπύλη v = α και ότι P (u 1, α), Q(u 2, α) με u 1 < u 2. Θεωρούμε, τέλος, τυχούσα καμπύλη Γ : v = φ(u), dφ du 0, που κείται στην περιοχή της Γ 0 και διέρχεται από τα σημεία P και Q. Επειδή I = du 2 + g 22 (u, v) dv 2, έχουμε άρα I Γ0 = du 2, I Γ = du 2 + g 22 (u, φ(u)) dφ 2 du 2 du P Q Γ0 = P Q Γ = u2 du2 = u 1 Ã u2 u 1 u2 u 1 du = u 2 u 1, 1 + g 22 (u, φ(u)) Από την υπόθεση είναι dφ du 0, άρα είναι P Q Γ0 < P Q Γ. Ç å dφ 2 du. du 2.4 Απόλυτη παραγώγιση και απόλυτη παραλληλία κατά Levi-Civita κατά μήκος καμπύλης Έστω Γ : u i = u i (t), t I, I ανοικτό διάστημα, καμπύλη της επιφάνειας και w(t) = w i (t) x i (t) ένα εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο κατά μήκος της Γ. Με χρήση των εξισώσεων των παραγώγων του Gauss βρίσκουμε ẇ = ẇ i x i + w i x ij u j = ẇ i x i + w i Ä Γ r ij x r + l ij n ä u j = = Ä ẇ r + Γ r ij w i u jä x r + l ij w i u j n. 23

Η εφαπτομενική συνιστώσα (2.4.1) D w D t := Ä ẇ r + Γ r ij w i u jä x r του διανυσματικού πεδίου ẇ ονομάζεται απόλυτη παράγωγος του w κατά μήκος της Γ. Επειδή είναι (2.4.2) ẇ, n = l ij w i u j, D w D t Για μια συνάρτηση f(u i ) C 1 (D) θέτουμε οπότε = ẇ ẇ, n n. D f D t := df (ui (t)), dt D f D t = f i u i. Πρόταση 2.4.1. Έστω w 1 (t), w 2 (t) δυο εφαπτομενικά διανυσματικά πεδία κατά μήκος της Γ και λ R. Ισχύουν οι ιδιότητες (2.4.3) D (w 1 + w 2 ) D t (2.4.4) D (λ w 1 ) D t D w 1, w 2 (2.4.5) D t = D w 1 D t + D w 2 D t, = λ D w 1 D t, = D w 1 D t, w 2 + w 1, w 2 D t. Πρόταση 2.4.2. Η ιδιότητα D w D t = 0 είναι ανεξάρτητη της χρησιμοποιούμενης παραμέτρου t. Απόδειξη. Έστω t = f(t ) ένας επιτρεπτός μετασχηματισμός της παραμέτρου t (οπότε df dt 0). Τότε άρα D w D t = dw dt dw dw, n n = dt dt df dt dw dt D w D t = 0 D w D t = 0., n df dt n = D w D t df dt, 24

Ένα εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο w(t) ονομάζεται απολύτως παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης Γ, όταν η απόλυτη παράγωγός του κατά μήκος της Γ μηδενίζεται. Από τους ορισμούς της απόλυτης παραγώγισης και της απόλυτης παραλληλίας προκύπτει Πρόταση 2.4.3. Το εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο w(t) είναι απολύτως παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης Γ, όταν το διανυσματικό πεδίο ẇ είναι κάθετο στην. Πρόταση 2.4.4. Το εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο ẋ(t) είναι ακριβώς τότε παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης Γ, όταν αυτή είναι γεωδαισιακή γραμμή. Απόδειξη. Εισάγουμε φυσική παράμετρο της Γ. Επειδή x = u i x i έχουμε D x D s = Ä u r + Γ r ij u i u j ä x r. Άρα D x D s = 0 ur + Γij r u i u j = 0, i = 1, 2, δηλαδή ακριβώς τότε, όταν η Γ είναι γεωδαισιακή (βλ. Πρόταση 2.2.3). Όταν το εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο