ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΧΡΙΣΤΟΥΓΕΝΝΩΝ 2016 ΜΑΡΤΙΟΣ 2017 Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ
1 η ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογιστούν οι παραστάσεις: i. 2 3 +2 5 2 1 1 4 +3 2 = Να διαβάσετε την εφαρμογή 1 σελ.14 του Σχολικού Βιβλίου ii. 5 2 3 2 3 ( 1 4 3 2 ) = iii. 3 + 2 3 2 1 1 4 = 2 η ΑΣΚΗΣΗ Με χρήση των ιδιοτήτων των δυνάμεων να συμπληρώσετε τις ισότητες: i. α μ α ν = χ 2 χ 4 = ψ ν ψ 2ν ψ 2 = ii. α μ : α ν = χ 4 : χ 3 = κ 2μ /κ μ = 2 8 2 7 2 14 = iii. (α μ ) ν = (χ 2 ) 3 = (ψ 5 ) 2 (ψ 3 ) 5 = iv. α ν β ν = χ 4 ψ 4 = 3 2013 (1/3) 2013 = v. α ν : β ν = χ 5 = (χ 2 ) 3 (ψ 3 ) 2 ψ 5 (χ ψ) 4 (χ ψ) 2= Να διαβάσετε τις εφαρμογές 1,2,3 σελ.18 του Σχολ. Βιβλίου www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1
vi. α ν = χ 4 = χ 4 χ 3 = χ 4 ψ 4 χ 3 = vii. χ 3 χ 2 ψ 3 χ 2 ψ 3 ψ 4 = ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ viii. (2 3 ) 2 (3 2 ) 3 (3 3 2 ) (2 4 ) 2 = (3 5 ) 2 (2 3 ) 4 (3 2 ) 3 (2 3 ) 4 ix. ( α β ) ν = ( 43 5 2 4 3 5 3 4 3 4 4) 3 = Περιμένω απορίες στο : www.commonmaths.weebly.com x. [ (χ 2 ) 3 (κ 3 ) 4 4 ] (χ 4 ) 2 : [ (κ 3 ) 2 1 (χ 3 ) 4 (κ 2 ) 1] = www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 2
3 η ΑΣΚΗΣΗ Να γίνουν οι πράξεις: i. 4 + 3 9 2 81 = 2 + 3 3 2 9= 2+9-18=-7 Να διαβάσετε την εφαρμογή 2 σελ.21 του Σχολ. Βιβλίου Ομοίως να λύσετε την παρακάτω αριθμητική παράσταση: ii. 16 + 3 25 5 100 2 = iii. 8 + 3 27 2 32 2 50 + 5 72 = 8= 4 2 = 2 2 27 = 9 3 = 3 3 32 = 16 2 = 4 2 50 = 25 2 = 5 2 72 = 36 2 = 6 2 Αντικαθιστούμε και έχουμε: 2 2 + 3 3 3 2 4 2 2 5 2 + 5 6 2 = 2 2 + 9 3 8 2 10 2 + 30 2 = 2 2 + 30 2 8 2 10 2 + 9 3 = 14 2 + 9 3. Ομοίως να λύσετε την παρακάτω αριθμητική παράσταση: iv. 2 27 + 2 98 3 200 2 50 + 5 72= Το 14. 2 και 9. 3 δεν γίνεται να κάνουν πράξη διότι έχουν διαφορετικά υπόριζα, οπότε δεν μπορούν να προστεθούν ούτε να αφαιρεθούν. www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 3
4 η ΑΣΚΗΣΗ Να αναπτυχθούν οι ταυτότητες: i. (α + β) 2 = (χ + 2) 2 = Να διαβάσετε τις σελίδες 43-44 του Σχολ. Βιβλίου ii. (α β) 2 = (2χ 3) 2 = iii. (α + β) 3 = (2χ + 1) 3 = iv. (α β) 3 = (χ 2 2y) 3 = v. (α + β)(α β) = (2χ + 4)(2χ 4) = vi. (χ + 2 χ )2 = (2χ 1 2χ ) 2 = vii. ( χ + 2) 2 = ( 2χ 3) 2 = ( 2χ 1) 3 = www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 4
