Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών : Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (http://users.tua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

Βασικές Έννοιες Πινάκων Ορίζουσα Πίνακα: ΑC ορίζουμε την ορίζουσα ως όπου ο συμπαράγων (co-factor) δίδεται από την και η ελάσσων (mior) Μ ij είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Α αν απαλοιφεί η σειρά και η στήλη που αντιστοιχεί στο στοιχείο Παράδειγμα: A a C για δεδομένο 1 i j1 A a C για δεδομένο 1 j j1 ij ij ij ij a ij Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

Βασικές Έννοιες Πινάκων Εξ ορισμού όπου οπότε που οδηγεί στο Αντίστροφος Πίνακα: ΑC ο αντίστροφος Α -1 ορίζεται ως ο 1 1 (μοναδικός) πίνακας που ικανοποιεί την A A A A I Ευρίσκεται από τη σχέση: όπου Είναι προφανές, ότι για την ύπαρξη του αντίστροφου θα πρέπει Παράδειγμα: Ο πίνακας Α παραπάνω έχει αντίστροφο γιατί Α= -8 0. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

Βασικές Έννοιες Πινάκων Από προηγουμένως. Για να βρούμε τον C 11 και επομένως C 1 M 2 11 11 11 Μετά από 4 4-2=14 τέτοιους υπολογισμούς Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 4

Βασικές Έννοιες Πινάκων Χαρακτηριστικό Πολυώνυμο: ΑC το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ορίζεται ως. Είναι προφανές ότι είναι μονικό (moic) δηλ. είναι ένα πολυώνυμο βαθμού (όσο και η διάσταση του Α) με συντελεστή «1» στο λ. Δεδομένου οτι adj X C ij 1 M ij και επειδή η ελάσσων Μ ij είναι η ορίζουσα του πίνακα που προκύπτει από τον Χ αν απαλοιφεί η σειρά και η στήλη που αντιστοιχεί στο στοιχείο i-j τότε ο πίνακας adj I A αποτελείται από πολυώνυμα χαμηλότερης τάξης του. T i j T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 5

Διανυσματικοί Χώροι Ορισμός 1: Ένας Γραμμικός Διανυσματικός Χώρος X επι ενός σώματος F είναι ένα σύνολο στοιχείων (ονομάζονται διανύσματα) που είναι κλειστό σε 2 πράξεις: διανυσματική πρόσθεση και πολ/μο. Δηλαδή x x X x, x X a xx x X a F 1 2 1 2 Επιπροσθέτως,, ισχύουν τα παρακάτω: 1. Αντιμεταθετική: x, x, x, x X a, a, a F 1 2 3 1 2 x x x x 1 2 2 1 2. Προσεταιριστική: 3. Επιμεριστική: 4. Μηδενικό & Μοναδιαίο Στοιχείο: x1 x2 x3 x1 x2 x3 a a x a a x 1 2 1 2 a x x a x a x 1 2 1 2 a a x a x a x 1 2 1 2 0X x 0 x 0,1 F 0 x 0 1 x x Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 6

Παραδείγματα F x x1, x2,, x xi F, i 1,, : όταν το F είναι είτε το R είτε το C, τότε αντίστοιχα τα R, C παριστούν το πραγματικό & μιγαδικό Ευκλείδιο χώρο, αντίστοιχα. m F A a ij aij F, i 1,, m j 1,, : όταν το F είναι είτε το R είτε το C, τότε αντίστοιχα τα R m, C m παριστούν τα σύνολα των πραγματικών & μιγαδικών m πινάκων. Ca, b f :, : είναι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων, με τη διανυσματική πρόσθεση και πολ/μο να ορίζονται ως : a b F F f, g C a, b, a f g x : f x g x a f x : a f x x a, b Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 7

Άνοιγμα & Ανεξαρτησία x, x,, xk X Ορισμός 2: Γιά 1 2 τό άνοιγμά (spa) τους ορίζεται ως spax1, x2,, xk: x 1 x1 2 x2 k xk, i F δηλ. το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών των x x x.,,, k 1 2 Ορισμός 3: Ένα σύνολο διανυσμάτων 1 2 είναι Γραμμικά Ανεξάρτητα αν ισχύει x x x 0 0 1 1 2 2 k k 1 2 k x, x,, xk x, x,, xk Λήμμα 4: Αν είναι ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων 1 2 διανυσμάτων και xspax1, x2,, xk τότε είναι μοναδικοί οι συντελεστές που ικανοποιούν τη σχέση: i x x x x 1 1 2 2 k k Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 8

