Επαναληπτικές Ασκήσεις
2 Άσκηση 1 η (1) Ένας ερευνητής μέτρησε τη συγκέντρωση γλυκόζης (σε mg/dl) στο αριστερό και το δεξί μάτι 35 τυχαία επιλεγμένων υγιών σκύλων συγκεκριμένης ράτσας Έστω ότι με Χ και Υ συμβολίζουμε τη συγκέντρωση γλυκόζης στο αριστερό και το δεξί μάτι, αντίστοιχα, υγιών σκύλων της συγκεκριμένης ράτσας Για τις 35 μετρήσεις, x 1, x 2,, x 35, στο αριστερό μάτι και τις 35 μετρήσεις, y 1, y 2,, y 35, στο δεξί μάτι ο ερευνητής υπολόγισε τη μέση τιμή και την τυπική απόκλισή τους, ഥx = 84. 6 mg/dl, s x = 11. 64 mg/di, ഥy = 84. 83 mg/di και s y = 11. 72 mg/dl, αντίστοιχα Υπολόγισε επίσης και την τυπική απόκλιση, s d,των διαφορών, d i = x i y i, i = 1,2,,35, μεταξύ αριστερού και δεξιού ματιού και βρήκε ότι s d = 2. 16 mg/di
3 Άσκηση 1 η (2) Απαντήστε στο εξής ερώτημα Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, υποστηρίζουν οι μετρήσεις που έκανε ο ερευνητής ότι υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά στη μέση συγκέντρωση γλυκόζης μεταξύ των δύο ματιών υγιών σκύλων της συγκεκριμένης ράτσας; 1. Πρόκειται για σύγκριση κατά ζεύγη (εξαρτημένα δείγματα) 2. Η διακύμανση σ 2 είναι άγνωστη και το μέγεθος του πληθυσμού n μεγάλο (οτιδήποτε πληθυσμός) 3. Επειδή το δείγμα είναι μεγάλο (> 30) χρησιμοποιούμε την τυπική κανονική κατανομή Χ Ζ = ഥ μ 0 SΤ n z aτ2
4
5 Άσκηση 2 η (1) Προκειμένου να μετρηθεί η περιεκτικότητα κάποιας ουσίας στα νερά ενός ποταμού, πάρθηκαν 81 υδάτινα δείγματα από τον ποταμό Η μέση περιεκτικότητα της ουσίας στο δείγμα των 81 μετρήσεων ήταν 50 milligram ανά λίτρο με τυπική απόκλιση 5 milligram ανά λίτρο Για να συγκριθεί η περιεκτικότητα της ουσίας αυτής στον ποταμό με την περιεκτικότητα της ίδιας ουσίας σε έναν παραπόταμό του, πάρθηκαν και 100 δείγματα νερού από τον παραπόταμο Η μέση περιεκτικότητα στις 100 μετρήσεις του παραποτάμου βρέθηκε να είναι 55.3 milligram ανά λίτρο με τυπική απόκλιση 4 milligram ανά λίτρο
6 Άσκηση 2 η (2) 1. Σε επίπεδο σημαντικότητας 1%, αποδεικνύουν τα δεδομένα αυτά ότι η μέση συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; 2. Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, αποδεικνύουν τα δεδομένα αυτά ότι η μέση συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη, περισσότερο από 3 milligram ανά λίτρο, σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; 1. Οι διακυμάνσεις σ 12 και σ 22 είναι άγνωστες και τα μεγέθη των δειγμάτων n 1 και n 2 είναι μεγάλα 2. Επειδή τα δείγματα είναι μεγάλα (> 30) χρησιμοποιούμε την τυπική κανονική κατανομή Χ Z = ഥ ഥΥ δ z a S 1 2 2 n 1 + S 2 n 2
7 Άσκηση 2 η (3) 3. Δώστε το 98% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση συγκέντρωση της ουσίας στον κύριο ποταμό 1. Άγνωστη πληθυσμιακή διασπορά και μεγάλο δείγμα (>30) 4. Δώστε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά στη συγκέντρωση μεταξύ ποταμού και παραποτάμου 1. Άγνωστες πληθυσμιακές διασπορές και μεγάλα δείγματα (>30)