5 η ΑΣΚΗΣΗ Να γίνουν οι πράξεις στις παρακάτω αλγεβρικές παραστάσεις: i. (χ + 2) 2 + 2(χ 1) = ii. (2χ 1) 2 2(χ + 1) = iii. (χ 2) 3 + 3(2χ 2 + 1) 2 = iv. (2χ 2 1) 2 2(2χ 2 1)(2χ 2 + 1) + (2χ 2 1) 2 = 6 η ΑΣΚΗΣΗ Να μετατρέψεις τα κλάσματα με ρητό παρονομαστή : i. ii. iii. iv. 2 = 2 6 = 5 2 = 2+1 3 = 3 2 Να διαβάσετε την εφαρμογή 3 σελ.21 και την εφ.4 σελ. 46 του Σχολ. Βιβλίου www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 5
7 η ΑΣΚΗΣΗ i. Να δείξετε ότι : (α + β) 2 (α β) 2 = 4αβ ii. Να βρείτε την τιμή της παράστασης: ( 1 2016 + 2016)2 ( 2016 1 2016 ) 2 8 η ΑΣΚΗΣΗ Αν α+β=3 και αβ=2, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: i. α 2 + β 2 = Να διαβάσετε την εφαρμογή 2 σελ.45 του Σχολ. Βιβλίου ii. α 3 + β 3 = iii. 2α 2 3β 3 3α 3 + 2β 2 1 = iv. (2α + 1) 2 + (2β + 1) 2 2α 2β = www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 6
9 η ΑΣΚΗΣΗ Να αποδειχθούν οι παρακάτω ταυτότητες: i. (α 2β) 2 2(α 2β)(α + 2β) + (α + 2β) 2 = 16β 2 ii. (α + β) 3 (α β) 3 = 2β(3α 2 + β 2 ) iii. (χ + 2y) 3 + (x 2y) 3 = 2x(x 2 + 12y 2 ) iv. (α + β γ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ 2αγ 2βγ Να διαβάσετε τις εφαρμογές 6,7 σελ. 46 του Σχολ. Βιβλίου www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 7
10 η ΑΣΚΗΣΗ Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: Κοινός Παράγοντας i. αχ+βχ= 2χ+2ψ= χ 2 + 3χ = Ομαδοποίηση ii. 3χ + 3ψ + κχ + κψ = χ 2 2χ + 3χ 6 = Διαφορά Τετραγώνων iii. α 2 β 2 = χ 2 ψ 2 = χ 2 4 = 4α 2 β 2 = 4χ 2 9ψ 2 = χ 4 1 = Ανάπτυγμα Τετραγώνου Αθροίσματος και Διαφοράς iv. α 2 + 2αβ + β 2 = χ 2 + 4χ + 4 = α 2 2αβ + β 2 = χ 2 6χy + 9y 2 = Άθροισμα και διαφορά Κύβων v. α 3 + β 3 = χ 3 + 8 = α 3 β 3 = χ 3 27 = 8χ 3 27y 3 = χ 6 y 6 = www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 8
11 η ΑΣΚΗΣΗ Πάμε όμως να δούμε λίγο πιο δύσκολες παραγοντοποιήσεις ταξινομημένες ανάλογα με το πλήθος των όρων: 2 όροι : Κοινός Παράγοντας α 2 β αβ 2 = 2(χ 1) 2 3(χ 1) = 6α(χ 1) 2 3α(1 χ) = Για λυμένα παραδείγματα πατήστε εδώ. Διαφορά Τετραγώνων 4χ 4 1 y 2 = (χ + 1) 2 4 = 9 (2y + 3) 2 = Διαφορά και Άθροισμα κύβων 8χ 3 1 y 3 = (χ + 1) 3 1 = Κοινός Παράγοντας+ Διαφορά Τετραγώνων 2α 2 8β 2 = 4χ 3 9χψ 2 = Κοινός Παράγοντας+ Διαφορά και Άθροισμα κύβων 2α 3 16β 3 = 4αχ 3 32α 4 = Ανάπτυγμα Τετραγώνου Αθροίσματος Διαφορά Τετραγώνων (Συμπλήρωμα) χ 4 + 4= 4y 4 + 1 = www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 9