w(t) είναι απολύτως παράλληλο κατά μήκος της καμπύλης Γ και t 1, t 2 I, τα διανύσματα w(t 1 ), w(t 2 ) ονομάζονται απολύτως παράλληλα κατά μήκος της Γ. Λέμε ακόμα, ότι το ένα προέκυψε από το άλλο με παράλληλη μεταφορά κατά Levi-Civita 5 κατά μήκος της καμπύλης Γ. Από την (2.4.1) προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις της απόλυτης παραλληλίας κατά μήκος της Γ : (2.4.6) ẇ r + Γ r ij w i u j = 0, i = 1, 2, οι οποίες αναλυτικά γράφονται (2.4.7) (2.4.8) ẇ 1 + Γ 1 11 w 1 u 1 + Γ 1 12 Ä w1 u 2 + w 2 u 1ä + Γ 1 22 w 2 u 2 = 0, ẇ 2 + Γ 2 11 w 1 u 1 + Γ 2 12 Ä w1 u 2 + w 2 u 1ä + Γ 2 22 w 2 u 2 = 0. Άμεση συνέπεια είναι η Πρόταση 2.4.5. Η απόλυτη παραλληλία κατά μήκος μιας καμπύλης είναι έννοια της εσωτερικής γεωμετρίας. 5 Tulio Levi-Civita (1873-1941). Ιταλός Μαθηματικός, γνωστός για τις εργασίες του πάνω στον τανυστικό λογισμό και τις εφαρμογές του στη Θεωρία της Σχετικότητας. Μαθητής του εφευρέτη του τανυστικού λογισμού Gregorio Ricci-Curbastro. Διδακτορική διατριβή: ugli invarianti assoluti 25

Έστω t 0 I, P (t 0 ) το σημείο της Γ που αντιστοιχεί στο t 0 και a = a i x i (P ) ένα εφαπτομενικό διάνυσμα της στο P. Θεωρούμε το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων (2.4.6) με άγνωστες συναρτήσεις τις w i (t) και αρχικές συνθήκες w i (t 0 ) = a i, i = 1, 2. Το σύστημα αυτό είναι γραμμικό και ομογενές και οι συντελεστές του είναι συνεχείς συναρτήσεις. Από τη θεωρία των διαφορικών εξισώσεων προκύπτει, ότι υπάρχει ακριβώς μια λύση του (2.4.6) στο διάστημα I, που ικανοποιεί τις τεθείσες αρχικές συνθήκες, συνεπώς υπάρχει ακριβώς ένα απολύτως παράλληλο κατά μήκος της Γ εφαπτομενικό διανυσματικό πεδίο w(t), τέτοιο ώστε w(t 0 ) = a. Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Πρόταση 2.4.6. Κάθε εφαπτομενικό διάνυσμα a της σε τυχόν σημείο μιας καμπύλης Γ εντάσσεται κατά ακριβώς έναν τρόπο σε ένα απολύτως παράλληλο διανυσματικό πεδίο w(t) κατά μήκος της καμπύλης Γ. Πρόταση 2.4.7. Αν w 1 (t) και w 2 (t) είναι δυο απολύτως παράλληλα εφαπτομενικά διανυσματικά πεδία κατά μήκος της Γ, το εσωτερικό γινόμενο w 1 (t), w 2 (t) είναι σταθερό κατά μήκος της Γ. Η απόδειξη προκύπτει από τις (2.4.5) και τις D w 1 D t = D w 2 D t = 0. Πόρισμα 2.4.1. Έστω w 1 (t) και w 2 (t) δυο απολύτως παράλληλα εφαπτομενικά διανυσματικά πεδία κατά μήκος της Γ. (α) Τα μέτρα των w 1 (t) και w 2 (t) είναι σταθερά κατά μήκος της Γ. (β) Η γωνία των w 1 (t) και w 2 (t) είναι σταθερή κατά μήκος της Γ. 2.5 Ο ολοκληρωτικός τύπος των Gauss-Bonnet Έστω : x = x(u 1, u 2 ) μια προσανατολισμένη C 3 -επιφάνεια, της οποίας το ίχνος είναι απλώς συναφές. Τονίζουμε, ότι όσα θα εκθέσουμε παρακάτω στην παρούσα παράγραφο, ισχύουν υπό την προϋπόθεση αυτή. Υποθέτουμε, ότι το σύνορο της είναι μια απλή, κλειστή, ομαλή C 3 -καμπύλη Γ, προσανατολισμένη έτσι, ώστε η γεωδαισιακή κάθετος n g := n x να δείχνει προς το εσωτερικό της Γ (ο τόνος συμβολίζει παραγώγιση ως προς φυσική παράμετρο s της Γ ). Συμβολίζουμε με da το εμβαδικό στοιχείο της και με da το εμβαδικό στοιχείο της σφαιρικής εικόνας της. Ως γνωστόν, ισχύουν οι σχέσεις da = g du 1 du 2, da = e du 1 du 2, 26