8 Άσκηση 3 η (1) Ένας ερευνητής πραγματοποίησε ένα χημικό πείραμα με 4 διαφορετικές μεθόδους σε 3 διαφορετικά επίπεδα υγρασίας και μέτρησε για κάθε πείραμα την περιεκτικότητα σε νιτρικά άλατα Υγρασία Μέθοδος Α1 Α2 Α3 Α4 Β1 53 59 58 50 Β2 57 65 62 60 Β3 52 62 54 52
9 Άσκηση 3 η (2) Να ελέγξετε, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, εάν το αποτέλεσμα του πειράματος αλλάζει διαφοροποιώντας 1. τη μέθοδο 2. την υγρασία Δίνονται: SSA=132, SSB=96, SSTot=252 1. Πρόκειται για πρόβλημα ανάλυσης διακύμανσης με δύο παράγοντες (Α και Β) που επιδρούν στη μεταβλητή απόκρισης και μία παρατήρηση για κάθε επέμβαση (r = 1) 2. Υποθέτουμε ότι: -Για κάθε συνδυασμό μεθόδου-υγρασίας, ο αντίστοιχος πληθυσμός ακολουθεί κανονική κατανομή -Όλοι αυτοί οι πληθυσμοί έχουν κοινή διασπορά -Τα δείγματα από κελί σε κελί είναι ανεξάρτητα
10
11 Άσκηση 4 η (1) Ένα φάρμακο, χρήσιμο σε ασθενείς που πάσχουν από υψηλή πίεση, δίνεται πειραματικά σε 200 υπερτασικά άτομα με τα παρακάτω αποτελέσματα: Αποτελέσματα Το φάρμακο αυτό συγκρίνεται με κάποιο άλλο που ήδη κυκλοφορεί στην αγορά και έχει την παρακάτω αποτελεσματικότητα για τις τέσσερις κατηγορίες Α: 50%, Β: 30%, Γ: 10%, Δ: 10% Πλήθος ασθενών Α. Βαθμιαία ελάττωση της πίεσης 110 Β. Μέτρια ελάττωση της πίεσης 60 Γ. Μικρή ελάττωση της πίεσης 20 Δ. Μικρή αύξηση της πίεσης 10
12 Άσκηση 4 η (2) Μπορούμε σε επίπεδο σημαντικότητας 5% να ισχυριστούμε ότι τα δύο φάρμακα έχουν την ίδια αποτελεσματικότητα; 1. Πρόκειται για n = 200 ανεξάρτητες δοκιμές με k = 4 διαφορετικά αποτελέσματα 2. Θα πρέπει να γίνει χ2 έλεγχος καλής προσαρμογής
13
14 Άσκηση 5 η (1) Ένας ερευνητής μελέτησε την περιεκτικότητα σε σωματιδιακές προσμείξεις ενός φαρμακευτικού σκευάσματος που χορηγείται ενδοφλεβίως σε ταύρους και το οποίο παράγεται από 3 διαφορετικές εταιρίες Για το σκοπό αυτό έλεγξε 6 σκευάσματα από κάθε εταιρία (τυχαία επιλεγμένα) και κατέγραψε τον αριθμό σωματιδίων ανά λίτρο Οι μετρήσεις του φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Σκεύασμα εταιρίας Αριθμός σωματιδίων (ανά λίτρο) Α1 255 264 342 331 234 217 Α2 105 288 98 275 221 240 Α3 577 515 214 413 401 260
15 Άσκηση 5 η (2) Σε επίπεδο σημαντικότητας 5%, δίνουν αυτά τα δεδομένα στατιστικά σημαντικές αποδείξεις ότι υπάρχουν διαφορές μεταξύ των σκευασμάτων των τριών εταιριών ως προς το μέσο αριθμό σωματιδίων που περιέχουν (ανά λίτρο); Δίνονται: SSA=113646, SSTot=260400 1. Τρία τυχαία ανεξάρτητα δείγματα (εντελώς τυχαιοποιημένο σχέδιο) 2. Υποθέτουμε ότι τα δείγματα προέρχονται από κανονικούς πληθυσμούς και έχουν ίσες διασπορές 3. Θα κάνουμε έλεγχο ανάλυσης διακύμανσης με ένα παράγοντα (εταιρία παραγωγής)