3 όροι : Κοινός Παράγοντας 2χ 2 y 3 ω 4 4χ 3 y 2 ω 2 + 8χ 4 yω 3 = Ανάπτυγμα Τετραγώνου Αθροίσματος και Διαφοράς 4χ 2 12χ + 9 = 4χ 4 + 12χ 2 y + 9y 2 = Ομαδοποίηση (σπάσιμο) 4χ 2 + 5χ + 1 = 8χ 2 10x + 2 = Κοινός Παράγοντας+ Ανάπτυγμα Τετραγώνου Αθροίσματος και Διαφοράς 4χ 2 + 8χ + 4 = 9χ 4 30χ 3 + 25χ 2 = Κοινός Παράγοντας+ Ομαδοποίηση (σπάσιμο) 8χ 2 + 10χ + 2 = χ 3 3χ 2 + 2χ = 4 όροι : Κοινός Παράγοντας 2χ 2 y 3 ω 4 4χ 3 y 2 ω 2 + 8χ 4 yω 3 16χyω = Ομαδοποίηση χ 2 y + 2x 2 + ay + 2a= χ 2 y χ 3 ay + ax = www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 10
Ανάπτυγμα Τετραγώνου Αθροίσματος και Διαφοράς + Διαφορά Τετραγώνου α 2 + 2αβ + β 2 1 = 4χ 2 12χ + 9 β 2 = 4χ 4 + 12χ 2 y 16 + 9y 2 = χ 2 α 2 + 2αβ β 2 = Ομαδοποίηση+ Διαφορά κύβων 2χ 3 2 αχ + α = χy 3 + 8χ 3xy(y + 2)= Κοινός Παράγοντας +Ομαδοποίηση 2χ 2 2αχ + χ 3 αχ 2 = www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 11
5 όροι : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κοινός Παράγοντας 2χ 2 y 3 ω 4 4χ 3 y 2 ω 2 + 8χ 4 yω 3 16χyω + 10χy 4 ω = Ανάπτυγμα Τετραγώνου Αθροίσματος και Διαφοράς+ Κοινός Παράγοντας α 2 + 2αβ + β 2 + 2α + 2β = χ 2 6χ + 9 βχ + 3β = 6 όροι : Εκτός από τον κοινό παράγοντα και την ομαδοποίηση ανά 2 μπορεί να συναντήσετε και : Ανάπτυγμα Τετραγώνου Αθροίσματος και Διαφοράς + Διαφορά Τετραγώνου α 2 + 2αβ + β 2 χ 2 + 2χy y 2 = 4χ 2 12χ + 9 β 2 2β 1 = www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 12
Τι λέτε και για λίγο Γεωμετρία : 12 η ΑΣΚΗΣΗ Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ=ΒΑ, θεωρούμε Κ, Λ τα μέσα των ΒΓ, ΒΑ αντίστοιχα. Ν α δειχθεί ότι : i. Ν α δειχθεί ότι τα τρίγωνα ΒΑΚ, ΒΛΓ είναι ίσα. ii. Αν Ο το σημείο τομής των διαμέσων ΑΚ, ΛΓ να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΟΓ είναι ισοσκελές. ΑΠΟΔΕΙΞΗ 13 η ΑΣΚΗΣΗ Έστω ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα με Μ το μέσο του. Φέρνουμε την μεσοκάθετο (ε) του ΑΒ. Αν Κ ένα σημείο της μεσοκαθέτου, να δειχθεί ότι το Κ ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, ΑΠΟΔΕΙΞΗ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 13
14 η ΑΣΚΗΣΗ Έστω ΑΒ ένα ευθύγραμμο τμήμα με Μ το μέσο του. Αν Κ ένα σημείο όχι επάνω στο ΑΒ, το οποίο ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. Να δειχθεί ότι το σημείο Κ ανήκει πάνω στη μεσοκάθετο του ΑΒ. (Μπορείς να δεις εδώ μια σχετική εφαρμογή GEOGEBRA) ΑΠΟΔΕΙΞΗ 15 η ΑΣΚΗΣΗ Έστω γωνία χοy με Οδ τη διχοτόμο της. Αν Μ σημείο της διχοτόμου, να δειχθεί ότι το σημείο Μ ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Να διατυπωθεί και να αποδειχθεί και η αντίστροφη πρόταση. (Μπορείς να δεις εδώ μια σχετική εφαρμογή GEOGEBRA) ΑΠΟΔΕΙΞΗ www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 14