Υπόχωροι Ορισμός 5: Ένας Γραμμικός Υπόχωρος S ενός γραμμικού διανυσματικού χώρου X είναι ένα υποσύνολο του X που είναι από μόνος του γραμμικός διανυσματικός χώρος με διανυσματική πρόσθεση και πολλ/μο επι του X. Ορισμός 6: Μία βάση (basis) ενός γραμμικού υπόχωρου είναι ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων x1, x2,, xkέτσι ώστε S spax1, x2,, xk Η βάση για τον S μπορεί να μήν είναι μοναδική, αλλά Όλες οι βάσεις του S έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων k που ορίζει την διάσταση (dimesio) του S. X X Αν X 3 τότε: Επειδή τα παραπάνω ισχύουν και για τον X. {0}, ο μηδενικός υπόχωρος (zero subspace), είναι ένας υπόχωρος μηδενικής διάστασης. Κάθε ευθεία που δίερχεται από την αρχή των αξόνων είναι μονο-διάστατος υπόχωρος με βάση κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα επί της ευθείας. Κάθε επίπεδο που δίερχεται από την αρχή των αξόνων είναι ένας 2-διάστατος υπόχωρος με βάση οιαδήποτε μη-συνευθειακά διανύσματα επί του επιπέδου. 3 3 Επειδή, έχει βάση 3 οιαδήποτε μη συνεπίπεδα διανύσματα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 9

Υπόχωροι: Παραδείγματα 22 Ο χώρος είναι 4-διάστατος με βάση επειδή 2 Το υποσύνολο του 2 που αποτελείται από τους άνω-τριγωνικούς πίνακες είναι ένας 3-διάστατος υπόχωρος με βάση που προκύπτει, από την παράπάνω βάση, παραλείποντας τον. 2 Το υποσύνολο του 2 που αποτελείται από τους συμμετρικούς πίνακες Α=Α Τ είναι ένας 3-διάστατος υπόχωρος με βάση Το σύνολο όλων των πολυωνύμων k-βαθμού είναι ένας (k+1)-διάστατος υπόχωρος του «άπειρης»-διάστασης διανυσματικού χώρου Ca, b. Η βάση του είναι. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 10

Τυπική Βάση (Stadard Basis) Στον η τυπική βάση (stadard basis) e1, e2,, e ορίζεται από e 0 0 1 0 0 Παρατηρούμε ότι e e e I i-th στοιχείο 1 2 i 3 Στον έχουμε: 1 0 0 e1 0 e 2 1 e 3 0 0 0 1 3 Και κάθε στοιχείο x γράφεται: x x e x e x e x x x 1 1 2 2 3 3 1 2 3 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 11

Αλλαγή Βάσεων x x x Αν 1, 2,, και y1, y2,, y είναι βάσεις ενός -διάστατου γραμμικού διανυσματικού χώρου X επί του F, τότε xx x x y όπου οι -αδες 1, 2,, και 1, 2,, είναι οι συντεταγμένες του x ως προς τις βάσεις x1, x2,, x και y, αντιστοίχως. 1, y2,, y Παρατηρούμε επίσης ότι y j X y j tij xi tij F i, j 1,, i1 Επειδή ή σε μορφή πίνακα T όπου T i i i i i1 i1 x i xi j y j j tij xi tij j xi i tij j i 1,, i1 j1 j1 i1 i1 j1 j1 1 1 Για να είναι δυνατή η «αμφίδρομη» μετατροπή μεταξύ των βάσεων (δηλ. η εύρεση συντεταγμένων απο το ένα σύστημα στο άλλο) θα πρέπει ο πίνακας 1 Τ να είναι είναι αντιστρέψιμος, οπότε T T t T t 11 1 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 12 t t

Αλλαγή Βάσεων : Παράδειγμα Στον θεωρούμε την τυπική βάση,, και μια δεύτερη βάση y1 1 e1 1 e2 0e3 όπου y2 1 e1 0e2 1 e3 οπότε y 0e 1 e 0e Έστω ένα διάνυσμα Για να παραστήσουμε το x στην βάση οπότε 3 3 1 2 3 1 2 3 e e e y, y, y 1 1 0 T 1 0 1 0 1 0 1 2 x 2e1 3e2 8e 3 2 3 3 8 y1, y2, y3 1 1 1 1 0 2 10 1 T 2 1 0 1 3 8 3 0 1 0 8 13 10 8 13 x y y y 1 2 3 1 2 3 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 13