όπου g = x 1 x 2 και e = n 1 n 2. Από τις εξισώσεις του Rodrigues (βλ. (1.3.12)) εύκολα βρίσκουμε, ότι άρα da da = e = l2 g, e l 2 = g g = K 2 από την οποία προκύπτει για το εμβαδόν της σφαιρικής εικόνας της : Από την τελευταία παίρνουμε Το επιφανειακό ολοκλήρωμα A = K da. K da, όταν K > 0 A = K da, όταν K < 0. K da ονομάζεται ολική καμπυλότητα (κατά Gauss: curvatura integra) της επιφάνειας. Γεωμετρικά, συνεπώς, η ολική καμπυλότητα της είναι το προσημασμένο εμβαδόν της σφαιρικής εικόνας της. Αποδεικνύεται η Πρόταση 2.5.1 (Τύπος των Gauss-Bonnet). Για το επιφανειακό ολοκλήρωμα της καμπυλότητας του Gauss πάνω στην και το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της γεωδαισιακής καμπυλότητας της Γ πάνω κατά μήκος της Γ ισχύει ο τύπος (2.5.1) κ g ds + K da = 2π. Γ Ο τύπος αυτός, λόγω των πολλών εφαρμογών του, θεωρείται ο σημαντικότερος της Διαφορικής Γεωμετρίας, και αποδείχτηκε πρώτα από τον Ossian Bonnet το έτος 1848. Στην ειδική περίπτωση των γεωδαισιακών τριγώνων ο τύπος αποδείχτηκε από τον C. F. Gauss το 1828 (βλ. παρακάτω Theorema elegantissimum). Όταν το σύνορο Γ της είναι κατά τμήματα ομαλή καμπύλη, δηλαδή υπάρχουν σημεία P 1,..., P n Γ, που ονομάζονται κορυφές της Γ, στα οποία η Γ έχει εφαπτομενικά διανύσματα και εξ αριστερών και εκ δεξιών, ο τύπος (2.5.1) παίρνει τη μορφή (2.5.2) κ g ds + K da + Γ n α i = 2π, i=1 27

όπου α i (0, π) είναι η εξωτερική γωνία στην κορυφή P i. Έστω ε i οι εσωτερικές γωνίες στις κορυφές της Γ. Επειδή α i + ε i Gauss-Bonnet γίνεται = π, ο τύπος των (2.5.3) Γ κ g ds + n K da = π (2 n) + ε i. i=1 Κάθε απλή, κλειστή και κατά τμήματα ομαλή καμπύλη Γ, που αποτελείται από γεωδαισιακές καμπύλες, ονομάζεται γεωδαισιακό πολύγωνο της επιφάνειας. Όταν το σύνορο Γ της είναι ένα γεωδαισιακό n-γωνο, ο τύπος (2.5.4) γίνεται (2.5.4) n K da = π (2 n) + ε i. i=1 Εφαρμογές 2.5.1. Σε όσα θα αναφέρουμε παρακάτω υποθέτουμε, ότι τα γεωδαισιακά πολύγωνα (κυρίως τρίγωνα, αλλά και δίγωνα) που θα θεωρήσουμε, περικλείουν απλώς συναφείς τόπους. 2.5.1.1 Για K = const. 0 έχουμε (2.5.5) A = π (2 n) + K n ε i i=1, δηλαδή Πρόταση 2.5.2. Το εμβαδόν A κάθε γεωδαισιακού n γωνου, που κείται πάνω σε μια επιφάνεια σταθερής μη μηδενικής καμπυλότητας του Gauss, καθορίζεται από τις εσωτερικές (ή τις εξωτερικές) γωνίες του. Αν η είναι σφαίρα ακτίνας r, τότε (2.5.6) K = 1 r 2 και η τελευταία σχέση δίνει (2.5.7) A = r [π 2 (2 n) + ] n ε i. i=1 2.5.1.2 Έστω, ότι η Γ είναι γεωδαισιακό τρίγωνο (n = 3). Ο τύπος (2.5.4) γίνεται (2.5.8) K da = ε 1 + ε 2 + ε 3 π, άρα 28