Ορθογώνια Διανύσματα Ορισμός 7: Για τα διανύσματα και Το εσωτερικό γινόμενο (ier product) τους ορίζεται ως x, y : x y x y i1 όπου το * εκφράζει το συζυγές ανάστροφο διάνυσμα. Παρατηρούμε ότι y, x y x x y x, y x, y. T T x, y : x y y x y, x x, y. y y y y x x1, x2,, x i,,, 1 2 Τα διανύσματα xy, είναι ορθογώνια (orthogoal) αν xy, 0. i Η Ευκλίδεια Νόρμα (Euclidea Norm) του είναι 1 2 2 x x, x xi i1 x 1 2 Ένα σύνολο διανυσμάτων x είναι ορθογώνιο (orthogoal) αν 1, x2,, x. x, x 0 i j και ορθοκανονικό (orthoormal) αν επιπροσθέτως i j x 1, i 1,, k i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 14

Ορθογωνικά Συμπληρώματα Oρθοκανονική βάση (orthoormal basis) του S είναι ένα σύνολο διανυσμάτων x1, x2,, xπου είναι ορθοκανονικό και είναι βάση του S. Το ορθογωνικό συμπλήρωμα (orthogoal complemet) S του S ορίζεται ως S : y / y, x 0 x S Προφανώς, το S είναι υπόχωρος του Αν 1 2 είναι βάση του S τότε dim. S dim dim S k Για κάθε σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων y1, y2,, y k που ικανοποιούν την y j, xi 0 i 1,, k j 1,, k, όπου τα. x1, x2,, x είναι βάση του S, ισχύει S spa y1, y2,, yk 3 Παραδείγματα: Στον Αν S spax τότε 1 x1 1 0 1 T S spa y1, y2 y1 1 0 1 T y2 0 1 0 Αν τότε 1, 2 1 1 1 1 T T S spa x x x y2 0 1 1 S spa y y x, x,, x S : y / y, xi 0 i 1,, k 1 1 0 1 1 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 15 T

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Έστω X και Y είναι γραμμικοί διανυσματικοί χώροι επι του ιδίου σώματος F. Ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός αν A: X Y A x x Ax Ax x x X x x x,, F 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 Έστω βάση του C και βάση του C m 1, 2,, y 1, y2,, ym, και ένας m γραμμικός μετασχηματισμός A:. Τότε x j j=1,, επειδή, m μέσω του μετασχηματισμού Α, το Ax προφανώς αυτό έχει μοναδική j παράσταση Ax j a1 j y1 a2 j y2 amj ym αναφορικά με την εκεί βάση, m και η m-αδα a1j, a2j,, amj ορίζει τις συντεταγμένες του Ax j ως προς την βάση y1, y2,, ym. xc m και y : Ax έχουμε τις αντίστοιχες (μοναδικές) παραστασεις αναφορικά με τις κατάλληλες βάσεις x η -αδα,, 1 ορίζει τις συντεταγμένες 1x1 x jx j. j1 του xc ως προς την βάση x1, x2,, x y y y y m m η m-αδα,, 1 1 1 m m i i m ορίζει τις συντεταγμένες. i1 του yc m ως προς την βάση y1, y2,, ym Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 16

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Από τα προηγούμενα y y Ax A x Ax a y a y a i 1,, m m m m i i j j j j j ij i ij j i i ij j i1 j1 j1 j1 i1 i1 j1 j1 και σε μητρωική μορφή A a11 a1 T T όπου, 1 m A 1 am 1 a m Αυτή η σχέση δίνει τον μετασχηματισμό Α μεταξύ των παραπάνω χώρων, για την δεδομένη επιλογή βάσεων. Αν επιλεγούν διαφορετικές βάσεις είτε για τον C είτε για τον C m τότε θα καταλήξουμε σε διαφορετική μήτρα Α. Συχνά επιλέγονται οι «κανονικές βάσεις» για τους C και C m Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 17

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί : Παράδειγμα Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός μεταξύ των κανονικών βάσεων των παραπάνω χώρων : Επομένως, αν θεωρήσουμε την ορθοκανονική βάση για τον R 3 : Αν εναλλακτικά θεωρήσουμε την παρακάτω βάση για τον R 3 : Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 18

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί : Παράδειγμα 6 10 9 Επομένως Ax1 Ax2 Ax3 15 22 18 ή σε συμπτυγμένη μορφή Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 19

Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος Για τον γραμμικό μετασχηματισμό Ο χώρος απεικόνισης (rage space / image) ορίζεται ως Ο μηδενοχώρος (ull space / kerel) ορίζεται ως Ο Im A είναι υπόχωρος του C m ( 0C m 0 Im A) O Ker A είναι υπόχωρος του C ( 0C 0 Ker A) Αν,, είναι οι στήλες του πίνακα Α τότε 1 Αν rak(a) είναι η διάσταση του Im A και ullity(a) η διάσταση του Ker A τότε το rak(a), Α C m μπορεί να χαρακτηρισθεί από τα εξής: Τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του A, Τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του A, και Το μέγεθος του μέγιστης διάστασης υποπίνακα του A που είναι μη-ιδιόμορφος. Νόμος Μηδενικότητας του Sylvester : rak(a)+ ullity(a) = (# στηλών Α) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 20

Έστω ο γραμμικός μετασχηματισμός με Αναζητούμε τα rak(a), ullity(a) και, για να λάβουμε την την άνω τριγωνική μορφή A R του A, κάνουμε χρήση των ιδιοτήτων των στοιχειωδών πράξεων επι των γραμμών πινάκων: Πολλ/μός γραμμής με μη-μηδενικό βαθμωτό αριθμό, Ανταλλαγή μεταξύ γραμμών, και Πρόσθεση βαθμωτού πολλαπλασίου μίας γραμμής σε άλλη γραμμή Βήμα 1: Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Βήμα 2: Βήμα 3: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 21

Βήμα 4: Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Επομένως: rak(a) = ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών του A ή A R, ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων στηλών του A ή A R, ο αριθμός των μη-μηδενικών γραμμών στον A R 2 Και από τον νόμο του Sylvester: = 4 2 = 2 Για το Im A: υπενθυμίζουμε ότι: Αν,, είναι οι στήλες του πίνακα 1 Α τότε, Οπότε, επειδή rak(a) = 2, αναζητούμε 2 γραμμικά ανεξάρτητες στήλες του Α (όχι του A R ). Πιθανές επιλογές είναι οι παρακάτω όπου πρέπει να ελεγχθούν άν οι σχετικοί 3 2 πίνακες εμπεριέχουν 2 2 μη-ιδιόμορφους υποπίνακες. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 22

Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος : Παράδειγμα Για το Ker A: υπενθυμίζουμε ότι: Επομένως, αναζητούμε ullity(a) = 2 γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις στην εξίσωση Α x = 0 ή ισόδύναμα στην Α R x = 0 : Προφανώς: και επομένως το σύνολο είναι κατάλληλο ως βάση του Ker A Ο σχετικός 4 2 πίνακας εμπεριέχει 2 2 μη-ιδιόμορφους υποπίνακες. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 23

Χώρος Απεικόνισης & Μηδενόχωρος Για τον γραμμικό μετασχηματισμό ισχύουν Im. A Ker A. Ker A Im A όπου υπενθυμίζουμε ότι: [ ] ορίζει το ορθογωνικό συμπλήρωμα (orthogoal complemet) ενός χώρου, και A * : ο ανάστροφος & συζυγής πίνακας του Α. [ ] * ορίζει το συζυγή ανάστροφο (cojugate traspose) πίνακα. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 24

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Για έναν πίνακα Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (characteristic polyomial) του Α έχει πάντοτε συντελεστή «1» στο όρο λ και είναι: Οι ιδιοτιμές (eigevalues) του Α είναι οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης: Όταν είναι μιγαδικές, εμφανίζονται σε συζυγή ζεύγη. Το φάσμα (spectrum) του Α είναι το σύνολο των ιδιοτιμών του i i I A 0 i A ονομάζεται δεξί ιδιοδιάνυσμα (right eigevector) του Α που σχετίζεται με την λ i. i A w 0 w i I A 0 i w w A ονομάζεται αριστερό ιδιοδιάνυσμα (left eigevector) του Α που σχετίζεται με την λ i. A καθε 0 που ικανοποιεί την καθε που ικανοποιεί την Παρατήρηση: αν στη σχέση ορισμού του w* εφαρμόσουμε το συζυγές ανάστροφο διαπιστώνουμε ότι to w είναι το δεξί ιδιοδιάνυσμα του Α* σχετιζόμενο με την ιδιοτιμή Από τον ορισμό των ιδιοτιμών Επομένως και βέβαια i A i I A 0 Ker i I A i I A 0 0 Ker i I A cker I A c scalar i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 25 i _ w*=w T

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα : Παράδειγμα Επομένως A 1 1, 2,3 2 j λ 1 =1 : I A 0 1 1 0 T Ker I A 1 R 1 1 1 λ 2 =2+j : λ 3 =2-j : 1 1 3 2 3 2 0 j 1 2 2 T 1 1 2 0 j 1 2 2 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 26

Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα : Παράδειγμα 1 1 2 3 3 2 A*=A T T και A,, οπότε, με παρόμοιο τρόπο: T 1 1 1 1 w1 1 0 0 w2 1 1 j w3 w2 1 1 j 2 2 2 2 T T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 27

Θεώρημα Cayley-Hamilto Για κάθε A με χαρακτηριστικό πολυώνυμο 1 ισχύει A a A a A a I 1 1 0 0 Δηλαδή: Ο πίνακας Α είναι ρίζα της μητρωικής μορφής της χαρακτηριστικής εξίσωσής του... 1 I A a 1 a1 a0 Παράδειγμα: Αν για ένα πίνακα η Χ.Ε. είναι = 0 τότε ισχύει Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 28

Πολλαπλές Ιδιοτιμές Αν d είναι ο αριθμός των «διακριτών» ιδιοτιμών,, του Α, 1 d m1 m2 m οπότε det I A 1 2 d d όπου m i είναι η αλγεβρική πολλαπλότητα (algebraic multiplicity) της ιδιοτιμής λ i. Η γεωμετρική πολλαπλότητα (geometric multiplicity) της ιδιοτιμής λ i είναι: ullity I A dim Ker I A Κατά συνέπεια: i i1,, d i i i Υπάρχουν i γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις στην ομογενή εξίσωση 1, 2,,, i i I A i i i Το σύνολο 1, 2,,, i είναι η ιδιο-βάση (eigebasis) του ιδιο-χώρου (eigespace). Ker i I A που σχετίζεται με την ιδιοτιμή λ i. Προφανώς: i i i 1 m i 1,, d i i Ιδιο-βάσεις σχετιζόμενες με διαφορετικές ιδιοτιμές ειναι γραμμικά ανεξάρτητες. 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 29

Πολλαπλές Ιδιοτιμές : Παράδειγμα 3 det I A m 3 1,2,3,4 d1 d1 1 2 2 3 1 1 1 1 Ιδιο-βάσεις: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 30

Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Οι πίνακες AB, ονομάζονται όμοιοι (similar) αν υπάρχει μηίδιόμορφος πίνακας T για τον οποίο ισχύει 1 1 B T AT A T BT T Ο πίνακας ονομάζεται μετασχηματισμός ομοιότητας (similarity trasformatio). Αν οι πίνακες AB, είναι όμοιοι τότε έχουν ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυμα (... και ίδιες ιδιοτιμές). Σε ένα διαγώνιο πίνακα, ιδιοτιμές του είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του. Κατά τη διαγνωνοποίηση ενός πίνακα Α αναζητούμε τον πίνακα μετασχηματισμού Τ που θα μας οδηγήσει σε όμοιο διαγώνιο πίνακα Β που (κατά τις 2 προηγούμενες προτάσεις) τα στοιχεία της διαγωνίου του θα είναι οι ιδιοτιμές του Α. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 31

Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Οι διακριτές ιδιοτιμές του A έχουν αλγεβρικές πολλαπλότητες που ικανοποιούν την, γιατί το ΧΠ του Α έχει βαθμό Οι γεωμετρικές πολλαπλότητες καθορίζουν ότι μπορούμε να βρούμε. 1 2 d ιδιοδιανύσματα που σχετίζονται με τις διακριτές ιδιοτιμές Σύμφωνα με τις ιδιότητες των ιδιο-βάσεων το παραπάνω σύνολο ιδιοδιανυσμάτων είναι γραμμικά ανεξάρτητο. j j Οι προφανώς ισχύουσες σχέσεις Ai i i i 1,, d j 1,, i γράφονται 1 1 2 2 d d 1 2 ως AT T όπου T 1 1 1 2 1 d και 1 2 d 1 2 1 2 d Επειδή T για να είναι τετράγωνος, θα πρέπει: 1 2 d. Αυτό συνεπάγεται (σε συνδυασμό με τις m, ) 1 m2 md 1 i mi i 1,, d i mi i 1,, d Επομένως T, και επειδή, σύμφωνα με τις ιδιότητες των ιδιο-βάσεων το σύνολο ιδιοδιανυσμάτων του Τ είναι γραμμικά ανεξάρτητο, προκύπτει ότι ο Τ είναι μήιδιόμορφος. Επομένως Τ είναι μετασχηματισμός που διαγονοποιεί τον Α: T AT 1 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 32 d d