Πρόταση 2.5.3 (Theorema elegantissimum, Gauss, 1827). Η ολική καμπυλότητα κάθε γεωδαισιακού τριγώνου ισούται με την υπεροχή (Exzess) του ως προς π. Έστω P ένα σημείο της επιφάνειας. Θεωρούμε ένα γεωδαισιακό τρίγωνο T, στο εσωτερικό του οποίου βρίσκεται το P, και συμβολίζουμε με ε 1, ε 2, ε 3 τις γωνίες του και με A(T ) το εμβαδόν του. Αν αφήσουμε το γεωδαισιακό τρίγωνο T να συρρικνωθεί κατά τρόπο συνεχή στο σημείο P, προκύπτει από τον τύπο (2.5.8) το εξής όριο για την καμπυλότητα του Gauss της στο P : ε 1 + ε 2 + ε 3 π K(P ) = lim. T P A(T ) Με τη βοήθεια του τύπου αυτού προσδιορίζεται η καμπυλότητα του Gauss μέσω εσωτερικών γεωδαισιακών μετρήσεων πάνω στην. Από τον τύπο (2.5.8) προκύπτουν οι εξής ειδικές περιπτώσεις: Πόρισμα 2.5.1. α) Όταν K > 0 η υπεροχή είναι μεγαλύτερη του 0, κατά συνέπεια το άθροισμα των γωνιών κάθε γεωδαισιακού τριγώνου μιας ελλειπτικά καμπυλομένης επιφάνειας είναι μεγαλύτερο των δυο ορθών. β) Όταν K = 0 η υπεροχή είναι ίση με 0, κατά συνέπεια το άθροισμα των γωνιών κάθε γεωδαισιακού τριγώνου μιας παραβολικά καμπυλομένης επιφάνειας (επίπεδο, κύλινδρος, κώνος, εφαπτομενική επιφάνεια μιας καμπύλης του E 3 ) είναι ίσο με δυο ορθές. γ) Όταν K < 0 η υπεροχή είναι μικρότερη του 0, κατά συνέπεια το άθροισμα των γωνιών κάθε γεωδαισιακού τριγώνου μιας υπερβολικά καμπυλομένης επιφάνειας είναι μικρότερο των δυο ορθών. 2.5.1.3 Όταν η Γ είναι γεωδαισιακό τρίγωνο (n = 3) και η έχει σταθερή καμπυλότητα του Gauss, από τον τύπο (2.5.8) παίρνουμε (2.5.9) K A = ε 1 + ε 2 + ε 3 π. Αν η είναι σφαίρα ακτίνας r, από τις (2.5.6) και (2.5.9) έχουμε (2.5.10) A = r 2 (ε 1 + ε 2 + ε 3 π), ώστε: Το εμβαδόν κάθε σφαιρικού τριγώνου είναι ανάλογο της σφαιρικής υπεροχής του ως προς π. Μάλιστα, για τη μοναδιαία σφαίρα προκύπτει (2.5.11) A = ε 1 + ε 2 + ε 3 π, δηλαδή 29

Πρόταση 2.5.4 (T. Harriot, 1603!). Το εμβαδόν κάθε γεωδαισιακού τριγώνου της μοναδιαίας σφαίρας ισούται με τη σφαιρική υπεροχή του ως προς π. για την ψευδοσφαίρα με καμπυλότητα του Gauss K = 1, προκύπτει (2.5.12) A = π ε 1 ε 2 ε 3, δηλαδή Πρόταση 2.5.5 (C.F. Gauss, 1828). Το εμβαδόν κάθε γεωδαισιακού τριγώνου της ψευδοσφαίρας με καμπυλότητα του Gauss K = 1 ισούται με το σφαιρικό έλλειμμα (Defekt) του ως προς π. 2.5.1.4 Έστω, ότι η Γ είναι γεωδαισιακό δίγωνο (n = 2). Ο τύπος (2.5.4) γίνεται (2.5.13) K da = ε 1 + ε 2, άρα Πρόταση 2.5.6. Πάνω σε μια επιφάνεια αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss δεν υπάρχουν γεωδαισιακά δίγωνα (γιατί τότε θα ήταν ε 1 + ε 2 0). Για την ψευδοσφαίρα με