Ομοιότητα & Διαγωνοποίηση Με βάση τα προηγούμενα: Ένας πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιμος μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας αν και μόνο αν ο Α έχει, συνολικά, γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. Ισοδύναμα: αν και μόνο αν η γεωμετρική πολλαπλότητα ισούται με την αλγεβρική πολλαπλότητα για κάθε διακριτή ιδιοτιμή. Έτσι, αν ο Α έχει διακριτές ιδιοτιμές τότε d, i mi 1 i 1,,. Αυτό συνεπάγεται την υπαρξητων γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων που απαιτούνται για την διαγωνοποίηση. Επομένως: έχουμε την παρακάτω ικανή συνθήκη διαγωνοποίησης: Ένας πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιμος μέσω μετασχηματισμού ομοιότητας αν έχει διακριτές ιδιοτιμές. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 33

Κανονική Μορφή τύπου-jorda Ενώ κάθε τετραγωνικός πίνακας δεν είναι απαραίτητα διαγωνοποιήσιμος, μπορεί όμως να μετατραπεί στη κανονική μορφή τύπου-jorda. Η Κανονική Μορφή τύπου-jorda (Jorda Caoical Form) προαπαιτεί τον ορισμό του Jorda-Block kk Ενας Πίνακας Jorda είναι ένας block-διαγώνιος πίνακας με Jordablocks στη διαγώνιο Αν r k 1i 1,, r τότε ο J είναι διαγώνιος πίνακας. i Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 34

Κανονική Μορφή τύπου-jorda Αν ο A έχει d διακριτές ιδιοτιμές,, με τις 1 m d 1, m2,, md αντίστοιχες αλγεβρικές και 1, 2,, d τις αντίστοιχες γεωμετρικές πολλαπλότητες, υπάρχει ένας μετασχηματισμός ομοιότητας που οδηγεί 1 στον πίνακα Jorda J T AT ο οποίος αποτελείται από i i = 1,,d Jorda-Blocks για κάθε διοτιμή λ i, όπου το άθροισμα των μεγεθών αυτών (για κάθε i) ισούται με την αλγεβρική πολλαπλότητα m i. Οι διπλανοί πίνακες τύπου κανονικής μορφής Jorda, θα μπορούσαν να προκύψουν από ένα πίνακα με μία διακριτή ιδιοτιμή με αλγεβρική πολλαπλότητα 5 και γεωμετρική πολλαπλότητα 2. Αν για μια συγκεκριμένη ιδιοτιμή, η αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα είναι ίσες, τότε τα αντίστοιχα Jorda-block είναι βαθμωτά, (και αντιστρόφως). Άν το ανωτέρω ισχύει για όλες τις ιδιοτιμές τότε ο πίνακας Jorda είναι απλά διαγώνιος. Η ιδιότητα αυτή είναι σημαντική σε πολλές εφαρμογές, όπως έλεγχος ευστάθειας, κλπ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 35

Νόρμες Διανυσμάτων Ορισμός: Μία διανυσματική νόρμα (vector orm) στο C είναι μία συνάρτηση : που Είναι θετικά ορισμένη x 0 x, x 0 x 0 Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα x y x y x, y Είναι ομογενής Η p-νόρμα ορίζεται ως και αν p τότε αποδεικνύεται ότι Παρατηρούμε ότι x. 1 i1 x i. Ευκλείδια Νόρμα Iσχύει η ανισότητα του Hölder 0 x x x, x y x y x 1 1, y, p, q 2 p q p q Για p = q = 2 αυτή παίρνει τη μορφή της γνωστής ανισότητας Cauchy-Swarz x y x y x y 2 2, Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 36

Νόρμες Πινάκων Ορισμός: Μία μητρωική νόρμα (matrix orm) στο C m είναι μία m συνάρτηση : που 0 m m Είναι θετικά ορισμένη A 0 A, A 0 A 0 m Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα A B A B A, B Είναι ομογενής A A A m, Αρχικά θεωρούμε μητρωικές νόρμες που ορίζονται από τις διανυσματικές A x A x x Το ελάχιστο ανω φράγμα νόρμα φάσματος (spectral orm) Υπάρχουν και νόρμες που δεν εισάγονται από τις διανυσματικές π.χ. Η νόρμα Frobeious ΒΙΒΟ Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 37

Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 38