K = 1 την πρόταση απέδειξε ο J. Hadamard 6 το έτος 1897. Μερικά άμεσα συμπεράσματα της παραπάνω πρότασης είναι τα εξής: Πόρισμα 2.5.2. α) Πάνω σε μια επιφάνεια αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss δυο γεωδαισιακές τέμνονται το πολύ μια φορά. β) Πάνω σε μια επιφάνεια αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss δεν υπάρχουν γεωδαισιακές, οι οποίες να είναι κλειστές ή να έχουν διπλά σημεία. γ) Έστω P τυχόν σημείο μιας επιφάνειας αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss. Η δέσμη των γεωδαισιακών, που διέρχονται από το P, είναι γεωδαισιακό πεδίο. δ) Υπάρχει ακριβώς μια καμπύλη ελαχίστου μήκους, που συνδέει δυο δοσμένα σημεία P και Q μιας επιφάνειας αρνητικής ή μηδενικής καμπυλότητας του Gauss, και δεν είναι άλλη από τη γεωδαισιακή, που διέρχεται από τα P και Q. 6 Jacques alomon Hadamard (1865-1963). Γάλλος Μαθηματικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Bordaux, στη Σορβόννη, στο College de France, στην École Polytechnique και στην École Centrale, όπου διαδέχθηκε τον Camille Jordan και τον Paul Appell. Μαθητής του Charles Émile Picard, υπό την επίβλεψη του οποίου και του Jules Tannery εκπόνησε τη διδακτορική διατριβή του με τίτλο Essai sur l étude des fonctions données par leur développement de Taylor. Επιβλέπων των διδακτορικών διατριβών των: René Fréchet, Marc Krasner, Paul Lévy, zolem Mandelbrojt και André Weil 30

2.5.1.5 Αν είναι μια κλειστή προσανατολίσιμη επιφάνεια, που είναι τοπολογικά ισοδύναμη με μια σφαίρα με p λαβές, ο τύπος των Gauss-Bonnet λαμβάνει τη μορφή (2.5.14) K da = 4π (1 p). Ο αριθμός χ := 2 (1 p) ονομάζεται χαρακτηριστική του Euler της και είναι τοπολογική αναλλοίωτος. Το πλήθος p των λαβών ονομάζεται γένος της (B. Riemann, 1857) και είναι επίσης τοπολογική αναλλοίωτος. Το γένος της σφαίρας είναι μηδέν, της σπείρας ένα. Τόσον η χαρακτηριστική του Euler όσον και το γένος είναι τοπολογικές αναλοίωτοι. Μερικά συμπεράσματα, που προκύπτουν από τον τύπο (2.5.14), και τον κάνουν τον σπουδαιότερο και περιεκτικότερο στη Διαφορική Γεωμετρία, είναι τα επόμενα: α) Το γένος p, που είναι τοπολογική αναλλοίωτος, εκφράζεται με τη βοήθεια της διαφορογεωμετρικής αναλλοιώτου K. β) Το γένος p, ένα εν μεγάλω (global) μέγεθος, προσδιορίζεται από ένα τοπικό μέγεθος (την καμπυλοτητα K του Gauss). γ) Η ολική καμπυλότητα της είναι ανεξάρτητη της μετρικής. δ) Το πηλίκο του αλγεβρικού εμβαδού A της σφαιρικής εικόνας της προς το εμβαδόν της μοναδιαίας σφαίρας ισούται με το ήμισυ της χαρακτηριστικής. ε) Η ολική καμπυλότητα της είναι θετική τότε και μόνον τότε, όταν η είναι του τοπολογικού τύπου της σφαίρας. στ) Αν για την καμπυλότητα του Gauss ισχύει K(P ) 0 P, η είναι του τοπολογικού τύπου της σφαίρας. 31